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Todos los alumnos de 1º de ESO han de conocer perfectamente los contenidos de este resumen, que se les podrá preguntar en cualquier momento del curso.

Índice

1. Sistema Métrico Decimal 2 2. Otras unidades de uso frecuente 2 3. Normas para escribir los símbolos de las unidades 2 4. Terminología de las operaciones básicas 3 5. Criterio de Jerarquía de Operaciones (CJO) y paréntesis 3 6. Propiedades de las operaciones básicas 4 7. Definición de múltiplo y divisor 4 8. Propiedades de múltiplos y divisores 4 9. Números primos y compuestos 5 10. Criterios de divisibilidad 5 11. Descomposición de un nº en producto de factores primos 5 12. Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de varios números 5 13. Criterio de equivalencia de fracciones 6 14. Simplificación de fracciones 6 15. Reducción de fracciones a común denominador 6 16. Operaciones con fracciones 7 17. Operaciones con fracciones y números naturales 7 18. Tipos de ángulos 7 19. Ángulos formados al cortar una secante a dos paralelas 8 20. Terminología geométrica 8 21. Circunferencia 9 22. Triángulos 9 23. Cuadriláteros 10 24. Áreas (o superficies) de las principales figuras planas 12 25. Cuerpos geométricos 13

Colegio Los Robles Equipo Técnico de Matemáticas

Resumen de

Conocimientos Básicos

Matemáticas 1º ESO

(IX.2013)

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Colegio Los Robles

1. Sistema Métrico Decimal

A. Unidades, múltiplos y submúltiplos:

Longitud mam km hm dam m dm cm mm

Masa mag kg hg dag g dg cg mg

Capacidad maL kL hL daL L dL cL mL

Superficie mam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Volumen mam3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

B. Conversiones:

2. Otras unidades de uso frecuente

Magnitud Unidad Símbolo Equivalencia

Masa Tonelada métrica t 1 t = 1 000 kg

Quintal métrico q 1 q = 100 kg

Superficie

Hectárea ha 1 ha = 1 hm2

Área a 1 a = 1 dam2

Centiárea ca 1 ca = 1 m2

3. Normas para escribir los símbolos de las unidades

No se pone un punto al final (no son abreviaturas, sino símbolos).

Deben ir separados por un espacio del número al que acompañan.

No se les añade una “s” al final si el número al que acompañan no es la unidad.

x

÷

longitud masa

capacidad 10

superficie 102

Pa

ra p

asa

r d

e u

na

un

ida

d m

ayo

r a

otr

a

me

no

r d

e:

tanta

s v

ece

s c

om

o

po

sic

ion

es la

s

se

pa

ren.

volumen 103

se

mu

ltip

lica

po

r:

- Pg. 3 -

Resumen de Conocimientos Básicos – Matemáticas 1º ESO

Se escriben con minúscula, con la única excepción del litro que se hace con mayúscula (L)

para evitar posibles confusiones con el número 1.

Los múltiplos y submúltiplos también se escriben con minúscula hasta el miria (ma); desde mega (M) se hace con mayúscula.

4. Terminología de las operaciones básicas

■ Suma ■ Resta ■ Producto

273

sumandos 273 minuendo 273

factores + 46 - 46 sustraendo x 3 319 suma 227 diferencia 819 producto

■ División ■ Raíz ■ Potencia

dividendo divisor índice radicando exponente

2738 9

038 304

93

2 resto cociente radical raíz base

5. Criterio de Jerarquía de Operaciones (CJO) y paréntesis

Cuando nos encontramos con una secuencia de operaciones, éstas no se efectúan

ordenadamente de izquierda a derecha sino que se realizan obligatoriamente en el siguiente orden:

1º) las potencias 2º) productos y cocientes (de izquierda a derecha) 3º) sumas y/o restas (indistintamente)

Si en una de estas secuencias apareciesen paréntesis, han de realizarse en primer lugar las operaciones que están dentro de los paréntesis.

Ejemplos:

Operación Observaciones

correcta incorrecta

1064324 1836324 Hay que hacer antes el producto que la suma

34122812 2242812 Hay que hacer el cociente antes que la resta

124323 2 36623 22 Hay que efectuar la potencia antes que el producto

8242312 26122312 Cuando compiten productos y cocientes se opera de izquierda a derecha.

1892)54(2 1358)54(2 Hay que hacer antes la operación de dentro del paréntesis

3

8 = 2

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6. Propiedades de las operaciones básicas

Operación Propiedad Fórmula Ejemplo

Suma

Conmutativa abba 853

835

Asociativa c)ba()cb(a 1275)34(5

12393)45(

Elemento neutro a0a 707

Elem. simétrico 0)a(a 0)5(5

Producto

Conmutativa abba 1836 1863

Asociativa c)ba()cb(a 24)12(2)43(2

24464)32(

Distributiva (respecto a la suma)

)ca()ba()cb(a

ó )cb()ca(c)ba(

1682)53(2

161065232

(en sentido inverso: sacar factor común)

Potencia- ción

Producto de potencias de la

misma base

mnmn aaa 24327933 32

24333 532

Cociente de potencias de la

misma base

mn

m

n

aa

a

843222 25

822 325

Potencia de un producto

nnn aa)ba( 14412)34( 22

14491634 22

Potencia de un cociente n

nn

n

b

a

b

a)ba(

273)26( 33

27821626 33

Potencia de potencia

mnmn aa 6482 223

6422 623

Casos particulares 11n ; nn1 ; 1n0 ; 00n

División Prueba Dividendo = Divisor · Cociente + Resto Raíz cuadrada Prueba (Raíz)2 + Resto = Radicando

7. Definición de múltiplo y divisor

Los múltiplos de un número son los resultantes de multiplicarlo por los números naturales. Un número es divisor de otro cuando resulta exacta la división del segundo entre primero.

8. Propiedades de múltiplos y divisores

Si a es múltiplo de b, b es divisor de a.

El 1 es divisor de todos los números naturales.

El 0 es múltiplo de todos los números naturales.

Todo número natural es divisor de sí mismo.

Todo número natural es divisor de 0.

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9. Números primos y compuestos

Un número es primo si sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. Los diez primeros números primos son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23.

Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores.

10. Criterios de divisibilidad

Un número es divisible entre 2 si su última cifra es cero o par.

Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es 3 ó múltiplo de 3.

Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó 5.

11. Descomposición de un nº en producto de factores primos

Para descomponer un número en producto de factores primos se va dividiendo el número, y los cocientes obtenidos, entre sus divisores primos hasta obtener un cociente igual a 1.

Ejemplo:

315 3 450 2 105 3 225 3 35 5 75 3

7 7 25 5

1 753315 2 ; 5 5 22 532450

1

12. Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de varios números

Para calcular el máximo común divisor (m.c.d.) de varios números: 1º) Se descomponen en factores primos, 2º) Se cogen los factores comunes a todos los números con el menor exponente.

Observación: si dos números no tienen más divisor común que el 1, éste es su m.c.d.

Para calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números: 1º) Se descomponen en factores primos, 2º) Se cogen los factores comunes y los no comunes con el mayor exponente.

Observación: si dos números no tienen ningún divisor común (son primos entre sí) su m.c.m.

es su producto.

Ejemplo:

Para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de 63, 42 y 98: 63 3 42 2 98 2

m.c.d. = 7 21 3 21 3 49 7 7 7 7 7 7 7 1 1 1

m.c.m. = 882732 22

7363 2 73242 27298

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- Pg. 7 -


13. Criterio de equivalencia de fracciones

Dos fracciones b

a y

d

c

son equivalentes (es decir, representan al mismo

número) si se cumple que: cbda

14. Simplificación de fracciones

Para obtener la fracción equivalente irreducible de una dada se puede proceder de dos maneras:

1ª) Mediante una sola

simplificación: 11

14

11

72

115322

753222

660

840

2ª) Mediante

simplificaciones sucesivas:

11

14

55

70

165

210

330

420

660

840

Criterio importante: en las operaciones con fracciones hay que simplificar siempre el resultado todo lo posible. Además es muy aconsejable hacer o mismo con las fracciones que figuren en los enunciados de los ejercicios antes de empezar a operar con ellas.

15. Reducción de fracciones a común denominador

Comentario Operación

Para reducir a común denominador estas fracciones: 40

9y

30

11;

18

5;

12

7

1º) Se halla el m.c.m. de sus denominadores:

5240

53230

3218

3212

3

2

2

m.c.m. = 360532 23

Y ese m.c.m. es el nuevo denominador de todas las fracciones: 360

?y

360

?;

360

?;

360

?

2º) Para calcular los nuevos numeradores: se divide el m.c.m. entre el denominador de

cada fracción y el resultado se multiplica por el correspondiente numerador:

210730;3012360

100520;2018360

1321112;1230360

8199;940360

Con lo que las nuevas fracciones son: 360

81y

360

132;

360

100;

360

210

2 2 3 5

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16. Operaciones con fracciones

Operación Procedimiento Ejemplo

Suma y

resta

1º) Si las fracciones tienen el mismo denominador: se suman (o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador:

b

ca

b

c

b

a y

b

ca

b

c

b

a

a) 7

3

7

25

7

2

7

5

b) 3

5

6

10

6

174

6

1

6

7

6

4

2º) Si no tienen el mismo denominador, se empieza por reducirlas a común denominador (n. 14) y luego se procede como en el caso anterior.

Producto db

ca

d

c

b

a

10

21

25

37

2

3

5

7

Cociente cb

da

d

c

b

a

15

14

35

27

2

3

5

7

Potencia n

nn

b

a

b

a

8

27

2

3

2

33

33

17. Operaciones con fracciones y números naturales

Se efectúan teniendo en cuenta que todo número natural es una fracción de denominador unidad.

Ejemplos:

a) 3

14

3

122

3

3412

1

4

3

24

3

2

b) 2

5

6

15

61

53

5

6

1

3

5

63

18. Tipos de ángulos

A. Un ángulo puede ser:

Nombre Agudo Recto Obtuso Llano

Definición Mide menos de

90º Mide 90º

Mide más de 90º y menos de 180º

Mide 180º

Figura

- Pg. 9 -


B. Dos ángulos pueden ser:

Nombre Complemen-

tarios Suplemen-

tarios Consecu-

tivos Adyacentes

Opuestos por el vértice

Definición Si juntos

suman 90º Si juntos

suman 180º

Si tienen el vértice y un

lado comunes

Si son a la vez consecutivos y suplementarios

Si tienen el mismo vértice y los lados en prolongación

Figura

19. Ángulos formados al cortar una secante a dos paralelas

20. Terminología geométrica

Los términos que aparecen a continuación han de conocerse con precisión:

POLÍGONOS

Nº de lados

Nombre

3 triángulo

4 cuadrilátero

5 pentágono

6 hexágono

7 heptágono

8 octógono

9 eneágono

10 decágono

Perímetro de un polígono: suma de las longitudes de todos sus lados.

Tipo de ángulos Relaciones de igualdad

Opuestos por el vértice = ; = ; = ; =

Correspondientes = ; = ; = ; =

Alternos externos = ; =

Alternos internos = ; =

ángulo cóncavo ángulo convexo

vértice

diagonal

apotema

lado

65º

35º 120º

60º

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21. Circunferencia

A. Terminología:

B. Longitud:

La longitud, L, de una circunferencia de radio “r” vale dr2L , siendo 14,3 y “d”

el diámetro.

C. Propiedades:

La mediatriz de cualquier cuerda de una circunferencia pasa por el centro de la circunferencia.

Todos los ángulos que tengan su vértice en cualquier punto de una circunferencia y abarquen una misma cuerda son iguales entre sí.

Todos los ángulos que tengan su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia y abarquen un diámetro son rectos.

Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia.

22. Triángulos

A. Tipos:

Tipos de

triángulos

según sus

lados

equiláteros (tres lados iguales) isósceles (dos lados iguales y uno desigual) escalenos (los tres lados distintos)

según sus

ángulos

acutángulos (los tres ángulos agudos) rectángulos (un ángulo recto y dos agudos) obtusángulos (un ángulo obtuso y dos agudos)

B. Propiedad fundamental:

La suma de los tres ángulos de un triángulo siempre vale 180º.

recta tangente

recta secante

sector circular

círculo diámetro (CD )

Cuerda( AB )

centro (O) segmento circular

arco (AB)

radio (OE )

circunferencia

A

C

D

E

O

B

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C. Teorema de Pitágoras:

Enunciado Figura Fórmula

Todos los triángulos rectángulos (y sólo ellos) cumplen que el cuadrado de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

222 bah

D. Puntos notables:

Nombre es el punto en

que se cortan las tres

Aclaración Figura

Circuncentro(1) mediatrices

Mediatriz: recta

perpendicular a un segmento que pasa por

su punto medio

Incentro(2) bisectrices

Bisectriz: semirrecta

que divide a un ángulo en dos partes iguales

Ortocentro alturas

Altura de un triángulo:

segmento que va perpendicularmente

desde un vértice hasta el lado opuesto

Baricentro medianas

Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado

opuesto

(1) Es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo (circunferencia

circunscrita). (2) Es el centro de una circunferencia tangente a sus tres lados (circunferencia inscrita).

h

a b

- Pg. 12 -

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23. Cuadriláteros

A. Tipos

Tip

os

de

cu

ad

rilá

tero

s

Trapecios (tienen 2 lados

paralelos –las bases–)

Trapecio rectángulo (tienen 2 ángulos rectos) Trapecio isósceles (los lados no paralelos son iguales)

paralelogramos (tienen sus lados

paralelos dos a dos)

rectángulos (4 ángulos rectos y lados iguales 2 a 2) rombos (4 lados iguales y ángulos iguales 2 a 2) cuadrados (4 lados iguales y 4 ángulos rectos)

romboide (los 4 lados y los 4 ángulos iguales 2 a 2)

B. Propiedad fundamental:

La suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero vale 360º.

C. Otras propiedades:

Una diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos iguales.

Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

Los ángulos contiguos de un paralelogramo son suplementarios.

- Pg. 13 -


24. Áreas (o superficies) de las principales figuras planas

Nombre Figura Superficie Fórmula

Rectángulo

alturabase hbS

Cuadrado

LadoLado 2LS

Triángulo

2

alturabase

2

hbS

Rombo

2

)diagonal()Diagonal(

2

dDS

Trapecio altura

2

)base()Base(

h2

bBS

Polígono regular

2

apotemaperímetro

2

apS

Polígono irregular

No hay fórmulas: se descompone el polígono en otros más sencillos de áreas conocidas.

Círculo

2)radio(pi )14,3(rS 2

Corona circular

( círculoárea )

menos ( círculoárea )

22

22

rR

rRS

Sector circular

torsecdelgradosºn360

r 2

360

nrS

2

Segmento circular

(área del sector)

menos (área del triángulo) 2

hb

360

nrS

2

L

D

d

h

b

B

b

h

b

h

r

R

h

r

nº

a

r

- Pg. 14 -

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25. Cuerpos geométricos

Nombre Figura Área base Área lateral Área total Volumen

Prisma

área de un polígono

Área de una cara lateral (rectángulo)

por

nº de caras

LBT AA2A

hAVB

Casos particulares:

Cilindro

área de un círculo

hr2AL

(área de un rectángulo)

LBTAA2A hAV

B

desarrollo lateral:

Pirámide

área de un polígono

área de una cara lateral (triángulo)

por

nº de caras

LBTAAA

3

hAV B

caso particular:

Cono

área círculo

grAL

(área sector

circular)

LBTAAA

3

hAV B

desarrollo lateral

Esfera

2

Lr4A 3

Tr

3

4A r

cubo ortoedro

h

r

h

r

tetraedro

g

r

r

g

- Pg. 15 -


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