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COLEGIO JOSÉ HERNÁNDEZ

PLAN DE CONTINUIDAD PEDAGÓGICA 4º AÑO A Y B

PARTE 7

POLINOMIOS ORDENADOS

Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de las variables.

Por ejemplo:

𝑆(𝑥) = 6𝑥2 + 5 − 2𝑥4 + 3𝑥 𝑆(𝑥) = 2𝑥4 + 6𝑥2 + 3𝑥 + 5

COMPLETANDO POLINOMIOS

Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado.

Por ejemplo:

𝑉(𝑥) = 2𝑥 + 5𝑥3 − 𝑥2 + 4

Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.

Por ejemplo:

𝐻(𝑥) = 5𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑥 𝐻(𝑥) = 5𝑥4 + 0𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 0

ACTIVIDAD 01 Completá y ordená los siguientes polinomios.

a) 35 22 ..............................................................................................ordenado

completoP x x x

b) 27 5 11 ...............................................................................................ordenado

completoQ x x x

c) 6 4 332 18 ...................................................................................

5

ordenado

completoR x x x x x

d) 71 8 ......................................................................................................ordenado

completoT x x

e) 3 ...........................................................................................................ordenado

completoS x x x

f) 9 ............................................................................................................ordenado

completoB x x

Ordenado sería

Completo sería

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VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene cuando se sustituye la indeterminada por un número y se efectúan las operaciones indicada.

Por ejemplo:

El valor numérico de 𝑃(𝑥) = −4𝑥2 − 5𝑥3 + 𝑥 + 8 con 𝑥 = −1

𝑃(−1) = −4. (−1)2 − 5. (−1)3 + (−1) + 8

𝑃(−1) = 8

Un polinomio tiene infinitos valores numéricos (porque la variable o indeterminada puede ser reemplazada por los infinitos valores numéricos que queramos)

ACTIVIDAD 02 Dados los siguientes polinomios…

2( ) 2 1P x x x 3 23

( ) 5 22

Q x x x 4 3( ) 2 100R x x x

…se pide calcular:

a) 2P b) ( 1) 2Q P

c) 2 5 2R P Q d) 1

3 .2

Q P

e) 2

5 0R Q f) 1 . 1 5R Q P

Tomemos como ejemplo el siguiente polinomio: 4 2530 10

6A x x x

A partir de lo visto en el trabajo anterior, podemos decir…

4 25

30 106

A x x x

Como A(x) tiene 3 términos, es un TRINOMIO

A(x) es un polinomio de

GRADO 4

El COEFICIENTE PRINCIPAL es 10

El TÉRMINO INDEPENDIENTE es -30

3

Ahora planteamos la siguiente pregunta:

¿Podemos decir que el polinomio 3 38 5 2 20B x x x x x es un cuatrinomio?

Para responder, debemos tener en cuenta algo:

Los TÉRMINOS que tienen LA MISMA VARIABLE y el MISMO GRADO se

llaman TÉRMINOS SEMEJANTES.

En nuestro caso, tenemos que los términos pintados del mismo color son semejantes (los rojos, son términos de grado 3; los azules, son términos de grado 1).

B(x) = 8x3 + 5x – 2x3 + 20x

Los TÉRMINOS SEMEJANTES se pueden SUMAR y RESTAR entre si.

Entonces, podemos resolver:

8x3 – 2x3 = 6x3

+ 5x + 20x = 25x

A partir de lo anterior es posible resolver SUMAS y RESTAS DE POLINOMIOS.

Veamos un ejemplo resuelto:

Dados los polinomios 3 25 6 7P x x x x y 2 310 2 11Q x x x , se pide resolver:

𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) =

Como se trata de una suma, debemos colocar un polinomio seguido del otro, y sumar los términos semejantes…

𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = – 5𝑥3 + 𝑥2– 6𝑥 + 7 + 10 − 2𝑥2– 11𝑥3

Si bien no es obligatorio, las primeras veces conviene subrayar o remarcar los términos semejantes antes de resolver…

𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = –5x3 + x2 – 6x + 7 + 10 – 2x2 – 11x3

En este caso, resuelvo las operaciones entre los términos del mismo color (sugerencia: empezar por el grado mas grande)…

P(x) + Q(x) = –16x3 – x2 – 6x + 17

Listo! Ya resolvimos la SUMA.

Finalmente, nos queda:

B(x) = 6x3 + 25x

Luego, podemos decir que B(x) es un BINOMIO.

Además, a este polinomio se lo denomina POLINOMIO REDUCIDO

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Teniendo a los polinomios anteriores 3 25 6 7P x x x x y 2 310 2 11Q x x x

Para resolver una RESTA se procede de forma similar, pero con un detalle muy importante a tener en cuenta. Vamos a suponer que queremos resolver:

𝑄(𝑥) – 𝑃(𝑥) =

Siempre en estos casos, al polinomio que está restando debemos COLOCARLO ENTRE PARÉNTESIS…

𝑄(𝑥)– 𝑃(𝑥) = 10 − 2𝑥2– 11𝑥3– (– 5𝑥3 + 𝑥2– 6𝑥 + 7)

Antes de proceder como en la suma, debemos quitar el paréntesis. Teniendo en cuenta que delante del mismo tenemos un signo menos, no hay que olvidarse de cambiar los signos de todos los términos que están adentro del mismo…

𝑄(𝑥) – 𝑃(𝑥) = 10 – 2𝑥2– 11𝑥3– (– 5𝑥3 + 𝑥2– 6𝑥 + 7)

𝑄(𝑥) – 𝑃(𝑥) = 10 – 2𝑥2– 11𝑥3 + 5𝑥3– 𝑥2 + 6𝑥– 7

Ahora si, procedemos igual que en la suma:

𝑄(𝑥)– 𝑃(𝑥) = 10– 2𝑥2– 11𝑥3 + 5𝑥3– 𝑥2 + 6𝑥– 7

𝑄(𝑥)– 𝑃(𝑥) = −6𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 + 3

ACTIVIDAD 03 Dados los siguientes polinomios…

2 31( ) 5 8

3P x x x x

3 25( ) 11 6

2Q x x x x

4 31( ) 4 10 2

2R x x x x

…resuelva las siguientes operaciones:

a) 3. ( ) 2. ( )P x Q x

b) ( ) ( )R x Q x

c) 5. ( ) ( )P x R x

d) 6. ( ) ( ) ( ) .2P x P x R x

e) 7. ( ) ( )Q x P x

f) 3. ( ) 2. ( ) ( )R x Q x P x

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Multiplicación de un POLINOMIO por un NÚMERO CUALQUIERA.

Si tenemos un número cualquiera " "k , y un polinomio T x , entonces la multiplicación entre

ambos da como resultado un nuevo polinomio llamado .k T x , y este se obtiene de aplicar la

propiedad distributiva y multiplicar a cada término de T x por el número " "k .

Veamos un ejemplo resuelto:

Dado el polinomio 4 3 26 2 11 9 100F x x x x x se pide calcular: 5.F x

} 4 3 25. 5. 6 2 11 9 100F x x x x x Aplicamos la distributiva y resolvemos:

4 3 25. 5.6 5.2 5.11 5.9 5.100F x x x x x

4 3 25. 30 10 55 45 500F x x x x x

Ahora se pide calcular: 1

.2

F x

}Aplicamos la distributiva y resolvemos:

4 3 21 1 1 1 1 1. . 6 . 2 . 11 . 9 . 100

2 2 2 2 2 2F x x x x x

Fíjense que delante de cada término pongo el 1

2 . Al resolver, deben aplicar la regla de los

signos...

4 3 21 11 9. 3 50

2 2 2F x x x x x

ACTIVIDAD 04 Resuelva las siguientes multiplicaciones.

(a) Dado el polinomio 4 216 14 10 22S x x x x , calcular:

10. ...........................................................................................................................................................S x

9. ...........................................................................................................................................................S x

3

. ...........................................................................................................................................................2

S x

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(b) Dado el polinomio 3 2 115 12

4L x x x x , calcular:

...........................................................................................................................................................L x

7

. ...........................................................................................................................................................3

L x

0. ...........................................................................................................................................................L x

Para multiplicar dos monomios se deben multiplicar los coeficientes y las indeterminadas

entre sí, aplicando la regla de los signos (para los números) y las propiedades de la

potenciación (para las indeterminadas) 𝑥𝑛. 𝑥𝑚 = 𝑥𝑛+𝑚

Ejemplos variados:

(3𝑥). (2𝑥) = 6𝑥2 (10𝑥4)(−5𝑥3) = −50𝑥7 (−4𝑥)(𝑥3) = −4𝑥4 (−6𝑥5)(−3𝑥2) = 18𝑥7

Para multiplicar dos polinomios debemos utilizar la propiedad distributiva y luego efectuar

la multiplicación de los monomios que resulten para obtener el resultado

(2𝑥2 − 5𝑥 + 2). (3𝑥2 − 𝑥) = aplicamos propiedad distributiva

(2𝑥2). (3𝑥2) + (2𝑥2)(−𝑥) + (−5𝑥)(3𝑥2) + (−5𝑥)(−𝑥) + 2. (3𝑥2) + 2(−𝑥) multiplicando los

monomios

6𝑥4 − 2𝑥3 − 15𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥2 − 2𝑥 = 6𝑥4 − 17𝑥3 + 11𝑥2 − 2𝑥 agrupando los

términos semejantes

Veamos en detalle algunos ejemplos; debemos resolver la multiplicación de monomios…

10x5.6x7 Por un lado multiplicamos los coeficientes, y por otro lado sumamos los grados de los monomios…

10x5.6x7= 10.6x5+7= 60x12

Veamos otro ejemplo; me piden resolver…

(-8x).3x10.7

7

Utilizamos colores para ayudarnos…

(-8x).3x10.7 = -8.3.7x1+10 = -168x11 Si tenemos un monomio por un polinomio que tiene dos o más términos, simplemente debemos aplicar la propiedad distributiva. Por ejemplo, me piden resolver…

3x4.(11 + x – 2x7 + 9x2) Para que el ejemplo quede claro voy a utilizar colores…

3x4.(11 + x – 2x7 + 9x2)=

3x4.11 + 3x4.x + 3x4 . (–2x7) + 3x4 .9x2= Para finalizar, resuelvo cada término aplicando lo visto de la multiplicación entre

monomios…

33x4 + 3x5 – 6x11 + 27x6

Hacemos otro ejemplo; debemos resolver:

(–x + 7 – 10x3). (–1/2x)

Nuevamente recurrimos a los colores…

(–x + 7 – 10x3). (–1/2x)

–x. (–1/2x) + 7. (–1/2x) – 10x3.(–1/2x)

Para finalizar, resuelvo cada término aplicando lo visto de la multiplicación entre monomios…

1/2x2 – 7/2x + 5x4

Con todo lo anterior, deberíamos estar en condiciones de resolver cualquier tipo de multiplicación entre polimonios (se trate o no de monomios). Como siempre sucede en estos casos, la mejor explicación es siempre a través de ejemplos; vamos a suponer que debemos resolver…

(8 +5x). (2x – x2)

8

Si bien existen diferentes formas de resolver esta multiplicación (todas válidas), vamos a utilizar la que considero más fácil de entender. Vamos a “colorear” siempre el primer polinomio…

(8 +5x). (2x – x2) Ahora debemos aplicar dos veces la propiedad distributiva; primero con el “8” y luego con el “5x”…

(8 +5x). (2x – x2)

Me quedan dos términos; en cada uno aplico la distributiva como lo vimos al comienzo…

8.(2x – x2) + 5x.(2x – x2)

8.2x+8.(–x2)+5x.2x+5x.(–x2)

16𝑥 – 8𝑥2 + 10𝑥2 – 5𝑥3

Antes de finalizar, debo observar si hay términos semejantes; en caso de que eso suceda, procedo a sumarlos o restarlos según corresponda…

16𝑥 – 8𝑥2 + 10𝑥2 – 5𝑥3

16𝑥 + 2𝑥2 – 5𝑥3

9

Vamos a resolver otro ejemplo:

(2 – 6x 2 – x).(2x – 4) Repito una vez más que la cuestión de usar colores es simplemente para mejorar la explicación; claramente una vez que se acostumbren a resolver multiplicaciones, algunos pasos pueden ser omitidos…

(2 – 6x 2 – x).(2x – 4)

2.(2x – 4) – 6x2.(2x – 4) – x.(2x – 4)

2.2x +2.(– 4) – 6x2.2x – 6x2.( – 4) – x.2x– x.(– 4)

4x – 8 – 12x3 + 24x2 – 2x2 + 4x (marqué los términos semejantes…)

8x – 8 – 12x3 + 22x2 (No es importante si el polinomio queda ordenado o no)

ACTIVIDAD 05 Resuelva las siguientes multiplicaciones entre monomios.

a) 48 .10 .................................................x x b) 4. .................................................x x

c) 3 35 . 2 ...............................................x x d) 3 43.5 ...............................................

2x x

e) 10.2 .................................................x x f) 4 9112 . ...........................................

2x x

g) . .................................................x x h) 9 2. .................................................x x

10

ACTIVIDAD 06 Resuelva las siguientes multiplicaciones entre polinomios.

a) 25 . 3 1 .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................x x

b) 8 24 . 2 3 10 .....................................................................................................................x x x

c) 1 0 32 8 .100 .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................x x x x

d) 3 3 21 2. 7 1 ................................................................................................................

2 3x x x x

e) 2 9. 65 ..........................................................................................................................x x x x

f) 2 3 . 5 8 ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................x x

g) 8 21 . 2 3 10 ....................................................................................................................x x x

ACTIVIDAD 07 Resuelva las siguientes potencias de monomios.

a) 3

3002 ....................x b) 3

4 ... . . . . . . . . . . . . . . . . .x c) 75

5 ....................x

d) 4

43 ....................x e) 2

514 ....................x f) 4

100100 ....................x

g) 2

15 ....................x h)10

1....................

2x

i)

354 ....................x

11

ACTIVIDAD 08 Resuelva las siguientes multiplicaciones.

a) 2 3 . 5 8x x b) 24 10 . 6x x

c) 212 . 6 2

2x x x

d) 3 39 7 . 9 7x x

e) 2 12 1 . 4 5x x x f) 2 2. 2 3x x x x

Link de ayuda:

Polinomio completo y ordenado:

https://www.youtube.com/watch?v=nKEyPON6FJg

Valor numérico de un polinomio:

https://www.youtube.com/watch?v=MCbKYBUeE3U

Suma y resta de polinomios:

https://www.youtube.com/watch?v=_dHjETZfm6U

https://www.youtube.com/watch?v=DXoqQOO_UW0

Multiplicación de polinomios:

https://www.youtube.com/watch?v=epsasFCsJ9A

https://www.youtube.com/watch?v=xRC447bTueU

Potencia de monomios:

https://www.youtube.com/watch?v=m2sLG-nWMbs

Contacto del profesor

4ºA 4ºB

Oscar Paes Silvina Galinelli

josue14_paes@hotmail.com silvina.galinelli@live.com

Fecha de entrega 13 de julio