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2009

Innovación Educativa Ricardo Villafaña Figueroa

CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE Ejemplos de Geometría Euclidiana y Geometría Analítica utilizando Maple como lenguaje de Cálculo Simbólico. Orientación a la enseñanza media superior.

2

Material desarrollado con Maple

Ricardo Villafaña Figueroa

Contenido Triángulos ............................................................................................................................................ 3

Centroide ......................................................................................................................................... 3

Recta .................................................................................................................................................... 4

Ecuación de la recta dada dos puntos ............................................................................................. 4

Intersección entre dos rectas .......................................................................................................... 6

Distancia de un punto a una recta .................................................................................................. 7

Ecuaciones de líneas paralelas ........................................................................................................ 8

Ecuaciones de líneas perpendiculares .......................................................................................... 10

Ángulo entre dos rectas ................................................................................................................ 12

Aplicaciones ................................................................................................................................... 13

La Circunferencia ............................................................................................................................... 19

Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio ............................ 19

La ecuación de la circunferencia dados tres puntos ..................................................................... 20

La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro .............................. 22

Aplicaciones ................................................................................................................................... 25

La Parábola ........................................................................................................................................ 31

Propiedades de la parábola dada su ecuación .............................................................................. 31

Encontrar la ecuación de la parábola dados su foco y su vértice ................................................. 33

Encontrar la ecuación de la parábola dados su directriz y su foco ............................................... 36

La Elipse ............................................................................................................................................. 39

Propiedades de la elipse dada su ecuación ................................................................................... 39

Definir una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje menor ............................................. 41

Definir una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje mayor ............................................. 43

3



TRIÁNGULOS

Centroide

Ejemplo

Calcular el centroide de un triángulo definido por los siguientes tres puntos: A (‐4, 0), B (3,4),

C (4, 1).

Solución Cargar la biblioteca de funciones geométricas:

Definir los tres puntos del triángulo con la función point:

Definir el triángulo con los tres puntos definidos utilizando la función triangle:

Calcular el centroide:

Calcular las coordenadas del centroide con la función coordinates:

4



Graficar el triángulo y su centroide con la función draw:

RECTA

Ecuación de la recta dada dos puntos Ejemplo

Encontrar a ecuación la recta que une los puntos A (0, 0) y B (5,5).

Solución Cargando la biblioteca de geometría:

Definiendo los dos puntos dados con la función point:

5



Definiendo la línea con los puntos dados con la función line:

Obteniendo la ecuación pedida con función Equation:

Detalles de la ecuación calculada con la función detail:

Dibujar la gráfica con la función draw:

6



Intersección entre dos rectas

Ejemplo

Encontrar la intersección de las rectas 5 2 1 0 y 5 0.

Solución

Cargando la biblioteca de geometría:

Definiendo las rectas dadas:

Encontrando la intersección entre las dos rectas con la función intersection y guardando el

resultado en la variable Int:

Con la función coordinates encontramos las coordinadas del punto buscado:

7



Dibujando las rectas:

Distancia de un punto a una recta Ejemplo

Encontrar la distancia del punto P (5,5) a la recta x y 0.

Solución


8



Definiendo el punto dado con la función point:

Definiendo la línea de la ecuación dada con la función line:

Encontrando la distancia del punto Pa la recta con la función distance:

Ecuaciones de líneas paralelas Ejemplo

Encontrar la ecuación de la línea que pasa por el punto P (2, 2) y es paralela a la recta 0.

Solución


Definiendo el punto P con la función point:

9



Definiendo la línea l con la función line:

Encontrando la ecuación paralela a la línea l con la función ParalleLine y llamándola lp:

El detalle de la línea encontrada es el siguiente:

Comprobando si las dos líneas l y lp son paralelas con la función AreParallel:

10



Dibujando las líneas y el punto:

Ecuaciones de líneas perpendiculares Ejemplo

Encontrar la ecuación de la línea que pasa por el punto P (2, 2) y es perpendicular a la recta x y 0. Graficar la recta dada y su línea perpendicular encontrada.

Solución Cargando la biblioteca de geometría:

Definiendo el punto P con la función point:

11



Definiendo la línea l con la función line:

Encontrando la ecuación paralela a la línea l con la función PerpendicularLine y llamándola lp2:

El detalle de la línea encontrada es el siguiente:

Comprobando si las dos líneas l y lp2 son paralelas con la función ArePerpendicular:

12



Dibujando las líneas y el punto:

Ángulo entre dos rectas

Ejemplo

Encontrar el ángulo entre las rectas x y 0 y x y 0.

Solución


Definiendo las dos rectas con la función line:

13



Encontrando el ángulo entre las dos rectas dada con la función FindAngle:

Aplicaciones

Ejemplo

Desde el punto C (0,7) trazar dos rectas CA y CB, que forman un ángulo de 45 grados con la recta cuya ecuación es 10 4 12.

Solución

Reiniciar todas las variables:

Cargar la biblioteca de geometría:

Definir la ecuación, y el punto dados:

14



Graficar la ecuación y el punto para visualizar el problema en esta etapa.

Obtener la pendiente de la ecuación obtenida l1 y almacenarla en la variable m1:

Convertir el ángulo dado de 45 grados en radianes para su uso en el cálculo de las pendientes:

15



Calcular la pendiente m2 a partir de la fórmula para encontrar el ángulo entre dos rectas dadas y almacenar el resultado obtenido en m2:

Definir una función general f0 para obtener la ecuación de una recta dada su pendiente y un punto:

Sustituimos el valor de la pendiente m2 y el valor del punto C (0, 7) en la fórmula general f0 definida anteriormente y obtenemos la ecuación de la primera recta pedida.

La función f2 obtenida la convertimos en un objeto reconocido por el paquete de graficación llamándole CA.

16



Graficamos los objetos encontrados hasta el momento: la línea dada l1, el punto C (0, 7) y la nueva recta CA.

Seguimos el mismo procedimiento para obtener la ecuación de la segunda recta.

Encontramos el ángulo m3 entre las rectas:

Obtenemos la ecuación y la representación de la segunda recta:

17



Encontrar el ángulo entre las tres rectas.

Ángulo entre las rectas una y dos:

Ángulo entre las rectas una y tres:

Ángulo entre las recta dos y tres:

18



Calculas las intersecciones entre las tres rectas.

Rectas uno y dos:

Rectas uno y tres:

Rectas dos y tres:

19



LA CIRCUNFERENCIA

Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en A (‐1, 5) y radio 7.

Solución

Inicio de variables y carga de bibliotecas:

Definimos la circunferencia C a partir del punto y radio dados con la función circle:

Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation:

Los detalles de la ecuación encontrada los obtenemos con la función detail:

20



Dibujar el punto y la circunferencia:

La ecuación de la circunferencia dados tres puntos

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (‐1, 4), B (1,‐ 2), C(5,2). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud de su radio y su área.

Solución


21



Definimos la circunferencia C a partir de los tres puntos dados con la función circle:

Encontramos la ecuación:

Encontramos las coordenadas del centro y la longitud del radio con la función detail:

Las coordenadas del centro también podemos encontrarlas con las funciones center y coordinates:

La longitud del radio la encontramos con la función radius:

22



El área del círculo se calcula con la función area:

Dibujamos los tres puntos y la circunferencia:

La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyos puntos finales de su diámetro son A(0,0), B (5, 0). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud del radio, dibujar la gráfica de

la circunferencia dada y calcular su área.

23



Solución

Iniciamos variables:

Cargamos la biblioteca de geometría:

Definimos la circunferencia C a partir de los dos puntos dados (la función circle asume que los puntos dados son los extremos del diámetro):

Encontramos la ecuación:

Detalles de la ecuación encontrada:

24



Encontrado el centro y sus coordenadas:

Encontrando el radio de la circunferencia:

Dibujamos la gráfica de la circunferencia

25



Calculamos el área del círculo:

Aplicaciones

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3 4 4 0 y cuyo centro está sobre las rectas 5 7 0 y 4 9 0.

Solución


Definimos las ecuaciones dadas:

Determinamos las coordenadas del centro con la función intersection:

26



Para calcular el radio de la circunferencia usamos la función distance en su forma de punto y línea:

Definimos la ecuación de la circunferencia con la función circle en su forma centro ‐ radio:

Determinamos la ecuación de la circunferencia y de las líneas:

27



28



Ejemplo

Deducir una(s) ecuación(es) del o de los círculos de radio 4, cuyo centro está en la recta 4 3 7 0 y es o son tangentes a 3 4 34 0.

Solución


Para encontrar las coordenadas del centro vamos a considerar que la ecuación de la circunferencia debe satisfacer las tres condiciones dada:

(1) El radio dado:

(2) Un punto cualquiera (h, k) que pase por la circunferencia debe también satisfacer a la recta que pasa por el centro:

(3) La tercera condición viene dada por la distancia que existe entre el radio y la recta tangente dada. Definimos primero la recta tangente en función de (h, k):

Y luego definimos la ecuación de la distancia en función de la línea obtenida el radio dado:

29



Resolvemos el par de ecuaciones encontradas con la función solve:

El par de ecuaciones nos da dos pares de valores para encontrar las ecuaciones de los círculos:

Primer círculo:


Segundo círculo:


Graficamos las circunferencias encontradas, la línea que pasa por el centro y la línea tangente.

Definimos la línea del centro para graficarla:

30



31



LA PARÁBOLA

Propiedades de la parábola dada su ecuación

Ejemplo

Encontrar para la parábola 2 25 las coordenadas del foco, las coordenadas del vértice y la ecuación de la directriz. Dibujar la gráfica de la ecuación encontrada.

Solución

Reinicializamos variables y cargamos la biblioteca de geometría:

Definimos la parábola p con la función parabola:

Las coordenadas del foco las encontramos con la función focus y sus coordenadas correspondientes con la función coordinates:

Las coordenadas del vértice las encontramos con la función vertex y la función coordinates:

32



La ecuación de la directriz la encontramos con las funciones directrix y Equation:

La función detail muestra los detalles de la parábola encontrada:

Para graficar utilizamos el paquete plots que permite graficar funciones implícitas, como es el caso de la función de la directriz.

33



Graficar:

Encontrar la ecuación de la parábola dados su foco y su vértice

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la parábola con vértice (0, 0) y foco( 1/2, 0), encontrar la ecuación de su directriz. Graficar la ecuación y su directriz encontrada.

Solución

Definimos los puntos del vértice y del foco:

34



Encontramos la ecuación de la parábola con la función parabola (observe el uso de los corchetes en la definición del vértice y del foco):

Encontramos la ecuación pedida con la función Equation: y la almacenamos en la variable pl para su uso posterior:

Encontrando la ecuación de la directriz:


35



Graficar la ecuación y su directriz:

36



Encontrar la ecuación de la parábola dados su directriz y su foco

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la parábola cuya directriz es y , 0 . Graficar la

ecuación y su directriz encontrada.

Solución

Reinicializar variables y cargar la biblioteca de geometría:

Definimos los puntos del foco:

Definimos la línea de la directriz:

Encontramos la ecuación de la parábola con los parámetros de foco y directriz:

37




Definimos las ecuaciones de la parábola y la directriz para facilitar su graficación:

38



Graficamos las ecuaciones implícitamente con la función implicitplot:

39



LA ELIPSE

Propiedades de la elipse dada su ecuación

Ejemplo

Encontrar el centro, los focos, la longitud del eje mayor y la longitud del eje menor de la siguiente elipse 2 4 4 0.

Solución

Cargamos la biblioteca con las funciones de geometría:

Definimos la elipse e1 con la función ellipse:

Encontramos el centro y sus coordenadas correspondientes con las funciones center y coordinates respectivamente:

Encontramos sus focos con la función foci:

Encontramos las coordinadas de los focos es a través de la función map:

Encontramos las longitudes del eje mayor y el eje menor de la elipse:

40



Detalles de la ecuación:

Dibujamos la gráfica de la ecuación con la función draw:

41



Definir una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje menor

Ejemplo

Dada la elipse con focos 1 4, 0 y 2 4, 0 y la longitud de su eje menor = 6, encontrar la ecuación, las coordenadas de su centro, la longitud del eje mayor y representar la ecuación en su forma ordinaria.

Solución

Cargamos la biblioteca con las funciones de geometría:

Encontrar la ecuación de la elipse en su forma foco y la longitud del eje menor:

Ecuación de la elipse:

Focos de la elipse:

Longitudes de los ejes:

42



La ecuación de la hipérbola encontrada se puede convertir a su forma ordinaria igualándola a uno de la siguiente manera:

Seleccionamos el término independiente de la ecuación:

Calculamos la forma ordinaria de la ecuación:


43



Gráfica de la ecuación:

Definir una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje mayor

Ejemplo

Dada la elipse con focos y la longitud de su eje mayor = 10, encontrar la ecuación, las coordenadas de su centro, la longitud del eje menor y representar la ecuación en su forma ordinaria.

Solución

Encontrar la ecuación de la elipse en su forma foco y la longitud del eje mayor:

Ecuación de la elipse:

44



Focos de la elipse:

Longitudes de los ejes:

La ecuación de la hipérbola encontrada se puede convertir a su forma ordinaria igualándola a uno de la siguiente manera:

Seleccionamos el término independiente de la ecuación:

Calculamos la forma ordinaria de la ecuación:

Detalles de la elipse encontrada:

45



Gráfica de la ecuación:

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