Trazando una lnea vertical en la grfica, si la misma toca al menos dos puntos de la curva no es funcin, porque quiere decir que un elemento del dominio tiene dos imgenes, lo cual contradice el concepto de funcin que dice que un elemento del dominio debe tener nicamente una imagen.

a respuesta es muy simple, si para un valor de x, hay mas de una imagen(2 o mas valores de y) no es una funcion.

En contra de lo que dijeron arriba, hay funciones que no tienen siempre una imagen para una x [asintotas verticales:valores de x donde la imagen en ese punto no existe,por ejemplo la funcion tangente de x [tg(x)] o 1/x, en este ultimo caso para x=0 no existe valor de y (seria infinito)].

Si cualquier recta vertical que traces toca un slo punto del grfico, este es una funcin. Si alguna recta vertical toca dos o ms puntos o ninguno del grafico, este no es funcin.

COMPOSICIN DE FUNCIONESFuncin compuestaDadas dos funciones f(x) y g(x), se llama funcin compuesta de f con g, y escribimos gof, a aquella funcin en la que la imagen de un nmero real x es el resultado de actuar sucesivamente sobre x primero f y despus g.

Para hallar la expresin analtica de la funcin compuesta de dos funciones se aplica el resultado anterior:(gof) (x) = f[g(x)].Ejemplo: Sean las funciones f(x) = 3x - 2 y g(x) = 2x + 5; entonces la funcin compuesta de f con g es (gof)(x) = g[f(x)] = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5 = 6x - 4 + 5 = 6x + 1.En el razonamiento anterior se ha tenido en cuenta que si g(x) = 2x+ 5, y por lo tanto,g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5.Propiedades de la composicinASOCIATIVA:Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ho(gof) = (hog)of.CONMUTATIVA:La composicin de funciones en general no es conmutativa, es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas.En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo, (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13, luego las funciones gof y fog son distintas.FUNCIN IDENTIDAD:La funcin i(x) = a que hace corresponder a cada nmero real con l mismo, al componerla con cualquier funcin f(x) da de resultado f(x). Adems i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composicin de funciones.

Recproca o inversaConsideremos la funcin y = 2x - 3, si nos preguntamos cul es el origen de 5?, es decir, qu nmero real tiene por imagen 5?Para obtener la respuesta buscaremos un x tal que 2x - 3 = 5, 2x = 5 + 3, 2x = 8, x = 4; luego 4 es el origen de 5..Tambin podemos preguntarnos cual es el origen de un nmero real y cualquiera. Procediendo como en el caso anterior, buscamos el nmero o los nmeros x tales que 2x - 3 = y, luego 2x = y + 3,x =.La ltima expresin relaciona cada nmero real y con su origen x, por tanto establece una relacin de dependencia entre un nmero real y otro x, es decir, es la expresin de una funcin en la que la variable independiente est representada por y, y la dependiente por x.

Como habitualmente los papeles de x e y estn cambiados podemos cambiar la expresin anterior pory =, que nos expresa la relacin de dependencia de nmero real x con su origen y.Se denomina funcin recproca o inversa de una funcin f(x) a aquella funcin que denotamos por f-1(x) tal que al componerla con f(x) da de resultado la funcin identidad i(x).Por tanto f-1(x) es aquella que al actuar sobre un nmero real nos da por resultado el origen de ese nmero real a travs de f(x).Teniendo en cuenta lo anterior si deseamos calcular f-1(x) se procede a dar los siguientes pasos:1) Se despeja x en la expresin de la funcin y = f(x).2) Se intercambian x por y e y por x.Ejemplo: y =, elevando los dos miembros al cuadrado se obtiene y2= x + 4, x = y2- 4, es decir,y = x2- 4 es la expresin de la inversa o recproca de f(x);f-1(x) = x2- x.

Algunas consideraciones respecto a f-1(x):a) f(x) y f-1(x) conmutan respecto de la composicin, es decir, f-1of = fof-1.b) f-1(x) se puede calcular siempre, aunque slo si f(x) es inyectiva (no hay dos nmeros reales con la misma imagen) entonces f-1(x) es una funcin. Si f(x) no es inyectiva f-1(x) es una correspondencia.c) Las grficas de f(x) y f-1(x) son simtricas respecto de la recta y = x, bisectriz de los cuadrantes 1 y 3 (ver la grfica de al lado).