colegio salesiano “ramón izquierdo”.número real, y f(x)=tg(x) es continua en todo número...

Colegio Salesiano “Ramón Izquierdo”. Avd. María Auxiliadora, nº 4 (06011). Badajoz. Tfno: 924230854 . Fax: 924251025. E-Mail: [email protected]

Tema 10: Continuidad de funciones

Definición: Una función f es continua en un punto x0 si se verifican las tres condiciones siguientes:

a) Existe la función en x0: f(x0)

b) Existe el límite cuando x tiende a x0 de la función: )(0

xfLimxx

c) Ambos valores coinciden: )()( 00

xfxfLimxx

Si no se cumple alguna de estas tres condiciones, diremos que la función es discontinua en x0.

Definición: Una función f es continua por la izquierda en un punto x0 si y sólo si )()( 00

xfxfLimxx

Definición: Una función f es continua por la derecha en un punto x0 si y sólo si )()( 00

xfxfLimxx

Luego una función es continua en un punto si y sólo si lo es por la derecha y por la izquierda.

Definición: Una función f es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada uno de los puntos del

intervalo.

Definición: Una función f es continua en un intervalo cerrado si y sólo si es continua en el intervalo abierto, es

continua por la derecha en el extremo inferior y continua por la izquierda en el extremo superior.

Tipos de discontinuidades:

- Discontinuidad evitable: cuando existe el límite de la función y es finito, pero no coincide con el valor de la

función o este valor no existe.

- Discontinuidad no evitable:

o De salto finito: los límites laterales existen y son finitos pero no coinciden.

o De salto infinito: los límites laterales existen, pero al menos uno es infinito.

o Esencial: alguno de los límites laterales no existe.

Propiedades de las funciones continuas.

- La función constante es continua en todo su dominio (en todos los números reales).

- La función identidad, f(x)=x, es continua en todo su dominio (en todos los números reales).

- Si f y g son dos funciones continuas en un punto x0, se verifica que:

o f+g es continua en x0.

o f·g es continua en x0

o k·f es continua en x0

o f/g es continua en x0 cuando g(x0)≠0

o fog es continua en x0 cuando g sea continua en f(x0)

o fg es continua en x0 cuando f(x0)>0


Continuidad de las funciones elementales:

- Las funciones potenciales son continuas. F(x)=xn.

- Las funciones polinómicas son continuas. P(x)=an xn+...+a1 x+a0

- Las funciones racionales son continuas en su dominio. F(x)=P(x)/Q(x), en ,Q(x)≠0-

- Las funciones irracionales son continuas en su dominio. F(x)=

, si n par en (0, + ), si n impar en todo

número real.

- Las funciones exponenciales son continuas en todo número real. F(x)=ax con a>0 y a≠1.

- Las funciones logarítmicas son continuas en (0, + ). F(x)=logax con a>0, a≠1.

- Las funciones trigonométricas son continuas en su dominio. F(x)=sen(x) y F(x)=cos(x) son continuas en todo

número real, y F(x)=tg(x) es continua en todo número distinto de

, con k número entero.

Teorema de conservación del signo:

Si una función f es continua en un punto x0 y f(x0)≠0, entonces existe un entorno de x0, en el que la función f tiene el

mismo signo que f(x0).

Teorema de Bolzano:

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a0,b0] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo,

entonces existe al menos un punto sє(a0,b0)tal que f(s)=0.

Teorema de los valores intermedios:

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces la función toma todos los valores comprendidos

entre f(a) y f(b) (si f(a)≠f(b)). Es decir, para cualquier valor c entre f(a) y f(b), existe al menos un valor s є(a,b) tal que

f(s)=c.


Teorema de Weierstrass:

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces la función alcanza su máximo absoluto y su

mínimo absoluto en el intervalo [a,b].


Tema 11: Derivadas

Definición: Llamamos Tasa de variación media de la función f entre a y b con a<b, y lo representamos por TVM[a,b],

al cociente entre la variación de f(x) y la variación de x en el intervalo [a,b].

Esta tasa de variación media coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos

(a,f(a)) y (b,f(b)).

Definición: Llamamos derivada de la función f en el punto de abscisa x=a al límite, si existe:

Lo representamos por f’(a). Y si hacemos h=x-a, se tiene que x=h+a, de manera que el límite se transforma en

La interpretación geométrica de la derivada es: la derivada de la función f en el punto de abscisa x=a es la pendiente

de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)). Dicha recta tangente tendrá por ecuación a

y-f(a)=f’(a)(x-a)

Definición: La derivada por la izquierda de f en x=a, f’(a-), es:

Definición: La derivada por la derecha de f en x=a, f’(a+), es:

Definición: Diremos que una función f es derivable en un punto si y sólo si existen las derivadas laterales en ese

punto y coinciden.

Nota: Para que una función sea derivable en un punto x=a, es necesario que f sea continua en ese punto.

Definición: Llamaremos función derivada de f, o simplemente derivada, a la función que asigne a cada punto de

abscisa x el valor de la derivada en ese punto:

Definición: Llamaremos función derivada segunda de f, o simplemente derivada segunda, a la función que asigne a

cada punto de abscisa x el valor de la derivada de f’ en ese punto:


TABLA DE DERIVADAS:

Funciones Simples Derivadas Funciones compuestas Derivadas

f(x)=k f’(x)=0 Para simplificar la notación, u denotará una función de x.

f(x)=x f’(x)=1

f(x)=xn f’(x)=nxn-1 f(x)=un f’(x)=nun-1·u’

f(x)= f’(x)=

f(x)= f’(x)=

f(x)=

f’(x)=

f(x)=

f’(x)=

f(x)=ln x f’(x)=

f(x)=ln u f’(x)=

f(x)=logax f’(x)=

f(x)=logau f’(x)=

f(x)=ex f’(x)=ex f(x)=eu f’(x)=eu·u’

f(x)=ax f’(x)=ax·lna f(x)=au f’(x)=au ·lna ·u’

f(x)=sen x f’(x)=cos x f(x)=sen u f’(x)=cos u ·u’

f(x)=cos x f’(x)=-sen x f(x)=cos u f’(x)=-sen u · u’

f(x)=tgx f’(x)=

f(x)=tgx u f’(x)=

f(x)=cotgx f’(x)=

f(x)=cotg u f’(x)=

f(x)=secx f’(x)=tgx·secx f(x)=sec u f’(x)=tg u ·sec u ·u’

f(x)=cosecx f’(x)=-cotg x ·cosec x f(x)=cosec u f’(x)=-cotg u·cosec u· u’

f(x)=arc senx f’(x)=

f(x)=arc sen u·u’ f’(x)=

f(x)=arc cosx f’(x)=

f(x)=arc cos u f’(x)=

f(x)=arc tgx f’(x)=

f(x)=arc tg u f’(x)=

f(x)=arc cotgx f’(x)=

f(x)=arc cotg u f’(x)=

Función suma (f+g)(x) (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x)

Cte por función k·f(x) *k·f(x)+’=k·f’(x)

Función producto (f·g)(x) (f·g)’(x)= f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x)

Función cociente (f/g)(x) (f/g)’(x)=

Regla de la cadena: (gof)’(x)=g’(f(x))·f’(x)

Derivación inversa: Si g es la inversa de f g’(x)=

Derivación logarítmica: f(x)= f’(x)=


Derivación en forma implícita: Sirve para calcular la derivada de funciones en las que no es fácil despejar una

variable en función de la otra. Por ejemplo si la variable y es función de la variable x, en la ecuación siguiente

derivaremos utilizando y’, para luego despejarla:

x2+y2=2x+2y-6

Derivamos

(X2+y2)’=(2x+2y-6)’

y obtenemos

2x+2yy’=2+2y’

despejamos y’ obteniendo finalmente

Ejercicios de Derivadas:

1.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

1.1 f(x)=x7 1.2 f(x)=x-2 1.3 f(x)=x1/3 1.4 f(x)=1/x4

2.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones pasándolas previamente a forma potencial:

2.1 f(x)=

2.2 f(x)=

2.3 f(x)=

2.4 f(x)=

2.5 f(x)= x2·x3

2.6 f(x)= x5·x-2 2.7 f(x)= x5:x2 2.8 f(x)= x2:x7 2.9 f(x)= 2.10 f(x)=

2.11 f(x)= 2.12 f(x)=

3.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

3.1 f(x)= x2+x+3 3.2 f(x)= 2x2+4x+6 3.4 f(x)= x3+5x2-7x+1 3.5 f(x)= 5x4-7x3+6x2-7

4.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones utilizando la forma compuesta:

4.1 f(x)=(x2+x)3 4.2 f(x)=(x3+3x-1)4 4.3 f(x)=(3x2+4x-6)-4 4.4 f(x)=(x2-3x+5)1/2 4.5 f(x)=(7x2+6x+9)-1/2

5.- Calcula la derivada de las siguientes funciones pasándolas previamente a forma potencial:

5.1 f(x)=

5.2 f(x)=

5.3 f(x)=

5.4 f(x)=

6.- Calcula la derivada de las siguientes funciones logarítmicas:

6.1 f(x)= Ln(x2+x+1) 6.2 f(x)= Ln(senx) 6.3 f(x)= Ln(cosx) 6.4 f(x)= Ln(ex) 6.5 f(x)= Ln(tgx)

6.6 f(x)= Ln(x2+1)2 6.7 f(x)= Ln(senx)1/2


7.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones exponenciales utilizando la forma compuesta:

7.1 f(x)=e4x 7.2 f(x)= 7.3 f(x)= 7.4 f(x)= 7.5 f(x)=

8.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones de tipo seno utilizando la forma compuesta:

8.1 f(x)=sen (2x) 8.2 f(x)=sen (-2x) 8.3 f(x)=sen (2x+7) 8.4 f(x)=sen (-3x+6) 8.5 f(x)=sen (x2+1)

8.6 f(x)=sen (x-2) 8.7 f(x)=sen (ex) 8.8 f(x)=sen (5x) 8.9 f(x)=sen (cosx) 8.10 f(x)=sen (tgx)

8.11 f(x)=sen (cotgx) 8.12 f(x)=sen2 x 8.13 f(x)=sen-2 x 8.14 f(x)=(sen x)1/2 8.15 f(x)=(sen x)1/3

9.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones de tipo coseno utilizando la forma compuesta:

9.1 f(x)=cos (2x) 9.2 f(x)=cos (-2x) 9.3 f(x)=cos (2x+7) 9.4 f(x)=cos (-3x2+6) 9.5 f(x)=cos (x2+1)

9.6 f(x)=cos (x-2) 9.7 f(x)=cos (ex) 9.8 f(x)=cos (5x) 9.9 f(x)=cos (senx) 9.10 f(x)=cos (tgx)

9.11 f(x)=cos (cotgx) 9.12 f(x)=cos2 x 9.13 f(x)=cos-2 x 9.14 f(x)=(cos x)1/2 9.15 f(x)=(cos x)1/3

10.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones de tipo tangente utilizando la forma compuesta:

10.1 f(x)=tg (2x) 10.2 f(x)=tg (-2x) 10.3 f(x)=tg (2x+7) 10.4 f(x)=tg (-3x2+6) 10.5 f(x)=tg (x2+1)

10.6 f(x)=tg (x-2) 10.7 f(x)=tg (ex) 10.8 f(x)=tg (5x) 10.9 f(x)=tg (senx) 10.10 f(x)=tg (cosx)

10.11 f(x)=tg (cotgx) 10.12 f(x)=tg2 x 10.13 f(x)=tg-2 x 10.14 f(x)=(tg x)1/2 10.15 f(x)=(tg x)1/3

11.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones de tipo cotangente utilizando la forma compuesta:

11.1 f(x)=cotg (2x) 11.2 f(x)=cotg (-2x) 11.3 f(x)=cotg (2x+7) 11.4 f(x)=cotg (-3x2+6)7 11.5 f(x)=cotg (x2+1)

11.6 f(x)=cotg (x-2)

12.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones de tipo arco seno-coseno-tangente utilizando la forma

compuesta:

12.1 f(x)= arcsen(2x) 12.2 f(x)= arcsen(x2+1) 12.3 f(x)=arcos (x)1/2 12.4 f(x)=arcsen(cosx)

13.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo potencial-exponencial:

13.1 f(x)= xtgx 13.2 f(x)= (sen x)cosx 13.3 f(x)= (sen x)senx 13.1 f(x)= (sen x)x

14.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones y expresa el resultado de la forma más simple posible:

14.1 f(x)=cos[Ln(x2+1)] 14.2 f(x)=cos[cos(cos x)] 14.3 f(x)= 14.4 f(x)=

14.5 f(x)=Ln


Tema 12: Aplicaciones de las derivadas

Crecimiento de una función:

Si f’(a)>0 entonces f es estrictamente creciente en x=a. Si f’(x)>0, para todo xє(a,b) entonces f es estrictamente

creciente en (a,b).

Si f’(a)<0 entonces f es estrictamente decreciente en x=a. Si f’(x)<0, para todo xє(a,b) entonces f es estrictamente

decreciente en (a,b).

Extremos relativos:

Si f’(a)=0 y f’’(a)<0 entonces f tiene un máximo relativo en x=a.

Si f’(a)=0 y f’’(a)>0 entonces f tiene un mínimo relativo en x=a.

Curvatura de una función:

Si f’’(a)>0 entonces f es cóncava en x=a. Si f’’(x)>0, para todo xє(a,b) entonces f es convexa en (a,b).

Si f’’(a)<0 entonces f es convexa en x=a. Si f’’(x)<0, para todo xє(a,b) entonces f es cóncava en (a,b).

Puntos de inflexión:

Si f’’(a)=0 y f’’’(a)≠0 entonces f tiene un punto de inflexión en x=a.

Representación gráfica de funciones:

Los pasos a seguir para la representación gráfica de una función f serán en primer lugar analizar los siguientes

aspectos:

- Dominio: Conjunto de números reales que tienen imagen por la función.

- Puntos de corte con los ejes:

o Cortes con el eje OX: son las soluciones del sistema:

o Cortes con el eje OY: son las soluciones del sistema:

- Signo: determinamos los intervalos determinados por las soluciones de f(x)=0 y los puntos de discontinuidad

de f, y analizamos el signo de la función en cada uno de ellos.

- Simetría y periodicidad:

o Una función f es par si f(-x)=f(x). La gráfica es simétrica respecto del eje OY.

o Una función f es impar si f(-x)=-f(x). La gráfica es simétrica respecto del origen.

o Una función f es periódica si f(x)=f(x+T) con T número real positivo. Su gráfica se repite cada cierto

intervalo.

- Asíntotas y ramas infinitas:

o Asíntotas verticales(AV): x=a es asíntota vertical si y sólo si

o Asíntotas horizontales (AH): y=a es asíntotas horizontal si y sólo si

o Asíntotas oblicuas (AO): y=mx+b es asíntota oblicua si y sólo si m =

y

b=

o Ramas infinitas: una función f tiene ramas infinitas si y no se aproxima a ninguna

recta.


- Intervalos de monotonía y extremos relativos: Consideramos los intervalos determinados por las ecuaciones

de f’(x)=0 y los puntos de discontinuidad de f’, para estudiar el signo de f’ y los posibles máximos y mínimos.

- Intervalos de curvatura y puntos de inflexión: Consideramos los intervalos determinados por las soluciones

de f’’(x)=0 y los puntos de discontinuidad de f’’, para estudiar el signo de f’’ y los posibles puntos de

inflexión.

Una vez recogida toda la información trazamos la gráfica de la función considerando todos esos datos.

Optimización de funciones:

Para resolver problemas en los que hay que optimizar (maximizar o minimizar) una función, seguiremos los

siguientes pasos:

- Identificar la función que se debe optimizar y determinar su expresión analítica.

- Utilizar los datos del problema para relacionar las variables que aparecen en la función.

- Optimizar la función, es decir, hallar los máximos o mínimos de ésta y comprobar que la solución es válida en

el contexto del problema.

Teorema de Rolle:

Sea f una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a)=f(b), existe al menos un punto cє(a,b) tal que f’(c)=0

Demostración:

Por ser f continua en [a,b] y por el teorema de Weierstrass, existen al menos dos puntos c1 y c2 en [a,b]en los que la

función alcanza, respectivamente, su máximo absoluto M y su mínimo absoluto m.

Interpretación geométrica: Geométricamente, el teorema de Rolle establece que dada una función f continua en

[a,b], derivable en (a,b) y con f(a)=f(b), existe, por lo menos, un punto del intervalo (a,b) en el que la gráfica de la

función en ese punto es paralela al eje de abscisas.

Teorema del valor medio:

Sea f una función continua en *a,b+ y derivable en (a,b). Entonces existe al menos un punto cє(a,b) tal que

o bien

Regla de L’Hôpital:

Sean f y g dos funciones derivables en un entorno del punto a tales que y .

Entonces si existe

, existirá también

y ambos coincidirán.


Tema 13: Integrales Indefinidas

Definición: Una función F es primitiva de f si y solo si F’=f.

Si F es una primitiva de f, también son primitivas de f todas las funciones de la forma F+C, siendo CєR.

Definición: el conjunto formado por todas las primitivas de una función f se llama integral indefinida de f y se

representa por = F(x)+C donde C es la constante de integración.

Propiedades de la integral indefinida

1.

2.

3.

Tabla de integrales

Funciones simples Funciones compuestas

Para simplificar la notación, u denotará una función de x


Funciones simples Funciones compuestas

Métodos básicos de integración:

Integración por descomposición:

Consiste en expresar la función integrando como combinación lineal de otras funciones que sabemos integrar de

manera inmediata

Integración por cambio de variable:

Consiste en identificar una parte del integrando con una nueva variable, con la finalidad de obtener una integral más

sencilla. Cambiaremos x=g(t) entonces dx=g’(x)dt, o bien t=g(x) entonces dt= g’(x)dx, y sustituyendo en el integrando

hasta obtener una función dependiente sólo de t. Luego resolvemos la nueva integral. Deshacemos el cambio de

variable efectuado para expresar el resultado en función de x.

Integración por partes:

Este método es para integrar el producto de dos funciones. Tendremos la situación siguiente:

o con la notación clásica

Para calcular una integral por partes procederemos del siguiente modo:

- Identificamos en el integrando u y dv, y calculamos du y v.

- Aplicamos la expresión

- Resolvemos la nueva integral.

Integración para funciones racionales:

Veremos cómo integrar funciones del tipo P(x)/Q(x) en las que P(x) y Q(x) son polinomios. Nos limitaremos al caso en

que el grado de P(x) sea menor que el grado de Q(x), ya que el caso contrario se reduce a este después de efectuar la

división. Los pasos a seguir para calcular una integral de este tipo son los siguientes:

- Descomponemos Q(x) en factores

- Escribimos el integrando como suma de fracciones simples (cuyo denominador es un polinomio irreducible)

- Integramos cada una de las fracciones simples.


Distinguimos los distintos tipos según las raíces de Q(x):

- Las raíces de Q(x) son reales y simples: Q(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an), descomponemos el integrando de la forma

, de modo que cada integral simple es inmediata

- Las raíces de Q(x) son reales y múltiples: Q(x)=(x-a)n, descomponemos en integrando de la forma

, de modo que cada integral simple es inmediata

- Las raíces de Q(x) son complejas y simples: Si el integrando es de la forma

, con Q(x)

irreducible, el resultado es una suma de dos integrales inmediatas, una del tipo logaritmo neperieno y la otra

del tipo arcotangente.


Tema 14: Integral definida y aplicaciones.

Definición: Llamaremos integral definida de la función f entre los límites de integración a y b, al área que

comprendida entre la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas x=a y x=b.

Propiedades:

-

-

-

-

-

- Si f(x)<g(x)

- Signo de la integral definida:

o Si f(x)≥0

o Si f(x)≤0

o Si f toma valores positivos y negativos en el intervalo [a,b], estudiaremos el signo de la función,

calculando la integral como suma de integrales de los dos tipos anteriores.

Aplicaciones:

- Área de figuras planas:

o Área limitada por la gráfica de un función continua, el eje de abscisas y las rectas x=a y x=b.

A=

si f tiene signo constante en [a,b]

A=

si f cambia de signo en [a,b]

o Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b.

, siendo f(x)≥g(x)en *a,b+

- Volumen de un sólido de revolución: El volumen del sólido de revolución generado por una función

continua f en un intervalo [a,b] al girar en torno al eje OX es:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90/Integral_as_region_under_curve.png


Teorema del valor medio del cálculo integral:

Si f es una función continua en un intervalo *a,b+, existe cє*a,b+tal que:

Interpretación geométrica: Si f(x)≥0 para todo xє*a,b+,

coincide con el área del recinto limitado por la

gráfica de f, el eje OX y las rectas x=a y x=b, que a su vez coincide con el área de un rectángulo de base igual a la

longitud del intervalo, b-a, y altura f(c), siendo c un punto del intervalo [a,b].

Teorema fundamental de cálculo integral:

Si f es una función continua en [a,b] y F es la función definida por

entonces, f es

derivable en *a,b+ y F’(x)=f(x)

Regla de Barrow: Si f es una función continua en [a,b]y F es una primitiva de f, entonces

También se denota por :


Ejercicios de Integrales:

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