El video y la fotografía como medio para relacionar la vida cotidiana con la matemática escolar

Rafael Pantoja RangelCUCEI. Universidad de Guadalajara

profe.rpantoja@hotmail.com

Elena NesterovaCUCEI. Universidad de Guadalajara

elena.nesterova@cucei.udg.mx

Área temática: Prácticas educativas en espacios escolares.

Línea temática: Implementación de estrategias y documentación de experiencias pedagógicas.

Público a quien va dirigido: Medio superior y superior.

Tipo de ponencia: Taller

Palabras clave: Alternativa didáctica, Modelos matemáticos, Software educativo, Video, Fotografía.

Presentación

Se presentan una serie de situaciones problema de la vida cotidiana, con el propósito de que los actores de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, los relacionen con los diversos temas que se tratan en el aula y se den cuenta que existen alternativas didácticas a la enseñanza tradicional, para que el alumno se apropie de los contenidos matemáticos involucrados en cada uno de los ejemplos seleccionados, que en este caso son línea recta, parábola, elipse, polinomios, ecuaciones paramétricas, razón de cambio, longitud de arco, cálculo de áreas y sólidos de revolución.

Las situaciones problema son grabadas en fotografía y video, para ser analizadas en trabajo individual y colaborativo con los software Tracker y GeoGebra, prácticas con las que se pretende que el alumno identifique donde colocar los ejes coordenados, las variables que intervienen y como se relacionan, qué funciones se ajustan a la trayectoria del objeto estático y en movimiento, así como los parámetros que los describen. Algunas de las situaciones problema propuestas son: caballito juguete, chorro de agua, tren de juguete, corredor, hoja de árbol, copa, rueda, burbuja de aire en una manguera, ciclista, motociclista, carro de juguete y real.

A la matemática escolar por lo general se le sitúa en un desarrollo algorítmico y se omite algunos otros planteamientos, como puede ser una interpretación gráfica, la visualización de la situación, un acercamiento numérico o la función ajustada, lo que propicia que el conocimiento adquirido quede truncado, lo que no concuerda con lo planteado en la Teoría de las Representaciones Semióticas (TRS) de Duval, que propone en sus premisas identificar los distintos registros de representación semiótica con el propósito de que los alumnos los conecte con un tratamiento o una conversión, conceptos trascendentes es la TRS.

Duval define un tratamiento como la actividad matemática que se realiza en un mismo registro, por ejemplo, iniciar con una ecuación y convertirla en otra equivalente como es el caso de transformar una ecuación cuadrática y=a x2+bx+c a la forma y−k=4 p(x−h)2, o bien, iniciar con una gráfica y lograr acercar la función que la representa y que en la TRS significa una conversión entre el registro gráfico y el registro analítico. El trabajo matemático que se desarrolla en ambos casos es lo que propicia el conocimiento.

Para el taller a cada equipo se le asignará una situación problema que se les entrega por escrito y en forma electrónica, que se contesta al momento de desarrollar la actividad; al final de la actividad se les pide un reporte en formato libre (registro escrito) y elaborar una presentación para ser discutida ante todo el grupo (registro verbal), pues son dos acciones que no se realizan en un curso tradicional, con lo se pretende les propicie conocimiento para redactar y experiencia para la competencia verbal.

Parte importante de la propuesta es propiciar en el estudiante la motivación y el interés por aprender matemáticas de otra forma, pues la separación de la matemática escolar con el contexto cotidiano en el que se desarrolla es una realidad, lo que provoca las preguntas “¿por qué tengo que aprender esto? y ¿en qué se aplica la matemática?, cuya respuesta siempre queda postergada o ignorada como lo señala Pollak (2007, p 111), que comenta al respecto lo que responde el profesor “bueno, ya verás que lo necesitas para obtener una buena calificación en el examen, lo que te permitirá entrar en una buena universidad, obtener un buen trabajo y convertirte en un ciudadano inteligente y seguir adelante” y concluye: “así que los ejemplos de donde se aplica la matemática nunca llegan y así no se puede incentivar la motivación por la belleza de la matemática por si sola, sin ver la utilidad”.

El propósito del taller es ofertar al profesor de matemáticas una serie de prácticas y valore la incorporación a su labor docente, ya que con base en las evidencias recopiladas se propicia la motivación e interés por el aprendizaje de las matemáticas, además de fortalecer valores como la participación, puntualidad, trabajo colaborativo y honestidad, entre otros; además de promover algunas competencias como la modelación matemática, el manejo de las tecnologías, la elaboración y la presentación de reporte correspondiente a la actividad planteada.

La modelación matemática se ha adoptado en una gran mayoría de instituciones nacionales e internacionales y se complementa con elementos primordiales como la resolución de problemas, el trabajo colaborativo y las TIC en el aula (Hitt, 2007, 2013; Hitt y Cortés, 2009; Arrieta, Carbajal, Díaz, Galicia, Landa, Mancilla, Medina y Miranda, 2007; Ezquerra, s/f, 2005, 2010; Ezquerra, Iturrioz y Díaz, 2011; Pantoja, Ulloa y Nesterova, 2013) lo que ha motivado a profesores a plantear el empleo de situaciones de la vida cotidiana, como un área de interés para propiciar el aprendizaje de matemáticas en los estudiantes, mediante problemas seleccionados de física, química, atletismo, hidroneumática, dinámica, ingeniería civil, arquitectura, futbol, basquetbol, termodinámica, entre otras áreas de la vida cotidiana, como se propone en este taller.

Algunas de las situaciones problema propuestas se presentan en fotografía en la figura 1:

Caballito y las ecuaciones

Hoja de árbol y cálculo de áreas.

Chorro de agua:Parábola

Sandía y los sólidos de revolución.

paramétricas.

Rueda y la cicloide.

Tren de juguete y la ecuaciones paramétricas de la recta

Corredor y la razón de cambio

Arcos y su longitud

Figura 1. Situaciones problema de la vida cotidiana.

Objetivo general

Desarrollar un conjunto de prácticas de modelación matemática para relacionar las distintas situaciones problema de la vida cotidiana seleccionadas, grabadas en fotografía o video y analizadas con el Tracker y GeoGebra, con la matemática escolar en términos identificar las variables intervienen, ajustar las funciones e interpretarlas de acuerdo a cada objeto seleccionado.

Objetivos específicos.

Identificar las variables, constantes, parámetros y funciones para cada una de las situaciones problema y relacionarlas con la matemática escolar en su contexto.

Motivar la enseñanza y aprendizaje de los temas de matemáticas incluidos en la propuesta a partir de situaciones problema de la vida diaria.

Diseñar el set para la videograbación y las fotografías de objetos en movimiento para el ajuste de funciones el Tracker y GeoGebra para cada situación problema.

Elaborar el reporte de la actividad y hacer una presentación de los resultados ante el grupo.

Desarrollo de actividades y tiempo estimado para cada una.

El taller se sustenta en el marco de la Teoría de las Representaciones Semióticas (Duval, 2004) y en la metodología ACODESA (Hitt y González, 2015), que se reflejan en las actividades empleadas en los talleres. A partir del video o de la fotografía, el alumno señala la trayectoria o la forma del objeto, que las rutinas del Tracker muestran en pantalla en dos formas, a saber: una tabla de datos que representan las variables elegidas y tres gráficas en el plano cartesiano para dos variables que el usuario selecciona de las opciones que presenta el programa, en este caso, (x vs . t , y vs .t , y vs . x ¿. Es en esta parte, donde los alumnos inician la modelación de la situación problema con las gráficas, datos o las funciones de ajuste.

Los alumnos con esta información, responden las actividades integradas en una secuencia didáctica (Tobón, 2010), elaboran un reporte para entregar al profesor y una presentación para discutirla con todo el grupo. En el anexo a esta propuesta se presenta como ejemplo la secuencia didáctica Las ecuaciones paramétricas y la comprensión del concepto de Parámetro. Cada equipo de trabajo dispondrá de una secuencia didáctica distinta que conlleva a un aprendizaje de un tema de matemáticas.

Para este caso se pretende qué mediante el análisis del video, los datos, las gráficas y las funciones ajustadas, objetos matemáticos determinados con Tracker y GeoGebra, el alumno logre comprender la emergencia de una variable auxiliar que facilita el análisis del movimiento

(parámetro) y dar sentido a las ecuaciones paramétricas como una forma alternativa a las ecuaciones cartesianas para describir el movimiento de la trayectoria del objeto, pues en los libros de texto consultados sobre el tema, la descripción de parámetro y las ecuaciones paramétricas es muy escueta y deja muchas dudas sobre el porqué dejar de lado la expresión cartesiana f ( x , y , k )=0 para introducir las ecuaciones de la forma {x=x ( t ) , y= y (t ) }.La secuencia didáctica se plantea por el interés de generar y proponer una alternativa didáctica para la enseñanza de las ecuaciones paramétricas que les ayude a guiar el aprendizaje con el trabajo de objetos en movimiento de la vida cotidiana, pues complementa lo visto en la clase tradicional sobre ecuaciones paramétricas.

El formato de la secuencia didáctica se centra en la propuesta de Tobón (2010), que se adapta a los contenidos matemáticos seleccionados, con la finalidad de propiciar que el alumno logre identificar las ecuaciones paramétricas que describen el movimiento desde una perspectiva muy distinta a la matemática escolar, que le sea útil, atractivo y motivador, pues la propuesta lo ubica en un escenario en el que dirige su mirada a obtener e interpretar las ecuaciones paramétricas a su entorno.

El sustento teórico de la secuencia es la Teoría de las Representaciones Semióticas de Duval (2004) pues una vez que el alumno identifica la representación visual del objeto en video, se procesa con Tracker y al señalar la trayectoria se generan en la pantalla del computador los acercamientos numérico (una tabla de datos) y gráfico (tres gráficas). Las expresiones analíticas del movimiento f ( x , y , k )=0 y {x=x ( t ) , y= y (t ) } se determinan en GeoGebra a partir de la tabla de datos y la rutina de ajuste de funciones.

Durante el proceso emergen las representaciones semióticas visual, analítica, numérica, gráfica, verbal y escrita de acuerdo al marco de la Teoría de Duval (Figura 2), que los alumnos relacionarán mediante tratamientos y conversiones para obtener un modelo matemático de la situación problema.

La propuesta emplea la metodología ACODESA (Hitt y González-Martín, 2015), con actividades para propiciar el trabajo individual y colaborativo, el debate y la institucionalización como estrategia para el aprendizaje del tema de matemáticas y favorecer la formación de estudiantes capaces de plantear y resolver problemas en distintos contextos, reflejada en la aplicación de las ecuaciones paramétricas a situaciones de la vida cotidiana. En ACODESA se distinguen cinco etapas diferentes, que se describen someramente a continuación:

Trabajo individual. los estudiantes con sus conocimientos previos aproximan la trayectoria del objeto, representadas con una tabla de datos y tres gráficas (t , x ), ( t , y ) y (x , y ).

Trabajo en equipo. Los estudiantes manipulan el Tracker, ubican los ejes coordenados en el lugar más adecuado para trazar la trayectoria que analizarán en GeoGebra, para la obtención del modelo matemático y con este último la obtención de las ecuaciones paramétricas.

Debate. Durante esta etapa, todo el grupo discute los diferentes tipos de objetos empleados y los modelos obtenidos, así como su relación con el TFC y su aplicación al cálculo del volumen de un objeto. Al final de esta etapa, el instructor recoge todas las producciones de los estudiantes;

Figura 2. Representación semiótica del movimiento del tren.

Auto-reflexión (trabajo individual en un proceso de reconstrucción). Esta etapa permite a los estudiantes reconstruir individualmente lo que se hizo en grupos y con ello se fortalece el conocimiento;

Proceso de institucionalización. Se propicia cuando los estudiantes presentan los resultados de las actividades desarrolladas y se observa que los conocimientos adquiridos coinciden con la teoría de las ecuaciones paramétricas, además de que logran identificar el parámetro y su conceptualización.

El taller se desarrolla en varios momentos:

1. El primero se orienta al manejo de los programas Tracker y GeoGebra, para obtener las distintas representaciones semióticas relacionadas con la situación problema selecciona, para ello se cuenta con el video o la fotografía de objeto.

2. El segundo momento se trata de la configuración del video o del objeto para que el usuario obtenga los datos con el software Tracker para ello se les proporciona el manual de usuario:

a. Seleccionan el lugar de la ubicación de los ejes coordenados para describir la trayectoria del movimiento del objeto (Ver manual del Tracker).

b. Activar la vara de calibración.

c. Seleccionar los puntos a marcar con la opción Ajuste del Corte.

d. Definir la masa del objeto.

e. Marcar los puntos sobre el objeto para obtener las coordenadas y su representación en el plano cartesiano respectivo.

3. La actividad desarrollada en el tercer momento se refiere al manejo de los acercamientos numérico y gráfico. Posteriormente se exportan los datos a GeoGebra para el ajuste de la función a la trayectoria seleccionada sobre el objeto.

4. Paralelo al trabajo con Tracker y GeoGebra los alumnos en trabajo individual y colaborativo, responden la actividad correspondiente a la situación problema, que es el cuarto momento.

5. El quinto momento se refiere a que por equipo de trabajo se elabora un informe y se realiza una presentación para se expuesta ante todo el grupo.

Es importante mencionar que el taller se ha diseñado con el propósito de que las actividades motiven al estudiante a aprender matemáticas, que relacione la matemática escolar con el entorno cotidiano, en el que además se involucre a los actores de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, en un ambiente de aprendizaje adecuado con las TIC, en el que se propicie el trabajo individual y colaborativo, en el que tome la iniciativa y sea el responsable de lograr un aprendizaje significativo.

Evaluación

La evaluación del taller se reflejará en tres aspectos:

1. La contestación de la actividad 1 (anexo) que desarrollarán los participantes del taller para cada una de las situaciones problemas durante el tiempo asignado, por ejemplo, el caso del caballito de juguete que trota en una trayectoria casi circular alrededor de un poste fijo, se relaciona con el tema de ecuaciones paramétricas y el concepto de parámetro y se describe en el anexo a este escrito.

2.5 horas

2. Elaboración de un informe de la actividad desarrollada. 30 minutos

3. Generación en PowerPoint de una presentación para la discusión de lo aprendido durante la fase de desarrollo del taller.

1 hora

Conclusiones

Se afirma que incluir situaciones problema relacionados con el contexto de la vida cotidiana en el aula escolar, motivan e interesan, por la forma en que se plantean estas alternativas, para propiciar aprendizaje de las matemáticas, pues “aparentemente” se les responde la pregunta ancestral “para que sirven las matemáticas”, pero eso no infiere que el alumno haya logrado un aprendizaje significativo del tema de matemáticas, por tal motivo el profesor debe de ser cuidadoso, y sobre todo, diseñar instrumentos de evaluación validados, que permitan sustentar que el alumno aprendió matemáticas.

Se plantea en la actualidad, que en un proceso educativo es ideal que se involucre a los actores de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, fortalecido con un ambiente de aprendizaje adecuado con las Tecnologías de la Información y Comunicación, en el que el estudiante, en trabajo individual y colaborativo, puede decidir qué y cómo va aprender, en el que tome la iniciativa, con el firme propósito de lograr un aprendizaje significativo. De igual manera, la importancia del aprendizaje colaborativo es primordial, ya que mediante la interacción social con compañeros de clases, maestros y otros, propician la motivación para que construya su conocimiento.

Referencias bibliográficas

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Pantoja, R. Guerrero, L., Ulloa, R. Nesterova, E. (2016). Modeling in problem situations of daily life. Journal of Education and Human Development, Vol. 5, No. 1, pp. 62-76. Published by American Research Institute. Recuperado el 23 de Mayo de 2016 de http://jehdnet.com/. Electronic Version. DOI: 10.15640/jehd.v5n1a1. ISSN: 2334-2978

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Pantoja, R. y Ortega, M. (2016). La entrevista clínica: opción para indagar el aprendizaje de límites y continuidad. CPU-e. Revista de Investigación Educativa 22. ISSN 1870-5308. Instituto de Investigaciones en Educación. Universidad.

Requisitos de inscripción al taller

Los asistentes son profesores de matemáticas con conocimientos sobre temas específicos:

Nivel medio superior: Funciones lineal, cuadrática y sinusoidales; conocer sobre el ajuste de polinomios a un conjunto de datos; ecuaciones de la parábola y la elipse;

Nivel superior: Además de las anteriores, Razón de cambio; Teorema Fundamental del Cálculo: Áreas, Sólidos de revolución y Longitud de arco.

Requerimientos materiales y de infraestructura

Aula de cómputo con equipos que tengan instalado los programas Tracker () y GeoGebra. En su caso como requisito que los interesados lleven sus computadoras portátiles.

Proyector Pintarrón

Datos de contacto

a) Rafael Pantoja Rangel. b) Departamento de Matemáticas, CUCEI, Universidad de Guadalajara. c) Bulevard M. García Barragán 1421, Edificio V, tercer nivel al fondo, Guadalajara, Jal., S.R. CP 44430. d) (33) 13785900 X 27759.

b) Elena Nesterova. b) Departamento de Matemáticas, CUCEI, Universidad de Guadalajara. c) Bulevar M. García Barragán 1421, Edificio V, tercer nivel al fondo, Guadalajara, Jal., S.R. CP 44430. d) (33) 13785900 X 27759.

c) Rafael Pantoja González. b) Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán, Tecnológico Nacional de México. c) Avenida Tecnológico #100, Ciudad Guzmán, Mpio. de Zapotlán el Grande, Jalisco, México. d) Teléfono: 01 (341) 575 20 50

Semblanza

Rafael Pantoja Rangel. Doctor en Ciencias. Profesor de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad de Guadalajara. Integrante del Cuerpo Académico Consolidado “Matemática Educativa Avanzada” de la Universidad de Guadalajara. Vicepresidente de la Asociación de Mexicana de Investigadores del Uso de la Tecnología en Educación Matemática (AMIUTEM). SNI. profe.rpantoja@hotmail.com.

Elena Nesterova. Doctora en Ciencias. Investigadora de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad de Guadalajara. Integrante del Cuerpo Académico Consolidado “Matemática Educativa Avanzada” de la Universidad de Guadalajara. Perfil PRODEP. elena.nesterova@cucei.udg.mx.

Anexo

Secuencia didáctica: Las ecuaciones paramétricas y la comprensión del concepto de parámetro

Identificación de la secuencia didáctica

Nivel: Medio Superior y Superior

Asignatura: Cálculo diferencial e integral

Tema: Ecuaciones Paramétricas

Conocimientos previos: identidades trigonométricas, ecuaciones cartesianas de las cónicas y definición de función.

Duración: 4 horas

Problema significativo del contexto

Esta actividad es el reto que el alumno enfrenta una vez que ha desarrollado el taller, ya que sin muchas complicaciones encuentra las ecuaciones paramétricas y explicará su relación con la situación problema. La actividad planteada es:

Figura 1. Situación problema: encontrar las ecuaciones paramétricas que describen el movimiento de un carrito de juguete que recorre la pista de carreras.

Actividad. Analizar el video del tren en movimiento que se te ha proporcionado y encontrar las ecuaciones paramétricas que describen la trayectoria del carrito de fricción y responder lo siguiente:

Describir el movimiento del objeto a partir de la observación del video

¿Qué ecuaciones representan la trayectoria del movimiento del objeto?

¿Qué variables identificas y cuál es su interpretación en el movimiento del objeto?

Explicar la diferencia entre variable y parámetro en función del objeto en movimiento.

Objetivos

Que el alumno:

o Identifique cada una de las variables, constantes y parámetros que están presentes en cada una de las trayectorias.

o Relacione la trayectoria de cada uno de los objetos en movimiento con su representación en ecuaciones paramétricas.

Saber conocer

Identidades trigonométricas:o sen (α+θ )=sen (α )cos ( β )+sen ( β )cos (α )

o Asen (θ )+Bcos (θ )=√A2+B2 sen(θ+atan( BA )) , A ≠ 0.

o sen (θ )=cos(θ−π2 )

osen(α +β )=sen( α )cos ( β )+sen ( β )cos( α)

o

Asen(θ )+β cos (θ )=√ A2+B2 sen (θ+ζ ); ζ=tg−1 ( BA )

y

sen(θ )=cos (θ−π2 )

Ecuaciones cartesianas y paramétricas de las cónicas.

o Funciones: Ajustar la función a un conjunto de datos por el método de mínimos cuadrados.

o Manipulación del software GeoGebra: Funciones, Análisis de regresión de dos variables y gráficas de funciones.

Aprender el uso de software Tracker.

o Diseñar el set para grabar los objetos en movimiento, manejo del video, obtener los datos del movimiento del objeto y graficar las variables del objeto en movimiento.

Saber hacer

Obtener la descripción de las situaciones problema de la vida cotidiana de objetos en movimiento y su empleo como fuentes de enseñanza para propiciar el aprendizaje de las ecuaciones paramétricas.

Obtener las distintas representaciones semióticas del objeto en movimiento y relacionarlas para explicar la situación problema a partir de las ecuaciones paramétricas.

Relacionar las ecuaciones paramétricas con las ecuaciones cartesianas y viceversa.

Comprender el concepto de parámetro.

Saber ser

Exponer los resultados de su trabajo individual ante su grupo colaborativo sobre la descripción del movimiento de un objeto.

Mostrar disposición para el desarrollo de las actividades: puntualidad, participación, honestidad, respeto, entre otros valores.

Trabajar en grupo colaborativo para propiciar el aprendizaje de las ecuaciones paramétricas y el concepto de parámetro

Elaborar reportes por escrito de la actividad para presentarlo, discutirlo y defenderlo en la exposición grupal.

Expresar sus ideas y opiniones para reflexionar en su proceso de aprendizaje en el tema de ecuaciones paramétricas.

Respetar la opinión de sus compañeros.

Recursos

Hojas de trabajo, computadora, Tracker, GeoGebra, cámara digital y objetos de juguete: caballo, tren, carro y gato chino de juguete, pistas de carros, entre otros

Actividades para aprendizaje con el docente

Análisis de saberes previos de las ecuaciones paramétricas.

Integración de los grupos colaborativos.

Curso taller para el manejo del software Tracker.

Curso taller sobre ajuste de funciones de datos: Teoría y práctica con el GeoGebra.

Supervisión y apoyo en el desarrollo de las actividades planeadas.

Exposición y discusión grupal de los resultados.

Actividades para aprendizaje autónomo

Selección de las situaciones problemas de la vida cotidiana.

Diseño del set de grabación en video y fotografía de los objetos en movimiento seleccionados.

Manipulación del video con Tracker para la obtención de gráficas y datos.

Obtención de la función ajustada con Tracker o GeoGebra a partir de los datos obtenidos a partir de Tracker.

Discusión en grupo colaborativo de los resultados obtenidos del análisis del video en relación del movimiento del objeto.

Identificación y discusión de las variables y parámetros que participan en la descripción de la trayectoria del objeto en movimiento.

Elaboración del reporte de la actividad.

Generación de la presentación de los resultados en PowerPoint y discusión grupal.

ACTIVIDAD: El movimiento de un caballo de juguete alrededor de un poste fijo.

Introducción

La actividad se refiere a la selección de la situación problema, en este caso, un caballo de juguete, que sujeto a un poste fijo gira con velocidad constante y su movimiento describe un acercamiento a una trayectoria circular, ya que la cuerda, sujeta entre cabeza y cuello, no se mantiene tensa todo el tiempo. Este ejemplo es una analogía de una situación real, un caballo (Figura 2) sujeto a un artefacto que contiene una piedra de molino, que gira en torno a un depósito de pencas de agave o de maguey para extraer el néctar, materia prima que es empleada en la producción del mezcal y del tequila.

Figura 2. Caballo empleado en la producción del mezcal y del tequila. https://mx.search.yahoo.com/caballo+en+la+molienda+del+maguey.

Se diseña el set para grabar al caballito, como se muestra en la figura 3, en la que se ubica sobre una mesa el objeto y en la parte superior la cámara de video, para captar desde la altura la trayectoria del movimiento del objeto. Es importante que en el video o fotografía se ubique una unidad de medida, que será la interfase entre el mundo real y la computadora, pues se considera importante que las medidas obtenidas con los datos arrojados por el Tracker, se aproximen a las particulares del objeto en la realidad, en este caso, que en las ecuaciones encontradas se identifique la longitud de la cuerda del poste al caballito (radio del círculo) y el punto de partida del movimiento real (ángulo de fase).

Figura 3. Set de grabación de la situación problema.

Análisis del video 1: Ecuaciones paramétricas del círculo. (20 minutos)

En esta actividad se pretende que con el análisis del video del caballo (Caballito.mp4) que gira alrededor de un poste, el alumno comprenda el significado de las ecuaciones paramétricas y el concepto de parámetro.

1. Abrir el video Caballito.mp4

1. Describe el movimiento de la trayectoria del caballo de juguete:

2. Una vez que observaste el video del caballo ¿se te ocurre alguna forma gráfica que represente el recorrido de su movimiento? Si (__) No (__). En el espacio siguiente traza el bosquejo de la forma gráfica e identifica las variables.

Conoces alguna expresión matemática que describa la trayectoria: Si (__) No (__).

En caso afirmativo escribe la expresión:

Durante el recorrido del caballo:

¿Cuánto tiempo estuvo activo? ______________.

¿Cuánta distancia recorrió al total el caballo en este tiempo? ____________.

¿Detalla cómo ubicarías la posición del caballo en el eje x en cualquier momento?

¿Detalla cómo ubicarías la posición del caballo en el eje y en cualquier momento?

Escribe en la tabla, las variables, parámetros o constantes que intervienen en el movimiento del objeto, esto es, el desplazamiento del caballo:

Variables Parámetros Constantes

Para cada una de las variables, parámetros o constantes que identificaste, describe lo que significan en términos del movimiento del objeto y señala el intervalo de datos correspondientes:

o Variables:

o Parámetros:

o Constantes:

Repaso sobre de la teoría de las ecuaciones paramétricas.

Las ecuaciones paramétricas son aquellas ecuaciones en las que las variables intervinientes, se expresan en función de una tercera variable, designada regularmente por la letra t , la tercera variable, comúnmente llamada parámetro y las ecuaciones se representan de la siguiente forma general: {x=f (t ), y=g (t)}. Es muy importante aclarar que dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva en el plano cartesiano, lo que facilita la descripción de un objeto en movimiento, porque en forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo que se determinan los valores correspondientes a xy y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Al graficar los puntos en un plano cartesiano se obtiene una curva, representación gráfica de las ecuaciones paramétricas.

Uno de los primeros acercamientos a las representaciones paramétricas fue el desarrollado por Galileo, con la descomposición del movimiento de un objeto esférico que rueda por un riel sin fricción y lanzado en caída libre por la aceleración de la gravedad cuando abandona el riel. Galileo estudia a profundidad el movimiento de proyectiles y para ello construye artefactos como el mostrado en las figura 4 a y b, utilizado en los experimentos relacionados con el plano inclinado, representado por una canaleta por la que se desplaza una esfera, que se utiliza para simular el tiro parabólico, para posteriormente medir el alcance de la esfera y su relación con la altura, ajustar los datos experimentales y los resultados los plasma en sus folios, como el mostrado en la figura 4 c (81r).

a b c

Figura 4. Artefacto utilizado por Galileo para el movimiento de una partícula en un plano

inclinado. Figuras obtenidas de http://catalogue.museogalileo.it/gallery/InclinedPlane_n01.html.

Uno de los resultados importantes de analizar el movimiento de proyectiles descubierto por

Galileo, es que plantea la descomposición del movimiento: desplazamiento horizontal y uniforme

(gráfica x contra t) representado por una ecuación lineal x = m t+b y otro en el desplazamiento

vertical y uniformemente variado (gráfica y contra t) caracterizado por un polinomio de segundo

grado 𝑦 = 𝑎 t 2 +𝑏 t +𝑐, situación que se documenta matemáticamente, con la finalidad de

solucionar problemas relacionados con el lanzamiento de proyectiles, de caída libre y del plano

inclinado. (Tabla 1), se muestra el lanzamiento de un balón de basquetbol y que genera tres

gráficas que el Tracker pone a disposición del usuario, una vez que se señala la trayectoria del

movimiento del objeto en video:

Una es la trayectoria de la parábola en función de las variables x, y, el el plano ; otra es el movimiento de la variable (x) en función del tiempo (t), que es una línea recta,

con la gráfica en el plano yt-y; la tercera que es una parábola que describe el movimiento de la variable (y) con respecto

al tiempo (t)., con la gráfica en el plano y-t

De acuerdo a esta interpretación de Galileo, la trayectoria del lanzamiento del balón es una

parábola (ecuación de segundo grado), la variable x con respecto del tiempo (t) es una recta en el

plano x-t, mientras que el movimiento de la variable (y) describe otra parábola, distinta a la

asignada a la trayectoria en el plano. Este tema es uno de los más tratados en el aula ya sea desde

la ecuación cuadrática en álgebra o en geometría analítica como la parábola, pero en ambos casos

se presenta de manera algorítmica y disgregados, además de que se ignora la representación

paramétrica y las conversiones numérico-analítico, por ejemplo. En otro caso, que por lo general

se le atañe a la Física, se lanza el balón se discute que la trayectoria en una parábola, pero por lo

general no se determina su ecuación, a menos que de inicio se proporcionen datos y se sustituyan

en las ecuaciones de movimiento uniformemente acelarado.

Tabla 1. Imagen del lanzamiento, gráficas y ecuaciones del lanzamiento del balón.

Trayectoria del balón

. Gráfica y vs. x

Gráfica x vs t Gráfica y vs t

En los ejemplos 1, 2 y 3 se presentan las ecuaciones cartesianas y paramétricas de la parábola,

recta, círculo y elipse.

Ejemplo 1. Ecuación paramétrica de la parábola

Ecuación cartesiana de la parábola

y=ax2+bx+c

Ecuaciones paramétricas de la parábola

{x=mt+k , y=At2+Bt +C }

Ejemplo 2: Ecuación Paramétrica de la recta

Ecuación cartesiana de recta:y=mx+b

Ecuaciones paramétricas de la recta:

{x=at +b, y=ct+d }

Ejemplo 3. Ecuación paramétrica del círculo

Ecuación cartesiana del círculo

x2+ y2=r2

Ecuaciones paramétricas del círculo:

{x=a cos(t ), y=a sin(t)}

Ejemplo 4: Ecuación Paramétrica de la elipse

Ecuación cartesiana de la elipse

x2

a2 + y2

b2 =1

Ecuaciones paramétricas de la elipse:

{y=bsen (t), x=a cos (t)}

Actividad con Tracker

Tracker es un programa de análisis de video y construcción de modelos, desarrollado con Java y está diseñado para ser usado en la enseñanza de la Física y en esta propuesta se presenta como una alternativa como una herramienta que permita describir las situaciones problema de la vida cotidiana, como el recorrido de un tren de juguete en sus vías de forma circular y elíptica, pues permite al usuario, a partir del video, construir gráficas, datos y un acercamiento analítico.

Es posible instalar Tracker en diferentes sistemas operativos como Windows, Mac OS X y Linux, y se puede descargar de sitio http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/ , en el que se muestran diferentes opciones de acuerdo al que se desea instalar. En el manual se describen los pasos a seguir para emplear el Tracker el análisis de video de cuerpos en movimiento, en este caso, el de un tren que recorre vías de forma circular o de alguna otra forma y el movimiento del brazo de un gato chino de la suerte.

Al abrir Tracker, aparece la ventana principal del programa en la cual se muestran las siguientes secciones: vista principal del video (1), vistas graficas (2), vista de datos (3), barra de menús (4), barra de herramientas (5) y deslizados de tiempo (6). Figura 5.

Figura 5. Ventana principal de Tracker

En la barra de menús, seleccionar Archivo y elegir la opción Abrir. Aparecerá una ventana en la cual se muestran archivos. Buscar la ubicación del video que se desea analizar y una vez encontrado, seleccionarlo y dar clic en el botón Open o bien, dar doble clic sobre el archivo. Figura 6.

Figura 6. Selección del video a analizar.

Al abrir el video seleccionado, vista principal de video, se procede a definir el intervalo del video que será analizado. En el deslizador de tiempo se encuentran dos marcas en forma de punta de flecha de color negro, una al inicio del deslizador y otra al final. Ajustar tales marcas de modo que con ellas se delimite la parte del video que será analizada. Figura 7.

Figura 7. Herramienta del video y controles del video.

Definir el tamaño de paso significa determinar el número de cuadros del video se consideran para la señalización de la trayectoria. De las “Opciones de calibración” entre la vida real y el Tracker. Figura 8.

Figura 8. Tamaño de paso y ajuste de la vara de calibración

Con un clic sobre los ejes coordenados aparece sobre la pantalla el sistema coordenado, que el usuario ubica donde mejor le convenga. Figura 9.

Figura 9. Ejes coordenados y ajuste del origen la posición inicial del objeto por analizar.

El recorrido del caballo de juguete que se identifica como el objeto en movimiento, que en Tracker se conoce como una Masa Puntual que se interpreta como el objeto en video a analizar. Figura 10.

Figura 10. Herramienta de masa Puntual.

Para señalar la trayectoria de la masa puntual se presiona Shift+clic, que se manifiesta con un cambio en el puntero del cursor. La marca de la trayectoria es la correcta si aparece un punto sobre la gráfica y las coordenadas correspondientes en la tabla de datos. Figura 11.

Figura 11. Marcas de las primeras posiciones del cuerpo en movimiento.

Se repite Shift+clic para señalar toda la trayectoria del caballo, de forma paralela se marcarán los puntos de posición en el plano cartesiano y los datos quedarán registrados en la tabla. Figura 12.

Figura 12. Trayectoria de la masa puntual del objeto en movimiento.

En la Figura 13, se presentan las gráficas del cuerpo en movimiento correspondientes a la distancia horizontal y vertical recorrida de acuerdo a diferentes tiempos, la distancia horizontal respecto a la vertical y las tablas que representan estos valores.

Figura 13. Vista gráfica y tabla de datos del desplazamiento del tren con respecto al tiempo.

Una vez que ya se realizó el análisis del video que representa el recorrido del caballo de juguete con el programa Tracker, con el fin de obtener la tabla de datos numéricos y gráficas representativas de la situación. Dibuja y explica cada una de las gráficas que te muestra Tracker.

Gráfica 1

Gráfica 2

Gráfica 3

Completa la siguiente tabla:

Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3

¿Que representan las variables?

¿Qué relación existe entre el video y lo representado en la gráfica?

Explica lo que significa t en función del movimiento

Escribe una expresión algebraica que represente la información de la gráfica

¿Que representan las variables?

¿Qué relación existe entre el video y lo representado en la gráfica?

Explica lo que significa t en función del movimiento

Escribe una expresión algebraica que represente la información de la gráfica

¿Que representan las variables?

¿Qué relación existe entre el video y lo representado en la gráfica?

Explica la relación que existe entre la gráfica y las coordenadas (x , y ) en función del movimiento

Escribe una expresión algebraica que represente la información de la gráfica

Actividad con GeoGebra

Se copian las tablas de datos de Tracker y se pegan en la vista de la hoja de cálculo de GeoGebra. Una vez que se han exportado los datos a GeoGebra, se selecciona la opción Análisis de Regresión de dos variables Modelo de regresión Sinusoidal Copiar a Vista Gráfica. Figura 14.

Figura 14. Funciones ajustadas con el uso de GeoGebra.

Las ecuaciones paramétricas del círculo son:

Con centro en el origen (0, 0)

x (t )=A cos (Bt+C) y ( t )=Asen ( Bt+C )

Con centro fuera del origen (x¿¿0 y¿¿0)¿¿

x (t )=x0+ A cos (Bt+C) y ( t )= y0+A cos(Bt+C )

Grafica 1:

Escribe los parámetros de proporcionados por Tracker

A=

B=

C=

Interpreta estos valores en función del movimiento del caballito

Grafica 2:

Escribe los parámetros de proporcionados por Tracker

A=

B=

C=

Interpreta estos valores en función del movimiento del caballito

Las funciones ajustadas con GeoGebra son dos funciones que están en términos de la función seno:

x (t )=R1 sen ( A1t +B1) y y ( t )=R2 sen ( A2 t+B2 ).Esta parte de la actividad consiste en cambiar una de estas ecuaciones a la forma de la función coseno, para ello se sugiere emplear las identidades trigonométricas que se hallan en el cuaderno de trabajo. En el espacio escribe tu desarrollo:

¿Qué parámetros y variables logras identificar que participan en la trayectoria del caballo?

¿Encuentras alguna diferencia entre parámetro y variable? Si (__) No (__) ¿Cuál?