Estimación de las componentes simétricas medianteredes neuronales adaptativas

Francisco Javier Alcántara Benjumea y Patricio Salmerón RevueltaDepartamento de Física Aplicada e Ingeniería EléctricaEscuela Politécnica Superior. Universidad de Huelva

Crta. De Palos de la Fra. s/n; 21819 Palos de la Fra.. Huelva. EspañaFcoJavier.Alcantara@dfaie.uhu.es Patricio.Salmeron@dfaie.uhu.es

Resumen :.En este trabajo se presenta un nuevo métodode medida basado en redes neuronales adaptativas, quepermite la estimación de las componentes simétricas detensión e intensidad en un sistema trifásico de cuatroconductores. El procedimiento se basa en el uso de losvectores de Park para el tratamiento de las señales y utilizacomo unidad de cálculo una celda neuronal adaptativadenominada ADALINE (ADAptative LInear Network). Enel tratamiento matemático se hace una separación entre elcálculo de las partes real e imaginaria del vector de Park yla correspondiente a la componente homopolar. La redneuronal adaptativa descompone cada una de estas partesen sus armónicos y calcula las componentes simétricas enbase a esta descomposición. Como caso práctico se aplicóel procedimiento a la estimación de las componentessimétricas de una tensión trifásica desequilibrada y nosenoidal.

Palabras clave :.redes neuronales, medida, armónicos,sistemas trifásicos

1. Introducción

Debido a la utilización creciente de cargaselectrónicas que incluyen entre sus componenteselementos no lineales, (como diodos, tiristores,triacs,...) se hace necesario el planteamiento denuevas metodologías de análisis y medida de lasmagnitudes eléctricas básicas en situaciones dedesequilibrio y distorsión. Para tal fin se handesarrollado un elevado número de trabajos sobre lacaracterización de la potencia eléctrica en el dominiode la frecuencia en condiciones generales deasimetría y distorsión [1]. Se han desarrolladodistintos algoritmos de cálculo basados en laaplicación de la FFT a las señales de tensión eintensidad. Los autores han venido trabajando en esaárea proponiendo el uso de la FFT a los vectores dePark de tensión e intensidad [2]. La aplicaciónsistemática de las FFT al vector de Park permiteobtener las componentes simétricas de secuenciadirecta e inversa de la variable eléctrica en cuestión.Este procedimiento simplifica desde el punto devista computacional la medida de las magnitudes depotencia en sistemas de tres conductores. Noobstante, la medida en sistemas de cuatroconductores requiere un cálculo adicional para la

determinación de las componentes de secuenciahomopolar. Recientemente, se están aplicando lasredes neuronales artificiales a la resolución deproblemas en el ámbito de la Ingeniería Eléctrica [3].La técnica de las ANN permite aumentar la rapidez yfiabilidad del cálculo debido al elevado paralelismoen el procesamiento que supone su utilización.

En este trabajo se presenta una nuevametodología basada en la aplicación de las redesneuronales adaptativas al vector de Park de tensión eintensidad de un sistema trifásico de potencia. Estenuevo enfoque del problema posibilita la estimaciónrápida y precisa de las componentes simétricas detensión e intensidad en un sistema trifásico de cuatroconductores con un reducido coste computacional.

2. Los vectores de Park en el análisisde sistemas trifásicos

Es habitual en la Teoría de máquinas eléctricas lautilización de los vectores espaciales o de Park. Elvector de Park de tensión se define como,

) v + v + v ( 3

2 = cba

2γγvp (1)

donde γ=exp(j 2π/3) y va, vb y vc son los valoresinstantáneos de las tensiones de fase. Los vectores dePark se pueden relacionar con los fasores de lascomponentes simétricas [4]. Si se supone una tensiónsenoidal en el que V+ es el fasor de secuencia directade la tensión trifásica y V- es el fasor de secuenciainversa, se tiene,

tjtj ee 11 ωω −∗−+ += VVVp (2)

La ecuación (1) se puede extender a situacionesno senoidales expresando el vector de Park entérminos de la serie compleja de Fourier.

∑∞=

−∞=

=k

k

tjke 1ωkp YV (3)

Así, la descomposición en series complejas deFourier proporciona, a la frecuencia angular hω1

(h=|k|) dos vectores (k=h y k=-h) con diferentesamplitudes y girando a la misma velocidad angular ysentido contrario.

Para cada frecuencia angular se cumple:

0

0

%

kpara

kpara∗=

=

h-k

hk

VY

VY(4)

Los vectores de Park proporcionan, de estaforma, los fasores de las componentes simétricas detensión e intensidad para cada índice armónico k.

Esta propiedad del vector de Park puede seraprovechada para obtener las componentes desecuencia directa e inversa a través de la DFTcompleja de dicho vector.

2.1. Componente homopolar

En los sistemas trifásicos donde existencomponentes de secuencia cero es necesario uncálculo adicional. En efecto, el análisis de lacomponte de secuencia homopolar se realiza a travésde la secuencia de muestras reales:

[ ] tvtvtv(t)v cbao )()()(3

1 ++= (5)

Esta secuencia se puede relacionar con el fasorde secuencia homopolar. Se tiene,

∑∞

=

=1

)Re2)( 1

k

tjke(tv ω0V (6)

A partir de (6), se obtiene el fasor de secuenciahomopolar de la tensión.

3. Redes neuronales adaptativas

En este trabajo se van a utilizar las redesneuronales adaptativas para estimar las componentessimétricas de la tensión e intensidad de un sistema depotencia.

Las redes neuronales adaptativas [5,6] permitenestimar cualquier variable eléctrica f(t) del sistemasiempre que ésta pueda descomponerse mediante unacombinación lineal de funciones dependientes deltiempo, x(t)=(f1(t),f2(t), ... ,fN(t))T de tal forma que:

)()( ttf xWT•= (7)

donde W=(W1, W2, ... ,WN) constituye el vector de

pesos de la red. La señal estimada por la red, (t)f∧

es

comparada con la señal real y el error obtenido seusa, a través de un lazo de realimentación paraactualizar los pesos (fig 1).

Fig. 1: Estructura de la red neuronal adaptativa

La señal se muestrea a un intervalo fijo ∆t en losinstantes de tiempo k∆t. Se tiene pues una señal

estimada, (t)f k

∧, una señal real fk(t) y un error ek(t)

para cada valor de k,

)()( tk(t)kf kxW •=∧

T(8)

El algoritmo de actualización de pesos incluidoes el de Widrow-Hoff que minimiza el error

cuadrático medio entre la señal (t)f k

∧ y fk(t). Este

algoritmo se rige por la expresión:

)()(

)()(1

tt

tek)(k k

kTk

k

xxx

WWα+=+ (9)

En (9) xkT(t)xk(t) es la norma de xk(t), por lo

tanto, el segundo sumando es proporcional al error ysu dirección la del vector xk(t). En la expresión seintroduce el parámetro α para mejorar laconvergencia de la red. Se hace variar α en funcióndel error y la derivada del error con lo que se logramejorar la convergencia.

•++= ecec 210αα (10)

Tras el proceso iterativo, el error ek(t) es

suficientemente pequeño y la señal estimada (t)f k

∧

bastante fiable

4. Aplicación de las redes neuronalesadaptativas a la estimación de las

componentes simétricas

Se pretende la estimación de las componentessimétricas de la tensión y la intensidad en un sistemade potencia a cuatro conductores. El esquema deentrada/salida del sistema de medida basado en lared neuronal que hace esa función es el siguiente,fig. 2.

Fig. 2: Esquema de entrada/salida del sistema demedida

Es decir, tiene como entradas las tres tensionesde fase y las tres intensidades de línea y comosalidas los fasores de las componentes simétricas detensión e intensidad hasta el armónico de orden n.

El sistema neuronal consta de un primer bloquede cálculo en el que se construyen los vectores dePark de la tensión y de la intensidad, así como v0(t) ei0(t). Tomando como ejemplo la tensión, el vector dePark vp puede expresarse como una serie complejade Fourier (3), ahora expresada en la formatrigonométrica (11),

∑∞

=

++=1

11 sencosn

tntn ωω nn0p BAAv (11)

En concreto para el armónico fundamental:

tt 111 sencos ωω BAv 11p += (12)

con:

ir

ir

jBB

jAA

111

111

+=+=

B

A(13)

Podemos relacionar esta expresión con losfasores de las componentes directa e inversa.

tjtjp ee 11

11ωω −−+ += VVv 1 (14)

con:

−−−

+++

+=

+=

ir

ir

jVV

jVV

111

111

V

V(15)

Al identificar las expresiones podemos calcularlos fasores V1

+ y V1- en función del desarrollo en

series de Fourier de vp dado que:

22

22

111

111

111

111

rii

irr

rii

irr

BAV

BAV

BAV

BAV

−−=−=

−=+=

−−

++

(16)

Las ecuaciones (12)-(16) se pueden generalizar acualquier armónico n. Las mismas expresiones seobtienen para el vector de Park de la intensidad.

La expresión (11) del desarrollo en series deFourier del vector de Park se utiliza como base deuna red neuronal adaptativa que estima su parte realy su parte imaginaria en la forma descrita por (17):

)()( tk kp xWv •= T (17)

[ ])()()()()()( ......110 kkkkkk nn

TBABAAW = (18)

∆∆

∆∆

=

tnktnk

tktk

tk

1

1

1

1

sencos

sencos

1

)(

ωω

ωω

�x (19)

El funcionamiento de la red se basa en losprincipios descritos en el apartado 3 con la inclusiónde una modificación en el algoritmo de Widrow-Hoff,

)()(

)()(1

tt

tek)(k

kTk

kk

θθα

xWW +=+ (20)

con

)(5,0))(sgn(5,0)( ttt kkk xx +=θ (21)

El término que contiene sgn(xk(t)) aumenta larapidez de la convergencia ya que los elementos quecomponen el vector θk(t) son siempre mayores oiguales que los de xk(t) y así se aumenta el tamaño delos “saltos” en W(k) en cada iteración.

Vn-

va

vb

vc

ia

ib

ic

vp

v0

ip

i0

Vn+

Vn0

In+

In-

In0

An

A’ n

Bn

B’n

BLOQUE

DE

CALCULO

1

BLOQUE

DE

CALCULO

2

Una vez adaptados los pesos a los coeficientes A i

y Bi del desarrollo en series de Fourier del vector dePark, un segundo bloque de cálculo obtiene losfasores V i

+ y V i- a partir de las ecuaciones (16).

Para la componente homopolar de la tensión eldesarrollo es análogo. Se parte de la descomposiciónen series de Fourier de v0(t)

∑∞

=

++=1

1'

1'0

'0 sencos)(

nno tnBtnAAtv ωω (22)

Esta expresión es la base de una red neuronaladaptativa que estima v0(t) y se identifica con

∑∞

=

=1

00

12)(k

tjketv ωV (23)

A partir de (23) se obtiene,

2

'0 n

nr

AV =

2

'0 n

ni

BV −= (24)

En el segundo bloque de cálculo se emplean estasecuaciones para obtener Vn

0 a partir de An y Bn. Eldesarrollo anterior se aplica con los mismosresultados al vector de Park de la intensidad.

5. Análisis de un caso práctico

Como aplicación del sistema neuronal seconsideró una fuente trifásica desequilibrada desecuencia directa donde las tensiones de fase son

(25)

El hizo la simulación del sistema utilizando losblockset de Simulink en el entorno Matlab.

La figura 3 muestra las tres tensiones de fase. Lafuente de tensión trifásica desequilibrada tiene,además del armónico fundamental, los armónicos 5ºy 7º por lo que que el sistema de estimación de lascomponentes simétricas obtendrá las componentesde secuencia directa, inversa y homopolar.

Fig. 3: Fuente de tensión trifásica desequilibrada y nosenoidal

Los resultados de las estimaciones se presentan acontinuación. En la figura 4 se pueden ver lasmagnitudes de los fasores de tensión de las tressecuencias para el armónico fundamental. Puedeverse como se consigue la estimación del armónicofundamental de secuencia positiva en un periodo. Enla figura 5 se aprecia la estimación de las fases de losmismos fasores de la figura anterior. Se consigue laestimación deseada en dos periodos.

Fig. 4: Magnitudes de las componentes simétricas delprimer armónico

10203040506070

V1+

Voltios

V1-

Voltios

V10

Voltios

-400

-200

0

200

400

0 0.02 0.04 0.06 0.08Tiempo (segundos)

100

200

300

400

0 0.02 0.04 0.06 0.08Tiempo (segundos)

[]

[])º1207sen(222)º1205sen(222

)º120sen(22202,1)(

)º1207sen(222)º1205sen(222

)º120sen(22208,0)(

7sen2225sen222sen2220)(

11

1

1

1

3

1

2

1111

−+−

−=

++++

+=

++=

ωω

ω

ωω

ω

ωωω

t

ttv

t

ttv

ttttv

Voltios

10203040506070

Fig 5. Fases de las componentes simétricas del primerarmónico

Fig. 6: Magnitudes de las componentes simétricas delquinto armónico

En las siguientes figuras se presentan lasmagnitudes y las fases de los fasorescorrespondientes a las tres secuencias para losarmónicos 5º y 7º. En el caso del fasor de secuenciainversa del armónico 5º se consigue su estimación endos periodos, figuras. 6-7. La estimación de losfasores de secuencia directa y homopolar (de menorcuantía ya que no corresponde a la secuencia naturaldel armónico) se consigue en tres periodos.

Los fasores correspondientes a las tres secuenciasdel armónico 7º se presentan en las figuras 8-9donde se puede ver que la estimación se consiguedespués de tres periodos.

Fig. 7: Fases de las componentes simétricas delarmónico quinto

Las magnitudes y las fases de las componentessimétricas de los armónicos restantes no se muestranya que sus valores estimados no son apreciables

-100

-50

0

50

V1-

Fase

V1+

Fase

-100

-80

-60

-40

-100

-50

0

50

100

-200

20406080

100

0 0.02 0.04 0.06 0.08Tiempo (segundos)

V5+

Voltios

V5-

Voltios

V50

Voltios

0 0.02 0.04 0.06 0.08Tiempo (segundos)

-100

-50

0

50

100

V5+

Fase

V5-

Fase

-100

-50

0

50

100

V50

Fase

0 0.02 0.04 0.06 0.08Tiempo (segundos)

V10

Fase

5101520253035

2468

1012

1020304050

Fig. 8: Magnitudes de las componentes simétricas delarmónico séptimo

Fig. 9: Fases de las componentes simétricas delarmónico séptimo

8. Conclusiones

Se ha presentado un nuevo procedimiento demedida de las componentes simétricas en sistemaseléctricos de potencia basado en redes neuronalesadaptativas. El sistema de medida está diseñado paraestimar las componentes simétricas de la tensión eintensidad en un sistema trifásico de cuatroconductores desequilibrado y distorsionado. Elprocedimiento seguido consiste en aplicar la teoríade los vectores de Park al análisis de los sistemastrifásicos desequilibrados. El sistema de medida secompone de tres bloques. Un primer bloqueconstruye los vectores de Park y las componenteshomopolares de las tensiones e intensidades deentrada. Un segundo bloque, desarrollado a partir deuna red neuronal adaptativa determina las amplitudescomplejas del espectro de los vectores de Park.Finalmente, un tercer bloque obtiene las

componentes simétricas de cada armónico a partir delas salidas de la red neuronal. Como aplicaciónpráctica se aplicó el algoritmo a una tensión trifásicadesequilibrada y no senoidal

Los resultados obtenidos permiten concluir queel enfoque adoptado es viable para la determinaciónde las componentes simétricas de las señalestrifásicas según un compromiso aceptable entreexactitud y rapidez. La metodología desarrollada sepuede utilizar como base de un procedimiento demedida de los términos de potencia en condicionesde asimetría y distorsión.

V7+

Voltios

V7-

Voltios

V70

Voltios

0 0.02 0.04 0.06 0.08Tiempo (segundos)

-100

-50

0

50

100

-100

-50

0

50

100

V7+

Fase

V7-

Fase

-50

0

50

100

V70

Fase

0 0.02 0.04 0.06 0.08Tiempo (segundos)

10

20

30

40

50

60

5

10

15

20

2

4

68

10

12

Referencias

[1] IEEE Working Group on Nonsinusiodal Situations:Effects on Metter Performance and Definitions onPower, “Practical Definitions for Power in Systemswith Nonsinusiodal Waveforms and UnbalancedLoads: a Discussion”, IEEE Trans on PowerDelivery, Vol 11, no 1,Enero 1996

[2] F. J. Alcántara, P. Salmerón, S. P. Litrán, J. R.Vázquez. “Análisis y Medida de las Componentesde Corriente y de Potencia en un Circuito TrifásicoDesequilibrado y no Senoidal”, 6as Jornadas Luso-Españolas de Ingeniería Eléctrica, Volumen 3,Lisboa, Julio 1999

[3] J. R. Vázquez, F. J. Alcántara, P. Salmerón, S. P.Litrán. “Diseño con Redes Neuronales del Controlde un Filtro Activo de Potencia”, 6as Jornadas Luso-

Españolas de Ingeniería Eléctrica, Volumen 4.Lisboa, Julio 1999

[4] L. Cristaldi, A. Ferrero. “Mathematical Foundationsin the Instantaneous Power Concepts: An AlgebraicApproach”, ETEP, vol 6, no 5, Septiembre/Octubre1996

[5] P. K. Dash, S. K. Panda, Baburam Mishra, D. P.Swain. “Fast Estimation of Voltage and CurrentPhasors in Powers Networks Using an AdaptativeNeural Network”, IEEE Trans on Power Systems,vol 12, no 4, noviembre1997

[6] P. K. Dash, S. K. Panda, A. C. Liew, B. Mishra, R.K. Jena. “A New Approach to Monitoring ElectricPower Quality”, Electric Power System Research,46, 1998