Bioestadística FMCS Reus 1

Comparació de dues mitjanes i dues variàncies observades

Resum de la comparació de dues mitjanes observades• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• El estadístic de la prova

• Sota la hipòtesi H0 certa

• La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador de EE depèn de:

• La mida de les mostres• La normalitat de Y en els dos grups• La variança de Y sigui igual en els grups

^^EE

d

EE

BA YY EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes

Resum de la comparació de dues mitjanes observadesEstratègia:

coneguda (1) desconeguda

nA i nB 30 (2) nA i/o nB < 30

Distribució Normalvariàncies homogènies (2

A = 2B) (3)

variàncies NO homogènies (2A 2

B)(4) Distribució no Normal proves no paramètriques

Bioestadística FMCS Reus 4

(1) Càlcul de l’error estàndard quan coneixem

EEBA nσ

nσ 2

B2A

A i B són cadascun dels grups comparats

Bioestadística FMCS Reus 5

+ = EE B

2

A

2

ns

ns BA

A i B són cadascun dels grups comparats

(2) Càlcul de l’error estàndard quan no coneixem , però nA i nB 30

Bioestadística FMCS Reus 6

Normal) (llei +

- =

EEd = z

- = d

zns

ns

yyyy

2α

B

2B

A

2A

BA

BA

⇒⇒

La prova z per comparar les dues mitjanes, cas de mostres grans

Bioestadística FMCS Reus 7

(3) Càlcul de l’error estàndard quan no coneixem , però nA i/o nB < 30 i variàncies homogènies

(2A = 2

B): estimació conjunta de la variància.

EE BA ns

ns 22

ˆˆ

2 - +

2BB

2AA

= nns1)-n(+s1)-n(

sBA

2

A i B són cadascun dels grups comparats

Bioestadística FMCS Reus 8

Estimació conjunta de la variància, cas de mostres petitesSi alguna de les dues mostres és petita (n < 30), aquesta

substitució no és vàlida. En aquest cas, és necessari introduir el supòsit de homogeneïtat de les variàncies (2

A = 2

B) i estimar la variància conjunta (2) a partir de la mitjana, ponderada pels graus de llibertat, de les variàncies s2

A i s2B

2 - +

2BB

2AA

= 2 - + = gl nns1)-n(+s1)-n( s ;nn

BA

2BA

+ = EE ns

ns

B

2

A

2

i es calcula l’Error Estàndard (ÊÊ) de la diferencia

Bioestadística FMCS Reus 9

La prova t per a comparar les dues mitjanes, cas de mostres petitesNo obstant, aquesta substitució de 2 per la seva estimació

s2 introdueix una major incertesa en el quocient i si alguna de les dues mostres és petita, es té que corregir utilitzant en lloc de la llei Normal, la distribució t de Student–Fisher, amb un número de graus de llibertat igual als de la variància estimada (gl = nA + nB - 2)

2+=gl Fisher-Student Ley

+

- =

EEd =t

- = d

nn

tns

ns

yyyy

BA

2α;gl

B

2

A

2 B A

B A

-

⇒⇒

Bioestadística FMCS Reus 10

Condicions d’aplicació de la prova t de Student:

Suposa que la distribució mostral de la diferència d entre les dues mitjanes segueix una llei Normal, cosa que passa sempre que: La variable Y en les poblacions A i B es

distribueix segons una llei Normal. Les mides de les dues mostres siguin grans (nA i

nB 30), encara que la distribució de la variable Y en les poblacions no sigui Normal.

Bioestadística FMCS Reus 11

Les mostres a partir de 30 casos (n 30) es poden considerar grans quan la distribució de la variable no presenta una asimetria important

Per tant, la prova t pot aplicar-se sempre que les mostres siguin grans sense necessitat de comprovar cap supòsit addicional. Només en mostres petites (nA i/o nB< 30) es verificarà amb la prova de Shapiro-Wilks, si la variable segueix una llei Normal

Condicions d’aplicació de la prova t de Student:

Bioestadística FMCS Reus 12

Exemple 1

En un estudi per identificar les conseqüències de la corpulència es va determinar la despesa energètica en repòs de dones primes (np = 13) que era de 8’0662 MJ/dia (desviació estàndard = 1’23808 MJ/dia) i obeses (nO = 9) que era de 10’2978 MJ/dia (desviació estàndard = 1’39787 MJ/dia).

Pregunta: A la població existeix en las dones obeses una MAJOR

despesa energètica en repòs que en les primes?És una hipòtesi uni o bilateral?

Bioestadística FMCS Reus 13

Hipòtesis Ho i H1 unilaterals

Ho: La despesa energètica diària de les dones obeses NO ÉS MAJOR (és igual o menor) que la de les primes.

0 - :H ; :H μμμμ OPoOPo ≥≥

H1: La despesa energètica diària de les dones obeses ÉS MAJOR que la de les primes

0 < - :H ; < :H OP1OP1 μμμμ

Bioestadística FMCS Reus 14

Resultats

Estimació de la variància comuna (2) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s2

P i s2 O

1'70128 = = 2 - 9 + 131)1'9540-9(+1'5328 1)-(13

s2

1'39787 =DE 1'9540;= 10'2978; = 9;=

1'23808 =DE 1'5328;= 8'0662; = 13;=

syn

syn2

OO

2PP

20 =2 - 9 +13 = gl

Bioestadística FMCS Reus 15

+ = EE ns

ns

O

2

P

2

Càlcul de l’Error Estàndard

0'5656 9

13

EE 1'701281'70128

Bioestadística FMCS Reus 16

2+=glFisher-Student Llei

+

- =

EEd =t

- = d

nn

tns

ns

yyyy

OP

α;gl

O

2

P

2 O P

O P

-

⇒⇒

Càlcul de l’estadístic de contrast: t de Student

( )

20=2-9+13=gl Fisher-Student Llei

0'0005<p 1'725 = 3'946 = 0'56562'2316 =t

2'2316=10'29788'0662= d

t20;0'05⇒⇒

-

Bioestadística FMCS Reus 17

Cal que la distribució mostral de la diferència d entre les dues mitjanes segueixi una llei Normal, cosa que no passa sempre quan la mida nP i nO de les dues mostres NO SÓN grans (n < 30), per tant en aquest cas es tindria que verificar el supòsit de normalitat de la diferència. Nosaltres suposarem que la distribució observada no és significativament diferent de la Normal.

Condicions d’aplicació i conclusió

Conclusió:La despesa energètica diària de les dones obeses ÉS

MAJOR que la de les primes (p < 0’0005).