Completado de datos meteorolgicos. Modelo CORMUL

Javier lvarez Rodrguez

Centro de Estudios Hidrogrficos del CEDEX

ndice

Introduccin

Completado de series mensuales de variables meteorolgicas (precipitaciones, temperaturas, etc.)

Proceso de completado

Aplicacin de la metodologa de completado

Completado de series mensuales de aportaciones

Modelo HEC4

Planteamiento del problema

Existencia de lagunas en las series hidrometeorolgicas

Solucin:

Reproducir el fenmeno fsico (ej.: simulacin de caudales, conocidos los datos meteorolgicos y el esquema del ciclo hidrolgico)

Recurrir a estaciones hidrometeorolgicas de similar comportamiento (ej.: completado de precipitaciones o de caudales por correlacin)

Completado de series hidrometeorolgicas

Es difcil completar los datos a partir de otras informaciones climatolgicas

Apoyo en tcnicas estocsticas: rellenar las lagunas a partir delos datos conocidos de otras estaciones pluviomtricas

El completado de los datos de aportaciones se puede realizar a partir de los datos de lluvia (son causa directa de ellas)

El completado de las series de aportaciones se puede realizar tambin:

Utilizando la informacin registrada en otras estaciones de aforo

Utilizando los datos de la propia estacin (autocorrelacin)

Completado con datos de estaciones prximas o similares

Esquema general de interpolacin

Media aritmtica y medias mviles

Media aritmtica en funcin de la altitud y orientacin del terreno

Mtodo de Thiessen y Thiessen modificado

Media aritmtica ponderada segn la altitud del terreno

Esquemas de interpolacin en funcin de la distancia

Mtodo de las isoyetas

Interpolacin polinmica

Tcnicas estocsticas de interpolacin

Tcnicas estocsticas de correlacin

)(),(),,( tPyxtyxP ii =

Completado utilizando tcnicas de interpolacin

Conocimiento terico de la variable fsica

+Informacin disponible: puntual

Interpolacin. Esquema general

Mtodos deterministas Mtodos estocsticos

ii PyxyxP = ),(),(

Mtodos estocsticos

Hiptesis previas a la aplicacin de CORMUL:

El completado de datos se puede realizar utilizando ecuaciones de regresin entre variables

Ejemplo: ajuste lineal por mnimos cuadrados

Aplicacin a series mensuales

Existen ciclos de duracin anual

influyen en la valoracin de las similitudes entre series (orden en los datos)

se impide un tratamiento homogneo de la serie mensual (distinto comportamiento segn meses)

Condicin de mnimos cuadrados: minimizar el error cuadrticoentre la variable estimada y los valores registrados

=

=

n

iestii yyECM

1

2)( 0),0( =

kaECMnk

=

=

n

k

kkest xay

0

bxayest +=

x

yxyra =

xy mamb =

Ajuste lineal por mnimos cuadrados

10

15

20

25

30

35

40

45

10 15 20 25 30 35 40 45

Pluvimetro A (mm)

P

l

u

v

i

m

e

t

r

o

B

(

m

m

)

EJEMPLO: ajuste lineal por mnimos cuadrados

Utilizar un ajuste por mnimos cuadrados con un trmino de error aleatorio

Con las condiciones:

Esperanza del error nula

Desviacin tpica conocida

Ecuacin de completado. Correlacin simple

iiiest bxay ++=,

[ ] [ ] 0, === xabyxabyEyyE iiiesti

( )[ ] ( )222, 1 xyyiesti ryyE =

Hiptesis previas para aplicacin de CORMUL

Series mensuales meteorolgicas (estudios de recursos)

Una serie temporal se puede considerar compuesta por Tendencia Componente cclica estacional Residuo

0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100

0 20 40 60 80 100

Tipo de datoIntervalo temporal de trabajo

Proceso de completado

La escala temporal mensual es usual en los estudios de recursos

(1) Elegir el periodo de completado

Necesidades del estudio

Datos existentes

(2) Estacionarizacin de las series meteorolgicas

Filtrar las componentes estacionales

(3) Establecimiento de la ecuacin de regresin

Decidir el grado de correlacin: SIMPLE, DOBLE, TRIPLE, etc

(4) Completado

Orden y priorizacin

(5) Desestacionarizacin de las series completadas

Proceso de estacionarizacin en CORMUL

Se suponen series sin tendencia

La componente cclica estacional aparece en media y desviaciones tpicas

Estacionarizacin

Eliminacin de la tendencia cclica y homogeneizacin de todos los datos mensuales mediante normalizacin

Serie estacionaria en media yvarianza

Serie independiente con distribucin normal (no son necesarias transformacionesnormalizantes)

=

=

N

iijj xN

x1

1 ( )=

=

N

ijijj xxN

S1

2

11

( )1,0NS

xxt

j

jijij

=

Precipitacin registrada (mm) en 03129

0

50

100

150

200

1

9

5

0

-

5

1

1

9

5

1

-

5

2

1

9

5

2

-

5

3

1

9

5

3

-

5

4

1

9

5

4

-

5

5

1

9

5

5

-

5

6

1

9

5

6

-

5

7

1

9

5

7

-

5

8

1

9

5

8

-

5

9

1

9

5

9

-

6

0

1

9

6

0

-

6

1

1

9

6

1

-

6

2

1

9

6

2

-

6

3

1

9

6

3

-

6

4

1

9

6

4

-

6

5

1

9

6

5

-

6

6

Precipitacin normalizada (mm) en 03129

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1

9

5

0

-

5

1

1

9

5

1

-

5

2

1

9

5

2

-

5

3

1

9

5

3

-

5

4

1

9

5

4

-

5

5

1

9

5

5

-

5

6

1

9

5

6

-

5

7

1

9

5

7

-

5

8

1

9

5

8

-

5

9

1

9

5

9

-

6

0

1

9

6

0

-

6

1

1

9

6

1

-

6

2

1

9

6

2

-

6

3

1

9

6

3

-

6

4

1

9

6

4

-

6

5

1

9

6

5

-

6

6

Ecuacin de regresin

Modelo lineal de regresin grado 2

superndices 1, 2 representan a las estaciones de referencia para completar la estacin 3

a1 y a2 son los coeficientes de regresin parcial que se pueden expresar en funcin de los coeficientes de correlacin simple r13, r23y r12 al aadir la condicin de error cuadrtico mnimo

ij es un ruido independiente y normalmente distribuido de media 0 y desviacin tpica Se

valores medios de los residuos tij en cada estacin (=0)

( ) ( ) ijijijij ttattatt +++= 22211133

( )321 ,, ttt

Coeficientes del modelo de regresin

Coeficientes de regresin parcial

rmn coeficientes de correlacin simple entre las estaciones m y n

s1, s2 y s3 desviaciones tpicas de las series 1, 2 y 3 (=1)

Desviacin tpica del ruido

Varianza del ruido

Varianza de la serie

Coeficiente de correlacin mltiple de las estaciones 1 y 2 con la 3

= 212

122313

1

31 1 r

rrrssa

= 212

121323

2

32 1 r

rrrssa

( ) ( )( ) ( )

=

ij

nnij

ij

mmij

nnij

ij

mmij

mntttt

ttttr

22

( )2312232 )(1 RSS =

+= 2

12

2313122

232

13312 1

2r

rrrrrR

Orden de completado, completado y desestacionarizacin

Matriz de priorizacin

donde Pmn es el elemento (m,n) de la matriz de priorizacincorrespondiente a la estacin a completar k

coeficiente de correlacin mltiple entre la estacin k y las estaciones m y n de referencia

N el n total de aos del periodo de anlisis

Nmnk el n de meses con registros en las tres estaciones m, n y k.

a exponente pondera el n de datos comunes entre las tres estaciones

Eleccin de la pareja de estaciones para completado ydesestacionarizacin

amnkk

mnmn NNRP

=

12

kmnR

ijjjij tSxx +=

Aplicacin de la metodologa de completado

Determinacin de grupos homogneos de estaciones

Afinidad climtica. Criterios:

Estadsticos bsicos similares (media y desviacin tpica)

Proximidad entre estaciones

Altitudes similares

Regresin bivariada: no es necesario definir series tipo

No se ha considerado la autocorrelacin temporal

No es necesario en series meteorolgicas mensuales; s lo es conseries de caudales

Al trabajar con coeficientes de correlacin entre residuos se evitan los efectos que en ste inducen el orden de los datos (filtradas componentes estacionales)

CORMUL en CHAC

Parmetros del modelo (exponente y umbral de priorizacin)

Series de variables (periodo de completado; -100: no hay dato)

Series de variables estacionarizadas (999: no hay dato)

Matriz coeficientes de regresin parcial

Matriz datos comunes

Matriz correlacin mltiple entre cada estacin y cada pareja

Matriz nm. datos comunes entre cada estacin y cada pareja

Eleccin pareja de estaciones (0: no hay completado)

Series de variables completadas

Completado de series mensuales de aportaciones

Modelo estndar: HEC-4

Consideracin:

Estructura de correlacin espacial (otras estaciones)

Estructura de correlacin temporal (autocorrelacin)

Procedimiento similar (HEC-4):

Necesidad de transformaciones normalizantes de las aportaciones

Consideracin de la autocorrelacin temporal

Permite elegir el grado de correlacin mltiple

No establece matrices de priorizacin como en el caso del CORMUL

Diferencias entre tipos de series

Series de precipitaciones

Series de aportaciones

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5

Paso k

C

o

e

f

i

c

i

e

n

t

e

d

e

a

u

t

o

c

o

r

r

e

l

a

c

i

n

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

Paso k

C

o

e

f

i

c

i

e

n

t

e

d

e

a

u

t

o

c

o

r

r

e

l

a

c

i

n

Modelo HEC-4

Clculo de los estadsticos estacionales y previa transformacinnormalizante

Serie cuasinormal

Media

Desviacin tpica

Sesgo

ijij xy log=

N

yy

N

iij

j

=

=1

( )1

1

2

=

=

N

yyN

ijij

j

( ) ( )( )

31

3

21 j

N

ijij

j

yy

NNNg

=

Modelo HEC-4

Estacionarizacin de las series cuasinormales

Supresin del sesgo peridico

j

jijij

yyt

=

611

26

3jijj

jij

gtgg

k +

+

=

Serie cuasinormal estacionaria

Serie normalizada estacionaria

Modelo de regresin del HEC-4

Ecuacin de regresin

es el valor en el mes j del ao i de la variable transformada (Pearson-III) en la estacin a completar o

es el valor en el mes j-1 del ao i de la variable transformada (Pearson-III) en la estacin a completar o

bo es el coeficiente autorregresivo (temporal)

b1 es el coeficiente de regresin entre las estaciones o y 1

es el valor en el mes j del ao i de la variable transformada (Pearson-III) en la estacin de referencia 1

M es el nmero de estaciones consideradas en la regresin

ij es el ruido de media 0 y desviacin tpica

ij

M

ijoijo

oij kbkbk ++=

=

11

111

oijk

oijk 1

1, jik

e