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ii

CON UN ENFOQUE QUÍMICO BIOLÓGICO

P r i m e r a e d i c i ó n

Vol. II

Pablo Flores Jacinto

María Catalina Cárdenas Ascención

Enrique García Leal

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Zaragoza

MATEMÁTICAS 1

iii

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Zaragoza

Datos para catalogación bibliográfica

Autores: Pablo Flores Jacinto, María Catalina Cárdenas Ascención, Enrique García Leal

Matemáticas 1 con un enfoque químico biológico

UNAM, FES Zaragoza, diciembre 2018. Volumen II, 222 pp.

ISBN de la Colección: 978-607-30-1148-8 ISBN individual: 978-607-30-1150-1

Diseño de portada y gráficos: Pablo Flores Jacinto.

Proyecto Papime PE100818

DERECHOS RESERVADOS Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto o las ilustraciones de

la presente obra bajo cualesquiera formas, electrónicas o mecánicas, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en algún sistema de recuperación de información, dispositivo de memoria

digital o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Matemáticas 1 con un enfoque químico biológico

D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México Av. Universidad # 3000, Col. Universidad Nacional Autónoma de México, C.U.

Delegación Coyoacán, C.P. 04510, Ciudad de México.

Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, Campus II Batalla 5 de mayo s/n esquina Fuerte de Loreto, Col. Ejército de Oriente

Delegación Iztapalapa, C.P. 09230, Ciudad de México

iv

Índice

Primera parte: Cálculo diferencial para una variable

Página

9. Límites y continuidad 1

9.1 Definición y propiedades de límites. 2 9.2 Definición y propiedades de continuidad. 14

10. La derivada 23

10.1 Definición y propiedades de la derivada. 24 10.2 Reglas de derivación. 29 10.3 Derivadas de orden superior. 67

11. Derivada implícita 79

11.1 Definición de función implícita. 80 11.2 Métodos de derivación implícita. 83

12. Máximos y mínimos 97

12.1 Concepto de máximos y mínimos y puntos de inflexión. 98 12.2 Criterios de la primera y segunda derivada para

determinar máximos y mínimos. 12.3 Aplicaciones de máximos y mínimos.

101

108

13. Razón de cambio y diferenciales 117

13.1 Razón de cambio y diferenciales. 118 13.2 Aplicaciones de razón de cambio y diferenciales. 118

v

Segunda parte: Ecuaciones diferenciales de varias variables

Página

14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales

135

14.1 Concepto de una función con dos o más variables independientes.

136

14.2 Dominio de una función con dos o más variables. 14.3 Curvas de nivel.

144 157

15. Límites para dos o más variables reales 163

15.1 Definición y propiedades de límite para una función con dos o más variables.

164

15.2 Cálculo de límites. 165

16. Derivadas parciales 175

16.1 Definición y propiedades de las derivadas parciales de una función con dos o más variables independientes.

176

16.2 Regla de la cadena para derivadas parciales. 184 16.3 Diferencial total. 185 16.4 Derivadas de orden superior.

16.5 Máximo y mínimos 16.6 Multiplicadores de Lagrange.

188 190 196

Respuestas a los problemas de número impar 206

Referencias Índice alfabético

211 214

vi

Prefacio

Los autores de la presente obra se dieron a la tarea de crear un

libro de Matemáticas con un claro objetivo; que los alumnos de

carreras afines a las ciencias químico, biológicas y de la salud,

puedan apreciar la aplicación del cálculo diferencial para una y

varias variables en sus respectivas áreas con el uso de ejemplos

sencillos pero muy claros de las aplicaciones de las matemáticas en

estas áreas además del uso de pictogramas que hacen ameno y

didáctico el manejo del presente libro.

Este volumen II llamado “Matemáticas 1 con un enfoque químico

biológico”, el cual se divide en dos partes; en la primera se aborda

el cálculo diferencial de una variable, mientras que en la segunda se

estudia el cálculo diferencial para dos o más variables.

En el capítulo 10 se da a conocer las bases de lo que es el cálculo

diferencial en general definiendo sus bases como lo es el concepto

de límite y el de continuidad, lo cual nos da la entrada al capítulo 11

titulado derivada, en este capítulo los autores explican de forma

muy sencilla a través del uso de los límites el concepto de derivada

y de igual manera nos van guiando de manera sencilla en la

resolución de problemas y nos van demostrando el uso de cada una

de las reglas que se aplican para la derivada, pasando desde

derivadas sencillas de monomios y polinomios, derivadas

trigonométricas, el uso de cambios de variables para la solución de

problemas y la aplicación de las reglas de la cadena, en el capítulo

12 se explica y se define lo que es la derivación implícita, en los

capítulos 13 y 14, se enseñan algunas de las aplicaciones de las

derivadas tales como máximos y mínimos donde se busca muchas

veces maximizar una reacción o la manera de hacerla más eficiente

vii

o bien el poder reducir el consumo de algún reactivo, mientras que

la razón de cambio nos ofrece una gran versatilidad para ver el

comportamiento de cierta variable de estudio con respecto al

tiempo.

En las siguiente sección se ve el cálculo diferencial para dos o más

variables iniciando con el capítulo 15 el cual nos enseña el concepto

de dominio de la función y éste nos lleva al manejo de gráficos en

3D y el uso de éstas en un plano bidimensional denominado curvas

de nivel, posteriormente en el capítulo 16 definimos el concepto de

límite para varias variables y retomamos algunas propiedades de

límite de una variable las cuales las extrapolamos al uso de dos o

más variables, finalmente en el capítulo 17 vemos el concepto de

derivadas parciales con el uso de más de una variable

independiente.

Cabe destacar que al igual que el volumen I, es un libro que ilustra y explica de manera muy sencilla el uso de las matemáticas y que nos lleva a dar un paseo por el mundo de las matemáticas aplicadas específicamente en el cálculo diferencial de una y varias variables amalgamando de manera creativa los fascinantes mundos de la química, las ciencias biológicas y de la salud, esperamos que esta obra sea de su agrado como lo es para nosotros.

viii

Agradecimientos

Los autores desean expresar su agradecimiento a quienes han colaborado para enriquecer este material:

QFB Georgina Cecilia Rosales Rivera

QFB. Víctor Hugo Becerra López.

M en D.I.I.E. María Isabel Garduño Pozadas.

Ing. Miguel Ángel Cuevas Hernández.

M. en C. Armando Cervantes Sandoval.

Y al laboratorio de análisis de fármacos y materias primas de FES Zaragoza de la UNAM.

Los autores

Pablo Flores Jacinto

Ingeniero Químico de la Facultad de Química de la UNAM, posgrado en Ingeniería Ambiental del IPN.

María Catalina Cárdenas Ascención

Química de Alimentos de la Facultad de Química de la UNAM, posgrado en Ciencias Bioquímicas de la UNAM.

Enrique García Leal

Ingeniero Químico de la Facultad de Química de la UNAM, posgrado en Ingeniería de Materiales en la UNAM.

ix

Los iconos que se utilizan en el

libro, para desarrollar los

conocimientos de matemáticas

son:

Definición

Recuerda

conceptos

Aplicación

Ejercicios

de refuerzo

INTENCIÓN COMPRENDER del libro para aprender

Este segundo volumen tiene la

intención de llegar a los alumnos

de las áreas de química biológicas

especialmente para fortalecer el

cálculo diferencial de una y varias

variables, con la misma

perspectiva de que puedan

observar a detalle los ejercicios

con un grado de dificultad

prometedor, que conlleve a un

conocimiento más sistemático de

la resolución de ejercicios con

aplicaciones a la química.

Cada capítulo también es

acompañado por una variedad de

ejercicios resueltos en forma

extensiva y al final de éstos se

tiene la serie de ejercicios que

pretende reforzar el

conocimiento.

De igual forma los ejercicios que

requieren el uso de herramientas

anteriores a este curso se

encuentra en el icono de

“Recuerda conceptos”.

1

Primera parte: Cálculo diferencial para

una variable

Capítulo nueve

Límite y continuidad

𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀

La idea de límite surge con H. E. Heine (1821-

1881); discípulo de Cauchy, quien lo definió

como:

La función 𝑓 𝑥 tiene límite 𝐿 en 𝑥 = 𝑥0 si

dado 휀 > 0 existe un 𝛿 tal que para toda 𝑥 en

el intervalo

Los límites

establecen en la

industria los costos

menores para una

mayor ganancia.

“Las frases de “infinitesimal”, “variable que se acerca a”, o “tan pequeña como uno quiera” desaparecen cuando nacen los famosos "휀" y "𝛿", utilizados en el lenguaje moderno para

definir el límite y la continuidad

Ángel Ruíz

9. Límite y continuidad

2

9.1 Definición y propiedades de límites

Una vez que se asigna un valor a la función se evalúa y se obtiene una estimación de

ésta, pero si por alguna razón se pretende llegar a un valor con la mayor proximidad

sin tocarlo se dice que se está calculando el límite de la función.

La primera intuición del cálculo de un límite es

acercarse lo más posible sin llegar a tocarlo,

como el hombre que está a punto de caerse por

llegar al “límite” del risco.

Uno de los argumentos más recurrente del por

qué no se puede tocar un valor, es debido a la

división entre cero, por ejemplo, en la siguiente

función:

= −

−

El valor que no puede tomar en el

denominador es:

=

Definición Se define el límite como lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿, cuando 𝑥 se acerca mucho al valor de 𝑐,

se dice que “𝑥 tiende a 𝑐” con lo que se puede encontrar el valor de C.


3

Debido a que el 1 conduce directamente a una división entre cero, el valor de la

función se obtiene acercándose alrededor del 1. Se puede tabular y ver el

comportamiento en la Figura 9.1.

Otro ejemplo, es aproximar el valor de una variable para obtener el área de un

circulo por el método de agotamiento, que consiste en inscribir polígonos dentro

del círculo, a medida que aumente el número de lados del polígono; la diferencia de

áreas disminuye (ver Figura 9.2).

Figura 9.2 Diferencia de áreas entre un círculo y un polígono

= −

−

0.8 -1.8

0.9 -1.9

0.99 -1.99

0.999 -1.999

1.00

-2.0

1.001 -2.001

1.01 -2.01

1.1 -2.1

1.2 -2.2

Figura 9.1 Límite de una función


4

Se puede establecer que el área de un círculo es el límite del área del polígono

inscrito, cuando el número de lados tiende hacia el infinito, es decir:

= lim →

Donde es el número de lados o caras del polígono.

Para determinar el área de una curva delimitada por el eje , se pueden utilizar

también la aproximación de áreas de rectángulos (que es muy importante en el

cálculo integral), por ejemplo en la Figura 9.3 se ilustra la obtención del área debajo

de la curva de la función = √ , en un intervalo de [0 ], en el inciso a) sólo se

utilizaron 3 rectángulos mientras que en el inciso b) se emplearon 6 rectángulos.

Figura 9.3 Cálculo del área bajo la curva utilizando áreas de rectángulos.

Recuerda que…

El área de un círculo es 𝜋𝑟 , pero los griegos no recurrieron a los límites para

encontrar esta ecuación, sino al método de agotamiento.


5

Se puede apreciar en la Figura 9.3 que a medida que aumenta el número de

rectángulos y estos tienden al infinito el error del cálculo del área bajo la curva

disminuye, es decir:

= lim →

Donde es el número de rectángulos empleados.

El estudio de límites ha revolucionado muchas áreas de las ciencias ya que tiene que

ver con el modelaje de fenómenos, debido a que manifiesta una razón de cambio,

por ejemplo, en una velocidad de reacción de orden , el cálculo de un reactor

químico, la superficie de reacción en un catalizador, etc.

9.1.1 Límites de una función

Una función puede tener límite, por lo que es importante primero analizar cuando

está o no definida, se puede observar en la Figura 9.4 que cuando está cerca de ,

es decir:lim → = , puede ser que el límite exista (a); que el límite no esté

definido (b) o bien que no exista (c).

Figura 9.4 Límite cuando x tiende a


6

Ejemplo 1 Escriba el límite, si es que existe, de la

siguiente figura:

Solución

lim → = −

lim → =

Ejemplo 2

Encuentre el límite del polinomio = − , cuando se acerca a 1.

Solución

Primero se utiliza la definición anterior.

lim → − =

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝐿

Definición Para encontrar el límite de una función polinomial se utiliza la siguiente regla:


7

Se evalúa la función en 1.

= − =

Por lo tanto, el límite de:

lim → − =

Gráficamente se tiene lo siguiente:

Ahora para una función racional al igual que en el caso anterior se usará la definición

del límite de un polinomio, pero teniendo cuidado de que el valor del denominador

no conduzca a cero.

Ejemplo 3 Encuentre el límite de la función:

lim →

−

Solución

lim →

− =

lim →

− = −


8

Ejemplo 4 Encuentre el límite de la función:

lim →

Solución

Primero se realiza la factorización del numerador y del denominador, debido a que

la función no está definida en -2.

lim →

= lim

→

Se suprime , quedando:

lim →

Finalmente se evalúa la función en -2

lim →

= −

− = −

=

Definición Para encontrar el límite de una función racional se debe de factorizar el polinomio

del numerador y denominador; para evitar la división entre cero, a este

procedimiento se le conoce como método analítico.


9

Ejemplo 5

La velocidad de reacción en un reactor está definida por la siguiente ecuación:

=

−

Dónde:

Es la velocidad de reacción(

).

Es el tiempo en minutos ( ).

Es la constante de equilibrio y tiene un valor de 10

.

Calcule la velocidad de reacción a los 5 minutos.

Solución

Debido a que la reacción no está definida a los 5 minutos se toma como límite a este

tiempo y se realiza el método analítico.

lim → −

−

lim → − −

−

lim → − =

= 0 −

= 0

La velocidad de reacción es:


10

9.1.2 Límites al infinito

Las funciones que tienen el límite que tiende al infinito se encuentran en gráficas que presentan asíntotas verticales u horizontales. Por ejemplo, si se gráfica la función:

= −

Lo que se tiene es que cuando tiende a -1, es evidente que el límite en ese punto es inexistente, es decir:

lim →

−

En la gráfica se puede ver lo que ocurre cuando se acerca por la derecha y por la izquierda a -1, se genera una asíntota vertical (ver Figura 9.5).

Figura 9.5 Límite con una asíntota vertical ubicada en = −

En general se puede decir si se acerca por la izquierda:

lim →

−

=


11

Se puede generalizar lo que ocurre en los límites cuando existen asíntotas verticales (ver Figura 9.6).

Figura 9.6 Límites cuando se presentan asíntotas en las funciones

También existen funciones que presentan asíntotas horizontales, normalmente se presentan en ecuaciones de tipo exponencial, aunque también existen de tipo polinomial y potencial.


12

9.1.3 Propiedades de los límites

Para establecer las propiedades de los límites debe considerarse que los límites de y existen, por lo que se tiene:

Tabla 10.1 Límites cuando se presentan asíntotas en las funciones

Propiedad Regla

1. Polinomio lim → [ ] =

2. Constante lim → [ ] = lim

→

3. Suma y Diferencia

lim → [ ] = lim

→ lim

→

4. Producto lim → [ ] = lim

→ lim

→

5. Cociente lim → *

+ =lim →

lim → 0

6. Potencia lim → [ ] = *lim

→ +

7. Raíz lim → [ √

] = √lim → √lim

→ =


13

Ejemplo 5

Use las propiedades de los límites y resuelva las siguientes funciones:

lim → −

lim → ( −

)

Solución

Utilizando las propiedades de los límites indicados en la tabla 10.1 se tiene:

lim → − − = lim

→ − lim

→ − lim

→

lim → − − = lim

→ − lim

→ − lim

→

lim → − − = *lim

→ +

−*lim → +

− lim →

lim → − − = − −

lim → − − =

Para este inciso se puede aplicar varias propiedades de los límites en un solo paso:

lim → ( −

) =* lim → +

− lim →

lim → lim

→

lim → ( −

) = − − −

− = −


14

9.2 Definición y propiedades de continuidad

La continuidad de una función tiene que ver con que la curva de una gráfica no sufra algún salto o ruptura. Para ejemplificar esta situación imagine que trazará una gráfica y se dice que es continua cuando se dibuja la curva sin despegar el lápiz del papel. Ésta característica puede aplicarse a solo una sección de la gráfica, por lo que puede presentar continuidad en cierto intervalo.

Para demostrar la inexistencia de la continuidad se puede visualizar que las tres reglas no se cumplen. i) no existe la función en un punto, ii) después existe un salto y iii) finalmente la función cuando se acerca a un punto el límite no existe (ver Figura 9.7).

Figura 9.7 Continuidad de una función


15

Ejemplo 6

Determine si las siguientes funciones son continuas.

= −

=

= ‖ ‖

Solución

Para verificar si las funciones son o no continuas, las gráficas de cada una son:

Para a) la función no está definida en x=-1, para b) la función no está definida cuando = 0, se convierte en una asíntota y para c) tiene discontinuidades en todos los enteros.

También se pueden establecer las condiciones de continuidad cuando se presenta una gráfica.


16

Ejemplo 7

Cuáles son las condiciones de continuidad que no se cumplen para la siguiente función:

Solución

Esta curva se puede representar por una función

de la forma √ , por lo que:

= {√ =

Eje Ejemplo 8 Cuando se aproxima por la derecha (+) y la izquierda (-), diga si las aseveraciones son verdaderas o falsas de la siguiente gráfica:

Solución

lim →0 =

lim → =

lim → =

lim → =

17

Ejercicios de refuerzo UNIDAD 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD

I. Encuentre los límites de las siguientes funciones.

lim → −

lim → −

lim → √

lim →

−

lim → −

lim → √

lim → √ −

lim → ln (

)

lim → ln (

)

0 lim →

(

)


18

II. Use las propiedades de los límites para encontrar los límites que se

piden en cada figura.

lim →

lim →

lim →0

lim →

lim →

lim →

lim →

lim →

lim →

lim →

lim →0

lim →


19

III. Utilice las propiedades de los límites para resolver las siguientes funciones.

lim →

lim → −

lim → (

− )

lim → √ −

lim → −

0 lim →

lim → [ (

)

]

lim →

−

lim → √(

− )

lim

→

lim → (

lo )

IV. Utilice el método analítico para encontrar los límites de las siguientes

funciones.

lim → ( −

− )

lim → ( −

− )

lim →0 (

−

)

lim → ( −

√ − )

0 lim → ( −

− )

lim → ( −

)

lim → ( −

− )

lim → ( −

)

lim → ( −

− )

lim → ( −

− )


20

V. Describa las siguientes gráficas utilizando la definición de continuidad.


21

VI. Verifique si las siguientes funciones son continuas en 4, si no, ¿Explique por qué?

0 = = −

=

−

= √ −

= −

−

= −

√ −

VII. Verifique en ¿Cuáles puntos hay continuidad?

=

= −

=

−

= ( −

− )

VIII. De la siguiente gráfica indique si las aseveraciones son verdaderas o falsas:

0 lim →− −

=

lim →−

=

lim →0 = 0

lim →0− =

lim → =

lim → − =


22

23

La derivada tiene

diversas aplicaciones

en la química como en

la determinación de la

concentración, el pH, la

cantidad de sustancia,

índice de crecimiento

de un microorganismo,

índice de solución, etc.

Capítulo diez

La derivada

“Los cambios indudablemente por pequeños que sean, pueden ser descritos por una

ecuación”

Cuando se quiere conocer un cambio de algún parámetro es común utilizar el concepto de derivada.

La derivada se puede entender como una “tasa de cambio”, es decir de una función f(x) de la cual se puede conocer ¿Cómo varía respecto al cambio de “x” en un momento instantáneo? Esta tasa de cambio instantáneo se llama derivada.

10. La derivada

24

Gottfried Leibniz.

Alemán que es

considerado como uno

de los últimos genios, a

él se le atribuye el

cálculo diferencial.

10.1 Definición y propiedades de la derivada

Si el límite de existe decimos que es diferenciable en ese punto. Por lo que encontrar la derivada se le conoce como derivación. La rama de las matemáticas asociada a la derivada se conoce cómo cálculo diferencial.

Normalmente la derivada es relacionada con la velocidad, debido a que es el cambio de la posición respecto al tiempo, como se ilustra en la escena del “Correcaminos y el coyote”.

La explicación matemática de la derivada parte de la recta tangente, cuya definición se le atribuye a Leibniz (ver Figura 10.1).

Figura 10.1 Gottfried Leibniz

10. La derivada

25

Definición La derivada de una función 𝑓 𝑥 es otra función 𝑓 ´ 𝑥 (léase como efe prima de

equis) cuyo valor de x evaluado en “A” está dado por:

Siempre que el límite exista.

𝑓 ´ 𝐴 = limℎ→0

𝑓 𝐴 ℎ − 𝑓 𝐴

ℎ

La derivada se obtiene moviendo la recta secante a una curva, hasta obtener una tangente; esto lo observamos en la Figura 10.2, en donde (a) las coordenadas de la recta secante de P son ℎ y de Q son ℎ − , (b) moviendo el punto Q, hacia P a lo largo de la curva, la distancia que los separa se acorta hasta llegar al límite donde los puntos se tocan en este momento decimos que tenemos una tangente.

Figura 10.2 Obtención de la recta tangente a partir de una recta secante

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es el límite de la recta secante, por lo que sustituimos el valor del límite de la recta secante, obtenemos que:

10. La derivada

26

Ejemplo 1

Derive la siguiente función = cuando = .

Solución

´ = limℎ→0

[ ℎ] − [ ]

ℎ

´ = limℎ→0

[ ℎ ] − [ ]

ℎ

´ = limℎ→0

[ 0 ℎ ] − [ 0 ]

ℎ

´ = limℎ→0

ℎ

ℎ ´ = lim

ℎ→0 =

Ejemplo 2

Derive la siguiente función = .

Solución

´ = limℎ→0

[ ℎ] − [ ]

ℎ

´ = limℎ→0

[ ℎ ℎ ] − [ ]

ℎ

10. La derivada

27

´ limℎ→0

[ ℎ ℎ ℎ] − [ ]

ℎ= ℎ ℎ ℎ

ℎ

´ = limℎ→0

ℎ ℎ

ℎ= ℎ

Evaluando el valor del límite de h, se tiene: ´ =

Ejemplo 3

Derive la siguiente función =

Solución

´ = limℎ→0

[ ℎ] − [ ]

ℎ

´ = limℎ→0

*

ℎ+ − *

+

ℎ

Se determina un denominador común en la parte superior de la función y se realizan

las operaciones debidas.

´ = limℎ→0

ℎ

ℎ

ℎ

Se realiza el cociente

´ = limℎ→0

− ℎ

ℎ ℎ

10. La derivada

28

´ = limℎ→0

− − ℎ

ℎ ℎ

´ = limℎ→0

−ℎ

ℎ ℎ

´ = limℎ→0

−

ℎ

´ = limℎ→0

−

ℎ

Evaluando el valor del límite de ℎ se tiene:

´ = −

Ejemplo 4

En México, en 2009 se presentó la pandemia de la gripe A(H1N1) conocida como “gripe porcina” (ver Figura 10.3). La estimación oficial de personas enfermas de gripe a días después del comienzo está dada por la siguiente aproximación:

= − −

¿Cuál es el índice de difusión de la enfermedad a la tercera semana?

Fuente: wikimedia.org

Figura 10.3 Virus H1N1

https://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiNybTOv6fSAhXo64MKHc7DBbMQjRwIBw&url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:H1N1_influenza_virus.jpg&bvm=bv.147448319,d.cGc&psig=AFQjCNGZPDbmQLOugl0u3MTpwqLWD9W2dA&ust=1487983213524241





10. La derivada

29

Solución

Para 3 semanas

Se deriva la función = − − y se evalúa en la 3ra semana.

´ = limℎ→0

[ ℎ] − [ ]

ℎ

´ = limℎ→0

[− [ ℎ ] ℎ − ] − [− − ]

ℎ

´ = limℎ→0

[− ℎ ℎ ℎ − ] − [− − ]

ℎ

´ = limℎ→0

− ℎ ℎ ℎ

ℎ

Factorizando y evaluando el valor límite de h se obtiene:

´ = limℎ→0− ℎ = − − ℎ =

A la tercera semana se tuvieron 191 casos.

10.2 Reglas de derivación

El proceso para calcular la derivada de una función es un poco bromoso debido al arduo uso del álgebra, por ello se establecen las siguientes reglas para obtener de forma directa la derivada de una función. En primer lugar, se analizarán las algebraicas.

10. La derivada

30

10.2.1 REGLAS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS

Estas reglas se aplican de manera general a los monomios, polinomios y cocientes de polinomios (ver Tabla 10.1).

Tabla 10.1 Reglas para derivadas algebraicas

Función Regla

Constante = 0

Potencia =

Múltiplo constante [ ] =

Suma y diferencia [ ] =

Producto

[ ] =

Cociente *

+ = −

𝑑

𝑑𝑥 𝐷 𝑓 ´ 𝑥 𝑦´

Recuerda que… Las formas de expresar la operación de derivación son:

10. La derivada

31

La obtención de la derivada de

una función nos genera otra

función. Pensemos en un proceso

químico donde se debe

acondicionar la materia prima para

ingresarla a un reactor químico

donde se llevará cabo la reacción

(ver Figura 10.4). Veamos

gráficamente (ver Figura 10.5),

que la derivada de una constante

es cero, mientras que para la

función identidad es 1, esto como

ya se revisó es el valor de la

pendiente de la función tangente a

nuestra recta.

Figura 10.5 Pendiente de una función constante y de una función identidad

Figura 10.4 Reactor químico, como un

símil del proceso de derivación

10. La derivada

32

Ejemplo 5

Utilice las reglas de la tabla 10.1 para derivar las siguientes funciones:

=

= −

= −

= −

=

Solución

=

Se utiliza la regla del múltiplo constante.

=

´ =

Ahora se aplica la regla de la potencia.

´ =

Reacomodando.

´ =

10. La derivada

33

= −

Ahora se utiliza la regla de la suma y diferencia.

´ = −

Se aplica la regla del múltiplo constante y de la constante.

´ = − 0

Se utiliza la regla de la potencia.

´ = −

Finalmente.

´ = −

= −

Primero acomodamos la ecuación utilizando la regla de las potencias.

= −

Ahora utilizamos la regla del término constante y de la potencia.

´ = − −

´ =

Reacomodando la ecuación.

´ =

10. La derivada

34

= −

Para derivar este cociente, derivamos primero el numerador y denominador.

= − ´ = −

= ´ =

Aplicando la regla del cociente:

*

+ = −

´ =[ ] − [ − ]

Se realiza el desarrollo de las operaciones indicadas para llegar a la mínima expresión.

´ =[ ] − [ − ]

´ =[ − − ]

´ =− −

10. La derivada

35

=

Primero se utiliza la regla de suma y diferencia.

´ =

Para el primer término se utiliza la regla del cociente y para el segundo la regla de la potencia.

Primer término

*

+ = −

= ´ = 0

= ´ =

´ =[ 0 ] − [ ]

´ =

Segundo término

=

´ =

Se unen los dos términos

´ = −

Reacomodando:

´ =

−

10. La derivada

36

10.2.2 REGLAS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

Primero se realizará la demostración de la función seno con la forma básica de la derivada.

´ = limℎ→0

ℎ −

ℎ

=

´ = limℎ→0

ℎ −

ℎ

Utilizando la identidad trigonométrica =

´ = limℎ→0

ℎ ℎ −

ℎ

Se agrupan términos semejantes

´ = limℎ→0

ℎ − ℎ

ℎ

´ = limℎ→0

ℎ −

ℎ ℎ

ℎ

Reordenando

´ = limℎ→0

ℎ

ℎ− limℎ→0

− ℎ

ℎ

Como y no varía en función de ℎ, lo consideramos como constante.

´ = limℎ→0

ℎ

ℎ− lim

ℎ→0

− ℎ

ℎ

Recordemos que:limℎ→0 ℎ

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ

ℎ= 0

´ =

10. La derivada

37

La generalización de este procedimiento da lugar a las reglas de las derivadas de las funciones trigonométricas (ver Tabla 10.2).

Tabla 10.2 Reglas para derivadas trigonométricas

Función Regla

Seno =

Coseno = −

Tangente =

Cotangente = −

Secante =

Cosecante = −

Ejemplo 6

Encuentre la derivada de = −

Solución

Se utiliza la regla de suma y diferencia y múltiplo constante.

´ = −

Se usa la regla de la derivada.

´ = − −

´ =

10. La derivada

38

Para realizar derivadas trigonométricas, muchas veces es necesario recurrir a identidades que facilitan su desarrollo (ver Tabla 10.3).

Tabla 10.3 Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas fundamentales

=

=

=

=

= = =

Ángulos dobles

= =

−

= −

= −

= −

Medio ángulo

= −

=

Suma y resta de ángulos

= o = −

− = − o =

=

− − =

−

10. La derivada

39

Ejemplo 7

Encuentre la derivada de =

Solución

Se utiliza la regla del producto.

[ ] =

Se realizan las derivadas:

= ´ =

= ´ = −

Se forma la derivada:

´ = −

´ = −

Se factoriza la expresión.

´ = −

10. La derivada

40

Eje Ejemplo 8

Encuentre la derivada de:

=

Solución

Utilizando la regla del cociente.

*

+ = −

= ´ =

= ´ = −

´ = − −

´ = −

Agrupando términos semejantes.

´ = −

´ =

Recordemos que =

´ =

10. La derivada

41

Ejemplo 9

Encuentre la derivada de

=

Solución

Se utiliza la regla del cociente, regla del producto e identidad trigonométrica de ángulo doble:

*

+ = −

[ ] =

=

a) Derivada de la función del ángulo doble.

=

Se utiliza la identidad trigonométrica.

= =

Se aplica la regla del producto.

=

10. La derivada

42

´ = [ − ]

´ = [− ]

Se emplea la identidad trigonométrica.

= −

´ = [ − ]

´ = [ ]

´ =

b) La derivada del denominador = , también utilizando la regla del producto.

Aplicando la regla queda:

´ =

c) Finalmente se utiliza la regla del cociente:

*

+ = −

= ´ =

= ´ =

10. La derivada

43

´ = −

Empleando álgebra:

´ = −

´ = − −

Separando en términos:

´ =

−

−

´ =

−

−

Se aplica la identidad = = −

´ = −

−

−

´ =

*

−

+ −

[

] −

*

+

´ =

*

−

+ −

[

] −

*

+

10. La derivada

44

Se suprimen los valores que dan la unidad.

´ =

*

− + −

*

+ −

*

+

Se emplea la identidad trigonométrica de cotangente =

´ =

*

− + −

*

+ −

*

+

´ =

[ − ] −

[ ] −

*

+

Se restan.

´ =

[ ] −

[ ] −

[ ] −

*

+

´ = −

[ ] −

*

+

Se factoriza.

´ = −

(

)

10. La derivada

45

10.2.3 REGLAS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS CON CAMBIO DE VARIABLE

Muchas veces las derivadas trigonométricas involucran algún exponente o algún ángulo doble como se muestra en la siguiente función.

Intentemos derivar

=

No existe alguna identidad que nos facilite la operación por lo que en su lugar se define al ángulo como otra variable que se llamará = , esta nueva variable está en función de x, por lo que es necesario derivar esta nueva variable como du/dx, por lo que la derivada es:

´ = −

Y la parte du/dx

=

=

Se sustituye y

´ = −

Se reacomoda y se tiene:

´ = −

10. La derivada

46

Eje Ejemplo 10

Encuentre la derivada de = .

Solución

Aplicando la regla del producto se tiene:

[ ] =

Primero se deriva , teniendo a = , por lo tanto =

=

´ = −

Sustituyendo el valor de u y de

´ = −

Reacomodando.

´ = −

Se establece que:

= ´ =

= ´ = −

Finalmente se tiene:

´ = −

Se reorganiza

´ = −

10. La derivada

47

Ejemplo 11


Solución

Primero se expresa la potencia de la función trigonométrica para cambiar la variable.

= [ ]

Se cambia la variable por = quedando como:

=

Se deriva la nueva función y se tiene:

´ =

Ahora se deriva = :

=

Se sustituye la variable y en la derivada:

´ =

Finalmente queda:

´ =

𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒏 = 𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙

Recuerda que… En una función trigonométrica la potencia se puede escribir de la siguiente forma:

10. La derivada

48

También se puede realizar cambio de variable más de una vez.

Ejemplo 12


= (

)

Solución

Primero se designa =

por lo tanto, en primera instancia nuestra ecuación es:

= La derivada es:

´ =

Ahora se debe de encontrar , para ello se utiliza la regla del cociente:

*

+ = −

La derivada de , requiere nuevamente cambio de variable, por lo que = .

=

Se deriva

´ = −

Se obtiene , si = , entonces:

10. La derivada

49

=

Se especifica la derivada de en términos de x, si = y = .

´ = −

´ = −

´ = −

Ahora se arma la derivada utilizando la regla del cociente con:

= −

= ´ =

= ´ = −

=[ ] − [ − ]

=

Se sustituye el valor de y

´ =

´ = (

)

[

]

10. La derivada

50

10.2.4 REGLAS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Antes de presentar las reglas de las derivadas trigonométricas inversas primero presentaremos el teorema de la función inversa.

La explicación de este teorema es que:

=

Con la relación de un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas y el teorema presentado anteriormente, tenemos las siguientes reglas de derivación:

𝟏 𝑫𝒔𝒆𝒏 𝟏𝒙 =𝟏

√𝟏 − 𝒙𝟐 − 𝟏 < 𝑥 <

𝟐 𝑫𝒄𝒐𝒔 𝟏𝒙 =−𝟏

√𝟏− 𝒙𝟐 − 𝟏 < 𝑥 <

𝟑 𝑫𝒕𝒂𝒏 𝟏𝒙 =𝟏

𝟏 𝒙𝟐

𝟒 𝑫𝒔𝒆𝒄 𝟏𝒙 =𝟏

𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 >

Definición

𝒇 𝟏 𝒚 =𝟏

𝒇´ 𝒙

Definición Para una función derivable, cumpliendo que 𝑓 ´ 𝑥 0 en un punto donde 𝑦 = 𝑓 𝑥 :

10. La derivada

51

Ejemplo 13


= n √

Solución

Primero se designa = √ por lo tanto, en primera instancia nuestra ecuación es:

= La derivada es:

´ =

Ahora se debe de encontrar , para ello se utiliza la regla de la potencia:

=

=

=

√

Se sustituye el valor de y .

´ =

√

Finalmente:

´ =

√

10. La derivada

52

10.2.5 REGLA PARA LA DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL

Esta regla puede combinarse también con cambio de variable cuando se necesite y combinarse con funciones trigonométricas.

Ejemplo 14

Encuentre la derivada de = √

Solución

Se cambia la variable por = √ , por lo tanto, la derivada a resolver es ´ = Aplicando la regla de la derivada de un logaritmo natural se obtiene:

´ =

Ahora la derivada de

=

=


´ =

√ (

) =

√ (

√ )

´ =

𝑫𝒍𝒏𝒙 =𝟏

𝒙

Definición La derivada de un logaritmo natural (𝑙𝑛), considerando que 𝑥 > 0 es:

10. La derivada

53

Ejemplo 15


= ln

Solución

Haciendo un cambio de variable por = , la derivada a resolver es:

= ln .

Resolviendo la derivada se tiene:

´ =

Ahora la derivada de .

=

Se sustituye el valor de y .

´ =

Quedando:

´ =

Se utiliza la identidad trigonométrica de cotangente:

´ =

10. La derivada

54

El uso de las propiedades de los logaritmos también se puede aplicar previamente a la derivación.

Ejemplo 16


= √ −

Solución

Se expresa la raíz como una potencia racional.

= ( −

)

Se aplican las propiedades de los logaritmos:

=

ln ( −

) =

[ln − − ]

=

[ln − − ] =

[ln − − ]

En esta última expresión se utiliza la definición de derivada de un logaritmo

´ =

[

− −

]

𝑙𝑛 = 0 𝑙𝑛𝑎𝑏 = 𝑙𝑛𝑎 𝑙𝑛𝑏

𝑙𝑛𝑎

𝑏= 𝑙𝑛𝑎 − 𝑙𝑛𝑏 𝑙𝑛𝑎𝑟 = 𝑟𝑙𝑛𝑎

Recuerda que… Las propiedades de los logaritmos son:

10. La derivada

55

Ejemplo 17


=

Solución

Esta derivada merece que se ejecute en 3 secciones que tendrán su cambio respectivo de variable y finalmente aplicar la regla del cociente.

Paso 1 Desarrollo de las derivadas del numerador.

𝑦´ =

𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑦´ =

𝑥 𝑥

𝑦´ = 𝑥

𝑥

𝒚´ =𝟑

𝒙

a) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥

Primero se cambia la variable𝑢 =

𝑥 y la derivada de u queda

𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑥 .

La derivada de 𝑦 = 𝑙𝑛𝑢 es:

Se sustituye el valor de u y

du/dx.

Se realiza álgebra

𝑦´ = 𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑦´ = 𝑙𝑛𝑥 (

𝑥)

𝒚´ =𝟑 𝒍𝒏𝒙 𝟐

𝒙

b) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥

Primero se cambia la variable

𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 y la derivada de 𝑢 es

𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑥

La derivada de 𝑦 = 𝑢 es:

Se sustituye el valor de u y

du/dx.

Reacomodando:

10. La derivada

56

Paso 2 Desarrollo de la derivada del denominador.

= Primero se cambia la variable = y la derivada de u es = −

La derivada de =

´ =


´ = −

Se reacomoda

´ = −

Paso 3 Desarrollo de la derivada usando la regla del cociente.

´ = −

= ´ =

= ´ = −

Se arma la derivada

´ =* (

)+ − [ − ]

Se ordena.

´ =* (

)+ [ ]

10. La derivada

57

10.2.6 REGLA PARA LA DERIVADA DE LOGARITMO DE CUALQUIER BASE

Ejemplo 18


Solución Primero se cambia la variable = y la derivada de es = .

La derivada de = queda como:

´ = ⁄

ln


´ =

ln

Se ordena

´ =

𝑫𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 =𝟏

𝒙 𝟏

𝒍𝒏 𝒂

Definición La derivada de un logaritmo base “𝑎”, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 es:

10. La derivada

58

10.2.7 REGLA PARA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se define la función exponencial como la inversa del logaritmo natural, la función exponencial es por tanto derivable.

Al igual que la derivada de logaritmo natural en la exponencial también existe cambio de variable.

Ejemplo 19 Encuentre la derivada de =

Solución Primero se cambia la variable = y la derivada de u es = .

La derivada de = es:

´ =


´ =

Reacomodando

´ =

𝑫𝒆𝒙 = 𝒆𝒙

Definición La derivada de una función exponencial es la propia función exponencial.

10. La derivada

59

Ejemplo 20


Solución

Se aplica la regla del producto y en cada miembro de la función se hace un cambio

de variable.

Se aplica la regla del producto

[ ] =

Acomodando la función se tiene:

´ = [ ] − [ ]

𝑑𝑢 𝑑𝑥 =

𝑓 ´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑓 ´ 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥

a) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥


𝑥

La derivada de 𝑢

La derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑢:

Se sustituye el valor de 𝑢 y 𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑙𝑛𝑥

𝑔´ 𝑥 = 𝑒𝑢𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑔´ 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑥

b) 𝑔 𝑥 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑥


𝑥𝑙𝑛𝑥

La derivada de 𝑢

La derivada de 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑢:

Se sustituye el valor de 𝑢 y

𝑑𝑢 𝑑𝑥

10. La derivada

60

Eje Ejemplo21


= √ √ Solución

Se usa la regla de la suma, se realizan las dos derivadas por separado y después se

suman.

a) = √

Primero se cambia la variable = √

La derivada de .

=

La derivada de = .

´ =


´ = √ (

)

´ =

√

√

10. La derivada

61

b) = √

Primero se expresa como potencia.

√ =

Se cambia la variable =

Por lo tanto = , la derivada es:

=


´ = [

]

Aplicando las leyes de los exponentes se tiene:

´ =√

Se suman las derivadas.

´ =

√

√ √

Finalmente se obtiene:

´ =

√ [

√ ] =

√ * √

√ +

Finalmente.

´ = √

√ √

10. La derivada

62

10.2.8 REGLA PARA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA

Para una función potencia recordemos que la forma es: = y que ésta se puede representar como un logaritmo de la forma:

= =

Ejemplo 22 Encuentre la derivada de:

= (√ )

Solución

Se aplica la regla de la derivada de la función potencia.

= (√ ) √

𝑫𝒂𝒙 = 𝒂𝒙𝒍𝒏𝒂

Definición La derivada de una función potencia es:

10. La derivada

63

10.2.9 REGLA DE LA CADENA

La regla de la cadena es una generalización del procedimiento del cambio de variable aplicado en la derivada. Este método facilita la solución de la derivada, se menciona en algunos textos que su desarrollo fue pensado para derivar polinomios elevados a exponentes muy grandes.

Por ejemplo, la derivada de:

= 0

Alguien podría proponer el desarrollo del polinomio, lo que es difícil en términos de tiempo y de escritura, ya que se debe de multiplicar 120 veces y después derivar el polinomio resultante. Afortunadamente la regla de la cadena ayuda a escribir rápidamente:

´ = 0

𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝒅𝒚

𝒅𝒖

𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒇´[𝒈 𝒙 ][𝒈´ 𝒙 ]

Definición La regla de la cadena para una función diferenciable en 𝑥 y en 𝑢.

O bien si 𝑦 = 𝑓 𝑢 y 𝑢 = 𝑔 𝑥 entonces

10. La derivada

64

Ejemplo 23 Encuentre la derivada de:

=

Solución

Se expresa el cociente utilizando las propiedades de los exponentes como:

=

Ahora es , por lo que aplicamos la regla de la cadena:

=

= − 0

Reacomodamos

´ = −

10.2.10 REGLA DE LA CADENA COMPUESTA

La regla de la cadena puede extenderse a más de una variable, por ello se tiene la regla de la cadena compuesta.

𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝒅𝒚

𝒅𝒖

𝒅𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒗

𝒅𝒙

Definición La regla de la cadena para una función diferenciable en 𝑥 y en 𝑢.

10. La derivada

65

Ejemplo 24


= Solución

Se utiliza la regla de la cadena compuesta, por lo que utilizamos la siguiente tabla:

Ahora se conforma la derivada.

´ =

Se sustituyen las funciones de y

´ =

Finalmente se reacomoda.

´ =

Otra forma de ver la regla de la cadena compuesta es la siguiente:

Funciones Derivadas

=

=

=

=

=

=

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒇´[𝒈 𝒙 ][𝒈´ 𝒙 ][𝒉´ 𝒙 ]

O bien si 𝑦 = 𝑓 𝑢 , 𝑢 = 𝑔 𝑣 y 𝑣 = ℎ 𝑥 , entonces

10. La derivada

66

10.2.11 DERIVACION EXPLÍCITA

Otra forma de realizar las derivadas de la regla de la cadena compuesta es desarrollarla de forma explícita, para ello se puede hacer este proceso por etapas, indicando las derivadas que faltan al mismo tiempo que se van elaborando.

Ejemplo 25


= Solución

Vamos de afuera hacia adentro derivando:

´ =

Ahora se deriva la función seno:

´ = o

Se deriva entonces el ángulo de la función:

´ = o

Finalmente se reacomoda.

´ =

10. La derivada

67

10.3 Derivadas de orden superior

La derivada de orden superior no es más que seguir realizando el proceso de derivación, es decir encontrar la primera, segunda, tercera, etc. derivada de una función, la siguiente tabla ejemplifica las diferentes notaciones para las derivadas de orden superior (ver Tabla 10.4).

Tabla 10.4 Notaciones para las derivadas de orden superior

Derivada ´ ´

Primera ´ ´

Segunda ´´ ´´

Tercera ´´´ ´´´

Cuarta ´´´´ ´´´´

Quinta

n- ésima

10. La derivada

68

Aunque la notación de Leibniz es más complicada, se prefiere en muchos estudios matemáticos, por ejemplo, para la segunda derivada se escribe:

(

) =

Eje Ejemplo 26

Encuentre la tercera derivada de:

= − − Solución

Se realiza la primera derivada:

´ = −

La segunda derivada.

´´ = −

Y finalmente la tercera derivada

´´´ =

Eje Ejemplo 27

Encuentre la tercera derivada de:

= Solución

Para la primera derivada se tiene:

´ = −

10. La derivada

69


´´ = −

Y finalmente la tercera derivada.

´´´ = −

Esta derivada se puede generalizar como:

´´´ = −

Como se ve, se puede generalizar la derivación implícita. En el siguiente ejercicio veamos cómo se ejecuta con una derivada más complicada.

Eje Ejemplo 28

Encuentre la tercera derivada de la siguiente función:

=

−

Solución

La regla de derivación que se utilizará es la del cociente:

´ = −


= ´ =

= − ´ =

10. La derivada

70

´ = − −

−

´ = − − −

−

´ =− − −

−


´´ = −

Se tiene:

= − − − ´ = − −

= − ´ = −

´´ =[ − − − ] − [ − − − − ]

[ − ]

Se factoriza −

´´ = − [ − − − − − − − ]

−

´´ =[ − − − − − − − ]

−

10. La derivada

71

´´ = − −

−

´´ =

−

La tercera derivada.

´´´ = −

Se tiene:

= ´ =

= − ´ = − = −

´´´ =[ − ] − [ − ]

[ − ]

Se factoriza − .

´´´ = − [ − ] − [ ]

−

´´´ =− − − − −

−

72

Ejercicios de refuerzo UNIDAD 10 LA DERIVADA

− = −

− = −

− =

− = √

− =

− =

− =

− =

𝑓 ´ 𝐴 = limℎ→0

𝑓 𝐴 ℎ − 𝑓 𝐴

ℎ

I. Encuentre la derivada que se indican en el punto 𝒙 = 𝟐, utilizando la

definición básica.

10. La derivada

73

− = −

0 − =

√

II. Utilice las reglas de derivación

para las siguientes funciones

algebraicas.

− =

− = √

− =

− = −

− =

− = − − −

− =

− = −

− =

0 − =

−

√

− = − −

− = −

− = − −

− =

− =

−

− = −

−

− =

−

− =

− = −

−

0 − = √

−

III. Utilice las reglas de derivación

para las siguientes funciones

trigonométricas.

− = −

− =

− =

− =

10. La derivada

74

− =

− =

−

− =

− =

− =

0 − = −

− =

− = (

)

− =

− = −

− =

−

− = −

− =

− =√

√

− = √

0 − =

− =

− = √

− =

− =

− =

− = (

)

− = √

− = (

)(√

)

− =

0 − =

10. La derivada

75

IV. Utilice la regla de la cadena para

encontrar la derivada.

− = −

− = −

− = −

− =

√ − −

− = [ ]

− = (

)

− =

− = ( −

)

− = ( −

)

0 − = (

)

− =

−

− = −

−

− = −

−

− =

− = *

√ +

V. Utilice la regla de la cadena

compuesta para encontrar la

derivada de las siguientes

funciones.

− =

− = −

− = (

− )

− =

0 − =

− = [ o ]

10. La derivada

76

− = [ n ]

− = [ n (

)]

VI. Derive las siguientes funciones

logarítmicas.

− = ln −

− = √

− = ln

− =

− =

− = √

0 − =

− ln (

)

− = √

− = ln ( − √ )

− = ln

− = ln (

)

− =

VII. Utilice las propiedades de los

logaritmos para desarrollar las

siguientes derivadas.

− = ln

− = √ −

− =

− = ( −

)

00 − = √ −

√ −

0 − =

0 − = √

10. La derivada

77

VIII. Derive as siguientes

funciones exponenciales.

0 − =

0 − = √

0 − =

0 − =

0 − =

0 − = √ − √

0 − =

0 − = ⁄

− =

− =

− =

− = √

− = √

− =

− =

− =

− =

0 − =

IX. Realice la tercera derivada para

las siguientes funciones.

− = − −

− = −

− =

− =

− =

− =

−

− =

− =

− =

0 − =

10. La derivada

78

11. Derivada implícita

79

Capítulo once

Derivada implícita

Una función implícita puede representar a

funciones de más de una variable

independiente y a más de una función.

Una derivada implícita

se asemeja a una

reacción química

simultánea y paralela,

donde el reactante

participa en varias

reacciones químicas,

en nuestro caso el

reactante representa

la operación de

derivar.

“De una presentación intrincada a una solución sencilla es la sorpresa que entrega

la derivada implícita”.


80

11.1 Definición de una función implícita

Existen funciones que presentan una gran dificultad para dejarla en términos de una

sola variable; es decir no se puede despejar a una variable de la otra para realizar el

proceso de derivación.

La siguiente ecuación es un ejemplo de una

función explicita:

= −

Donde la función está en términos de , que

es la variable independiente, lo que hace que

la función sea clara y detalla la relación de

estas variables.

Por otro lado, también existen funciones que

no se pueden expresar de esta manera como

la siguiente ecuación:

=

El tratar de despejar cualquiera de las dos variables, no es tan sencilla, debido a que una variable está en función de otra variable y viceversa. La derivada implícita tiene que ver con derivar ambas variables al mismo tiempo, lo que se puede ejemplificar como la ama de casa que realiza dos quehaceres simultáneamente.

𝑓 𝑥 𝑦 = 0

Definición Una función se llama implícita cuando se define de la forma:


81

Ejemplo 1 De las siguientes funciones indique si son funciones explicitas o implícitas.

= −

=

= √ −

− − − = 0

Solución

= −

Primero se despeja alguna de las variables, se escoge y debido a que es lineal el

exponente.

= −

Se despeja a y.

− =

En esta función se pudo separar la variable en un lado y en otro lado de la

igualdad, por lo tanto es una función explícita.

=

Se divide la ecuación entre .

=

=


82

Se despeja a

=

Por lo tanto, es una función explícita.

= √ −

Se despeja a .

Se eleva al cuadrado ambos miembros de la función.

(

)

= (√ − )

= −

= −

De cualquier manera, que se trate de despejar a x o y, no se logra expresar la función

en términos de una sola variable, es decir tener a de un lado de la igualdad y a

del otro lado. Por lo tanto, se tiene una función implícita.

− − − = 0

Se agrupan las variables para factorizar.

− = − −

− = − −

Como se aprecia en la ecuación, no se logra establecer la separación de variables.

Por lo tanto, es una función implícita.


83

Pasos para derivar funciones implícitas:

1. Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las reglas vistas con

anterioridad.

2. Despejar 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Agrupar los términos de la función de acuerdo a su derivada.

Factorizar en el lado izquierdo a 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Despejar a 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Recuerde, tener cuidado de tratar a la variable dependiente y, exactamente

como una variable.

11.2 Métodos de derivación implícita

Los métodos que se emplean para encontrar la derivada implícita es a través de la separación de términos y del método del cociente.

11.2.1 MÉTODO DE SEPARACIÓN DE TÉRMINOS

Para desarrollar la derivada implícita se deberá de recurrir a las reglas ya vistas (regla

de la potencia, cociente, producto, de la cadena, cambio de variable y

trigonométricas) para derivar ambos miembros de la igualdad y finalmente despejar

a ; que es la derivada de la función , veamos esto en el siguiente recuadro.


84

Ejemplo 2

Derive la siguiente función − =

Solución

Se derivan ambos miembros de la función.

−

=

Es decir:

−

=

Se factoriza .

− =

Se despeja .

=

−

La derivada es:

´ =

−

Se lleva a la mínima expresión.

´ =

−

Finalmente:

´ =

−


85

Demostración

Como ya se mencionó, la derivación implícita se utiliza cuando la variable

dependiente no se puede despejar, pero podemos tener una función explicita

aplicando el método de la derivación implícita, para ver que esto es equivalente.

Encontrar la derivada de la siguiente función.

− = −

Primero se despeja la variable dependiente.

− = −

= −

−

Se deriva utilizando la regla del cociente.

´ = −


= − ´ =

= − ´ =

´ = − − −

−

´ = − −

−

´ = −

−


86

Ahora se desarrolla la derivada implícita.

− = −

Se realiza regla del producto en el lado izquierdo de la ecuación.

− = −

−

=

Se agrupan términos.

−

=

−

Se factoriza

− = −

Se despeja

= −

−

Finalmente, la derivación implícita de la función es:

´ = −

−

Las ecuaciones encontradas lucen diferentes:

Derivación explícita Derivación implícita

´ = −

− ´ = −

−


87

Para realizar la demostración se utiliza la derivada encontrada por el método

implícito.

´ = −

−

Se sustituye el valor de de la ecuación original y se sustituye en la derivada

encontrada por el método implícito.

´ = − (

)

−

Se realiza álgebra.

´ = − (

)

−

Resolviendo la fracción superior.

´ =

−

´ = − − −

−

´ = − −

−

´ = −

−

Como se ve, se llegó a la misma ecuación encontrada por el método explícito.


88

Ejemplo 3 Derive la siguiente función − = 0

Solución


− = 0

Es decir.

−

= 0

−

= 0

Se factoriza

− = 0

Se despeja .

=−

−

Finalmente, la derivada es:

´ =

−


89

Eje Ejemplo 4

Derive la siguiente función − =

Solución


− =

1.- Se desarrollan cada una de las derivadas, se inicia con .

=

2.- Ahora se utiliza regla del producto para .

=

=

=

3.- Se continua con la derivada de , primero se deriva la función trigonométrica con cambio de variable.

=


90

Para derivar el ángulo de se utiliza la regla del producto.

=

=

=

Esta derivada queda como:

= −

Ahora se sustituye y .

= − (

)

4.- Finalmente la derivada de .

= 0

Ahora se unen las derivadas.

− (

) − (

) = 0

−

− −

− = 0

Se reorganiza.

−

− −

− = 0


91

Se factoriza

− − − − = 0

Se despeja .

=

− −

La derivada queda como:

´ =

− −

11.2.2 MÉTODO DEL COCIENTE

Otra manera de realizar la derivada implícita es mediante el cociente de las

diferenciales, es decir se deriva la función en términos de una variable y después en

función de otra variable y se desarrolla algebraicamente el cociente.

𝑓 ´ 𝑥 = −𝑑𝑓 𝑑𝑥

𝑑𝑓 𝑑𝑦

Definición La derivada implícita mediante el método del cociente es:


92

Eje Ejemplo 5 Derive la siguiente función utilizando el método del cociente:

= 0

Solución

Primero se deriva la función en términos de , por lo que la variable se considera

una constante, la función se expresa de la siguiente forma:

= (

)

= (

) −

=

−

=

−

Se expresa el cociente con un denominador común

= −

Ahora la función original se deriva en términos de , manteniendo constante .

= (

)

= −


93

= −

Es decir:

=

−

Se expresa el cociente con un denominador común.

= −

Finalmente se realiza el cociente.

´ = −

´ = −

Se realiza la regla de las fracciones, que es multiplicar los extremos para conformar

el numerador y multiplicar los medios para establecer el denominador.

´ = − −

−

Se realiza.

´ = − −

−

Finalmente se tiene:

´ = − −

−

94

Ejercicios de refuerzo UNIDAD 11 DERIVADA IMPLÍCITA

I. Clasifique las siguientes funciones como explícitas o implícitas

−

− = 0

− − = 0

− − = 0

− = 0

− = 0

− − = 0

− − = 0

= 0

− − = 0

−

− = 0


95

I. Derive las siguientes

funciones implícitas, por el método

de separación de variables.

=

=

− =

=

− = 0

− = 0

− = 0

√ − = 0

√ − − = 0

0

− √

− = 0

− − = 0

o − − = 0

n − = 0

− − √ = 0

− = 0

− − = 0

− −

− − = 0

0 − √

II. Derive las siguientes

ecuaciones implícitas utilizando el

método del cociente.

− = 0

= 0

= 0

−

− = 0

= 0

= 0

−

= 0

= 0

0

−

= 0


96

12. Máximos y mínimos

97

Capítulo doce

Máximos y mínimos

En el estudio de máximos y mínimos es

imprescindible el uso de las herramientas del

cálculo diferencial, ya que la derivada es el

primer paso para lograr encontrar estos puntos

La idea matemática de

una curva que presenta

un máximo y un

mínimo, se puede ver

como el consumo de

sustrato por algún

organismo es un

ejemplo de la aplicación

de las derivadas a la

química.

“Los dos extremos como el bien y el mal pueden ser unidos por el cálculo diferencial”

Fotografía de Paul Myers-Bennett.


98

12.1 Concepto de máximos y mínimos y puntos de inflexión

Como se ha visto cuando se calcula la derivada, se está hallando la tangente, ésta representa un cambio en la posición de la variable, como por ejemplo con respecto al tiempo; en química este concepto se aplica a la obtención de productos. A través de la derivación, se puede encontrar el momento donde se halle el punto máximo o el punto mínimo de la función (ver Figura 12.1). Por lo tanto, se puede encontrar el instante en que una reacción química genera la mayor cantidad de producto, así como el momento en que ésta proporciona la mínima cantidad de producto. Este punto se encuentra cuando la pendiente de la línea tangente a la gráfica es cero.

Si tenemos una curva, cuya

función tiene un dominio en S, solo queda preguntarnos por: 1.- ¿La función tiene un punto máximo o mínimo? 2.- ¿Si existe un punto máximo o mínimo, en qué lugar se encuentra?

Figura 12.1 Curva que presenta un máximo y un mínimo


99

Para encontrar un máximo o un mínimo en una función, se debe cumplir la siguiente definición:

Cuando se buscan los puntos máximos y mínimos de una función, debemos

encontrar los puntos críticos (puntos frontera, singulares y estacionarios) ver Figuras

12.2, 12.3, 12.4 y 12.5.

Figura 12.2 Puntos críticos dentro de una función

Puntos frontera

Es el intervalo donde se va a maximizar o a

minimizar una función, estos extremos

pueden ser con intervalos cerrados o

abiertos (ver Figura 12.3).

Puntos críticos

Estacionario Singular Frontera

Definición Sea c, un punto en el dominio S de 𝑓, se dice que:

1. 𝑓 𝑐 es un valor máximo de 𝑓, si 𝑓 𝑐 ≫ 𝑓 𝑥 .

2. 𝑓 𝑐 es un valor mínimo de 𝑓, si 𝑓 𝑐 ≪ 𝑓 𝑥 .

3. 𝑓 𝑐 es un valor extremo de 𝑓 en S, si es un máximo o mínimo.

Con la condición de que la función 𝑓, sea continua en un intervalo cerrado, para la

existencia de máximos o mínimos.

Figura 12.3 Puntos frontera


100

Puntos estacionarios

Son los puntos en donde la tangente

de la gráfica se hace horizontal, es

decir la pendiente es cero (ver Figura

12.4) se puede decir que existe una

inflexión en la curva en este punto.

Puntos singulares

Cuando existe un “salto” en la gráfica o

una tangente a la curva vertical, se le

conoce como punto singular, es raro en

la práctica, pero por ejemplo en una

curva de titulación, al monitorear el pH

en una reacción de neutralización se

puede observar una tangente con

pendiente vertical (ver Figura 12.5).

El uso y conocimiento de los puntos críticos, conduce al siguiente teorema:

Figura 12.4 Puntos estacionarios

Definición Teorema del punto critico

Si f es definida en un intervalo S, que contiene a c, solo podrá ser:

1. Un punto frontero de S.

2. Un punto estacionario de f, que se cumple cuando 𝑓 ´ 𝑐 = 0.

3. Punto singular de 𝑓 en el que 𝑓 ´ 𝑐 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

Figura 12.5 Puntos singulares


101

12.2 Criterios de la primera y segunda derivada para determinar máximos y mínimos

Para determinar si existe un máximo o un mínimo, es necesario encontrar los puntos

críticos de la función esto se estudia con el criterio de la primera derivada.

12.2.1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

El criterio de la primera derivada sigue los siguientes pasos:

1. Se deriva la función.

2. Se iguala la derivada encontrada a cero.

3. Se despeja el valor de .

4. Se evalúa la función con estos valores y se determina si es máximo o

mínimo.

Eje Ejemplo 1 Encuentre los puntos críticos de la función = − , sobre el intervalo [− ].

Solución

1) Se tiene que los extremos son los primeros puntos críticos, ya que estos son

los puntos frontera.

2) Se deriva la función obteniendo: ´ = −

3) Se iguala a cero la derivada: − = 0


102

Se factoriza y se calculan las raíces de la derivada:

− = 0

= 0 =

Los puntos críticos de la función son:

(− 0

)

Finalmente se evalúa la función en cada punto crítico:

− =

0 = 0

(

) = 0

= −

Se grafican los puntos críticos para construir la gráfica.

El máximo de la función es 5, que se obtiene con = − y el mínimo es − que se

obtiene con = , coincide con los puntos frontera.


103

Figura 12.6 Crecimiento y decrecimiento

de una función

Debido a que la derivada representa la tangente, se puede decir que la derivada

relaciona el crecimiento o decrecimiento de una función.

Considere la siguiente gráfica,

considerando el teorema

anterior, se puede observar que

de la izquierda hacia la derecha

hasta llegar al punto “ ”, la

función decrece, por lo que la

derivada en este intervalo es

menor a cero y del punto “ ”

hacia la derecha la derivada en

este intervalo es creciente.

Recuerda que… Si la pendiente es:

Positiva, la función es creciente. Negativa, la función es decreciente

Definición Teorema de la primera derivada

𝑓 ´ 𝑥 > 0 La función es creciente

𝑓 ´ 𝑥 < 0 La función es decreciente


104

Ejemplo 2 Encuentre donde es creciente y en donde decreciente la función:

=

− −

Solución

Primero se deriva la función:

´ = − 0 −

Ahora se factoriza y se iguala a cero.

− 0 − = 0

− − = 0

− = 0 Se tiene que los puntos − son estacionarios.

Se grafica la función evaluando en

la ecuación original estos puntos.

− =

= −

Al analizar la gráfica se tiene que:

[− − ] Es creciente

− Es decreciente

[ ] Es creciente


105

12.2.2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Recuerde que la primera derivada, proporciona la pendiente de la recta tangente de

la función, la segunda derivada proporciona la concavidad de una función (ver Figura

12.7).

Figura 12.7 Recorrido que hace la tangente en una gráfica, a) cóncava hacia arriba

y b) cóncava hacia abajo.

Por lo tanto, se puede establecer el teorema de concavidad:

Una vez encontrada la segunda derivada se plantea la desigualdad a la que se le dará

solución.

Definición Teorema de la segunda derivada

𝑓 ´´ 𝑥 > 0 La función es cóncava hacia arriba

𝑓 ´´ 𝑥 < 0 La función es cóncava hacia abajo


106

Ejemplo 3 De la siguiente función, aplique el criterio de la primera y la segunda derivada.

=

− −

Solución

Primero se obtiene la primera derivada.

´ =

− −

Se iguala a cero

− − = 0

Las raíces que dan solución a la ecuación son:

0 − = 0 Los puntos estacionarios son:

−0

Con esto se construye la recta numérica para verificar si es creciente o decreciente,

basta con evaluar con un valor antes de -0.67, otro entre -0.67 y 2 y finalmente un

valor después de 2, por lo que se escoge.

− = 0

−0 =

=

= 0

=

− −0 ] −0 [

Valor de la derivada

Creciente Decreciente creciente


107

Ahora se obtiene la segunda derivada de

´ =

− −

´´ = −

Para ver la concavidad se aplica la desigualdad por lo que es cóncava hacia abajo

para − < 0, por lo que los valores que satisfacen dicha desigualdad son:

<

Es cóncava hacia arriba para − > 0, los valores que satisfacen la desigualdad

son:

>

Finalmente se puede decir que es:

Cóncava hacia abajo en (−

) y n i i n (

).Los valores

críticos, así como la concavidad se presentan en la siguiente figura.


108

12.3 Aplicaciones de los máximos y mínimos

Las aplicaciones para maximizar o minimizar funciones son muy variadas por

ejemplo en química una de sus principales aplicaciones radica principalmente en

encontrar matemáticamente el volumen máximo de un reactor de acuerdo con un

área específica, la conducción de fluidos a través de canales con diferentes

geometrías a la sección transversal de un tubo, los fluidos que ingresan o se eliminan

del cuerpo humano, etc.

Eje Ejemplo 4 Exprese la variación de la concentración de las especies presentes en la siguiente

reacción:

→

Solución

Primero se balancea la reacción

→

El ácido clorhídrico y el hidróxido de aluminio se consumen conforme transcurre el

tiempo para producir cloruro de aluminio y agua. Por lo tanto, se puede escribir el

consumo del ácido clorhídrico respecto al tiempo como:

= [ ]

= [ ]

= [ ]


109

Ejemplo 5

Encuentre la máxima acidez tolerable por una cepa de Lactobacilluscasei (L. casei),

cuyo crecimiento se ajusta a la siguiente ecuación.

= −0 00 − 0 00

Donde

C Número de células de L.casei 0 D Grados Dornic (°D)

Solución

Primero se deriva la función:

= −0 00 − 0 00

´ = −0 0 − 0

Ahora se iguala a cero.

−0 0 − 0 = 0

0 𝑔𝑟 𝑑𝑒 á𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑙á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑜

𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎= °𝐷

Recuerda que… El grado Dornic (°D), expresa el contenido de ácido láctico en una muestra.


110

Las raíces que dan solución a la ecuación cuadrática son:

− − 0 = 0 Se tiene que los puntos 0 , son estacionarios.

Se evalúa estos valores críticos en la ecuación original para determinar ¿Cuál es un

máximo? y ¿Cuál es un mínimo?

Para el mínimo:

= − 0

Para el máximo

0 =

Por lo tanto, la máxima acidez tolerable por la bacteria L. casei,es de 102.289 °D.

Finalmente esto es:

0 ° (

0

° ) = 0

á á

En conclusión, después de los 10.2 gr de ácido láctico por litro de disolución,

comienza la fase de muerte celular y la cantidad UFC de L. casei decae.


111

Eje Ejemplo 6 El tiempo de anticoagulación de una serie de fármacos en función del peso

molecular, está definida por la siguiente ecuación:

= 0 − 0 00

Dónde:

Es el tiempo en horas Es el peso molecular en Dalton Encuentre el tiempo mínimo para la acción del anti coagulante y ¿Cuál es el peso

molecular del fármaco?

Solución

Primero se deriva la función para encontrar el mínimo.

´ = 0 − 0 00

Se iguala a cero para conocer el valor del peso molecular del fármaco.

0 − 0 00 = 0

=0 00

0

=

Finalmente se sustituye este valor en la ecuación original y se obtiene el tiempo en

el que el fármaco efectúa la anticoagulación.

= 0 000 − 0 00 000

=


112

Ejercicios de refuerzo UNIDAD 12 MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Resuelva los siguientes ejercicios

1.- La producción de cierta sustancia

química sigue el siguiente modelo

matemático:

=

−

0

Dónde:

Producción (Ton/sem).

Costo (miles de $).

Determine la producción máxima de

la sustancia química.

2.- Una cierta población fue azotada

por una epidemia, cuya dispersión de

la enfermedad puede ser

representada por la siguiente

expresión:

=

Dónde:

Número de pacientes.

Constantes.

Tiempo (días).

Determine la máxima velocidad de

dispersión de la epidemia.


113

3.- Un kilogramo de agua ocupa cierto

volumen; encuentre el máximo

volumen que ocupará, utilizando la

siguiente expresión matemática que

es válida en un intervalo de

temperaturas de 0 a 10 °C:

= 0 0

− 0 Encuentre la temperatura para el volumen mínimo. 4.- Según la INEGI La evapotranspiración real media anual se puede obtener a través de la siguiente ecuación:

=

√0

Dónde: Precipitación (mm/año). Evapotranspiración (mm/año). Indicador de Temperatura

media anual, que se calcula con:

= 00 0 0

Donde es la temperatura media anual (mm/año).

5.- Se sabe que la evapotranspiración es la cantidad de agua que se regresa

a la atmósfera por evaporación y por la transpiración de las plantas; encuentre la cantidad máxima de evapotranspiración para las diferentes localidades de Sonora:

Localidad Temperatura media

anual(°C)

El cajón 21.85

Rayón 22.26

Meresichic 18.97

Curcurpe 19.5

Rancho la Aquituna

20.3

Fuente: Heras Sánchez, 2013

5.- Después de la ingesta de alimento la cantidad de Glucosa en la sangre tiende a elevarse, una aproximación para una persona sana es la siguiente ecuación: = − 0

Dónde: Cantidad de glucosa en la

sangre (mg / 100 mL). Tiempo (horas). Encuentre en qué momento se tiene la mayor cantidad de glucosa en la sangre, después de la ingesta, así como la cantidad.


114

6.- La solubilidad es la cantidad de sustancia que se puede disolver a una temperatura dada en un disolvente (normalmente agua). Encuentre la temperatura máxima para la solubilidad del CuSO4, utilizando la siguiente aproximación matemática:

= −0 0 0 − Dónde: Solubilidad (g/100 ml). Temperatura (°C) 7.- La conductividad térmica es la capacidad que poseen los metales de conducir el calor. Para cierta cantidad de elementos se puede representar la conductividad térmica en función del número atómico, siguiendo la siguiente expresión: = 0 − 0

− Dónde: Número atómico (Número de

protones). Conductividad térmica

(W/mK) Encuentra:

a) ¿Qué elemento presenta la máxima conductividad térmica?

b) ¿Cuál es el valor de la máxima conductividad térmica?

c) ¿Qué elemento tiene la menor conductividad térmica?

d) ¿Cuál es el valor de la máxima conductividad térmica?

8.- La entalpía de atomización se define como la energía que se necesita para producir una mol en estado gaseoso de un elemento en condiciones estándar, la ecuación que se presenta modela algunos elementos de manera aproximada, en donde la entalpía de atomización está en función del número atómico, prediga que elemento necesita más energía para dicho proceso. = −

− Dónde: Número atómico (Número de

protones). Entalpía de atomización

(KJ/mol). 9.- La densidad es la relación que existe entre la masa y el volumen, para algunos elementos de la tabla periódica esta propiedad se puede representar con la siguiente ecuación matemática:


115

= − 0 0 − Dónde: Número atómico (Número de

protones). Densidad del elemento

(kg/m3) Encuentre ¿Qué elemento definido dentro de este modelo tiene mayor densidad? 10.- El crecimiento de la bacteria photobacteriumphosphoreumes responsable del deterioro de algunos productos pesqueros en condiciones anaerobias. La ecuación que representa el crecimiento de esta bacteria como una función de la temperatura es la siguiente:

= 0 00 0 00 0 0 Dónde: µ Crecimiento de

photobacterium en un medio complejo.

Temperatura (°C). Encuentre la temperatura en el que la bacteria tiene un crecimiento máximo.

11.- La incorporación de cloro al agua para realizar la desinfección, es un procedimiento usual; esto hace que reaccione el cloro con las distintas sustancias que tiene el agua como el hierro, manganeso, nitritos, etc una vez que todos han reaccionado, el cloro que queda se le conoce como cloro libre residual, que es el que actúa realmente como desinfectante, un modelo matemático que establece la relación entre el cloro libre residual ( ) en función del cloro aplicado

( ) es: [ ] = 0 0 [

]

− 0 [ ]

0 0[ ]

− 0 [ ]

Dónde: [ ] Cloro libre residual (mg/L). [ ] Cloro aplicado (mg/L). Encuentre la cantidad mínima de cloro en el que se tiene la máxima formación de cloro libre residual.


116

117

Capítulo trece

Razón de cambio y diferenciales

La modificación de una magnitud o cantidad

respecto al tiempo nos indica una razón de

cambio, en la vida cotidiana podemos ver esta

razón de cambio como un crecimiento o

desarrollo respecto al tiempo.

La tasa de cambio de un

producto derivado de

una reacción química, la

podemos ver en

laboratorio en la

formación de algún

precipitado que

aparece, aunque

muchas veces estas

razones de cambio sólo

se logran monitorear

con un cambio

progresivo de pH o de

potencial eléctrico.

“Conocer el cambio, la evolución y modificación es la mansedumbre de las

matemáticas”

13. Razón de cambio y diferenciales

118

13.1 Razón de cambio y diferenciales La derivada es una razón de cambio instantáneo con respecto a la variable ,

en general una razón de cambio indica cuán rápido cambia la cantidad.

Por ejemplo, en la siguiente reacción:

→

Reacciona una molécula de hidróxido de aluminio

[ ] con tres de ácido clorhídrico [ ];

para producir una de cloruro de aluminio[ ] y

tres moléculas de agua. Para el consumo del ácido

clorhídrico se tiene:

= −

Significa que el ácido clorhídrico (reactivo) disminuye o se consume (signo negativo)

a una razón de 3 moles por unidad de tiempo (para el caso de un producto, el signo

de la razón de cambio es positivo).

13.2 Aplicaciones de razón de cambio y diferenciales

Para resolver los problemas que tengan razones de cambio, se debe seguir el

siguiente procedimiento:

´


119

Eje Ejemplo 1

En una expansión adiabática del aire, la presión y el volumen se relacionan con

= , en cierto momento la presión es de 1500 lb/in2 y el volumen de 60 in3,

encuentre la razón de cambio de la presión en el instante en que el volumen

disminuye a razón de 2 in3/s.

Solución

El desarrollo de los pasos para resolver el ejercicio es:

1. Lea varias veces el problema con cuidado.

2. Identifique las variables del problema y asígnele una letra.

3. Escriba las razones de cambio que se proporcionan y use la derivada de

la razón que se desea encontrar.

4. Escriba una ecuación o función que relacione todas las variables.

5. Diferencie respecto al tiempo.

1. Traducción:

𝑃 − 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖 𝑛 (𝑙𝑏

𝑖𝑛 )

𝑉 − 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑖𝑛

𝑡 − 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠

2. Identifique las variables del

problema y asígnele una letra.

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑖𝑛

𝑠

𝑑𝑃

𝑑𝑡 𝑃= 00 𝑉= 0

=?

3. Escriba las razones de cambio que

se proporcionan y use la derivada

de la razón que se desea encontrar.

𝐾 = 𝑃𝑉

4. Escriba una ecuación o función

que relacione todas las

variables.


120


5.1 Primero se calcula la constante bajo las condiciones de volumen y presión.

=

= 00 0

=

Ahora se despeja la variable P de la ecuación original.

=

5.2 Se diferencia respecto al tiempo.

( = )

=

= (−

)

Acomodando se tiene:

= − (

)

Se sustituyen lo valores.

= − (

)

0

= −


121

Ejemplo 2

Según estudios de alometría el peso del cerebro de cierta especie de pez, está

relacionada con su peso corporal por la siguiente expresión: = 0 00 y el

peso corporal con la longitud según la ecuación: = 0 , en donde y está

en gramos y L en centímetros. Suponga que la longitud del pez aumentó a una razón

constante desde los 12 cm hasta los 20 cm en un periodo de 25 millones de años. ¿A

qué razón se desarrolló el cerebro del pez, cuando estaba a la mitad del peso

corporal final?

Solución


1.- Leer el ejercicio, con lo que se

plantea el siguiente dibujo:

𝐸 − 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑟𝑒𝑏𝑟𝑜 𝑔𝑟

𝑃 − 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜𝑟𝑎𝑙 𝑔𝑟

𝐿 − 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑐𝑚

𝑡 − 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑖𝑙𝑙 𝑛 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠

2.- Identifique las variables del


𝑑𝐿

𝑑𝑡=

𝑐𝑚

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑑𝐸

𝑑𝑡 𝑃=

𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

=?

3.- Escriba las razones de cambio

que se proporcionan y use la

derivada de la razón que se desea

encontrar. 𝐸 = 0 00 𝑃

𝑃 = 0 𝐿



variables.


122


5.1 Primero se obtiene el peso corporal final, que es cuando mide 20 cm.

= 0 0 =

5.2 Ahora este peso se divide entre dos de acuerdo con la pregunta y se obtiene

la longitud con este peso obtenido.

=

= 0

La longitud para este peso es:

0 = 0 =

5.3 Se realiza álgebra para sustituir el peso corporal en la ecuación del peso del

cerebro.

= 0 00 0

5.4 Se diferencia respecto al tiempo.

= 0 00

0

Se utiliza regla de la cadena.

= 0 00 (

) (0

)

[0 (

)

]

Se sustituyen lo valores.

= 0 00 (

) (0

)

[0 (

)

(

)]

=


123

Eje Ejemplo 3

Un mezclador, alimenta un horno para producir un material cerámico (MgAl2O4), los

reactivos son MgO y Al2O3 dispuestos en una tolva cada uno; respecto al Al2O3, se

forma un montículo de forma cónica en donde la base y la altura son iguales, se sabe

que el volumen disminuye a razón de 1m3/min. Calcule la rapidez de variación de la

longitud de sus lados, cuando ésta es de 3 metros. Suponga que las dimensiones de

sus lados se mantienen iguales en todo momento.

Solución


1.- Leer el ejercicio, con lo que se

plantea el siguiente dibujo:

𝑉 − 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑚

ℎ − 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑚

𝑟 − 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑚

𝐿 − 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑐𝑚

𝑡 − 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑖𝑛



𝑑𝑉

𝑑𝑡= − 𝑚

𝑚𝑖𝑛

𝑑𝐿

𝑑𝑡 𝐿= 𝑚

=?




encontrar.

𝑉 =

𝜋𝑟 ℎ

𝑟 =

𝐿



variables.


124


5.1 Primero se expresa la ecuación del volumen en términos de la longitud,

debido a que es un triángulo equilátero se puede escribir:

=

Ahora se expresa la altura en términos de , utilizando el teorema de

Pitágoras.

= ℎ

= (

)

ℎ

ℎ = − (

)

ℎ = −

ℎ =

ℎ = √

=√

Se sustituye ℎ y en la ecuación de volumen.

=

ℎ

=

(

) √

𝐿

𝑟

ℎ


125

=

(

) √

=√

Ahora se deriva la ecuación con respecto al tiempo.

=√

(

)

=√

(

)

=√

5.2 Ahora se despeja

=

√

5.3 Se sustituyen lo valores.

] = 00

=

√ ( 00

) ( 00 000

)

] =

=


126

Ejemplo 4

El derrame de una sustancia química se esparce en un lago en forma de un cilindro,

cuyo volumen es de 250 ft3. Calcula la rapidez de aumento del radio cuando éste es

de 20 ft, considere que el espesor del cilindro disminuye a razón 0.1 ft/min.

Solución

Repetimos los pasos para resolver el ejercicio:

1.- Leer el ejercicio, y traducirlo

con el siguiente dibujo:







𝑑ℎ

𝑑𝑡= −0

𝑓𝑡

𝑚𝑖𝑛

𝑑𝑟

𝑑𝑡 𝑟= 0 𝑓𝑡

=?




encontrar.

𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ



variables.


127


5.1 Se despeja el espesor del derrame (h).

ℎ =

5.2 Se sustituye el valor del volumen y se diferencia la ecuación.

ℎ = 0

ℎ

= 0

ℎ

= 0

−

ℎ

= − 00

5.3 Se despeja y se sustituye el valor del ℎ

= −

00

ℎ

] = 0

= − 0

00 −0

] =

=


128

Ejemplo 5

Para realizar la prueba de ángulo de reposo a cierto fármaco en polvo, se emplea el

siguiente método de medición que consiste en dejar caer el fármaco para formar un

montículo, en este caso se dejó caer a razón de 4 cm3/min, conteste lo siguientes:

a) ¿A qué velocidad está subiendo el vértice, cuando la longitud del lado es de

15 cm y la altura es de 10 cm?

b) ¿Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está

variando?

c) ¿En este momento obtenga el ángulo de reposo e indique si es necesario

colocar en la tolva de alimentación deslizadores, para ello utilice la siguiente

tabla:

Ángulo de reposo (grados)

Fluidez

Menor a 25 Excelente 26-30 Buena 31-40 Regular *

Mayor a 40 Pobre * A partir de este ángulo se recomienda utilizar deslizantes.

Solución

Repetimos los pasos para resolver el ejercicio:

1.- Leer el ejercicio, y traducirlo con el

siguiente dibujo:


129

4. Escriba una ecuación o función que relacione todas las variables.

= ℎ

= (

)


5.1 Se despeja la altura del cono formado (h).

ℎ =

5.2 Se calcula el radio del cono, utilizando el teorema de Pitágoras.

= ℎ

= − 0 =





𝜃 − Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜



𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑐𝑚

𝑚𝑖𝑛

𝑑ℎ

𝑑𝑡=?

𝑑𝑟

𝑑𝑡=?




encontrar.

𝐿 = 𝑐𝑚

𝑟

ℎ = 0 𝑐𝑚


130

5.3 Se deriva la ecuación y se sustituye el valor de r.

ℎ

=

ℎ

] =

=

ℎ

] =

=

(

)

=

5.4 Para la variación del radio se tiene:

= ℎ

= ℎ

= ℎ

=

ℎ

] = ℎ= 0

=

0


131

] = =

=

5.4 Para el ángulo de reposo:

Para obtener el ángulo, en este momento se tienen los datos de

=

= 0

= °

De acuerdo con la tabla de ángulo de reposo, este fármaco requiere el uso de

deslizadores en el equipo dispensador.

𝐿 = 𝑐𝑚

𝑟 = 𝑐𝑚

ℎ = 0 𝑐𝑚

132

Ejercicios de refuerzo UNIDAD 13 RAZÓN DE CAMBIO Y DIFERENCIALES

1.- El bambú crece a un ritmo sorprendente en condiciones óptimas; dado que la composición de éste es totalmente de fibras de celulosa (n-glucosas) acomodadas de forma vertical. Considere que la longitud se relaciona con la siguiente ecuación:

= √ . En cierto instante la longitud del bambú es de 15 metros y la longitud de la unidad de la n-glucosa es 0.5 nm.Encuentra el aumento de la longitud del bambú, si la razón de aumento de la longitud

debida a la unión de moléculas de n-glucosa es de 10.4 µm/día. 2.- Según estudios de alometría, el desarrollo de la velocidad en los dinosaurios está relacionado con la siguiente ecuación:

=

Donde es la velocidad del dinosaurio en m/s, es la longitud de la zancada en metros y T es el periodo de la zancada.


133

La relación del periodo de la zancada con la longitud de la pierna está representada con la siguiente ecuación:

= √ℎ

Donde ℎ es la altura de la extremidad posterior en metros. Suponga que la longitud de la extremidad posterior evoluciona a razón de 1 a 2 metros a lo largo de 90 millones de años ¿Cuál es la velocidad del dinosaurio cuando estaba a la mitad de la longitud de la extremidad posterior? 3.- Los mejillones de barba de hacha (Mytellastrigata) se desarrollan en Sinaloa México, la relación entre la longitud de las valvas y el peso total está especificado por la siguiente ecuación:

= 0 000

Donde W es el peso total del mejillón en gramos y L es la longitud de las valvas en milímetros, la tasa de crecimiento absoluto mínimo es de 0.0096 mm cada día. Donde t es el tiempo en días. Calcule la razón de

cambio del peso respecto al tiempo para una valva de 15 mm. 4.- El mejillón de agua dulce (Anodontitisciconia) desarrolla su peso en gramos respecto a su longitud en centímetros, según la ecuación:

= 0

Encuentre la razón de cambio de la longitud respecto al tiempo para una longitud de 4 cm. 5.- El oxígeno disuelto se puede

relacionar con la presión atmosférica,

para 20 °C, la ecuación es:

= 0 0 − 0 0

La presión disminuye conforme

aumenta la altura a razón de 240 mm

de Hg por cada 10000 ft. Calcule la

razón de cambio del oxígeno disuelto

con respecto a la elevación para 500 ft

y 20 °C.

6.- La generación de Biomasa de un árbol se puede calcular con la siguiente expresión:

= 0 Dónde: B Biomasa (g/cm2)


134

D Diámetro promedio del árbol (cm).

H Altura del árbol (cm) Considere que el crecimiento del radio promedio desde el centro (médula) por cada 10 anillos es de 1.6 cm. La ecuación que representa la altura de un árbol puede ser:

= − Donde t, es el tiempo en años. Calcule la cantidad de biomasa generada por un árbol a los 15 años, para un diámetro de 30 cm. 7.- Calcule la biomasa que genera un árbol del ejercicio 6, pero ahora utilice la siguiente ecuación base:

= 00 0 0 8.- Se sabe que el diámetro promedio de una arteria es de 4mm, los depósitos grasos (que provocan arteriosclerosis) hacen que disminuya esta sección transversal, si el depósito reduce 15% el diámetro de la arteria en 20 años. Encuentre la razón de cambio de la abertura de la arteria, para un diámetro de 2 mm. 9.-Supongamos que existe un mezclador cónico de laboratorio con doble cámara, la altura del nivel de la

mezcla desciende gracias a un tornillo sin fin a un ritmo de 2 cm/min y el radio también disminuye a un ritmo de 1 cm/min ¿Cuál es la razón de cambio del volumen de la mezcla cuando el radio es de 50 cm? 10. El oxígeno disuelto (OD) es parámetro decisivo en el tipo de vida que sostiene un cuerpo de agua, la cantidad de OD en un cierto rio, se puede encontrar con la siguiente ecuación: = 0 00 − 0

Dónde: OD Oxígeno disuelto (mg/L). T Temperatura del agua (°C). La razón de cambio de la temperatura promedio del río está en función del tiempo (mes), la cual se puede establecer con la siguiente ecuación:

= −0 − 0

Encuentre la razón de cambio de la cantidad de oxígeno disuelto para el mes de octubre y una temperatura de 17 °C.

135

Segunda parte: Ecuaciones diferenciales

de varias variables

Capítulo catorce

Dominios y curvas de nivel para dos o más variables

reales

𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑦

Hasta ahora solamente hemos manejado

funciones de una sola variable independiente.

Sin embargo, muchos problemas vienen

planteados en funciones de dos o más

variables, es decir:

Las gráficas de

superficie son muy

utilizadas en cinética

química, fisicoquímica,

termodinámica entre

otras. Por ejemplo, la

influencia de la

concentración y la

temperatura nos

proporciona la velocidad

de reacción.

“La química no está separada de las tres dimensiones, por difícil que parezca esto la

acerca a la realidad.”


136

14.1 Concepto de una función con dos o más variables independientes

Las gráficas de funciones de dos variables son

“superficies” como la ecuación =

o es un volumen, por ejemplo una esfera

= (ver Figura 14.1), pero si vemos

desde una vista superior lo que se observa es una

curva de nivel.

Como se ve en la Figura 14.1, se emplean tres rectas reales perpendiculares entre sí (longitud, anchura y profundidad).

Figura 14.1 Volumen obtenido de la ecuación

𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐

El nombre de los ejes es:

𝒙 Abscisa 𝒚 Ordenada 𝒛 Cota


137

Para dos variables la gráfica se puede expresar como: = , Por lo general esta gráfica es una superficie en donde y son las variables independientes y es la variable dependiente. Para una ecuación de segundo grado en tres dimensiones, la gráfica que se obtiene

es una superficie cuadrática (ver Figura 14.2), estas ecuaciones tienen su forma

general de la siguiente forma:

= 0

Esta ecuación general se puede reducir a las siguientes formas:

= 0

ó

= 0

Estas gráficas en tres dimensiones tienen una característica importante y es que son simétricas con respecto a los planos y al origen. Para el trazado de una ecuación en tres dimensiones, se buscan las intersecciones de la superficie con los ejes que forma los planos (estas intersecciones se llaman trazas). Por ejemplo para encontrar las trazas para el plano , el eje se hace cero, ahora bien para las trazas para el plano , se hace cero a y finalmente para el se hace cero el eje . Es importante indicar que cuando no aparece una variable en una ecuación cuadrática en tres dimensiones se trata de un cilindro, por ejemplo, en una ecuación en donde no aparece la variable x se trata de un cilindro paralelo al eje x, cuya ecuación es:

−

=


138

Figura 14.2 Superficies de ecuaciones cuadráticas

𝑧 =𝑦

𝑏 −𝑥

𝑎

𝑥

𝑎 −𝑦

𝑏 −𝑧

𝑐 =

𝑥

𝑎 𝑦

𝑏 −𝑧

𝑐 =

𝑥

𝑎 𝑦

𝑏 −𝑧

𝑐 = 0

𝑧 =𝑥

𝑎 𝑦

𝑏

𝑥

𝑎 𝑦

𝑏 𝑧

𝑐 =


139

Ejemplo 1

Trace la gráfica de =

√ − − .

Solución

Debido a que la función es una raíz, la gráfica está sujeta a que 0, para este ejercicio se eleva al cuadrado ambos miembros y se acomoda de la forma = .

=

√ − −

= √ − −

= − −

= Primero dibujamos la figura en el plano , es decir cuando = 0.

= Los puntos de cruce son cuando = 0 y = 0. Cruce en , cuando = 0. Cruce en , cuando = 0.

= = = =


140

Ahora para el cruce de la cota, hacemos y es igual a cero.

= =

Sólo utilizamos el valor positivo de la cota, ya que 0.

Para el trazado de gráficos en tres dimensiones podemos apoyarnos con el uso de software o aplicaciones especializadas tales como: Matlab®, Maple®, Geogebra® y Wolfram® así como con el uso de páginas en líneas; entre las cuales se pueden mencionar: online 3-D Function Grafer, Mathstools, Archimy, entre otros.


141

Ejemplo 2

Utilizando la gráfica 15.2 deduzca el tipo de gráfica de las siguientes superficies cuadráticas:

a) − = 0 b) − = 0 c) − = d) − = 0

Solución

a) Se divide entre -324 para encontrar la siguiente forma:

−

=

Su gráfica corresponde a un paraboloide de dos hojas.

b) No aparece la variable , por lo que se trata de un cilindro paralelo al eje . c) Se divide entre 16 la ecuación para obtener:

−

=

Lo cual corresponde a un hiperboloide de una hoja.

d) La ecuación se puede escribir como:

=

Lo cual corresponde a un paraboloide elíptico con simetría al eje .


142

Actualmente el graficar en 3D está al alcance de todos ya que las aplicaciones previamente mencionadas se pueden utilizar en cualquier dispositivo móvil de forma gratuita, con la ventaja de una visualización con rotación en tiempo real desde cualquier ángulo.

Ejemplo 3

Desde un móvil, con el software previamente cargado de calculadora 3d de Geogebra®, grafique las siguientes funciones:

a) = c) = o

b) = d) = 0

Solución

Las gráficas que se obtienen en el móvil son las siguientes:

a) = b) =


143

c) = o d) = 0

En las ciencias es muy frecuente que tengamos interés en poder expresar una

variable (variable de respuesta o variable dependiente) en función de dos o más

variables (variables explicitas o variables independientes).

Por ejemplo:

El volumen de un cilindro recto:

ℎ = ℎ

La velocidad de absorción de un fármaco en función del peso y edad del

individuo.


144

El peso de las aves en función de su envergadura y su longitud.

El nivel medio de contaminación en una región en función de las

precipitaciones medias anuales y de su índice de industrialización.

La presión atmosférica en un determinado lugar en función de su longitud y

de su latitud.

El modelo matemático adecuado para expresar una variable en términos de otras

variables es la función de varias variables. Al igual que con las funciones de una

variable, algunas de las herramientas asociadas a este modelo nos permiten abordar

y expresar muchos aspectos interesantes de la relación existente.

Lo que hace fascinante al cálculo de varias variables es que al visualizar las funciones

con todo el nuevo cálculo que veremos en este capítulo, involucra espacios en varias

dimensiones.

El uso de estas gráficas en 3D se tiene por ejemplo en termodinámica, fisicoquímica y microbiología por mencionar algunas. El caso de los diagramas de fases se utiliza las variables de temperatura-composición con variación de la presión, o el diagrama de presión-composición variando la temperatura, arrojan volúmenes. En termodinámica el manejo de diagramas ternarios utilizando triángulos (conocido como triángulos de Gibbs) para encontrar composiciones de mezclas parcialmente miscibles. Lo más usual en termodinámica es la representación de los estados de agregación de una sustancia con volumen, temperatura y como cota la presión, generado superficies de áreas de estado líquido, vapor, sólido, líquido-vapor, sólido vapor y el punto crítico que es donde coexisten los tres estados de agregación.

14.2 Dominio de una función con dos o más variables El dominio de una función con dos o más variables reales (D) de una función es aquel conjunto de valores reales independientes donde la función está definida. Es decir, son todos aquellos valores de entrada a la función.


145

Recordemos que una función f es como una “máquina” que le damos valores de

entrada x, a estos valores se les nombra dominio ( ) y produce un valor de

salida f(x), a estos se les nombra rango de la función ( .

Por lo tanto, para una función de dos variables donde a cada par ordenado se le

asigna un par de números reales (x, y), éste devuelve sólo un número z en el

conjunto de los números reales.

Figura 14.3 Representación gráfica de una función de una variable (a) y de varias

variables (b).

Vemos que la gráfica en 14.3 (a) de una = (es de una variable de entrada x y una variable de salida y la 14.3 b) es una gráfica de una = (de dos variables de entrada (x, y) y una de salida (z)). Este tipo de gráfica es utilizada en muchas áreas de la química. Un ejemplo lo tenemos en una de las aplicaciones en el laboratorio de análisis en donde se realizan una diversidad de determinaciones en donde la variable de respuesta es la fluorescencia (z) y las variables independientes son la emisión (SC) y la excitación (NB) (ver Figura 14.4). Los datos reportados para cierta sustancia son las siguientes:


146

Tabla 14.1 Datos de fluorescencia de una muestra

SC (nm) NB (nm)

360 405 440 490 540

415 82 14 2 2 0

515 54 11 2 19 3

535 25 6 1 10 1

585 8 2 0 3 1

665 1 0 0 0 0 Cortesía del QFB Víctor Herrera del laboratorio de análisis de fármacos y materias primas, FES Zaragoza, UNAM,

2018.

Figura 14.4 Representación gráfica de la Fluorescencia

La fluorescencia es la capacidad que tiene algunas sustancias de absorber energía a

una determinada longitud de onda para luego liberarse de ella, emitiendo parte de

esta energía en una longitud de onda más larga y otra parte disipada en forma de

calor. Por lo que la fluorescencia es la propiedad de algunos cuerpos de emitir luz

cuando están expuestos ciertos rayos del espectro. El fenómeno de fluorescencia

posee numerosas aplicaciones prácticas, entre las que se encuentran por ejemplo

sensores químicos, detectores biológicos, espectroscopía fluorescente, entre otros.


147

A continuación, se muestran algunos ejemplos de gráficas con su respectiva

ecuación.

Figura 14.5 Ejemplos de algunas gráficas en tres dimensiones

= − − =

= = − √‖ ‖


148

Figura 14.5 Ejemplos de algunas gráficas en tres dimensiones. Continuación

= √ = √ o (√ )

= =

= o


149

Por ejemplo, para una función donde se estudia la viabilidad de un suero de leche en

función de la temperatura de fermentación y la cantidad de los sólidos disueltos (ver

Figura 14.6). El dominio son los valores que se requieren para calcular la viabilidad

del suero de leche, los cuales son: temperatura y cantidad de sólidos disueltos, por

lo tanto, el dominio para este ejemplo es un área que forma la “sombra” de la

gráfica.

Figura 14.6 Dominio de la viabilidad de un suero de leche

De forma general supongamos que D es un conjunto de números reales (x1, x2, x3, …,

xn), para una función f donde por regla se asigna un único número o valor real a cada

elemento en D. Por lo tanto, D es el dominio de la función.

=

Mientras que el conjunto de valores de w son aquellos valores transformados por f y

se conoce como el rango de la función. Donde w es la variable dependiente de f y se

dice que f es una función de las n variables independientes x1…xn. la xi son las

variables de entrada de la función y w proporciona los valores de las variables de

salida de la función.


150

Esta ecuación, nos muestra la forma general de expresar el dominio de una función para varias variables.

Ejemplo 4

Encontrar el dominio de la siguiente función:

= ln −

Solución

Si examinamos la función se trata de un logaritmo, de este análisis se deducen las

siguientes restricciones. La primera es que un logaritmo no puede valer cero ya que

este no se encuentra definido. La segunda es que un número negativo no está

definido para el logaritmo.

Por lo tanto, se tiene la siguiente condición:

− > 0

De esta condición se plantea el siguiente argumento para el dominio de la función.

ℎ = { − > 0}

Definición El dominio de una función de dos o más variables está dado por el conjunto de

parejas, triadas, cuartetas o n-adas de números reales. Mientras que el rango (o

imagen) son conjuntos de números reales del mismo tipo a los que se obtienen en

función de una variable.


151

Grafiquemos en Geogebra®, para ver el dominio.

a) b)

La figura (a) muestra la gráfica en 3d y la (b) muestra el dominio de la función −

> 0.

Ejemplo 5 Hallar el dominio de la siguiente función:

= ln − −


152

Solución

Al igual que en el caso anterior se trata de un logaritmo por lo que debe de cumplir

con las mismas restricciones del ejemplo 3.

Por lo que tenemos la siguiente condición:

− − > 0

Despejemos y de la ecuación anterior e igualando con el término independiente,

para hacer manejable la ecuación. Aunque al final hay que evaluar en qué intervalo

se encuentra el dominio de nuestra función.

=

Dividiendo toda la ecuación entre 25 obtenemos la siguiente expresión.

=

La expresión obtenida representa la ecuación de la elipse con una apertura en el eje

(abscisas) a 5 unidades, las cuales corresponden a la raíz cuadrada de 25 y una

amplitud a 1 en el eje de las ordenadas.

a) b)

En la figura (a) tenemos la gráfica de la función en tres dimensiones y en (b) el

dominio de la función = ln − − .


153

Ahora bien, recordemos que nuestra condición indica que el dominio son todos

aquellos valores mayores a cero. Para saber dónde se encuentran estos valores

evaluemos la función dando valores dentro de la elipse, fuera de ésta y en la

frontera.

Dentro de la elipse (0,0)

0 0 = − 0 − 0 = > 0

1) Por encima de la elipse (6,2)

= − − = − <0 =

2) En la frontera (0,-1)

0 − = − 0 − − = 0 =

Por lo tanto, el dominio de la función esta dado de la siguiente manera;

= { − − > 0}

Ejemplo 6 Encontrar el dominio de la siguiente función:

= −

√ −

Solución

Empleando la misma técnica para el cálculo de una variable, vemos que la función es

una fracción donde el denominador está formado por un radical. Sabemos que el

radical debe cumplir con la siguiente condición:


154

√ > 0

Por lo tanto, de nuestra ecuación tenemos la siguiente igualdad

√ − > 0

Despejando la raíz de la función nos queda

− > 0

Despejando nos queda de la siguiente manera

>

Por lo tanto, el dominio de la función es el siguiente: = { > }

Vemos claramente que el valor de debe ser siempre mayor al valor de . Para

visualizar esta gráfica en tres dimensiones y corroborar lo que se encontró, veamos

las siguientes figuras generadas en Goegebra®.

a) b)


155

c) d)

b)

Secuencia de rotación desde (a) hasta (d), para visualizar el dominio que

corresponde a la vista superior de la función. La figura del inciso (d) representa el

dominio de la función =

√ .

Veamos si nuestro argumento del dominio para esta función es válido. Si evaluamos

en un punto fuera de la gráfica como en f (0,-5) nos damos cuenta de que la función

se indetermina.

= 0 − −

√− − 0 =−

√−

Ahora si evaluamos la función con un punto dentro de la gráfica como f (0,5)

tendremos el siguiente valor dentro del dominio de la función.

= 0 −

√ − 0 =−

√


156

Al igual que ocurría con las funciones de una variable, podemos aprender mucho

sobre una función de dos variables trazando su gráfico.

Donde la gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos ( , , )

en el plano que satisfacen a con ( , ) en el dominio de f

=

Figura 14.7 Dominio por debajo de la función

Definición Por lo tanto, la gráfica de una función de dos variables es una superficie S. Puede

representarse la gráfica de S de f directamente encima o debajo (Figura 14.7) de su

dominio Dom f (𝑥, 𝑦).


157

14.3 Curvas de nivel Una forma de hacer una representación completa de una función = en

tres dimensiones es tomada de los cartógrafos, los cuales emplean los mapas de

curvas de nivel, donde puntos de elevación iguales se unen para formar curvas o

líneas de contorno, también conocidas como curvas de nivel. Ya que las curvas de

nivel son sencillas de interpretar y mucho más fáciles de trazar.

La palabra nivel proviene del hecho de que podemos interpretar = como la

proyección sobre el plano , de la curva de intersección de = y el plano

(horizontal o de nivel) = .

Figura 14.8 Corte con el plano “C” para una curva de nivel

Definición En general si se dispone de una función de dos variables f(𝑥, 𝑦), en un espacio

tridimensional y la función f la cortamos “desde la base” en planos paralelos al eje 𝑥

y proyectamos estas líneas de corte, el resultado son las curvas de nivel de la

función f.


158

La Figura 14.9 muestra el uso de las curvas de nivel en medicina, cada corte

transversal (Plano ( , )) representa una imagen o proyección del cerebro.Para

química estas curvas de nivel se utilizan en radio-farmacia mediante el uso de

hexametil-propileno-aminooxima (HMPAO) en la detección de trastornos cerebrales.

Figura 14.9 Imagen obtenida por resonancia magnética nuclear del cerebro

humano

Imagen tomada de: www.siemens.com

La resonancia Magnética Nuclear (RMN) es una técnica espectroscópica no destructiva, basada en las propiedades magnéticas de la materia. Se aplica una radiación electromagnética de frecuencia adecuada (ondas de radio) que consigue promocionar los núcleos desde el nivel de energía inferior, a un nivel de energía superior. Cuando la radiación electromagnética y la precesión del núcleo entran en resonancia se produce la absorción. Se calcula la frecuencia de resonancia (frecuencia de Larmor) mediante la ecuación de Planck. Algunas de sus aplicaciones son: elucidación estructural, determinación conformacional, establecimiento de equilibrios químicos, cinéticas químicas, cuantificación de mezclas, control de calidad, análisis conformacionales y estereoquímicos, por mencionar algunos.

https://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwj14cqFpPvZAhUE61MKHf_KCcsQjRx6BAgAEAU&url=https://www.siemens.com/press/en/presspicture/2012/healthcare/imaging-therapy-systems/him201203016-03.htm&psig=AOvVaw2ko0Q6ziKb4dhyxy3Z4Iw_&ust=1521648283001934

https://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwj14cqFpPvZAhUE61MKHf_KCcsQjRx6BAgAEAU&url=https://www.siemens.com/press/en/presspicture/2012/healthcare/imaging-therapy-systems/him201203016-03.htm&psig=AOvVaw2ko0Q6ziKb4dhyxy3Z4Iw_&ust=1521648283001934


159

Ejemplo 7

Proyecte las curvas de nivel de la ecuación = √ − − , para valores de

igual a: 0.66, 1.32, 1.98, 2.64 y 3.3.

Solución

En la siguiente figura se observa, un conjunto de circunferencias de distintos

diámetros localizados a diferentes distancias desde la más grande ubicada muy cerca

de la base, hasta la más pequeña (parte más alta del casco de la esfera) a estas

distancias se les conoce como alturas reportadas en el eje de las z, este eje nos

indica la altura en la que se encuentra cada una de las curvas de nivel de h ( , ), de

igual manera observamos del lado derecho las mismas 5 curvas de nivel, pero

representadas sobre la imagen bidimensional de la función h. Se ve claramente

como cada una de estas curvas de nivel describe parte de la geometría de la función

a estudiar.

Representación de las curvas de nivel para ℎ = √ − − .

160

Ejercicios de refuerzo UNIDAD 14 DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL PARA DOS O MÁS

VARIABLES REALES

Resuelve los siguientes ejercicios.

I. Trace las siguientes gráficas

1.- = √ − −

2.- = √ − − 3.- = − − 4.- = − − 5.- = − −

II. Deduzca el tipo de gráfica de las siguientes superficies cuadráticas.

15 = 00

16 = 17 =

18 − =

19 − = 0


161

20 ¿Cuál es la ecuación de la superficie que resulta al graficarse:

= ¿Alrededor del eje ?

21 ¿Cuál es la ecuación de la superficie que resulta al graficarse:

− = ¿Alrededor del eje ?

III. Desde su móvil, una vez instalada la aplicación gratuita de geogebra “Calculadora 3D” grafique las siguientes funciones:

=

=

√ −

=

=

= − −

=

= ln 0 =

IV. Determinar las curvas de nivel de

las siguientes funciones cuando

f(x,y,z)=0

= 0

= −

=

= −

= −

= −


162

163

Capítulo quince

Límites para dos o más variables reales

En este capítulo usaremos el mismo concepto

de límite, para una función donde se involucran

2 o más variables, es un concepto más

profundo, ya que debemos tomar en cuenta

todas las posibilidades de (𝑥, 𝑦) para

aproximarse a un punto (a, b).

Las gráficas de superficie

con máximos y mínimos

son utilizadas en

dicroísmo circular, que se

refiere a la capacidad que

tienen algunos materiales

de dividir un haz de luz

policromática, lo cual ha

sido aplicado en la

determinación de la

estructura secundaria de

una proteína, la

interacción proteína-

proteína, entre otras

aplicaciones.

“Independientemente del camino que sigamos para llegar a un punto termodinámico, el

trabajo debe ser el mismo.”

15. Límites para dos o más variables reales

164

15.1 Definición y propiedades de límites para una función con dos o más variables

En la sección anterior definimos el significado de límite, el cual se basa en la aproximación en específico para una sola variable. Por intuición sabemos que la función f ( , ) tiene un límite L cuanto más se acerque (a, b). El problema es que ( , ) puede tender a (a, b) por una infinidad de caminos distintos (ver Figura 15.1).

Figura 15.1 Límite de una función de dos variables

Por lo tanto, tenemos que:

lim →

=

Para que este límite exista se requiere

que f( , ) se aproxime a L a lo largo de

cualquier trayectoria o curva posible

que pase por (a, b); como la imagen que

indica que “Todos los caminos llegan al

tesoro”. De lo contrario “Si f (x, y) no se aproxima a L por dos trayectorias distintas a

(a, b), entonces lim → = no existe”.

De una manera más sencilla podemos expresar el límite de una función de dos

variables de la siguiente manera.


165

15.2 Cálculo de límites Algunas de las propiedades que se vieron en el cálculo de límites de una variable son aplicables para el cálculo de límite de dos o más variables.

Definición El límite de la función lim → 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝐿 existe si y solo si, al evaluar la

función por todos los caminos posibles hacia los puntos (a, b) coinciden con el valor

de L.

Teorema 1. Límites fundamentales i. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑐 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

ii. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑥 = 𝑎

iii. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑦 = 𝑏

iv. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑐𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑦

Teorema 2. Límites de operaciones Consideremos la existencia del límite de las siguientes funciones f x y y x y .

Donde lim → a b f x y = L y lim → a b x y = L

i. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 [𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 𝑦 ] = 𝐿 𝐿

ii. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 𝑦 = 𝐿 𝐿

iii. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦

𝑔 𝑥 𝑦 =

𝐿

𝐿


166

Ejemplo 1 Encuentre el límite de la siguiente función:

lim →

Solución

Haciendo uso del inciso (b) y (c) tenemos lo siguiente:

= lim →

= = lim →

=

Ahora aplicando el inciso (d) del teorema 1 para ambos casos obtenemos:

lim →

= lim →

= 0

Aplicando el inciso (e) del teorema tenemos la suma de dos funciones:

= lim →

= lim →

lim →

lim →

lim →

= lim →

=


167

Ejemplo 2

Calcular el límite de la siguiente función:

lim →

− −

Solución

De igual manera que en el ejemplo anterior primero definiremos los valores del

límite para , , y de 4 (constante), empleando los incisos a, b y c, encontramos lo

siguiente:

= lim →

= = lim →

= lim →

=

Aplicando simultáneamente al numerador y denominador de nuestra función el

inciso (e) del teorema 2 y evaluando obtenemos.

lim → −

− = − − = (numerador)

lim →

= = (denominador)

lim →

− −

=

=

Como podemos apreciar en este caso lo único que hemos hecho ha sido sustituir los

valores límites para cada una de las variables, haciendo uso de los teoremas para su

solución. A este método se le conoce como método de sustitución.


168

Hay que recordar que muchas veces el evaluar o encontrar los límites de una función

no es tan sencillo y se requiere del uso de métodos algebraicos para facilitar el

cálculo del límite de la función. A continuación, veremos un ejemplo de este tipo.

Ejemplo 3

Calcular el límite de la siguiente función:

lim →

−

−

Solución

Se puede apreciar a simple vista que si se intenta evaluar el límite de esta función

por sustitución se encuentra indeterminada.

Factorizando la parte del numerador, este nos queda de la siguiente manera.

− = −

Ahora sustituyamos esta nueva expresión en (1).

−

− =

Como se observa en la ecuación (3) se elimina el factor de − , ahora es fácil

calcular el límite de la función a partir de la ecuación (3) mediante la sustitución de

los límites de x, y.

lim →

= =


169

Como mencionamos al inicio de este capítulo la aproximación de los límites ahora se

hace en todos sentidos. Sin embargo, siguiendo las siguientes reglas es bastante

sencillo el poder demostrar la existencia del límite de la función.

lim𝑥→0

𝑓 𝑥 𝑦 = lim𝑦→0

𝑓 𝑥 𝑦

Reglas para el cálculo de los límites de dos variables

Prueba 1

i) Evaluar la función cuando 𝑥 → 0

ii) Evaluar la función cuando 𝑦 → 0

Una vez evaluadas se comparan, si ambas son iguales es decir que:

Se procede a la prueba 2

iii) Se evalúa la función cuando 𝑥 → 𝑦

iv) Se evalúa la función cuando 𝑦 → 𝑚𝑥

Al igual que en la prueba 1 se comparan ambos resultados y si estos son iguales

se puede decir que la función presenta un valor límite evaluado en (a, b).

De lo contrario no existe el límite de la función.


170

Ejemplo 4 Calcular el límite de la siguiente función.

lim → 0 0

x − y

x y

Solución

Para resolver el límite de la siguiente función evaluaremos primero el límite de x y y

cuando son cero.

lim →0

x − y

x y = 0 − y

0 y = −

y

lim →0

x − y

x y = x − 0

x 0 =

De acuerdo con los criterios

antes dichos el límite de la

función no existe en el punto

(0,0). Con ayuda de un software

(Geogebra®) podemos apreciar

que efectivamente cómo la

función muestra una

discontinuidad en la

coordenada (0,0).


171

Ejemplo 5 Calcular el límite de la siguiente función.

lim → 0 0

nxy

x y

Solución

Comencemos por evaluar los límites de x, y cuando estos son igual a cero.

lim →0

nxy

x y = n0y

0 y = n0

y = 0

y = 0

lim →0

nxy

x y = nx0

x 0 = n0

x = 0

x = 0

Como se aprecia ambos límites son iguales, ahora evaluaremos a x = y así

comoy = mx.

lim →

nxy

x y = nyy

y y = ny

y

lim →

nxy

x y = nxmx

x mx = nmx

x m x

lim →

nxy

x y = nmx

x m

Se puede observar que ambos límites no son

iguales por lo tanto el límite de la función en

las coordenadas (0,0) no existe. Como

podemos observar en la siguiente figura.


172

El concepto de continuidad es muy sencillo supongamos que tenemos una función

= , esta función es continua en las coordenadas (a, b), por lo tanto, f (a, b)

está definida, lo cual quiere decir que lim → sí existe.

lim →

=

Ahora en el caso de que f ( , ) no fuera continua en las coordenadas (a, b) se afirma

que la función es discontinua, por lo tanto lim → no existe.

Como se aprecia en los ejemplos 4 y 5 cada una de ellas muestra un “vacío o

quiebre” en la región donde el límite de la función no existe.

Ejemplo 6

Con ayuda de Geogebra® identifique si existe discontinuidad en la siguiente

ecuación:

.

Solución

Graficando en Geogebra® se obtiene la

siguiente imagen y se observa que en el

punto (0,0), no está definida, por lo tanto,

es discontinua en este punto.

173

Ejercicios de refuerzo UNIDAD 15 LÍMITES PARA DOS O MÁS VARIABLES REALES

Resuelve los siguientes ejercicios.

I. Encuentre el límite de las

siguientes funciones:

− lim →

− lim →

− lim →

−

− lim →

−

− lim →

−

− lim →

√ −

− lim →

√

√

− lim →

√ √

− lim →

0 − lim →

√

− √

√

15. Límites para dos o más variables

174

II. Calcular el límite de la siguiente

función, utilizando la

factorización:

lim →

−

−

lim →

−

lim →

−

−

lim →

− −

−

lim →

− −

lim →

−

−

lim →

−

−

lim →

0 −

−

lim →

−

−

0 lim →

√ −

− √

III. Demuestre la existencia del límite

de las siguientes funciones:

lim → 0 0

x − y

x y

lim → 0 0

− y

x y

lim → 0 0

x − y

x y

lim → 0 0

o xy

x y

lim → 0 0

nx o y

x y

175

Capítulo dieciséis

Derivadas parciales

Como hemos visto muchas funciones dependen

de más de una variable independiente tal es el

caso por ejemplo del suministro de un

antibiótico (A) donde se debe conocer el peso

(𝑥) y la talla (𝑦) del paciente para administrar la

dosis correcta del medicamento, lo cual

podemos expresarlo como 𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑦

Las derivadas parciales

en fisicoquímica nos

permiten conocer las

relaciones de algún

parámetro en función

de otras, como el caso

del cambio de volumen

respecto a la

temperatura

manteniendo constante

la presión. Una de las

ecuaciones más

conocidas es la de Van

der Waals.

“Como en el caminar, una constante y otra en movimiento nuestras extremidades van

derivando parcialmente el camino de nuestras vidas”.

16. Derivadas parciales

176

16.1 Definición de las derivadas parciales de una función de dos o más variables independientes

Ahora bien, podemos preguntarnos ¿Cómo es

que la función cambia cuando una de las

variables se hace independiente y se fijan las

demás? Para dar respuesta a esta pregunta

haremos uso del concepto de derivada de una

variable, pero este concepto debemos

extenderlo hacia cada una de las variables

presentes en la función.

Supongamos que f es una función de dos

variables ( , ). Si mantenemos constante o

fija a “ ”es decir “ = b”, entonces por

lo tanto es una función de la variable

independiente “ ” (lo mismo ocurre cuando se

pesca utilizando red de mariposa).

La derivada en “ ” en el punto ( ,b) es la derivada parcial de f respecto a “ ”en el

punto ( ,b) y se escribe como ó

.

La Figura 16.1 muestra la superficie de la función = en el punto (a, b). Se

aprecia en la Figura 16.1 a) cuando “ ” es constante es decir “ =b”, este plano “ ”

(curva “C”), corta la superficie de = . Trazando una pendiente secante a

través de los puntos (P,R) donde las coordenadas de los puntos son P(x, b, f(x, b)) y

R(x+h, b, f(x+h, b)).


177

a)

b)

Figura 16.1 Representación gráfica de las derivadas parciales de

,

Dado que “ ” es constante su lugar lo toma la coordenada “ ”, obtenemos la

siguiente función.

ℎ −

ℎ − = ℎ −

ℎ


178

Por lo tanto, tenemos

= lim

ℎ→0

ℎ −

ℎ

Como podemos apreciar es posible definir la

como la pendiente de la recta

tangente al punto P (donde el límite sí existe) sobre la curva “C”.

De manera similar empleando la Figura 17.1 b) es posible descubrir que

es la

recta tangente a P en el plano = sobre la curva “C”, de la superficie = .

Para llevar a cabo la diferenciación parcial sigue estos pasos:

1) Para la

se mantiene constante “ ” y se emplean las reglas de derivación

ordinaria.

2) Para la

se mantiene constante “ ” y se emplean las reglas de derivación

ordinaria.

∂z

∂x= limh→0

f x − f x

∂z

∂y= limh→0

f y − f y

Definición Sea una función de dos variables z = f x y , y se desea obtener la derivada parcial

de 𝐱 en el punto (a, b) se tiene la siguiente expresión:

Y la derivada parcial con respecto a y es:

Siempre y cuando existan los límites.


179

Ejemplo 1

Utilice cambio de variable y de la cadena para obtener

y

de:

= (

)

Solución

Para llevar a cabo la solución de las derivadas haremos uso de cambio de variable.

1. Determinando la

=

=

Por lo tanto, la función queda.

=

= (

) =

Sustituyendo los valores de “ ” obtenemos.

= (

(

)) =

(

)=

(

)

=

(

)


180

2. Ahora calculamos la derivada parcial de “ ”

, Haciendo un cambio de variable.

=

=

=

Por lo tanto, la función queda de la siguiente manera:

=

= (

) =

Sustituyendo los valores de obtenemos:

= (

(

))

=

(

)=

(

)

=

(

)

Las derivadas parciales se pueden expresar de diferentes formas, sea f = (x, y) se

tiene:

=

= = y

=

= =


181

Ejemplo 2 Aplique la regla del cociente para la ecuación:

=

Solución

Calculando s se tiene:

=

Haciendo uso de la regla de la derivada de un cociente tenemos lo siguiente:

= −

Sí = por lo tanto =

Ahora = , recordemos que la otra variable independiente (“ ”) se toma

como una constante, por lo que se tiene = 0 =

=( ) − 0

=

−

=

−


182

Ejemplo 3 Derive la siguiente función aplicando la regla del producto:

=

Solución

Aplicando la regla del producto: = .

=

= 0

=

Haciendo un cambio de variable en el argumento de seno, es decir

= :

=

= =

Aplicando la regla del cociente:

= −

=

= =

= 0

= − 0

=

Se tiene que:

= = (

)


183

Sustituyendo las variables por los valores reales se tiene:

= [

0] *

+

Por lo tanto, el resultado de

=

Ahora calcularemos la

:

Aplicando la regla del producto: =

=

=

=

Aplicando la regla del cociente a v:

=

=

= 0

=

= −

= 0 −

=−

Sustituyendo las variables por los valores reales el resultado de

=

[ [−

]] =

−

Podemos apreciar que en la determinación de las derivadas parciales de una función

se emplean las mismas reglas que las usadas para la derivación ordinaria.


184

16.2 Regla de la cadena para derivadas parciales Así como hemos venido empleando las diferentes reglas de las derivadas ordinarias

para derivadas parciales, de manera similar se emplea el concepto de regla de la

cadena, para este caso el concepto se amplia para facilitar la solución a un sistema

de 2 o más variables dependiendo de la función.

En el caso de derivadas ordinarias o de una sola variable tenemos lo siguiente

= , esta es una función diferenciable en , pero = ℎ es decir que es

diferenciable en , por lo tanto, la derivada de la función compuesta = ℎ se

puede expresar de la siguiente, manera.

=

Algo similar sucede para las derivadas parciales, la única diferencia es que este

concepto se aplica para cada una de las variables presentes en la función.

Sea = donde esta función es diferenciable en ( ) y = ℎ e

= por lo tanto ( ) son diferenciables en ( ) la función combinada

quedaría de la siguiente manera.

= ℎ

De manera análoga al caso anterior, debería aparecer una ecuación para cada una

de las variables, es decir:

=

=


185

16.3 Diferencial total

Hasta ahora hemos estudiado las derivadas parciales las cuales nos proporcionan la

razón de cambio de la función en la dirección de una de las variables. En esta sección

veremos lo que le pasa cuando todas las variables independientes de la función

cambian al mismo tiempo. Este tipo de diferenciales se les llama diferenciales

totales.

Ejemplo 4

Hallar la derivada total de la siguiente función

= − y

Solución

Encontremos primero las derivadas parciales para cada una de las variables y

aplicamos la regla del producto.

𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑑𝑥 𝑓𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑑𝑦 = 𝜕𝑧

𝜕𝑥𝑑𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝑑𝑦

Definición Es decir, si 𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑦 y 𝑥 y 𝑦 son los incrementos en las variables

independientes donde las primeras derivadas parciales 𝑥 y 𝑦 existen.

Entonces las diferenciales de 𝑥, 𝑦 son 𝑑𝑥 = 𝑥y 𝑑𝑦 = 𝑦. La diferencial de

𝑧 será, por lo tanto;

También conocida como diferencial total de 𝒛.


186

Tenemos las siguientes diferenciales:

= −

= −

Aplicando el concepto de diferencial total tenemos:

= ( − ) ( − )

Ejemplo 5

Hallar la derivada total de la siguiente función:

=

Solución

Aplicando la regla del cociente obtenemos los siguientes resultados:

=

0=

=

0=

=−

0=−

La derivada total de la función es la siguiente:

=

−


187

Algunas aplicaciones de la diferencial total son la estimación del error porcentual,

cambios de volumen, cambios de temperatura, etc., veamos su aplicación a través

de un ejemplo.

Ejemplo 6

La presión P de un gas ideal encerrado está dado por =

, donde k, es una

constante, T es la temperatura y V es el volumen. Dado que el error porcentual al

medir la temperatura y el volumen son aproximadamente de 0.7% y 0.9%,

respectivamente, ¿Cuál será el error en porciento máximo aproximado de la

presión?

Solución

Podemos ver que la presión depende directamente de dos variables que son T y V,

para saber el error máximo que se tiene por las mediciones de ambas variables hay

que obtener la diferencial total, tal y como lo hicimos en los ejemplos anteriores.

=

Aplicando la regla del cociente tenemos:

=

=

=−

La derivada total para la función es:

=

−−

Del problema sabemos que el valor de = 0 00 y la = 0 00


188

Evaluando en la diferencial total tenemos:

=

0 00 −

0 00 =

0 00

−0 00

= =−0 00

16.4 Derivadas de orden superior

Como sucede en las derivadas ordinarias, es posible determinar la segunda, la

tercera y la n-ésima derivada parcial de una función de varias variables, siempre y

cuando tales derivadas existan.

Para llevar a cabo las derivadas parciales de segundo orden hay que seguir estos

sencillos pasos.

1) Derivar dos veces con respecto a

(

) =

2) Derivar dos veces con respecto a

(

) =

3) Derivar primero con respecto a y después con respecto a

(

) =

4) Derivar primero con respecto a y después con respecto a .

(

) =


189

Se puede apreciar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales

(

) =

(

)

Para el caso de derivadas parciales de 3 y de orden superior se les denomina

derivadas parciales mixtas.

Ejemplo 7

Hallar la segunda derivada de las siguientes funciones: = y =

Solución

a) =

= = {

(

) = 0

(

) =

= =

{

(

) =

(

) =

b) = −

=

− =

{

(

) = −

−

(

) =

−

= −

− =

{

(

) = −

−

(

) =

−


190

Definición Sea 𝑃0 un punto en S en el dominio de 𝑓 se debe cumplir:

𝒇 𝑃0 Es un máximo global, cuando 𝒇 𝑃0 𝒇 𝑃 para toda 𝑃 en 𝑆.

𝒇 𝑃0 Es un mínimo global, cuando 𝒇 𝑃0 ≤ 𝒇 𝑃 para toda 𝑃 en 𝑆.

𝒇 𝑃0 Es un valor extremo global, cuando 𝒇 en 𝑆 es un valor máximo o mínimo

global.

Las definiciones de los puntos 1 y 2 son válidas para puntos mínimos o máximos

globales si 𝑁 ∩ 𝑆, donde 𝑁 es alguna vecindad.

16.5 Máximos y mínimos

Para entender la noción de máximos y mínimos para varias variables (ver Figura

16.2), la definición es la misma que la de una variable, sólo se extiende a dos

variables. Ahora sea = y 0 = 0 0 un punto variable y uno fijo

respectivamente.

Figura 16.2 Representación gráfica de máximos y mínimos para dos variables


191

Ejemplo 8

Encuentre el máximo o mínimo de la función: = −

Solución

Primero derivamos parcialmente para encontrar los puntos críticos.

= −

=

Se igualan a cero:

− = 0

= 0

De la ecuación ① se tiene que:

=

De la ecuación ②:

= 0

Ahora se evalúa la función en (1/2, 0)

(

0) = (

)

− (

)

0

= −

Tenemos un mínimo como se observa en la Figura 16.3.

Figura 16.3 Gráfica de la ecuación

𝒛 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝟏

𝟐𝒚𝟑


192

Ejemplo 9

Encuentre el máximo o mínimo de la función: = −

Solución


= −

=

Se igualan a cero:

− = 0

= 0

De la ecuación ① se tiene que:

− = 0

Una raíz es = 0, las otras raíces se encuentran con:

(

) ( −

) = 0

por lo tanto, las raíces de son:

= 0 =

=

De la ecuación ② se tiene que:

= −

Los puntos críticos son:

0 − (

− ) (−

− )


193

Se evalúa la función es estos 3 puntos:

0 − = 0 − 0 − − = −

(

− ) = (

)

− (

)

− − = −

(−

− ) = (−

)

− (−

)

− − = −

Se obtienen dos mínimos y un punto de inflexión (que se conoce como punto de

silla), veamos la gráfica en la Figura 16.4.

Figura 16.4 Gráfica de la ecuación = −

Mínimo Punto de silla Mínimo

(

− −

) 0 − − (−

− −

)


194

Ejemplo 10

Encuentre el máximo o mínimo de la función: =

Solución


= −

= −

Se igualan a cero:

−

= 0

− = 0

Realizamos álgebra en la ecuación ①.

− = 0

Por lo tanto:

− = 0

=

√

Realizamos álgebra en la ecuación ②.

− = 0

La única solución para esta igualdad es que = 0

Los puntos críticos son:

(

√ 0) y (−

√ 0)


195

Se evalúa la función es estos 2 puntos:

(

√ 0) =

√

√ = 0

(−

√ 0) = −

√

√ = −0

Se obtiene un máximo y un mínimo, veamos la Figura 16.5.

Figura 16.5 Gráfica de la ecuación =

Máximo

Mínimo


196

Figura 16.7 Recta tangente a una restricción

16.6 Multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange se utilizan para “maximizar o minimizar” funciones

sujetas a restricciones, por ejemplo, en la industria química se desea obtener la

mayor cantidad de un producto y muy probablemente la limitante sea la cantidad de

reactores, catalizadores entre otros, estos problemas se le conocen como “Extremo

restringido”. En la figura 16.6 a) se puede observar una restricción a las curvas de

nivel de la gráfica 16.6 b) que se presenta en 3D.

Figura 16.6 Restricción para una función

a) b)

El máximo se encuentra en 0( 0 0) y

el mínimo en ( 0 0) dentro de la

restricción (ver Figura 17.7). En el

punto en donde se cruza la curva de

nivel y la restricción se encuentra una

recta tangente común.


197

Figura 16.8 Recta tangente a una restricción

En cualquier punto de la curva de nivel, el vector gradiente es perpendicular a la

curva de nivel y es perpendicular a la restricción. Por lo tanto y son

perpendiculares, cumpliendo que 0y son paralelas, por lo tanto:

0 = 0

=

Esto funciona bien para maximizar o

minimizar sujeto a la restricción

= 0 (ver Figura 16.8).

Simplemente consideremos superficies de

nivel en lugar de curvas de nivel.

𝑓 𝑃 = 𝜆 𝑔 𝑃

𝑔 𝑃 = 0

Definición Para maximizar o minimizar 𝑓 𝑃 sujeta a 𝑔 𝑃 = 0, se resuelve el sistema de

ecuaciones:

Donde

𝜆 Es el multiplicador de Lagrange.

𝑓 Es el vector compuesto por 𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝑧 𝑥 𝑦 𝑧


198

Ejemplo 11

Encuentre el máximo o mínimo de la función: = , cuyas

restricciones son la elipse − = 0 y el plano =

Solución

1. Determinamos de

la función:

=

=

=

=

2. Ahora de la primera

restricción con la

función:

= −

=

=

= 0

3. Finalmente ℎ de la

segunda restricción con

la función:

ℎ = −

ℎ = 0

ℎ =

ℎ =

4.- Se establecen las ecuaciones de Lagrange, (relacionando la misma variable) y

escribiendo al final las dos restricciones:

= ①

= ②

= ③

− = 0 ④

= ⑤

Se tiene un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas


199

De la ecuación ③ ya se tiene el valor de =

De la ecuación ① el valor de es:

=

Con la ecuación ② y ③ se despeja a

=

= −

Con la ecuación ⑥ y ⑦ se sustituye en ④ y se tiene:

(

)

(−

)

− = 0

De esta última ecuación se despeja a :

=

Se hace álgebra:

=

=

= √

=

√


200

5.- El punto crítico se encuentra en:

=

=

√

= √

Esto es igual a:

= √

= √

Para es la misma secuencia de cálculo:

= √

Para de la ecuación⑤

= −

= √

Se evalúa en la función = y se encuentran el máximo y

mínimo.

(√ √ √ ) = Máximo

(−√ −√ − √ ) = − Mínimo

201

Ejercicios de refuerzo UNIDAD 16 DERIVADAS PARCIALES

I. Encuentre las derivadas parciales

respecto de cada una de las variables.

=

= (

)

= ln n

=

=

= −

= √ −

= −

=

0 = o

= (

)

= √

−


202

=

=

= − √

= (

)

= √

=

= √ o

0 = ln (

)

II. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando las derivadas parciales.

21. La temperatura en Celsius de una placa metálica (localizada en el plano ) se representa con la siguiente ecuación: = , encuentre la razón de cambio de la temperatura respecto a la distancia en ft (eje ) si la placa se mueve del punto (2, 4) hacia la derecha. 22. De acuerdo a la ley de los gases perfectos ( = ), Encuentre la razón de cambio de la presión a la temperatura cuando la temperatura es 40 Celsius y 50 .

23. El aumento del grosor de una capa de hielo en un lago debido a la solidificación del agua se describe mediante la función:

= 0 0 ( 0

− 0 )

Donde: Es el espesor del hielo. Es la temperatura en Celsius. Es tiempo en días. Calcule el cambio parcial de la temperatura respecto al tiempo, cuando el espesor del hielo es de 10 cm para un lapso de 30 días. III. Resuelva los siguientes ejercicios

utilizando las derivadas parciales con regla de la cadena.

= = =

= √ = = = − = =

= ln (

)

= =

= ( √ )

= = =


203

= = = − = −

0 = − = =

IV. Calcule en los siguientes ejercicios

la parcial:

= = = − = −

=

= √

=

= =

= √ = n = o =

= √ = − = =

Calcule el máximo o mínimo local de las siguientes funciones:

= −

= √ − −

= − − −

= − −

0 = −

−

V. En las siguientes funciones

localizar los extremos relativos y los puntos de silla.

=

ℎ = 0 0 − −

= − − −

=

−

=

= √

=

=

=

0 =

=

ℎ =

= ( )


204

=

ℎ = 0

ℎ =

= √ − − − = − −

= − −

0 = √

VI. En los siguientes problemas según sea el caso determinar los máximos y mínimos relativos y así como los puntos críticos y puntos de silla.

61. Una cápsula de vitamina E tiene un cuerpo de forma cilíndrica y tapas semiesféricas. La cápsula debe almacenar 437 l de vitamina E. a) Realice un esquema de la geometría de la cápsula, b) Determinar el radio r y la longitud l que minimizan la cantidad de material utilizado para la fabricación de la cápsula. 62. Un parrillero tiene un comal circular de radio 50 cm para asar carne. La temperatura del comal sobre cualquier punto está dada por la siguiente función = − 0. a)

Dibujar las isotermas = 0, b) Hallar la zona de mayor temperatura y la de menor temperatura en el comal. La ecuación del comal está dada por ≤ 0. 63.La propagación de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 100 y viene dada por la siguiente expresión

= 0 −

. De manera simultánea se viene probando la acción de un fármaco sobre dicha bacteria obteniendo la siguiente

función = 0 − 0

00 000, donde t es el tiempo en (horas) donde t1 es el tiempo de propagación de las bacterias y t2es el tiempo de acción del fármaco sobre la bacteria, P es propagación de la bacteria y N efecto del fármaco sobre la bacteria, tomando en cuenta desde que inicia el estudio con una t=0 indicar los tiempos de máxima y mínima propagación durante las primeras 10 horas y los intervalos en la que esta crece y decrece. 64. Se requiere producir un nuevo medicamento compuesto por dos sustancias activas, las cuales tienen las siguientes funciones farmacocinéticas: = 0 0

00 = 0 0


205

Donde F1 denota la sustancia activa 1 y 2respectivamente mientras que Ci se refiere a la composición de cada uno. Así mismo se ha establecido una función que marca la dosis recomendada de dicho fármaco. = − −

Calcular la dosis máxima recomendada para la administración de dicho fármaco. VII. Calcule el máximo o mínimo

local de las siguientes funciones utilizando multiplicadores de Lagrange:

=

Sujeto a = − − = −

Sujeto a = − = −

Sujeto a: = − − = 0 = − −

Sujeto a: = = 0 = −

Sujeto a: = − = 0

206

Respuesta a los problemas de número impar

Capítulo 9 Límites y continuidad

− √ − −

−

√

− − − − ]

− [ − − ] ] ]

[

Capítulo 10 La Derivada

−

− √ −

−

−

− − − − −

−

207

− −

− − −

−

−

−

−

− −

√ −

− √ (

)

( ) −

√ −

( − ) − −

− (

−

)

(

) − ( − )

√ − −

−

(

−

)

−

−

− [− − ]

−

√ −

√

− − − ( )( )

[ ][ ]

(

) (

)

√

−

− −

− 0

− 0 0

0 −

0

−

( ⁄ )

√

√

−

−

( )

( )

−

.

208

Capítulo 11 Derivada implícita

−

−

−

− −

√

√

−

− [ ]

− − ( ) −

−

√

−

−

− −

−

−

Capítulo 12 Máximos y mínimos

Cloro mínimo aplicado 1.56 mg/L, Cloro libre residual máximo 0.19 mg/L.

Capítulo 13 Razón de cambio y diferenciales

=

=

Capítulo 14 Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales

.

209

Capítulo 15 Límites para dos o más variables reales

− −

− −

Capítulo 16 Derivadas parciales

= ( ) ( )

= ( )

= ( )

= ( )

210

=

[ − ]

= −

[

− ]

= √ −

= −

√ −

= ( )

= − ( )

= −

√(

)

= −

√(

)

=

=

=

− √

( − √ )

=

√ ( − √ )

= −

( )

√

= ( ) − ( )

√

= − √

= √

°

=

√ −

− − − − −

− − = = −

− = − −

á − −

á −

á á

á − − á

á = =

á á á

= −

=

á = á

211

REFERENCIAS

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214

ÍNDICE ALFABÉTICO

Página I Identidades trigonométricas 38 Cambio de variables 45 L Lagrange multiplicadores Limite

196

Asíntota 11 Dos variables

Función de una 164 5

Infinito 10 Propiedades 3, 12 Polinomial 6 Propiedades

Racional Dos o más variables

54 8 164

M Máximo y mínimo Método de agotamiento

96,98, 190 3

P Pendiente

Punto de inflexión 103 97

Puntos críticos Puntos singulares Primera derivada

98, 99 99 102

R Razón de cambio

Regla de la cadena Regla cálculo de límites de dos variables Resonancia magnética

118 63 169 158

S Segunda derivada 105 Superficie cuadrática 137, 138

Página A Ángulo de reposo Aplicaciones

128

C

Cambio de variable Función trigonométrica Continuidad

4 45

Cociente Concavidad Creciente función Criterio primera y segunda derivada Curva de nivel

91 105 103, 107 101 136, 157

D Decreciente función Derivada

107 24

Algebraica Definición Exponencial Implícita Logaritmo natural Logaritmo de cualquier base

30 58 25 81 52 57

Potencia función Reglas Trigonometría inversa Orden superior Parciales Regla de la cadena Derivación explícita Diferencial total Dominio de una función Dornic grados

62 29 50 67, 188 176,180 184 66 185 144-149 109

F Función implícita 82 Método de derivación 83 Método del cociente 91 Función con dos o más variables 136 Fluorescencia 146

co - zaragoza.unam.mx · muy sencilla a través del uso de los límites el concepto de derivada y...

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