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Cntenido
1 PLANTEAMIENTO DE LA TEMÁTICA DE PROFUNDIZACION ............................................ 3
1.1 SITUACION PROBLEMA Y JUSTIFICACION. .................................................................. 3
1.2 ANTECEDENTES ................................................................................................................... 5
1.2.1 La enseñanza de la geometría. .......................................................................................... 5
1.2.2 El uso de la tecnología para mejorar los procesos de enseñanza y el aprendizaje de la
geometría. ......................................................................................................................................... 7
1.2.3 La Teoría de las Situaciones Didácticas y la metodología de Ingeniería Didáctica. ........ 9
1.3 OBJETIVOS .......................................................................................................................... 11
1.3.1 Objetivo general. ............................................................................................................ 11
1.3.2 Objetivos específicos. ..................................................................................................... 11
2 MARCO TEORICO Y METODOLOGICO .................................................................................. 12
2.1 TEORIA DE LAS SITUACIONES DIDACTICAS .............................................................. 12
2.1.1 Aprendizaje por adaptación. ........................................................................................... 12
2.1.2 Situación didáctica vs Situación adidáctica. ................................................................... 14
2.1.3 Proceso de Validación .................................................................................................... 16
2.1.4 Proceso de devolución .................................................................................................... 16
2.1.5 Proceso de institucionalización. ..................................................................................... 16
2.1.6 El software como medio para el aprendizaje por adaptación. ........................................ 17
2.1.7 El estudiante desde la Teoría de las Situaciones didácticas. .......................................... 17
2.2 DISEÑO METODOLÓGICO ................................................................................................ 18
2.2.1 La ingeniería didáctica. .................................................................................................. 18
2.2.2 Recolección de la información. ...................................................................................... 20
2.2.3 Organización y sistematización de la información. ........................................................ 20
2.2.4 Reducción de la información recolectada. ..................................................................... 21
2.2.5 Categorías de análisis. .................................................................................................... 21
3 ANALISIS DE LA INFORMACION ............................................................................................ 24
3.1 ANALISIS DE LAACTIVIDAD No. 1 ................................................................................. 24
3.2 PUESTA EN COMÚN ACTIVIDAD No. 1.......................................................................... 35
3.2.1 Comportamientos coherentes ......................................................................................... 35
3.2.2 Comportamientos no coherentes .................................................................................... 39
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3.3 ACTIVIDAD No. 1 – CONCURSO ...................................................................................... 40
3.3.1 Socializan estrategias utilizadas ..................................................................................... 45
3.4 ANALISIS ACTIVIDAD No. 2 ............................................................................................. 47
3.5 ANALISIS DE LA ACTIVIDAD No.3 ................................................................................. 53
3.6 PUESTA EN COMÚN ACTIVIDAD No. 3 Comportamientos ............................................ 59
3.6.1 Comportamientos coherentes ......................................................................................... 59
3.6.2 Comportamientos no coherentes .................................................................................... 63
3.7 ANALISIS DE LA PUESTA EN COMUN ACTIVIDAD No. 3 – Series 3-1 a 3-6. Proceso
de institucionalización. ....................................................................................................................... 64
3.8 Puesta en común ACTIVIDAD 3-7 proceso de institucionalización .................................... 71
3.9 ANALISIS ACTIVIDAD No. 4 ............................................................................................ 84
3.10 PUESTA EN COMÚN ACTIVIDAD 4 ................................................................................ 92
3.10.1 Comportamientos coherentes ......................................................................................... 92
3.10.2 Comportamientos no coherentes .................................................................................... 98
3.11 PUESTA EN COMUN ACTIVIDAD No. 4. Proceso de institucionalización. ................... 101
3.12 ANALISIS PUESTA EN COMUN CONSTRUCCION 4-7 ............................................... 113
4 CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 53
4.1 Las situaciones adidácticas diseñadas sí funcionaron como se había previsto en el análisis a
priori, propiciando aprendizajes por adaptación y construcción de conocimientos personales
relativos a la simetría axial. .............................................................................................................. 133
4.2 El profesor no estuvo atento a controlar el medio para bloquear estrategias no matemáticas de
solución. ........................................................................................................................................... 133
4.3 El profesor tuvo dificultades para organizar adecuadamente la puesta en escena de las
actividades 3 y 4, y las consiguientes fases adidácticas. .................................................................. 134
4.4 La posibilidad de hacer referencia a la experiencia con el software es una oportunidad para
transformar el ambiente y las relaciones de poder en la clase. ......................................................... 134
4.5 La gestión del proceso de institucionalización es compleja y requiere del profesor una
preparación y anticipación que le permita mantener la prioridad en la introducción progresiva del
saber matemático. ............................................................................................................................. 135
5 Reflexiones .................................................................................................................................. 136
6 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .................................................................................................... 142
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1 PLANTEAMIENTO DE LA TEMÁTICA DE PROFUNDIZACION
1.1 SITUACION PROBLEMA Y JUSTIFICACION.
Frecuentemente se encuentra que los resultados en pruebas internas y externas en las
instituciones educativas de educación básica y media en Bogotá, en el área de matemáticas,
son bajos. Esto se puede verificar en los informes estadísticos que presenta el Instituto
Colombiano para la Evaluación de la Educación, en referencia a las diversas pruebas que
desarrolla (ver cuadro anexo, promedio Colegio las Américas, I.E.D 2011-2012). Por otro
lado, basándome en el trabajo y experiencia que he desarrollado durante más de 15 años
como docente de matemáticas en niveles de educación básica y media, he podido verificar
que muchos estudiantes presentan dificultades y poco interés por la matemática en sus
diversos campos: aritmética, álgebra, trigonometría, cálculo, estadística y geometría. En
particular en geometría observo que algunos estudiantes no tienen suficiente claridad
conceptual al definir diferentes objetos y formas geométricas, no reconocen ni diferencian las
características y propiedades importantes de dichos objetos. Además, he observado que los
contenidos de la geometría quedan relegados a tiempos muy cortos para su desarrollo y
eventualmente los profesores eluden su enseñanza. Ante esta situación, considero urgente
reflexionar sobre la siguiente pregunta: ¿Cómo mejorar los procesos de enseñanza y
aprendizaje de la geometría en los estudiantes de educación básica?
Se debe reconocer que la enseñanza actual de la geometría no está produciendo los
aprendizajes esperados; por lo tanto, creo que parte de la solución del problema debe
consistir en modificar esa enseñanza. En el momento, en muchos países, incluyendo
Colombia, se están implementando políticas educativas que promueven el uso de herramientas
informáticas para apoyar los procesos de enseñanza. Por ejemplo, el Ministerio de Educación
Nacional (M.E.N) afirma en el documento Pensamiento Geométrico y Tecnologías
computacionales, que:
“La enseñanza de la geometría está cambiando con el uso de nuevas
tecnologías en el salón de clases, herramientas como software de geometría
dinámica disponibles en las calculadoras especializadas, hace posible que los
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estudiantes exploren la geometría y tengan la posibilidad de explorar los
objetos y sus propiedades geométricas” (MEN, 2004).
Desde mi formación como Licenciado en Matemáticas y Computación e Ingeniero de
Sistemas, siempre he estado trabajando procesos de matemáticas implementando algunos
recursos informáticos, pensando en el beneficio de los estudiantes a mi cargo. He observado
que las herramientas tecnológicas despiertan el interés y motivan a los estudiantes a aprender;
además, estas herramientas ofrecen experiencias de aprendizaje favorables y permiten una
mayor interactividad entre los usuarios y diversidad de recursos en formatos de audio, video,
contenidos web, etc. Infortunadamente son muy pocos los docentes que se atreven a hacer uso
de estos recursos, algunos por la falta de conocimiento y experiencia y otros porque no se
quieren comprometer con la responsabilidad de nuevos recursos y dispositivos a su cargo. De
aquí surge un segundo aspecto a considerar que planteo con un interrogante: ¿Cómo usar las
herramientas informáticas en el proceso de enseñanza para lograr un mejor aprendizaje de la
geometría?
La respuesta a esta pregunta supone la transformación de las prácticas de enseñanza de la
geometría para hacer uso de tecnologías informáticas. Sin embargo esta transformación no se
quiere hacer de manera empírica, sino fundamentándola desde una perspectiva teórica de la
didáctica de las matemáticas. Esto genera una tercera pregunta: ¿Cómo orientar teóricamente
las prácticas de enseñanza que se quieren desarrollar?
El Proyecto Institucional de Uso de Geometría Dinámica, desarrollado en la Universidad
Industrial de Santander, intenta responder estas tres preguntas: propone la Teoría de las
Situaciones Didácticas como referente teórico para analizar las prácticas de enseñanza y
organizar estrategias para lograr un mejor aprendizaje de la geometría, aprovechando el
potencial del software Cabri Geometry. Por lo tanto se ha decidido replicar esa experiencia en
el Colegio Las Américas, I.E.D., en la ciudad de Bogotá, con el fin de profundizar la reflexión
sobre las tres preguntas planteadas y examinar desde la práctica las respuestas propuestas por
dicho proyecto.
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1.2 ANTECEDENTES
A continuación presentamos algunos de los trabajos académicos revisados, clasificados en tres
grandes temas que corresponden a las tres preguntas orientadoras del numeral anterior. la
primera está relacionada con los procesos de enseñanza y aprendizaje, la segunda se indaga
respecto al uso de herramientas informáticas y la última relacionada con la fundamentación
teórica sugerida desde la teoría de las situaciones didácticas y el proceso metodológico.
La enseñanza de la geometría.
El uso de la tecnología para mejorar los procesos de enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas.
La Teoría de las Situaciones Didácticas y la metodología de Ingeniería Didáctica.
1.2.1 La enseñanza de la geometría.
Algunas reflexiones sobre la didáctica de la Geometría (Gamboa & Ballestero, 2009).
Artículo
Los autores presentan algunas reflexiones sobre la didáctica de la geometría y describen las
dificultades y aciertos que se presentan los docentes cuando desarrollan procesos de enseñanza
y aprendizaje de la geometría desde una perspectiva constructivista, pretenden sensibilizar a
los docentes e incidir en su práctica pedagógica en el sistema educativo de Costa Rica.
Concluyen que el aprendizaje de la geometría compromete al profesor, por un lado a renovar
sus estrategias de enseñanza; por otro lado a propiciar actividades que conduzcan y
comprometan al estudiante a deducir resultados mediante construcciones, mediciones y
experimentación. Además, sugieren reflexionar sobre los recursos que se deben tener en
cuenta cuando se enseña geometría. Sugieren una reflexión sobre lo que implica reconocer que
enseñar geometría compromete al docente a seleccionar problemas interesantes, a apreciar el
contexto cultural e histórico de la geometría y a comprender la variedad de usos que esta
tiene.
Se concluye que el estudiante debe tener un papel más activo en la clase y que del acto
educativo por parte del docente requiere más panificación; que en la clase de geometría se
deber dar más espacio a la discusión, la experimentación, el ensayo y el error, que hay que
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aprovechar también los errores como herramienta para el aprendizaje; lo anterior obliga al
docente a innovar las prácticas educativas y a renovar sus estrategias didácticas; sugieren que
las situaciones propuestas tengan origen en el contexto del estudiante, que incluyan su historia
y la relación con otras áreas; aconsejan que los recursos utilizados por el docente permitan
desarrollar en los estudiantes habilidades para lograr un verdadero aprendizaje.
De este documento intentaremos adoptar la sugerencia de proponer problemas interesantes
que permitan a los estudiantes procesos de medición, construcción y experimentación,
ofreciendo al mismo tiempo espacios de reflexión.
Metodología para potenciar y analizar las competencias geométricas y comunicativas
(Murillo & Marcos, 2007). Artículo
Se presentan orientaciones y estrategias que permiten desarrollar en los estudiantes
competencias comunicativas haciendo énfasis en diversas formas de solución de problemas y
en el uso de recursos informáticos como los foros de discusión y el correo electrónico para
potenciar el lenguaje geométrico. Concluyen resaltando el uso significativo del lenguaje
geométrico desde lo gráfico, interpretativo, argumentativo y propositivo.
De este documento intentaremos retomar la idea de la necesidad de generar espacios de
discusión y de diálogo al interior de la clase entre profesor y estudiantes y entre los mismos
estudiantes con el fin de desarrollar habilidades comunicativas haciendo uso efectivo del
lenguaje geométrico cuando expresan sus ideas.
Creencias y concepciones de los profesores de geometría en relación de la geometría y su
enseñanza. (Pérez & Guillen, 2007). Informe estudio de exploración
El documento propone exponer las ventajas y dificultades que tendría un nuevo modelo de
enseñanza de la geometría, desde el cual se pretende involucrar en el proceso medios
informáticos y comunicación, en el cual se organiza un trabajo colaborativo, se producen
diversos formas de intervención del profesor el cual activa de manera presencial y virtual
sugieren desarrollar en los estudiantes capacidades. Comunicativas que se involucran cuando
se quiere solucionar un problema en 4 fases. Trasformación 1: Es estudiante es capaz de
modelar el problema, la trasferencia entendida como la capacidad de resolver el problema
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dentro de un modelo, la metacognición relacionada con la capacidad de controlar la resolución
y reflexionar sobre dicha y la trasformación 2: en la cual el estudiante es capaz de comunicar
tanto el modelo como los resultados.
Este estudio realizado con profesores de secundaria en Valencia (España), proporciona datos
teóricos y experimentales relacionados con las diferentes visiones sobre el gusto por enseñar y
aprender geometría. Concluyen que a los docentes sí les gusta la geometría, pero se sienten
poco preparados e inseguros para manejar diversos recursos informáticos. Los autores
reconocen que la geometría ha sido considerada como uno de los pilares de formación
académica y cultural del hombre, dada su aplicación en diversos contextos y su capacidad
formadora de razonamiento lógico (Báez e Iglesias, 2007); que contribuye a desarrollar en los
estudiantes habilidades para visualizar, pensar críticamente, intuir, resolver problemas,
conjeturar, razonar deductivamente, argumentar de manera lógica en procesos de prueba o
demostración (Jones, 2002).
De este documento intentaremos retomar una de las ideas que los autores proponen sobre lo
importante que resulta fomentar más y mejores estrategias metodológicas, didácticas para
enseñar geometría involucrando diversidad de recursos, entre ellos los informáticos. Además,
por otro lado sugieren hacer un uso más acertado de los procesos de enseñanza y aprendizaje
priorizando los contenidos, los recursos y modificando las estrategias utilizadas al interior de
las clases.
1.2.2 El uso de la tecnología para mejorar los procesos de enseñanza y el aprendizaje de
la geometría.
Concepto de translación + Cabri Geometry + Teoría de las situaciones didácticas =
Nueva herramienta para la enseñanza de la Geometría. (Corzo & Delgado, 2010).
Universidad Industrial de Santander. Tesis de Pregrado.
Es un informe de experimentación de una ingeniería didáctica sobre el concepto de traslación,
utilizando como fundamento teórico la Teoría de las Situaciones Didácticas y el Cabri
Geometry como medio en un grupo de estudiantes de sexto grado en el Colegio Las Américas
en Bucaramanga. Se concluyó que los estudiantes hicieron una apropiación del tema y
comprendieron los conceptos, fue posible el desarrollo de competencias comunicativas a
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través de formas verbales y escritas. Respecto del profesor se muestra como un generador de
espacios de aprendizaje, un dinamizador y mediador; el software se consideró como un medio
efectivo para desarrollar la ingeniería didáctica y garantizar la construcción efectiva del
conocimiento.
De este documento tomaremos la idea e intentaremos reflexionar sobre el cómo hacer uso de
software de geometría dinámica para favorecer los procesos de enseñanza y aprendizaje,
además resulta interesante la idea de desarrollar habilidades comunicativas en los estudiantes.
Por otro lado se tendrá en cuenta la idea de cómo muestran al profesor como dinamizador y
mediador para favorecer los procesos de diálogo para favorecer la discusión y los acuerdos
entre los estudiantes.
Empleo de Cabri Geometry en la enseñanza de la geometría en la Universidad de
Guerrero, México.(López, 2006). Universidad Autónoma de Guerrero. México (2006).
Tesis de Doctorado.
Este trabajo es una evidencia de una análisis relacionado con los procesos de formación que se
llevan a cabo con la enseñanza de la geometría en la Universidad de Guerrero en México, D.F.
Ofrece una manual de uso de software de geometría dinámica dirigido a docentes. Se pretende
ofrecer algunas recomendaciones para mejorar el proceso de aprendizaje de la geometría en
niveles de educación superior a través de unidades didácticas y software de geometría
dinámica. Se concluye con esta experiencia que se hace necesario garantizar en los estudiantes
de educación básica y media mejores bases conceptuales y procedimentales en cuanto al
manejo geométrico y de recursos informáticos; por otro lado el software de geometría
dinámica garantizó la construcción de conocimientos, además, permite a los estudiantes
formarse conceptos mucho más generales y comprender de una manera más completa las
propiedades de los objetos; en cuanto al trabajo de los docentes sugiere que es necesario que
estos hagan un replanteamiento en cuanto a los recursos que utilizan para apoyar sus procesos
de enseñanza y los motiva para que hagan uso de recursos informáticos, más específicamente
de los programas de geometría dinámica.
De este trabajo se tendrá en cuenta la propuesta de hacer necesario que los docentes iniciemos
a reconocer que el software de geometría dinámica y la modificación de las prácticas pueden
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generar cambios significativos para garantizar una efectiva construcción del conocimiento en
los estudiantes y un replanteamiento de las formas de trabajo por parte del docente. Es
interesante destacar que con el uso del software los estudiantes identifican y reconocen las
propiedades y características de los objetos geométricos.
Aprendizaje del concepto de área. Incidencia del trabajo en colaboración, la resolución
de problemas y el Cabri Geometry y la comprensión de aspectos asociados al concepto de
área. (Bohórquez, 2004). Universidad de Los Andes (Bogotá, 2004). Tesis de maestría.
Muestra una base conceptual con principios constructivistas y el uso de un programa de
geometría dinámica como Cabri Geometry en la asimilación y construcción del concepto de
área en un grupo de estudiantes de grado noveno. Se realiza un informe sobre las
interacciones que presentan los estudiantes, el profesor y el software para lograr el alcance de
los conceptos de área y sus diversas aplicaciones. Concluye que los estudiantes mostraron gran
interés y motivación; asimilaron los conceptos y procedimientos, las actividades desarrolladas
incrementaron sus habilidades comunicativas y mostraron diversas estrategias para solucionar
problemas tanto en forma individual como en grupo, las actividades sugeridas fueron muy
bien seleccionadas; respecto del software el autor concluye que fue muy significativo en la
construcción conceptual y en el desarrollo de actividades.
En este documento resulta interesante tener en cuenta como a través del uso del software de
geometría dinámica se logró incrementar los niveles de participación en los estudiantes y el
reconocer diversas estrategias para resolver problemas y situaciones de manera individual
como grupal.
1.2.3 La Teoría de las Situaciones Didácticas y la metodología de Ingeniería Didáctica.
La fundamentación teórica de este proyecto se hará desde La Teoría de las situaciones
didácticas (Brousseau, 1986), la cual aporta elementos interesantes que se ajustan a los
objetivos que se plantearon en el presente trabajo de profundización. En cuando a la
metodología será apoyada por La Ingeniería Didáctica, como estrategia que permitirá
evidenciar el impacto que produzca la experiencia didáctica enfocada a la enseñanza de la
geometría. Se tendrán en cuenta los siguientes referentes:
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Iniciación a la Teoría de las Situaciones Didácticas. (Brousseau, 2007). Libro
Este proyecto sugiere que se estudie la Teoría de las Situaciones didácticas, por lo tanto se
hace necesario conocer a profundidad o las orientaciones de esta teoría, no se pretende
empoderarse de una teoría es aprenderse normas, definiciones, conceptos y procesos; por el
contrario se espera aprovechar los aportes de dicha teoría para intentar transformar la clase de
matemáticas y convertirla en un espacio donde el docente desea cambiar sus estrategias y
perspectivas de enseñanza y quiere modificar las formas como los estudiantes han dado
sentido sus estrategias de aprendizaje.
Después de un proceso de lectura e indagación y atendiendo las orientaciones del Proyecto
Institucional de Geometría Dinámica, se decide tomar esta teoría como referente ya que ella
sugiere que como docente comprendemos porque Trousseau plantea que efectivamente el
estudiante puede producir su propio conocimiento cuando interactúa con un medio para
nuestro caso el software, además hace un llamado a modificar las formas que el profesor
utiliza para relacionarse con sus estudiantes al interior de la clase; por otro lado comprender
como a través de dicha construcción autónoma por parte de los estudiantes se puede formalizar
el saber matemático con una adecuada intervención del profesor.
La importancia de lo verdadero y lo falso en la clase de Matemáticas (Margolinas, 1993).
Libro
Este libro pretende profundizar en los términos y procesos que sugiere la Teoría de las
situaciones didácticas. Es la obra en la cual el docente en calidad de investigador puede
comprender aún mejor conceptos y procesos como: Validación, contrato didáctico,
devolución, situación adidáctica, institucionalización, etc., que se encuentran en la de las
situaciones didácticas.
Se toma esta obra para complementar las orientaciones que hace Brousseau y para comprender
con mayor profundidad cada uno los valiosos aportes y explicaciones propuestos por su
autora Claire Margolinas, para que comprendamos los conceptos y procesos enunciados en el
párrafo anterior. Se ha decidido esta obra debido a los aportes que su autora hace en cuanto a
los conceptos y procesos orientados desde la Teoría de las situaciones didácticas.
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Ingeniería didáctica en Educación Matemática. Un esquema para la investigación y la
innovación en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. (Artigue, Douady &
Moreno, 1995).Libro.
En esta obra, específicamente el capítulo 4., atenderemos elementos muy precisos para
comprender porque la Ingeniería Didáctica, se convierte en una estrategia metodológica para
desarrollar el presente trabajo; propone observar y registrar los eventos que se desarrollan al
interior de las clases y posteriormente seleccionar y analizar los datos más relevantes y hacer
una contrastación con datos o situaciones que previamente el análisis que previamente se
habían previsto.
Se tiene en cuenta esta obra debido a las orientaciones que hace el grupo de investigación
Edumat. Se espera hacer una buena lectura y profundizar en las ideas y propuestas que hacen
sus sus autores y que están dirigidas a mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo general.
Realizar una experiencia de uso de software de geometría dinámica, para la enseñanza de la
simetría axial, basada en la Teoría de las Situaciones Didácticas, con el fin de reflexionar
sobre el impacto de ese uso en el aprendizaje de los estudiantes y en las intervenciones en
clase, como parte de la práctica del profesor.
1.3.2 Objetivos específicos.
Describir y analizar la experiencia para:
Valorar el impacto del uso del software en el aprendizaje de los estudiantes.
Valorar el impacto del uso del software de geometría dinámica en el proceso de
enseñanza.
Verificar el nivel de apropiación de la Teoría de las Situaciones Didácticas entendida
como la coherencia de los comportamientos del profesor con dicha teoría.
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2 MARCO TEORICO Y METODOLOGICO
2.1 TEORIA DE LAS SITUACIONES DIDACTICAS1
Las actividades sugeridas y desarrolladas en el proyecto, pretenden ofrecer la posibilidad de
utilizar diversas estrategias didácticas para desarrollar procesos de enseñanza y aprendizaje de
la simetría axial, utilizando como medio un software de geometría dinámica, en este caso
Cabri Geometry. Se espera apoyar estas actividades con un marco teórico basado en el estudio,
comprensión, asimilación y uso efectivo de la Teoría de las Situaciones didácticas (T.S.D). A
continuación se exponen algunos de los elementos fundamentales de esta teoría, que serán
tenidos en cuenta en el diseño de las actividades y en el análisis.
2.1.1 Aprendizaje por adaptación.
Según Brousseau (1986), el aprendizaje por adaptación se da cuando:
“El estudiante aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de
dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Ese saber,
fruto de la adaptación del estudiante, se mantiene por las respuestas nuevas que son la
prueba del aprendizaje”.
En la siguiente figura esquematizamos la interacción del sujeto con el medio, productora del
aprendizaje por adaptación, y sus cinco elementos:
1 Se tomó como referencia la información relacionada en el Proyecto Automatización de actos de devolución en
el software Cabri LM.
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Figura 1. Aprendizaje por Adaptación.
El primer elemento de la interacción del sujeto con el medio es la intención. La intención del
sujeto es el origen de toda la interacción, ya que es la que determina el propósito de las
acciones posteriores y sus correspondientes validaciones. La intención es un objetivo que se
plantea el sujeto. Si no hay intención no puede haber aprendizaje por adaptación.
El segundo elemento de la interacción es la acción: el sujeto realiza una acción sobre el medio
para alcanzar su intención.
El tercer elemento de la interacción es la retroacción, que es la forma como el medio
reacciona a la acción del sujeto. También podemos decir que es el efecto observable que
produce la acción del sujeto.
El cuarto elemento de la interacción es la interpretación: el sujeto percibe la retroacción que
le ofrece el medio, toma conciencia de ella y le da un sentido. Este elemento, aunque
generalmente se pasa por alto, es importante pues si el sujeto no interpreta la retroacción del
medio no podrá realizar la validación.
El quinto elemento de la interacción es la validación. El sujeto valida su acción; es decir,
decide si esa acción le sirvió para alcanzar su intención o no. Si la validación es positiva (el
sujeto decide que con esa acción alcanzó lo que se proponía), se producirá un refuerzo de la
acción: el sujeto utilizará esa acción con mayor frecuencia y rapidez. Si la validación es
negativa (el sujeto decide que con esa acción no alcanzó lo que se proponía), se producirá un
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cambio de acción. El refuerzo de la acción y el cambio de acción son dos efectos observables
de la validación y constituyen indicios de un aprendizaje por adaptación.
Es importante señalar que los únicos elementos de la interacción que son observables son la
acción y la retroacción. Los demás elementos son hipotéticos y pueden deducirse a partir de la
observación de las acciones, las retroacciones y los efectos de la validación (refuerzo o cambio
de la acción).
La interacción del sujeto con el medio es cíclica, así que no hay que verla como un proceso
que termina con la validación, sino que la validación conduce a un nuevo ciclo.
De los cinco elementos de la interacción, el más importante desde el punto de vista didáctico,
ya que es condición fundamental para el aprendizaje por adaptación, es la validación
(Margolinas, 1993), capítulo 1). Si el proceso de interacción no conduce a la validación de las
acciones por parte del sujeto, no se produce un aprendizaje por adaptación.
2.1.2 Situación didáctica vs Situación adidáctica.
En el aprendizaje por adaptación no se considera el rol del profesor. Para incluir al profesor y
su relación con el alumno, debemos considerar lo que la Teoría de las Situaciones Didácticas
llama la Situación Didáctica. Una Situación didáctica es aquella en la que intervienen tres
elementos: un profesor, un saber y un alumno. El profesor tiene la intención (didáctica) de
transmitir el saber al alumno.
El postulado fundamental de la Teoría de las Situaciones Didácticas es la imposibilidad de
transmitir de manera directa el saber al estudiante. Podemos decir que la TSD postula la
imposibilidad de reducir el proceso de enseñanza a un proceso de comunicación. Así que el
profesor, cuyo rol es transmitir el saber al estudiante, debe recurrir a una estrategia indirecta
para lograr su objetivo. Esa estrategia indirecta consiste en crear las condiciones que
posibiliten un aprendizaje por adaptación.
Podemos entonces incluir el esquema del aprendizaje por adaptación dentro del esquema de la
situación didáctica, como ilustramos en el siguiente diagrama.
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Figura 2. Situación didáctica / Situación adidáctica
La Teoría de las Situaciones Didácticas llama Situación adidáctica a aquella en la que se
privilegia la interacción del sujeto con un medio, y es productora de un aprendizaje por
adaptación (el adjetivo adidáctica se refiere al hecho de que el medio no tiene una intención
didáctica con respecto al sujeto). Asimismo, llama conocimiento al aprendizaje producto de la
interacción del sujeto con el medio. El conocimiento es entonces personal y contextualizado,
ya que depende de una experiencia del sujeto en un contexto determinado. En la TSD la
palabra conocimiento no es sinónima de saber. El saber es impersonal y descontextualizado;
no es el producto de una experiencia personal, sino de acuerdos sociales de la comunidad y se
expresa en un lenguaje convencional.
Para poner en marcha la situación adidáctica, el profesor debe diseñar un problema, que será el
que desencadene el proceso de interacción, y un medio (que determina qué acciones puede
realizar el sujeto y qué acciones no puede realizar, y cuáles son las correspondientes
retroacciones). El producto del funcionamiento de esa situación a-didáctica es un
conocimiento personal y contextualizado. Finalmente, el profesor explicita las relaciones
entre el saber impersonal y descontextualizado con el conocimiento construido por los
alumnos en la situación adidáctica. Es lo que la TSD llama la institucionalización. El hecho
de relacionar el saber que se desea enseñar con los conocimientos personales de los
estudiantes hace que ese saber cobre sentido para los estudiantes, quienes pueden utilizar sus
experiencias personales para ejemplificar ese saber.
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Según Margolinas (1993), al analizar la enseñanza debemos prestar atención a tres procesos
fundamentales: el proceso de validación, el proceso de devolución y el proceso de
institucionalización.
2.1.3 Proceso de Validación
Es el que abarca los cinco elementos de interacción del sujeto con el medio. Podemos decir
que incluye todo lo que hace o piensa el estudiante, que le posibilita decidir si lo que hizo está
bien o mal. Como la validación es condición indispensable para el aprendizaje por adaptación,
el profesor debe vigilar y acompañar el proceso de validación.
2.1.4 Proceso de devolución
Es el proceso de acompañamiento que realiza el profesor al proceso de validación del
estudiante. Dicho acompañamiento debe a la vez favorecer la interacción del sujeto con el
medio, y evitar que dicha interacción se interrumpa. Por lo tanto requiere intervenciones
directas del profesor durante la fase adidáctica, para hacer comprender el problema, mostrar al
alumno las posibilidades de acción que tiene, hacerle tomar conciencia de las retroacciones del
medio. Pero también requiere evitar interrumpir el proceso de validación, y por lo tanto
abstenerse de emitir juicios sobre el trabajo del estudiante, de comunicar directa o
indirectamente al estudiante las acciones que conducen a la solución.
2.1.5 Proceso de institucionalización.
La institucionalización no se reduce simplemente a un ‘momento’ o fase en la que el profesor
presenta el saber a los estudiantes. Según Margolinas (1993, capítulo 2), la institucionalización
es un proceso que comienza con la presentación del problema y tiene dos momentos
importantes: la fase de balance y la fase de institucionalización. La fase de balance es posterior
a la fase adidáctica; en ella el profesor busca que los estudiantes formulen los conocimientos
construidos en la fase adidáctica y logra acuerdos colectivos sobre los procedimientos
correctos o incorrectos. Esta fase le permite al profesor estimar si la fase adidáctica funcionó
adecuadamente y si los estudiantes han construido conocimientos que les permiten resolver el
problema propuesto. En la fase de institucionalización el profesor expone a los alumnos el
saber matemático, poniéndolo en relación con las experiencias vividas en la fase adidáctica y
17
con los acuerdos logrados en la fase de balance. El propósito del profesor durante el proceso
de institucionalización es independizar gradualmente la validación del medio material, para
lograr que los alumnos puedan validar utilizando el saber.
2.1.6 El software como medio para el aprendizaje por adaptación.
Se considera el software como un medio material con el cual los estudiantes interactúan para
obtener un aprendizaje por adaptación. El software de geometría dinámica está programado
para producir fenómenos visuales en la pantalla que corresponden a propiedades teóricas de la
geometría. Estos fenómenos visuales, tanto estáticos como dinámicos, serán las retroacciones
a las acciones de los estudiantes. De esta manera, se garantiza que los conocimientos
construidos en la interacción con el software tendrán una relación con el saber geométrico que
se quiere enseñar, y que está a la base de la programación del software.
El software también permite parametrar las herramientas disponibles para la interacción,
ofreciendo la posibilidad de limitar las acciones de los estudiantes cuando se considera
necesario.
2.1.7 El estudiante desde la Teoría de las Situaciones didácticas.
Durante el desarrollo de las situaciones adidácticas los estudiantes no solo experimentan con
procesos perceptivos, también tienen la posibilidad de emitir unas posturas teóricas cuando
ellos quieren explicar y predecir el comportamiento de los mismos, lo hacen a través de
conjeturas las cuales pueden verificar experimentalmente. Las conjeturas que sean válidas para
ellos podrán ser convertidas en leyes teóricas.
Según Brouseau (1986), los estudiantes construyen conocimiento de tres formas: en la acción,
cuando el conocimiento está implícito en las acciones y decisiones del alumno. En la
formulación, cuando el estudiante intercambia información con una o varias personas,
comunica lo que ha encontrado, explicita sus procesos de pensamiento. En la prueba, cuando
el estudiante justifica la veracidad de las afirmaciones o manifiesta su desacuerdo con los
demás.
18
El desarrollo de las situaciones adidácticas propuestas utilizando Cabri como medio permitirá
favorecer en los estudiantes procesos de intercambio de ideas y conocimiento cuando una
pareja de estudiantes dialoga frente al desarrollo de la actividad en el computador, o en las
puestas en común, cuando se analizan y comparten las formas y estrategias de solución, sus
aciertos y sus dificultades o errores. En todos estos momentos se verificarán diversas formas
donde los estudiantes mostrarán como comunican lo que piensan, lo que comprenden, también
las formas que utilizan para justificar, para aceptar o para contradecir las opiniones de otros
estudiantes.
2.2 DISEÑO METODOLÓGICO
Para reflexionar y profundizar sobre las preguntas orientadoras se implementaron las
situaciones adidácticas para la enseñanza de la simetría axial utilizando el software Cabri
como medio, diseñadas por el grupo Edumat en el marco del Proyecto Institucional de uso de
Software de Geometría Dinámica (Desarrollado en instituciones educativas de zona
metropolitana de Bucaramanga). Se asume la metodología de ingeniería didáctica que busca
por una parte precisar y explicitar las hipótesis y variables didácticas que guían el diseño y la
implementación de las actividades de clase y por otra parte recoger evidencias en la práctica
de los efectos de esas decisiones.
2.2.1 La ingeniería didáctica.
Las fases que propone la Ingeniería Didáctica son:
Análisis preliminares. Consisten en estudiar detalladamente los conceptos
matemáticos que se pretende enseñar desde los puntos de vista epistemológico,
didáctico y cognitivo con el fin de identificar estructuras, relaciones, conflictos y
dificultades relacionadas con dichos conceptos.
Diseño y análisis a priori. Esta es la fase de construcción de las situaciones
adidácticas que se propondrán a los estudiantes. Comprende el diseño de los problemas
que se plantearán a los estudiantes y los medios que se propondrán para que dichos
estudiantes interactúen. El análisis a prioriprevé en detalle todas las posibilidades de
dicha interacción entre un estudiante genérico y el medio que se le propone buscando
anticipar los distintos aprendizajes resultado de la interacción.
19
Experimentación. En esta fase se implementan las actividades diseñadas en
condiciones de clase reales y se recogen datos sobre las distintas interacciones:
estudiante – medio, estudiante – estudiante y estudiante – profesor.
Análisis a posteriori. Es el análisis de los datos recogidos para contrastarlos con el
análisis a priori con el fin de evaluar el diseño.
Las fases de análisis preliminares, de diseño y análisis a priori, fueron desarrolladas en el
marco del proyecto institucional de uso de software de geometría dinámica del grupo
Edumat.(ver anexos).
Este proyecto se centra en las fases de experimentación y análisis a posteriori, para responder
al objetivo general de reflexión sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje.
Con este fin, se recolectaron datos de video de:
Las fases de interacción con el software de una pareja de estudiantes (fases
adidácticas).
Las fases de interacción del profesor con el grupo completo de estudiantes (puestas en
común).
El análisis a priori se tomó de los documentos del Proyecto Institucional de uso del software
de geometría dinámica.
La experimentación se llevó a cabo en el Colegio Las Américas, I.E.D., perteneciente a la
localidad de Kennedy, en el curso 704 con 36 estudiantes de la jornada de la mañana.
La clase estaba programada los miércoles cada quince días y se destinaba un bloque de dos
horas académicas (110 minutos), el profesor y los estudiantes se encontraban generalmente en
una de las aulas de informática o en muy pocas ocasiones en el Aula Especializada de
Matemáticas. En cada uno de estos espacios se contaba con 20 computadores en promedio,
todos con el software instalado. Los estudiantes generalmente compartían computador, es
decir, se trabajaba por parejas.
20
En algunas ocasiones no era posible el encuentro con los estudiantes, debido a que la clase se
cruzaba con eventos programados por la institución, por lo que se encontraron dificultades
para garantizar la periodicidad de los mismos; lo anterior propició que los procesos y
contenidos planteados desde las actividades fueran olvidados por parte de los estudiantes, lo
que obligaba al docente a retomar en varias ocasiones el refuerzo de algunas actividades
previas.
2.2.2 Recolección de la información.
Se hizo un registro en video de la mayoría de las sesiones de clase programadas para el
desarrollo del proyecto. A continuación se hace una descripción de cada uno de esos
momentos y del tipo de información recolectada.
El proyecto comprende cuatro actividades, cada una de ellas con fases adidácticas y fases
grupales de puestas en común. Durante las fases adidácticas los estudiantes trabajaban por
parejas en diversas tareas haciendo uso del software. De acuerdo con la TSD, durante las fases
adidácticas la interacción principal debe darse entre los estudiantes y el software (que actúa
como medio material), las intervenciones del profesor deben ser limitadas y evitando juzgar el
trabajo de los alumnos o indicar de alguna manera las acciones que llevan a la solución. Se
esperaba que fueran los mismos estudiantes quienes decidieran si sus acciones les permitían o
no el desarrollo de las tareas o si lo estaban haciendo bien o no. Que ellos mismos decidieran
si era necesario cambiar la estrategia para resolver la tarea. En cada fase adidáctica se
recolectó en video el trabajo de una pareja de estudiantes (la misma pareja en todas las
actividades). Al finalizar cada fase adidáctica se debía desarrollar una puesta en común para
que los estudiantes comunicaran sus experiencias y el profesor pudiera verificar si se
alcanzaron o no los objetivos de la fase adidáctica. Este momento para el proyecto es muy
importante ya que es allí donde se evidencia la gestión de la actividad por parte del profesor,
es decir el proceso institucionalización. La puesta en común corresponde a una fase didáctica
ya que el docente interviene para reformular lo que dicen los estudiantes y sugerir algunas
conclusiones. En cada puesta en común se recolectó en video la discusión grupal.
2.2.3 Organización y sistematización de la información.
Una vez terminadas las actividades se realizó una pre-selección de videos para descartar los
que tuvieran problemas de sonido o imagen y se procedió a la trascripción de los videos
21
seleccionados. Las transcripciones se organizaron en tablas numeradas de dos columnas, una
columna con el texto descriptivo de lo que se observa en el video y una columna con imágenes
que sirven para ilustrar cuando es necesario los fenómenos observados en la pantalla.
2.2.4 Reducción de la información recolectada.
Esta tercera fase corresponde al análisis a posteriori. Mediante un riguroso proceso de lectura
y análisis de las transcripciones se buscaron evidencias de las categorías de análisis y se
seleccionaron aquellas evidencias más pertinentes evitando redundancia de información. Los
extractos de transcripción seleccionados se organizaron siguiendo la secuencia de actividades
acompañados de un comentario descriptivo y la contrastación con el análisis a priori.
2.2.5 Categorías de análisis.
Como este estudio no consiste exclusivamente en la validación de la ingeniería didáctica, sino
que es una oportunidad para reflexionar y profundizar sobre los procesos de enseñanza de la
geometría, el uso del software en esos procesos y el papel de la teoría, se decidió centrar el
análisis en dos de los procesos indicados en el marco teórico: el proceso de validación y el
proceso de institucionalización. Se busca confirmar dos hipótesis: 1) La interacción con el
software promueve aprendizajes por adaptación que pueden ser utilizados en el proceso de
institucionalización del saber; 2) La gestión del proceso de institucionalización es un proceso
complejo, que requiere un cambio profundo de concepciones por parte del profesor, por lo
tanto se observarán tanto comportamientos adecuados como comportamientos inadecuados
durante ese proceso.
En la siguiente tabla se muestran las categorías, subcategorías e indicadores que se utilizaron
en el análisis.
Tabla 1 Categorías de Análisis.
CATEGORIAS CLASES INDICADORES
TIPOS DE
APRENDIZAJE
Por adaptación. Cambios o refuerzos de las acciones de los estudiantes
como producto de la interacción con el medio.
Por imitación. Cambios o refuerzos de las acciones de los estudiantes
22
como producto de la observación de las acciones de un
tercero (estudiante o profesor).
Por autoridad. Cambios o refuerzos de las acciones de los estudiantes
como producto de las instrucciones de un tercero a
quien consideran una figura de autoridad (estudiante o
profesor).
APROPIACION
DE LA
TEORIA
Comportamientos
coherentes con la
TSD
Durante la puesta en común
El profesor regula el comportamiento de los
estudiantes para reforzar las actitudes de escucha y
respeto por la palabra.
El profesor solicita al estudiante que describa su
experiencia con el software.
El profesor acepta que los estudiantes describan
sus conocimientos personales y hagan referencia a
su experiencia con el software.
Comportamientos
no coherentes
con la TSD
En la puesta en común
El profesor descalifica las referencias que hacen
los estudiantes a conocimientos personales o a su
experiencia con el software.
El profesor espera que los estudiantes hagan
referencia al saber.
Si los estudiantes no muestran una estrategia
ganadora, el profesor interviene mostrando la
estrategia.
Tipos de aprendizaje
Aprendizaje por adaptación: Son los cambios o refuerzos de las acciones de los estudiantes
como producto de la interacción con el medio.
23
Aprendizajes por autoridad: Son los cambios o refuerzos de las acciones de los estudiantes
como producto de las instrucciones de una figura de autoridad (profesor u otro estudiante al
cual se le reconoce como autoridad).
Aprendizajes por imitación: Son los cambios o refuerzos de las acciones de los estudiantes
como producto de la observación de las acciones de un tercero (estudiante o profesor).
De acuerdo con la primera hipótesis, deberían encontrarse evidencias de una mayoría de
aprendizajes por adaptación relacionados con la simetría axial.
Apropiación de la teoría.
Durante el desarrollo y análisis de la experiencia se pretende mirar si el profesor está
gestionando de manera adecuada el proceso de institucionalización. Se examinarán las
acciones del profesor durante las puestas en común (fase de balance según el marco teórico),
identificando comportamientos adecuados y comportamientos inadecuados desde el punto de
vista de la TSD; es decir, comportamientos que contribuyen a la validación por parte de los
estudiantes, a la construcción de estrategias matemáticas para la solución de los problemas, y
al remplazo progresivo de estrategias puramente perceptivas por estrategias matemáticas.
En las puestas en común no solamente están en juego los comportamientos cognitivos de los
estudiantes, es decir sus formas de pensamiento, sino también sus comportamientos sociales.
La gestión de estos momentos debería garantizar que el saber no sea asimilado por los
estudiantes como algo impuesto por el profesor, sino como algo que responde a sus propios
procesos de pensamiento y de discusión grupales.
Comportamientos coherentes:
El profesor regula el comportamiento de los estudiantes para reforzar las actitudes de
escucha y respeto por la palabra.
El profesor solicita al estudiante que describa su experiencia con el software.
El profesor acepta que los estudiantes describan sus conocimientos personales y hagan
referencia a su experiencia con el software.
Comportamientos no coherentes:
24
El profesor descalifica las referencias que hacen los estudiantes a conocimientos
personales o a su experiencia con el software.
El profesor espera que los estudiantes hagan referencia al saber y no a sus
conocimientos personales.
3 ANALISIS DE LA INFORMACION
Se presenta a continuación el análisis de los datos obtenidos en la fase de aplicación del
proyecto. Para cada una de las actividades se hace una breve descripción, se presentan los
datos seleccionados y el análisis correspondiente.
Los datos seleccionados de las transcripciones están organizados en tablas de cuatro columnas
con una numeración secuencial, la identificación del sujeto observado, la descripción textual
de la observación y en algunos casos imágenes aclaratorias. En la descripción textual se
utilizan las siguientes convenciones: frase o párrafo sin ningún símbolo, indica lo que la
persona está diciendo; frase o párrafo entre paréntesis redondos indican lo que hace la persona
o lo que se observa en la pantalla; frase o párrafo entre paréntesis cuadrados son
interpretaciones del observador.
3.1 ANALISIS DE LAACTIVIDAD No. 1
El docente presenta al grupo de estudiantes la actividad, indicando que ésta consta de 12
figuras, que seis de ellas presentan un círculo y seis triángulos y que en las otras seis figuras se
presentan los seis triángulos y tres círculos.
Por otro lado indica las tareas que hay que realizar en cada una de las figuras así:
En las figuras con el nombre serie1-1, serie1-2, serire1-3, serie1-4, serie1-5, serie1-6 deben
realizar las siguientes tareas:
Tarea1: Llevar todos los triángulos rojos al círculo.
Tarea2: Llevar todos los triángulos verdes al círculo
Tarea3 Llevar todos los triángulos al círculo.
25
En las otras seis figuras con el nombre serie1-1A, serie1-2A, serie1-3A, serie1-4A, serie1-5A,
serie1-6A deben realizar la siguiente tarea
Tarea4: Colocar todos los círculos en algún lugar de la pantalla donde puedan ponerse todos
los triángulos sucesivamente.
Con el desarrollo de esta actividad se espera que los estudiantes se familiaricen con algunos
fenómenos visuales relativos a la simetría axial, que identifiquen que el movimiento de una
figura depende de la otra, reconozcan que los movimientos son contrarios respecto a un eje
imaginario, que logren identificar la posición del eje que puede ser visto como un espejo.
Los aprendizajes esperados en esta actividad son:
- Los triángulos rojos pueden arrastrarse y meterse en el círculo.
- Los triángulos verdes no pueden arrastrarse, es necesario arrastrar los rojos para
moverlos, los movimientos de rojos y verdes pueden ser contrarios o iguales.
- Los triángulos rojos y verdes pueden superponerse pero no en cualquier sitio de la
pantalla. La tarea 3 es imposible si no se puede mover el círculo.
- El lugar donde se superponen los triángulos es una línea recta.
Para facilitar la descripción textual, se asignaron números a los tres triángulos rojos de las
figuras de esta actividad como se explica en la siguiente tabla.
Tabla 2. Nombres asignados a los triángulos
Triángulo 1. Triángulo 2. Triángulo 3
26
Tabla 3. Serie 1-1. Tarea1
2 Est1
(Ubica el puntero en el triángulo
rojo No 3 y lo arrastra ubicándolo
dentro del círculo, simultáneamente
se mueve el correspondiente
triángulo verde y queda abajo del
círculo )
3 Est1
(Ubica el puntero en el triángulo
rojo No. 2 y lo arrastra dentro del
círculo, simultáneamente se mueve
el correspondiente triángulo verde y
queda abajo del círculo y
superpuesto con otro triángulo
verde )
4 Est1
(Ubica el puntero en el triángulo
rojo No. 1 y lo arrastra dentro del
círculo, simultáneamente se mueve
el correspondiente triángulo verde y
queda abajo del círculo,
superpuesto con los otros triángulos
verdes.)
Tabla 4. Serie 1-3. Tarea 1
81. Est1
Ahora vamos a abrir la serie tres
27
82. Est1
(Ubica el puntero sobre el
triángulo rojo No. 2 y lo lleva
dentro del círculo)
83. Est2 Vamos primero a poner todos los triángulos rojos en el círculo
84. Est1
(Ubica el puntero sobre el triángulo rojo No. 1 y lo arrastra dentro del
círculo)
85. Est1 ¿Los triángulos rojos en el círculo?
86. Est1
(Ubica el puntero sobre el
triángulo rojo No. 3 y lo arrastra
hasta el interior del círculo)
En estos dos extractos se verifica el primer aprendizaje esperado: los estudiantes arrastran los
triángulos rojos y los meten dentro del círculo, sin ninguna dificultad. Se evidencia un
refuerzo de acción, pues los estudiantes repiten esa acción con todos los triángulos rojos en
diferentes series.
Tabla 5. Serie 1-1. Tarea2
6 Est1
(Ubica el puntero sobre el
triángulo rojo No. 3 y lo
arrastra hacia abajo, el
correspondiente triangulo
verde sube y queda dentro del
círculo)
28
7 Est1
(Ubica el puntero sobre el
triángulo rojo No. 1 y lo
arrastra hacia abajo, el
correspondiente triángulo
verde sube y queda dentro del
círculo)
8 Otr_est Voy con la segunda tarea de acá ¿Cuál?
9 Est1 (Ubica el puntero sobre el
triángulo rojo No. 2 y lo
arrastra hacia abajo, el
correspondiente triángulo
verde sube y queda dentro del
círculo, los triángulos verdes
quedan superpuestos dentro del
círculo y los rojos también
superpuestos abajo del círculo)
Tabla 6. Serie 1-3 – Tarea 2
90. Est1 Ahora vamos a poner los verdes en el círculo
91. Est1
(Ubica el puntero sobre el triángulo rojo No. 1 y lo arrastra para ubicar el
correspondiente verde dentro del círculo)
92. Est1
(Ubica el puntero sobre el triángulo rojo No. 3 y lo arrastra para ubicar el
correspondiente verde dentro del círculo)
93. Est1
(Ubica el puntero sobre el
triángulo rojo No. 2 y lo arrastra
para ubicar el correspondiente
verde dentro del círculo)
94. prof [a todos los estudiantes] Los dibujos son a mano alzada.
29
95. Est2 Ahora están todos los triángulos
verdes en el círculo
En estos dos extractos de la transcripción se verifica el segundo aprendizaje esperado, pues los
estudiantes mueven los triángulos rojos para poder meter los verdes en el círculo. Se observa
un refuerzo de la acción, ya que los estudiantes repiten la misma acción para todos los
triángulos verdes, y en diferentes series. Llama la atención el hecho de que los estudiantes no
intentan arrastrar los triángulos verdes, acción que se había previsto en primer lugar en el
análisis a priori.
Tabla 7. Serie 1-1 Tarea3
12 Est1 No se puede ubicar todos los triángulos dentro del círculo
[Los renglones 13 al 20 corresponden a un diálogo del profesor con otros estudiantes.]
21 Est1 (Acerca el puntero sobre el triángulo
rojo No. 3, lo mueve hacia arriba, el
correspondiente verde se mueve hacia
abajo como se observa en la siguiente
imagen. Luego realiza
movimientoscortos en diferentes
sentidos. Finalmente ubica el puntero
sobre el triángulo verde No.3 e intenta
arrastrarlo, el triángulo verde no se
mueve).
22 Est1 No se puede meter todos los triángulos dentro del círculo
30
La estudiante, sin realizar ningún tipo de acción, afirma que no es posible llevar todos los
triángulos al círculo. Después realiza diversos movimientos con el triángulo rojo No. 3 en
varias direcciones. También intenta arrastrar el triángulo verde, pero éste no se puede
arrastrar. Esta situación estaba prevista en el análisis a priori.De la afirmación de la estudiante
se puede deducir que las validaciones de las acciones fueron negativas y por lo tanto hay un
aprendizaje por adaptación, que corresponde al tercer aprendizaje esperado.
Tabla 8. Serie1-3 – Tarea 3
96. Est1 Ahora vamos a tratar de poner todos los triángulos dentro del círculo
97. Est1
(Ubica el puntero sobre el triángulo
rojo No. 1 y lo arrastra hasta dejarlo
superpuesto con el correspondiente
verde)
98. Est1
(Ubica el puntero sobre el triángulo rojo No. 3 y lo arrastra hasta dejarlo
superpuesto con el correspondiente verde)
99. Est1
Ubica el puntero sobre el triángulo
rojos No. 2 y lo arrastra hasta dejarlo
superpuesto con el correspondiente
verde)
100. Est1
Por lo que se puede ver, como el movimiento es compartido no se pueden
colocar todos los triángulos dentro del círculo
Se observa en esta secuencia de acciones que la estudiante verifica que puede superponer
todos los triángulos por fuera del círculo. Al igual que en la serie 1, la afirmación de la
estudiante (línea 100) permite suponer que invalidó las acciones y por lo tanto se evidencia un
31
aprendizaje por adaptación. Además, la estudiante hace referencia a los movimientos
contrarios de los triángulos, que es otro de los aprendizajes esperados.
Tabla 9. Serie 1 -1A Tarea 4
23. Est1 (Mueve el triángulo rojo No. 3 y lo
superpone con el correspondiente verde
No. 3)
24. Est1 (Mueve el triángulo rojo No. 1 y lo superpone con su respectivo verde)
25. Est1 (Mueve el triángulo rojo No. 2 con su respectivo verde y los deja
superpuestos), quedan las tres parejas de triángulos superpuestos dentro
de los círculos)
26. Est1 (Mueve un círculo y lo deja encerrando
la primera pareja de triángulos, hace lo
mismo con los otros dos círculos
quedando encerradas las tres parejas de
círculos)
27. Est1 Mueve el triángulo rojo No. 1 del primer círculo con su correspondiente
verde y los ubica sobre los que están en el segundo círculo)
28. Est1 (Mueve los triángulos del tercer círculo
ubicándolos en el segundo círculo
29. Est1 Profe
30. Prof Ahora todos los seis triángulos deben pasar por todos los círculos
32
En este extracto puede observarse la siguiente estrategia: reunir las parejas de triángulos
correspondientes en un lugar de la pantalla, luego mover los círculos para encerrar cada pareja
de triángulos; finalmente, ubicar los seis triángulos en cada uno de los círculos. Esta estrategia
estaba prevista en el análisis a priori. Se deduce que hubo un aprendizaje por adaptación ya
que se observa el refuerzo de acciones como superponer parejas de triángulos
correspondientes, luego ubicar un círculo sobre cada pareja y finalmente mover todos los
triángulos dentro de los círculos.
A la pregunta que el profesor había hecho al grupo ¿En dónde ubicarían un cuarto círculo para
que todos se puedan ubicar dentro de él, se tiene el siguiente registro de la misma
transcripción.
Tabla 10. Serie 1-1a tarea extra
31 Est1 (La estudiante dibuja y
acomoda el cuarto círculo, se
observa que los cuatro círculos
quedan alineados
horizontalmente)
Según el análisis a priori la única herramienta disponible debería ser la de arrastre, y por lo
tanto no deberían haber tenido la posibilidad de construir un cuarto círculo. Sin embargo la
acción realizada por la estudiante permite deducir que ha tomado conciencia de que los
círculos deben quedar alineados, lo cual corresponde al cuarto aprendizaje esperado.
Tabla 11. Serie 1-4A
160. Est2 (Mueve el triángulo rojo No. 3 y
lo deja superpuesto con su
correspondiente verde fuera de los
círculos, quedan ahora cuatro
triángulos superpuestos)
33
161. Prof Maite ¿por qué tu decidiste que la posición era esa, qué observaste
cuando moviste los triángulos?[El profesor dialoga con otra
estudiante]
162. Est2 (Mueve el triángulo rojo No. 2 y
lo deja superpuesto con su
correspondiente verde fuera de los
círculos, quedan ahora los seis
triángulos superpuestos)
163. Prof Que al mover los triángulos ellos ¿qué?
164. Est2 (Mueve uno de los círculos y
encierra los seis triángulos
superpuestos)
165. otr_est Se iban a encontrar
166. Est2 (Ubica el puntero en el segundo círculo y lo arrastra a la derecha del
círculo que encierra los triángulos)
167. Est2 (Mueve el triángulo rojo No. 2
manteniéndolo superpuesto con su
correspondiente verde a la parte
inferior izquierda del círculo que
encerraba los seis triángulos)
168. Prof [ a otro grupo de estudiantes] Ubicas el segundo círculo para que
luego los triángulos pasen al segundo círculo
34
169. Est2 (Ubica el puntero sobre uno de
los círculos y lo arrastra para
encerrar la pareja de triángulos
que sacó del primer círculo)
170. Est2 (Ubica el puntero sobre el tercero
de los círculos y lo arrastra en la
parte inferior izquierda del
segundo circulo que encierra la
pareja de triángulos que sacó del
primer círculo, los círculos
quedan alineados)
171. Est2 (Mueve el triángulo rojo No. 1
con su correspondiente verde y los
ubica superpuestos en la parte
inferior izquierda del círculo que
encerraba los cuatro triángulos,
ahora tiene solo dos triángulos en
el primer círculo)
172. Est2 (Mueve el triángulo rojo No. 3 y
lo mueve con su correspondiente
verde y los ubica superpuestos en
la parte inferior izquierda del
círculo que encerraba los dos
triángulos, ahora quedaron los seis
triángulos dentro del segundo
círculo
173. Prof [a otro grupo de estudiantes] Maite te pregunto tu ubicaste el círculo
o ubicaste los triángulos? Porque yo quiero que los triángulos se
muevan y pasen al segundo círculo. No que el segundo círculo pase a
35
donde están los triángulos
174. Est2 (Ubica el puntero sobre el triángulo rojo No. 2 y lo arrastra con su
correspondiente verde, ubicándolos en el tercer círculo)
175. Est2 (Ubica el puntero sobre el triángulo rojo No. 3 y lo arrastra con su
correspondiente verde, ubicándolos en el tercer círculo)
176. Est2 (Ubica el puntero sobre el
triángulo rojo No. 1 y lo arrastra
con su correspondiente verde,
ubicándolos en el tercer círculo)
En este extracto puede observarse la misma estrategia de la serie 1-1 A: superponer una pareja
de triángulos y luego colocar el círculo encerrándolos, finalmente meter las otras parejas de
triángulos dentro del círculo. Pero también hay una evidencia importante en la línea 170, pues
allí se modifica esta estrategia: antes de mover los triángulos, el estudiante desplaza el tercer
círculo y lo coloca prolongando la recta definida por los otros dos círculos: Por lo tanto
podemos concluir que se produjo el cuarto aprendizaje esperado.
Durante el desarrollo de esta actividad no hay evidencias de ningún de aprendizaje por
imitación o de aprendizaje por autoridad.
3.2 PUESTA EN COMÚN ACTIVIDAD No. 1
Para presentar el análisis de las puestas en común se tendrán en cuenta los criterios descritos
en la tabla de categorías de análisis. Para cada uno de los criterios mencionados en la tabla de
categorías de análisis, se presentan extractos de la transcripción que corresponden a ese
criterio.
3.2.1 Comportamientos coherentes
Indicador 1: El profesor regula el comportamiento de los estudiantes para reforzar las
actitudes de escucha y respeto por la palabra.
1. Prof Persona que quiera opinar algo levanta la mano, yo interrumpo al
36
compañero que está hablando y escuchamos a esa persona.
76. Prof Bien por el público, estamos escuchando y observando que
efectivamente lo que él dice es cierto.
123. Prof Muy bien, solo me va a contestar usted. Le pido al público que si él no
puede contestar, alguno de ustedes alza la mano y contesta.
314. Prof Le pregunto y ojalá que si ella no contesta, alguien del grupo conteste
Estas intervenciones del profesor dan cuenta de su interés por que los estudiantes respeten el
uso de la palabra, que escuchen las opiniones de sus compañeros y que haya orden para
intervenir en la discusión.
Indicador 2: El profesor solicita al estudiante que describa su experiencia con el software.
10. Prof ¿Se pudo mover los triángulos rojos al círculo?
11. Est Si señor
12. Prof ¿Cómo lo hizo?
13. Est Cogí todos los triángulos y fui poniéndolos uno a uno dentro del círculo
38. Prof Andrés, fue posible ubicar los triángulos verdes dentro del círculo?
39. Est Si señor
70. Prof ¿Para dónde se fue el verde?
37
71. est1 (Ubica el puntero sobre un vértice
del triángulo rojo No, 3 y lo mueve
hacia la derecha, el correspondiente
verde se mueve hacia la derecha)
Hacia la izquierda
78. Prof ¿Qué diferencia hay entre esta actividad y la anterior?
79. Est2 Que hay 6 triángulos y tres círculos
100. Prof ¿Cómo descubrió usted que los círculos se podían mover?
101. Est2 Por los puntos
150. Prof Laura, es muy evidente ver cómo usted mueve los triángulos rojos al
círculo, pero le pregunto: ¿Mientras usted movía los triángulos rojos al
círculo, qué pasó con los verdes? Solo Laura
151. Est3 Se fueron hacia la parte izquierda
287. Prof ¿Es posible mover los triángulos
verdes?
288. Est5 (Ubica el puntero sobre el vértice
del triángulo rojo No. 3 y lo
mueve hasta llevar el
correspondiente verde No. 3 al
interior del círculo)
289. otro_est No
38
346. Prof ¿Qué hiciste? Cuéntanos, ¿cómo lo hiciste?
347. Est6 Moví los rojos encima de los verdes, para que los verdes quedaran en el
círculo.
Estas intervenciones dan cuenta de que el profesor sí solicita a los estudiantes que describan su
experiencia con el software. Este comportamiento del profesor es importante y adecuado
desde el punto de vista teórico, ya que al no centrar la discusión en el saber, sino en la
experiencia vivida, promueve la participación valorando el hacer y el pensar de los
estudiantes. Las discusiones que se centran en el saber, por el contrario, son interpretadas por
los alumnos como un ejercicio de evaluación y por lo tanto inhiben la explicitación de sus
comportamientos y formas de pensar personales.
Indicador 3: El profesor acepta que los estudiantes describan sus conocimientos personales y
hagan referencia a su experiencia con el software.
28. Prof ¿Por qué se presentaba esa dificultad?
29. otro_est Porque no se movían
45. Prof ¿Andrés, como describe este movimiento?
46. Prof Unos triángulos bajan y los otros suben
47. Prof ¿Qué sentido tendría el movimiento de esos triángulos?
48. otro_est Opuestos
72. Prof ¿Qué opina de esa actividad?
73. est1 Pues, como los triángulos rojos, son los que se pueden mover, al quedar
todos en un mismo lugar quedan por fuera del círculo.
74. Prof Tocaría mover el círculo
75. est1 Pero como el círculo está en un solo lugar.
175. Prof ¿Cómo quedaron esos triángulos Laura?
39
176. Est3 Quedaron unos encima de otros
201. Prof Maileth ¿Por qué tú decidiste que la posición era esa, qué observaste
cuando moviste los triángulos?
202. Est4 Que al mover los triángulos se iban a encontrar
248. Prof ¿Qué observa usted ahí?
249. Est5 Un círculo y tres triángulos verdes y tres rojos
254. Prof ¿Qué característica observa usted?
255. Est5 Que hay unos iguales, o sea,
256. Est5 Cada uno de los tres verdes tiene su igual con cada uno de los tres rojos
En la totalidad de las intervenciones descritas, se evidencia que el profesor sí acepta que los
estudiantes describan sus conocimientos personales. Ellos utilizan sus propios términos para
describir sus conocimientos y su experiencia con el software. Este indicador complementa el
anterior, el profesor acepta que los estudiantes hagan referencia a sus conocimientos
personales y a su experiencia con el software.
3.2.2 Comportamientos no coherentes
Indicador 1: El profesor descalifica las referencias que hacen los estudiantes a
conocimientos personales o a su experiencia con el software.
No se encontraron evidencias de este indicador en la puesta en común.
Indicador 2: El profesor espera que los estudiantes hagan referencia al saber.
124. Prof La pregunta es: ¿Usted me podría contar o describir en qué posición
quedaron los círculos?
125. Est2 (el estudiante hace un movimiento con sus manos mostrando una
dirección horizontal)
40
126. Prof ¿Quedaron en una línea recta?
127. Prof ¿Sobre una línea recta?
128. Prof O ¿cómo podemos describir esa posición?
129. Prof [Le da la palabra a otro estudiante] ¿ o cómo podemos describir esa
posición Cuadros?
130. otr_est Horizontal
232. Prof ¿Me haces un favor? Me describes ¿cuál fue la posición final de los
círculos? ¿Cómo es esa posición?
233. Est4 Encima uno de los otros
234. Prof Los círculos quedaron en qué posición? ¿Cómo quedaron los círculos?
235. Est4 Verticalmente
En estos extractos de transcripción el profesor reitera varias veces su pregunta, descalificando
las primeras respuestas de los estudiantes. Este es un indicio de que él está esperando una
respuesta específica que contenga palabras correspondientes al vocabulario matemático. En
este caso el docente debe reflexionar un poco sobre las formas de intervención de los
estudiantes ya que en muchas ocasiones los estudiantes tienen razón con lo que expresan, pero
como el docente está esperando las palabras o los términos precisos, no hace mucho caso a las
palabras que utilizan sus estudiantes.
Indicador 3: Si los estudiantes no muestran una estrategia ganadora, el profesor interviene
mostrando la estrategia.
No se encontraron evidencias de este indicador en la puesta en común.
3.3 ACTIVIDAD No. 1 – CONCURSO
En el concurso se vuelve a trabajar la cuarta tarea de la actividad: colocar los círculos en la
posición donde puedan meterse dentro de ellos todos los triángulos. Pero se introduce una
condición: no pueden moverse los triángulos antes de haber ubicado los círculos. El concurso
está organizado con dos objetivos:
41
1. Bloquear la estrategia perceptiva de juntar las parejas de triángulos para después
colocar los círculos rodeándolas, de manera que se produzca una anticipación del
movimiento de los triángulos.
2. Provocar la formulación de las estrategias de los alumnos, quienes deben comunicarse
entre ellos.
El aprendizaje esperado en el concurso es:
- Los triángulos correspondientes se superponen en la mitad entre ellos.
El profesor organizó el concurso tal como estaba previsto en el análisis a priori.
A continuación aspectos de las transcripciones que describen las formas en que los estudiantes
acuerdan sus estratégicas y planean como participar en el concurso.
Tabla 12. Los estudiantes planean su estrategia
1. est1 (Indica a sus compañeros, haciendo
señales con las manos la posición de
los objetos) De acuerdo a como vayan
los triángulos, los debemos ubicar,
2. est2 Toca mirar, toca mirar. [Separando
sus manos a un lado y a otro dice
posiblemente refiriéndose a los dos
triángulos dice]Digamos que si este
está acá y este está acá, si los
movemos van a quedar acá en el
centro.
3. est2 (Hace señales con sus dedos indicando posiciones verticales, horizontales y
diagonales
4. est1 Ya sabemos que la primera va así. (Mueve su mano indicando una dirección
horizontal)
42
5. est1 Y la segunda va horizontal. (Mueve la
mano en sentido vertical)
6. est2 La tercera va en diagonal. (Utiliza su mano derecha para indicar la dirección
diagonal)
7. est1 La cuarta
8. est2 No esa va en diagonal derecha (y lo indica con su mano)
9. est1 La quinta va en diagonal
10. est2 No, esa va en diagonal derecha un
poquitico y (Mueve su mano
indicando u)na diagonal con poca
inclinación
11. est2 La sexta
12. est2 Va así vea. (Une sus dos manos y muestra la posición en diagonal como el se
imagina la dirección)
13. est1 (Refuerza la dirección moviendo su brazo y mano derecha)
14. est2 Cuál vamos a hacer?
15. est1 No, cualquiera
16. est1 Vea la primera horizontal, (Muestra con sus manos la horizontalidad)
17. est1 La segunda vertical, (Muestra con sus manos la horizontalidad)
18. est1 La tercera diagonal (Refuerza la dirección con su mano y brazo derecho)
19. est2 La cuarta, (Muestra con su brazo un dirección diagonal)
43
20. est2 La quinta, si va completamente
(Muestra una dirección diagonal con
su brazo)
21. est1 Vertical, (pero su brazo indica una dirección diagonal)
22. est1 La sexta va vertical pero hacia el otro lado
23. est2 Tienen que mirar la posición de los triángulos y cuadrar. Si ven que se
mueven así: (Con sus dedos indica que se juntan)
24. est1 (Interrumpe a su compañero tomando sus manos) Lo más importante es
cuadrar
Los estudiantes ya saben que los círculos deben quedar en línea recta y lo manifiestan
claramente con sus gestos y sus palabras. Además, saben que la posición de esa recta depende
de la posición de los triángulos. Sin embargo, la estrategia que están compartiendo se basa en
memorizar las seis series trabajadas; de manera que al realizar la actividad piensan identificar
cuál serie es y recordar la posición de los círculos en esa serie. Esta estrategia estaba prevista
en el análisis a priori y fue invalidada al realizar el concurso ya que los ejercicios del concurso
no corresponden exactamente a las series trabajadas.
En la fase de concurso solo uno de siete grupos logró resolver la tarea. Los otros grupos
parecieron asumir la estrategia descrita anteriormente. El profesor decidió repetir la
preparación del concurso y el concurso en la siguiente clase.
A continuación se muestra una estrategia utilizada para concursar nuevamente.
Tabla 13. Socialización de la estrategia
32 prof [Se refiere a un estudiante] Pasas tú, vas a realizar la actividad concurso 9
33 grup2-Co (Acomoda la ventana manipulando todos los controles para tener
visibilidad de todos los objetos)
44
34 grup2-Co (Ubica un círculo en la parte
central de los triángulos
correspondientes rojo y verde No.
1)
35 grup2-Co (Ubica un círculo en la parte central de los triángulos correspondientes
rojo y verde No. 3)
36 grup2-Co (Ubica un círculo en la parte central de los triángulos correspondientes
rojo y verde No. 2)
37 grup2-Co (Ubica el puntero sobre el triángulo
rojo No. 1 y lo arrastra al interior
del círculo superponiéndolo con el
correspondiente verde)
38 grup2-Co (Ubica el puntero sobre el triángulo rojo No. 1 y lo arrastra al interior del
círculo superponiéndolo con el correspondiente verde)
39 grup2-Co (Ubica el puntero sobre el triángulo
rojo No. 2 y lo arrastra al interior
del círculo superponiéndolo con el
correspondiente verde)
40 Otro_est (Los compañeros aplauden a la compañera)
La estudiante ubica un círculo en medio de cada pareja de triángulos correspondientes, luego
arrastra cada pareja de triángulos al interior de cada círculo. Se verifica entonces el
aprendizaje esperado.
45
3.3.1 Socializan estrategias utilizadas
La fase de puesta en común del concurso permite verificar que los estudiantes han realizado el
aprendizaje esperado, pues saben que deben identificar las parejas de triángulos
correspondientes y ubicar los círculos en medio de cada pareja:
Tabla 14. Los estudiantes comparten sus estrategias
37. Intg2 La estrategia de nosotros, fue mirar el reflejo que mostraban los
triángulos, porque al mover un triángulo rojo, se mueve uno verde
38. Intg2 Entonces para poder acomodar los círculos de la forma correcta, tocaba
mirar el reflejo de los dos triángulos, para saber a qué lado se dirigían y
los ubicábamos en la mitad
39. Prof Exactamente en la mitad
40. Prof El círculo está exactamente en la mitad de los dos triángulos
41. Prof ¿Y tú por qué consideras que debería estar en la mitad?
42. Intg2 Porque al unirlos, entren todas las puntas
82. Prof Yo podría decir que hay parejas de triángulos que tienen
¿características similares?
83. Intg4 Si
84. Prof ¿Qué características?
85. Otro_est (Una compañera de su grupo, se levanta y se dirige al tablero)
86. Otro_est [Utiliza sus dedos para mostrar los
objetos] Aquí se ve la mitad, y si
miras este triángulo aquí está el
reflejo
87. Prof Tú ves la unión ahí
88. Prof Tú ves la unión ahí entre ellos
89. Otro_est Si
90. Prof Consideras que ahí debe estar el lugar en que se unen
91. Otro_est Si
46
92. Otro_est [Pasa sus dedos sobre los bordes
de dos triángulos
correspondientes] Y aquí se ven
características iguales
93. Prof Bueno, esa situación que observa y que estás mostrando con los dedos
163. Intg6 Que nuestra estrategia, que nuestra estrategia fue que pues, que en
todos hay seis triángulos, dos, cuatro y seis triángulos
164. Intg6 Cada uno tiene pareja, sino que son de diferente color
165. Intg6 Entonces esos dos son los que se unen
166 – 178 [El profesor discute con los estudiantes sobre los movimientos que tienen los
triángulos.]
179. Prof ¿Los verdes se mueven cuando se mueven los rojos?
180. Prof Okey. Esa es la estrategia, ubicar las parejas de triángulos
181. Intg6 Si, primero ubicar las parejas, quienes van con quienes, o sea, que
triángulos van con cuales y mirar la posición y cuadrar donde está la
mitad
183. Prof Su estrategia Grupo 7
184. Prof Caballero
185. Intg7 Pues nuestra estrategia es
186. Intg7 Nuestra estrategia es que cada círculo se pone en la mitad de dos
triángulos idénticos
187. Prof ¿En la mitad de dos triángulos qué?
188. Intg7 Idénticos
189. Prof O sea que los triángulos usted no los llama iguales, sino los llama
idénticos, que es un sinónimo
190. Prof Bueno y ubica el círculo ¿en qué zona de esos triángulos idénticos?
191. Intg7 En la mitad
47
192. Prof Exactamente en la mitad
193. Prof ¿Por qué debe estar en la mitad?
194. Intg7 Para que allí se unan los dos triángulos y puedan permanecer dentro
del círculo
En estos extractos puede verificarse que los estudiantes hablan de identificar los triángulos
correspondientes y luego colocar el círculo en la mitad entre ellos. Utilizan diferentes palabras
para referirse a los triángulos correspondientes, pero todos coinciden en la estrategia.
Podemos concluir que los estudiantes ya reconocen la posición del eje de simetría como el
lugar donde se superponen las parejas de figuras simétricas.
3.4 ANALISIS ACTIVIDAD No. 2
Se pretenden con esta actividad los siguientes objetivos:
1. Además de reforzar la identificación de los fenómenos visuales concernientes al
movimiento de figuras simétricas trabajados en la actividad 1, se busca que los
alumnos constaten que las figuras simétricas con respecto a un eje giran en sentidos
contrarios.
2. Se busca que los alumnos pasen de una visión global de los triángulos, a considerar sus
vértices y lados.
El profesor propuso dos tareas:
Tarea 1: Superponer el triángulo rojo sobre el triángulo punteado.
Tarea 2: Superponer el triángulo verde sobre el triángulo punteado.
Es importante aclarar que en el análisis a priori solo se sugería la segunda tarea. La primera
tarea se propone para que los alumnos tomen conciencia de que las figuras simétricas tienen
orientaciones opuestas.
Los aprendizajes esperados son los siguientes:
48
- No puede cogerse el triángulo de cualquier parte para moverlo. Sólo dos vértices
permiten moverlo: uno lo gira, el otro lo desplaza.
- Para mover el triángulo verde hay que mover el triángulo rojo, esos dos triángulos
giran en sentidos contrarios.
- El triángulo verde y el triángulo rojo tienen orientaciones opuestas. Por eso no es
posible superponer el rojo y el punteado.
Para facilitar la comprensión en la lectura de las transcripciones se ha acordado tener en
cuenta la siguiente nomenclatura, para referirse a los vértices de los triángulos.
Tabla 15. Nombres asignados a los vértices
El vértice No. 1 Permite trasladar el triángulo.
El vértice No. 2. Permite girar el triángulo.
El vértice No. 3. No permite ningún movimiento.
Tabla 16. Serie 2-1. Tarea 1
3 Est1 Como tarea1 debemos poner el triángulo rojo sobre el punteado
4 Est1 (Acerca el puntero sobre el vértice No. 1 y lo mueve, superpone
parcialmente el triángulo rojo con el verde pero luego los separa y lo
lleva sobre el triángulo punteado)
5 Est1 Como podemos ver, solamente se puede mover una parte del triángulo
rojo
6 Est1 (Nuevamente acerca el puntero al mismo vértice del triángulo rojo y
realiza movimientos cortos de izquierda a derecha, el verde se mueve
en la misma dirección)
7 Est1 Ahora vamos a ubicar el triángulo verde sobre el triángulo punteado
49
Tabla 17. Serie 2-1. Tarea 2
8 Est1 (Acerca el puntero al vértice No.1 del triángulo rojo lo mueve hacia
abajo, mientras que el verde se mueve hacia arriba, lo arrastra hasta la
ubicación del triángulo punteado)
9 Est1 (Mueve el triángulo rojo hasta
superponerlo con el triángulo
verde, ahora realiza otros
movimientos, el triángulo rojo baja
un poco y el verde sube hasta
acercarlo un poco al triangulo el
punteado)
10 Est1 (Observa por un tiempo los
triángulos)
11 Est2 (Escribe unas notas en su cuaderno sobre lo que está sucediendo)
12 Est1 (Cierra accidentalmente la actividad)
En estos dos extractos puede verificarse que la estudiante no se ha dado cuenta que puede girar
el triángulo rojo tomándolo del vértice 2. Como no puede modificar la inclinación del
triángulo rojo ni del triángulo verde, no puede resolver las tareas propuestas.
Tabla 18. Serie 2-2. Tarea1
13. Est2 (Acerca el puntero, al triángulo rojo sobre el vértice No. 2, lo gira y el
triángulo verde rota en sentido contrario)
14. Est2 (Acerca el puntero al triángulo rojo, al
vértice No. 1, lo mueve hacia la derecha y el
triángulo verde se mueve hacia la izquierda)
50
15. Est2 (Acerca el puntero al ´vértice del triángulo
rojo No. 2., lo gira, simultáneamente el
triángulo verde gira en sentido contrario)
16. Est2 Ahora vamos a hacer la segunda tarea, ubicar el triángulo verde sobre el
punteado
.
En este momento la estudiante ya ha descubierto el movimiento de giro, esto aporta al
cumplimiento de los objetivos de la actividad. Como desiste de realizar la primera tarea (línea
16), puede pensarse que las retroacciones del medio le hacen pensar que no es posible.
Tabla 19. Serie 2-3. Tarea1
17. Est2 Podemos ver que esta vez hay un triángulo rojo, uno verde y uno punteado
18. Est2 Pero están en distintas posiciones.
19. Est2 (Acerca el puntero al vértice No. 2 del
triángulo rojo, este gira y hace que el
correspondiente triángulo verde gire en
sentido contrario)
20. Est2 (Ubica el puntero sobre el vértice No. 1
del triángulo rojo, lo desplaza en
distintas direcciones y el verde presenta
movimientos contrarios)
21. Est2 (continúa moviendo el triángulo rojo trasladándolo y rotándolo en diversas
direcciones, el triángulo verde produce movimientos similares pero en
sentido contrario)
22. Prof Acuérdese que hay escribir lo que sucede en el ambiente)
51
23. Prof ¿Qué movimientos se repiten?
24. Est2 Como podemos ver, no se pueden poner
derechos en correcta posición ni el
punteado ni el rojo
Tabla 20. Serie 2-3. Tarea2
25. Est2 (Desplaza los triángulos rojo y verde
hasta dejarlos superpuestos)
26. Est2 Ubica el puntero sobre el vértice No. 1 del triángulo rojo, desplaza el
triángulo rojo, simultáneamente se mueve el triángulo verde y los deja
superpuestos
27. Est2 Como pueden ver es complicado
28. Prof En 10 minutos, alguien me puede escribir en una hoja cuál es la estrategia
para solucionar esta segunda situación
29. Est2 Ya pude acomodar otra vez el verde
30. Est2 Queda en una correcta posición
31. Est2 Comparando la primera actividad con esta, el rojo no se puede hacer
coincidir con el punteado pero el verde si
52
Tabla 21. Serie 2-6 Tarea 1
56. Est2 (Ubica el puntero sobre el
vértice del triángulo rojo No. 2
lo gira, el verde gira en sentido
contrario)
57. Prof La sala debe quedar organizada con las sillas
58. Est2 (Ubica el puntero sobre el
vértice del triángulo rojo que
permite trasladarlo lo mueve
un poco tratando de hacer
coincidir el triángulo rojo con
el punteado)
59. Est2 Pero no es posible, queda al contrario del punteado
En estos extractos pueden verificarse los aprendizajes esperados de la actividad. Los
estudiantes giran y desplazan el triángulo rojo arrastrando los vértices 1 y 2, y toman
conciencia de que no es posible superponer el triángulo rojo con el punteado (líneas 22, 30 y
59). Se observa un refuerzo de las acciones de girar y desplazar, que se repiten en las
diferentes tareas y en las distintas series.
Puede concluirse que los estudiantes observados reconocen que la simetría implica
orientaciones opuestas, y giros en sentido contrario.
Infortunadamente el docente olvidó hacer la puesta en común de esta actividad. Esta situación
se debió a que encontraba el grupo cada 15 días y por ende en el siguiente encuentro no tuvo
previsto hacer la puesta en común.
53
3.5 ANALISIS DE LA ACTIVIDAD No.3
El objetivo de la actividad es que los estudiantes comprendan que para ubicar un segmento
que represente un espejo que refleja dos triángulos simétricos, deben tener en cuenta por lo
menos dos parejas de puntos simétricos y lograr que el segmento pase por la mitad de cada
pareja.
Aprendizaje esperado:
- No basta con tener en cuenta una pareja de puntos correspondientes para ubicar con
precisión el espejo. Es necesario tomar en cuenta dos parejas de puntos
correspondientes y hacer que el segmento pase por la mitad de cada pareja.
La tarea que el docente asignó al grupo fue la siguiente.
Tarea 1: Mover el espejo hasta que represente el espejo entre el triángulo de borde de línea
continua y el triángulo de borde con línea punteada.
Tabla 22. Serie 3-5. Tarea 1.
51. Est1 (Ubica el puntero en la parte superior
del segmento y lo acerca a uno de los
vértices de uno de los triángulos,
intentando iguales distancias con
otro punto del otro triángulo no
correspondiente al primero)
52. Est1 (Ubica el puntero en la parte inferior
del segmento y lo acerca a un punto
no correspondiente del otro
triángulo9
54
53. Est1 (Acerca el puntero en la parte
inferior del segmento y lo acerca a
un punto no correspondiente del otro
triángulo)
54. Otro_est Ahí ya salió [Refiriéndose a la presencia del mensaje “muy bien” ]
55. Est1 (Ubica el cursor sobre uno de los
vértices de un triángulo y lo mueve
en la parte superior del segmento)
56. Est1 (Ahora mueve el segmento y lo
acerca un poco al triángulo que
movió inicialmente)
57. Est1 (ubica en puntero sobre el vértice del triángulo y lo mueve sobre el
segmento)
58. Est1 (Ubica el puntero sobre otro vértice
del triángulo y lo rota un poco hacia
el segmento)
59. Est1
(Acerca el puntero al tercer vértice del triángulo, aparece el mensaje en
este punto, pero no permite ningún movimiento)
60. (Acerca el puntero a uno de los vértices del triángulo desde allí lo
desplaza a la derecha, el otro triángulo de línea continua se mueve en
sentido contrario)
61. Est2 Corra este
62. Est1 (Acerca el puntero al segmento y lo acomoda entre los dos triángulos)
55
63. Est1 (Nuevamente acerca el puntero al
´vértice para mover el triángulo de
línea continua hacia la derecha y lo
acerca un poco más al segmento, el
otro triángulo también se acerca pero
en sentido contrario)
64. Est1 (Ahora acerca el puntero a otro vértice del triángulo de línea continua y
desde allí lo rota, el otro triángulo rota en sentido contrario)
65. Est2 Para el otro lado
66. Est1 (Acerca el puntero al triángulo de
línea continua, al vértice que rota y
lo hace girar hacia la izquierda, el
otro triángulo también rota pero en
sentido contrario)
67. Est2 Organice la línea
68. Est1 (Acerca el puntero al triángulo de línea continua, al vértice que rota y lo
hace girar hacia la izquierda, el otro triángulo también rota pero en
sentido contrario)
69. Est1 (Acerca el puntero al extremo superior derecho del segmento y lo
desplaza un poco hacia la izquierda)
70. Est1 (Acerca el puntero al extremo inferior izquierdo del segmento y lo
desplaza un poco hacia la derecha, lo ubica entre los dos triángulos)
71. Otro_est ¿Le ayudo?
72. Est1 Si
73. Otro_est (Gira el triángulo de línea continua
hasta lograr que uno de sus catetos
sea paralelo al cateto correspondiente
del otro triángulo)
56
74. Otro_est (Acomoda el segmento para que sea
paralelo a los catetos paralelos y lo
desplaza hasta ubicarlo en la mitad.
Aparece el letrero "Muy bien")
La estudiante 1 no parece tener una estrategia clara. Por las posiciones en las que coloca el
segmento puede deducirse que no anticipa correctamente la posición del espejo.
Aparentemente se limita a ensayar posiciones al azar para ver si aparece el letrero ‘Muy bien’.
Las retroacciones del medio no le permiten validar esta estrategia.
El otro estudiante que interviene, por el contrario, muestra una estrategia matemática correcta
que no estaba prevista en el análisis a priori: girar los triángulos hasta que tengan una pareja
de lados correspondientes paralelos, hacer que el segmento tenga esa misma inclinación y
finalmente acomodarlo sin cambiar su inclinación para que esté en la mitad.
A diferencia del extracto anterior, aquí la estudiante aparentemente sí anticipa de manera
correcta la posición del espejo (línea 13), pero no tiene suficiente precisión para obtener la
validación del medio. Entonces procede a hacer pequeños ajustes sin éxito. Es interesante
notar que no copió la estrategia que le mostró el otro estudiante en la serie anterior.
Tabla 23. Serie 3-6. Tarea 1.
93. Est2 [Iniciando la serie 3-6] (Acerca el puntero
al extremo derecho del segmento, desde
allí acorta un poco la longitud del
segmento y lo acomoda entre los dos
triángulos)
94. Est2 (Ubica el puntero en el extremo izquierdo del segmento, aparece una
manito y desde allí disminuye la longitud del segmento)
95. Prof1 En cinco minutos empezamos socialización
57
96. Est2 (Acerca el puntero al triángulo de línea
continua, al vértice que permite trasladar y
lo mueve un poco por debajo del segmento
el cual está casi en posición horizontal , el
otro triángulo se mueve en sentido
contrario por la parte superior del
segmento)
97. Est2 (Acerca el puntero al extremo derecho del segmento y desde allí lo
acomoda queriendo ubicarlo en la parte central de dos vértices
correspondientes de los dos triángulos)
98. Est2 (Acerca el puntero al extremo izquierdo del segmento, aparece el letrero
"En este punto", y una manito, extiende un poco la longitud del segmento)
99. Est2 (Acerca el puntero al segmento, cuando
aparece una manito lo intenta reubicar
teniendo en cuenta dos pares de vértices
correspondientes)
100. Est2 (Continua tratando de ubicar el segmento y lo desplaza un poco hacia la
derecha)
101. Est2 (Continúa tratando de ubicar el segmento y lo desplaza un poco hacia
arriba y hacia abajo, tratando de ubicar el segmento la zona central entre
dos vértices correspondientes)
102. Est1 (Señala con el dedo a su compañero que
tenga en cuenta la posición de los
triángulos y del segmento)
58
103. Est2 (Acerca el puntero al extremo derecho del
segmento, cuando aparece la manito y el
letrero en este punto mueve el segmento
para luego ubicarlo en la zona central de
dos vértices correspondientes)
104. Otro_est ¿Cuál es la estrategia para que el segmento sea el espejo?
105. Est2 Acerca el puntero a los vértices del triángulo de línea continua y verifica
que tipo de movimientos tiene el triángulo desde los vértices)
106. Est2 (Acerca el puntero al vértice No. 2 del
triángulo de línea continua que permite
giro y lo rota hacia la derecha, el otro
triángulo hace la rotación a la izquierda)
107. Est2 (Acerca el puntero al segmento, cuando
aparece la manito lo vuelve a acomodar
queriendo ubicarlo en la zona central de
dos vértices correspondientes)
108. Est2 (Continúa acomodando el segmento desde
sus dos extremos, ubica el extremo
izquierdo entre dos puntos
correspondientes, luego desplaza el
puntero al otro extremo y lo acomoda entre
otros dos puntos correspondientes, aparece
el letrero “Muy bien”)
Esta estudiante sí tiene una estrategia matemática clara. Inicialmente considera la pareja de
puntos correspondientes que están más cerca, y busca colocar el segmento en la mitad de ellos.
Luego de intentar pequeños ajustes a esta posición sin obtener la validación del medio, decide
59
girar los triángulos y acerca otra pareja de puntos correspondientes. Finalmente, utiliza la
referencia de esas dos parejas de puntos para acomodar el segmento en la mitad, obteniendo el
letrero ‘Muy Bien’. Este es el aprendizaje esperado de esta actividad. Sin embargo no
podemos afirmar que la estudiante haya tomado conciencia de la estrategia, pues
aparentemente el hecho de acercar una segunda pareja de vértices correspondientes fue
producto del azar, y como era la última serie, no tuvo oportunidad de utilizarla de nuevo.
3.6 PUESTA EN COMÚN ACTIVIDAD No. 3 Comportamientos
Se presentan algunos extractos de las transcripciones de la puesta en común de la actividad
No. 3.
3.6.1 Comportamientos coherentes
Indicador 1: El profesor regula el comportamiento de los estudiantes para reforzar las
actitudes de escucha y respeto por la palabra.
80. Prof ¿Qué le pasa al triángulo punteado? Y vamos a dejar que ella exprese algo
142. Prof Voy a escucharlo a él, y voy a escuchar Cuadros.
200. Prof Bueno, vamos a escuchar al compañero, él nos va a compartir su
estrategia, porque él no midió como Nicolás
Estas intervenciones dan cuenta de que el profesor interviene muy poco para regular el
comportamiento de los estudiantes y con ello reforzar sus actitudes de escucha y respeto por la
palabra. Una de las características de este grupo durante el desarrollo de las actividades fue la
de aprender a escuchar las intervenciones de sus compañeros en la medida que se avanzaba se
tenía un mayor número de intervenciones y a los estudiantes no les daba temor intervenir. En
la puesta en común siempre estaba presente la participación de los más destacados, el profesor
seleccionaba las participaciones dándole la oportunidad a la mayoría. Al profesor le faltó
manejar un poco más estas intervenciones e intentar que ellos discutieran más a profundidad
sobre lo que afirmaban.
60
Indicador 2: El profesor solicita al estudiante que describa su experiencia con el software.
7. Prof Por favor coloquémonos de pie para que la cámara la alcance a captar. Y
díganos qué aspectos generales había en todas las actividades.
8. Part1 Pues había un segmento y un triángulo puntiagudo y un triángulo de
borde rojo.
10. Prof ¿Qué más había en general?
11. Part1 Que al mover el triángulo rojo, se movía también el punteado.
14. Prof ¿Qué más había en general?
15. Part1 Uno de los vértices del triángulo rojo, este … podía moverse sobre sí
mismo
30. Prof ¿Cómo hacía usted para que ese segmento se moviera?
31. Part2 Pues para correrlo en la mitad y para voltearlo en los puntos rojos
63. Prof O Sea que en el triángulo podríamos ver ¿Cuántos movimientos?
64. Grup Dos, dos, dos
75. Prof El otro punto del triángulo ¿se mueve? del triángulo de línea
continúa
76. Est (Acerca el puntero al tercer vértice y verifica que allí no es
posible ningún tipo de movimiento)
77. Grup1 No, no, no
82. Prof ¿Qué le pasa al triángulo punteado?
83. Est No se mueve
61
Estas intervenciones dan cuenta nuevamente que el profesor sí solicita a los estudiantes que
describan su experiencia con el software. El profesor no centra la discusión en el saber, sino
en la experiencia vivida y promueve la participación valorando el hacer y el pensar de los
estudiantes.
Indicador 3: El profesor acepta que los estudiantes describan sus conocimientos personales y
hagan referencia a su experiencia con el software.
17. Prof ¿Cómo describiría usted ese movimiento?
18. Part1 Rotatorio
26. Prof ¿Qué vio usted en ese segmento en lo general?
27. Part2 Que la línea estaba lejos de los triángulos
28. Part2 Que se podía mover,
44. Prof ¿Qué pasa si yo muevo ese punto?
45. Est (Extiende y acorta la longitud del segmento)
46. Prof [Queriendo llamar la atención por lo que está sucediendo] El segmento
47. Est Se alarga, se estira
90. Prof ¿De ninguna manera se mueve?
91. Grup Sí se mueve, moviendo el otro triángulo
93. Prof Eso significa que el movimiento del triángulo punteado, ¿depende de
quién?
94. Est Depende del movimiento del otro triángulo
113. Prof Si usted dice que el segmento hay que colocarlo en la mitad de los
62
dos triángulos
114. Prof Cómo hace usted para saber ¿cuál es la mitad de los dos triángulos?
115. Part1 Mirando la distancia entre los triángulos
123. Prof ¿Y cómo es ese tema del reflejo?
124. Part2 Dependiendo hacia donde se dirija la punta mayor
138. Prof Yo pregunto: ¿Cuando uno está tratando de ubicar el segmento, solo
lo ubica en la mitad de las dos figuras, en la mitad de otros elementos
distintos de las figuras?
139. Part2 No, en la mitad de las dos figuras
147. Prof Pero entonces ¿qué debo tener en cuenta? Cuadros
148. Part4 Adivinar el movimiento que va a tener el triangulo
149. Part4 O sea que hay que adivinar como calcular el espacio entre los dos
triángulos, para poner el segmento en la mitad de ellos.
165. Prof Nicolás
166. Part4 Pero también tengo otra estrategia que es allá donde dice centímetros
[Señala con su dedo el menú del software]
167. Prof Si
168. Prof Tiene otra estrategia que es allá donde dice centímetros
169. Part4 Entonces del punto desde la esquina de ese rectángulo al otro, ahí le
dicen los centímetros y uno lo divide y ahí está
176. Prof ¿Cualquier par de puntos?
177. Prof Yo puedo tomar un punto de este triángulo y cualquiera otro punto
del otro triángulo
63
178. Part4 No.
179. Prof Entonces ¿cuáles puntos debo tomar como referencia?
180. Part4 (Acerca el puntero y señala dos puntos que representan vértices
correspondientes)
201. Prof ¿Cuál es su estrategia?
202. Part6 Poner la línea en mitad, que quede bien en el espacio
203. Prof Indíqueme cuales puntos tomo usted como referencia. La mitad entre
cuáles puntos?
204. Part6 (Acerca el puntero al extremo superior del segmento y luego
muestra el extremo inferior del segmento)
209. Prof Muéstreme los puntos que tomó como referencia no en la línea sino
en los triángulos
210. Part6 (Acerca el puntero y señala
un vértice de uno de los
triángulos
En estas intervenciones se observa que el profesor sí acepta que los estudiantes describan sus
conocimientos personales. Ellos utilizan sus propios términos para describir sus conocimientos
y su experiencia con el software. Esto permite confirmar que el profesor valora el hacer y el
pensar de los estudiantes y no únicamente las referencias al saber.
3.6.2 Comportamientos no coherentes
Indicador 1: El profesor descalifica las referencias que hacen los estudiantes a
conocimientos personales o a su experiencia con el software.
No se encontraron evidencias de este indicador en la puesta en común.
64
Indicador 2: El profesor espera que los estudiantes hagan referencia al saber.
17. Prof ¿Cómo describiría usted ese movimiento?
18. Part1 Rotatorio
54. Prof Bueno, hay un punto. ¿Cómo se llaman esos puntos en los
triángulos?
55. Grup Vértices
El profesor en este momento está solicitando el uso de un término oficial de la geometría.
Como se puede observar, la cantidad de evidencias en este indicador es mínima. El profesor
permitió que los estudiantes expresaran sus conocimientos personales y su experiencia con el
software. Por otro lado es posible afirmar que se incrementó el número de intervenciones por
parte de los estudiantes; el profesor redujo la cantidad de preguntas tipo concurso en las
cuales espera una respuesta específica.
Indicador 3. Si los estudiantes no muestran una estrategia ganadora, el profesor interviene
mostrando la estrategia.
No se encontraron evidencias de este indicador en la puesta en común.
3.7 ANALISIS DE LA PUESTA EN COMUN ACTIVIDAD No. 3 – Series 3-1 a 3-6.
Proceso de institucionalización.
El propósito de esta puesta en común es que los estudiantes expliciten las estrategias que
utilizaron para resolver la tarea. Es probable que los estudiantes utilicen esencialmente su
percepción, sin tomar conciencia de las propiedades geométricas que deben cumplirse. El
profesor debe intervenir para solicitar a los estudiantes que precisen en qué consiste su
estrategia. Por ejemplo, no basta con que digan que hay que colocar el segmento en la mitad
de los dos triángulos. Asimismo, el profesor debería proponer contraejemplos a las estrategias
formuladas por los estudiantes, para hacerles tomar conciencia de que para resolver la tarea es
necesario considerar por lo menos dos parejas de puntos correspondientes.
65
Aprendizaje esperado: para determinar la posición del espejo es necesario observar por lo
menos dos parejas de puntos correspondientes y hacer que el segmento pase por la mitad de
cada pareja.
Tabla 24. Socializan estrategias actividad No. 3.
13 Prof
Si usted dice que el segmento hay que colocarlo en la mitad de los dos
triángulos, ¿cómo hace usted para saber ¿cuál es la mitad de los dos
triángulos?
14 Part1 Mirando la distancia entre los triángulos
15 Prof El dice que para ubicar el segmento en la mitad de los dos triángulos,
debe tener en cuenta la mitad de la distancia entre los dos triángulos.
16 Prof Yo pregunto: Proyectemos allá para las respuestas ¿Cómo hago yo para
saber cuál es la mitad de la distancia entre los dos triángulos?
17
Prof
¿O cuál es el espacio de la mitad? Voy a escuchar a cuatro personas.
Te escucho por favor
20 Part2 Dependiendo del reflejo
21 Prof ¿Dependiendo del reflejo? ¿Y cómo es ese tema del reflejo?
23 Part2 Dependiendo hacia donde se dirija la punta mayor
24 Prof ¿Hay alguna punta mayor?
25 Prof Vamos a hablar geométricamente, vamos a hablar del vértice
26 Part2 El vértice derecho
27 Part2 A donde se dirija el vértice derecho y el vértice que está a la izquierda
28 Prof Hay un vértice que está a la derecha y un vértice que está a la izquierda
29 Prof ¿Qué hace usted con esos vértices?
30 Part2 Nada
31 Prof Simplemente ubica el segmento y ya
32 Part2 Si
33 Prof Me hace un favor. Pasa y me colabora ahí en la actividad
34 Prof Para ubicar esa mitad
66
En este extracto se verifica una intervención adecuada del profesor para pedir que el estudiante
precise la estrategia. El estudiante hace referencia a ‘la mitad entre los dos triángulos’ y luego
menciona ‘el reflejo’ y ‘la punta mayor’, pero no es posible deducir su razonamiento. Puede
suponerse que su estrategia es únicamente perceptiva y por lo tanto aún no puede describirla
con precisión.
Tabla 25. . Socializan estrategias actividad No. 3.
133. Prof Yo pregunto: ¿Cuando uno está tratando de ubicar el segmento, solo lo
ubica en la mitad de las dos figuras, en la mitad de otros elementos
distintos de la figuras?
134. Part2 No, en la mitad de las dos figuras
135. Prof En la mitad de las dos figuras, Usted tiene que ubicarlo en la mitad de las
dos figuras
136. Prof ¿Y quién le dice a usted o cómo calcula usted la mitad de las dos figuras?
137. Prof Voy a escucharlo a él, y voy a escuchar Cuadros
138. Part3 Colocar los dos triángulos que sean iguales
139. Prof ¿Colocan dos triángulos que estén iguales?
140. Prof Pero creo que en todas las seis actividades, tanto el triángulo rojo y el
punteado eran iguales
141. Prof Entonces no habría esa diferencia entre uno y el otro. Los triángulos
siempre son iguales
142. Prof Pero entonces ¿qué debo tener en cuenta? Cuadros
143. Part4 Adivinar el movimiento que va a tener el triángulo
144. Part4 O sea que hay que adivinar como calcular el espacio entre los dos
triángulos, para poner el segmento en la mitad de ellos
145. Prof ¿Cómo adivina usted, cual es la mitad del espacio entre los dos
triángulos?
146. Part4 Primero tengo que saber cómo va a quedar la rotación, de los dos
triángulos
147. Prof O sea usted, primero rota los triángulos
148. Part4 No, no, no
67
149. Part4 Debo adivinarla, mirar que si roto este triángulo un poquito, el otro va a
quedar igual y poner el segmento en la mitad de ellos dos
150. Prof [Refiriéndose a otro estudiante] Caballero
151. Part5 Primero hay que mirar el posicionamiento de la línea.
152. Part5 Hay que buscar un espacio de tal manera que los dos triángulos estén,
153. Part5 Que los dos triángulos estén con el segmento [La caída de algún objeto,
interrumpe la participación]
154. Prof Continúe por favor
155. Part5 Buscar un espacio, donde el segmento alinee los dos triángulos
156. Part5 Para, así poder conseguir
157. Grup1 Que se vea el reflejo
158. Part5 Si
159. Part5 Pero primero hay que buscar un espacio
160. Prof Nicolás [le da la palabra a otro estudiante]
En este extracto se verifica que el profesor intenta sugerir la estrategia ganadora: ‘¿Cuando
uno está tratando de ubicar el segmento, solo lo ubica en la mitad de las dos figuras, en la
mitad de otros elementos distintos de la figuras?’. Sin embargo los estudiantes no retoman su
idea. El participante 5 formula una estrategia diferente: ‘imaginar el movimiento de los
triángulos’, pero el profesor no le entiende y decide pasar a otro estudiante. Este
comportamiento es inadecuado, ya que no le presta suficiente atención al estudiante para que
explique su forma de razonamiento. Posiblemente, está preocupado porque el tiempo pasa y
no han llegado a la conclusión esperada.
Tabla 26. Socializan estrategias actividad No. 3.
161. Part4 Pero también tengo otra estrategia que es allá donde dice centímetros
[Señala con su dedo el menú del software]
162. Prof Si
68
163. Prof Tiene otra estrategia que es allá donde dice centímetros
164. Part4 Entonces del punto desde la esquina de ese rectángulo al otro, ahí le
dicen los centímetros y uno lo divide y ahí está
165. Prof Usted me puede indicar como logra eso de los centímetros, por favor
166. Part4 [El estudiante, se dispone a pasar al frente]
167. Prof Gracias, muy amable
168. Part4 (Acerca el puntero y señala dos puntos que representan vértices
correspondientes)
169. Prof La distancia entre esos dos, es de acuerdo al sistema, 2.59
170. Part4 (Acerca el puntero al segmento, lo acomoda exactamente en la mitad de
esa distancia y entre los dos triángulos y aparece el letrero "Muy bien")·
171. Prof Y ¿Cómo se dio cuenta que esa era la posición?
172. Prof ¿Tomó otros puntos como referencia?
173. Part4 No
174. Prof Simplemente midiendo la distancia y ya
175. Part4 Si
176. Prof Usted más o menos, calcula la mitad ¿Entre solo dos puntos?
177. Part4 Si
178. Prof [Pregunta a todo el grupo]¿Ustedes consideran que sólo es necesario
calcular la mitad entre sólo dos puntos?
179. Grup1 No, no, no
180. Prof Y también ¿calcular la distancia entre los triángulos?
181. Prof Y yo diría, será que para ubicar el segmento, debo tener por lo menos en
cuenta la distancia que hay por lo menos entre dos parejas de puntos?
182. Grup1 Si, si, si
En este extracto el participante 4 utiliza la herramienta ‘distancia’, dándole oportunidad al
profesor de hablar de la distancia entre dos puntos correspondientes. La estrategia de los
estudiantes se precisa: ‘hay que estimar la mitad de la distancia entre dos puntos
correspondientes’. El profesor intenta que el estudiante diga si tuvo en cuenta algo más para
resolver el problema (línea 172, y línea 176), pero el estudiante reafirma que sólo se fija en
69
dos puntos. El profesor entonces propone al grupo la estrategia que él espera (líneas 178 y
181). Este comportamiento es inadecuado según la TSD, pues no trata de invalidar la
formulación del estudiante proponiendo un contraejemplo, sino que propone al grupo la
estrategia ganadora, y no logra que los estudiantes tomen conciencia de la insuficiencia de su
estrategia, sino que aceptan la autoridad del profesor.
Tabla 27. . Socializan estrategias actividad No. 3.
195. Prof Bueno, vamos a escuchar al compañero, el nos va a compartir su
estrategia, porque él no midió como Nicolás
196. Prof ¿Cuál es su estrategia?
197. Partic6 Poner la línea en mitad, que quede bien en el espacio
198. Prof Indíqueme cuales puntos tomo usted como referencia. ¿La mitad entre
cuáles puntos?
199. Partic6 (acerca el puntero al extremo superior del segmento y luego muestra
el extremo inferior del segmento)
200. Prof Ah.. solamente ¿el punto de arriba de la línea, con el punto de abajo?
201. Prof Y ¿No tiene en cuenta la distancia de los triángulos?
202. Prof O el punto de uno de los triángulos respecto del otro
203. Partic6 Sí
204. Prof Muéstreme los puntos que tomó como referencia no en la línea sino en
los triángulos
205. Partic6 (Acerca el puntero y señala un vértice de uno de los triángulos
206. Prof Ese vértice ¿con cuál?
207. Partic6 (Acerca el puntero al vértice que está al frente)
208. Prof Y ¿Cuáles otros dos, porque dijimos que no era suficiente con sólo dos
puntos
209. Partic6 (Acerca el puntero y señala otros dos puntos que están cerca al
segmento y están enfrentados
210. Prof El vértice de arriba del primer triángulo, con el vértice de arriba del
otro triángulo
211. Prof Los puntos que estén más cercanos ¿A quién?
70
212. Grup1 A la línea, a la línea
213. Prof Al segmento, esos son nuestra referencia. Los puntos que estén más
cercanos a la línea
214. Prof Gracias, muy amable por su compartir y vamos a iniciar la serie 3-7
En este extracto final se verifica que los estudiantes no han comprendido la estrategia
propuesta por el profesor. Cuando el profesor le pregunta cuáles puntos tiene en cuenta para
acomodar el segmento, el participante 6 señala los extremos del segmento. Entonces el
profesor lo obliga a seguir la estrategia propuesta por él: “Muéstreme los puntos que tomó
como referencia no en la línea sino en los triángulos” Termina repitiendo la estrategia:
“¿Cuáles otros dos, porque dijimos que no era suficiente con sólo dos puntos”.
En conclusión, aunque el profesor busca explícitamente que los estudiantes formulen con
precisión sus estrategias, y que abandonen la formulación de tener en cuenta la distancia entre
dos puntos correspondientes, no logra que los estudiantes invaliden esa formulación, sino que
impone la estrategia ganadora. Puede suponerse entonces que los estudiantes aún seguirán
utilizando estrategias perceptivas, lo cual dificultará la comprensión y resolución de la serie 3-
7, donde deben buscar de manera consciente cómo determinar el punto medio de dos parejas
de puntos correspondientes.
71
3.8 Puesta en común ACTIVIDAD 3-7 proceso de institucionalización
La serie 3-7 introduce un nuevo problema: la construcción del espejo, de manera que ‘resista
el arrastre’, es decir que siga siendo el espejo aunque uno de los triángulos se mueva. Para
que los estudiantes comprendan que ya no se trata de un problema de ajustar la posición de
un segmento, sino de construir un segmento que tenga las propiedades del espejo, el profesor
debe organizar una puesta en escena, pasando a un estudiante a resolver el problema delante
del grupo, e introducir la validación por arrastre. Luego de dejar claro que el problema no es
de ajuste, sino de garantizar las propiedades aunque el triángulo se mueva, el profesor debía
dar paso a una fase adidáctica, cuyo propósito no es que los estudiantes encuentren una
solución, sino que invaliden sus estrategias perceptivas, y logren identificar lo que les falta
para resolver el problema: ¿cómo lograr que el segmento pase por la mitad entre dos puntos
correspondientes, aunque uno de los triángulos se mueva? Solo después de haber formulado
esta pregunta, el profesor podía mostrar la herramienta ‘punto medio’ como respuesta.
Aprendizaje esperado:
- Es necesario lograr que el segmento se mueva para que siempre esté en la mitad
entre dos puntos correspondientes.
- No basta con crear un segmento y luego acomodarlo en la mitad, pues al moverse el
triángulo, el segmento ya no estará en la mitad.
No se hicieron registros en video ni de la puesta en escena ni de la fase adidáctica de esta
serie. Por eso se pasa directamente a la puesta en común.
A continuación se muestran los extractos de la puesta en común de la serie 3-7.
Tabla 28. Introducción puesta en común serie 3-7.
70. Prof Pregunto yo ¿Para ubicar el segmento en la mitad de los dos triángulos, debo
tener en cuenta cuantos puntos de referencia?
71. Prof ¿Con un punto será suficiente?
72. Grup No
73. Prof
¿Es suficiente mirar que solo que el segmento quede en la mitad entre este y
este punto?¿O hay que tener en cuenta otro elemento?
O solamente colocándolo en la mitad de los puntos ya queda listo
74. Grup No, toca tener en cuenta los tres.
72
75. Prof Dice acá el compañero, ¿Me recuerda su apellido?
76. Grup Nicolás
77. Prof Nicolás dice, no profesor, no es suficiente con que el segmento quede en la
mitad de dos puntos, sino que hay que tener en cuenta por lo menos otros dos
puntos
78. Grup Los otros puntos
79. Prof O sea que el segmento quede en la mitad de estos dos (no se ve lo que el
profesor señala)
80. Prof O sea vamos a tener en cuenta, no dos puntos de referencia, sino por lo
menos cuatro puntos
En este extracto el profesor intenta que los alumnos recuerden la condición que se había
acordado en la puesta en común de las primeras 6 series: no es suficiente con tener en cuenta
una pareja de puntos; es necesario que el segmento pase por la mitad de por lo menos dos
parejas de puntos correspondientes. Es una intervención adecuada de acuerdo con la teoría,
pero llama la atención que los estudiantes no habían recordado por sí mismos esa condición,
y necesitaron la intervención del profesor para recordarla.
Tabla 29. Socialización de construcción.
309. Prof Niño, escuchemos ¿Cómo nos vamos a asegurar nosotros
310. Prof Que vamos a construir un segmento, entonces primera tarea construir un
segmento
311. Prof Y que ese segmento siempre sea el espejo, que ese segmento siempre
sea el espejo de ¿quién?
312. Est1 De los triángulos
313. Prof Del triángulo que tiene línea continua
314. Prof Independientemente, ojo con esta condición: Ese segmento que yo
construya siempre va a ser el espejo de este triángulo,
independientemente que yo mueva el puntico que hay en el círculo
315. Prof E independientemente que yo utilice la herramienta simetría axial, a ver
si mi reflejo está donde debe estar
316. Prof Entonces vamos a darnos unos minutos, para ver quién termina esa
73
actividad en esas condiciones
317. Prof Que a pesar de que yo mueva el punto en el círculo o utilice la
herramienta simetría axial para comprobar
318. Prof El segmento sea siempre el espejo
319. Prof Esa es la misión. Por favor inicien la actividad
En este extracto el profesor plantea nuevamente el problema correspondiente a la serie 3-7:
construir el segmento para que sea el espejo entre los dos triángulos, a pesar de que se
mueva el triángulo. Llama la atención que el profesor haya dedicado tanto tiempo antes de
este planteamiento para recordar todos los procesos realizados en las primeras series y en la
puesta en escena. Este comportamiento es inadecuado, pues está reforzando las estrategias
de ajuste, en lugar de invalidarlas. Puede deducirse además que la puesta en escena no
funcionó como se había previsto, pues solo hasta este momento los estudiantes entienden
que se trata de un nuevo problema.
Tabla 30. Intervención solución profesor.
435. Prof Voy a cerrar la actividad indicándoles entonces, ¿Qué podemos hacer
para garantizar que la tarea quede bien realizada? Porque ninguno de
los tres compañeros hizo la actividad
436. Prof Por favor todos abran una nueva ventana, díganle archivo nuevo
437. Prof Todos abran una nueva ventana, archivo nuevo
438. Prof Todos escuchen por favor, archivo nuevo
439. Prof Vamos a mirar dos conceptos
440. Prof Ustedes recuerdan, observen por favor
441. Prof Si mi mano derecha es punto de referencia, estos dos puntos de
referencia
442. Prof Y mi mano izquierda es el otro punto de referencia
443. Prof [Tomando como referencia sus manos separadas y sus dedos como
puntos de referencia] ¿En dónde debe estar el espejo?
444. Otro_est En la mitad
445. Est1 En la mitad de los dos dedos
446. Prof En la mitad
74
447. Prof En la mitad de esos dos puntos
448. Prof Y ojo, si mi brazo, mi brazo, o sea desde la mano hasta el codo fuera
un lado del triángulo (se refiere a su brazo derecho) y esta fuera el lado
del triángulo punteado (muestra su brazo izquierdo)
449. Prof Estos son dos puntos de referencia (muestra sus dedos)
450. Prof Y los otros dos puntos de referencia ¿cuáles serían?
451. Otro_est Los codos
452. Prof Entonces tendrían cuatro puntos de referencia
453. Prof ¿Dónde debe estar el segmento?
454. Prof En la mitad
455. Prof Y ese concepto de geometría
456. Prof En la mitad de dos puntos se llama punto medio
457. Prof Vamos a ver como encontramos el punto medio entre dos puntos
458. Prof Observe como se hace
459. Prof Punto uno (Acerca el puntero a la herramienta punto y dibuja un punto)
460. Prof Y Punto dos (Acerca el puntero a la herramienta punto y dibuja un
punto)
461. Prof Ahí tengo los dos puntos
462. Prof Voy a ubicar el punto medio entre esos dos puntos
463. Prof La herramienta la tiene el sistema
464. Prof Está acá mírela (acerca el puntero a la barra de herramientas) creo que
la cuarta o quinta herramienta
465. Prof Selecciona la quinta herramienta y hace clic sobre la opción punto
medio
466. Prof Punto medio ¿Entre quién?
467. Prof Entre este puno y este punto (Acerca el puntero al primer punto y
aparece el mensaje "Punto medio entre este punto" ,lo selecciona
mueve el puntero al otro punto, aparece el puntero "Y este punto" lo
selecciona, ahora aparece el punto medio entre los dos puntos
468. Prof El sistema ¿Qué me debe hacer?
469. Prof Dibujar el punto que está en la mitad. ¿Cómo compruebo que
realmente ese es el punto medio?
75
En este extracto, después de que tres estudiantes diferentes han pasado a mostrar sus
propuestas de solución del problema, el profesor introduce la herramienta ‘punto medio’
como solución. Llama la atención que los estudiantes no tenían conciencia de que sus
estrategias no resolvían el problema; aparentemente, ellos estaban trabajando sobre el
problema de ajuste, no sobre el problema de construcción, y por eso piensan que pueden
lograr un dibujo más ajustado. Nuevamente, este hecho muestra que la puesta en escena no
logró comunicar a los estudiantes la naturaleza diferente del problema de esta serie.
Por otra parte, el profesor introduce la herramienta ‘punto medio’ sin haber explicitado la
necesidad de la misma. Simplemente recuerda que los estudiantes no han logrado resolver el
problema y decide mostrarles la solución. Este no es el comportamiento previsto en el
análisis a priori, pues la invalidación por arrastre debería llevar a plantear la pregunta:
¿Cómo lograr que el segmento esté en la mitad de dos puntos correspondientes, aunque uno
de los triángulos se mueva? Sólo después de reconocer esa necesidad, el profesor podía
introducir la herramienta como respuesta a esa pregunta.
Tabla 31. Continuación socialización solución profesor.
496. Prof Yo dije que iba a utilizar la herramienta punto medio
497. Prof Voy a preguntarles
498. Prof Voy a dibujar un segmento, pero primero voy a dibujar los puntos medios
499. Prof Ustedes me decían que los dos puntos medios pueden ser de dos parejas
de puntos cualesquiera
500. Prof [Muestra con el dedo dos vértices correspondientes de cada triángulo]
Pregunto yo: ¿Quieren que el sistema nos dibuje el punto medio entre estos
dos puntos?
501. Est1 Si
502. Prof Y ¿Entre cuáles otros dos?
503. Prof (Acerca sus dedos a las otras dos parejas de vértices correspondientes)
¿Entre los de abajo o entre los de arriba?
504. Grup Entre los de abajo
505. Est1 Los de abajo
506. Prof Entonces voy a dibujar el punto medio entre esos cuatro puntos de
referencia
76
507. Prof ¿Qué hago?, buscar la herramienta punto medio
508. Prof (Acerca el puntero a la barra de herramientas y selecciona la opción punto
medio)
509. Prof Está de tercera acá y le digo que quiero el punto medio
510. Prof (Acerca el puntero y muestra los puntos que va a tener en cuenta Quiero el
punto medio entre este punto y este otro (Selecciona dos vértices
correspondientes y aparece el punto medio entre dichos puntos)
511. Prof ¿El sistema me dibujó el punto medio?
512. Grup si, si, si
513. Est1 Si
514. Prof [Muestra con el dedo otros dos vértices correspondientes de cada
triángulo] Cierto que si voy a hacer el mismo ejercicio con estos dos
puntos
515. Prof Voy a decirle que me dibuje el punto medio, observen que la herramienta
está activa, por lo tanto todo lo que yo haga es de punto medio
516. Prof (Acerca el puntero al primer punto) Punto medio de este punto ¿Con cuál?
517. Est1 Con el otro punto
518. Prof Selecciona el otro punto
519. Prof Listo, ¿Dibujó el otro punto?
520. Est1 Si
521. Grup Si, si, si
522. Prof Ahora pregunto ¿Cómo construyo el espejo?
523. Otro_e
st
Espejo
524. Est1 [Se refiere a unir los puntos medios construidos] Coloco el segmento con
los puntos
525. Prof Ojo lo que dice Cuadros
526. Prof Dibujo un segmento que me una los dos puntos, que son los puntos
medios y sabemos que el espejo debe pasar por ahí
527. Prof Herramienta segmento
528. Prof (Acerca el puntero a la herramienta que le ofrece la opción de construir un
segmento y dibuja el segmento)
529. Prof [Acerca el puntero a cada punto y lo selecciona] Que conecte a este punto,
77
que es un punto medio, con este otro que es punto medio, (aparece el
segmento)
530. Prof ¿Ustedes consideran que ese segmento sí es el espejo?
531. Est1 Si
532. Grup Si, si, si
533. Prof Vamos a comprobarlo, yo les tenía dos maneras de comprobar
534. Prof Primero voy a reflejar este (Acerca su dedo y muestra el triángulo con
borde rojo línea continua) teniendo en cuenta este espejo que pasa por el
punto medio (Señala con su dedo el segmento)
535. Prof ¿A dónde debe dibujarse el reflejo?
536. Prof En el triángulo punteado, pero debe quedar exactamente encima
537. Prof Vamos a comprobar eso
538. Prof ¿Qué herramienta utilizo?
539. Prof Se llama simetría axial
540. Prof (Acerca el puntero a la barra de herramientas y selecciona la opción
simetría axial)
541. Prof ¿A quién le hago simetría? Al triángulo de línea completa (Acerca el
puntero y aparece el mensaje "Simétrico a este triángulo" y selecciona el
triángulo)
542. Prof (Acerca el puntero al segmento, aparece el mensaje "Respecto de este
segmento") Y mi espejo es el segmento, lo selecciona y aparece un nuevo
triángulo sobre el triángulo punteado)
543. Prof Pregunto ¿Quedó exactamente sobre el punteado?
544. Grup Si, si, si, si
545. Prof ¿Qué otra comprobación yo hacía con mis compañeros estudiantes?
546. Prof Además de que el reflejo quedara sobre el punteado ¿Movíamos a quién?
547. Est1 Al segmento
548. Prof Movíamos al punto que está en el círculo: La tarea queda bien hecha si yo
muevo este punto ( No se ve lo que muestra; Se refiere al del círculo) y
este siempre será al espejo (se refiere al segmento)
549. Prof Vamos a ver, voy a mover el punto
550. Prof (Acerca el puntero al punto y lo mueve en varias direcciones), se mueve el
segmento, el triángulo reflejo y el punteado que está debajo de él)
78
551. Prof ¿El espejo está haciendo el papel de espejo siempre?
552. Grup Si, si, si
553. Est1 ay, tan bonito
554. Prof Por último, ¿Cómo compruebo
555. Prof (Acerca su dedo y muestra los puntos) ¿Cómo compruebo que realmente
este es el punto medio entre estos dos puntos?
556. Est1 Midiendo
557. Prof Midiendo, entonces midamos las distancias
558. Prof (Acerca el puntero y selecciona la herramienta Distancia o longitud).
Medir distancias entre este punto (selecciona y vértice del triángulo con
borde rojo línea continua) y el punto medio con su correspondiente,
aparece la medida
559. Prof ¿Cuánto midió?
560. Est1 Uno coma cincuenta y dos
561. Otro_e
st
Uno coma cincuenta y dos
562. Prof (Acerca el puntero al vértice correspondiente del triángulo con línea
punteada y la selecciona) Herramienta distancia entre este punto (el que
acaba de seleccionar) y el punto medio
563. Est1 Y el punto medio
564. Prof Y el punto medio (Lo selecciona y aparece la medida)
565. Prof ¿Cuánto debe resultar?
566. Est1 Uno cincuenta y dos
567. Otro_e
st
Uno cincuenta y dos
568. Prof ¿Funcionó o no funcionó?
569. Grup Si, si, si
570. Est1 Si
571. Prof Y para salir de dudas, porque yo les dije no es suficiente sólo con dos
puntos de referencia, voy a medir otras dos distancias
572. Prof (Acerca el dedo a vértices correspondientes y el respectivo punto medio)
La distancia entre este punto y el punto medio y la distancia entre este
punto y el punto medio y esas deben ser iguales
79
573. Prof Vamos a comprobar eso
574. Prof (Acerca el puntero a un vértice del triángulo de borde línea roja continua y
lo selecciona luego a su punto medio) Distancia entre este punto y el
punto medio
575. Prof ¿Cuánto?
576. Est1 Tres coma cuarenta y seis
577. Otro_e
st
Tres coma cuarenta y seis
578. Prof Tres cuarenta y seis
579. Prof (Acerca el puntero al vértice correspondiente del triángulo reflejado o de
línea continua, lo selecciona, luego selecciona el punto medio) Distancia
entre el punto y el punto medio
580. Prof ¿Cuánto?
581. Est1 Tres cuarenta y seis
582. Prof ¿Está ubicado el espejo, realmente en esos puntos medios?
583. Est1 Si
584. Otro_e
st
si señor
585. Prof ¿Cierto que si?
586. Prof Voy a escuchar tres personas con una pequeña conclusión a la siguiente
pregunta
587. Prof Para este tipo de situaciones el espejo debe quedar en una posición
específica
588. Prof Yo pregunto ¿En qué posición?
589. Est1 Diagonalmente
590. Prof Acuérdese que el espejo puede estar en cualquier posición, puede ser
horizontal, vertical o en diagonal
591. Prof Pero la referencia que usted va a tener para colocar el espejo en
actividades similares ¿Cuál va a ser?
592. Prof ¿Cuál va a ser la referencia?
593. Est1 El punto medio
594. Prof ¿Que el espejo quede en dónde?
595. Est1 En el punto medio
80
596. Prof En el punto medio de quién
597. Est1 De los dos triángulos
598. Prof ¿De los dos triángulos o de los puntos de referencia de esos triángulos?
En este extracto el profesor realiza la construcción de los puntos medios y construye el
segmento solución del problema. Luego realiza las acciones de verificación previstas en el
análisis a priori. Esta decisión no es adecuada según la teoría, pues producirá un aprendizaje
por imitación y no por adaptación. El profesor debería haber mostrado cómo la herramienta
‘punto medio’ garantiza que un punto esté en la mitad de otros dos, aunque se muevan los
puntos, y luego debería haber dejado que los estudiantes utilizaran la herramienta para
resolver el problema.
En la línea 597 puede verse cómo los estudiantes aún siguen pensando en ‘la mitad de los
dos triángulos’.
Tabla 32. Finaliza socialización solución profesor.
599. Prof Cierto esa es la conclusión
600. Prof Voy a hacer un último ejercicio de construcción para que usted verifique
lo siguiente, observe
601. Prof Voy a dibujar un segmento que una los dos puntos de referencia
602. Prof (Acerca el puntero a dos vértices correspondientes de los triángulos)
(Selecciona la herramienta segmento y Dibuja un segmento une dos
vértices correspondientes y pasa por el primer punto medio)
603. Prof Un segmento que una este punto de referencia con el respectivo
correspondiente
604. Prof (Acerca el puntero a los otros dos vértices correspondientes de los
triángulos) ( Dibuja un segmento une los dos vértices correspondientes y
pasando por el segundo punto medio)
605. Prof Un segmento que una este punto con este otro punto correspondiente
606. Prof Pregunto ¿Observan los dos segmento que dibujé?
607. Est1 Si
608. Grup si, si
609. Prof (Señala con el dedo) Este es un segmento y este es el otro segmento
81
610. Prof Pregunto, observe por favor y escúchenme la pregunta
611. Prof Tenemos el espejo y tenemos los dos segmentos que unen los dos puntos
de referencia
612. Prof Visualmente, perceptualmente
613. Prof ¿Que observa usted mirando el espejo con esos dos segmentos?
614. Prof ¿Qué observa?
615. Prof ¿Que observa usted mirando el espejo con esos dos segmentos que yo
acabo de dibujar?
616. Prof Hay una características importante o interesante ahí
617. Prof ¿Alguien me la puede decir?
618. Prof ¿Cómo describen ustedes a esta línea que es su espejo, con estas dos
líneas que están conectando los puntos de referencia?
619. Est1 Paralelas
620. Prof ¿Son paralelas?
621. Otro
_est
No
622. Prof ¿Quién dijo paralelas?
623. Prof ¿Cuáles líneas serían paralelas?
624. Est1 [Se refiere a las líneas que unen puntos correspondientes] Las que unen
625. Prof [Es posible que el profesor muestre las líneas que unen puntos
correspondientes, pero no se observan sus acciones] ¿Estas dos líneas son
paralelas?
626. Est1 si, si
627. Prof Es posible que sean paralelas
628. Prof ¿Y cómo son esas líneas de puntos de referencia respecto del espejo?
¿Cómo son ellas?
629. Prof ¿Qué ángulo podrían estar formando?
630. Prof ¿Qué ángulo están formando esas dos líneas?
631. Est1 Un ángulo de
632. Prof Esta que une dos puntos de referencia con el espejo
633. Otro
_est
Noventa grados
634. Est1 Recto
82
635. Prof Un ángulo de noventa grados
636. Prof ¿Y cómo se llaman dos líneas que tienen un ángulo de noventa grados?
637. Prof ¿Cómo se llaman dos líneas que forman un ángulo que mide noventa
grados?
638. Prof ¿Se llaman líneas qué?
639. Est1 Paralelas
640. Prof ¿Paralelas?
641. Est1 Continuas
642. Prof ¿Continuas?
643. Otro
_est
Verticales
644. Prof ¿Verticales?
645. Prof Líneas paralelas, nunca se cortan y estas se están cortando
646. Prof Están formando un ángulo de noventa grados
647. Prof ¿Cómo se llaman esas dos líneas?
648. Prof ¿Que se cortan y forman noventa grados?
649. Est1 Perpendiculares
650. Prof Perpendiculares
651. Prof Niños un momento de atención y es el último comentario que hago
652. Prof ¿Está concluida la tarea?
653. Grup Si, si, si, si, si
654. Otro
_est
Si profe
655. Prof ¿Podemos escribir en nuestro cuaderno, toda la experiencia de
aprendizaje el día de hoy?
656. Prof Entonces yo preguntaría ¿Qué aprendimos hoy?
657. Est1 Aprendimos a medir
658. Prof Aprendimos a medir, aprendimos a verificar distancias
659. Est1 Aprendimos a colocar el punto medio entre dos puntos
660. Prof Aprendimos a verificar o a colocar el punto medio entre dos puntos
661. Prof ¿Qué más aprendimos?
662. Est1 Una nueva estrategia
663. Prof Que cada actividad genera diferentes estrategias de trabajo y que la
83
solución está dada
664. Prof ¿Qué más aprendimos hoy?
665. Prof Porque hoy la actividad me pareció mucho más interesante
666. Est1 Que usted compartió más tiempo con nosotros, enseñando más
667. Prof Que yo compartí con el grupo porque las anteriores yo les colocaba a
solucionar las tareas de la actividad
668. Prof En este momento, yo intervine un poco más como profesor
669. Prof ¿Alguien más quiere aportar sobre el aprendizaje el día de hoy?
670. Prof Está concluida la actividad, si yo les pregunto
671. Prof Qué características debe tener una figura llámese triangulo, cuadrado
rectángulo, con otra que es el reflejo
672. Prof Lógicamente si estoy reflejando cuadrado aquí se va a reflejar un
cuadrado
En este extracto puede verse la intervención final del profesor, que estaba prevista en el
análisis a priori: mostrar los segmentos entre puntos correspondientes, para que los
estudiantes tomen conciencia del paralelismo de estos segmentos y su perpendicularidad con
respecto al espejo.
Conclusiones
Encontramos evidencias claras de que la puesta en escena no funcionó como se había
previsto, pues los estudiantes siguen trabajando sobre el problema del ajuste, incluso
después de que el profesor aclara que el problema de esta serie es diferente. Aparentemente,
el profesor no le da suficiente importancia al cambio de problema, instalando un problema
de devolución: los estudiantes no asumen la responsabilidad de resolver el nuevo problema.
Es posible que esto se deba al hecho de que el profesor está más preocupado por el manejo
adecuado de las herramientas del software y por eso dedica tanto tiempo a repasar la
verificación utilizando medidas y utilizando simetría axial.
84
3.9 ANALISIS ACTIVIDAD No. 4
El propósito de esta actividad es precisar las condiciones para construir la imagen de una
figura con respecto a un eje de simetría. Específicamente, que los alumnos comprendan
que un punto y su imagen quedan sobre una recta perpendicular al eje de simetría y a
igual distancia de dicho eje, pero en semiplanos diferentes.
Para el desarrollo de esta actividad se trabaja con siete figuras. En las seis primeras se
presenta un triángulo rojo, uno verde y una recta. El triángulo rojo se deja arrastrar por un
solo vértice, y no puede girarse. El triángulo verde puede moverse arrastrando dos de sus
vértices: uno lo gira y el otro lo desplaza. Cuando el triángulo verde está
aproximadamente sobre el simétrico del triángulo rojo con respecto a la recta, aparece un
punto con el letrero ‘muy bien’. La diferencia entre las seis primeras figuras es la
inclinación de la recta.
En estas seis figuras se propone la siguiente tarea:
Tarea1: Considerando que la recta representa el espejo, mover el triángulo verde hasta que
sea el reflejo del triángulo rojo por ese espejo.
- Aprendizaje esperado: No basta con lograr que las distancias de puntos
correspondientes al espejo sean iguales. También es necesario lograr la
perpendicularidad del espejo y los segmentos que unen puntos correspondientes.
Se presentan a continuación los extractos del desarrollo de la actividad en algunas de esas
series.
85
Tabla 33 Serie 4-1
1. Est1 [La tarea consiste en acomodar los
triángulos en una posición en la cual el
triángulo verde sea el reflejo del triángulo
rojo. Se muestra la condición inicial]
2. Est1 (Acerca el puntero al triángulo verde, y
ubicándolo sobre el vértice No. 2 gira el
triángulo)
3. Est1 (Ubica el puntero sobre el vértice No.1 del triángulo verde y traslada el
triángulo, lo acerca un poco al espejo)
4. Est1 (Ubica el puntero sobre el triángulo verde
y lo mueve hacia arriba y hacia abajo, lo
acerca al triángulo rojo que está abajo del
espejo)
5. Otro_est [Se refiere al triángulo verde] Observa que el triángulo de arriba se
mueve
6. Otro_est Hay que moverlo porque no tienen la misma distancia
7. Est1 (Acomoda nuevamente el triángulo verde
en parte superior del espejo y en posición
contraria al rojo)
8. Est1 (Mueve el triángulo verde hacia abajo, [aparentemente intentando igualar
la distancia al segmento como está el rojo]
86
9. Est2 Todavía no aparece el "Muy bien", todavía está mal
10. Est1 (Ubica el puntero sobre el triángulo verde
y lo mueve acercándolo un poco al
segmento)
11. Est1 (Acerca el puntero al triángulo verde y lo mueve un poco hacia arriba,
[continúa intentando que quede a igual distancia del segmento como está
el rojo]
12. Est1 (Mueve el triángulo verde de izquierda a
derecha, [parece que busca si aparece el
mensaje]
13. Est1 (Mueve nuevamente el triángulo hacia la
izquierda el triángulo verde y aparece el
letrero "Muy bien")
14. Est2 (se dispone a registrar el resultado de la tarea en el formato proporcionado
por el profesor)
Tabla 34. Serie 4-4
33. Est2 [Inician el desarrollo de la tarea Serie4-4.
Los dos triángulos están al mismo lado
del espejo]
87
34. Est2 (Acerca el puntero al triángulo verde y lo
mueve a la parte derecha del segmento,
ahora los triángulos están en lados
opuestos)
35. Est2 (Acerca el puntero al triángulo verde,
primero lo traslada un poco y luego lo
rota)
36. Est2 (Acerca el puntero al triángulo verde y lo
coloca frente al triángulo rojo, ya tienen
posiciones contrarias respecto al espejo).
.
37. Est2 (Acerca el puntero al vértice No. 1 del
triángulo verde, lo mueve de izquierda a
derecha)
38. Est2 (Acerca el puntero al triángulo verde vértice No. 2, lo gira)
39. Est2 (Acerca el puntero al vértice No. 1 triángulo verde y lo mueve ahora muy
poco hacia la derecha)
40. Est2 (Mueve con desplazamientos cortos el triángulo de izquierda a derecha,
parece que quisiera ver una señal del mensaje)
41. Est2 (Mueve un poco a la izquierda y aparece
el letrero "Muy bien")
88
42. Prof Inicia a dibujar el resultado de la tarea en el formato
Tabla 35. Serie 4-5
45. Est1 [Inician el desarrollo de la tarea Serie4-5.
Se muestra la posición inicial de la serie]
46. Est1 (Acerca el mouse al triángulo verde al vértice No.2 y realiza un pequeño
giro).
47. Prof Tratemos de conservar el lugar de trabajo por favor.
48. Est1 (Acerca el puntero al vértice del triángulo
verde No.1, lo mueve acercándolo ala
recta)
49. Est1 (Acerca el puntero sobre el triángulo
verde, al vértice No. 2 que y lo gira un
poco en sentido antihorario)
89
50. Est1 (Ubica el puntero sobre el vértice del
triángulo verde que lo mueve hacia arriba
y hacia abajo)
51. Est1 (Acerca el puntero al vértice No. 2 del
triángulo verde y gira en sentido horario,
aparece el letrero “muy bien”)
En estos extractos podemos observar la misma estrategia de solución: primero las estudiantes
acomodan el triángulo verde en el semiplano opuesto al triángulo rojo, en una posición
opuesta (es interesante observar cómo logran anticipar perceptivamente la posición del
simétrico del rojo), luego realizan pequeños ajustes hasta obtener la aparición del letrero ‘Muy
bien’. En la serie 4-1, notamos en la línea 12 que los triángulos están a igual distancia de la
recta, pero los segmentos entre puntos correspondientes no son perpendiculares a la recta.
Aunque la estudiante desplaza el triángulo verde hasta lograr la perpendicularidad, no
podemos saber si tomó conciencia de la necesidad de esa propiedad. En las series 4-1 y 4-4 la
posición de la recta (horizontal y vertical) y el hecho de que el triángulo rojo tiene un lado
paralelo a la recta facilitan en gran medida el ajuste perceptivo del triángulo verde. Sin
embargo, en la serie 4-5 se observa la misma estrategia, a pesar de que la recta no es ni
horizontal ni vertical y el triángulo rojo no tiene un lado paralelo a la recta.
90
Tabla 36. Serie 4-2
15. Est2 [Inician el desarrollo de la tarea Serie4-2
]
Se muestran las condiciones iniciales de
la figura.
16. Est2 (Acerca el puntero al vértice No. 1 lo
traslada, también utiliza el vértice No. 2
del mismo triángulo para girarlo un
poco, lo acomodarlo hasta dejarlo en
una posición similar al triángulo rojo)
17. Est2 (Acerca el puntero al vértice No. 2 del triángulo verde y lo rota muy poco
hacia arriba)
18. Est2 (Selecciona la herramienta ocultar-
mostrar2, aparecen el triángulo simétrico
del rojo en la pantalla)
19. Est2 (Acerca el puntero al vértice No,1 del triángulo verde y lo mueve, tratando de
superponerlo con el vértice correspondiente del triángulo puenteado.)
2 La herramienta ocultar-mostrar en Cabri, como su nombre lo indica permite mostrar y ocultar objetos ocultos.
91
20. Est2 (Continúa moviéndolo porque la imagen
le indicaque está muy cerca a la posición
que necesita)
21. Est2 (Mueve el triángulo verde desplazándolo distancias muy cortas)
22. Est2 (Ya no tiene activa la herramienta
ocultar mostrar. Mueve circularmente el
triángulo verde desde el vértice)
23. Est2 (Acerca el puntero a la barra de herramientas y selecciona la herramienta
ocultar mostrar )
24. Est2 (Mueve el triángulo verde queriendo lograr que quede en el lugar que mostró
la construcción)
25. Est2 (Activa la herramienta ocultar mostrar,
acerca el puntero al vértice de No. 1 del
triángulo verde lo mueve y aparece el
letrero "Muy bien")
26. Est1 (Inicia a registrar la solución de la tarea en el formato que el profesor les
entregó)
En esta serie se observa una estrategia diferente: la estudiante activa la herramienta ocultar-
mostrar y aparece en la pantalla el simétrico del triángulo rojo. Luego acomoda el triángulo
verde para superponerlo a ese triángulo de manera perceptiva. Esta estrategia no estaba
92
prevista en el análisis a priori, pues allí se especifica que no deben estar disponibles las
herramientas. Es importante anotar que aunque esta estrategia permite solucionar el problema
de manera perceptiva, no la utilizan en las series siguientes.
No puede concluirse que se haya alcanzado el aprendizaje esperado. El profesor debería
organizar la puesta en común para que los estudiantes tomen conciencia de la necesidad de la
perpendicularidad como condición para resolver el problema.
3.10 PUESTA EN COMÚN ACTIVIDAD 4
Se presentan algunos extractos de las transcripciones de la puesta en común de la actividad
No. 4.
3.10.1 Comportamientos coherentes
Indicador 1: El profesor regula el comportamiento de los estudiantes para reforzar las
actitudes de escucha y respeto por la palabra.
14. Prof Bueno, vamos a escuchar al compañero, él ya tiene la actividad
desarrollada, apareció el letrero "Muy bien")
51. Prof [Se refiere a un estudiante que quiere participar] Ya, ya,no se preocupe
que para todos hay oportunidad de participación Cuadros
146. Prof Caballero, ¿quiere hablar? lo escucho
147. Prof Entonces, regáleme silencio
149. Prof Ellos no escuchan de ninguna manera y son muy necios
150. Prof Hacen demasiado ruido, si.
152. Prof Porque chino, es complicado, yo no puedo colocarme en el papel de
taparle la boca
93
153. Prof Usted, habla, habla y habla y hace ruido, chino
181. Prof Por favor, colabóreme, si no me toca llamar a su padre.
182. Prof Parece ser que usted en un ambiente de clase usted no se adapta.
296. Prof Utilizas punto medio, escúchenla por favor
307. Prof Parece ser, niña te voy a registrar ya en el observador ya van cinco
estudiantes
308. Otro_est ¿Yo? ¿Yo?
309. Prof No me preguntes ¿por qué? pero lo voy a hacer
310. Prof Yo te digo porqué en ese momento.
464. Prof Perdónenme, voy a escuchar a dos personas, a Ana María y al Joven que
respondió claro profe.
Estas intervenciones dan cuenta de que el profesor debe moderar constantemente el
comportamiento de los estudiantes y con ello reforzar sus actitudes de escucha y respeto por la
palabra. Además, cuando se prolonga de manera excesiva los diálogos y las intervenciones por
parte del docente y de los estudiantes, el ambiente de clase se torna tenso; los estudiantes se
cansan y en algunas ocasiones el profesor no le queda otra salida que amenazarlos ya sea con
una anotación en el observador o con una cita de los acudientes. Por otro lado cabe anotar que
en esta puesta en común se incrementó el número de participaciones de los estudiantes, el
profesor además de ofrecer la oportunidad de participación a más estudiantes; le faltó manejar
un poco más estas intervenciones e intentar que ellos discutieran con mayor profundidad sobre
lo que ellos pensaban, decían o hacían.
94
Indicador 2: El profesor solicita al estudiante que describa su experiencia con el software.
34. Prof ¿Cómo me comprueba usted que esos puntos si tienen igual medida?
198. Prof [Se refiere a dos vértices correspondientes sobre el espejo] Y
entonces cuál es la estrategia después de que ya tiene dos puntos en la
línea
199. Otro_est ¿Separarlos? (Abre las
manos para indicar que
hay que separarlos)
298. Prof ¿Punto medio entre qué nena?
299. Part4 Utilizo el punto medio entre un vértice del rojo y un vértice del verde
319. Prof Está un poquito a la
320. Otro_est Izquierda
321. Part4 A la derecha
322. Prof ¿Derecha de quién?
323. Part4 Del punto medio
326. Prof Está un poquito a la derecha de la línea. Entonces ¿A dónde debe
quedar ese punto?
327. Part4 Exactamente en la recta
392. Prof Que además de las distancias iguales, algo más me hace falta
393. Otro_est De pronto en el momento el verde es más un poquito más alto que el rojo
95
437. Prof Pregunto ¿La exigencia de la actividad es que los puntos medios
queden?
438. Otro_est Sobre la recta
471. Prof Joven, el que dijo claro profe, ¿Qué iba a complementar?
472. Otro_est Que esas líneas de abajo se ven más torcidas para este lado, entonces
tiene que ponerlas más hacia la derecha
473. Prof O sea que esa línea que acabamos de dibujar ¿Qué condiciones o que
características, debe cumplir?
474. Otro_est No, yo voy a decir otra cosa. O mover el triángulo verde, como para acá.
488. Prof Listo, ya le movimos a la izquierda. ¿Apareció el" Muy bien"?
489. Part5 No
490. Otro_est No
541. Prof ¿Qué características deben tener esas líneas que unen los puntos
correspondientes?
542. Otro_est Pues que no se vean torcidas
Estas intervenciones dan cuenta nuevamente que el profesor sí solicita a los estudiantes que
describan su experiencia con el software. El profesor no centra la discusión en el saber, sino
en la experiencia vivida y promueve la participación valorando el hacer y el pensar de los
estudiantes. Cabe resaltar que el profesor permite a los estudiantes que ellos sean los que
sugieran aspectos importantes que favorecen la solución.
96
Indicador 3: El profesor acepta que los estudiantes describan sus conocimientos personales y
hagan referencia a su experiencia con el software.
17. Prof Le pediría que usted me dijera ¿Cuáles son las condiciones que se deben
tener en cuenta para que el triángulo verde sea el reflejo del triángulo
rojo?
18. Prof ¿Qué condiciones debo tener en cuenta?
19. Part1 Que los dos puntos estén iguales a …
20. Part1 Que los puntos estén a igual medida al …
21. Part1 Triángulo rojo.
41. Prof [No se registran las acciones del profesor] ¿Está midiendo la distancia
entre este punto y el eje y entre este punto y el eje?
42. Part1 (El estudiante con movimientos gestuales responde afirmativamente)
77. Prof La última pregunta Nelson ¿Hay otra condición distinta a distancias
iguales?
78. Part1 (El estudiante escucha la pregunta, espera para analizarla y responde
de manera gestual) No
109. Prof ¿Qué haces para que esos dos sean uno el reflejo del otro?
110. Part2 Poniendo el verde igual al rojo
111. Prof Dime
112. Part2 Poniéndolo como el rojo
113. Prof Colocándolo en la misma posición del rojo
114. Part2 Como en la misma distancia
206. Prof ¿Qué se debe tener en cuenta para que aparezca el letrero "Muy bien"?
207. Part3 Primero, medir las dos distancias que hay entre cada punto
97
208. Part3 [Aunque no se observa que puntos está señalando, es posible suponer
que se refiere a dos parejas de vértices correspondientes]Entre este punto
y este y entre este punto y este
209. Part3 Y mirar que la distancia sea la misma en cada punto
219. Prof Y después de que yo mida distancias de esos dos puntos, ¿qué debo
tener en cuenta?
220. Part3 Que el verde sea el reflejo del rojo y que el
221. Part3 Lo que yo hice fue, pegarlos primero a la línea e irlos separando
222. Part3 creo que esa es una técnica también
243. Prof ¿Será que esas herramientas nos pueden ayudar?
244. Otro_est Punto medio
245. Prof Bueno, la niña dice acá que utilizando la herramienta de punto medio,
podemos encontrar la solución
312. Prof El punto medio me indica hacia donde debo desplazar el triángulo
313. Part4 (Con su rostro manifiesta acuerdo con lo que el profesor dice)
332. Prof Ya tienes el punto medio, exactamente encima de la línea
333. Prof Pero ¿Apareció el letrero "Muy bien"?
334. Otro_est No
505. Prof ¿Cuáles son las condiciones para que la tarea pueda realizarse?
506. Prof Primera condición
507. Prof ¿Que la qué?, caballero
508. Prof ¿Qué la qué?
509. Otro_est Que el triángulo verde sea reflejo
98
510. Prof Que el triángulo verde debe ser reflejo del triángulo rojo, eso es lo
que nos piden en la actividad
543. Prof Que las líneas, que unen los puntos correspondientes
544. Otro_est No estén torcidas
546. Prof ¿Hay otra persona que quiere opinar, algo distinto?
547. Otro_est Que los triángulos, no deben quedar desnivelados.
En estas intervenciones se observa que el profesor sí acepta que los estudiantes describan sus
conocimientos personales. Ellos utilizan sus propios términos para describir sus conocimientos
y su experiencia con el software. Esto permite confirmar que el profesor valora el hacer y el
pensar de los estudiantes y no únicamente las referencias al saber. Por otro lado, atendiendo a
que este indicador complementa el anterior se debe destacar que todas estas interesantes
intervenciones tanto del profesor como de los estudiantes se hacen posibles gracias a las
retroacciones que ofrece el software lo que permitiría confirmar, que efectivamente el
software favorece procesos interesantes de intercambio de ideas, opiniones, permite procesos
para comprobar las afirmaciones o para aceptar los errores que posiblemente los mismos
estudiantes compartan.
3.10.2 Comportamientos no coherentes
Indicador 1: El profesor descalifica las referencias que hacen los estudiantes a
conocimientos personales o a su experiencia con el software.
162. Prof ¿Qué debes tener en cuenta para que la solución se dé?
163. Part3 [Aunque no se observa, parece que la estudiante selecciona la
herramienta ocultar mostrar]
164. Prof No esa herramienta no se puede utilizar
165. Part3 Profe, la única que yo se.
99
230. Prof ¿Qué herramienta utilizaría usted?
231. Otro_est [Se refiere a la herramienta Ocultar/ Mostrar] La ultima
232. Prof No, sin utilizar esa herramienta que nos muestra más o menos donde
estaba el triángulo
249. Prof ¿Qué está midiendo más Cuadros?
250. Otro_est Deben dar la misma distancia los dos, pero ahí se me descuadró
251. Prof Pero la idea es que entre un punto y
252. Otro_est Y el segmento
253. Prof Y la recta
254. Otro_est Y la recta
255. Prof Este la misma distancia
256. Prof Cuadros, muy amable, gracias por tu participación
257. Prof Veamos a la compañerita con la herramienta puto medio
450. Prof Te voy a dar otra idea
451. Part5 Ya
452. Part5 Ya entendí
453. Prof Escúchame la idea que te voy a dar para que ellos también la
asimilen
Los anteriores extractos dan evidencia de algunos momentos de la clase en los cuales el
profesor descalifica los aportes y las iniciativas de los estudiantes, sería importante analizar si
la presencia de la herramienta afecta completamente la actividad o por el contrario, se
convirtió en un hecho para que el profesor propusiera el reto a los estudiantes para proponer
otras estrategias distintas sin el uso de la herramienta ocultar mostrar. Los docentes debemos
pensar sobre este tipo de interrupciones o formas, ya que generalmente bloqueamos en algunos
momentos el interés por la participación, hay que repensar este tipo de comportamientos ya
100
que en la mayoría de las ocasiones, pueden afectar negativamente el proceso de participación
de los estudiantes.
Indicador 2: El profesor espera que los estudiantes hagan referencia al saber.
55. Prof ¿Recuerdan cómo habíamos definido que era un segmento?
56. Otro_est Si
57. Otro_est Una línea
58. Otro_est Una línea recta
59. Otro_est Una línea cerrada
60. Prof Una línea
61. Otro_est Recta
62. Prof Pero con unas condiciones
63. Prof Recta si, pero con otra condición
64. Prof Que estaba limitada por
65. Prof ¿Limitada por cuántos?
66. Otro_est Dos puntos
286. Prof ¿Qué tipo de movimientos están presentes en el triángulo verde?
287. Part4 Traslación
288. Prof Traslación, se puede trasladar de un lado a otro
289. Otro_est Y rotar
290. Part4 Y rotación
291. Prof Y rotación, perfecto. Lo trasladas y lo rotas
512. Prof Ya ustedes mencionaron algunas ...Señor
513. Otro_est Encontrar la mitad, precisa entre los dos triángulos
528. Prof Algo que me hable del tema del punto medio de Claudia
529. Prof ¿Cuál podría ser?
101
530. Otro_est Encontrar el punto medio entre los vértices
531. Prof Encontrar, el punto medio
532. Otro_est Entre los vértices
Como se puede observar, la cantidad de evidencias en este indicador nuevamente es mínima.
El profesor permitió que los estudiantes expresaran sus conocimientos personales y su
experiencia con el software, mientras que no se interesó en verificar las condiciones teóricas
relacionadas con la simetría axial. El profesor redujo la cantidad de preguntas tipo concurso en
las cuales espera una respuesta específica. Es decir espera que el estudiante haga referencia en
su respuesta a un saber específico. El profesor en este momento está solicitando el uso de un
término oficial de la geometría.
Indicador 3. Si los estudiantes no muestran una estrategia ganadora, el profesor interviene
mostrando la estrategia.
No hay evidencias de este comportamiento por parte del profesor.
3.11 PUESTA EN COMUN ACTIVIDAD No. 4. Proceso de institucionalización.
- Aprendizaje esperado: No basta con lograr que las distancias de puntos
correspondientes al espejo sean iguales. También es necesario lograr la
perpendicularidad del espejo y los segmentos que unen puntos correspondientes.
Tabla 37. Puesta en común actividad No. 4. Intervención 1
15. Prof Primero le pediría que me dijera usted, pues la cámara lo está grabando
para que se pronuncie.
16. Prof Le pediría que usted me dijera ¿Cuáles son las condiciones que se deben
tener en cuenta para que el triángulo verde sea el reflejo del triángulo
rojo?
17. Prof ¿Qué condiciones debo tener en cuenta?
18. Part1 Que los dos puntos estén iguales a …
19. Part1 Que los puntos estén a igual medida al …
102
20. Part1 Triángulo rojo
21. Prof Me explica por favor ese tema de los dos puntos
22. Prof ¿A que dos puntos se refiere usted?
23. Part1 Que los dos puntos de cada triángulo sean iguales
24. Prof Me explica mejor ese tema de los dos puntos
25. Part1 Dos puntos de cada triángulo deben coincidir …
26. Prof Que dos puntos de cada triángulo deban coincidir. ¿Coincidir con qué
Nelson?
27. Part1 Con la raya, con la línea
28. Otro_est con el espejo
29. Prof Con la recta ¿cierto?
30. Prof Pero ¿Coincidir de que manera Nelson?
31. Part1 Que tengan igual medida
32. Prof Que tengan igual medida
33. Prof ¿Cómo me comprueba usted que esos puntos si tienen igual medida?
34. Part1 [Solo se está grabando al estudiante y no sus acciones sobre la pantalla]
(El estudiante observa la pantalla de su computador y espera para dar
respuesta al profesor)
35. Part1 (Acerca el puntero a la barra de herramientas y selecciona Distancia o
longitud)
36. Part1 (Selecciona el vértice 1 del triángulo verde y luego selecciona un
segundo punto sobre el eje)
37. Part1 (Aparece una medida en centímetros sobre la pantalla)
38. Part1 (Repite el procedimiento, seleccionando el vértice correspondiente del
triángulo rojo como primer punto y un punto del eje como segundo
punto de referencia, aparece la correspondiente medida)
39. Prof Bueno, ahí observo Nelson lo que usted está haciendo
40. Prof [No se registran las acciones del profesor] Está midiendo la distancia
entre este punto y el eje y entre este punto y el eje
41. Part1 (El estudiante asiente)
103
42. Prof Acá aparece cero sesenta y uno y aquí aparece cero sesenta y seis
43. Prof Esas dos distancias ¿Son iguales?
44. Otro_est No, no, no
45. Prof Cierto, que ¿hay una pequeña diferencia entre 0,61 y 0,66?
46. Part1 (asiente)
47. Prof Entonces ahí por medida, tendríamos una pequeña diferencia
48. Prof A pesar de eso, el sistema me dice que está bien desarrollada, que el
triángulo verde es el reflejo del triángulo rojo)
En este extracto el profesor solicita al estudiante que explicite su estrategia de solución del
problema. El estudiante habla de ‘hacer que los dos puntos estén a igual distancia’,
probablemente haciendo referencia a que las distancias de puntos correspondientes al espejo
deben ser iguales. El profesor le pide que formule mejor su estrategia (líneas 7, 10, 16), lo cual
es una intervención adecuada según la TSD. El estudiante habla repetidamente de dos puntos,
lo cual nos permite deducir que sólo ha tomado conciencia de igualar las distancias de dos
puntos correspondientes al espejo, y no se ha fijado en la perpendicularidad entre el espejo y el
segmento entre puntos correspondientes. El profesor, en lugar de proponerle un contraejemplo
para que él invalide esta formulación de la estrategia, le pregunta cómo verificar que las
medidas son iguales (línea 19), lo cual conduce naturalmente a medir las distancias y se
produce un conflicto, pues esas distancias no son iguales a pesar de que aparezca el letrero
‘muy bien’ (línea 34). Puede concluirse que esta intervención es inadecuada, pues no conduce
a la invalidación de la estrategia formulada por el estudiante, sino que introduce un conflicto
de validaciones: las medidas y el letrero.
Tabla 38. Puesta en común actividad No. 4.Finaliza intervención 1
49. Prof La última pregunta Nelson ¿Hay otra condición distinta a distancias
iguales?
50. Part1 (El estudiante niega con la cabeza) No
51. Prof La idea de él, es que hayan distancias iguales entre el espejo y los puntos
correspondientes de los triángulos y con eso soluciona el ejercicio
104
52. Prof Nelson, muchas gracias por su colaboración
53. Prof Voy con el grupo que está allá, por favor, niña pase usted y me desarrolla
por favor la segunda actividad
Aquí el estudiante confirma que sólo tiene en cuenta (conscientemente) una pareja de puntos y
sus distancias con respecto al espejo. Nuevamente, el profesor desaprovecha la oportunidad de
plantear un contraejemplo que ponga en evidencia la imprecisión de esa estrategia, y decide
pasar a otro estudiante.
Tabla 39. Puesta en común actividad No. 4. Intervención 2
54. Otro_est Esta vea
55. Prof Que no vaya a ser la herramienta de simetría axial
56. Otro_est Esa que ella acabó de seleccionar
57. Prof ¿Qué hace esa herramienta?
58. Otro_est El triángulo verde, ponerlo en el triángulo rojo
59. Prof Bueno
60. Prof Cuadros ¿Usted nos quiere explicar cómo funciona esa herramienta?
61. Otro_est Esa herramienta lo que hace es: Facilita la forma de poder colocar el
triángulo verde, ya que aparece el triángulo verde como un triángulo
punteado
62. Otro_est Y toca colocarlo así para que salga el "Muy bien"
63. Prof Bueno, esa es la estrategia que usted utilizaría para solucionar la
actividad
64. Otro_est Que utilicé
65. Prof Y que utilizó para la mayoría de actividades
66. Prof ¿Alguno de los compañeros utilizó la herramienta que Çuadros
menciona?
67. Otro_est Yo
68. Otro_est [Varios estudiantes levantan la mano]
69. Prof Parece que todos los vecinos de cuadros, utilizaron la misma
105
herramienta
70. Prof Parece ser que se la copiaron, no?
En este extracto un estudiante muestra que usó la herramienta ‘ocultar/mostrar’ que le permite
resolver el problema fácilmente de manera perceptiva, sin tomar conciencia de las
propiedades. El profesor no interviene adecuadamente prohibiendo el uso de esa herramienta.
Tabla 40. Puesta en común actividad No. 4. Intervención 4
71. Prof Bueno, ella está trabajando el concepto de punto medio entre dos
puntos
72. Prof ¿Apareció el letrero "Muy bien"?
73. Otro_est No
74. Prof Okey, una pregunta con la actividad de Claudia que me parece
interesante
75. Prof Solo la idea de punto medio, me da a mí la seguridad ¿de que la
actividad está desarrollada?
76. Otro_est No
77. Prof No
78. Prof Pero si me puede dar la siguiente información y vamos a hacerlo:
79. Prof [Se refiere a la estudiante que está participando] ¿Recuerdas que
ahorita utilizaron distancias iguales?
80. Prof Con la herramienta de medir distancias, dale, selecciona esa
81. Prof [El profesor señala los dos puntos] Mide la distancia entre este punto y
este punto
82. Part4 (Selecciona la herramienta y mide la distancia que el profesor le
indicó)
83. Prof ¿Cuánto mide?
84. Part4 Cero ochenta y nueve
85. Prof Cero ochenta y nueve
86. Prof [El profesor señala los dos puntos] Ahora la distancia entre el punto
106
correspondiente de acá y la línea
87. Part4 (Acerca el puntero y pide al sistema la distancia de los dos puntos
indicados por el profesor)
88. Prof Cero ochenta y nueve
89. Prof Y efectivamente las distancias son
90. Part4 Iguales
91. Otro_est Iguales
92. Prof [El profesor señala los puntos a medir: El vértice No. 3 de los
triángulos rojo y verde y dos puntos del segmento]¿Y si medimos la
distancia de este punto al punto medio y de este punto al punto medio?
93. Part4 (Acerca el puntero al vértice No. 3 del triángulo rojo y un punto del
segmento), aparece la medida
94. Prof ¿Qué distancia hay?
95. Otro_est Tres punto cero uno
96. Prof Tres punto cero uno
97. Part4 Acerca el puntero al vértice No. 3 del triángulo verde y luego señala un
punto del segmento) aparece la medida
98. Otro_est Tres punto cero uno
99. Prof Bueno, tres punto cero uno
100. Prof ¿Ella está logrando distancias iguales?
101. Otro_est Iguales
102. Grup Si, si
103. Otro_est Si
104. Prof ¿Yya le apareció el letrero "Muy bien"?
105. Otro_est No,
106. Grup No
107. Prof Entonces ¿qué hace falta? Será ¿Que es necesario o es suficiente que
con distancias iguales un triángulo sea el reflejo del otro?
108. Prof [Utiliza un tono un poco más alto] ¿O qué me hace falta?
109. Prof ¿Qué me hace falta. Quién me cuenta que me hace falta?
107
110. Prof Allá la niña que tiene la mano arriba
111. Prof [se refiere a otra estudiante del grupo]
¿Qué me hace falta?
112. Otro_est [La estudiante desiste de opinar] No.
113. Prof No, no ¿Quién me quiere contar?
114. Prof Que además de las distancias iguales, algo más me hace falta
115. Otro_est De pronto en el momento el verde es más un poquito más alto que el
rojo
116. Prof El verde es un poco más alto que el rojo, entonces bajemos un poquito
el verde, a ver si aparece el letrero "Muy bien"
117. Prof Recuerda que el verde tiene dos movimientos, tu dijiste. Rotación y
traslación.
118. Part4 (Acerca el puntero al vértice No. 1 del triángulo verde y aparece la
manito con un letrero en este punto.)
119. Part4 (Mueve un poco el vértice hacia abajo y efectivamente aparece el
letrero "Muy bien"
120. Prof ¿Se conservaron las distancias iguales?
121. Otro_est Si, si
122. Grup Si, si, si
123. Part4 Si
124. Prof Yo te pregunto una cosa ¿Cómo te diste cuenta que el verde estaba un
poquito más alto que el rojo?
125. Otro_est Había un desnivel
126. Prof Había un desnivel, un poquito más arriba el uno que el otro
127. Otro_est [Acompaña su respuesta gestualmente]si
128. Prof Entonces parece ser que no solamente las distancias iguales me
garantizan que uno sea el espejo del otro
129. Prof Vamos a ver una quinta compañera, ya llevamos cuatro, vas a hacer la
actividad No. 5, Claudia gracias
108
La estudiante decide que va a utilizar la herramienta punto medio (línea 71), el docente le
sugiere que explique el por qué dicha herramienta, la estudiante dice que el punto medio le
indica para donde debe mover los triángulos y además dice que el punto medio debe quedar
exactamente sobre la recta. El profesor resalta el hecho de que a pesar de que los puntos
medios están sobre la recta no aparece el letrero ‘Muy bien’; esta es una intervención
adecuada, pues le permite a los estudiantes invalidar esa estrategia y comenzar a tomar
conciencia de que hace falta algo más para resolver el problema.
Luego el profesor sugiere a la estudiante que utilice la herramienta Distancia y que verifique
si las distancias de los puntos correspondientes a la recta son iguales. Aun cuando las
distancias de los vértices correspondientes al espejo son iguales, el profesor cuestiona que no
aparece todavía el letrero “Muy bien”.
El profesor cuestiona por qué no aparece el letrero y otro estudiante responde que el triángulo
verde está más alto que el rojo (Renglón 115). La estudiante acomoda el triángulo verde y
logra terminar satisfactoriamente la tarea.
El profesor concluye “Entonces parece ser que no solamente las distancias iguales me
garantizan que uno sea el espejo del otro” (línea 128).
Todas estas intervenciones son adecuadas, pues buscan que los estudiantes tomen conciencia
de que no basta con garantizar que las distancias de puntos correspondientes a la recta sean
iguales, o que los puntos medios entre puntos correspondientes estén sobre la recta.
Tabla 41. Puesta en común actividad No. 4. Intervención 5
130. Prof Listo, ya más o menos alcanzas a ver los tres puntos medios
131. Prof Pregunto ¿La exigencia de la actividad es que los puntos medios
queden?
132. Otro_est Sobre la recta
133. Prof Sobre la recta
109
134. Prof ¿Están sobre la recta?
135. Part5 No
136. Prof ¿Los puedes acomodar para que queden sobre la recta?
137. Part5 (Acerca el puntero al ´vértice No. 2 del triángulo rojo)
138. Prof El triángulo rojo solo se traslada, no se rota
139. Prof El triángulo verde si se traslada y se rota
140. Part5 (Acerca el puntero al vértice No. 2 del triángulo verde y lo gira un
poco)
141. Prof Ana María
142. Prof Veo que todos los puntos medios están sobre la recta
143. Prof Y no aparece el letrero Muy bien
144. Prof Te voy a dar otra idea
145. Part5 Ya
146. Part5 Ya entendí
En este extracto volvemos a ver cómo el profesor propone utilizar la estrategia de construir los
puntos medios entre puntos correspondientes y hacer que esos puntos medios queden sobre la
recta, y resalta que a pesar de cumplir esa condición no aparece el letrero ‘muy bien’. La
estudiante dice que ya entendió, pero el profesor no la interroga para saber qué fue lo que
entendió.
Tabla 42. Puesta en común actividad No. 4. Intervención 6
147. Prof Escúchame la idea que te voy a dar para que ellos también la asimilen
148. Prof Así como yo puedo pedir el punto medio entre dos puntos,
149. Prof Te voy a pedir un favor. Vas a dibujar y hemos utilizado la
herramienta
150. Prof Vas a dibujar un segmento, que una los puntos correspondientes
151. Prof [No se observa lo que el profesor está señalando] Entonces
herramienta segmento, creo que está acá
152. Prof Y me dibujas un segmento entre los puntos correspondientes
110
153. Part5 (Acerca el puntero a las herramientas y selecciona la herramienta
segmento)
154. Part5 (Construye el segmento que uno los vértices No. 1 de cada triángulo)
155. Part5 (Construye el vértice que une los vértices No. 3 de cada triángulo)
156. Part5 (Construye el vértice que une los vértices No. 2 de cada triángulo)
157. Prof Le pregunto a Ana María y al grupo. ¿Será que al dibujar los
segmentos que acabamos de dibujar, me puede dar idea de cómo
deben quedar los triángulos?
158. Otro_est Claro profe
159. Prof Perdónenme, voy a escuchar a dos personas, a Ana María y al Joven
que respondió claro profe
160. Prof Ana María
161. Part5 [Se refiere a la intersección de los segmentos que dibujó con la recta]
Ahí cuando se unen se ve que como la línea está torcida
162. Prof Cuando se unen se ve que esa línea pasa por el punto medio, pero que
está torcida
163. Prof Está torcida
164. Part5 Si
165. Prof Joven, el que dijo claro profe, ¿Qué iba a complementar?
166. Otro_est Que esas líneas de abajo se ven más torcidas para este lado, entonces
tiene que ponerlas más hacia la derecha
167. Prof O sea que esa línea que acabamos de dibujar ¿Qué condiciones o que
características, debe cumplir?
En este extracto puede verse que el profesor introduce los segmentos entre puntos
correspondientes para favorecer la toma de conciencia de la perpendicularidad.
Inmediatamente los estudiantes se refieren a la posición del segmento como ‘está torcido’; es
muy probable que se estén refiriendo al hecho de que el segmento no es perpendicular a la
recta. Puede verse cómo esa toma de conciencia de la inclinación de los segmentos les permite
anticipar cómo corregir el dibujo: ‘tiene que ponerlas más hacia la derecha’ (línea 152). El
profesor intenta que los estudiantes formulen la condición necesaria, además de que las
111
distancias sean iguales: ‘¿Qué condiciones o características debe cumplir’? (línea 153). Estas
intervenciones del profesor son adecuadas según la TSD, pues permiten a los estudiantes
invalidar la estrategia formulada, y tomar conciencia de la perpendicularidad.
Tabla 43. Otras intervenciones puesta en común. Actividad No. 4
168. Prof ¿Cuáles son las condiciones para que la tarea pueda realizarse?
169. Prof Primera condición
170. Prof Que la que, caballero
171. Prof ¿Que la qué?
172. Otro_est Que el triángulo verde sea reflejo
173. Prof Que el triángulo verde debe ser reflejo del triángulo rojo, eso es lo
que nos piden en la actividad
174. Prof Pero, ¿Qué condiciones debo cumplir para que eso se dé?
175. Prof Ya ustedes mencionaron algunas ...Señor
176. Otro_est Encontrar la mitad, precisa entre los dos triángulos
177. Prof Encontrar
178. Prof La mitad
179. Prof Será que es entre los dos ángulos
180. Otro_est Entre los dos triángulos
181. Otro_est Entre los dos triángulos
182. Prof Entre los dos triángulos
183. Prof Bueno, eso es una pequeña observación, ¿Otra?
184. Otro_est La distancia entre la línea y el vértice
185. Prof Medir la distancia
186. Prof ¿Entre quién?
187. Otro_est Entre la línea y el vértice
188. Prof Entre la recta
189. Prof O sea el espejo
190. Prof Y cada triángulo
191. Prof Algo que me hable del tema del punto medio de Claudia
112
192. Prof ¿Cuál podría ser?
193. Otro_est Encontrar el punto medio entre los vértices
194. Prof Encontrar, el punto medio
195. Otro_est Entre los vértices
196. Prof Entre vértices correspondientes
197. Otro_est Profe se va a apagar
198. Prof Otra
199. Otro_est Pero,
200. Otro_est Pero si la recta está volteada, toca también, voltear los triángulos
201. Prof Bueno, dibujamos los segmentos de recta, de puntos correspondientes
202. Prof Y qué característica, ¿Su apellido es?
203. Otro_est Cortes
204. Prof ¿Qué características deben tener esas líneas que unen los puntos
correspondientes?
205. Otro_est Pues que no se vean torcidas
206. Prof Que las líneas, que unen los puntos correspondientes
207. Otro_est No estén torcidas
208. Otro_est Profe
209. Prof Hay otra persona que quiere opinar, algo distinto
210. Otro_est Que los triángulos, no deben quedar desnivelados
211. Prof Que los triángulos no queden ¿Qué?
212. Otro_est Desnivelados
213. Prof Anoten eso por favor también
214. Prof Estas condiciones y la última que dice Claudia
215. Prof Que los triángulos no queden desnivelados
216. Prof Voy a concluir la actividad de la siguiente manera
217. Prof Todos o la mayoría tienen la idea
218. Prof La actividad requería dificultad y la encontramos
219. Prof Todos no lo logramos
220. Prof Pero miren
113
221. Prof Las condiciones son sencillas
222. Prof (El profesor señala para todos) La distancia entre cada punto y la
recta, deben ser
223. Grup Iguales
224. Prof Distancias iguales, primera condición
225. Prof Otra
226. Prof Los puntos medios entre puntos correspondientes, deben quedar
¿dónde?
227. Otro_est Sobre la recta
228. Prof Sobre la recta
229. Prof Los puntos medios deben quedar sobre la recta
230. Prof Y la que trata de explicar el joven Cortés
231. Prof Pero que no está muy clara
232. Prof (Muestra las líneas con un marcador) Es que las líneas que unen los
puntos correspondientes, deben estar derechas, dice él.
En este extracto el profesor está formulando las conclusiones de la puesta en común, e intenta
que los estudiantes le ayuden a nombrar las condiciones que deben tenerse en cuenta para
resolver el problema. Un estudiante menciona la inclinación de los segmentos: ‘que no estén
torcidos, que los triángulos no estén desnivelados’. Finalmente el profesor resume las dos
propiedades: ‘los puntos medios deben quedar sobre la recta, y las líneas que unen puntos
correspondientes deben estar ‘derechas’’. Este comportamiento del profesor es adecuado, pues
conduce a la toma de conciencia de las dos condiciones necesarias para resolver el problema.
3.12 ANALISIS PUESTA EN COMUN CONSTRUCCION 4-7
Al igual que en la actividad 3, el paso de las 6 primeras series a la serie 4-7 requiere una
puesta en escena para que los estudiantes comprendan que en esta serie se trabaja un problema
diferente: en las 6 primeras series se trataba de ajustar el dibujo para obtener perceptivamente
las propiedades de simetría axial; en cambio, en la 4-7 se trata de garantizar que esas
propiedades se cumplen aunque los objetos se muevan. La solución de este problema requiere
114
en primer lugar que los estudiantes estén conscientes de que son necesarias dos propiedades
para lograr la simetría (los segmentos que unen puntos correspondientes deben ser
perpendiculares al espejo y las distancias de los puntos correspondientes al espejo deben ser
iguales), y en segundo lugar que comprendan que no basta con obtener perceptivamente esas
propiedades ajustando el dibujo, sino que es necesario declararlas al construir, seleccionando
las herramientas de construcción correspondientes (‘recta perpendicular’ para garantizar la
perpendicularidad y ‘círculo’ para garantizar la equidistancia). No se espera que los
estudiantes encuentren cómo garantizar por construcción las propiedades, sino que invaliden
sus estrategias de ajuste y lleguen a tomar conciencia de que necesitan que las propiedades no
se pierdan cuando el espejo se mueve. Cuando los estudiantes hayan tomado conciencia de esa
necesidad, el profesor puede mostrarles cómo utilizar las herramientas para lograrlo.
El análisis a priori prevé entonces la siguiente secuencia:
1- Puesta en escena del problema para hacer comprender a los estudiantes que no se trata
de una tarea de ajuste, sino de construcción ‘que resista el arrastre’.
2- Fase a-didáctica en la que ponen en funcionamiento sus estrategias perceptivas y las
invalidan.
3- Puesta en común para precisar la necesidad de la perpendicularidad, introducción de la
herramienta ‘recta perpendicular’ para garantizar esa propiedad durante el arrastre,
planteamiento de la necesidad de garantizar la equidistancia.
4- Fase a-didáctica para que los estudiantes intenten resolver el problema de la
construcción de la equidistancia con estrategias perceptivas y las invaliden.
5- Puesta en común para acordar la invalidación de las estrategias perceptivas para
garantizar la equidistancia, introducción de la herramienta círculo para garantizar la
equidistancia durante el arrastre.
6- Conclusión con la solución del problema.
115
Al igual que en la actividad 3, no se registraron en video ni la puesta en escena ni la fase
adidáctica de esta serie. Solo se tiene la puesta en común después de la fase adidáctica, que se
analiza a continuación.
La tarea relacionada que el profesor debía socializar con los estudiantes a través de una puesta
en escena era la siguiente:
Tarea 2: Construir un triángulo que sea el reflejo del triángulo dado con respecto a la recta.
Aprendizajes esperados:
- Las estrategias de ajuste no sirven para resolver el problema de hacer una construcción
que resista el arrastre.
- Solo la herramienta Recta perpendicular garantiza que los segmentos entre puntos
correspondientes sean perpendiculares al espejo aunque este se mueva.
- Solo la herramienta círculo garantiza la equidistancia de puntos correspondientes al
espejo aunque este se mueva.
Tabla 44. Extracto otras intervenciones Puesta en común Actividad No. 4
285. Prof
El compañero, acaba de garantizar, que los puntos de los triángulos
que son iguales o puntos correspondientes, tengan la misma distancia
¿Con eso es suficiente para saber que un triángulo es el espejo del
otro?
286. Otro_est No,
287. Prof No, hace falta algo, ¿Qué hace falta?
288. Otro_est Mover la recta
289. Prof Ah falta comprobar a ver si cuando yo muevo ese espejo, continúa la
idea de ser uno el reflejo del otro
290. Prof [Le indica al estudiante que está mostrando su estrategia] Me hace un
favor, desde el punto rojo, mueva el espejo
291. Est (Acerca el puntero al punto rojo o interruptor, se mueve la recta
(espejo))
292. Prof Miren que no se conservan esas ideas de reflejo, el triángulo rojo no
116
es el reflejo del otro, ni viceversa entonces, señor Cortés,
293. Prof Entonces, no me da usted garantía de que la tarea esté bien
294. Prof [Da la opinión a otra estudiante]¿Qué hacemos entonces, Claudia?
295. Est La única sería es que los dos triángulos tuvieran el movimiento de la
recta
296. Prof
Que los dos triángulos tengan el mismo movimiento de la recta
Que cuando la recta se mueva, yo también mueva los triángulos
¿Y cómo cree que yo puedo lograr eso?
297. Est No sé
Antes de este extracto viene un tiempo largo (primeras 285 líneas) en que distintos estudiantes
muestran sus propuestas de solución; allí puede verse que los estudiantes no han comprendido
el problema y siguen pensando que se trata de una tarea de ajuste: ellos dibujan un triángulo y
luego lo acomodan para lograr la simetría. Solo en la línea 294 se llega al planteamiento del
problema: se invalida el ajuste perceptivo, y los estudiantes entienden que se trata de
garantizar las propiedades durante el arrastre.
Desde el punto de vista de la TSD, esta gestión de la puesta en común es inadecuada. El hecho
de dedicar tanto tiempo a la producción de dibujos ajustados refuerza en los estudiantes la idea
de que el profesor espera precisamente un dibujo ajustado. Por otra parte, puede deducirse que
la puesta en escena no funcionó, ya que los estudiantes no tienen claro el problema. Solo en
este momento comienzan a comprenderlo.
Aparentemente el profesor está más preocupado por que los estudiantes aprendan a manipular
las herramientas del software (segmento, triángulo, polígono, borrar…), que por que entiendan
el problema.
117
Tabla 45. Extracto otras intervenciones Actividad No. 4
302. Prof
El día cuando ustedes hicieron las seis primeras actividades de esta
actividad 4, donde acomodaban los triángulos para que el espejo
siempre fuera el espejo, sacaron unas conclusiones. La primera
conclusión es la de distancias iguales que es la que está comprobando
él. ¿Había otra conclusión? ¿Había otra condición?
303. Est Ah
304. Prof
Aaah…Es que la memoria no nos ayuda, después de ocho o quince
días de la última clase, se nos han olvidado las cosas
305. Est Profe, una pregunta, la última herramienta
306. Prof
No, no, no. Sin utilizar esa herramienta Ocultar/mostrar ¿Había otra
condición?
307. Est
ay, no,, no, no. Ya me acordé. En la clase pasada que estábamos en la
otra sala de informática había una forma. Uno seleccionaba, creo que
era con el circulito ese. Uno seleccionaba ese triángulo y aparecían…
Y cuando uno movía la recta, seguía moviéndose también los
triángulos
308. Prof Si pero en este caso no está sucediendo eso
309. Est No, no, no. Es decir, hay una herramienta que hace eso
310. Prof
Bueno, yo voy a empezar a hacer preguntas a ver si recordamos las
condiciones
[Muestra con una regla las distancias a las que se refiere] Una
característica, es que las distancias de cada punto al eje deben ser
iguales.¿Ya cumplimos esa condición?
311. Est Si
312. Otro_est Si
313. Prof
Okey. Segundo.
[Señala los segmentos con la regla y la recta que hace el papel de
espejo] ¿Cómo deben ser, estos segmentos que el dibujó respecto a esta
línea o este eje?
118
314. Est La misma distancia por cada lado
315. Prof
Ya dijimos de las distancias iguales, pero hay otra característica.
Repito la pregunta para todos. Escuchen: ¿Cómo deben ser estos
segmentos que unen puntos correspondientes, respecto al espejo o eje?
316. Otro_est Derecho
317. Prof
Deben ser derechos. ¿Qué significa para usted, derechos? En términos
de geometría, ¿Qué significa que esté derecho?
318. Est Alineados
319. Otro_est
Yo, profe, Yo sé, yo se. Qué esté alineados en comparación de los dos
puntos
320. Prof
Que esté alineado. ¿Pero que significa que esté alineado?¿En términos
de geometría qué significa derecho?
321. Otro_est Verticalmente
322. Prof
Ustedes recuerdan que yo les comparaba, que yo les comparaba los
dos: el eje con el segmento con algo que usted maneja
matemáticamente. Y ese algo si era vertical y horizontal. ¿Qué era
Matemáticamente algo vertical, horizontal?
323. Est Paralelos
324. Prof ¿Qué son qué?
325. Est Paralelas
326. Prof
¿Son paralelas? ¿Son líneas paralelas? ¿Cuáles son paralelas? ¿Los
segmentos?¿O el espejo con los segmentos? ¿Cuáles son paralelos?
327. Est Los segmentos con el espejo
328. Prof
¿Los segmentos que unen los puntos correspondientes?
[Se refiere a los segmentos dibujados, aunque no se observan las
acciones que realiza el docente] ¿Pero esos segmentos que unen los
puntos respecto al espejo siguen siendo paralelos?
329. Otro_est No, no
330. Est No
119
331. Prof
¿Entonces cómo son o cómo es esta línea respecto al espejo? ¿Cómo
debería ser?
332. Est Rectos
333. Prof Bueno, son rectos, pero ¿qué significa que sean rectos?
334. Otro_est ¿Perpendicular?
335. Prof ¿Perdón?
336. Otro_est Perpendicular
337. Prof
Gracias Cuadros. Cuadros salvó la patria. El segmento que une los
puntos correspondientes con el eje de simetría, deben ser
perpendiculares
¿Cierto, Claudia? ¿Qué significa ser perpendicular?
338. Est ¿Él dijo perpendicular?
339. Prof
Prof
Él dijo perpendicular. ¿Qué significa ser perpendicular entre dos
líneas?
340. Est Que ellas formen un ángulo de noventa grados
341. Prof
Que forman un ángulo de noventa grados. Y entonces será ¿Qué eso es
lo que está fallando?
342. Otro_est Sí
343. Prof
Entonces, por favor en su cuaderno de apuntes, escriba. Les voy a
comentar yo, como, como esta herramienta, genero líneas
perpendiculares
En este extracto se ve una gestión adecuada del profesor: está intentando recordar las
condiciones que se habían identificado anteriormente como necesarias para resolver el
problema (distancias iguales de puntos correspondientes a la recta, y ‘segmentos derechos’).
Sin embargo, los estudiantes no recuerdan fácilmente la segunda condición. Una vez que los
estudiantes enuncian en sus palabras la condición de perpendicularidad, el profesor busca que
nombren la palabra perpendicular, y lo consigue; la expresión del profesor: ‘Cuadros salvó la
patria’ muestra su alivio por haberlo conseguido.
120
Por otra parte, el profesor decide mostrar la solución del problema, aunque los estudiantes
apenas acaban de comprender el problema y no han intentado resolverlo. Por lo tanto se
logrará un aprendizaje por autoridad y no por adaptación.
Tabla 46. Otras intervenciones
458. Prof
Niña por favor ¿Me colabora? Voy a quitar los segmentos que dibujó
Cortes, porque esos no son perpendiculares y le voy a pedir a alguien…
¿Claudia, me colaboras con eso? A que dibuje las perpendiculares que
necesitamos nosotros, en esa actividad cuatro punto siete. Les parece,
ayúdenme a dibujar esas tres perpendiculares que necesitamos nosotros
en la actividad (Muestra la actividad cuatro -siete desde sus condiciones
iniciales). Claudia, vas a dibujar el triángulo y vas a dibujar las tres
perpendiculares
459. Est (Selecciona la herramienta triángulo y dibuja un triángulo sobre la
pantalla)
460. Est (Acerca el puntero a los vértices del nuevo triángulo y trata de
acomodar los lados y los ángulos para que se parezca al rojo)
461. Prof
Bueno, aquí de pronto cabe advertir del ejercicio de Cortes. El dibuja su
triángulo, mide distancias iguales. Pero debe asegurarse que las líneas
que unen esos tres puntos correspondientes, deben ser perpendiculares
En este caso ¿serían perpendiculares a quién?
462. Otro_est A la recta
463. Grup A la recta
464. Prof O sea
465. Otro_est Al espejo
466. Prof
Perpendicular al espejo ¿Que pase por cuáles puntos?
467. Otro_est Por los del triángulo
468. Prof
Por los del triángulo rojo ¿Cierto? Entonces una perpendicular al
espejo. Línea perpendicular. Dale, línea perpendicular al espejo. A ese
espejo, que pase por cada uno de los puntos del triángulo rojo
121
469. Est (Selecciona la herramienta Recta perpendicular y dibuja una
perpendicular a la recta (espejo) que pasa por el vértice No. 2 del
triángulo rojo)
470. Prof
Bueno, ahí hay una perpendicular. ¿Cuántas va a dibujar ella?
471. Otro_est Tres
472. Est (Selecciona la recta o espejo y decide que la perpendicular pase por el
vértice No. 3 del triángulo rojo, aparece la recta perpendicular)
473. Prof Y le falta una tercera línea
474. Est (Selecciona nuevamente la recta como espejo y elije el vértice No. 1
del triángulo rojo, aparece la tercera perpendicular)
475. Prof ¿Bueno, Ahora qué debería hacer ella, para garantizar que el triángulo
que construyó, sea el reflejo del otro, del rojo?
476. Prof [Le indica que los vértices del triángulo construido deben quedar sobre
las perpendiculares] Debe ubicar cada uno de los puntos sobre las
perpendiculares
477. Est (Acerca el puntero a uno de los vértices del triángulo y lo ubica sobre
una de las perpendiculares)
478. Est (Ubica el puntero sobre otro vértice y lo ubica sobre otra perpendicular)
479. Est (Ubica el puntero sobre el tercer vértice y lo acomoda sobre la tercer
perpendicular)
480. Est (Selecciona la herramienta Distancia o longitud)
481. Est Mide la distancia entre el vértice No. 2 del triángulo rojo al espejo)
482. Est (Mide la distancia del vértice del triángulo construido que está sobre la
misma perpendicular al espejo)
483. Est (Mide la distancia del vértice No. 3 del triángulo construido al espejo)
484. Prof Vamos a observar lo que está haciendo Claudia
485. Est (Mide las distancias del vértice No. 1 del triángulo rojo al segmento)
486. Est (Mide las distancias del vértice Mide la distancia del vértice No. 1 del
triángulo construido al segmento)
122
487. Prof
Ojo, con lo que está haciendo Claudia.
Además de que ya son perpendiculares, está verificando distancias
iguales ¿Las distancias son iguales Claudia?
488. Otro_est No
489. Grup No, no
490. Prof Ayúdenme a garantizar distancias iguales
491. Prof A ver si Claudia con esto ya concluye la tarea
492. Est (Ubica el puntero sobre el vértice No. 1 del triángulo rojo y mueve un
poco el triángulo)
493. Prof (El profesor discute con una estudiante a la cual le sonó el teléfono
celular) Apáguelo, apáguelo por favor
494. Prof Oiga, apáguelo o la llevo a coordinación
495. Est (Ahora ubica el puntero sobre el vértice No. 1 del triángulo construido
y lo mueve quiere garantizar distancias iguales)
496. Prof Apáguelo, apáguelo
497. Prof Ante la insistencia del ruido le pide a la estudiante que se retire
498. Otro_est Es mi mamá
499. Prof Dígale a su mamá que no la moleste cuando esté estudiando
500. Prof Mire que se mete en problemas con ese celular
501. Prof Listo gracias
502. Est (Continúa moviendo los vértices de los dos triángulos, quiere
garantizar distancias iguales
503. Prof Listo Claudia, distancias iguales
504. Est (Continúa moviendo los vértices del triángulo rojo y del triángulo rojo
y del triángulo construido como reflejo)
505. Prof Recuerda que puedes mover el triángulo rojo también un poquito
506. Est (Hace pequeños movimientos tanto de los vértices del triángulo rojo
como del triángulo construido)
507. Prof Niña hágame un favor, venga, venga niña.
123
En las líneas 344 a 457 el profesor muestra cómo se utiliza la herramienta ‘recta
perpendicular’. En este extracto, el profesor hace pasar a una estudiante para ilustrar al grupo
la utilización de esa herramienta en la solución del problema.
Hay dos intervenciones inadecuadas del profesor. Le indica a la estudiante que ‘dibuje un
triángulo y tres rectas perpendiculares’ (línea 458), en lugar de plantear el problema: ‘¿cómo
construir un triángulo garantizando que las rectas entre puntos correspondientes sean
perpendiculares?’. Esta instrucción del profesor hace que la estudiante construya primero el
triángulo y luego las perpendiculares, cuando en realidad debe proceder a la inversa: primero
construir las perpendiculares, luego el triángulo (para garantizar que el triángulo tenga sus
vértices sobre las perpendiculares). Luego, refuerza la idea de ajuste: debe ubicar cada uno de
los puntos sobre las perpendiculares (línea 476). Nuevamente, esta instrucción refuerza en la
estudiante la idea de que se trata de un problema de ajuste del dibujo, cuando en realidad se
trata de un problema de construcción: ¿cómo garantizar que se cumpla la perpendicularidad y
se mantenga al mover los objetos?
El profesor no busca hacer comprender el problema, sino simplemente trata de que los
estudiantes utilicen las herramientas.
Tabla 47. Puesta en común actividad No. 4. Intervención 5
523. Prof
[Después de que la estudiante ha ajustado el dibujo] Las líneas son
perpendiculares y dan distancias iguales. Me hace un favor, comprueba
moviendo el eje.
524. Est (Acerca el puntero al punto rojo sobre el círculo. La recta se mueve y
los triángulos permanecen en la misma posición. Las distancias
cambian.)
525. Prof
¿Sigue siendo el espejo? ¿Qué está pasando ahí?
¿Se conservan distancias iguales?
526. Otro_est no, no
124
533. Prof
¿Claudia que hacemos la actividad no nos funciona? ¿Qué está
pasando cuando ella mueve ese eje? ¿Se conservan las distancias?
534. Est No
535. Otro_est No
536. Grup no, no
537. Prof Entonces ¿Cómo garantizar que las distancias sí sean iguales?
538. Est Que los triángulos sigan el movimiento de la recta.
539. Prof Claro, los dos triángulos tienen que seguir el movimiento de la recta.
540. Est Es que uno mueve el círculo y se mueven solo las rectas, pero los
triángulos se quedan en la misma posición.
541. Prof
¿Qué nos falta entonces para que esas dos distancias sean iguales? Que
el movimiento del eje, se lleve los triángulos y se conserven las
distancias.
542. Prof mueva un poquito el eje
543. Est (Mueve el punto rojo o interruptor acercando el eje al triángulo rojo, el
otro triángulo ya no tiene los vértices sobre las rectas)
544. Prof ¿Se conservaron las distancias?
545. Est No
546. Est (Continúa moviendo el eje)
547. Otro_est Tengo una idea
548. Prof Tiene una idea, ¿Cuál es?
549. Otro_est ¿No se podrían colocar los triángulos en relación al punto, para que
cuando el punto se mueva, también se muevan los triángulos alrededor
de la recta?
550. Prof Los triángulos en relación al punto y ¿Cómo colocaríamos los
triángulos en relación al punto?
551. Est Perpendicularmente, no se podrían colocar?
552. Prof Podría ser, pero ¿cómo lo hace?
125
553. Prof [Algunos estudiantes que están hablando entre ellos] Me hacen un
favor, hacen silencio, o si no mejor retírense. Porque si no quieren
estar acá les pido que se retiren. Estamos en clase
Nosotros si estamos en clase y ustedes no
554. Prof ¿Qué hacemos entonces para que esas distancias se conserven y
cuando se mueva ese eje, efectivamente el triángulo rojo tiene un
reflejo que es el triángulo construido?
555. Otro_est Poner los triángulos en relación de las líneas paralelas y la recta
556. Prof ¿Y cómo lo hacemos?
557. Otro_est No sé
558. Prof ¿Cómo garantizamos iguales distancias?
559. Prof ¿Podríamos decir que esta tarea es definitivamente es imposible para
nosotros?
560. Est No
561. Otro_est No
562. Grup No, no
563. Prof
¿Entonces cómo la resolvemos? ¿Cómo lo hacemos?
564. Est Con otra herramienta
565. Prof
Pero ¿Qué herramienta? No conocemos más herramientas. Okey.
Gracias Claudia muy amable. Algo que nos toca garantizar acá, es que
efectivamente cuando yo construya…
Cuando yo construya ese nuevo triángulo, estas distancias, ojo. Ojo
con esto niños,
Una cosa que tenemos que garantizar es que cuando yo construya ese
nuevo triángulo, la distancia entre este punto y un vértice el triángulo
rojo, debe ser igual a la distancia desde este punto y un punto del
triángulo que yo construyo
En este extracto vemos cómo después de construir las rectas perpendiculares al eje por los
vértices del triángulo rojo y de ajustar los vértices del triángulo dibujado perceptivamente para
126
que estén sobre las perpendiculares y a igual distancia del eje que sus correspondientes, el
profesor solicitó mover el punto sobre el círculo para validar (línea 523). El eje se mueve, se
mueven las perpendiculares pero los triángulos no se mueven. Es decir, se invalidan las dos
propiedades: los segmentos entre puntos correspondientes no son perpendiculares al espejo, y
las distancias de los puntos correspondientes al espejo no son iguales. Los estudiantes que
intervienen retoman la invalidación de la primera propiedad: “Es que uno mueve el círculo y
se mueven solo las rectas, pero los triángulos se quedan en la misma posición”, ¿No se podrían
colocar los triángulos en relación al punto, para que cuando el punto se mueva, también se
muevan los triángulos alrededor de la recta? (línea 549), “Poner los triángulos en relación de
las líneas paralelas y la recta” (línea 555). Sin embargo, el profesor sólo hace referencia a las
distancias iguales. Es evidente que el profesor ignora la invalidación de la primera condición,
que es la que están notando los estudiantes.
Probablemente el profesor sigue un guión preparado de antemano, según el cual él ya enseñó
cómo resolver la perpendicularidad y ahora tiene que plantear el problema de la equidistancia,
y no logra tomar en cuenta la invalidación de la perpendicularidad. Es probable que dos
factores contribuyan a esta decisión del profesor: la preocupación por el tiempo y la
preocupación por la indisciplina en la clase. Efectivamente, el tiempo de clase está llegando a
su fin, y puede notarse que hay estudiantes que no están atendiendo a la discusión colectiva.
Tabla 48. Puesta en común actividad No. 4. Intervención 7
579. Prof
[El profesor reinicia la figura y pasa a otro estudiante a resolver el
problema] Entonces perpendicular a ese eje que pase por cada punto del
triángulo rojo. Primero las perpendiculares
580. Est
(Selecciona la opción Recta perpendicular y acerca el puntero al
´vértice No. 1 del triángulo rojo)
581. Prof
Ojo, ojo, con el orden de la perpendicular. Perpendicular al eje, que pase
por cada vértice. Elegiste mal, otra vez. Vaya a recta perpendicular
582. Est (Acerca el puntero nuevamente a la opción Recta perpendicular)
583. Prof La primera pegunta que el sistema le hace
127
¿Perpendicular a quién? Al eje, al espejo
584. Est (Acerca el puntero y selecciona la recta (espejo)
585. Prof Que pase por cada punto. Por el primer punto
586. Est (Selecciona el vértice No. 2 del triángulo rojo, lo selecciona y aparece
la primera perpendicular))
587. Prof Listo, ahora otra vez
588. Est (Vuelve nuevamente y selecciona Recta Perpendicular)
589. Prof Perpendicular al eje. Que pase por el otro vértice
590. Est (Acerca el puntero al vértice No. 3 del triángulo rojo y lo selecciona,
aparece la segunda perpendicular)
591. Prof Y por último perpendicular al eje que pase por
592. Est (Acerca el puntero a la opción Recta perpendicular, selecciona el eje y
luego el vértice No 1 del triángulo rojo, aparece la tercera recta
perpendicular)
593. Est Ya tiene la otra recta perpendicular
594. Prof (El profesor discute aún con el grupo de estudiantes que le generan
desorden en la clase) Ustedes se van para atrás, ya les digo porqué
El profesor decide recomenzar el proceso de solución pasando a otro estudiante al que le da
instrucciones. Pero en esta ocasión sí da la indicación de construir primero las rectas
perpendiculares antes de dibujar el triángulo.
Tabla 49. Puesta en común actividad No. 4. Intervención 8-9
595. Prof
¿Qué herramienta puede garantizar que la distancia? ¿Qué herramienta,
me puede garantizar que la distancia entre este punto y este sea igual a
la distancia entre este punto y el punto del triángulo construido?
596. Est ¿Centímetros?
597. Prof
¡Ah! medir y colocar el triangulito. Podría ser una opción. Pero una
herramienta distinta que me dé una distancia igual. Yo pregunto
¿Ustedes tienen idea de lo que es una circunferencia o un círculo?
128
598. Est Si
599. Otro_est Si
600. Grup Si, si
601. Prof ¿Qué es un círculo?
602. Est Es una cosa redonda
603. Prof
Es una cosa redonda que tiene un centro
¿Y qué características tiene ese centro con esos puntos que van sobre la
circunferencia?
¿Qué características tiene el centro, con esos puntos que van alrededor
de la circunferencia?
604. Est Que todos tienen la misma distancia
605. Prof Perdón
606. Est Que todos tienen la misma distancia
607. Prof
Que todos tienen la misma distancia, entonces vamos a utilizar la
herramienta círculo
(Indica donde está la herramienta círculo)
Circulo… Que tenga centro en este punto del eje
[Señala el vértice No 2 del triángulo rojo] Y que pase por este punto
608. Est (Construye un circulo teniendo en cuenta las instrucciones del
profesor)
609. Prof [Se refiere a que la circunferencia pase exactamente por el vértice]
Asegúrese que toca el punto
610. Prof [Le indica que haga otro círculo] Lo mismo centro acá que pase por este
punto
611. Est (Construye un nuevo círculo cuyo centro es la intercepción del espejo
con la perpendicular que pasa por el vértice No. 1 del triángulo rojo y
que pasa por el ´vértice No. 1, queda dos círculos)
612. Est (Construye el tercer círculo con centro en la intercepción del eje y la
perpendicular que pasa por el vértice No. 3 del triángulo rojo, dicho
círculo pasa por el vértice No. 3)
129
El profesor introduce la herramienta círculo como solución del problema de garantizar
distancias iguales. No hace énfasis en la necesidad de garantizar que las distancias sean
iguales aunque el espejo se mueva. Es decir, no aclara cuál es el problema, sino que introduce
la solución.
Tabla 50 Tabla 52. Puesta en común actividad No. 4. Cierre Intervención 8-9
613. Prof
Y nos queda comprobar ahora sí, cuando yo mueva ese espejo ¿Qué
debe suceder? Los dos triángulos conserven la misma distancia y que
efectivamente esos segmentos que unen puntos correspondientes sean
perpendiculares.
614. Est1 (Acerca el puntero al punto rojo o interruptor sobre el círculo, lo
mueve muy rápido y no se logra visualizar los efectos de la
construcción)
615. Grup No, no, no
616. Otro_est No, no
617. Prof Muévalo más despacio, despacio
618. Prof Vas a moverlo despacio
619. Prof ¿Está sucediendo eso?
620. Otro_est si, si
621. Grup si, si, si
622. Prof Ahora muévalo hacia atrás, despacio
623. Prof ¿Está sucediendo eso?
624. Otro_est Si, si
625. Grup si, si, si
626. Prof ¿El triángulo construido sí es el reflejo del rojo?
627. Otro_est Si, si
628. Grup Si, si
629. Prof ¿Conservan distancias iguales?
630. Otro_est Si, si
631. Grup Si, si
130
632. Prof
Me hacen un favor, escribimos entonces cuáles son las condiciones
para que un objeto sea el reflejo del otro. No el procedimiento sino
las condiciones ¿Qué condiciones debe cumplir?
Primera:¿Cuál será la primera condición?
Que los segmentos que unen puntos correspondientes sean
perpendiculares al espejo.
633. Est estén a igual distancia de los vértices
634. Prof Esa es una condición, las distancias iguales
¿Y la otra? ¿Qué esos segmentos formen qué? ¿Un ángulo de cuánto?
Noventa grados
635. Otro_est Noventa grados
636. Prof ¿O sea que sean?
637. Est1 Perpendiculares
638. Prof
Esa más o menos es la conclusión de la actividad
Y yo diría compañeritos que ya esto cierra el proyecto en la parte de
pruebas y de experimento. En realidad este programa lo que le
permite a usted es hacer pruebas. Y aquí probamos, Cortes hizo un
triángulo de una manera distinta, Cuadros otro, Claudia pasó e intentó
Hizo una serie de experimentos, no funcionó
Si yo tuviera la actividad en el papel ¿haríamos lo mismo?
639. Otro_est No, no
640. Grup No, no
641. Prof
Bueno, tenemos las dos condiciones. Me hace un favor escribe:
Condiciones para que se cumpla la simetría axial. Y anótelas y
ahorita dos o tres personas las leen para saber cómo las escribieron.
Cada uno escribe como piensa y posiblemente, todos pensamos
distinto. Gracias
131
El profesor indica como terminar la construcción y realiza la verificación por arrastre, sin
hacer la verificación con simetría axial. Finalmente, pide a los estudiantes que anoten en su
cuaderno las condiciones que deben cumplirse para resolver el problema, y el procedimiento
de construcción.
Conclusión
Son muchos los aspectos analizados en esta puesta en común. En primer lugar, en las primeras
intervenciones de los estudiantes se deduce que siguen pensando que se trata de un problema
de ajuste y no de construcción; esto lleva a pensar que la puesta en escena no cumplió el
objetivo buscado, que era precisamente que comprendieran que en esta serie no se plantea un
problema de ajuste, sino de construcción: cómo garantizar que las propiedades se mantienen
‘durante el arrastre’.
En segundo lugar, el profesor tiene claro que los alumnos deben recordar las condiciones que
utilizaban para resolver el problema de ajuste: que las distancias de puntos correspondientes al
espejo sean iguales, y que los segmentos que unen puntos correspondientes ‘estén derechos’, y
plantear el problema de cómo lograr estas condiciones aunque la recta-espejo se mueva.
También sabe que los estudiantes no pueden resolver este último problema, por lo tanto él
tiene que mostrar las herramientas que permiten resolverlo, y cómo utilizarlas.
En tercer lugar, el profesor aparentemente está preocupado porque en esta actividad los
estudiantes deben comenzar a utilizar nuevas herramientas como segmento, triángulo, simetría
axial, y sus intervenciones están dirigidas fundamentalmente a verificar que los estudiantes las
utilizan correctamente, o mostrar su uso correcto. Esta preocupación lo lleva a descuidar el
objetivo de aclarar el nuevo problema: no se trata de un problema de ajuste, sino de un
problema de construcción, y más bien refuerza la idea de que se trata de ajustar los elementos
del dibujo.
En cuarto lugar, el profesor quiere concluir toda la actividad en esta clase, está preocupado por
el tiempo y por el desorden de los estudiantes. Por eso en lugar de organizar varias fases
adidácticas para que los estudiantes utilicen e invaliden sus estrategias perceptivas y lleguen a
132
formular conscientemente que necesitan algo que garantice que las propiedades no se pierdan
al arrastrar, decide pasar a estudiantes a que hagan sus construcciones delante de la clase, y
presenta las soluciones. Aunque aparentemente los estudiantes siguen el discurso del profesor,
es probable que simplemente acepten su autoridad, sin lograr un aprendizaje por adaptación.
Finalmente, es significativo el hecho de que el profesor pasa por alto la invalidación de la
condición de perpendicularidad al mover el eje, cuando la estudiante está realizando la
construcción delante del grupo. A pesar de que varios estudiantes señalan esa invalidación, el
profesor los ignora para resaltar la invalidación de las distancias iguales. Es probable que
como él ya introdujo la herramienta ‘recta perpendicular’ para resolver esa parte del problema,
está esperando ahora plantear el problema de la equidistancia y esto le impide tomar
conciencia de esa invalidación.
No es posible concluir con certeza que los aprendizajes esperados se hayan alcanzado. Los
estudiantes sí manifiestan comprender que se trata de que ‘los triángulos se muevan cuando la
recta se mueva’, y constatan que es necesario utilizar herramientas de construcción para
lograrlo, pero los aprendizajes que pudieran producirse en este caso serían por imitación o por
autoridad, y no tenemos evidencias de los mismos.
133
4 CONCLUSIONES
4.1 Las situaciones adidácticas diseñadas sí funcionaron como se había previsto en el
análisis a priori, propiciando aprendizajes por adaptación y construcción de
conocimientos personales relativos a la simetría axial.
Como se mostró en los análisis a posteriori de las fases adidácticas, la interacción con el
software permitió a los estudiantes tomar conciencia del eje de simetría como una recta
ubicada en la mitad entre dos objetos simétricos (primera actividad), que dos objetos
simétricos tienen orientaciones opuestas (segunda actividad), a reconocer que no basta con
tomar dos puntos correspondientes como referencia para ubicar el eje de simetría (tercera
actividad), y que para determinar la posición del simétrico de un objeto con respecto a una
recta es necesario tener en cuenta que los segmentos que unen puntos correspondientes
deben ser perpendiculares al eje y que las distancias de puntos correspondientes al eje
deben ser iguales (cuarta actividad). En los datos recolectados se encontraron evidencias de
que los estudiantes se enfrentaron a invalidaciones de parte del software que podrían
convertirse en oportunidades de toma de conciencia de las propiedades de la simetría axial.
Los datos también permiten concluir que las primeras seis series de las actividades 3 y 4
pueden favorecer una estrategia no matemática de resolución del problema. En efecto, el
hecho de que aparezca un letrero ‘muy bien’, incluso cuando los estudiantes han movido
los objetos al azar, refuerza la estrategia de simplemente mover los objetos hasta que
aparezca el letrero. Esta estrategia se observó en concreto en la actividad 3. Por lo tanto se
sugiere organizar una fase de concurso, igual a la prevista en la actividad 1, donde los
estudiantes tengan que anticipar cuál será la posición correcta de los objetos (el segmento
en la actividad 3, el triángulo en la actividad 4), por ejemplo dibujándolo en el tablero
sobre la imagen proyectada del problema, y luego sí verifiquen arrastrando los objetos
hasta esa posición para ver si aparece el letrero ‘Muy bien’.
4.2 El profesor no estuvo atento a controlar el medio para bloquear estrategias no
matemáticas de solución.
Como pudo observarse especialmente en las actividades 1 y 4, los estudiantes tenían a su
disposición todas las herramientas del software, a pesar de que el análisis a priori
especifica que la única herramienta disponible debe ser el arrastre. Por eso los estudiantes
pudieron utilizar la herramienta Ocultar/Mostrar en la actividad 4, para mostrar el triángulo
simétrico que estaba oculto, y resolver el problema propuesto de manera meramente
134
perceptiva, sin tener que considerar las propiedades geométricas. Aparentemente, el
profesor no consideró como parte de su responsabilidad el ejercer ese control sobre el
medio.
4.3 El profesor tuvo dificultades para organizar adecuadamente la puesta en escena de
las actividades 3 y 4, y las consiguientes fases adidácticas.
Es significativo que no se cuente con datos de video de esas fases de las actividades 3 y 4,
y podría concluirse que para el profesor no estaba claro el rol de las mismas. Además, de
los datos de las puestas en común posteriores puede concluirse que aunque sí se realizaron
las puestas en escena, no lograron el objetivo esperado, es decir que los estudiantes
comprendieran que se trataba de un problema diferente; no un problema de ajuste, sino un
problema de garantizar una propiedad por construcción. En los análisis realizados se
muestra cómo los estudiantes en la puesta en común final, aún siguen trabajando el
problema de ajuste y no han tomado conciencia de que no han resuelto el problema. Puede
concluirse que para el profesor es difícil entender el funcionamiento de estas actividades.
En efecto, son situaciones adidácticas en las que no se espera que el estudiante encuentre
por sí mismo una solución, y donde se prevé que el profesor tendrá que mostrar dicha
solución. Esta característica podría llevar al profesor a pensar en la inutilidad de la fase
adidáctica, puesto que de todas maneras él tendrá que mostrar la solución a los estudiantes.
Por otra parte, el hecho de que en estas actividades es necesario introducir el uso de nuevas
herramientas del software tanto para construir como para verificar, puede desviar el foco
de atención del profesor hacia precisamente el uso de las herramientas, descuidando su
responsabilidad de mantener la atención de los estudiantes en el problema. En los datos
analizados se ve cómo el profesor dedica la mayor parte del tiempo a ilustrar el uso de las
herramientas, provocando en los estudiantes un comportamiento de seguir instrucciones
paso a paso, y descuidando la comprensión del nuevo problema.
4.4 La posibilidad de hacer referencia a la experiencia con el software es una
oportunidad para transformar el ambiente y las relaciones de poder en la clase.
Como se pudo concluir de los datos de las puestas en común, el profesor propició una
dinámica de intercambio, permitiendo que los alumnos hicieran referencia a sus
experiencias personales y expresaran abiertamente sus formas de pensar. Esta característica
es muy importante, pues es la condición necesaria para que las matemáticas puedan ser
experimentadas por los alumnos como una forma de razonamiento que pueden poner en
relación con sus propias formas de pensamiento, y no únicamente como unos
135
procedimientos impuestos por el profesor. La presencia del software y su papel como
medio con el cual es posible interactuar y del cual es posible obtener retroacciones para
validar las propias acciones, permite al profesor no imponer el saber como único criterio de
validez, dando oportunidad a los estudiantes de expresar sus formas de pensar y
confrontarlas no con la autoridad del profesor, sino con el funcionamiento del software.
4.5 La gestión del proceso de institucionalización es compleja y requiere del profesor
una preparación y anticipación que le permita mantener la prioridad en la
introducción progresiva del saber matemático.
A pesar de que el profesor dio oportunidad a los estudiantes para que hablaran de sus
propias experiencias en las puestas en común, se observaron intervenciones inadecuadas de
su parte, en ocasiones ignorando precisamente esas intervenciones de los estudiantes, en
ocasiones desaprovechando oportunidades de invalidar estrategias perceptivas o de hacer
tomar conciencia de la insuficiencia de algunas estrategias, y proponiendo la solución
matemática sin haber garantizado la comprensión del problema, o sin haber invalidado las
estrategias no matemáticas de los estudiantes. Es claro que la gestión del proceso de
institucionalización no estaba contemplada en el análisis a priori y por lo tanto el profesor
no tenía indicaciones precisas sobre la misma. Por eso el profesor se centra en las
sugerencias realizadas de hablar sobre la experiencia con el software y pierde
oportunidades de hacer avanzar el proceso de institucionalización. La puesta en común es
el lugar privilegiado del proceso de institucionalización, pues allí se pueden lograr
acuerdos colectivos sobre la validez o invalidez de las estrategias personales de los
estudiantes. Sin embargo, hay muchos factores que el profesor debe controlar en una
puesta en común: la discusión colectiva, la participación individual, la atención de los
estudiantes, el uso adecuado o inadecuado del software, la comprensión de lo que los
estudiantes quieren comunicar… Existe entonces un riesgo grande de que el profesor
pierda oportunidades de hacer avanzar el proceso de institucionalización y disperse su
atención y la de los estudiantes atendiendo cuestiones secundarias desde el punto de vista
del saber. A posteriori, es posible señalar que un aspecto fundamental a tener en cuenta en
la puesta en común es la toma de conciencia que deben lograr los estudiantes sobre las
estrategias que ellos mismos utilizan. En efecto, los estudiantes utilizan estrategias
perceptivas, tienen en cuenta propiedades geométricas que les sirven para resolver los
problemas, pero no son conscientes de ellas y por lo tanto no las formulan en el momento
de comunicar sus estrategias. El profesor debe plantear entonces contraejemplos que
permitan a los estudiantes tomar conciencia de la insuficiencia de sus estrategias o de la
136
insuficiencia de la formulación de las mismas, de manera que entren en discusión todas las
propiedades que están en juego para la construcción de una estrategia matemática.
5 Reflexiones
Una vez terminadas las fases de experimentación y análisis a posteriori de este proyecto es
importante Considerar tanto los aciertos como algunas dificultades que como docentes
debemos considerar al hacer parte activa de este tipo de experiencias. Con ellos intentar
dar algunas respuestas desde mi experiencia a las tres preguntas planteadas en este trabajo
de profundización.
¿Cómo mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de la geometría en los
estudiantes de educación básica?
En cuanto a mi labor como docente del área de matemáticas esta experiencia me ha
permitido muchos momentos de reflexión sobre las formas y estrategias que estoy
utilizando para enseñar matemáticas. Considero relevante que se hace necesario cambiar
las estrategias del proceso de enseñanza de las matemáticas, con el fin de generar mejores
espacios de aprendizaje en mis estudiantes. Como profesor creo que debemos dedicar
mucho más tiempo al preparar y planear las actividades para las clases. Es necesario que
las actividades propuestas a los estudiantes realmente les permitan reflexionar, hacer uso
de sus conocimientos previos, intercambiar ideas y estrategias de solución y decidir si lo
que dicen o hacen está bien o mal. Al finalizar esta experiencia considero que los
estudiantes sí pueden construir su propio conocimiento, proponen estrategias de solución y
a través de diversas formas de experimentación y pruebas, verifican esas estrategias.
Por otro lado pienso ahora que los docentes no debemos mostrar y entregar las soluciones
a las tareas o problemas planteados; más bien, debemos ser cuidadosos en la manera como
intervenimos y dialogamos con los estudiantes cuando enfrentan dichas tareas y
problemas; con una intervención adecuada y sin decirles si lo que ellos hacen está bien o
está mal es posible lograr que ellos mismos tomen conciencia de que lo que hicieron o
dijeron está bien o está mal.
La clase de matemáticas no debe estar centrada en el docente sino en los estudiantes, ellos
se deben interesar por construir su propio conocimiento, deben aceptar la idea que siendo
protagonistas activos, desarrollan sus capacidades cognitivas y pueden mejorar su
capacidad para comunicar lo que piensan y lo que hacen, que son capaces de decidir y
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juzgar su trabajo y el de los otros, en otras palabras que tengan criterios propios para
reconocer sus aciertos y sus errores. Además, que piensen que la clase de matemáticas se
debe convertir en un espacio de participación, respetando a los demás, compartiendo sus
opiniones y experiencias, llegando a acuerdos. Para lograrlo, el profesor debe tener claro
que no debe convertir este momento en un espacio tipo concurso, donde él plantea
preguntas y espera que los estudiantes le entreguen como respuesta palabras y términos
propios del saber matemático, sino interesarse en las formas de pensar de sus estudiantes,
intentando comprender lo que ellos tratan de comunicar, y verificando que los otros
estudiantes también comprenden esas ideas.
Por otra parte, en la puesta en común el profesor debe buscar que los estudiantes tomen
conciencia de sus propios procesos de pensamiento, de las posibles insuficiencias de sus
estrategias o de la formulación de las mismas, para explicitar de manera clara los
elementos que permitirán institucionalizar el saber. Debe mantener la discusión colectiva
alrededor de los problemas planteados, buscando llegar a acuerdos sobre las estrategias que
permiten resolverlos.
En cuanto a la segunda pregunta ¿Cómo usar las herramientas informáticas en el proceso
de enseñanza para lograr un mejor aprendizaje de la geometría?
En cuanto al uso del software en la clase de matemáticas, hay que recocer que se convierte
en una herramienta que le permite a los estudiantes aprender sin necesidad de que el
profesor les diga qué es lo que deben aprender. Al interactuar con el software van
descubriendo las propiedades y características matemáticas y geométricas que están en
juego en el problema propuesto. Identifican fenómenos visuales que pueden presentar las
figuras como se pudo ver en esta experiencia relacionada con la simetría axial:
movimientos opuestos, desplazamientos y giros que hicieron posible el desarrollo de la
tarea.
Por otro lado el software permitió a los estudiantes durante la fase adidáctica compartir sus
conocimientos, proponer estrategias, tener un diálogo más directo para poder, sugerir,
experimentar y comprobar si lo que ellos decían o hacían era cierto o no. El software les
permitió mostrar y compartir diversas estrategias de solución en las puestas en común y
garantizar frente a los compañeros que ellos tenían la razón o aceptar que estaban
equivocados. Con todo esto el software propicia el diálogo, el intercambio de ideas y
138
conocimiento. Además, permite al docente que varios estudiantes participen y construyan e
intercambien conocimientos en los diversos momentos del desarrollo las actividades.
Observando las diversas formas de interacción de los estudiantes con el software fue
posible reconocer que ellos hicieron sus propios procesos de validación, que el docente no
intervino en la fase adidáctica para afectar el proceso de construcción de conocimiento, es
decir permitió que los estudiantes decidieran si lo que hacían o decían estaba bien o estaba
mal. En cuanto al proceso de devolución el docente hizo posible con sus intervenciones
que los estudiantes resolvieran la mayor parte de tareas asignadas. No interrumpió sus
procesos de validación, se abstuvo de emitir juicios para interrumpir los procesos de
validación de sus estudiantes. Este tipo de intervenciones son posibles gracias a las
características, herramientas o servicios que ofrece el mismo software.
Esto les permitirá entonces realizar procesos de validación positiva, es decir, decidir que
algunas estrategias si les permiten una solución de las tareas o problemas asignados por el
profesor, o por el contrario hacen una validación negativa al observar que sus estrategias
no les permiten solución por lo que deciden cambiar o modificar sus estrategias.
El docente que trabaje o replique este tipo de experiencias, debe conocer muy bien diversas
formas de administración y uso de las herramientas y recursos que posee el software; como
se observó al hacer el análisis de las actividades, algunas herramientas que no debieron
estar disponibles afectaron el desarrollo de las tareas.
Independientemente de todo lo anterior, creo que el software Cabri como medio fue un
recurso muy valioso en esta experiencia y me permitió reconocer que el desarrollo de las
actividades en su gran mayoría favoreciera los aprendizajes por adaptación en los
estudiantes y la posibilidad de intercambiar conocimiento tanto en la fase adidáctica como
en las puestas en común como la posibilidad de hacer un proceso de institucionalización
adecuado.
Respecto a la tercera pregunta ¿Cómo orientar teóricamente las prácticas de enseñanza
que se quieren desarrollar?, considero pertinente destacar:
Que una de las tareas que me propuse con esta experiencia fue hacer un análisis y hacer un
estudio profundo y detallado tanto de la propuesta del Proyecto Institucional de Geometría
Dinámica proporcionado por el grupo Edumat, de la Universidad Industrial de Santander
relacionado con la simetría axial, como de los aportes que me ofrecía la Teoría de
139
Situaciones Didácticas como soporte teórico y la Ingeniería Didáctica como estrategia
metodológica. Al principio me propuse ser muy juicioso con estos estudios, pensé que
había hecho una muy buena apropiación tanto del proyecto como de los soportes teóricos y
metodológicos. Luego de desarrollar la fase de experimentación y de terminar el análisis
aposteriori encontré que no hice una adecuada apropiación de los procesos sugeridos en el
proyecto, olvidé algunos momentos importantes en la experiencia y no recolecté algunas
evidencias importantes como por ejemplo la puesta en común de la actividad No. 2 y las
puestas en escena de las series 3-7 y 4-7 posiblemente no fueron bien desarrolladas. En
otros momentos me afané más por que los estudiantes simplemente se concentraran en dar
la solución y cuando ellos no la encontraron decidí intervenir mostrando las soluciones.
Todo esto me ofrece la posibilidad de reconocer que como profesor tuve algunas
dificultades en cuanto a la apropiación de la teoría, que se hace necesario hacer un estudio
bien riguroso de dicha fundamentación teórica y además, reconocer que el proceso de
enseñanza y aprendizaje no es sencillo, siempre tendrá un alto grado de complejidad.
Es necesario reflexionar y aceptar que aunque para el profesor es muy complejo atender
tantos aspectos, no solo los relacionados con sus procesos teóricos, sus estrategias
pedagógicas y didácticas, además garantizar que se cuente con todos los recursos físicos,
técnicos y humanos y que deba atender al tiempo todas las dificultades de tipo
convivencial al interior de la clase. En fin, reconocer que el proceso de enseñanza y
aprendizaje se torna tan complejo, pero considero, es un compromiso de todos los docentes
que no desfallezcamos en intentar mejores condiciones y recursos para garantizar nuestros
procesos de enseñanza y la posibilidad de garantizar los procesos de aprendizaje de los
estudiantes.
En cuanto a mi desempeño profesional, como profesor debo reconocer que esta experiencia
además de permitirme reflexionar y poner en marcha otras estrategias que me permitan
una modificación de mis prácticas pedagógicas, replantear otras formas de interacción y
diálogo con mis estudiantes, hasta de mis formas evaluación. Actualmente valoro más el
trabajo y las intervenciones de mis estudiantes, ofrezco diversos momentos en los cuales
ellos tienen la posibilidad de participar más activamente en el desarrollo de las clases y
contenidos tratados. Algunos de ellos ya son conscientes y reconocen que pueden decidir si
lo que piensan o dicen está bien o no, sin la intervención del profesor. En diversos
momentos sugiriendo trabajos grupales ellos intercambian ideas, estrategias y
conocimiento, es decir estoy poniendo en práctica las puestas en común. En otras palabras
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mi clase y las formas de relacionarme con ellos han cambiado notablemente. Actualmente
estoy poniendo en práctica las orientaciones y aspectos teóricos de la Teoría de las
situaciones Didácticas.
Para terminar estas reflexiones quiero destacar que esta experiencia me ha permitido un
crecimiento como profesional y como ser humano; ya que me dio la oportunidad de
actualizarme, de compartir mi trabajo y de dar a conocer avances, aciertos y dificultades a
otras personas que al igual que yo nos interesamos en los procesos de enseñanza y el
aprendizaje de la geometría. Me dio la oportunidad de participar en eventos de talla
internacional, como lo fueron el Congreso Cabriword 2014 e IberoCabri 2014 desarrollado
en la Universidad de Medellín y el 22 Encuentro de Geometría y sus aplicaciones en la
Universidad Pedagógica Nacional en la ciudad de Bogotá en junio de 2015. Este tipo de
participaciones junto a otras como el I Encuentro de Educación Matemática en el año 2014
organizado por la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y varios eventos al
interior de la institución donde laboro, me han dado la oportunidad de compartir y
socializar esta interesante experiencia, además de conocer otras interesantes formas de
trabajo que se están desarrollando en beneficio de la educación matemática.
Esta experiencia me ha permitido trabajar estos dos últimos años de formación en la
maestría con mayor entusiasmo para lograr dotar y ubicar todos estos recursos en un aula
exclusiva para el área de matemáticas, trabajo que vengo liderando en mi institución desde
hace unos cuatro años.
Por otro lado aceptar que el desarrollo de la experiencia se vio afectado por la organización
institucional, ya que en varias ocasiones tuve que aplazar el desarrollo de las actividades,
ya que las clases planeadas para el proyecto se veían afectadas por izadas de bandera, actos
culturales y en otras ocasiones porque no se contaba ese día con la presencia de los
estudiantes. Este factor fue uno de los que afectó notablemente el normal desarrollo d las
actividades.
La fases de análisis de resultados y elaboración del documento final, también se vieron
afectadas en varias ocasiones por los compromisos que como docente tengo en el Colegio
Las Américas, I.E.D., lo que me permite reconocer que no es fácil este tipo de trabajo y
sería importante entonces sugerir a la Secretaría de Educación de Bogotá, que para un
docente no es tan fácil responder con los compromisos laborales y los compromisos
académicos de su proceso de formación, pero que hacemos el mejor de los esfuerzos.
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A pesar de todos estos momentos de dificultad y en la fase de cierre y presentación de este
informe final, considero que he mejorado notablemente mis condiciones personales y
profesionales, espero que esto redunde en un beneficio directo para mis estudiantes;
considero que la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau, realmente aporta
elementos muy importantes que favorecen los procesos de enseñanza y aprendizaje en la
clase de matemáticas. Que como lo dice la teoría es posible aprender tanto de los aciertos
como de las dificultades.
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6 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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como medio. Revista de Integración - Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de
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