combinando cálculos · para resolver cálculos combinadosdebés separar en términosy resolverel...

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Combinando cálculosCuando nos enfrentamos a un problema, a veces no hace falta realizar ninguna

operación y otras veces hay que hacer una o varias. Resolverlo es muy fácil:debemos leer el enunciado con atención, reflexionar sobre lo que nos propone y,por último, combinar los datos.

Libros para la biblioteca Liliana recibió una donación de material para su biblioteca. Necesita saber

cuántos libros recibió en total antes de abrir los paquetes, para verificar queestén todos los libros que sabe que recibiría en la encomienda. Si no se debenabrir los paquetes y contar uno por uno, ¿cómo harías para saber cuántoslibros en total recibió Liliana?

3 paquetes,en pilas de

4 libros cada uno.

MATEMÁTICA:

4 paquetesen pilas de

6 libros cada uno.

CUENTOS:


3 libros cada uno.

SOCIALES:


3 libros cada uno.

NATURALES:

este es ellistado de ladonación de

libros para labiblioteca.

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37Ejercicios combinados

3

Sofía y Juan ayudan a sus papás en el negocio de la familia: una casa de música. Estánacomodando los CD de oferta . ¡Tienen muchísimos! Los reúnen según sean de música clásica,folclore, pop latino, rock nacional o intérpretes internacionales y realizan la lista de precios:

En este proyecto aprendemos…

Música clásica ........................$7Folclore ................................$10Pop latino ..............................$9Rock nacional ......................$12Intérpretes internacionales ....$8

1. Juan contó la cantidad de los CD y realizó el siguiente cálculo:

5 x 7 + 8 x 10 + 5 x 9 + 10 x 12 + 7 x 8

a. Escribí de dos maneras diferentes el cálculo que realizó Juan.

…………………………………………………………………...........…………………………………................................................................……………………

b. Sofía, dice que el resultado del cálculo es $330. ¿Tiene razón? Justificá tu respuesta.

¿Cuánto dinero serecaudará con la venta deestas ofertas? Tenemos 5 de

música clásica, 8 defolclore, 5 de pop latino, 10

de rock nacional y 7 deinternacionales.

En un cálculo combinado intervienen varias operaciones. Algunas tienen prioridad, por eso esimportante que conozcas estos pasos:

• Se separa el cálculo en términos. Para ello es importante encontrar los signos + o – .• Se resuelve cada término.• Se suman o restan los resultados de cada término para obtener el resultado final.• Si el combinado tiene paréntesis, ¡atención!, se resuelven primero.

Siguiendo los pasos, el cálculo se resuelve así:

5 x 7 + 8 x 10 + 5 x 9 + 10 x 12 + 7 x 835 + 80 + 45 + 120 + 56 =

3. Observá los cálculos combinados y uní con flechas cada cálculo con su posible solución:

3 x 6 + 50 : 2 - 2 x 5 = 2 - 2 + 3.000 = 3.000

8 : 4 - 10 : 5 + 3 x 1.000 = 2 - 10 + 15.000 = 14.992

3 + 6 x 50 : 2 - 2 x 5 = 18 + 25 - 10 = 33

8 : 4 - 10 + 5 x 3 x 1.000 = 3 + 150 - 10 = 143

2. Resolvé estos combinados. ¡Recordá separar en términos y seguir el orden correspondiente!

a. 12 : 4 + 25 x 4 – 3 x 7 + 6 =

b. 84 : 4 + 120 + 48 : 3 – 8 : 1 =

c. 8 x 10 – 40 : 10 + 2 x 1.000 – 3 x 200 =

d. (25 + 7) x 8 + 19 : 1 + 200 : 5 =

Tu turno

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3838 Propiedades

3

Los números se mueven Observá los siguientes cálculos ycompletá con = o ≠.

6 x 5 x 2 (6 x 5) x 2

8 : 4 : 2 8 : (4 : 2)

6 + 5 + 2 6 + (5 + 2)

6 – 3 – 2 6 – (3 – 2)

Resolvé y observá quésucede con los resultados.

3 x 7 x 9 =

(3 x 7) x 9 =

3 x (7 x 9) =

9 x 7 x 3 =

7 x 3 x 9 =

La operaciones matemáticas tienen algunas propiedades que las caracterizan.Propiedad asociativa: en la multiplicación se pueden reemplazar dos o más factores por el producto

ya efectuado o agrupar los factores de diferente manera sin modificar el resultado.Propiedad conmutativa: en la multiplicación el resultado no varía al cambiar el orden de los factores.

Ramón y Julio están transportando bolsas de 15 kg aun galpón. Julio realizó 3 viajes. En el primero llevó 3bolsas, en el segundo 2 bolsas y en el tercero 4bolsas. Ramón realizó 2 viajes. En el primero llevó 4bolsas y en el segundo 5. Escribí en forma de cálculolas acciones realizadas y resolvé para saber lacantidad de kilogramos que transportó cada uno.

Julio .........................................................................................................

Ramón ....................................................................................................

•¿Qué descubriste? ..........................................................................

En grupo ¿En qué otra operación se verifican estas propiedades? .........................................................................

• Justifiquen su respuesta resolviendo los siguientes cálculos:

a. 3 x 7 x 6 x 8 =

b. (6 x 7) x (3 x 8) =

c. 45 – 17 – 3 =

d. 45 – (17 – 3) =

e. 32 + 10 + 15 =

f. 10 + (32 + 15) =

g. 80: 10 – 5 =

h. 80 : (10-5) =

15 x (2 x 40)

18 x 3 + 7

45 : 5 - 8

22 + 42 + 91

22 + 133

9 - 8

(15 x 2) x 40

54 + 7

• Redacten una conclusión …………………………………………………………………………………

Identificando las propiedadesasociativa y conmutativa, uní loscálculos con igual resultado.

¿Qué propiedad hace verdadera la igualdad? Escribí el nombre de la propiedad y el resultado delcálculo.

a. 28 + 35 + 20 = 63 + 20

b. 120 x 2 x 10 = 10 x 120 x 2

c. 35 x 9 = 9 x 35

d. 18 x 2 + 31 x 3 = 36 + 93

≠ este símbolo

significa distinto.


Potenciación

3

Una historia matemática

39

La mamá de Julieta le cuenta una historia a su hermanita:“Cuenta la leyenda que en el país de Nomeacuerdo todas las casas tienen 2 balcones y en cadacuadra tienen el doble de casas que en la cuadra anterior…”

Julieta escuchaba el relato y decidió dibujar las casas. Lo hizo así:

1. Julieta quiere saber cuántos balcones hay en la cuarta cuadra. ¿Y en la décima?

• Contanos cómo lo resolviste: ..........................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

1.a cuadra 2.a cuadra 3.a cuadra 4. a cuadra

Podés escribir matemáticamente la situación. Hay una operación llamada potencia.Llamamos potencia a una multiplicación en la cual todos los factores son iguales.

base 22 = 2 x 2 = 4

exponente

potencia

Llamamos factor a cada elementode la multiplicación.

Llamamos producto al resultadode la multiplicación.

2. En la primera cuadra hay 2 balcones.En la segunda cuadra 2 x 2 = 22 = 4 balconesEn la tercera cuadra 2 x 2 x 2= 23 = 8 balcones

3. Completen el cuadro:

1.a cuadra 2 balcones

2.a cuadra 4 balcones 2 x 2

balcones 2 x 2 x 2

4.a cuadra

5.a cuadra

10.a cuadra

Acortando renglones Expresá como potencia y hallá los resultados:

De todo un poco Completá el dato faltante:

2 x 2 = 2 = 2 x 2 x 2 = 2 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 =

3 x 3 = 3 = 3 x 3 x 3 = 3 = 3 x 3 x 3 x 3 = 3 =

52= 3= 64 2= 81 1001=


3

Aprendiendo un poco más

4040 Potenciación

se lee m al cuadrado.se lee m al cubo.

Todo número elevado a la 1 es equivalente al mismo número.Todo número elevado a la 0 da como resultado 1.

m x m = m2

m x m x m = m3

Pintá con un círculo del mismo color cada potencia y su cálculo correspondiente:

a. 32 + 171 - 23 =

b. 72 + 24 - 62 =

c. 80 x 82 + 101 + 42 =

d. 121 + 24 + 22 x 22=

32 23

41 24

102 80

a. 2 x 42 + 83 : 2

b. 32 - 22 + 3 x 43

c. 103 : 2

100 84 9

1 16

¡Ahora te toca a vos! Resolvé los cálculos aplicando lo que aprendiste sobre potencia:

Felipe quiere sorprender a su compañero. Le propone unir con flechas cada expresión con el cálculocorrespondiente.

Tres al cuadrado menos dos al cuadradomás el triple de cuatro al cubo.

La mitad de diez al cubo.

El doble del cuadrado de cuatro más lamitad de ocho al cubo.

Con un poco más de atención

Ahorros multiplicativos Matías ahorra billetes de $10. Cada mes guarda el doble que el mes anterior.

Si el primer mes ahorró 2 billetes...a. ¿Cuántos billetes de $10 ahorró a los 3 meses?b. ¿Cuál de las siguientes operaciones elegirías para averiguar cuántos de estos billetes juntará en

11 meses?

2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 11

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2


41Radicación

3

Explorando la calculadoraSanti descubrió una tecla nueva en su calculadora. Tenía marcado y al teclear el número 100 el resultado fue 10.

Luego marcó y al teclear 25 el resultado fue 5.Santi pensó y pensó hasta que …

La operación inversa de la multiplicación es la división.20 : 4 = 5 4 x 5 = 20

La operación inversa de la suma es la resta.8 + 2 = 10 10 - 2 = 8

¡Lo descubrí!

es la operación

contraria de la

potenciación!

Santi descubrió que la operación inversa a la potenciación es hallar el número que multiplicadopor sí mismo tantas veces como indica el exponente da por resultado dicha potencia:

42 = 16 16 = 4

El nombre de la operación inversa de la potenciación es radicación. Sus partes son:

16 = 4 índice

radicando

raíz2

Ya en carrera Uní con flechas. Ayudate:

16 10 → x =

25 6 → x =

100 5 → x =

36 4 → x =

Echando raíces Pensá y justificá con ejemplos: ¿todos lo números tienen

raíz cuadrada?

¿Qué te falta para llegar a la raíz? Completá de acuerdo con el ejemplo dado:

= 2 Porque 2 x 2 = 4

49 = 9 = 144 =

Porque x = Porque x = Porque x =

4


4242

3

Todo combinadoPara resolver cálculos combinados debés separar en términos y resolver el interior de cada

término. Primero potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas.

Seguí los pasos y resolvé:

23 x 100 : 40 - 169 = 100 : 10 + 82 : 8 - 81 : 32 =

(52 + 25 - 23)0 + 16 : 4 = 33 : 30 + 52 . 49 - (10000 . 101 + 100 ) . 250 =

a)

b)

c)

d)

Con potencias y raíces Resolvé estas situaciones problemáticas aplicando las nuevas operaciones aprendidas.

a. Fede se entrena para las olimpíadas matemáticas de la escuela. Cada día realiza el doble de losproblemas matemáticos del día anterior. Si el primer día resolvió 2 problemas, ¿cuántos realizó elquinto día?

b. El tablero de ajedrez de Julieta tiene 64 casilleros. ¿De cuántos casilleros será cada lado del tablero?

c. La mamá de Mariela tiene 3 carteras. En cada una tiene 3 sobres y en cada sobre 3 tarjetitaspersonales. ¿Cuántas tarjetitas tiene en total?

d. Carolina dice que puede crear adivinanzas matemáticas. En un papel escribe + = 12.

¿Qué valores tendrán los radicandos si la pista es que ambos números son distintos y están en losresultados de la tabla del 9?

Animate con estos Resolvé estos cálculos combinados:

a. 15 + 115 + 110 =

b. 36 +(42 x 42) + 6 =

c. 32 + 23 + 25 x 25 =

d. (42 + 5)2=

e. ( 16 - 4 )2 =

f. 100 + 49 x 3 + 820 x 0 =

g. (81 : 9 + 52)1 x 4 =

h. 24 : 6 + 33 : 3 - 80 : 10 =

i. 150: 3 - 23 x 41+ 81 - 16 =

j. 4 + 42 + 41 + 40 - 4 =

En grupo ¡Se escaparon los números! Los fugitivos se escaparon de sus puestos. Ubiquen correctamente los

números para que se cumpla la igualdad.

Potencias y raíces


43Círculo y circunferencia

3

Redondo, redondoEn una circunferencia todos sus puntos están a igual distancia del centro.El interior de la circunferencia se llama círculo.

Diámetro

Radio

Arco

¡A divertirse!Para jugar con cuatro compañeros: Armá todas las tarjetas en cartón, copiando los dibujos y las definiciones. Colocalas boca abajo,

mezclalas y utilizando la memoria, en la menor cantidad de movimientos posibles, hay queencontrar las parejas de todas las tarjetas.

A medida que se van encontrando, se retiran. El que lo hace en menor cantidad de movimientosgana.

RADIO

DIÁMETRO CÍRCULO CUERDA

SEMICIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA

SEMICÍRCULO ARCO

Juego de parejas Observá todas las tarjetas, algunas tienen dibujos y otras, definiciones.

• Pintá del mismo color el dibujo que corresponde con su definición.• Si no lográs encontrar todas las parejas del juego, deberás completar con el dibujo o la definiciónque haga falta para que todas tengan su tarjeta pareja.

El diámetro de lacircunferencia es una línea queva de un punto a otro de ellapasando por el centro.

Cuerda

Circunferencia

Círculo


4444 Construcciones de circunferencias

3

Con el compásPara dibujar con mayor exactitud circunferencias se utiliza un elemento de geometría:

el compás.Se utiliza así:1. La punta del compás se coloca en el centro del

futuro círculo, haciendo un poco de presión paraque no se mueva.

2. Se toma el compás del extremo en el que se juntansus brazos.

3. Se hace girar el brazo con mina de lápiz de modoque vaya marcando en la hoja el círculo. ¡Listo!

Atención: La distancia entre la punta que indica elcentro del círculo y el brazo con mina de lápiz será lamedida del radio del círculo.

Construcciones rarasLa maestra de 6º escribió en el pizarrón lasiguiente consigna:

Trazar una circunferencia quecumpla la siguiente condición: pasar por los dos puntossiguientes.

Nuria consideró los dos puntos de lasiguiente manera: tomó como centro elpunto B y trazó la circunferencia tomandocomo radio la distancia del punto A alpunto B.¿Por qué esta circunferencia no cumple lacondición dada? Explicá en tu carpetacómo lo pensaste.

Pedro hizo así:

• Medí la distancia del punto A al punto C:………• Medí la distancia del punto B al punto C:………• ¿Por qué esta circunferencia sí cumple con la condición dada?• Construí un segmento de 6 cm en tu carpeta, y luego, construí la circunferencia que pasa por losdos puntos.• Comentá en grupo tus procedimientos.

A

B

A

B

A

C

B


45Círculo y circunferencia

3

Formas circulares

Ahora pensá y respondé:a) El diámetro del arenero es de 2 metros. ¿Cuánto mide el radio?b) El radio del cantero mide 40 cm. ¿Es cierto que su diámetro mide 20 cm?c) Si el anillo tiene un diámetro de 3 cm, ¿puede ser que su radio mida más de 3 cm?d) ¿Qué creés más adecuado, que el diámetro del aro de básquet sea de 46 m o de 46 cm? • Explicá cómo lo pensaste.

Mirá a tu alrededor…• ¿Qué cosas con forma de círculo ves? ¿Y de circunferencia?• ¿Qué radio pensás que pueden tener? ¿Y diámetro?

Dibujá, en tu carpeta, algo con forma de círculo y algo con forma de circunferencia. Anotálas medidas que te parezcan adecuadas para sus diámetros y para sus radios.

Conversá con tus compañeros y compará tus dibujos con los suyos.

CÍRCULO CIRCUNFERENCIA




Observá cada imagen. ¿Son círculos o circunferencias?• Tachá lo que no corresponda.

En tu carpeta1. Con la ayuda del compás dibujá 5 circunferencias. Luego determiná el radio y el diámetro de cada

una de ellas marcando las líneas correspondientes y midiendo con ayuda de la regla.2. Dibujá las siguientes circunferencias usando el compás:

a. De un radio de 4 cm.b. De un diámetro de 6 cm. ¿Qué medida de apertura le darás al compás?c. De un radio mayor a la raíz cuadrada de 4.d. De un diámetro inferior al cubo de 2.

Y para escribir un poquito más... Redactá las instrucciones para utilizar el compás al trazar una circunferencia de 6 cm de radio.


464646

Todos juntos nos evaluamos

46 Todos juntos nos evaluamos

Ya lo sabés Sobre la base de lo aprendido, uní cada cálculo con el resultado que

se obtiene tras haber aplicado alguna de las propiedades estudiadas:

25 x (2 x 10) 15 + 225

45 x 5 + 15 4 x 6

4 x 2 x 3 90 + 91

28 + 91 + 62 (25 x 2) x 10

¿Qué propiedad se aplicó en cada caso? Anotala al lado de cada ejercicio.

Calculando los cuadrados Averiguá cuántos cuadrados hay en cada figura. Expresalo en forma de potencia:

Resolvé cada raíz y realizá un dibujo como los presentados en el punto anterior:

49 = 36 = 64 =

Dos muy combinados

(5 x 6 + 100 : 2 – 64) - 32 . 3 = 25 + 100 : 50 + 46 : 44 =

Indicá si las siguientes expresiones son verdaderas (V) o falsas (F).

a) 52 + 52 + 50 + 5 = 50 + 1 + 5 b) 24 : 23 = 2

c) 102 . 103 = 100 d) 70 . 72 = 49


4747Todos juntos nos evaluamos

Completá y trazá El segmento que divide a la circunferencia en dos partes iguales es el

Me salió muy bien.

Me salió bien.

Debo seguir practicando.

PintPintá la carita que corresponda.á la carita que corresponda.(Si es necesario, hacé las correcciones (Si es necesario, hacé las correcciones

en tu carpeta)en tu carpeta)

Tachá lo que no es:• La línea que une dos puntos de una circunferencia se llama:

ARCO CUERDA

• Marcala en la circunferencia:

Para construir En tu carpeta, construí una circunferencia de 3 cm de radio y otra circunferencia de 7 cm

de diámetro. ¿Qué elementos utilizaste?

Compará Juana hizo un mantel redondo de 1,5 metros de radio.

Lorena hizo otro de 3 metros de diámetro.• ¿Para cuál mantel se utilizo más tela?


48

Todos juntos aprendimos

Todos juntos aprendimos

Completá los esquemas organizando todo lo que aprendiste en este proyecto. Si es necesario, volvéa consultar las páginas anteriores.

Si te costó realizar esta tarea, podés repasar un poco más las ideas. Si la completaste sin dificultad,podés avanzar al siguiente proyecto.

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Con los signos ..................... o..................... se separa el cálculoen términos.

Es el segmento que une el.................................. de la................................... con cualquierpunto de ella.

Todos los puntos de lacircunferencia más los puntosinteriores a ella.

Es el segmento que une dospuntos de la circunferencia ypasa por el centro de ella.

Se resuelve cada ...........................

..................................................................

..........................base

Radio

................................................................................

...........................

potencia .......................... radicación ..........................

Radicación

Se ................................... orestan los resultados decada ..........................

Se obtiene el................................. final

Si tienen paréntesis seresuelven .....................................

Cálculos combinados

Si una multiplicación tiene todos sus factores iguales

Circunferencias

Operaciones inversas

Cuando intervienenvarias ..................................


Todos juntos pensamos

Todos juntos pensamos

Si necesitamos comprar 6 gaseosas a $12cada una, tres docenas de facturas a $55 cadadocena, cuatro docenas de cubanitos a $22 ladocena y tres cajas de helados de agua a $26cada caja…• ¿Nos ahorra tiempo saber escribir en una sola

expresión todos los cálculos combinando lasoperaciones para calcular cuánto debemos pagaren total?

Para una campaña de tapitas plásticas,se contaron 25 bolsas con 85 tapitasverdes cada una, 32 bolsas con 58 tapitasrojas cada una y 95 bolsas con 35 tapitasblancas cada una.• ¿Sirve aprender a realizar un solo cálculo

para averiguar cuántas tapitas se juntaron entotal?

Para leer, analizar, intercambiar opiniones y responder en grupo.

Pensamos y anotamos otras situaciones en las que nos haya sido útil saber lo que aprendimos eneste proyecto.

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Si queremos armar 3 ramos de flores,cada uno con una docena de margaritas, 5rosas y el triple de claveles que de rosas,para saber cuántas flores en totalnecesitamos… • ¿Nos ahorra tiempo saber armar este

cálculo combinado: (12 + 5 + 3 x 5) x 3= 96?

En la escuela juntamos $146 de las rifasvendidas y $128 vendiendo golosinas. Con esedinero queremos pagar el arreglo de 2 vidriosrotos de $45 cada uno, comprar 4 cajas detizas de colores a $15 cada caja y 3 cajas dehojas cuadriculadas a $32 cada una. Para sabersi nos alcanzará el dinero…

¿Es útil saber que podemos hacer un solocálculo escribiéndolo así?

Calculamos también cuánto nos sobra:(146 +128) – (2 x 45) – (4 x 15) – (3 x 32)= 28


combinando cálculos · para resolver cálculos combinadosdebés separar en términosy resolverel...

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