compendio de geometria.....doc

7/26/2019 COMPENDIO DE GEOMETRIA.....doc

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Jr . lima #725

Tema: Defniciones Geomtricas, Segmentos

PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA


2/33

DefnicionesGeomtricas

1. PROPOSICIN. Enuncia unaverdad demostrada o por demostrar.Toda proposicin tiene un solo valorlgico: o es verdadero (V) o es falso(F).

2. AXIOMA. Proposicin evidente pors misma que no necesitademostracin.

3. POSTULADO. Es una proposicinevidente que sin tener la evidencia delaxioma se acepta sin demostracin.

4. TEOREMA.Es una proposicin quepara ser evidente requiere serdemostrada tiene dos partes:

a) Hiptesis Es lo que se planteapara la demostracin del teorema.

!) Tesis Es la demostracin delteorema.

". COROLARIO.Es una consecuenciadeducida de un teorema !ademostrado.

#. LEMA.Es una proposicin que sirvede "ase para la demostracin de unteorema.

$. ESCOLIO.Es una proposicin quesirve para aclarar# restringir o ampliaralguna proposicin.

%. PRO&LEMA.Enunciado en el cualse pide $allar una cantidad o construiruna figura geom%trica seg&ncondiciones dadas.ELEMENTOS DE LA 'EOMETR(A

1. E P*+t,.Es un ente matem'tico#es la mnima representacingeom%trica de cualquier figura

geom%trica. El punto no tienedimensiones# por lo tanto no existe enla naturalea pero s en elpensamiento $umano.

e lee: Punto *+,

2. La Re-ta.Es una sucesin infinitade puntos que siguen una mismadireccin ! que es ilimitada en am"ossentidos.

e lee: -ecta *,

3. E Pa+,. Es una superficie llana#lisa# sin espesor que es ilimitada entodo sentido.

e lee: Plano *P,

I'URA 'EOM/TRICA.Es cualquiercon/unto de puntos.

CLASIICACIN DE LAS I'URAS'EOM/TRICAS

1. C,+0*e+tesi tienen igual forma! tama0o.


+

.

--


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2. Seea+tes 1uando tienen igual

forma pero tama0os diferentes.

3. E*i5ae+tesi tienen igual 'rea ovolumen sin importar su forma.

i0*as Pa+as

i0*as Espa-iaes

CON6UNTOS 'EOM/TRICOSUNDAMENTALES

1. C,+*+t,s C,+5e7,s e llamacon/unto convexo a una figurageom%trica si el segmento de rectaque une dos puntos cualesquiera dedic$o con/unto est' contenido en %ste.

2. C,+*+t,s C+-a5,s e llamacon/unto cncavo a una figurageom%trica si por lo menos una partedel segmento de recta que une dospuntos cualesquiera de dic$o con/untono est' contenido en %ste.

POSTULADOS DE LA SEPARACINDE RECTAS

2. 3n punto contenido en una rectadivide a esta recta en dossemirrectas.

PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA

-r

P

+

3na -egin Triangular

3na Esfera

-

4

5

3na -ecta

45

3na -egin1uadrangular

1ncava

P

+

3n Tri'ngulo

-

3na uperficie1ilndrica

3


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CO!EGIO ISAAC NE"TON Geo#etia

6. 3na recta contenida en un planodivide a este plano en dossemiplanos.

7. 3n plano divide al espacio en dossemiespacios.

SEMIRECTAEs uno de los sentidosde la recta.

ea una recta cualquiera 45 ! so"reella tomamos el punto 8 entre 4 ! 5#(ver figura).

RA8OEs la figura formada por unasemirrecta ! su punto de origen.

POSICIONES RELATI9AS DE DOSRECTAS EN UN PLANO

(a) ecantes 8"licuas

(") ecantes Perpendiculares

(c) Paralelas

Segmentos

Es aquel con/unto de puntospertenecientes a una lnea rectalimitados por dos puntos denominados

extremos.

Eee+t,s4# 5 : Extremos

45 : egmento 45

P*+t, Me:i, :e *+ Se0e+t,.

lamado tam"i%n punto "isector# esaquel punto que divide a un segmentoen dos segmentos congruentes esdecir# dic$o punto lo divide por lamitad.

4549 95

6= =


4 5

4 59

emirrecta 85

emirrecta 84

84-a!o 84

8 5

90

L1

L2

L1L

2

L1

L2

L1//L

2

4 8 5

4 8

8 5

-a!o 85

4


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Opea-i,+es -,+ Se0e+t,s.a) S*a

45 51 41=

!) Resta

P- P+ +-=

O!se5a-i,+es o"re una recta real- se tienen los puntos 4 ! 5 cu!as

coordenadas son *a, ! *",respectivamente# entonces se cumpleque: as coordenadas del punto medio

del segmento 45 viene dado por:a "

96

=

a medida del segmento 45 es igual

a:

45 " a

PRO&LEMAS PROPUESTOS

2. o"re una recta se tienen los puntosconsecutivos ! colineales 451 talque 41 ; 2.eterminar la longitud del segmento51.a) 6 ") 7 c) ?d) 2 e) =

6. e tienen los puntos colineales !consecutivos 451 tales que: 4 ;

6?# 41 ; 2@ ! 45 451 1 . Aallar 51:

a) 7 ") ? c) @d) 7#@ e) =

7. P# + ! - son tres puntosconsecutivos de una recta. P+ ; 6+-B 2 ! P- ; 72. Aallar +-.a) C ") 2> c) 22d) 26 e) . Aallar

4.a) 6= ") 26#= c) =>d) 6> e) 2=

=. 4# 5 ! 1 son puntos colineales !consecutivos tales que D45 ; e) 2=

D. En una recta se tienen los puntosconsecutivos 4# 5# 1# ! # cumpliendola relacin: ?45 5 61 ; ?. Aallar

4# si 45 ; 7 ! 41 ; =.a) < ") = c) C

d) @ e) D


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P+ +- -

7 ? == = !

6P+ =+-


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a)76

")=6

c)=

7

d)?

7e)

6

7

Tarea para tudomicilio

AUTOE9ALUACIN

2. o"re una recta se toman lospuntos consecutivos 4 5 1 ! talesque: 4 2< cm # 5 27 cm !41 26 cm . Aallar la medida delsegmento 51 .a) @ cm ") D cm c) < cmd) C cm e) = cm

6. ean los puntos colineales !consecutivos # 9# # P# +# siendo:

69 9 ! 29+ = . Aallar:

+9

a) 26 ") 6 c) 27

d)2

27e)

2

26

7. o"re una recta se marcan lospuntos colineales ! consecutivos 4# 5# 1! # tal que: 45 1: . uego# la

expresin:2 2

E45.41 51.5:

= es

equivalente a:

a) 45.51 ") 6 62

45 51c)

6

2

(45 5:)

d)2

45.51e)

645.51

?. e tienen los puntosconsecutivos ! colineales 4 5 ! 1# de talmanera que: 41 2< 45 x ! 51 ?! x . IEntre qu% valores enterosvara *x,Ja) @ x . o"re una recta se consideranlos puntos consecutivos P# +# -# #calcular 7xM7 M . i P+ ; 7+-#

2 x

x6+ 6

=

!N 7

7 NP 7- ? 7=

a) 6 ") C c) #=

ngulo1on/unto de puntos pertenecientes ados ra!os que tienen un mismo origendenominado v%rtice.

Eee+t,s

84 ! 85 : ados8 : V%rtice

485 : ngulo: 9edida del 'ngulo 485

&ise-ti; :e *+ A+0*,

e llama "isectri de un 'ngulo a un

ra!o que partiendo del v%rtice# divide el'ngulo en dos 'ngulos congruentes(de la misma medida)

89 es "isectri del 'ngulo 485

CLASIICACIN DE LOS Q Q=

-) O!t*s,

C>Q 2Q Q =

Tringulos

Es el con/unto de puntos

pertenecientes a tres rectas secantesque se interceptan dos a dos al unirtres puntos no colineales.

Eee+t,s

V%rtices: 4 5 ! 1ados: 45 51 ! 41

ngulos interiores: !

ngulos exteriores: x !

P,pie:a:es

1. En todo triangulo la suma delas medidas de sus 'ngulos interioreses 2Q.

2Q =

2. En todo triangulo la suma delas medidas de sus 'ngulos exterioreses 7@>Q.

x ! ( 7@>Q =

3. En todo tri'ngulo la medidade un 'ngulo exterior es igual a lasuma de las medidas de dos 'ngulosdel tri'ngulo no ad!acentes a %l.

x=

3. En todo tri'ngulo la longitud de unode sus lados est' comprendido entre lasuma ! la sustraccin de las longitudesde los otros dos lados. i: a " c>

" c a " c< A+0*,GLa:,GA+0*,)

os tri'ngulos son congruentes sitienen congruentes un lado ! los'ngulos ad!acentes a %l.

451 4 S5 S1S

SE'UNDO CASO

LAL >La:,GLa:,GLa:,GLa:,)

451 4 S5 S1S CUARTO CASO


4

5

19

4

5

1

4S

5S

1S

4

5

1

4S

5S

1S

4

5

1 4S

5S

1S

ortocentro

incentro

"aricentro

circuncentro

a

"c$

4

g

8rtocentro

5aricentro

1ircuncentro

5

19

6 a

7a 7 a

a

1"


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LLA >La:,GLa:,GQ

") 7>Q

c) ?>Q

d) =>Q

e) @>Q

6. En el gr'fico =45 51 # calcule x.a) 7?Q

") 7=Q

c) 7DQ

d) 7CQ

e) ?>Q

7. En el gr'fico =45 51 # calcule xR!.a) 2R6

") 2

c) 6d) 7R6


80

70 120

!

C

"

111

"

C

#

!

4

5

1 4S

5S

1S

P

+

-

8

4 5

P

4

5

1

9

1#


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e) =R6?. En el gr'fico# calcule x ! # si

=m n q 2=>Q

a) 26>Q") 2?>Q

c) 2=>Q

d) 2@>Q

e) 2Q

=. En un tri'ngulo 451 so"re los lados

45 ! 15 se u"ican los puntos 9 ! #

tal que 9 intersecta a la

prolongacin de 41 en P. i

S Sm 415 m P94 ! S =m 451 6>Q .1alcule la Sm 4P9 .a) 2>Q ") 2=Q c) 2Q e) 6=Q

@. i los tri'ngulos 451 ! P+- son

equil'teros# calcule a c"

.

a) 2

") 6

c) 7

d) ?

e) =

D. 1alcule x ! :a) 6 a "

") a "

c) 7 a "

d) a "

e) 6a "

Q

") 6@>Q

c) 6=>Q

d) 7>>Q

e) 76>Q

2>. 1alcule el valor de x.a) @>Q

") D>Q

c) D=Q

d) C>Q

e) 2>>Q

22. En el gr'fico se cumple que=41 51 calcule x.

a) 7>Q

") ?>Q

c) =>Q

d) @>Q

e) D>Q


m

n

#

$

!

%

&

"

'

C

a

(

c

a

#

(

!

"C ' %

&

2

m

m2

! C

C

70

"

!

"

m

n

C

1)

2)

1$


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26. En un tri'ngulo 451# se traa la

"isectri interior 4E ! luego la altura

1A del tri'ngulo 4E1. i

S Sm 41E m E1A ! S =m 54E 6>Q #calcule la Sm 451 .

a) 2>>Q ") 2>=Q c) 26>Qd) 26=Q e) 2=>Q

27. En el gr'fico se cumple que=45 51 ! =T1 T # calcule x.

a) 2=Q

") 6>Q

c) 7>Q

d) ?>Q

e) @>Q

2?. En el gr'fico# = ?>Q # calculex ! .

a) 66>Q") 6?>Q

c) 2C>Q

d) 66>Q

e) 62>Q

2=. En el gr'fico# calcule el valor de x

si =

676Q

a) 27>Q ") 22@Q c) 26=Q

d) 26>Q e) 276Q

2@. En un tri'ngulo 451 laprolongacin de la "isectri interior

4 intersecta a la mediatri de 41

en P# luego se u"ica el punto + en 41tal que =45 +1 . i S =m 1P+ ?>Q #calcule Sm 5P4 .a) 6>Q ") ??Q c) =>Qd) ?>Q e) 6=Q

2D. En un tri'ngulo issceles 45145 51 las cevianas interiores

4+ ! 1P se intersecan en . i

S Sm 4+1 6 m 41P . Entonces sepuede afirmar que:a)

>4 4P ") >4 P c)


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d) 7 7 e) 6 7

62. En la figura= =

45 1 2> #=49 9 ! =5 1 . Aalle 9.

a) ?

") =

c) . e tiene el tri'ngulo 451 ! se traa

la ceviana interior 5 si= =45 4 1 !

S Sm 541 6 m 514 # calculeSm 51 .

a) 2>Q ") 6>Q c) 7>Qd) ?>Q e) =>Q

22. En el gr'fico se cumple que=45 51 # calcule x.

a) =>Q

") @=Q

c) D>Q

d) Q

e) 2>>Q

26. i 2 6 RR # adem's

S Sm 451 7 m 541 =4 5 ! 19 es

"isectri de S 51 . Aalle el valor de x.a) @=Q

") D=Q

c) Q

d) C>Qe) C=Q

27. En un tri'ngulo 451 se traa laceviana 4E cu!a prolongacininterseca en F a la "isectri exterior del'ngulo 1. i m54E W mE41 ; 6>X !mEF1 ; 7>X# calcular la m451.a) 7=X ") ?>X c) ?=X

d) @>X e) 7>X

2?. En un tri'ngulo 451# se traa laceviana interior 5: # tal que

45;5;1 ! 41;51. 1alcular lamedida del 'ngulo 4.a) D6X ") 7>X c) 7@Xd) ?=X e) 6?X

2=. En un tri'ngulo 451# se traa la

mediana 1P . En el tri'ngulo 5P1 se

traa la mediana 59 que mide 6?

luego se traa PRR59 ( en 41) .

Aallar P.a) 26 ") ? c) 2@d) @ e) 2d) 2? e) 26

2 ") 26 c) 2?d) < e) C

6>. o"re el lado 41 de un tri'ngulo451 se toma un punto de modo quese verifica: 4 ; 51# adem's se sa"eque los 'ngulos 4 ! 1 miden 6>X ! =>Xrespectivamente las mediatrices de

45 ! 1 se cortan en el punto E.Aallar la medida del 'ngulo E51.a) 7>X ") 7=X c) ?>Xd) ?=X e) =>X

AUTOE9ALUACIN

2. En la figura# la diferencia de las

medidas de los 'ngulos 4 ! 1 es ?>Q.1alcular el suplemento delcomplemento del 'ngulo x.

a) 2=>Q ") 2@>Q c) D>Qd) 2>>Q e) 22>Q

6. En un tri'ngulo o"tus'ngulo 451#o"tuso en 4# se traa la mediatri de 45# lacual corta a 51 en F. i 4 ; 75 $allar elmenor 'ngulo formado por 4F ! la "isectri

interior del 'ngulo 1.a) @>Q ") D=Q c) C>Qd) ?=Q e) @=Q

7. En un tri'ngulo rect'ngulo 451#recto en 5# la mediatri relativa a la$ipotenusa corta a 51 en P ! a laprolongacin de 45 en +. i el'ngulo

=4P5 D>Q # determinar lamedida del 'ngulo 4+P.

a) ==Q ") 7=Q c) 7>Q

d) D>Q e) =>Q?. En un tri'ngulo 451 o"tuso en 4#

cu!o 'ngulo interior 1 mide 7@Q# setraan la "isectri 5 ! la mediatride la "isectri 5# la cual corta a laprolongacin de 14 en E. Aallar lamedida del 'ngulo E54.

a) 2.

a) 2< ") 2@ c) 2?d) 26 e) 2>

@. as medianas de un tri'ngulos 451miden: 49 ; C cm ! 5+ ; 26 cm.I1u'l de los siguientes valorespodra tomar 41J

a) 2= cm ") 6> cm c) 6= cmd) 7> cm e) .4.

D. En la figura# $allar *x, si=5 E1

= E =59 91.

a) 7>Q

") 7DQ

c) ?>Q

d) ?=Q

PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA4

:

5

9

8

E

1

Q

4 1

5

7>Qx

21


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e) =>Q

Q c) 7>Qd) ?=Q e) @>Q

C. En un tri'ngulo rect'ngulo 451

recto en 5 se traan la mediana59 ! la ceviana interior 1 lascuales se cortan en tal que

=5 9 . Aallar 9 si=1 2@ .

a) ? ") @ c) e) 26

2>. En un tri'ngulo rect'ngulo451 =m 5 C>Q ! m. so"re 51 se toma un punto ! so"re su prolongacin delpunto F de modo que

=4 4F 1alcular el lado 41sa"iendo que los 'ngulos 14F! 45 miden 26Q ! 2 m ") 2= m c) 6> md) 2< m e) 2C m

2=. En el interior de un cuadrado451 se constru!e el tri'ngulo

equil'tero 4E# se traa 1F

perpendicular a la prolongacinde 5E ! luego se traa F

perpendicular al lado 4:. Encontrar la longitud de F si

=45 26.a) @ ") D c)

2@. En la figura# P9 es mediatri#=P1 65P. 1alcular .


4

5

P

1

E

9A

4

5 1

9

P

22


23/33


a) 7DQ ") 7>Q c) ?=Qd) 2=Q e) 2Q

2 ! =51 < . e traa

9RR51 ! 9FRR41 . 1alcule

49# sa"iendo adem's que:=9 9F 49 4 .

a) ? ") = c) 7d) 6#= e) ?#=

=. as "ases 45 ! 1 de un

trapecio rect'ngulo miden ? !C. e toma 9 punto medio dellado no paralelo 4 perpendicular a las "ases.1alcule 4 para que el'ngulo 591 sea recto.

a) 27 ") @ c) e) 26

@. 1alcular T" # en:

a) 27#6 ") 27#= c) 2>

d) 26 e) 2=

D. a som"ra pro!ectada poruna torre es de 76 m si latorre tiene 6 pisos# de 2> m elprimero ! de @ m el segundo#entonces la som"rapro!ectada por cada piso es:

a) 6> ! 26m ") 2< ! 2?m c) 66 !2>md) 6? ! ! adem's: 4; 76.

a) 26# e) 6?

2=. En la semicircunferenciamostrada:

= = =45 51 1 6 . Aallar

9.

a) 6

") 7

c) =

d) 6

e) 7

AUTOE9ALUACIN 1

2. En un 451#=45 D !

=41 27 # se traa la "isectri interior

4P . uego P+RR 41# estando + en

45. 1alcular P+.a) ?#< ") ?#D c) ?#==d) =#6 e) @#=

6. Por el v%rtice 4 de unparalelogramo 451 se traa una

recta que corta a 5 en 9# a 1 en

F ! a la prolongacin de 51 en P# de

modo que 9F ; 2 ! FP ; c) 76d) 6< e) 6@

?. 1alcular el valor de *x,a) 7

") 6 7

c) 7 7

d) ? 7

e) = 6

=. En un 451# =45 51# las

alturas 5A ! 4- se cortan en el

punto +. 1alcular 5+# si =+A < !=41 6>.

a) ?#= ") ? c) 7#=d) = e) 26@. os tri'ngulos sonseme/antes# la ran de seme/ana es

72D

# el permetro del tri'ngulo menor


2

12

! " C D

,

+

D!

C

"

-%

2


30/33


es 2=cm. 1alcular el permetro deltri'ngulo ma!or.a) cm ") D> cm c) D= cm

d) cmD. El cuadrado EFP+ est'inscrito en el 451. i =41 " !

=5A $ expresar la longitud del ladodel cuadrado en funcin de " ! $.

a)"$

" $

")$

" " $

c)2((

d)" $6"$

e) 6 " $


31/33


d) ?#6

e) 6#=

2=. En la figura# T es punto detangencia:

=4T 2> =45 ? ! =T1 26 .

1alcular T5.a) =

") @

c) ?#=

d) ?#

c) 22

d) 26

e) 2?2 m ") 26 m c) 2= md) 2< m e) 6> m

6. En un tri'ngulo 451# seconstru!e una semicircunferencia

exterior con di'metro 51 # donde la

prolongacin de la altura 4A

intersecta en el punto + a lasemicircunferencia. Aallar 1+. i 45 ;

51 ! 41 ; ? 6 .

a) 6 6 ") ? c) @

d) < e) 7 6

7. 1alcular 9# si - ; 6 ! r ; 2.

a)6

7


*n

/n

/n

#

18

! "

T

C

8

6

!

"

C&

'

/0

r

%

,

+

31


32/33


")76

c)

7

? d)

?

? e)

6

=?. En un triangulo rect'ngulo# la$ipotenusa mide 2=m ! la altura @m.Encontrar la longitud del cateto menor.

a) 7 = ") 6 c)6

6

d) 76

e) 6 7

=. 3no de los catetos de untri'ngulo rect'ngulo mide @ # su

pro!eccin so"re la $ipotenusa es lacuarta parte de la $ipotenusa. Aallar lalongitud del otro cateto.

a) 7 6 ") 6 6 c) 6

d) 66

e) 6 67

@. En el cuadrado 451# P esun punto cualquiera de 45 tal que el

S1P+ es recto. i=5P x =P+ !

=+ # Icu'l es la relacin correctaJ

a)=

6! x

")=

6 6 6x !

c)=

6! 6x

d)=

6 6 6x !

e) =x !

D. Aallar x:a) @

") D

c) d) = e) ?

2=. En un rect'ngulo 451 setraan 5E ! F perpendiculares a la

diagonal 41 . 1alcular 51# si:

= =

45 EF < .a) 6 7 ") 7 c) ? 7

d) = 7 e) < 7

2@. En un tri'ngulo 451# P+ esparalela a 41 (P est' en 45 ! + est'en 51 1alcular P+ si sa"emos que:

=4P 2< #=P5 26 ! =41 6> .

a) 27#7 ") D#7 c)

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