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CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MATHCAD

EL TRIÁNGULO

Ricardo Villafaña Figueroa

Cálculo Simbólico y Cálculo Visual

http://www.inn-edu.com/CalculoSimbolico/CalculoVisual.html

Innovación Educativa 2

Cálculo Simbólico y Geometría con Mathcad

Ricardo Villafaña Figueroa

Contenido Cálculo de los ángulos interiores de un triángulo ............................................................................... 3

Cálculo del área de un triángulo ......................................................................................................... 6

Cálculo del baricentro/ centroide de un triángulo ............................................................................ 18

Punto de intersección de las medianas ............................................................................................. 22

Cálculo del ortocentro de un triángulo ............................................................................................. 25


Cálculo de los ángulos interiores de un triángulo

Ejemplo

¿Cuánto miden los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos A (2, 6), B (‐3, ‐1) y C (4, ‐5)?

Solución

Representación gráfica del problema:

Fórmula para calcular la pendiente entre dos puntos dados:

my2 y1−

x2 x1−

yy:=

Cálculo Simbólico y Geometría con Mathcad Ricardo Villafaña Figueroa


Representación de los puntos y la pendiente en Mathcad:


Cálculo del ángulo α entre los lados AB y AC:

Cálculo del ángulo β entre los lados AB y BC:

Ay1

x1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=x1 x2

By2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=x2

mB2 A2−

B1 A1−

B:=

m1B2 A2−

B1 A1−75

→:=

m3C2 A2−

C1 A1−112

−→:=

tanαm3 m1−

1 m3 m1+6967

→:=

α atan tanα( )180π

45.843=:=

m2B2 C2−

B1 C1−47

−→:=

tanβm1 m2−

1 m1 m2+697

→:=

β atan tanβ( )180π

84.207=:=


Cálculo del tercer ángulo γ del triángulo:

Solución gráfica dada por Geogebra:

γ 180 α− β− 49.95=:=



Cálculo del área de un triángulo

Ejemplo

Calcular el área del triángulo cuyos vértices son A (‐1, 1), B (3, 4) y C (5, ‐1).

Primera solución

Dadas las coordenadas de los vértices, el área de un triángulo viene dada por la siguiente fórmula:

K12

y1 y3−( ) x2⋅ x1 x3−( ) y2⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−⋅

Definir los vértices dados en términos de Mathcad:

A

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B3

4⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= C5

1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Su equivalente en coordenadas X, Y es el siguiente:

x1 A1:= y1 A2:= x2 B y2 B1:= 2:= x3 C y3 C1:= 2:=

Definir el área en términos de Mathcad y calcular su valor:

K12

y1 y3−( ) x2⋅ x1 x3−( ) y2⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−⋅:=

K 13→



Segunda solución

La fórmula

K12

y1 y3−( ) x2⋅ x1 x3−( ) y2⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−⋅

Se puede expresar en términos de un determinante:

K12

x1

x2

x3

y1

y2

y3

1

1

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

Donde

x1 A1:= y1 A2:= x2 B y2 B1:= 2:= x3 C y3 C1:= 2:=

Obtenemos:

K 13→



Tercera solución

Se puede obtener el área de un triángulo en función de la longitud de cada uno de sus lados utilizando la fórmula de Herón:

cK s s a−( )⋅ s b−( ) s −( )

Donde a, b y c representan cada una de las longitudes del triángulo y s viene dada por la fórmula:

s

12

a b+ c+( )

Gráficamente podemos observar el triángulo dado de la siguiente manera:

Para calcular la longitud de cada uno de los lados, definimos la siguiente fórmula (distancia entre dos puntos dados):

Longitud P Q, ( ) P1 Q1−( )2 P2 Q2−( )2+:=



Calculamos la longitud de cada uno de los lados.

Lado BC:

a Longitud B C, ( ) 29→:= a 5.385=

Lado AC:

b Longitud A C, ( ) 2 10⋅→:= b 6.325=

Lado AB:

c Longitud A B, ( ) →:= 5

Calculamos el valor de s y de K (área del triángulo):

s

12

a b+ c+( ):=


s 10

292

+52

+→

cK s s a−( )⋅ s b−( ) s −( ):=

K 10

292

−52

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

10292

+52

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 10292

+52

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅292

10−52

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅→

K simplify 13→


Solución gráfica dada por Geogebra:



Ejemplo

Deducir la fórmula para el cálculo del área de un triángulo, dados sus tres vértices.

Solución

A

B

C

x1,y1

x2,y2

x3,y3

h

b

Área de un triángulo

K

12

b h⋅

1º Calcular la longitud de la base b (lado AC):


b x x3−( )2 y1 y3−( )1 2+:= x1


2º Calcular la altura h (distancia perpendicular del vértice B a la línea AC):

a. Hallar la ecuación de la línea AC

Fórmula general para hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos:

y y1−

y1 y3−x1 x3−

x x1−( )

Que puede ser escrita así:

y y1−( ) x1 x3−( ) y1 y3−( ) x −( )= x1

Para facilitar su manejo dividiremos la ecuación en dos nuevas ecuaciones:

eq1 yy

y1−( ) x1 x3−( ):=

x1eq2 y1 y3−( ) x −( ):= y1

Las nuevas ecuaciones las igualamos a cero (restamos la ecuación eq2 de eq1) y almacenamos en el resultado en una nueva ecuación eq3:

eq3 e


Expandimos el resultado obtenido en eq3 con la función expand:

A la ecuación encontrada la daremos la forma Ax By C 0 utilizando la función collect:

q1eq1

eq3

eq2−:=

eq3

eq3

eq3 expand x1 y⋅ x y1⋅− x y3⋅+ x3 y⋅− x1 y3⋅− x3 y1⋅+→:=

eq3 collect x, y, y3 y1−( ) x⋅ x1 x3−( ) y⋅+ x3 y1⋅+ x1 y3⋅−→:=eq3

Ordenado términos:

eq3− x y1 y3−( )⋅ y x1 x3−( )⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−→

A y

1y1 y3−( ):= B x x3−( )−:= 1x1 C x y3 x3 y1⋅−:= 1⋅x1


b. Para calcular la altura h (distancia del vértice B al lado AC ‐ eq3), usamos la fórmula (distancia de un punto a una recta):

hA x1⋅ B y1⋅+ C+

A2 B2+

Asignamos cada una de las coordenadas a los vértices correspondientes

x1 x2x2 y1 := y2y2

A x1⋅

:=

hB y1⋅+ C+

A2 B2+

x2 y1 y3−( )⋅ y2 x1 x3−( )⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−

x1 x3−( )2 y1 y3−( )2+→:=

3º Calcular el área del triángulo:

A x1⋅

b h⋅


Area2

factorx2 y1 y3−( )⋅ y2 x1 x3−( )⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−

→:=b h⋅

2


Solución dada por Geometry Expressions:

A

B

C

x1,y1

x2,y2

x3,y3

⇒x2·y1-x3·y1-x1·y2+x3·y2+x1·y3-x2·y3

2



Ejemplo

Demostrar que las áreas de los triángulos definidas por la mediana de un triángulo son iguales.

Solución

Para efecto del ejercicio, definiremos el triángulo de la siguiente manera:

A

B

CD

(0,0)

(0,b)

(a,0)

Definir las coordendas de los tres vértices:


A

0

0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B0

Definir una fómula para calcular el punto medio entre dos puntos:

b⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=b

aC

0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=a

Medio A B, ( )

A1 B1+

2

A2 B2+

2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=


Aplicando la fórmula anterior, calcular el punto medio entre de AC:


Medio A C, ( )a2

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

→:=DD

Definir una fórmula para calcular el área de un triángulo conocidiendo tres de sus vértices:

K A B, C, ( )12

A1

B1

C1

A2

B2

C2

1

1

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

Calcular el área del triángulo ABD:

K A B, D, ( )

a b⋅4

−→

Calcular el área del triángulo BCD:

K B C, D, ( )

a b⋅4

−→

Las dos áreas calculadas son iguales.


Solución dada por Geometry Expressions:

A

B

CD

(0,0)

(0,b)

(a,0)

⇒a·b4 ⇒

a·b4⇒

a2

,0



Cálculo del baricentro/ centroide de un triángulo

Mediana: recta que pasa por el vértice y por el punto medio del lado opuesto.

Baricentro: punto de intersección de las medianas de un triángulo.

Ejemplo

Los vértices de un triángulo son los siguientes: A (‐4, 0), B (3, 4) y C (4, ‐1). Encontrar el baricentro del triángulo.

Solución

Representación visual del problema (Geogebra):

Definir la fórmula para calcular el punto medio de un segmento:

PuntoMedio X Y, ( )

X1 Y1+

2

X2 Y2+

2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=



Definir los tres puntos dados:

A

4−

0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B3

4⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= C4

1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Calcular los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo:

D PuntoMedio A B, ( ):= E PuntoMedio B C, ( ):= F PuntoMedio A C, ( ):=

D12

−

2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

→E

72

32

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→F

0

12

−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

→

Definir la fórmula para calcular la ecuación de las mediatrices:

f A B, x, ( )

B2 A2−

B1 A1−x A1−( )⋅ A2+:=

Calcular las ecuaciones de las mediatrices:


l1 f A E, ,( ):=l1

x5

45

+→x x

l2

3 x⋅2

12

−→l2 f B F, x, ( ):= x

l3 f C D, , ( ):=l3

53

2 x⋅3

−→xx


Calcular el punto de intersección (baricentro/ centroide) de dos de las mediatrices:

⎛ ⎞l1 y⎜ ⎟


Baricentro/ centroide. Representación gráfica de la solución dada por Geogebra.

Nota. El punto de intersección de las medianas también se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

l2 y⎝ ⎠solve x, y, 1 1( )→

l1 y⎛ ⎞⎜ ⎟ solve x, y, 1 1( )→⎝ ⎠l3 y

Interseccion A B, C, ( )

A13

B13

+C13

+

A2

3B2

3+

C2

3+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=


Interseccion A B, C, ( )

1

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→



Punto de intersección de las medianas de un triángulo

Ejemplo

Demostrar que si un triángulo tiene los vértices en el punto de

intersección de sus medianas está en .

x1 , y1

` a

, x2 , y2

` a

, x3 , y 3

` a

,

x2fffffffffff, y1 + y2 + y2

3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff gx1 + x2 +

3ffffffffffffffffffffffffff

Para este ejercicio, tome en cuenta que las medianas del triángulo concurren en un punto que está a dos tercios de la distancia de cada vértice a la mitad de su lado opuesto.

Solución

Definir los tres puntos que determinan el triángulo:


Ay1

x1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=x1 x2

By2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=x2 x3

Cy3

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=x3


Definir la fórmula para calcular el punto medio de un segmento:

PuntoMedio X Y, ( )

X1 Y1+

2

X2 Y2+

2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Calcular cada uno de los puntos medios de los lados de la figura dada:


D PuntoMedio B, ( ):= AA

D

x12

x22

+

y12

y22

+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

E PuntoMedio C, ( ):= AA

E

x12

x32

+

y12

y32

+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

F PuntoMedio C, ( ):= BB

F

x22

x32

+

y22

y32

+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

Definir la fórmula que calcula el punto de división de un segmento en una razón dada:

PuntoRazon A B, r, ( )A1 r B1 A1−( )⋅+

A2 r B2 A2−( )⋅+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

:=


Definir la razón:

razon

23

:=

Calcular las coordenadas del punto que se encuentra a 2/3 del vértice de A:

PuntoRazon A F, razon, ( )

x13

x23

+x33

+

y13

y23

+y33

+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

Calcular las coordenadas del punto que se encuentra a 2/3 del vértice de B:

PuntoRazon B E, razon, ( )

x13

x23

+x33

+

y13

y23

+y33

+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

Calcular las coordenadas del punto que se encuentra a 2/3 del vértice de C:

PuntoRazon C D, razon, ( )

x13

x23

+x33

+

y13

y23

+y33

+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

Las coordenadas del punto de intersección de los segmentos AF, BE y CD son iguales.



Cálculo del ortocentro de un triángulo

Ejemplo

Los vértices de un triángulo son los siguientes: A (‐3, 0), B (0, 2) y C (1, ‐2). Encontrar las ecuaciones de cada uno de sus lados y el ortocentro.

Solución

Altura de un triángulo: es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto.

Ortocentro: Intersección de las tres alturas del triángulo.

Representación visual del problema (Geogebra):

Definir los tres puntos dados:

A

3−

0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B0

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= C1

2−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=



Definir la fórmula para calcular la pendiente entre dos puntos:

m A B, ( )

B2 A2−

B1 A1−:=

Calcular la pendiente para cada uno de los lados del triángulo:

Lado AB:

mAB m A B, ( ):=

mAB

23

→

Lado BC:

mBC m B C, ( ):=

mBC 4−→

Lado CA:

mCA m C A, ( ):=

mCA

12

−→

Definir la fórmula punto‐pendiente para calcular cada una de las ecuaciones de las alturas:

f A m, x, ( ) m x A1−( )⋅ A2+:=

Altura que pasa por A (perpendicular a BC):

m

1−mBC

:=

eqA f A m, x, ( )y


y

x4

34

+→:= y


Altura que pasa por B (perpendicular a CA):

m

1−mCA

:=

eqB y f B m, x, ( ) y 2 x⋅ 2+→:= y

Altura que pasa por C (perpendicular a AB):

m

1−mAB

:=

eqC f C m, x, ( )y


y

3 x⋅2

−12

−→:= y

Calcular el punto de intersección de dos de las alturas:

⎛ ⎞eqA

eqB

⎜⎝

⎟⎠

solve x, y, 57

⎛ ⎞−47

⎜ ⎟⎝ ⎠

→ 0.714− 0.571( )=

eqA

eqC⎛ ⎞⎜⎝

⎟⎠

solve x, y, 57

⎛ ⎞−47

⎜ ⎟⎝ ⎠

→ 0.714− 0.571( )=


Ortocentro. Representación gráfica de la solución dada por Geogebra.


cÁlculo simbÓlico y geometrÍa con...

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