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CÁLCULO INTEGRAL

Apuntes basados en el curso impartido por Xavier Gràcia

1

ApuntsFMEBarcelona, Enero 2018

ii

Autor principal: Ernesto Lanchares.

Revisores: Òscar Benedito, Jordi Castellví, Iñaki Garrido, Miquel Ortega, Èric Sierra.

La elaboración de este documento no habría sido posible sin los apuntes de Oriol Navarrodel curso de Cálculo Integral, impartido por Xavier Gràcia en la Facultat de Matemàtiquesi Estadísitca de la Universitat Politècnica de Catalunya.

Última modificación: 24 de octubre de 2018.

This work is licensed under a Creative Commons“Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 Internatio-nal” license.

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Contenidos

1. Series numéricas e integrales impropias 11.1. Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Series de números positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Series absoluta y condicionalmente convergentes . . . . . . . . . . . . . . 9

Teorema de Riemman para series condicionalmente convergentes . . . . . 111.4. Aplicación: Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Teorema de Cauchy-Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1. Series de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Integrales impropias: definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Criterios de convergencia de integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Integración multiple 232.1. Integral de Riemann sobre rectángulos compactos . . . . . . . . . . . . . 232.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. El Teorema de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Teorema de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4. Integral de Riemann sobre conjuntos más generales . . . . . . . . . . . . 342.5. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Teorema del valor medio (alternativo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6. El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7. Teorema del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Teorema del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3. Integrales de línea y de superficie 533.1. Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Integrales de línea de funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3. Integrales de línea de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4. integral de superficie de funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5. Integrales de superficie en campos vectoriales (en R3) . . . . . . . . . . . 623.6. Integración de funciones en una subvariedad m-dimensional de Rn . . . . 65

4. Teoremas integrales del análisis vectorial 674.1. Operadores diferenciales canónicos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Fórmulas integrales de la teoría de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Teorema fundamental del cálculo, o del gradiente . . . . . . . . . . . . . 70

iii

iv CONTENIDOS

Teorema de Kelvin-Stokes, o del rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Teorema de Gauss-Ostrogradski, o de la divergencia . . . . . . . . . . . . 72

4.3. Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4. Campos en el plano: Teorema de Green y potenciales . . . . . . . . . . . 76

Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5. Operadores diferenciales en otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . 78

5. Integración de formas diferenciales y teorema de Stokes 795.1. Formas diferenciales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2. La diferencial exterior en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Lema de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3. Pullback de formas diferenciales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4. Integral de formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5. Subvariedades de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.6. Formas diferenciales en una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.7. Integración de formas diferenciales en variedades orientadas . . . . . . . . 865.8. Variedades con borde y teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Índice alfabético 91

Tema 1

Series numéricas e integralesimpropias

1.1. Series numéricasDefinición 1.1.1. Una serie de números reales es una pareja de sucesiones de númerosreales (an)n≥0, (sn)n≥0, relacionadas por

sn =n∑i=0

ai.

Denominaremmos término n-ésimo de la serie al elemento an y llamaremos suma parcialn-ésima de la serie a sn.

Observación 1.1.2. Las sumas parciales definen los términos

a0 = s0, an = sn − sn−1 (n ≥ 1).

Definición 1.1.3. Llamaremos suma de una serie a

s = lım sn = lımn→∞

n∑k=0

ai,

suponiendo que existe.

Observación 1.1.4. Denotaremos s = ∑n≥0

an =∞∑n≥0

an. Esta misma notación nos servirápara representar la serie.

Definición 1.1.5. Diremos que una serie ∑ an es convergente o divergente si lo es lasucesión de sumas parciales,

Convergente: lım sn ∈ R

Divergente: lım sn = +∞ o lım sn = −∞

Oscilante: @ lım sn.

1

2 TEMA 1. SERIES NUMÉRICAS E INTEGRALES IMPROPIAS

Observación 1.1.6. Una serie no tiene por qué comenzar por el índice 0, y por tanto,podemos considerar series con términos an donde n ≥ n0. En tal caso, las sumas parcialesson sn =

n∑k=n0

ak, y la suma (si existe)∞∑

k=n0an = lım

n→+∞

n∑k=n0

ak.

Definición 1.1.7. Sea r ∈ R. Llamaremos serie geométrica de razón r a la serie∑n≥0

rn.

Proposición 1.1.8. La serie geométrica es convergente si y solo si |r| < 1, en tal caso lasuma es ∑

n≥0rn = 1

1− r .

Demostración. Primero, calculamos el término n-ésimo

sn = 1 + r + · · ·+ rn =

n+ 1 si r = 1rn+1−1r−1 si r 6= 1

Si r = 1, lım sn = lımn→+∞

n+ 1 = +∞.

Si |r| > 1, lım sn = lımn→+∞

rn+1−1r−1 = +∞.

Si |r| < 1, lım sn = lımn→+∞

rn+1−1r−1 = −1

r−1 .

Si r = −1, sn = 0 si n par y sn = 1 si n impar. Por lo tanto, la serie es oscilante.

Proposición 1.1.9. Si ∑ an es convergente, entonces lım an = 0.

Demostración. Sabemos que an = sn − sn−1, por lo tanto lım an = lım(sn − sn−1), comolım sn existe (y por lo tanto también lım sn−1)

lım an = lım(sn − sn−1) = lım sn − lım sn−1 = 0.

Proposición 1.1.10. Criterio de Cauchy para series. La serie ∑ an es convergente si∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que

m,n ≥ n0 =⇒ |sm − sn| = |am + am−1 · · ·+ an| < ε.

Proposición 1.1.11. Linealidad. Sean α, β ∈ R y sean ∑ an y ∑ bn series convergentes.Entonces ∑(αan + βbn) también lo es y ∑(αan + βbn) = α

∑an + β

∑bn.

1.2. SERIES DE NÚMEROS POSITIVOS 3

Proposición 1.1.12. Sean dos sucesiones (an) y (bn), iguales salvo en número finito detérminos, entonces las series ∑ an y ∑ bn tienen la misma convergencia.

Demostración. Sea dn = bn − an, que vale 0 salvo en número finito de términos

Si ∑ an converge, ∑bn = ∑

an +Suma finita︷︸︸︷∑

dn =⇒ ∑bn converge.

Si ∑ an diverge, ∑bn = ∑

an +∑dn =⇒ ∑

bn diverge.

Si ∑ an oscila, ∑bn = ∑

an +∑dn =⇒ ∑

bn oscila.

Proposición 1.1.13. Asociatividad. Sea ∑ an una serie y (nk)k≥0 una sucesión estricta-mente creciente de números naturales, definimos

b0 = a0 + · · ·+ an0 , bk = a(nk−1+1) + · · ·+ ank .

Si existe la suma de ∑ an, entonces también existe la suma de ∑ bk y son iguales.

Demostración. Sea An =n∑i=0

ai y Bk =k∑i=0

bi, por la definición anterior se tiene queBk = Ank y por lo tanto (Bk) es una sucesión parcial de (An), lo cual implica que si (An)converge, (Bk) también y lo hace al mismo número.

1.2. Series de números positivosProposición 1.2.1. Si una serie ∑ an es de términos positivos (an ≥ 0) entonces lasucesión (sn) de sumas parciales es creciente, y por tanto, siempre tiene límite:∑

an = lım sn = supn∈N

sn.

Este puede ser finito (si la sucesión de sumas parciales es acotada) o infinito (en casocontrario).

Proposición 1.2.2. Criterio de comparación directa. Sean∑ an y∑bn series de términos

positivos. Si ∃n0 tal que an ≤ bn (∀n ≥ n0), entonces∞∑

n=n0

an ≤∞∑

n=n0

bn.

Por tanto, la convergencia de ∑ bn implica la de ∑ an y la divergencia de ∑ an implica lade ∑ bn.

Demostración. Por el enunciadon∑

i=n0

ai ≤n∑

k=n0

bk =⇒∞∑i=n0

ai ≤∞∑

k=n0

bk.

Los términos a0, · · · , an0 se pueden añadir al sumatorio y no alteran la convergencia.


Definición 1.2.3. Llamamos serie harmónica a la serie∑n≥1

1n.

Definición 1.2.4. Sea p ∈ R. Llamaremos serie harmónica generalizada o serie de Riem-man de parámetro p a la serie ∑

n≥1

1np.

Proposición 1.2.5. La serie de Riemman es convergente si y solo si p > 1.

Demostración. Distinguiremos entre varios casos:

Si p = 1. Suponemos que la serie es convergente con suma s

s =(

1 + 12

)+(

13 + 1

4

)+· · · >

(12 + 1

2

)+(

14 + 1

4

)+· · · = 1+ 1

2 + 13 + 1

4 +· · · = s,

contradicción ya que s > s.

Si p < 1.np ≤ n =⇒ 1

np≥ 1n

y por comparación directa con la serie harmónica, diverge.

Si p > 1.

∑n≥1

1np

= 1 +(

12p + 1

3p

)+(

14p + 1

5p + 16p + 1

7p

)+ · · · ≤

≤ 1 +(

12p + 1

2p

)+(

14p + 1

4p + 14p + 1

4p

)= 1 + 1

2p−1 + 122(p−1) + · · ·

que es una serie geométrica de razón 12p−1 < 1 y por lo tanto convergente.

Proposición 1.2.6. Criterio de comparación en el límite. Sean ∑ an y ∑ bn series detérminos estrictamente positivos. Suponemos que existe el límite

lım anbn

= l ∈ [0,+∞].

Si l < +∞: ∑ bn converge =⇒ ∑an converge y ∑ an diverge =⇒ ∑

bn diverge.

Si l > 0: ∑ an converge =⇒ ∑bn converge y si ∑ bn diverge =⇒ ∑

an diverge.

Si 0 < l < +∞: Entonces las dos series tienen el mismo caracter.

Demostración. Provaremos cada caso de manera individual


Caso l < +∞. Fijado ε > 0, por definición de límite, existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ anbn

< l + ε =⇒ an < (l + ε)bn

y el resultado queda provado por comparación directa.

Caso l > 0. Se deduce del primer caso, considerando

lım bnan

= 1l

Caso 0 < l < +∞. Se trata de una conjunción de los casos anteriores

Lema 1.2.7. Sea ∑ an una serie de términos positivos.

Suponemos que hay n0 ∈ N y r < 1 tal que

n ≥ n0 =⇒ a1/nn < r,

entonces ∑ an < +∞.

Suponemos que existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ a1/nn ≥ 1,

entonces ∑ an = +∞.

Demostración. Provaremos cada caso por separado

a1/nn < r =⇒ an < rn que es la serie geométrica de razón r < 1, de modo que por

comparación directa el resultado queda demostrado.

a1/nn ≥ 1 =⇒ an ≥ 1 y por lo tanto diverge.

Proposición 1.2.8. Criterio de la raíz de Cauchy. Sea ∑ an una serie de términos po-sitivos. Suponemos que existe lım a1/n

n = α, entonces, si α > 1 la serie diverge y si α < 1la serie converge.

Demostración. Demostraremos cada caso por separado

Caso α < 1. Sea α < r < 1. Existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ a1/nn ≤ r.

El resultado queda provado aplicando el lema anterior.


Caso α > 1. Existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ a1/nn ≥ 1,

y aplicamos el lema anterior.

Lema 1.2.9. Sea ∑ an una serie de términos estrictamente positivos.

Suponemos que hay n0 ∈ N y r < 1 tal que

n ≥ n0 =⇒ an+1

an≤ r,

entonces ∑ an < +∞.

Suponemos que existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ an+1

an≥ 1,

entonces ∑ an = +∞.

Demostración. Separaremos los casos.an+1an≤ r:

an+1

an≤ r =⇒ an+1 ≤ ran =⇒ an ≤ Crn (n ≥ n0)

donde C = an0rn0 y, por el criterio de comparación directa, ∑ an converge.

an+1an≥ 1:

an+1

an≥ 1 =⇒ an+1 ≥ an =⇒ an es creciente =⇒

∑an diverge.

Proposición 1.2.10. Criterio del cociente de Alembert. Sea ∑ an una serie de términosestrictamente positivos. Suponemos que existe lım an+1

an= α, entonces

Si α > 1 la serie diverge.

Si α < 1 la serie converge.

Demostración. Separamos los dos casos

Si α < 1. Sea α < r < 1 entonces ∃n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ an+1

an≤ r



Si α > 1. Entonces ∃n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ an+1

an≥ 1


Ejemplo 1.2.11. Estudiar la convergencia de∑n≥0

1n! . n! crece más que n2 (n! > n2) =⇒ 1

n! <1n2 que es la serie de Riemman de

parámetro 2 (convergente). Por tanto,∞∑n≥0

1n! es convergente.

∑ xn

n! para x > 0.

lımn→∞

xn+1

(n+1)!xn

n!= lım

n→∞

xn+1n!xn(n+ 1)n! = lım

n→∞

x

n+ 1 = 0 < 1.

Por lo tanto, aplicando el criterio del cociente de Alembert, la serie coverge.∑αn+

√n.

lımn→∞

αn+√n

n = lımn→∞

α1+ 1√

n = α.

Por lo tanto, por el criterio de la raíz,

α < 1 convergenteα > 1 divergente

. Si α = 1, la serie es∑ 1n+

√n = ∑ 1 que es divergente.

Observación 1.2.12. Los criterios anteriores no deciden cuando α = 1. Como an+1/an →α implica que a1/n

n → α, si el criterio del cociente no decide, entonces el de la raíz tampoco.

Proposición 1.2.13. Criterio de Raabe. Sea ∑ an una serie de términos estrictamentepositivos tal que existe el límite

L = lımn→∞

n

(1− an+1

an

).

Si L > 1, la serie ∑ an es convergente. Si L < 1, la serie ∑ an es divergente.

Proposición 1.2.14. Criterio de condensación. Sea (an) una sucesión de números posi-tivos decreciente, entonces

∞∑n=0

an converge ⇐⇒∞∑n=0

2na2n converge


Proposición 1.2.15. Criterio logarítmico. Sea ∑ an una serie de términos positivos talque existe el límite

L = lımn→∞

− ln(an)ln(n) = lım

n→∞

ln(

1an

)ln(n) .

Si L > 1, la serie ∑ an es convergente. Si L < 1, la serie ∑ an es divergente.

Proposición 1.2.16. Criterio de la integral. Sea n0 ∈ N y f : [n0,+∞) → R positiva,localmente integrable y decreciente. Consideramos an = f(n) (n ≥ n0), entonces

i) La serie ∑ an y la integral impropia∫+∞n0

f tienen el mismo carácter.

ii) Para N ≥ n0∞∑

n≥n0

an =N−1∑n=n0

an +∫ +∞

Nf + εN

donde εN ∈ [0, aN ].

Ejemplo 1.2.17.

∑ 1nα

tiene el mismo carácter que∫∞

11xα

dx (convergente ⇐⇒ α > 1)

Calcular ∑n≥1

1n1,01 con error < 10−3.

Necesitamos que

1N1,01 < 10−3 =⇒ N > 10001/1,01 =⇒ N ≥ 934

Calculamos ahora

933∑n=1

1n1,01 +

∫ +∞

934

dxx1,01 ' 100,577 '

∑n≥1

1n1,01

Proposición 1.2.18. Sea ∑ an una serie de términos positivos. Dada cualquier permu-tación σ : N→ N, la serie ∑ aσ(n) tiene la misma suma que ∑ an.

Demostración. Sea An =n∑k=0

ak y Bn =n∑k=0

aσ(k) y sean A = lımAn y B = lımBn. Seam ∈ N, entonces ∃n ∈ N tal que

0, 1, . . . ,m ≤σ(0), σ(1), . . . , σ(n)

,

ya que σ es suprayectiva. Entonces a0 + a1 + · · · + am ≤ aσ(0) + aσ(1) + · · · + aσ(n) porlo tanto, Am ≤ Bn =⇒ A ≤ B. Haciendo el mismo razonamiento para σ−1 (biyectiva),obtenemos que B ≤ A. Y por lo tanto, A = ∑

an = ∑aσ(n) = B.

1.3. SERIES ABSOLUTA Y CONDICIONALMENTE CONVERGENTES 9

1.3. Series absoluta y condicionalmente convergentes

Definición 1.3.1. Diremos que una serie ∑ an es absolutamente convergente, si la serie∑|an| es convergente.Proposición 1.3.2. Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Demostración. Aplicamos criterio de Cauchy para series a ∑|an|: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que

m > n ≥ n0 =⇒∣∣|an+1|+ · · ·+|am|

∣∣ < ε. =⇒ |an+1|+ · · ·+|am| < ε.

De donde se deduce que

|an+1 + · · ·+ am| < |an+1|+ · · ·+|am| < ε,

por la desigualdad triangular. Y por lo tanto, ∑ an cumple el criterio de Cauchy.

Definición 1.3.3. Una serie convergente, que no es absolutamente convergente, se diceque es condicionalmente convergente.

Ejemplo 1.3.4. La serie armónica alternada ∑ (−1)nn

es condicionalmente convergente.

Proposición 1.3.5. Si ∑ an y ∑ bn son absolutamente convergentes, y λ ∈ R, entonces∑(an + bn) y ∑λan son absolutamente convergentes.

Definición 1.3.6. Sea a ∈ R. Definimos a+ (la parte positiva de a) como a+ = max(a, 0),asimismo, definimos la parte negativa de a como a− = max(−a, 0).

Observación 1.3.7. Dado un a, podemos expresar a = a+ − a− y |a| = a+ + a−.

Observación 1.3.8. Dada f : X → R, podemos hacer exactamente lo mismo, (f =f+ − f−, |f | = f+ + f−).

Ejemplo 1.3.9.


1 2 3 4 5 6

−1

−0,5

0,5

1

sin(x)sin+(x)sin−(x)

Lema 1.3.10. Sea (an) una sucesión de números reales. Sean (pn) y (qn) sus partespositiva y negativa (respectivamente),

i) ∑ an converge absolutamente ⇐⇒ ∑pn,

∑qn son convergentes.

ii) Si ∑ an es condicionalmente convergente, entonces ∑ pn y ∑ qn son divergentes.

Demostración.

i) Se tiene quen∑k=0|ak| =

n∑k=0

pk +n∑k=0

qk.

Si ∑|an| converge =⇒ ∑pn y ∑ qn tienen el mismo carácter, como ambas son

series de términos positivos, ∑ pn y ∑ qn convergen.El recíproco es directo por linealidad.

ii) Se tiene quen∑k=0

ak =n∑k=0

pk −n∑k=0

qk.∑pn y ∑ qn no pueden ser las dos convergentes por i) y tampoco puede ser que solo

una de las dos sea divergente, porque entonces ∑ an divergería.

Proposición 1.3.11. Si una serie es absolutamente convergente, entonces todas sus seriesreordenadas son convergentes con la misma suma. Es decir, ∀σ : N → N permutación,∑an = ∑

aσ(n).

Demostración. Primero, escribimos

an = pn − qnan abs. conv.=⇒

∑an =

∑pn −

∑qn.

Consideramos ahora σ : N→ N permutación, entonces, ∑ aσ(n) también es absolutamenteconvergente (∑|aσn| = ∑|an| reordenando términos positivos). Ahora tenemos que∑

aσ(n) =∑

pσ(n) −∑

qσ(n)términospositivos

=

∑pn −

∑qn =

∑an.

1.3. SERIES ABSOLUTA Y CONDICIONALMENTE CONVERGENTES 11

Teorema 1.3.12. Teorema de Riemman para series condicionalmente convergentes.Sea ∑ an una serie condicionalmente convergente. ∀s ∈ [−∞,+∞] existe una reorenaciónde la serie σ : N→ N (permutación) tal que ∑ aσ(n) = s.

Definición 1.3.13. Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signoalternativamente. Es decir, una serie de la forma ∑(−1)nan donde an ≥ 0.

Proposición 1.3.14. Criterio de Leibnitz. Si (an) es una sucesión descendiente de tér-minos positivos con lım an = 0, entonces ∑(−1)nan es convergente. Además, si SN es laN -ésima suma parcial de ∑(−1)nan y S es su suma, |S − Sn| ≤ an+1.

Demostración. Consideramos la serie (S2N),

S2N+2 = S2N +≤0︷︸︸︷

(a2N+1 + a2N+2) ≤ S2N .

Por lo tanto, (S2N) es descendiente, acotada inferiormente por a0 − a1. Consideramosahora (S2N+1),

S2N+3 = S2N+1 +≥0︷︸︸︷

(a2N+2 + a2N+3) ≥ S2N+1.

Con lo cual (S2N+1) es creciente. Además se tiene que

a0 − a1 = S1 ≤ S2N+1 ≤ S2N ≤ S0 = a0. (1.1)

Con lo cual deducimos que tanto (S2N) como (S2N+1) son convergentes (monótonas yacotadas). Por último, tenemos que

lım(S2N − S2N−1) = lım a2N = 0 =⇒lımS2N = S

lımS2N+1 = S

=⇒ lımSN = S.

Para acabar, sabemos por (1.1) que S está dentro del intervalo de extremos SN y SN+1de longitud aN+1, por lo tanto |S − SN | ≤ aN+1.

Ejemplo 1.3.15. La serie harmónica alternada, ∑ (−1)nn

es convergente por el criterio deLaibnitz.

Hay otros criterios de convergencia para series cualesquiera, entre los cuales destaca elcriterio de Dirichlet.Proposición 1.3.16. Critero de Dirichlet. Sean (an) y (bn) dos sucesiones numéricas.Suponemos que

i) las sumas parciales sn de la serie ∑ an están acotadas y

ii) la sucesión (bn) es positiva y decreciente con límite 0.Entonces la serie ∑ anbn es convergente.


1.4. Aplicación: Series de potenciasDefinición 1.4.1. Una serie de potencias (centrada en 0) es una expresión∑

n≥0anx

n,

donde an son los coeficientes de la serie. A menudo, notaremos simplemente ∑ anxn.

Lema 1.4.2. El conjunto de los r ≥ 0 tales que ∑|an| rn converge es un intervalo quecontiene el 0.

Demostración. Si 0 ≤ s ≤ r y ∑|an| rn converge, entonces ∑|an| sn converge también porcomparación directa (|an| sn ≤|an| rn) y

∑|an| 0n converge a 0 trivialmente.

Definición 1.4.3. Sea ∑ anxn una serie de potencias y sea I el intervalo de los r ≥

tales que ∑|an| rn converge. Llamamos radio de convergencia de la serie a R el extremosuperior del intervalo I. Denominamos dominio de convergencia de la serie al intervalo(−R,R).

Observación 1.4.4. La serie puede converger en los puntos frontera del dominio deconvergencia.

Observación 1.4.5. Los casos extremos corresponden a R = 0 (la serie solo convergepara x = 0) y R = +∞ (la serie converge para todo x).

Teorema 1.4.6. Teorema de Cauchy-Hadamard.Sea ∑ anx

n una serie de potencias. Su radio de convergencia R viene dado por

1R

= lım sup|an|1/n .

La serie de potencias es absolutamente convergente si |x| < R y es divergenete si |x| > R.

Observación 1.4.7. A priori no se puede afirmar nada cuando |x| = R.

Demostración. Separaremos la demostración en varios casos

Caso 0 < R < +∞. Sea 0 < |x| < R. Existe C < 1 tal que

|x| < CR =⇒ 1R<C

|x|.

Por lo tanto, si n es suficientemente grande

|an|1/n ≤ C

|x|=⇒ |anxn| ≤ Cn.

1.4. APLICACIÓN: SERIES DE POTENCIAS 13

Como Cn es la serie geométrica de razón C < 1, la serie converge.Sea ahora |x| > R, tenemos que 1

R> 1|x| . Hay infinitos n tal que

|an|1/n >

1|x|

=⇒ |anxn| > 1.

Por lo tanto anxn no tiende a 0 y por lo tanto la serie no converge.

Caso R = +∞. Entonces lım sup|an|1/n = 0. Por lo tanto, para n suficientemente

grande ∃C < 1 tal que |an|1/n < C

|x| =⇒ |anxn| < Cn y por lo tanto la serie converge.

Caso R = 0. Entonces ∀x hay infinitos n tales que |an|1/n > 1

|x| =⇒ |anxn| > 1 6= 0y por lo tanto, la serie diverge.

Observación 1.4.8. El radio de convergencia también se puede calcular con las expre-siones

1R

= lım|an|1/n 1

R= lım |an+1|

|an|Suponiendo que los límites existan.

Ejemplo 1.4.9.∑n!xn, 1

R= lım (n+1)!

n! = lım(n+ 1) = +∞ =⇒ R = 0.∑xn, 1

R= lım 11/n = 10 = 1 =⇒ R = 1.∑ xn

n! ,1R

= lım n!(n+1)! = lım 1

n+1 = 0 =⇒ R = +∞.

Las series ∑n≥0

xn, ∑n≥1

xn

ny ∑ xn

n2 tienen R = 1, pero tienen comportamiento distintoen la frontera.

Definición 1.4.10. Si una serie de potencias ∑ anxn tiene radio de convergencia R > 0,

define una funciónf : (−R,R)→ R

x 7→ f(x) =∑

anxn

Observación 1.4.11. Se puede probar que f es continua, integrable y derivable “términoa término”.

Observación 1.4.12. La serie derivada término a término tiene radio de convergenciaR, y por lo tanto, la función es de clase C∞.


Demostración. Primero, consideramos la función derivada f ′(x) = ∑n≥0

nanxn−1 = ∑

k≥0(k+

1)ak+1xk, calculamos ahora el radio de convergencia por la definición.

lım sup|n+ 1|1/n|an+1|1/n = lım sup|n|1/n− 1|an|

1/n− 1 = lım sup(n

1/n|an|1/n) nn−1 = 1

R,

además

f (k)(0) = k!ak → f(x) =∑k≥0

f (k)(0)k! xk.

Definición 1.4.13. Una función tal que alrededor de cada punto se puede expresar comouna serie de potencias (convergente) se llama analítica.

Definición 1.4.14. Sea D un intervalo abierto tal que 0 ∈ D y sea f : D → R de claseC∞. Entonces, f define una serie de potencias

∑n≥0

f (n)(0)n! xn,

que es la serie de Taylor de f (centrada en 0).

Proposición 1.4.15. Sea D un intervalo abierto tal que 0 ∈ D y sea f : D → R declase C∞. Suponemos que la serie de Taylor de f tiene radio de convergencia R > 0.Recordando la fórmula de Taylor f(x) = Pn(x) + Rn(x) (donde Pn es el polinomio deTaylor de grado ≤ n de f en 0, y Rn el correspondiente residuo de Taylor), por tanto enD ∩ (−R,R),

f(x) =∑n≥0

f (n)(0)n! xn ⇐⇒ lım

n→∞Rn(x) = 0.

Observación 1.4.16. Hay funciones f : R→ R de clase C∞ tales que su serie de Taylor(centrada en 0) converge para todo x, pero no coincide con f(x) en ningún punto salvoel origen.Hay funciones f : R → R de clase C∞ tales que su serie de Taylor (centrada en 0) tieneradio de convergencia 0.

Ejemplo 1.4.17. La función f(x) =

0 si x ≤ 0e−

1/x2 si x > 0

1.4. APLICACIÓN: SERIES DE POTENCIAS 15

−1 −0,5 0,5 1 1,5 2

−1

−0,5

0,5

1

Su serie de Taylor es nula (f (k)(0) = 0 ∀k ∈ N). Pero f no se anula en ningún entorno de0 =⇒ f no coincide con la serie de Taylor en ningún entorno de 0.

Proposición 1.4.18. Algunas series de Taylor importantes.

ex =∑n≥0

xn

n! ∀x ∈ R.

cos(x) =∑n≥0

(−1)n x2n

(2n)! ∀x ∈ R.

sin(x) =∑n≥0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)! ∀x ∈ R.

log(1 + x) =∑n≥1

(−1)n+1xn

n|x| < 1.

(1 + x)p =∑n≥0

(p

n

)xn

x ∈ R si p ∈ N|x| < 1 si p /∈ N

.

(1 + x)−1 =∑n≥0

(−1)nxn |x| < 1.

Ejemplo 1.4.19.∑n≥0

1n! = e1 = e.

1(1− x) =

∑n≥0

xn =⇒∑n≥1

nxn−1 =(

1(1− x)

)′= 1

(1− x)2 .

Por lo tanto ∑n≥1

nxn = x

(1− x)2 .

f = arctan(x) con |x| < 1 (a partir de f ′(x) = 11+x2 )

11 + x2 =

∑n≥0

(−1)nx2n =⇒ arctan(x) =∫ 1

1 + x2 dx =∑n≥0

(−1)n x2n+1

2n+ 1 .


1.4.1. Series de números complejosDefinición 1.4.20. La definición de serie, de serie convergente y de serie absolutamenteconvergente, es la misma si, en vez de considerar números reales, consideramos númeroscomplejos.

Proposición 1.4.21. Una serie ∑ cn de números complejos es convergente si y solo si loson separadamente sus partes real e imaginaria.

Proposición 1.4.22. Toda serie ∑ cn de números complejos absolutamente convegente,es convergente.

Observación 1.4.23. El estudio de las series de potencias es completamente análogo.En el caso complejo, si la serie de potencias ∑ cnz

n tiene radio de convergencia R ( 1R

=lım sup|cn|

1/n). Entonces, el dominio de convergencia es un disco abierto |z| < R del planocomplejo.

Observación 1.4.24. La serie de Taylor de la función exponencial real permite definirla exponencial compleja como

ez =∑n≥0

zn

n! ,∀z ∈ C.

Proposición 1.4.25. Tomando z ∈ C un imaginario puro, y separando las partes real eimaginaria de las potencias, obtenemos la formula de Euler,

eix = cos(x) + i sin(x).

En particular para x = π, se tiene que eiπ + 1 = 0.

1.5. Integrales impropias: definición y ejemplosDefinición 1.5.1. Sea D ⊂ R un intervalo, y f : D → R una función. Diremos que f eslocalmente integrable si es integrable para todo intervalo compacto K ⊂ D.

Observación 1.5.2. Si consideramos por ejemplo, f : [a, b) → R con a < b ≤ +∞.Entonces, f es localmente integrable si es integrable en cualquier intervalo [a,M ] dondea < M < b.En tal caso, podemos estudiar la integral impropia∫ b

af := lım

M→b−

∫ M

af.

Observación 1.5.3. A veces se dice que una integral impropia es

De primera especie, si el intervalo no es acotado.

1.5. INTEGRALES IMPROPIAS: DEFINICIÓN Y EJEMPLOS 17

De segunda especie, si la función no es acotada.

De tercera especie, sin ni la función ni el intervalo son acotados.

Definición 1.5.4. Diremos que la integral impropia es convergente si ∃∣∣∣∫ ba f ∣∣∣ < +∞, y

divergente si ∃∫ ba f = ±∞.

Observación 1.5.5. De forma totalmente análoga, podemos considerar la integral im-propia de una función f : (a, b]→ R localmente integrable, con −∞ ≤ a < b.

Definición 1.5.6. Consideramos una función localmente integrable f : (a, b) → R. Sitomamos un punto arbitrario c tal que a < c < b, podemos descomponer

∫ b

af :=

∫ c

af +

∫ b

cf = lım

M→a+

∫ c

M+ lım

N→b−

∫ N

cf

y estudiar las dos integrales impropias. Si las dos son convergentes, una es convergentey la otra divergente o las dos son divergentes con el mismo signo, entonces se define laintegral impropia del primer miembro como la suma de las dos del segundo miembro.

Observación 1.5.7. Más generalmente, podemos considerar una función localmente in-tegrable definida en un dominio D que sea unión finita y disjunta de intervalos. Entonces,definimos

∫D f como la suma de las integrales sobre estos intervalos, suponiendo que sean

convergentes.

Proposición 1.5.8. Consideramos una función integrable por Riemman, f : [a, b] → R,entonces ∫ a

bf = lım

M→b−

∫ M

af.

Observación 1.5.9. Así, la notación introducida para las integrales impropias no pro-duce ningún conflicto con la notación habitual definida para integrales “propias”.

Ejemplo 1.5.10. Algunos ejemplos de integrales importantes son∫ +∞

1

dxxα

. Es convergente si y solo si α > 1(y vale 1

α−1

). Y es divergente si α ≤ 1.

lımM→+∞

∫ M

1

dxxα

=

α = 1 lım

M→+∞[log x]M1 = +∞

α 6= 1 lımM→+∞

[x−α+1

−α+1

]M1

= lımM→+∞

M−α+1−1−α+1 =

1

α−1 si α > 1+∞ si α < 1

∫ 1

0

dxxα

. Es convergente si y solo si α < 1(y vale 1

1−α

). Y es divergente si α ≥ 1.


Podemos observar que ∫ +∞

0

dxxα

=∫ 1

0

dxxα

+∫ +∞

1

dxxα

= +∞,

independientemente del valor de α.∫ +∞

0e−ax dx. Es convergente si y solo si α > 0

(y vale 1

α

).

Ejemplo 1.5.11.∫+∞0

dx1+x2 ∫ +∞

0

dx1 + x2 = lım

M→+∞[arctan x]M0 = π

2∫ +∞

−∞

dx1 + x2 =

∫ 0

−∞

dx1 + x2 +

∫ +∞

0

dx1 + x2 = π.

∫ 1−1

dxx2 ∫ 1

−1

dxx2 =

∫ 0

−1

dxx2 +

∫ 1

0

dxx2 = +∞.

Pero[− 1x

]1−1

= −2, es decir, que no podemos aplicar la regla de Barrow.∫ +∞

−∞x dx: No existe

∫ 10

1x2 cosx dx ∫ 1

0

1x2 cosx dx =

[cos 1

x

]1

0= · · · No existe.

Observación 1.5.12. Las reglas de cálculo de integrales se aplican a las integrales im-propias teniendo en cuenta que hay que aplicar un límite. Explicitamos algunas.

Proposición 1.5.13. Linealidad. Si∫ ba f ,

∫ ba g son integrales impropias convergentes,

también lo es∫ ba (f + g) =

∫ ba f +

∫ ba g.

Si∫ ba f es convergente y λ ∈ R

∫ ba λf = λ

∫ ba f .

Proposición 1.5.14. Regla de Barrow. Si f es continua y f = F ′ en [a, b), entonces∫ b

af = lım

M→bF (M)− F (a),

suponiendo que el límite exista.

Proposición 1.5.15. Integración por partes. Suponemos que f, g son funciones de claseC 1 en [a, b). Entonces ∫ b

af ′g = lım

t→b

[f(x)g(x)

]x=tx=a −

∫ b

ag′f,

suponiendo que los miembros del segundo término existan.

1.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS 19

1.6. Criterios de convergencia de integrales impro-pias

Proposición 1.6.1. Criterio de Cauchy para integrales impropias. Sea f : [a, b)→ R unafunción localmente integrable. La integral impropia

∫ ba f es convergente si y solo si ∀ε > 0

∃c0 ∈ [a, b) tal que

c0 ≤ c1 < c2 < b =⇒∣∣∣∣∣∫ c2

c1f

∣∣∣∣∣ < ε.

Demostración. Es consecuencia del criterio de Cauchy aplicado a la función

F : [a, b)→ R

x 7→ F (x) =∫ x

af

y el límite lımx→b−

F (x) existe si y solo si para todo ε > 0 existe c0 tal que

a ≤ c0 ≤ c1 < c2 < b =⇒∣∣F (c2)− F (c1)

∣∣ =∣∣∣∣∣∫ c2

c1f

∣∣∣∣∣ < ε.

Definición 1.6.2. Diremos que una integral impropia∫ ba f es absolutamente convergente,

si la integral impropia∫ ba |f | es convergente.

Proposición 1.6.3. Si∫ ba f es absolutamente convergente, es convergente.

Demostración. Aplicamos el criterio de Cauchy a∫ ba |f |. ∀ε > 0, ∃c0 ≥ a tal que c0 ≤ c1 <

c2 < b =⇒∣∣∣∫ ba |f |∣∣∣ =

∫ ba |f | < ε y utilizando que

∣∣∣∫ ba f ∣∣∣ ≤ ∫ ba |f |, tenemos que∣∣∣∣∣∫ b

af

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a|f | < ε.

Y por lo tanto,∫ ba f también satisface el criterio de Cauchy, y por lo tanto, es convergente.

Definición 1.6.4. Una integral impropia convergente pero no absolutamente convegente,diremos que es condicionalmente convergente.

Proposición 1.6.5. Sea f : [a, b) → R (con a < b ≤ +∞) localmente integrable ypositiva (f ≥ 0), entonces, la función

F (x) =∫ x

af

es creciente, y por lo tanto, siempre existe el límite

lımx→b

F (x) = supx≥a

F (x).


Si F es acotada, entonces la integral imporopia∫ ba f es convergente, en caso contrario, es

divergente.

Proposición 1.6.6. Criterio de comparación directa. Sean f, g : [a, b) → R funcionespositivas y localmente integrables. Si f ≤ g, entonces

∫ b

af ≤

∫ b

ag.

Por lo tanto, si la segunda converge, la primera también y si la primera diverge, la segundatambién.

Demostración.

f ≤ gCálculo I=⇒

∫ x

af ≤

∫ x

ag =⇒ lım

x→b

∫ x

af ≤ lım

x→b

∫ x

ag =⇒

∫ b

af ≤

∫ b

ag.

Proposición 1.6.7. Criterio de comparación en el límite. Sean f, g : [a, b)→ R estricta-mente positivas y localmente integrables. Suponemos que existe el límite

lımx→b−

f(x)g(x) = L ∈ [0,+∞].

Entonces,

i) Si L < +∞, si∫ ba g < +∞ =⇒

∫ ba f < +∞

(∫ ba f = +∞ =⇒

∫ ba g = +∞

)

ii) Si L > 0, si∫ ba f < +∞ =⇒

∫ ba g < +∞

(∫ ba g = +∞ =⇒

∫ ba f = +∞

)

iii) Si 0 < L < +∞, ambas integrales tienen el mismo carácter.

1.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS 21

Demostración.

i) Fijada ε > 0, existe x0 con a < x0 < b tal que

x0 ≤ x < b =⇒ f(x)g(x) < L+ ε =⇒ f(x) < (L+ ε)g(x).

Y aplicamos comparación directa.

ii) Consideramos

lımx→b−

g(x)f(x) = lım

x→b−1f(x)g(x)

= 1L< +∞.

Por álgebra de límites. Ahora, aplicamos i).

iii) Es consecuencia directa de i) y de ii).

Proposición 1.6.8. Criterio de Dirichlet. Sean f, g : [a, b) → R funciones localmenteintegrables. Suponemos que

hay una constante M > 0 tal que, si a < c < b,∣∣∣∫ ca f ∣∣∣ < M y

g es decreciente con lımx→b

g(x) = 0.

Entonces, la integral impropia∫ ba f(x)g(x) dx es convergente.

Ejemplo 1.6.9.∫+∞−∞ e−x

2 dx = 2∫+∞

0 e−x2< +∞, ya que

e−x2 ≤ e−x =⇒

∫ +∞

1e−x dx < +∞ =⇒

∫ +∞

1e−x

2 dx < +∞

∫+∞1

(1− cos 1

x

)dx < +∞, ya que

cos z = 1− z2

2 + o(z3) =⇒ 1− cos z ∼ z2

2 =⇒ 1− cos 1x∼ 1

2x2 .

Por lo tanto, 1− cos 1xy 1

2x2 son infinitesimos equivalentes, es decir,

lımx→∞

1− cos 1x

12x2

= 1.

Como sabemos que∫+∞

1dxx2 < +∞, aplicamos comparación en el límite.

Ejemplo 1.6.10. La integral impropia∫+∞

0sinxx

dx es condicionalmente convergente.Primero, observamos que la función es el seno cardinal

sincx =

sinxx

si x 6= 01 si x = 0


que es de clase C∞, por lo tanto, la integral es de primera especie (es impropia por elintervalo). Por lo tanto, podemos estudiar la integral

∫+∞1

sinxx

dx que tendrá el mismocarácter que la original.Vemos que es convergente.∫ +∞

1

sin xx

dx =[−cosx

x

]+∞

1−∫ +∞

1−cosx

x2 dx.

Ahora observamos que el primero de los sumandos vale cos(1) y el segundo sumando, esabsolutamente convergente porque

|cosx|x2 ≤ 1

x2 y∫ +∞

0

dxx2 < +∞.

Ahora, veremos que∫+∞

1|sinx|x

es divergente. Primero, tenemos que sin2 xx

< |sinx|x

y, también

∫ +∞

1

sin2 x

xdx =

∫ +∞

1

1− cos(2x)2

1x

dx =x− 1

2 sin(2x)2

1x

+∞

1

+∫ +∞

1

x− 12 sin(2x)

21x2 dx =

= 12 −

12 + sin 2

4 + 12

∫ +∞

1

dxx

+ 14

∫ +∞

1

sin(2x)x2 dx = +∞.

Ya que la segunda integral es absolutamente convergente (por la misma razón que lo era∫+∞1

cosxx2 ).

Tema 2

Integración multiple

2.1. Integral de Riemann sobre rectángulos compac-tos

Definición 2.1.1. Un rectángulo de Rn es un producto A := I1 × · · · × In donde Ij ∈ Rson intervalos que suponemos acotados y no degenerados, es decir, ni vacios, ni reducidosa un punto.

Si los Ij son compactos o abiertos, también lo es A.

Definición 2.1.2. La medida o volumen n-dimensional (o área si n = 2) de un rectánguloacotado A = I1 × · · · × In es el producto de las longitudes de sus costados, es decir

vol(A) = long(I1)× · · · × long(In)

Observación 2.1.3. Recoredemos que denominamos partición de un intervalo compacto[a, b] a un subconjunto finito de puntos P = x0, x1, . . . , xn tales que a = x0 < x1 <· · · < xN−1 < xN = b. La partición expresa el intervalo como la unión de N subintervalos

[a, b] = [x0, x1] ∪ · · · ∪ [xN−1, xN ].

Observación 2.1.4. Una partición P ′ se dice que es más fina que otra P cuando P ⊂ P ′(es decir, cuando tiene más puntos).

Definición 2.1.5. Dado un rectángulo compacto A = I1 × · · · × In, denominamos unapartición P de A al resultado de hacer una partición Pj a cada intervalo Ij. La particiónde A viene representada por P = P1× · · · ×Pn y expresa el rectángulo A como unión deN = (|P1| − 1)× · · · × (|Pn| − 1) subrectángulos más pequeños.

Observación 2.1.6. Sean A′, A′′ ⊂ A rectángulos de la partición, entonces A′∩ A′′ = ∅.

Lema 2.1.7. Si A es un rectángulo, y P una partición de A, se tiene que

vol(A) =∑R∈P

vol(R).

23

24 TEMA 2. INTEGRACIÓN MULTIPLE

Definición 2.1.8. Dadas dos particiones P =n∏j=1Pj y P ′ =

n∏j=1P ′j de un rectángulo A.

Diremos que la partición P ′ es más fina que P si cada P ′j es más fina que Pj (es decir,Pj ⊂ P ′j ∀j ⇐⇒ P ⊂ P).

Entonces, cada subrectángulo de P es unión de subrectángulos de P ′.

Definición 2.1.9. Sea A ⊂ Rn un rectángulo compacto y f : A→ R una función acotada.Sea P una partición de A. Para cada subrectángulo R de P escribimos

mR = ınfx∈R

f(x) MR = supx∈R

g(x)

Denominamos suma inferior y suma superior de f respecto a P a los números

s(f ;P) =∑R

mR vol(R) S(f ;P) =∑R

MR vol(R)

Observación 2.1.10. Sea P una partición de A

mA vol(A) ≤ s(f ;P) ≤ S(f ;P) ≤MA vol(A)

Observación 2.1.11. Si P y P ′ son dos particiones y P ′ es más fina que P , entonces

s(f ;P) ≤ s(f ;P ′) ≤ S(f ;P ′) ≤ S(f ;P)

Lema 2.1.12. Si P y P ′ son dos particiones de un rectángulo A, existe una partición P ′′de A que es más fina que P y que P ′.

Corolario 2.1.13. Si P ,P ′ son dos particiones de A, entonces, s(f ;P) ≤ S(f ;P ′). Por lotanto,

s(f ;P)|P partición de A

está acotado superiormente y

S(f ;P)|P partición de A

está acotado inferiormente.

Definición 2.1.14. Sea A un rectángulo compacto y sea f : A→ R una función acotada.Denominamos integral inferior e integral superior de f en A a los números∫

A

f = supPs(f ;P) y

∫Af = ınf

PS(f ;P)

donde el supremo y el ínfimo se toman sobre el conjunto de todas las posibles particionesP de A. Obviamente,

∫Af ≤

∫Af .

Definición 2.1.15. Diremos que una función f acotada es integrable en A cuando susintegrales inferior y superior coinciden. En este caso, su valor común se denomina integralde Riemann de f en A y se denota por∫

Af,

∫Af(x) dn x,

∫Af(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn o

∫Af dV

En el caso de n = 2 o n = 3 se habla de integral doble o integral triple respectivamente,ya que es habitual poner dos o tres signos de integral para representarlas.

2.1. INTEGRAL DE RIEMANN SOBRE RECTÁNGULOS COMPACTOS 25

Proposición 2.1.16. Criterio de Riemann. Sea A ⊂ Rn un rectángulo compacto yf : A → R una función acotada. f es integrable Riemann sii ∀ε > 0, ∃P partición de Atal que S(f ;P)− s(f ;P) < ε.

Demostración. Cálculo I

Ejemplo 2.1.17.

Si f : A→ R constante, entonces f(x) = c y mR = MR = c ∀R

s(f ;P) =∑R

mR vol(R) = c∑R

vol(R) = c vol(A) = S(f ;P)

Por lo tanto, f es integrable Riemann, y además∫Af = c vol(a) =⇒

∫A

1 = vol(A)

Consideramos la función f : [0, 1]× [0, 1]→ R definida por

f(x, y) =

0 si x, y ∈ Q1 En otro caso

,

entonces, mR = 0 y MR = vol(R) para todo R, y entonces∫A

f = 0,∫Af = vol(A) = 1× 1 = 1

Y por lo tanto, f no es integrable Riemann.

Proposición 2.1.18. Linealidad. Sea A un rectángulo compacto y f, g : A→ R integra-bles Riemann. Entonces

i) f + g es integrable Riemann y∫A(f + g) =

∫A f +

∫A g.

ii) Si λ ∈ R, entonces λf es integrable Riemann y∫A(λf) = λ

∫A f .

Es decir, Rie(A) =f : A→ R|f integrable Riemann

es un R-espacio vectorial y

Rie(A)→ R

f 7→∫Af

es una forma lineal.

Demostración.

i) Observamos que ınf(f) + ınf(g) ≤ ınf(f + g) y que sup(f) + sup(g) ≥ sup(f + g),y por lo tanto,

mR(f) +mR(g) ≤ mR(f + g) ≤MR(f + g) ≤MR(f) +MR(g)


Por lo tanto, para toda P partición de As(f ;P) + s(g;P) ≤ s(f + g;P) ≤ S(f + g;P) ≤ S(f ;P) + S(g;P)

Y por último ∫A

f +∫A

g ≤∫A

f + g ≤∫Af + g ≤

∫Af +

∫Ag

Como f, g son integrables Riemann, (f + g) también lo es y vale∫A f +

∫A g

ii) Suponemos que λ > 0, entonces,

ınf(λf) = λ ınf(f) =⇒∫A

(λf) = λ∫A

f

Análogamente,sup(λf) = λ sup(f) =⇒

∫A

(λf) = λ∫Af

Y por lo tanto,∫A(λf) = λ

∫A f . Y para demostrar el caso de λ < 0, usaremos que∫

A(−f) = −∫A f .

Proposición 2.1.19. Positividad. Sea f : A→ R integrable Riemann. Si f ≥ 0, entonces∫A f ≥ 0.

Demostración.f ≥ 0 =⇒ s(f ;P) ≥ 0 =⇒

∫A

f ≥ 0 =⇒∫Af ≥ 0

Corolario 2.1.20. Sean f, g : A→ R integrables Riemann. Si f ≤ g, entonces∫Af ≤

∫Ag

Sean m,M ∈ R tales que m < f(x) < M ∀x ∈ A. Entonces m vol(A) ≤∫A f ≤M vol(A).

Demostración.f ≤ g =⇒ g − f ≥ 0 2,1,19=⇒

∫A

(g − f) ≥ 0 2,1,18=⇒∫Ag −

∫Af ≥ 0 =⇒

∫Ag ≥

∫Af

Proposición 2.1.21. Sea A un rectángulo compacto, sea f : A→ R una función acotada,sea P una partición de A y ξ = (ξk) una familia de puntos ξk ∈ Rk, donde Rk son losrectángulos de la partición. Se define la suma de Riemann

R(f,P , ξ) =∑k

f(ξk) vol(Rk)

Si f es integrable Riemann entonces, en un sentido que habría que precisar, R(f,P , ξ) seaproxima al valor de

∫A f a medida que la malla de P (el máximo de las longitudes de

los costados de los rectángulos Rk de P) tiende a 0.

2.2. CONJUNTOS DE MEDIDA NULA 27

2.2. Conjuntos de medida nulaDefinición 2.2.1. Diremos que un subconjunto T ⊂ Rn tiene medida (n-dimensional)cero o medida nula, si, ∀ε > 0 Se puede recubrir T con una familia numerable de rec-tángulos compactos tales que la suma de sus medidas n-dimensionales sea < ε. En otraspalabras, hay una sucesión (finita o infinita) de rectángulos compactos Rk tales que

T ⊂⋃k

Rk y∑k

vol(Rk) < ε

Observación 2.2.2. En la definición es irrelevante usar rectángulos compactos o retán-gulos abiertos.

Observación 2.2.3. Todo conjunto finito tiene medida nula.Si T tiene medida nula, entonces todo S ⊂ T tiene medida nula

Proposición 2.2.4. La reunión de una familia numerable de conjuntos de medida nulatiene medida nula.

Demostración. Si T = ⋃i∈N

Ti donde Ti tiene medida nula para todo i. Recubrimos Ti conrectángulos compactos Rik (k ∈ N) tal que ∑

kvol(Rik) < ε

2i+1 . Entonces, T = ⋃i,kRik y

∑i,k

vol(Ri,k) =∑i

∑k

vol(Ri,k) <

∑i

ε

2i+1 = ε

Corolario. Todo conjunto numerable tiene medida nula

Ejemplo 2.2.5.

Z ⊂ RQ ⊂ R

Son conjuntos de medida nula, porque son numerables

El conjunto de Cantor K ⊂ R tiene medida nula, pero no es numerable.

En R3, T = [0, 1]× [0, 1]× 0, tiene medida nula, ya que

T ⊂ [0, 1]× [0, 1]×[ε

2 ,ε

2

](vol(R) = ε) =⇒ R2 × 0

Ya queR2 × 0 =

⋃(k,l)∈Z2

[k, k + 1]× [l, l + 1]× 0

(unión numerable de R con medida nula).


Si a < b, entonces [a, b] ⊂ R no tiene medida nula.

Corolario 2.2.6. Dentro de Rn, el subespacio, Rm × 0 ⊂ Rn tiene medida nula.

Definición 2.2.7. Diremos que un subconjunto A ⊂ Rn tiene contenido (n-dimensional)cero o contenido nulo, si ∀ε > 0, hay un recubrimiento finito de A por rectánguloscompactos Ri tal que ∑

vol(Ri) < ε

Observación 2.2.8. En la definición, se pueden substituir los rectángulos compactos porrectángulos abiertos.

Observación 2.2.9. Un conjunto de contenido cero, tiene medida cero.

Observación 2.2.10. Que un conjunto tenga medida cero, no implica que tenga conte-nido cero.

Proposición 2.2.11. Si A ⊂ Rn es compacto y tiene medida cero, entonces tiene conte-nido cero.

Demostración. Sea ε > 0, existe una sucesión (Ri) de rectángulos abiertos tal que

A ⊂⋃i

Ri

∑i

vol(Ri) < ε

Como A es compacto, un número finito de los Ri recubren A (condición de Heine-Borelde compacto) y la suma de sus volúmenes es < ε.

Lema 2.2.12. Si a < b, [a, b] ⊂ R no tiene contenido cero. Más precisamente, seaR1, . . . , Rn un recubrimiento de [a, b] por intervalos compactos. Entonces,

n∑i=1

long(Ri) ≥b− a

Demostración. Hacemos inducción sobre n. Si n = 1, el resultado es trivial. Ahora,suponemos cierto el resultado anterior para n y consideramos R1, . . . , Rn+1 un recu-brimiento de [a, b] por intervalos compactos. Podemos suponer, sin pérdida de generali-dad, que a ∈ R1, por tanto, R1 = [α, β] donde α ≤ a ≤ β. Ahora, hay dos opciones.Si β ≥ b, entonces long(R1) ≥ b − a y ya está. Si β < b, entonces, [β, b] está recu-bierto porR2, . . . , Rn+1 y por hipótesis de inducción

n+1∑i=2

long(Ri) ≥ b − β. Por tanto,n+1∑i=1

long(Ri) ≥ (β − a) + (b− β) = b− a.

Corolario. Si a < b, [a, b] ⊂ R, no tiene medida nula.

2.2. CONJUNTOS DE MEDIDA NULA 29

Observación 2.2.13. De la misma manera, un rectángulo compacto no degenerado deRn no tiene medida nula.

Corolario. Si un conjunto A ⊂ Rn tiene un punto interior, entonces, no tiene medidanula.

Observación 2.2.14. Un conjunto de contenido nulo es, necesariamente, acotado. Perohay conjuntos acotados de medida nula, que no son de contenido nulo.

Proposición 2.2.15. Sea D ⊂ Rn−1 acotado, f : D → R uniformemente contínua. Elgrafo de f , graf (f) =

(x, f (x)

)|x ∈ D

, tiene medida nula.

Demostración. Sea ε > 0. Sea R ⊃ D un rectángulo compacto de volumen |R|.

∃δ > 0 t. q. d (x, y) < δ =⇒ d(f (x) , f (y)

)<

ε

|R|.

Partimos ahora R en subrectángulos compactos Ik suficientemente pequeños como paraque cada uno de ellos esté contenido en una bola de radio δ

2 . Entonces, f (Ik) ⊂ Jk, siendoJk un intervalo compacto de longitud menor o igual a ε

|R| . Además, graf (f) ⊂ ⋃k Ik×Jk.Finalmente, ∑

k

vol (Ik × Jk) =∑k

vol (Ik) · vol (JK) ≤∑k

vol (Ik) ·ε

|R|= ε.

Corolario. Si D ⊂ Rn−1 es compacto y f : D → R contínua, graf (f) ⊂ Rn tiene medidanula.

Corolario. Si D ⊂ Rn−1 es abierto y f : D → R contínua, graf (f) ⊂ Rn tiene medidanula.

Demostración. Cualquier punto de D está contenido en una bola cerrada (que es unconjunto compacto) de centro en coordenadas racionales y radio racional. Además, comoel conjunto de bolas de centro en coordenadas racionales y radio racional es el productocartesiano de conjuntos numerables, es a su vez numerable. Así pues, D es la uniónnumerable de conjuntos compactos, sean estos Ki. Entonces, graf (f) ⊂ ⋃i∈N graf

(f|Ki

).

Finalmente, por el corolario anterior y la proposición 2.2.4, graf (f) tiene medida nula.

Definición 2.2.16. Diremos que un cuadrado es un rectángulo cuyos lados tienen lamisma longitud.

Proposición 2.2.17. Sea Q un cuadrado en Rn. Si la longitud de su lado es l, su volumenes ln y su diámetro (en la norma euclideana de Rn) es l

√n.


Proposición 2.2.18. Sea Z ⊂ Rn de medida nula. Para toda ε > 0 existe una familianumerable de cuadrados compactos Qk tales que Z ⊂ ⋃k∈NQk y ∑k∈N vol (Qk) < ε.

Lema 2.2.19. Sean A ⊂ Rn un rectángulo compacto y f : A → Rn una función lips-chitziana. Si Z ⊂ A tiene medida nula, f (Z) tiene medida nula.

Demostración. Más adelante.

Proposición 2.2.20. Sea f : U → Rn de clase C 1 en un conjunto abierto U ⊂ Rn. SiZ ⊂ U tiene medida nula, f (Z) tiene medida nula.El resultado es falso si f es solamente C 0. Un ejemplo de esto es la curva de Peano.

Demostración. Más adelante.

Corolario 2.2.21. Toda subvariedad M ⊂ Rn de clase C1 de dimensión m < n tienemedida nula.

2.3. El Teorema de LebesgueDefinición 2.3.1. Sean X un espacio métrico y f : X → R. Llamamos oscilación de fsobre E ⊂ X a

ω (f, E) := supx,y∈E

∣∣f (x)− f (y)∣∣ .

También se llama a este valor diámetro de f (E) ∈ [0,+∞]. ω (f, E) es zero si y solo sif|E es constante y +∞ si y solo si f|E no es acotada.

Observación 2.3.2. E ⊂ E ′ =⇒ ω (f, E) ≤ ω (f, E ′).

Lema 2.3.3. Si f : E → R es acotada, ω (f, E) = supx∈E f (x)− ınfx∈E f (x).

Definición 2.3.4. Sean f : X → R, a ∈ X. Llamamos oscilación de f en a a

ω (f, a) := lımr→0

ω(f,B (a, r)

).

Observación 2.3.5.ω (f, a) = ınf

r>0ω(f,B (a, r)

).

Lema 2.3.6.f : X → R es contínua en a ⇐⇒ ω (f, a) = 0.

2.3. EL TEOREMA DE LEBESGUE 31

Demostración. =⇒Supongamos que f es contínua en a. Entonces,

∀ε > 0,∃δ > 0 t. q. d (x, a) < δ =⇒∣∣f (x)− f (a)

∣∣ < ε.

Sean x, y ∈ B (x, δ). Tenemos que∣∣f (x)− f (y)∣∣ ≤ ∣∣f (x)− f (a)

∣∣+ ∣∣f (a)− f (y)∣∣ ≤ 2ε =⇒

=⇒ ω(f,B (a, δ)

)≤ 2ε =⇒ ω (f, a) = 0.

⇐=Supongamos ω (f, a) = 0. Sea ε > 0,∃δ > 0 t. q. ω

(f,B (a, δ)

)< ε. Per tant, |f(x) −

f(a)| < ε si d (x, a) < δ =⇒ f continua en a.

Ejemplo 2.3.7. Sea f : R→ R

1. f(x) =

1x

si x 6= 00 si x = 0

ω (f, 0) = lımr→0 ω(f,B (0, r)

)=∞ =⇒ f no es continua en x = 0.

2. f(x) =

sin 1x

si x 6= 00 si x = 0

ω (f, 0) = lımr→0 ω(f,B (0, r)

)= 2 =⇒ f no es continua en x = 0.

Lema 2.3.8. Sea a t. q. ω (f, a) < c. ∃δ t. q. ω(f,B(a, δ)

)< c.

Demostración. Por contrarecíproco. ∀δ, ω(f,B (a, δ)

)≥ c =⇒ ω (f, a) ≥ c. Contradic-

ción.

Proposición 2.3.9. Sea X un espacio métrico, f : X → R. El conjunto a = x ∈X|ω (f, x) < c es abierto.

Demostración. Sea a ∈ A t. q. ω (f, a) < c, c > 0. Por el lema 2.3.8 ∃δ t. q. ω(f,B (a, δ)

)<

c.Sea b ∈ B (a, δ) , ∃δ′ t. q. B (b, δ′) ⊂ B (a, δ).

ω(f,B

(b, δ′

))≤ ω

(f,B (a, δ)

)< c

2,3,8=⇒ ω (f, b) < c

Por tanto, b ∈ A y B(a, δ) ⊂ A =⇒ a es un punto interior de A =⇒ A es abierto.

Corolario. Si X es compacto, x ∈ X|ω (f, x) ≥ c es compacto.

Demostración. Todo conjunto cerrado de un espacio compacto es compacto.


Lema 2.3.10. (1). Sea A ⊂ Rn rectángulo compacto. Sean T1, . . . , Tn ⊂ A rectánguloscompactos t. q. A = ⋃n

i=1 Ti. Existe una partición P de A t.q. para cada subrectánguloR de P , existe un i t.q. R ⊂ Ti.

Demostración. A = I1 × · · · × Ik × · · · × In =⇒ P = P1 × · · · × Pn cadaPk = x0 = a, x1− , x1+ , . . . , xi− , xi+ , . . . , xn− , xn+ , b,

donde xi− , xi+ son los extremos inferiores y superiores (respectivamente) de Ti. Por cons-trucción, R ⊆ Ti.

Lema 2.3.11. Sea A ⊆ Rn rectángulo compacto, f : A → R, f acotada. Suponemos∀x ∈ A, ω (f, x) < ε. Entonces existe una partición P de A t. q. S (f,P) − s (f,P) <ε vol (A).

Demostración. Sea x ∈ A, existe un rectángulo compacto Rx ⊂ A t. q. x ∈ Rx (interiorrelativo a A) y ω (f,Rx) = MRx −mRx < ε.Sean Rxi un conjunto finito de los Rx que recubren A. Sea P una partición de A t. q.cada subrectángulo de P esté dentro de uno de los Rxi , para cada subrectángulo R de P ,MR −mR < ε. Entonces,

S (f,P)− s (f,P) =∑R∈P

(MR −mr) vol (R) < ε∑R∈P

vol (R) = ε vol (A) .

Corolario. f continua =⇒ f integrable Riemann (ya que f continua =⇒ ∀xω (f, x) =0).

Lema 2.3.12. (2). Sean A ⊂ Rn rectángulo compacto, f : A → R acotada, c > 0. Si fes integrable Riemann, el conjunto Bc = x ∈ A|ω (f, x) ≥ c tiene medida nula.

Demostración. Sea ε > 0, aplicando el criterio de Riemann, existe una partición P deA t. q. S (f,P)− s (f,P) < cε.Observamos que

A = A1 ∪ A2 A1 =⋃R∈P

R

A2 tiene medida nula por ser unión finita de subconjuntos de subespacios de dim < n.Ahora, separamos los subrectángulos de P en dos clases

P ′ subrectángulos R tal que Bc corta a R =⇒ en todos ellos, MR −mr ≥ c.

P ′′ el resto.Tenemos

c∑R∈P ′

vol (R) ≤∑R∈P ′

(MR −mR) vol (R) ≤∑R∈P

(MR −mR) vol (R) =

= S(f,P)− s(f,P) < cε =⇒∑R∈P ′

vol (R) < ε

2.3. EL TEOREMA DE LEBESGUE 33

Así pues, hemos recubierto Bc ∩ A1 con un número finito de rectángulos de volumenes< ε. También podemos hacerlo con Bc ∩ A2, ya que tiene medida nula =⇒ podemosrecorrer Bc con rectángulos de volumenes < 2ε =⇒ Bc tiene medida nula.

Definición 2.3.13. Sea f : A→ R. Definimos discontinuidad de f como

disc (f) =x ∈ A|x no es continua en A

.

Teorema 2.3.14. Teorema de Lebesgue.Sean A ⊆ Rn un rectángulo compacto, f : A → R una función acotada. f es integrableRiemann en A si y solo si disc (f) tiene medida nula.

Demostración. Por comodidad, llamaremos B = disc (f) y Bc =x ∈ A|ω (f, x) ≥ c

.

=⇒Sea f integrable Riemann en A. Observamos que

B =⋃k≥1

B1/k

por el lema 2.3.12, B1/k tienen medida nula. Como es una unión numerable, B tienemedida nula.

⇐=Suponemos que B tiene medida nula. Sea ε > 0 y Bε ⊂ B, que tiene medida nula por

estar contenido en B y es compacto como se ha visto anteriormente, por lo tanto, tienecontenido nulo y, por lo tanto, existen rectángulos compactos T1, . . . , TN ⊂ A tales que

Bε =⋃i=1

NTi∑i=1

N vol (Ti) < ε

Sea P una partición de A. Separamos los subrectángulos R en los siguientes tipos

R1: R está dentro de algún Ti

R2: el resto.

Tenemos ahora que

∑R∈R1

(MR −mR) vol (R) ≤ (MA −mA)N∑i=1

vol (Ti) < (MA −mA) ε

Ahora, si R ∈ R2, entonces R no conta a Bε, por lo tanto, w(f, x) < ε ∀x ∈ R, por ellema 2.3.11, existe una partición PR de R tal que S (f,PR)− s (f,PR) < ε vol (R).

Podemos refinar P a una partición P ′ tal que todos sus subrectángulos, estén dentrode los subrectángulos de PR (por 2.3.10)

S(f,P ′

)− s

(f,P ′

)=

∑R′∈R1

(MR′ −mR′) vol(R′)

+∑R′∈R2

(MR′ −mR′) vol(R′)<

< (MA −mA) ε+∑R′∈R2

ε vol(R′)

= ε((MA −mA) + vol (A)

)


Teniendo en cuenta que∑R∈R2

∑R′∈R

(MR′ −mR′) vol(R′)<

∑R∈R2

ε vol (R)

Ahora, tan solo queda obervar que ε((MA −mA) + vol (A)

)lo podemos hacer tan peque-

ño como queramos.

Definición 2.3.15. Una propiedad que se satisface para todos los puntos de un conjuntoA, excepto en un conjunto N ⊂ A de medida nula, se dice que se satisface casi para todo.

Proposición 2.3.16. Toda función f : A → R continua sobre un rectángulo compactoes integrable.

2.4. Integral de Riemann sobre conjuntos más gene-rales

Definición 2.4.1. Un subconjunto C ⊂ Rn se dice que es admisible (o mesurable Jordan)si es acotado y Fr(C) es de medida nula.

Observación 2.4.2. Sea X un espacio métrico, C ⊂ X : Fr(C) = C \C = C∩(X \ C

)=

X \(Int(C) ∪ Ext(C)

)y X = Int(C) ∪ Fr(C) ∪ Ext(C).

Lema 2.4.3.

(1) Fr (A ∪ A′) ,Fr (A ∩ A′) ,Fr(A \ A′

)⊂ Fr(A) ∪ Fr(A′).

(2) A ⊂ X, B ⊂ Y =⇒ Fr (A×B) =(Fr(A)×B

)∪(A× Fr(B)

).

Corolario 2.4.4.

(1) A, A′ ⊂ Rn admisibles =⇒ A ∪ A′, A ∩ A′ y A \ A′ son admisibles.

(2) A ⊂ Rm, B ⊂ Rn son admisibles =⇒ A×B ⊂ Rm+n es admisible.

Ejemplo 2.4.5.

(1) Los rectángulos compactos y los rectángulos abiertos acotados son admisibles.

(2) Las bolas euclideanas son admisibles.

(3) Existen conjuntos de medida nula que no son admisibles. Por ejemplo, A = Q∩(0, 1).

(4) Existen conjuntos abiertos y acotados que no son admisibles.

(5) Existen conjuntos compactos que no son admisibles.

2.4. INTEGRAL DE RIEMANN SOBRE CONJUNTOS MÁS GENERALES 35

Definición 2.4.6. Sea X un espacio métrico, y sea C ⊂ X. Definimos la función carac-terística de C como

χC : X → R

x 7→ χC (x) =

1 si x ∈ C0 si x /∈ C

Lema 2.4.7. Sea X un espacio métrico, sea C ∈ X y sea χC su función característica.

disc (χC) = Fr (C)

Demostración.

Ext (C)

∀a ∈ Ext (C) , ∃r > 0 t. q. χC (x) = 0 ∀x ∈ B (a, r) =⇒ χC es continua en Ext (C) .

Int (C)

∀a ∈ Int (C) , ∃r > 0 t. q. χC (x) = 1 ∀x ∈ B (a, r) =⇒ χC es continua en Int (C) .

Fr (C)

∀a ∈ Fr (C) , ∀r > 0, ∃x ∈ B (a, r) t. q. χC (x) = 1 y∃y ∈ B (a, r) t. q. χC (y) = 0 =⇒ a ∈ disc (χC) .

Corolario 2.4.8. Sea C ⊂ Rn acotado.

C es admisible ⇐⇒

C es acotado∀ rect. compacto R ⊃ C existe la integral de Riemann

∫R χC

Demostración.

C es admisible ⇐⇒

C es acotadoFr (C) tiene medida nula

⇐⇒

⇐⇒

C es acotadodisc (χC) tiene medida nula

⇐⇒

⇐⇒

C es acotadodisc

((χC)|R

)tiene medida nula, ∀R ⊃ C rectángulo compacto

⇐⇒⇐⇒

C es acotado

∀ rect. compacto R ⊃ C existe la integral de Riemann∫R χC

.


Lema 2.4.9. Sea X un espacio métrico, sea E ⊂ X y sea g : E → R. Sea g : X → R laextensión de g definida por

g (x) =

g (x) si x ∈ E0 si x /∈ E

Entonces, disc (g) ⊆ disc (g) ⊆ disc (g) ∪ Fr (E).

Demostración.

∀x ∈ Ext (E) , g es continua en x.

∀x ∈ Int (E) , g es continua en x ⇐⇒ g es continua en x.

∀x ∈ Fr (E) , g es continua en x =⇒ g es continua en x.

Definición 2.4.10. Sea C ⊂ Rn un conjunto admisible, sea f : C → R una funciónacotada y sea R ⊃ C un rectángulo compacto. Definimos la extensión de f a todo Rcomo

fχC : R→ R

x 7→ fχC (x) =

f (x) si x ∈ C0 si x /∈ C

Lema 2.4.11. Sea C ⊂ Rn un conjunto admisible, sea f : C → R una función acotada ysea R ⊃ C un rectángulo compacto.

fχC es integrable Riemann en R ⇐⇒ disc (f) tiene medida nula.

Demostración. Inmediata del lema 2.4.9 y del teorema de Lebesgue.

Lema 2.4.12. Sea C ⊂ Rn un conjunto admisible, sea f : C → R una función acotada ysean R,R′ ⊃ C rectángulos compactos.∫

RfχC =

∫R′fχC .

2.5. Propiedades de la integralProposición 2.5.1. Linealidad y positividad. Sea E ⊂ Rn medible Jordan. El conjuntoRie(E) de funciones integrables Riemann en E es un R-espacio vectorial, y la integral:

Rie(E)→ R es una forma lineal positiva.

f 7→∫Ef

(f ≥ 0→

∫Ef ≥ 0

)

2.6. EL TEOREMA DE FUBINI 37

Demostración. Consecuencia de las mismas propiedades para un rectangulo compactoA ⊃ E.

Corolario 2.5.2. Monotonía.

f ≤ g =⇒∫Ef ≤

∫Eg.

Definición 2.5.3. Sea E medible Jordan, el valor medio de f : E → R:

< f >:=∫E f∫E 1 = 1

vol(E)

∫Ef,

(vol(E) 6= 0

).

Teorema 2.5.4. Teorema del valor medio.Si m ≤ f ≤M :

m(vol(E)

)≤∫Ef ≤M

(vol(E)

).

Demostración. Consecuencia de las últimas proposiciones.

Corolario 2.5.5.vol(E) = 0 =⇒

∫Ef = 0.

Teorema 2.5.6. Teorema del valor medio (alternativo).Sea E medible Jordan y connexo; f : E → R acotada y continua. Existe xo ∈ E tal que:∫

Ef = f(xo) vol(E),

(< f >= f(xo)

)

Proposición 2.5.7. Sea E ⊂ Rn medible Jordan, f : E → R integrable Riemann,h : f(E)→ R continua. Entonces h f es integrable Riemann.

Demostración. disc(h f) ⊂ disc(f) (medida nula) y teorema de Lebesgue.

Observación 2.5.8. f, h integrables Riemann no implica h f integrable Riemann.

2.6. El teorema de FubiniLema 2.6.1. Siguin Bi ⊂ R (i ∈ I) no vacíos y acotados inferiormente, B = ⋃

i∈IBi.

Entoncesınf B = ınf

ınf Bi|i ∈ I

.

Demostración. Ejercicio 2. Indicación: B : ınf Bi|i ∈ Itienen las mismas cotas inferio-

res.


Lema 2.6.2. Sean R, S conjuntos no vacios, f : R × S → R acotada inferiormente.Entonces

ınf(x,y)∈R×S

f (x, y) = ınfx∈R

ınfy∈S

f (x, y) .

Demostración.

R× S =⋃x∈R

(x × S

)=⇒ f (R× S) =

⋃x∈R

f(x × S

) Lema=⇒

anteriorınf f (R× S) =

= ınf⋃x∈R

f(x × S

)= ınf ınf

x∈Rf(x × S

)=⇒ ınf

(x,y)∈R×Sf (x, y) = ınf

x∈Rınfy∈S

f (x, y) .

Lema 2.6.3. Sean gj : R→ R una familia de funciones acotadas inferiormente. Entonces,

∑j

ınfx∈R

gj (x) ≤ ınfx∈R

∑j

gj (x)

Demostración. Fijamos x0 ∈ R :

∑j

ınfx∈R

gj (x) ≤∑j

gj (x0) , (cota inferior) .

Como x0 es arbitrario, ∑j

ınfx∈R

gj (x) ≤ ınfx∈R

∑j

gj (x) .

Lema 2.6.4. Sean A ⊂ Rm, B ⊂ Rn rectangulos compactos. Sea f : A×B → R acotada.Sea Φ: A→ R t. q.

∫Bf (x, ·) ≤ Φ (x) ≤

∫Bf (x, ·) ,∀x ∈ A.

Entonces, ∫A×B

f ≤∫A

Φ,∫A

Φ ≤∫A×B

f.

Demostración. Sean P,Q particiones de A,B respectivamente, P × Q es una particiónde A × B con subrectángulos Ri × Sj. Sea |T | = vol (T ), entonces |Ri × Sj| = |Ri||Sj|.


Ahora, tenemos que

s (f, P ×Q) =∑i,j

∣∣∣Ri × Sj∣∣∣ ınf

(x,y)∈Ri×Sjf(x, y) =

∑i

∑j

|Ri|∣∣∣Sj∣∣∣ ınf

(x,y)∈Ri×Sjf(x, y) =

=∑i

|Ri|∑j

∣∣∣Sj∣∣∣ ınf(x,y)∈Ri×Sj

f(x, y) 2,6,2=∑i

|Ri|∑j

∣∣∣Sj∣∣∣ ınfx∈Ri

ınfy∈Sj

f(x, y) =

=∑i

|Ri|∑j

ınfx∈Ri

∣∣∣Sj∣∣∣ ınfy∈Sj

f(x, y)2,6,3≤

∑i

|Ri| ınfx∈Ri

∑j

∣∣∣Sj∣∣∣ ınfy∈Sj

f(x, y) =

=∑i

|Ri| ınfx∈Ri

s(f(x, ·), Q

)≤∑i

|Ri| ınfx∈Ri

∫Bf (x, ·)

def φ≤

∑i

|Ri| ınfx∈Ri

φ(x) =

= s(φ, P ) ≤∫Aφ

Por lo tanto,∫A φ es una cota superior de s (f, P ×Q), como

∫A×B f es la cota superior

más pequeña: ∫A×B

f ≤∫Aφ

Lema 2.6.5. Sea D ⊂ Rn−1 admisible y compacto, φ, ψ : D → R continuas, φ ≤ ψ. Sea

E =

(x, y) ∈ Rn−1 × R|x ∈ D,φ (x) ≤ y ≤ ψ (x).

E es admisible y compacto, y Fr (E) ⊂(graf (φ) ∪ graf (ψ) ∪

(Fr (D)× R

)).

Demostración. graf(φ), graf(ψ) y Fr(D) × R tienen medida nula, como Fr(E) está con-tenida en estos conjuntos, Fr(E) tiene medida nula, por lo tanto, E es admisible.

Teorema 2.6.6. Teorema de Fubini.Sean A ⊆ Rm, B ⊆ Rn rectángulos compactos, sea f : A × B → R integrable Riemann.Sea φ : A→ R tal que ∫

Bf(x, ·) ≤ φ(x) ≤

∫Bf(x, ·) ∀x ∈ A

Entonces, φ es integrable Riemann y ∫A×B

f =∫Aφ

Análogamente, si tenemos ψ : B → R tal que∫A f(·, y) ≤ ψ(y) ≤

∫A f(·, y) (∀y ∈ B),

entonces ψ es integrable Riemann y∫A×B f =

∫B ψ

Demostración. Por el lema 2.6.4∫A×B

f ≤∫Aφ ≤

∫Aφ ≤

∫A×B

ff integrable Riemann=⇒

∫A×B

f =∫Aφ =

∫Aφ =

∫A×B

f =⇒

=⇒ φ es integrable Riemann y∫A×B

f =∫Aφ


Observación 2.6.7. A partir de ahora, usaremos la siguiente notación:∫Af =

∫Af(x) dn x =

∫A

dn xf(x)

Observación 2.6.8. Si f : A×B → R es integrable Riemann, el conjuntox ∈ A|f(x, ·) NO es integrable Riemann

tiene medida nula

Demostración. Definimos ∆(x) :=∫B f(x, ·)−

∫B f(x, ·) ≥ 0. Por el teorema de Fubini∫

A∆ =

∫A×B

f −∫A×B

f = 0 ∆≥0=⇒ ∆Casi para=

todos0 =⇒ El conjunto tiene medida nula

Observación 2.6.9. Cuando ∀x ∈ A f(x, ·) es integrable, tenemos que∫A×B

dm x dn yf(x, y) =∫A

dm x∫B

dn yf(x, y)

Observación 2.6.10. Más simplemente, si f es continua, existen y son iguales los si-guientes números∫

A×Bdx dyf(x, y) =

∫A

dx(∫

Bdyf(x, y)

)=∫B

dy(∫

Adxf(x, y)

)

Corolario 2.6.11. Si f es continua, y A = I1 × · · · × In, podemos escribir∫Af =

∫I1

dx1

∫I2

dx2 · · ·∫In

dxnf (x1, . . . , xn)

Ejemplo 2.6.12. Sea A = [0, 1]× [0, 1] y D =([0, 1] ∩Q

)×0 y consideramos f = XD,

es decir

f(x, y) =

1 si x ∈ D0 en otro caso

Vemos que ∫Af =

∫ 1

0dx∫ 1

0dyf(x, y)︸︷︷︸

0

= 0

Sin embargo, ∫ 1

0dy∫ 1

0dxf(x, y) =

0 si y 6= 06 ∃ si y = 0

Es decir, esta fórmula no sirve, en lugar de esta fórmula, hemos de usar∫Af =

∫ 1

0dy∫ 1

0dxf(x, y) = 0

∫Af =

∫ 1

0dy∫ 1

0dxf(x, y) = 0


Observación 2.6.13. Hay funciones f : A×B → R acotadas y no integrables Riemann,tales que ∫

Adx∫B

dyf(x, y) =∫B

dy∫A

dxf(x, y)

El teorema de Fubini se puede utilizar para integrar sobre regiones más generales quelos rectángulos.

Lema 2.6.14. Sea X un espacio métrico y f : X → R continua. Los conjuntos

W+ =(x, y) ∈ X × R|y > f(x)

⊂ X × R

W− =(x, y) ∈ X × R|y < f(x)

⊂ X × R

son abiertos, y los conjuntos

E+ =(x, y) ∈ X × R|y ≥ f(x)

E− =

(x, y) ∈ X × R|y ≤ f(x)

son cerrados.

Lema 2.6.15. Sea X un espacio métrico, D ⊂ X un subconjuto, y f : D → R continua.Consideramos

E =(x, y) ∈ X × R|x ∈ D, y ≥ f(x)

denomidano epígrafo de la función. Entonces

i) Si D ⊂ X es cerrado, E ⊂ X × R es cerrado.

ii) Fr(E) ⊂ graf(f) ∪(Fr(D)× R

).

Demostración.

i) por el lema anterior.

ii) ejercicio

Lema 2.6.16. Sea D ⊂ Rn−1 admisible y compacto y φ, ψ : D → R continuas con φ ≤ ψ.Consideramos

E =

(x, y) ∈ Rn−1 × R|x ∈ D,φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)⊂ Rn

E es compacto y admisible

Demostración. Veremos que E es cerrado, acotado y Fr(E) tiene medida nula. E =E+φ ∩ E−ψ por lo tanto, es cerrado (intersección de cerrados). D está acotado y y está

acotada ∀x, por lo tanto, E es acotado. y Fr(E) ⊂ graf(φ) ∪ graf(ψ) ∪(Fr(D)× R

)que

tienen todos medida nula.


Proposición 2.6.17. Bajo las hipótesis anteriores, si f : E → R es continua∫Ef =

∫D

dx∫ ψ(x)

φ(x)dyf(x, y)

Demostración. Tomamos rectágulos compactos R ⊃ D en Rn−1 y S ⊃ [ınf φ, supψ] en R,de forma que E ⊂ R× S.

Para x ∈ D sea Sx = [φ(x), ψ(x)], entonces XE(x, y) = XD(x)XSx(y)∫Ef =

∫R×S

fXET.Fubini=

∫R

dx∫S

dyf(x, y)XD(x)XSx(y) =

=∫R

dxXD(x)∫S

dyf(x, y)XSx(y) =∫D

dx∫Sx

dyf(x, y) =∫D

dx∫ ψ(x)

φ(x)dyf(x, y)

Definición 2.6.18. Una región elemental es un conjunto E ⊆ Rn de la forma siguiente:

n = 1, E es un intervalo compacto.

n > 1, E =

(x, y) ∈ Rn−1 × R|x ∈ D,φ(x) ≤ y ≤ ψ(x), con D ⊂ Rn−1 es una

región elemental, φ ≤ ψ : D → R son continuas.

En esta construcción, admitimos cambios de orden el las variables

Observación 2.6.19. Entonces, una integral∫E f se reduce al cálculo de n integrales

sucesivas más simples.

Ejemplo 2.6.20. E =

(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x), α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y),

entonces, ∫Ef =

∫ b

adx∫ ψ(x)

φ(x)dy∫ α(x,y)

β(x,y)dzf(x, y, z)

Ejemplo 2.6.21. Si tenemos E : x2 + y2 = a2, podemos reescribirlo como

E =

(x, y) ∈ R2| − a ≤ x ≤ a,−√a2 + x2 ≤ y ≤

√a2 + x2

Entonces, el área de E se puede calcular como

área(E) =∫ a

−adx∫ √a2+x2

−√a2+x2

dy =∫ a

−adx2√a2 − x2 = 4

∫ a

0

√a2 − x2 dx =

x=a sin θ= 4a2∫ π/2

0dθ cos2 θ = πa2

Observación 2.6.22. En algunos casos, la región de integración se puede presentarcomo unión finita de regiones elementales, entonces se puede calcular usando aditividadrespecto al dominio y el teorema de Fubini en cada región elemental.

2.7. TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE 43

2.7. Teorema del cambio de variableTeorema 2.7.1. Teorema del cambio de variable.Sean V ⊂ Rn un conjunto abierto, y φ : V → Rn una aplicación inyectiva, de clase C 1, ycon Dφ(y) 6= 0 ∀y ∈ V . Sea U = φ(V ) (es decir, φ : V → U es un difeomorfismo de claseC 1). Si f : U → R es integrable, entonces∫

Uf =

∫V

(f φ)∣∣∣detDφ

∣∣∣Aunque podemos utilizar una fórmula más gráfica

∫Uf(x1, . . . , xn

)dx1 · · · dxn =

∫φ−1(U)

f(φ1(y), . . . , φn(y)

)∣∣∣∣∣∣∣det∂(x1, . . . , xn

)∂ (y1, . . . , yn)

∣∣∣∣∣∣∣ dy1 · · · dyn

Observación 2.7.2. El teorema es cierto, literalmente, para la integral de Lebesgue,pero para la integral de Riemann hay que suponer que

U, V abiertos medibles Jordan

f : U → R de soporte compacto e integrable Riemann (supp(f) =x|f(x) 6= 0

)

Observación 2.7.3. En el enunciado del teorema, se puede suprimir la hopótesis dedet Dφ(y) 6= 0 (en ese caso φ−1 : U → V es continua, pero puede no ser de clase C 1).

Observación 2.7.4. Debido a la gran importancia práctica, estudiaremos la expresiónde la fórmula de cambio de variables en los tres casos más usuales. Denotamos por Uel abierto correspondiente a las coordenadas cartesianas donde se calcula la integral ypor V = c−1(U) el abierto correspondiente a las coordenadas consideradas, siendo c eldifeomorfismo que ejecuta el cambio a cartesianas.

Integración en coordenadas polares en R2

Tenemosc : (0,+∞)× (−π, π)→ R2 \

(x, 0)|x ≤ 0

(r, φ) 7→ (x, y) ≡ (r cosφ, r sinφ)

con el determinante de la jacobiana = r.∫Uf(x, y) dx dy =

∫Vf(r cosφ, r sinφ)r dr dφ

Integración en coordenadas cilíndricas en R3

Tenemos

c : (0,∞)× (−π, π)× R→ R3 r(x, 0, z)|x ≤ 0

(ρ, φ, z) 7→ (x, y, z) ≡ (ρ cosφ, ρ sinφ, z)

con el deterinante de la jacobiana igual a ρ∫Uf(x, y, z) dx dy dz =

∫Vf(ρ cosφ, ρ sinφ, z)ρ dρ dφ dz


Integración en coordenadas esféricas en R3

Tenemos

c : (0,∞)× (0, π)× (−π, π)→ R3 r(x, 0, z)|x ≤ 0

(r, θ, φ) 7→ (x, y, z) = (r cosφ sin θ, r sinφ sin θ, r cos θ)

con el determinante de la jacobiana igual a r2 sin θ∫Uf(x, y, z) dx dy dz =

∫Vf(r cosφ sin θ, r sinφ sin θ, r cos θ)r2 sin θ dr dθ dφ

Ejemplo 2.7.5. Sea B : x2 + y2 + z2 < a2, en esféricas, r < a,

vol(B) =∫B

dx dy dz =∫ 2π

0dφ∫ π

0dθ∫ a

0drr2 sin θ = 4

3πa3.

Demostración del teorema del cambio de variableLema 2.7.6. (1). Sea ϕ : Rn → Rn un isomorfismo lineal y sea A ⊂ Rn un rectángulocompacto, entonces,

vol(ϕ(A)

)= |detϕ| vol(A).

Demostración. Toda matriz invertible es producto de matrices elementales y, por tanto,basta demostrarlo con matrices de transformaciones elementales

i) Permutación

P =

1. . .

0 · · · 1... ...1 · · · 0

. . .1

|detP | = 1.

ii) Alargamiento (m 6= 0)

L =

1

. . .1

m

|detL| = |m| .

iii) Traslación

T =

1 1

1. . .

1

|detT | = 1.


Sea A = I1 × · · · × In un rectángulo compacto,

i) P (A) = I1 × · · · × Ij × · · · × Ii × · · · × In

vol(P (A)

)= vol(A)|detP | .

ii) L(A) = I1 × · · · × In−1 ×mIn

vol(L(A)

)= |m| vol(A) = |detL| vol(A).

iii) Para T (A) tenemos

vol(T (A)

)=∫T (A)

dx1 · · · dxn T.Fubini=∫In

dxn · · ·∫I2

dx2

∫I1+x2

dx1 =

=∫In

dxn · · ·∫I2

dx2

∫I1

dx1 = vol(A) = vol(A)|detT | .

Lema 2.7.7. (2). Sea φ : Rn → Rn un isomorfismo lineal y sea A ⊂ Rn medible Jordan.Entonces,

vol(φ(A)

)= |detφ| vol(A).

Demostración. Sea R ⊃ A un rectángulo compacto. XA es integrable Riemann.Por el criterio de Riemann, ∀ε > 0 ∃P partición de R tal que

S (XA,P)− s (XA,P) < ε.

Ahora, definimos I como la unión de subrectángulos de P contenidos en A y E como launión de subrectángulos que cortan a A, entonces I ⊆ A ⊆ E y

vol(I) = s (XA,P) ≤ vol(A) ≤ S (XA,P) = vol(E).

Ahora, como φ es biyectiva, se tiene que φ(I) ⊆ φ(A) ⊆ φ(E) y por lo tanto

|detφ| vol(I) ≤ vol(φ(A)

)≤|detφ| vol(E) =⇒ vol

(φ(A)

)= |detφ| vol(A).

Lema 2.7.8. (3). Si la fórmula del cambio de variable se satisface para f = 1 (constante),entonces se satisface para todo f integrable Riemann.

Demostración. Sea f : U → R integrable Riemann, y sea R ⊃ U un rectángulo compacto.Tomamamos P una partición de R, entonces,

s (f,P) =∑i

mRi vol (Ri) =∑i

∫RimRi

hipótesis=∑i

∫φ−1(Ri)

(mRi φ

)|detφ| ≤

≤∑i

∫φ−1(Ri)

(f φ)|detφ| aditividad=∫∪φ−1(Ri)

(f φ)|detφ| =⇒

=⇒∫Uf ≤

∫V

(f φ)|detφ| .


Cambiando s por S, obtenemos que∫U f ≥

∫V (f φ)|detφ| y por lo tanto,∫

Uf =

∫V

(f φ)|detφ| .

Lema 2.7.9. (4). La fórmula del cambio de variable se satisface si φ : Rn → Rn es lineal.

Demostración. Por el lema 2, tenemos que∫φ(V )

1 =∫V|detφ| =

∫V

∣∣∣det Dφ∣∣∣ ,

y por el lema 3, tenemos que ∫φ(V )

f =∫V

(f φ)|det Dφ| .

Lema 2.7.10. (5). Si la fórmula del cambio de variable se satisface para ψ : W → V ypara φ : V → U , entonces, se satisface para φ ψ.

Demostración. ∫(φψ)(W )

f =∫φ(ψ(W ))

fF.C.V.=

∫ψ(W )

(f φ)∣∣∣det Dφ

∣∣∣ F.C.V=

=∫W

(f φ ψ)∣∣∣det Dφψ

∣∣∣∣∣∣det Dψ∣∣∣ =

∫W

(f (φ ψ)

)∣∣∣det Dφψ∣∣∣

Ahora, haremos un breve repaso antes de proseguir con la demostración.

Definición 2.7.11. Recordemos que definíamos la norma de una matriz M como

‖M‖ = sup‖x‖≤1

‖Tx‖

Proposición 2.7.12. La norma cumple que

‖TS‖ ≤‖T‖‖S‖

‖Id‖ = 1

‖Tx‖ ≤‖T‖‖x‖

Definición 2.7.13. Una aplicación φ : X → Y diremos que es lipschitziana con constantede Lipschitz L ≥ 0, si

∀x, x d(φ(x), φ (x)

)≤ Ld (x, x)


Observación 2.7.14. Se tiene que

diámetro(φ(E)

)≤ Ldiámetro(E)

φ(B(a; r)

)⊂ B

(φ(a);Lr

)Proposición 2.7.15. Si φ : U ⊂ Rm → Rn de clase C 1, entonces, φ es localmentelipschitziana.

Demostración. Por el teorema del valor medio, tenemos que, si [x, x] ⊂ U , entonces∥∥φ (x)− φ(x)∥∥ ≤ sup

z∈[x,x]

∥∥∥Dφ(z)∥∥∥‖x− x‖

Por lo tanto, si B ⊂ U bola, tal que B ⊂ U , φ|B es lipschitziana con L = supz∈B

∥∥∥Dφ(z)∥∥∥.

Lema 2.7.16. Sea R ⊂ Rn un rectángulo compacto, ∀ε > 0, existe un conjunto finito decubos compactos Qk ⊂ R tal que

R =⋃j

Qk

∑q

vol(Qk) < vol(R) + ε

Lema 2.7.17. Sea C ⊂ Rn de medida nula (contenido nulo). ∀ε > 0 existe una sucesión(finita) de cubos compactos Qj tal que

C ⊂⋃j

Qj

∑j

vol(Qj

)< ε

Demostración. Sea ε > 0, existen rectángulos Ri, tal que

C ⊂⋃i

Ri

∑vol (Ri) <

ε

2

Tomando ahora,Ri =

⋃k

Qk t. q.∑k

vol (Qk) < 2 vol(Ri)

Por lo tanto, ∑ vol(Qij

)< ε

Lema 2.7.18. Sea Q ⊂ Rn un cubo compacto y φ : Q→ Rn con constante L. Entonces,existe un cubo Q tal qu

φ(Q) ⊆ Q vol(Q)≤ Ln vol(Q)

Demostración. Si consideramos la distancia manhattan (de orden 1), tenemos

Q = B(a; r) =⇒ φ(Q) ⊆ B(φ(a);Lr

)≡ Q

Y se tiene que vol(Q)

= Ln(2r)n ≤ Ln vol(Q) = Ln(2r)n.


Lema 2.7.19. Sea A ⊂ Rn un rectángulo compacto, φ : A→ Rn una función lipschistz-ciana. Si N ⊂ A tiene medida nula, φ(N) también

Demostración. Sea ε > 0. Existe una sucesión de cubos compactos Qj ⊂ Rn tal que

N ⊂⋃j

Qj

∑j

vol(Qj

)< ε

Observamos ahora que cada Qj tiene diámetro vol(Qj

)1/n, por lo tanto, Qj ∩ A tiene

diámetro más pequeño, y φ(Qj ∩ A

)≤ L vol

(Qj

)1/n. Ahora φ

(Qj ∩ A

)está contenido

en un cubo Qj de diámetro L vol(Qj

)1/n, por lo tanto vol

(Qj

)= Ln vol(Qj). Ahora

φ(N) ⊂ φ

⋃j

(Qj ∩ A

) =⋃j

φ(Qj ∩ A

)⊂⋃j

Qj

Y tenemos ∑j

vol(Qj

)= Ln

∑j

vol(Qj

)< Lnε

Lema 2.7.20. Sea U ⊂ Rn un abierto y φ : U → Rn una función localmente lipschitziana,Si N ⊂ U tiene medida nula, φ(N) también.

Demostración. Para cada x ∈ N , hay una vecindad Rx ⊂ U de x tal que φ|Rx es lips-chitziana. Los internos Rx recubren

U =⋃x∈U

Rx

Ahora, aplicaremos un lema no demostrado en clase, a partir de unrecubrimiento de abier-tos, se puede extraer un recubrimiento numerable y por lo tanto un conjunto numerablede los Rx recubre U , es decir

U =⋃i∈N

Rxi N =⋃(

N ∩Rxi

)

Por la segunda igualdad, tenemos que

φ(N) =⋃i

medida nula︷︸︸︷φ(N ∩Rxi

)︸︷︷︸medida nula

=⇒ φ(N) tiene medida nula.

Acabada ya esta pequeña pausa para repasar algunas cosas importantes,continuamos con la demostración


Lema 2.7.21. (0). Sea φ : V → U un difeomorfismo de clase C 1 entre abiertos. SeaB ⊂ V tal que

B es medible Jordan

B ⊂ V y B es compacto.

Entonces, A = φ(B) es medible Jordan.

Demostración. Tenemos que ver que A es acotado y que su frontera tiene medida nula.Sabemos que A = φ(B) ⊂ φ

(B)que es compacto, por lo tanto, es acotado y A esta

acotado. Veamos ahora que su frontera tiene medida nula

FrU(φ(B)

)= φ

(FrV (B)

)=⇒ Fr(A) = φ

(Fr(B)

)︸︷︷︸medida nula

φ loc. lips.=⇒ Fr(A) tiene medida nula

Lema 2.7.22. (6). Sea φ : V → U un difeomorfismo de clase C 1, ψ = φ−1, sea B ⊂ Vun cubo compacto y sean

K := maxz∈B

∥∥∥Dψ (φ(z))∥∥∥ ∆ := max

x,y∈B

∥∥∥Dφ(x)−Dφ(y)∥∥∥

Entoncesvol

(φ(B)

)≤∣∣∣det Dφ(x)

∣∣∣ (1 +K∆)n vol(B)

Demostración. Por el teorema del valor medio, tenemos que

φj(y)− φj(x) = Dφj(zj)

(y − x)

Operando, obtenemos

φ(y)− φ(x) = Dφ(x)

Id + Dψ(φ(x)

)

Dφ1 (z1)−Dφ1(x)...

Dφn (zn)−Dφn(x)

(y − x)

Tomando normas, tenemos

‖Id‖︸︷︷︸1

∥∥∥Dψ (φ(x))∥∥∥︸︷︷︸

≤K

Dφ1 (z1)−Dφ1(x)

...Dφn (zn)−Dφn(x)

︸︷︷︸

≤∆

≤ 1 +K∆

Ahora, el conjunto de estos puntos, tiene diámetro acotado por (1+K∆)diámetro(B). Porlo tanto, su volumen, está acotado por (1 +K∆)ndiámetron(B) = (1 +K∆)n vol(B) (Bes un cubo). Y el conjunto φ(B) de los puntos obtenidos aplicando Dφ(x), tiene volumen(por el lema 2)

vol(φ(B)

)≤∣∣∣det Dφ(x)

∣∣∣ (1 +K∆)n vol(B)


Lema 2.7.23. (7). Sea φ : V → U un difeomorfismo de clase C 1, B ⊂ V un cubocompacto, entonces,

vol(φ(B)

)≤∫B

∣∣∣det Dφ∣∣∣

Demostración. Como φ es de clase C 1, Dφ es continua y, como B es compacto, Dφ es unifor-memente continua, por ello, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que‖x− y‖ < δ =⇒

∥∥∥Dφ(x)−Dφ(y)∥∥∥ < ε.

Consideramos ahora Q ⊂ B un cubo compacto de diámetro < δ. Ahora, si x, y ∈ Q, te-nemos

maxQ

∥∥∥Dφ(x)−Dφ(y)∥∥∥ < ε

Por el lema 6vol

(φ(Q)

)≤∣∣∣det Dφ(·)

∣∣∣ (1+Kε)n vol(Q) =⇒ vol(φ(Q)

)≤ (1+Kε)n ınf

z∈Q

∣∣∣det Dφ(z)∣∣∣ vol(Q)

Tomamos P una partición de B en Q lo suficientemente pequeña para que diam(Q) < δ

vol(φ(B)

)≤ (1 +Kε)ns

(∣∣∣det Dφ∣∣∣ ,P) ≤

≤ (1 +Kε)n∫B

∣∣∣det Dφ∣∣∣ ∀ε=⇒ vol

(φ(B)

)≤∫B

∣∣∣det Dφ∣∣∣

Aquí, acabamos los pasos previos para demostrar el teorema del cambiode variable

Procedemos a la demostraciónDemostración 2.7.1. Tenemos que

f |φ(Q) ≤ supz∈Q

(φ(z)

) lema 7=⇒∫φ(Q)

f ≤ · · · ≤ supz∈Q

((f φ)

∣∣∣det Dφ∣∣∣) (z) vol(Q)

Ahora, Sea C ⊃ B un cubo y P una partición de C en subrectángulos suficientementepequeños, y definimos C como la unión de los subrectángulos Q de P que cortan a V ,entonces∫

Af =

∫φ(C)

faditividad=

∑Q⊂C

∫φ(Q)

φ(Q)f ≤∑Q⊂C

supz∈Q

((f φ)

∣∣∣det Dφ∣∣∣) (z) vol(Q) =

= S(


∣∣∣ ,P) =⇒∫Af ≤

∫B


∣∣∣Tomando ahora φ−1 en lugar de φ y (f φ)

∣∣∣det Dφ∣∣∣ en lugar de f , y repetimos∫

B(f φ)

∣∣∣det Dφ∣∣∣ ≤ ∫

A

(f φ φ−1

)∣∣∣det Dφφ−1

∣∣∣∣∣∣det Dφ−1

∣∣∣︸︷︷︸1

=∫Af

Teniendo en cuenta que1 = det Dφφ−1 = det Dφ φ−1(y) det Dφ−1(y)

Entonces, hemos visto que∫A f ≤

∫B(f φ)

∣∣∣det Dφ∣∣∣∫

A f ≥∫B(f φ)

∣∣∣det Dφ∣∣∣ =⇒

∫Af =

∫B


∣∣∣

2.8. INTEGRALES IMPROPIAS 51

2.8. Integrales impropiasDefinición 2.8.1. Sea E ⊂ Rn. Definimos por exhaustión de E una sucesión (Ei) deconjuntos medibles Jordan tales que

Ei ⊂ E

Ei ⊂ Ei+1⋃iEi = E

Definición 2.8.2. Sea f : E → R. Sea (Ei) una exhaustión de E, y suponemos que f esintegrable Riemann en cada Ei. Definimos la integral de Riemann impropia de f en Ecomo el límite ∫

Ef := lım

i

∫Eif,

suponiendo que exista y no dependa de la exhaustión elegida.Cuando el límite es finito, decimos que la integral es convergente, y cuando no lo es,

decimos que es divergente.

Proposición 2.8.3. Sea E ⊂ Rn medible Jordan y sea (Ei) una exhaustión de E.Entonces,

(i) lımi

vol (Ei) = vol (E).

(ii) Si f : E → R es integrable Riemann, entonces f es integrable Riemann en cada Eiy lım

i

∫Eif =

∫E f .

Proposición 2.8.4. Sean E ⊂ Rn y f : E → R. Si f ≥ 0, entonces el límite lımi

∫Eif no

depende de la exhaustión (Ei) considerada.

Lema 2.8.5. Lema de la cebolla. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto no vacío. Existe unasucesión (Vi) de conjuntos abiertos medibles Jordan, con V i ⊂ U tales que

V i es compacto,

V i ⊂ Vi+1,⋃iVi = U .

Definición 2.8.6. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto. Decimos que una función f : U → Res localmente integrable Riemann si todo punto x ∈ U tiene un entorno abierto Vx talque Vx es medible Jordan y f|Vx es integrable Riemann.

Proposición 2.8.7. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → R localmenteintegrable Riemann. Entonces, f es integrable Riemann sobre todo subconjunto compactomedible Jordan A ⊂ U .


Definición 2.8.8. Decimos que una función f : X → R es localmente acotada si todopunto x ∈ X tiene un entorno Vx tal que f|Vx es acotada.

Proposición 2.8.9. f es localmente integrable Riemann si y solo si f es localmenteacotada y disc (f) tiene medida nula.

En particular, toda función contínua sobre un abierto es localmente integrable Rie-mann.

Corolario 2.8.10. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → R localmente inte-grable Riemann y positiva. La integral impropia

∫U f existe, entendida como el límite

lımi

∫Vif = supi

∫Vif , donde (Vi) es una exhaustión cualquiera como la dada por el lema

de la cebolla.

Observación 2.8.11. Si f no es positiva, se puede estudiar su integrabilidad a través dela descomoposicón f = f+−f−. De esta forma, se puede estudiar su convergencia uniformey deducir que si

∫U |f | < +∞, entonces la integral impropia

∫U f es convergente.

Observación 2.8.12. Recíprocamente, se puede demostrar que si∫U f es convergente,

entonces∫U |f | es convergente. Por tanto, para las integrales impropias de funciones sobre

conjuntos abiertos de Rn (n > 1), las nociones de convergencia y convergencia absolutacoinciden.

Tema 3

Integrales de línea y de superficie

3.1. Longitud de una curvaDefinición 3.1.1. Denominamos camino o curva parametrizada a una aplicación conti-nua γ : I → Rn, donde I ⊂ R es un intervalo no degenerado.

La imagen C := γ(I) ≡ Im(γ) ⊂ Rn la llamamos (vulgarmente) curva, aunque nosiempre lo es.

Observación 3.1.2. De aquí en adelante, a no ser que se especifique lo contrario, su-pondremos que I es un intervalo compacto.

Definición 3.1.3. Sea γ : [a, b] → R y sea P = t0, . . . , tn una partición de [a, b].Entonces, los γ(ti) son los vértices de una poligonal, que denominamos poligonal delongitud y cuya longitud es

L(γ,P) =N∑i=1

∥∥γ(ti)− γ(ti−1)∥∥ .

Observación 3.1.4. Refinar la partición aumenta la longitud. (Demostración por ladesigualdad triangular).

Definición 3.1.5. Sea γ : I → Rn una curva. La longitud de γ es

L(γ) = supP⊂I

L(γ,P) ∈ [0,∞].

Observación 3.1.6. Si L(γ) = 0 entonces γ es constante.

Definición 3.1.7. Diremos que un camino es rectificable, cuando su longitud es finita,es decir, cuando

L(γ) < +∞.

Proposición 3.1.8. Sea γ : I → Rn una curva lipschitziana, entonces γ es rectificable.

53

54 TEMA 3. INTEGRALES DE LÍNEA Y DE SUPERFICIE

Demostración. Como γ es lipschitziana, entonces ∃c ≥ 0 tal que∥∥γ(t)− γ(s)∥∥ ≤ c|t− s| ∀t, s ∈ I.

Tomamos ahora, una partición P de I, entonces, se cumple que

L(γ,P) =∑i

∥∥γ(ti)− γ(ti−1)∥∥ ≤∑

i

c|ti − ti−1| =

= c∑i

(ti − ti−1) =⇒ L(γ,P) ≤ c(b− a) =⇒ L(γ) ≤ c(b− a) < +∞.

(Suponiendo que I = [a, b]).

Observación 3.1.9. Hay caminos (continuos) definidos en un intervalo compacto conlongitud infinita.

Proposición 3.1.10. Sea γ : [a, b]→ Rn un camino y sea a < c < b, entonces

L(γ) = L(γ|[a,c]

)+ L

(γ|[c,b]

).

Demostración. Consideramos P , una partición cualquiera de [a, b], ahora definimos P ′ =P ∪ c, P1 = P ′ ∩ [a, c] partición de [a, c] y P2 = P ′ ∩ [c, b] partición de [c, b]. Ahora, setiene que

L(γ,P) ≤ L(γ,P ′) = L(γ|[a,c],P1

)+ L

(γ|[c,b],P2

)≤ L

(γ|[a,c]

)+ L

(γ|[c,b]

).

Por lo tanto, L(γ) ≤ L(γ|[a,c]

)+ L

(γ|[c,b]

).

Sea P1 una partició de [a, c] y P2 una partición de [c, b]. Definimos P = P1 ∪ P2,entonces

L(γ|[a,c],P1

)+ L

(γ|[c,b],P2

)= L(γ,P) ≤ L(γ).

De donde concluimos que

L(γ) = L(γ|[a,c]

)+ L

(γ|[c,b]

).

Proposición 3.1.11. Continuidad de la longitud. Sea γ : [a, b] → Rn un camino rectifi-cable, para cada a ≤ t ≤ b definimos

l(t) = L(γ|[a,t]

), (l(a) := 0).

Entonces, l es creciente y continua. Si γ no es constante en ningún subintervalo de [a, b],entonces, l es estrictamente creciente.

Definición 3.1.12. Sean σ : [a, b]→ Rn un camino y ϕ : [c, d]→ [a, b] un homeomorfismo.Entonces, la composición τ = σ ϕ : [c, d] → Rn es un camino, y diremos que σ y τ soncaminos equivalentes.

También diremos que τ es el camino parametrizado de σ para la reparametrización ϕ.

3.1. LONGITUD DE UNA CURVA 55

Observación 3.1.13. σ y τ recorren la misma curva, Im(σ) = Im(τ) = Im(σ ϕ).

Observación 3.1.14. Si ϕ es creciente, σ y τ tienen la misma orientación, si ϕ esdecreciente, σ y τ tienen orientaciones opuestas.

Proposición 3.1.15. Si σ y τ son dos caminos equivalentes, tienen la misma longitud:L(σ) = L(τ).

Demostración. Consideramos ϕ : [c, d] → [a, b] homeomorfismo tal que τ = σ ϕ (existepor la definición de caminos equivalentes). Tomamos ahoraQ = t0, . . . , tn, una particiónde [c, d], entonces, ϕ(Q) es una partición de [a, b], ahora, se tiene que

L(τ,Q) def=∑i

∥∥(σ ϕ) (ti)− (σ ϕ) (ti−1)∥∥ =

∑i

∥∥∥σ (ϕ(ti))− σ

(ϕ (ti−1)

)∥∥∥ =

= L(σ, ϕ(Q)) ≤ L(σ) supremo=⇒ L(σ ϕ) ≤ L(σ).Cambiando ϕ por ϕ−1, obtenemos L(σ) ≤ L(σ ϕ).

Proposición 3.1.16. Si σ : [a, b] → Rn y τ : [c, d] → Rn son caminos inyectivos con lamisma imagen C, entonces, son equivalentes.

Demostración. Consideramos σ : [a, b]→ C continua (porque σ continua en Rn). Ahora,[a, b] compacto =⇒ C compacto (la imagen de un intervalo cerrado es cerrado) =⇒ σes un homeomorfismo y ϕ(t) := σ−1 (τ(t)

).

Observación 3.1.17. Los resultados anteriores sugieren que la longitud de una curva esuna propiedad de C más que una propiedad de σ, es decir, es una propiedad más analíticaque geométrica. Si C ⊂ Rn es una “curva” parametrizable por un camino inyectivo,podemos definir la longitud de C como L(C) = L(σ) donde σ es cualquier parametrizacióninyectiva de C.

Integración de funciones vectorialesDefinición 3.1.18. Sea E ⊂ Rm un conjunto medible Jordan y ~f : E → Rn, tenemosque

~f = (f1, . . . , fn) .Si todas las fi son integrables, definimos∫

E

~f =(∫

Ef1, . . . ,

∫Efn

)∈ Rn.

Proposición 3.1.19. Regla de Barrow. Sea E = [a, b] un intervalo y ~f : E → Rn unafunción. Si ~f tiene una primitiva ~F

(~F ′ = ~f

), entonces∫ b

a

~f = ~F (b)− ~F (a).


Proposición 3.1.20. Sea ~f : E → Rn una función cualquiera, si ~f es integrable,∥∥∥~f∥∥∥

también y ∥∥∥∥∫E

~f

∥∥∥∥ ≤ ∫E

∥∥∥~f∥∥∥ ,considerando la norma euclidiana.

Demostración. Tenemos que∥∥∥~f∥∥∥ =

(f 2

1 + · · ·+ f 2n

)1/2, que es integrable por ser composi-

ción de integrables con continuidad.Sea ahora ~a =

∫E~f , por la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, tenemos

que

~a · ~f(·) ≤‖~a‖∥∥∥~f(·)

∥∥∥ =⇒ ‖~a‖∫E

∥∥∥~f(t)∥∥∥ dt ≥

∫E

(~a · ~f(t)

)dt =

=∫E

n∑i=1

(aifi(t)

)dt =

∑i

ai

ai︷︸︸︷∫Efi(t) dt =‖~a‖2 .

Si ‖~a‖ 6= 0, tenemos que

‖~a‖ ≤∫E

∥∥∥~f(t)∥∥∥ dt =⇒

∥∥∥∥∫E

~f∥∥∥∥ ≤ ∫

E

∥∥∥~f∥∥∥ .

Proposición 3.1.21. Si γ : I → Rn es de clase C 1, entonces es rectificable y su longitudes

L(γ) =∫I

∥∥∥γ′∥∥∥ ,considerando la norma euclidiana.

Demostración. Consideremos P una partición de I. Por la regla de Barrow,

γ(ti)− γ (ti−1) =∫ ti

ti−1γ′(t) dt =⇒

∥∥γ (ti)− γ (ti−1)∥∥ =

∥∥∥∥∥∫ ti

ti−1γ′∥∥∥∥∥ ≤

∫ ti

ti−1

∥∥∥γ′∥∥∥ .Si sumamos,

L(γ,P) ≤∫I

∥∥∥γ′∥∥∥ supremo=⇒ L(γ) ≤∫I

∥∥∥γ′∥∥∥ .Por otro lado, γ′ continua en un compacto =⇒ γ′ uniformemente continua. Sea ε > 0,

∃δ > 0 tal que |s− t| < δ =⇒∥∥γ′(s)− γ′(t)∥∥ < ε para todo s, t ∈ I. Si P = t0, . . . , tn

es una partición de I con subintervalos de longitud < δ, entonces∫ ti

ti−1

∥∥∥γ′∥∥∥ ≤ dem. no en clase︷︸︸︷· · · ≤

∥∥γ (ti)− γ (ti−1)∥∥+ 2ε (ti − ti−1) .

Si I = [a, b] y sumamos,

∫I

∥∥∥γ′∥∥∥ ≤ L(γ,P) + 2ε(b− a) ≤ L(γ) +tan pequeño como queramos︷︸︸︷

2ε(b− a) .

Por tanto∫I‖γ′‖ ≤ L(γ), pero ya hemos visto que

∫I‖γ′‖ ≥ L(γ) es decir, que

∫I‖γ′‖ =

L(γ).

3.2. INTEGRALES DE LÍNEA DE FUNCIONES ESCALARES 57

Observación 3.1.22. La fórmula anterior es igualmente válida si γ es C 1 a trozos.

Definición 3.1.23. Sea γ : I → Rn un camino definido en un intervalo no compacto.Podemos definir la longitud de γ, L(γ), como el supremo de las longitudes L(γ|k), dondek ⊂ I es un subintervalo compacto de I.

Cuando γ es de clase C 1 definida a trozos, la longitud viene dada por∫I‖γ′‖ (tomada

como integral impropia si es necesario).

Definición 3.1.24. Sea C ⊂ Rn una curva regular de clase C 1. Si C es la imagen de unaparametrización inyectiva γ : I → Rn, definiremos la longitud de C como la longitud deγ.

Si la imagen de γ es todo C salvo en un número finito de puntos, también diremosque la longitud de C es la longitud de γ.

Si C es la unión disjunta de un número finito de curvas como las precedentes, defini-remos la longitud de C como la suma de las longitudes de estas.

Ejemplo 3.1.25. Consideremos C : (x− x0)2 + (y − y0)2 = R2 y

γ : [0, 2π)→ C ⊂ R2

t 7→ γ(t) =(x0 +R cos(t), y0 +R sin(t)

).Entonces, tenemos que

γ′(t) =(−R sin(t)R cos(t)

) ∥∥∥γ′(t)∥∥∥ = R.

Y, por último,L(C) = L(γ) =

∫ 2π

0R dt = 2πR.

3.2. Integrales de línea de funciones escalaresDefinición 3.2.1. Sea σ : I → Rn un camino de clase C 1 a trozos, C = σ(I) y f : C → R.Definimos la integral de línea de f a lo largo de σ como∫

σf dl :=

∫If(σ(s)

)∥∥∥σ′(s)∥∥∥ ds.

La integral existe, por ejemplo, si I es compacto y f continua.

Observación 3.2.2. Cuando f es 1, recuperamos la longitud∫σ dl = L(σ).

Proposición 3.2.3. Invariancia bajo reparametrizaciones. Si tenemos σ : I → C yτ : J → C dos curvas equivalentes, y consideramos una función f : C → R,∫

τf dl =

∫σf dl.


Demostración. Consideramos ϕ : I → J un difeomorfismo de clase C 1 tal que σ = τ ϕ.

∫τf dl =

∫Jf(τ(t)

)∥∥∥τ ′(t)∥∥∥ dt TCV=∫If(τ

(ϕ(s)

)︸︷︷︸σ(s)

)

‖(τϕ)′(s)‖=‖σ′(s)‖︷︸︸︷∥∥∥τ ′ (ϕ(s))∥∥∥∣∣∣ϕ′(s)∣∣∣ ds =

=∫If(σ (s)

)∥∥∥σ′(s)∥∥∥ ds =∫σf dl.

Definición 3.2.4. Sea C ⊂ Rn una curva regular. Si C es la imagen de una parametri-zación inyectiva σ : I → Rn, llamamos integral de línea de f a lo largo de C a∫

Cf dl :=

∫σf dl.

Observación 3.2.5. Está bien definido y no depende de la parametrización tomada.

Observación 3.2.6. Se pueden hacer las mismas consideraciones que en 3.1.24.

3.3. Integrales de línea de campos vectorialesDefinición 3.3.1. Sean I ⊂ R un intervalo, σ : I → Rn un camino de clase C 1 a trozoscon C = σ(I), por último, sea ~f : C → Rn un campo vectorial definido en un conjuntoabierto W ⊃ C. Definimos la integral de línea o de circulación de ~f a lo largo de σ como∫

σ

~f d~l =∫I

~f(σ(s)

)· σ′(s) ds.

(donde · marca el producto escalar euclidiano en Rn).

Proposición 3.3.2. Invariancia bajo reparametrizaciones. Sea σ : I → Rn un camino,sea ϕ : I → J un difeomorfismo de clase C 1. Consideramos el camino reparametrizadoτ = σ ϕ−1. Entonces, si ~f es una función cualquiera,∫

τ

~f d~l = ±∫σ

~f d~l,

donde el signo depende del signo de ϕ′.

Demostración. Ejercicio.

Definición 3.3.3. Sea C ⊂ Rn una curva regular parametrizada por una parametrizaciónregular inyectiva. Una orientación de C es una clase de equivalencia de parametrizacionesde C, donde se considera que dos parametrizaciones son equivalentes cuando la reparame-trización tiene una derivada positiva. Así mismo, diremos que una curva está orientadacuando se ha tomado una orientación.

3.3. INTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES 59

Observación 3.3.4. Suponemos C orientada por una parametrización regular inyectivaσ : I → Rn (C = σ(I)). Los vectores tangentes σ′(s) ∈ Tσ(s)C definen orientacionesde los respectivos espacios tangentes. Esta orientación no cambia si se usa un caminoreparametrizado τ = σ ϕ−1 con ϕ′ > 0.

Observación 3.3.5. Una curva regular compleja puede requerir 2 parametrizacionesregulares para recubrirla completamente. En tal caso, para orientar C, se requiere que,en la imagen común de las 2 parametrizaciones, las orientaciones coincidan.

Ejemplo 3.3.6. Una curva conexa tiene exactamente dos orientaciones.

Ejemplo 3.3.7. Una curva no conexa se orienta orientando cada componente conexa.

Definición 3.3.8. Sea C ⊂ Rn una curva orientada por una parametrización regularinyectiva σ : I → Rn. Sea ~f : C → Rn. Definimos la integral de línea o circulación de ~f alo largo de C ∫

C

~f d~l =∫σ

~f d~l.

Observación 3.3.9. Si C es una curva regular orientada y σ la parametriza toda exceptoun número finito de puntos, también escribiremos∫

C

~f d~l =∫σ

~f d~l.

Si C es unión disjunta de un número finito de curvas como la anterior, igualmente calcu-lamos la circulación al largo de cada una y sumamos.

Observación 3.3.10. Si C es la curva C con orientación opuesta, entonces∫C~f d~l = −

∫C

~f d~l.

Observación 3.3.11. Es habitual usar la notación∫C

~f d~l =∫C

(f1 dx1 + · · ·+ fN dxN) .

Si C es cerrada (definición más adelante), usaremos∮~f d~l =

∫C

~f d~l.

Proposición 3.3.12. Sea C ⊂ Rn una curva regular orientada, p ∈ C. Respecto alproducto escalar estándar de Rn, el espacio tangente TpC tiene un único vector tangenteunitario ~t(p) perteneciente a la orientación de C. Es el vector tangente unitario a C en p.

Si σ : I → Rn es una parametrización regular inyectiva correspondiente a la orientaciónde C, entonces

~t(σ(s)

)= σ′(s)∥∥σ′(s)∥∥ ∈ Tσ(s)C.


Observación 3.3.13. Orientar C equivale a hacer una elección continua de un vectortangente unitario sobre C.

Definición 3.3.14. Sea C ⊂ Rn una curva y ~f : C → Rn un campo vectorial. Llamamoscomponente tangencial de ~f a la función

ft = ~f · ~t,

(ft : C → R).

Observación 3.3.15. Si E es un e.v. euclidiano y F ⊆ E, E = F ⊕ F⊥. Si F =<u1, . . . , ur >, ΠF (x) =< x, u1 > u1 + · · ·+ < x, ur > ur, lo que quiere decir que

Rn = TpC ⊕ TpC⊥ y ΠTpC

(~f(p)

)=⟨~f(p),~t(p)

⟩︸︷︷︸

ft(p)

~t(p).

Proposición 3.3.16. Bajo las condiciones anteriores,∫C

~f d~l =∫Cft dl.

Demostración.

∫C

~f d~l =∫σ

~f d~l =∫I

~f(σ(s)

)σ′(s) ds =

∫I

~f(σ(s)

)~t(σ(s))︷︸︸︷σ′(s)∥∥σ′(s)∥∥︸︷︷︸

ft(σ(s))

∥∥∥σ′(s)∥∥∥ ds =

=∫Ift(σ(s)

)∥∥∥σ′(s)∥∥∥ ds =∫σft ds =

∫Cft dl.

Ejemplo 3.3.17. En R2 consideramos C : y = x3 desde (1,1) a (2,8) y ~F (x, y) =(6x3y, 10xy2

). Consideramos la parametrización γ(x) =

(x, x3

)para x ∈ [1, 2], entonces

∫C

~F d~l = · · · = 222457 ≈ 3177,9.

3.4. integral de superficie de funciones escalaresDefinición 3.4.1. Sea U ⊂ R2 abierto y σ : U → Rn una superficie parametrizadacon M = σ(U). Denotamos por ~T1 = D1 σ y ~T2 = D2 σ, a los vectores tangentes a laparametrización, es decir

~Jσ =(~T1 ~T2

)

3.4. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE FUNCIONES ESCALARES 61

Diremos que σ es regular cuando rg(Jσ) = 2 en todos los puntos. Esto, es equivalente aque ~T1 y ~T2 sean linealmente independientes que ocurre si y solo si la matriz de Gram

G =< ~T1, ~T1 > < ~T1, ~T2 >

< ~T2, ~T1 > < ~T2, ~T2 >

es invertible en todo punto. Representaremos por g := detG.

Definición 3.4.2. Sea M una superficie parametrizada por σ y sea f : M ⊂ Rn → R,definimos la integral de superficie de f sobre/a lo largo de σ como∫

σf dS :=

∫Uf(σ(w)

)√detG(w) dw1 dw2.

Observación 3.4.3. Siempre supondremos que σ ∈ C 1.

Observación 3.4.4. Si suponemos que U es un abierto medible Jordan, f es continua,√detG(w) acotado, podemos asegurar que la integral existe.

Lema 3.4.5. Sean ϕ : U → U difeomorfismo de clase C 1, σ : U → Rn una superficieparametrizada. Consideramos σ := σ ϕ−1 : U → Rn, entonces∫

σf dS =

∫σf dS.

Observación 3.4.6. Eso quiere decir que la integral de superficie no está referida a laparametrización, sino al objeto parametrizado.

Definición 3.4.7. Sea M ⊆ Rn una superficie regular. Si M es la imagen de una pa-rametrización regular inyectiva σ : U → Rn, denominamos integral de superficie de unafunción f sobre M a ∫

Mf dS :=

∫σf dS.

Observación 3.4.8. Ya hemos visto que no depende del σ elegido.

Observación 3.4.9. SiM es, a parte de un conjunto “negligible” (unión finita de puntosy curvas regulares conexas), la imagen de una parametrización regular inyectiva, definimosigualmente ∫

Mf dS =

∫σf dS.

Observación 3.4.10. Si M es unión finita disjunta de superficies como las de la obser-vación 3.4.9, calculamos ∫

Mf dS =

∑i

∫Mi

f dS.


Definición 3.4.11. Definimos el area de M (una superficie regular) como

área(M) :=∫M

dS.

Lema 3.4.12. Sea σ : U → R3 una superficie parametrizada. Entonces∫σf dS =

∫Uf(σ(w)

)∥∥∥ ~T1 × ~T2

∥∥∥ dw1 dw2.

Demostración.∣∣∣∣∣∣~T1 · ~T1 ~T1 · ~T2~T2 · ~T1 ~T2 · ~T2

∣∣∣∣∣∣ =∥∥∥ ~T1

∥∥∥2∥∥∥ ~T2

∥∥∥2−∥∥∥ ~T1

∥∥∥2∥∥∥ ~T2

∥∥∥2cos2 θ =

∥∥∥ ~T1

∥∥∥2∥∥∥ ~T2

∥∥∥2sin2 θ =

∥∥∥ ~T1 × ~T2

∥∥∥2.

Ejemplo 3.4.13. ConsideramosM : x2+y2+z2 = R2 una esfera en R3. Vamos a calcularsu área. Consideramos la parametrización

σ(θ, φ) = (R cosφ sin θ, R sinφ sin θ, R cos θ) ,

definida sobre U = (0, π)× (0, 2π), entoces

Jσ(Tθ, Tφ

)=

R cosφ cos θ −R sinφ sin θR sinφ cos θ R cosφ sin θ−R sin θ 0

,

G =(R2 00 R2 sin2 θ

)g =√

detG = R2|sin θ| θ∈(0,π)= R2 sin θ,

área(M) =∫M

dS =∫σ

dS =∫UR2 sin θ dθ dφ = R2

∫ 2π

0dφ∫ π

0sin θ dθ =

= R22π([− cos θ]π0

)= 4πR2.

3.5. Integrales de superficie en campos vectoriales(en R3)

Definición 3.5.1. Sea U ⊆ R2 abierto, σ : U → R3 una superficie parametrizada regularcon M = σ(U). Sea Jσ =

(~T1, ~T2

), con ~Ti = Di σ. Sea ~f : M → R3 un campo vectorial a

lo largo de M . Denominamos integral de superficie de ~f sobre σ (o el flujo de ~f a travésde σ) a ∫

σ

~f d~S :=∫U

~f(σ(u)

) ( ~T1 × ~T2)

du1 du2.

Observación 3.5.2. Suponiendo ~f continua, U abierto medible Jordan, σ con derivadasparciales acotadas (p.e. σ ∈ C 1), podemos asegurar que la integral anterior existe.

3.5. INTEGRALES DE SUPERFICIE EN CAMPOS VECTORIALES (EN R3) 63

Lema 3.5.3. Sea ϕ : U → U un difeomorfismo entre abiertos conexos de R2, σ : U → R3

una superficie parametrizada regular y sea σ = σ ϕ−1 su reparametrización. Entonces∫σ

~f d~S = ±∫σ

~f d~S.

Donde el signo es el mismo que el de det Jϕ.

Definición 3.5.4. SeaM ⊂ R3 una superficie regular parametrizada por una parametri-zación regular inyectiva. Una orientación de M es una clase de equivalencia de parame-trizaciones donde se dice que dos parametrizaciones son equivalentes si el difeomorfismoque nos permite obtener una reparametrización de la otra tiene jacobiana positiva.

Definición 3.5.5. Diremos que una superficieM ⊂ R3 está orientada cuando hemos ele-gido una orientación. A partir de la orientación deM dada por σ, cada TpM está orientadopor la base

(~T1 ~T2

). Esta orientación no cambia si usamos otra parametrización de M

correspondiente a la misma orientación que σ.

Observación 3.5.6. En general, M requiere dos parametrizaciones inyectivas regularespara recubrirla totalmente. Entonces, para orientar M , se requiere que estas parametri-zaciones definan las mismas orientaciones de los espacios tangentes de los puntos querecubren comúnmente.

Definición 3.5.7. Una superficie se dice que es orientable cuando tiene una orientación,así mismo, una superficie orientable, diremos que está orientada cuando se ha elegido unaorientación.

Observación 3.5.8.

Una superficie conexa orientable tiene 2 orientaciones.

Una superficie NO conexa se orienta orientando cada componente conexa.

Observación 3.5.9. Hay superficies no orientables, como por ejemplo, la banda de Mö-bius.

Definición 3.5.10. SeaM una superficie orientada. Suponemos que es la imagen de unaparametrización inyectiva regular σ : U → R3 correspondiente a la orientación de M . Sea~f : M → R3 un campo vectorial. La integral de superficie, o flujo de ~f a través de M es∫

M

~f d~S :=∫σ

~f d~S.

Observación 3.5.11. Si M es, salvo un conjunto “negligible” de puntos, la imagen deuna parametrización de estas, también definimos el flujo como∫

M

~f d~S :=∫σ

~f d~S.


Si M es unión disjunta de un número finito de superficies como la anterior, el flujo secalcula para cada una y se suma.

Observación 3.5.12. Si M es M con la orientación opuesta,∫M

~f d~S = −∫M

~f d~S.

Observación 3.5.13. Si M es cerrada, a veces, se escribe∮M

~f d~S =∫M

~f d~S.

Definición 3.5.14. Sea M ⊂ R3 una superficie regular orientada, p ∈ M , el subespacioTpM ⊂ TpR3 está orientado y tiene dimensión 2, y por tanto, su ortogonal

(TpM

)⊥también está orientado y tiene dimensión 1. Respecto al producto escalar estándar deR3, el espacio

(TpM

)⊥, tiene un único vector normal unitario ~n(p), correspondiente a la

orientación del espacio. Es el vector normal unitario a M en p.

Observación 3.5.15. Si M está parametrizada por σ : U → R3, entonces

~n(σ(u)

)=

~T1 × ~T2∥∥∥ ~T1 × ~T2

∥∥∥ .Orientar una superficie en R3 equivale a hacer una elección continua de un vector normalunitario sobre M .

Por este motivo, se dice que una superficie tiene “dos caras”.

Definición 3.5.16. Sea ~f : M → R3 un campo vectorial. La componente normal de ~fsobre M es

fn = ~f · ~n,donde ~n es el vector normal unitario de M .

Proposición 3.5.17. Bajo las condiciones anteriores,∫M

~f d~S =∫Mfn dS.

Demostración.

∫M

~f d~S =∫U

~f(σ(u)

)~n︷︸︸︷

~T1 × ~T2∥∥∥ ~T1 × ~T2

∥∥∥︸︷︷︸fn(σ(u))

∥∥∥ ~T1 × ~T2

∥∥∥ du1 du2 =∫σfn(σ(u)

)dS =

∫Mfn dS.

3.6. INTEGRACIÓN EN UNA SUBVARIEDAD M -DIMENSIONAL DE RN 65

Ejemplo 3.5.18. Sea M : x2 + y2 + z2 = R2 orientada “hacia el exterior”, consideramosla función ~f = rα~r, donde ~r = (x, y, z), y r =‖~r‖, es decir, r =

√x2 + y2 + z2.

Tomamos la parametrización de M en coordenadas esfricas

σ : U → R3

(θ, φ) 7→ (R cosφ sin θ, R sinφ sin θ, R cos θ) .

Entonces, Jσ =(~Tθ ~Tφ

)y

~Tθ × ~Tφ = R2 sin θ

cosφ sin θsinφ sin θ

cos θ

~Tθ × ~Tφ = R sin θσ(θ, φ).

Como apunta “hacia afuera”,∫M

~f d~S = +∫σ

~f d~S =∫U

~f(σ(θ, φ)

) ( ~Tθ × ~Tφ)

dθ dφ =∫URα+3 sin θ dθ dφ =

= Rα+3∫ 2π

0dφ︸︷︷︸

2π

∫ π

0dθ sin θ︸︷︷︸

2

= 4πRα+3.

Por otro lado, ~n = ~rr

∣∣∣fn = ~f · ~n = rα~r · ~r

r

∣∣∣∣∣ = rα+1∣∣∣ = Rα+1.

Ahora, simplemente∫M

~f d~S =∫Mfn dS = Rα+1

∫M

dM︸︷︷︸Área(M)=4πR2

= 4πRα+3.

3.6. Integración de funciones en una subvariedad m-dimensional de Rn

Este tema no se ha dado en clase, si se está interesado, consultar los apuntes delprofesor.

Tema 4

Teoremas integrales del análisisvectorial

4.1. Operadores diferenciales canónicos en R3

Observación 4.1.1. Sea U ⊂ R3 un abierto no vacío. Denotaremos por

E (k)(U) :=campos escalares C k sobre U

,

V(k)(U) :=campos vectoriales C k sobre U

.

Si no se especifica el grado de diferenciabilidad, se entederá que es el que sea necesariopara la realización de cálculos.

Así pues, un campo vectorial ~F ∈ V(k)(U), se identifica con una función vectorial~F : U → R3, aunque sería más preciso escribirlo por componentes. Si representamos labase canónica de R3 por e1, e2, e3, entonces ~F = f1e1 + f2e2 + f3e3. Aunque también eshabitual representarla por

i, j, k

.

Definición 4.1.2. En R3 hay tres operadores diferenciales lineales de primer orden ca-nónicos.

Gradiente grad: E (1)(U)→ V0(U), que en coordenadas cartesianas se expresa como

grad f := ∂f

∂xi+ ∂f

∂yj + ∂f

∂zk.

Rotacional rot : V(1)(U)→ V(0)(U), que en coordenadas cartesianas se expresa como

rot ~F :=(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)i+

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)j +

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)k.

Divergencia div : V(1)(U) → E (0)(U), que en coordenadas cartesianas se expresacomo

div ~F := ∂F1

∂x+ ∂F2

∂y+ ∂F3

∂z.

Observación 4.1.3. Si los campos son de clase C k el resultado es de clase C k−1.

67

68 TEMA 4. TEOREMAS INTEGRALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL

Observación 4.1.4. Las definiciones de gradiente y de divergnecia se pueden aplicar sincasi ningún cambio a Rn.

Observación 4.1.5. Recordemos que el gradiente tiene una relación directa con la dife-rencial a través del producto escalar de Rn: si Df (p) : Rn → R es la diferencial de f en p,grad f(p) es el vector tal que, ∀~u ∈ Rn,

(grad f(p)|u

)= Df (p) · u.

Definición 4.1.6. Definimos e operador nabla como

~∇ := i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z.

Entonces

grad f = ~∇f :=(i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z

)f,

rot ~F = ~∇× ~F :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i ∂

∂xf1

j ∂∂y

f2

k ∂∂z

f3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,div ~F = ~∇ · ~F :=

(i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z

)· ~F .

Proposición 4.1.7. grad, rot y div son lineales, es decir

grad(f + g) = grad f + grad g,grad(cf) = c grad f, c ∈ R.

(Análogamente con rot y div).

Proposición 4.1.8. Reglas de Leibnitz. Si f, g son campos escalares y ~F , ~G camposvectoriales, todos de clase C 1, se tiene que

grad(fg) = f grad g + g grad f ,

rot(f ~G

)= f rot ~G+ ~gradf × ~G,

div(f ~G

)= f div ~G+ ~gradf · ~G,

div(~F × ~G

)= ~G · rot ~F − ~F · rot ~G.

Corolario 4.1.9. T. Schwarz. Sea f un campo escalar de clase C 2, ~F un campo vectorialde clase C 2. Entonces, se tiene que

rot (grad f) = 0,div

(rot ~F

)= 0.

4.1. OPERADORES DIFERENCIALES CANÓNICOS EN R3 69

Definición 4.1.10. Sea ~F un campo vectorial. Diremos que ~F es un campo conservativosi ∃f tal que

~F = grad f.

También diremos que ~F es un campo irrotacional si

rot ~F = 0.

Definición 4.1.11. Sea ~G un campo vectorial. Diremos que ~G es solenoidal si ∃~F talque

~G = rot ~F .

Y diremos que ~G es sin divergencia si

div ~G = 0.

Observación 4.1.12. Los resultados de 4.1.9, se pueden resumir en que todo campoconservativo es irrotacional y que todo campo solenoidal es sin divergencia.

Posteriormente estudiaremos los recíprocos de estas afirmaciones.

Definición 4.1.13. Sea f ∈ E (2)(U). Definimos el laplaciano como

∆f := div (grad f) ,

que es un operador diferencial de segundo orden, por tanto actua sobre campos escalaresde clase C 2. En coordenadas cartesianas

∆ = ∇2 ≡ ~∇ · ~∇ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 .

Observación 4.1.14. Podemos extender la definición del laplaciano a Rn, y en coorde-nadas cartesianas sería

∆ = ∂2

∂x21

+ · · ·+ ∂2

∂x2n

.

Observación 4.1.15. La expresión en coordenadas cartesianas del laplaciano, permiteaplicarlo también a campos vectoriales en R3, aplicandolo a cada componente, y, de hecho,se satisface que

rot(rot ~F

)= grad

(div ~F

)−∇2 ~F .

Observación 4.1.16. La ecuación de Laplace es la ecuación en derivadas parciales

∇2f = 0.

las soluciones de esta ecuación se llaman funciones harmónicas.


Observación 4.1.17. El laplaciano interviene en otras ecuaciones de gran importancia,como la ecuación del calor

∂f

∂t= α∇2f,

con α > 0 o en la ecuación de las ondas

∂2f

∂t2= c2∇2f,

donde c > 0. Esta ecuación también se puede expresar como f = 0, donde =1c2

∂2

∂t2−∇2 es el operador d’alembertiano.

4.2. Fórmulas integrales de la teoría de camposProposición 4.2.1. Sea W ⊆ Rn abierto, f : W → R un campo escalar de clase C 1 yγ : [t0, t1]→ W un camino de clase C 1. Con γ (t0) = x0 y γ (t1) = x1, entonces∫

γ

~gradf d~l = f(x1)− f(x0).

Demostración.∫γ

~gradf d~l =∫ t1

t0

~gradf(γ(t)

)~γ′(t) dt def. grad.=

∫ t1

t0Df

(γ(t)

)~γ′(t) dt =

regla cadena=∫ t1

t0D(f γ) (t) dt Regla Barrow= (f γ) (t1)− (f γ) (t0) = f (x1)− f (x0) .

Teorema 4.2.2. Teorema fundamental del cálculo, o del gradiente.Sea W ⊆ Rn abierto, f : W → R una función de clase C 1. C una curva regular orientadade clase C 1, tal que C ⊂ W es compacto. Entonces∫

C

~gradf d~l =∫∂Cf,

(donde ∂C es el borde de C) donde interpretamos∫∂Cf = f (x1)− f (x0) .

Si ∂C = x0, x1 con C “orientada” de x0 a x1. Y∫∂C f = 0 si ∂C = ∅.

4.2. FÓRMULAS INTEGRALES DE LA TEORÍA DE CAMPOS 71

Teorema 4.2.3. Teorema de Kelvin-Stokes, o del rotacional.Sea W ⊆ R3 abierto, ~F : W → R3 un campo vectorial de clase C 1 y M ⊂ W unasuperficie orientada de clase C 2 tal que M es compacto y M ⊂ W . Sea ∂M el borde deM con la orientación inducida (“regla del tornillo” o “regla de la mano derecha”).

Entonces, se satisface la fórmula de Kelvin-Stokes∫M

rot ~F d~S =∫∂M

~F d~l,

si todos los puntos frontera de M son regulares; o, más generalmente, si el conjunto depuntos de la frontera singulares es finito.

Observación 4.2.4. Los puntos frontera de M se clasifican en:

Puntos frontera regulares, si pertenecen a una curva regular incluida en la fronterade M ,

Puntos singulares.

Ejemplo 4.2.5. Consideramos

H =

x2 + y2 + z2 = R2

z > 0, ∂H =

x2 + y2 = R2

z = 0

orientadas “hacia arriba” y en “sentido positivo” al plano xy. Consideramos la función

~F (x, y, z) = −yi+ xj + zk.

Comprobaremos ahora el T.K.S. (4.2.3), ahora parametrizamos H como

σ (θ, φ) = (R cosφ sin θ, R sinφ sin θ, R cos θ) , ~Tθ × ~Tφ = R2 sin θ

cosφ sin θsinφ sin θ

cos θ

.Por último,

rot ~F =

∣∣∣∣∣∣∣∣i ∂x −yj ∂y x

k ∂z z

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2k.

Entonces, tenemos∫H

rot ~F d~S orientación=∫ 2π

0dφ∫ π/2

0dθR2 sin θ cos θ︸︷︷︸

z

2 = 4πR2 12

∫ π/2

02 sin θ cos θ dθ =

= 2πR2[sin2 θ

]π/20

= 2πR2.

Por otro lado, podemos parametrizar ∂H como

γ(t) = (R cos t, R sin t, 0) , 0 < t < 2π, γ′(t) =

−R sin tR cos t

0

.


Ahora, podemos calcular ∫∂H

~F d~l =∫ 2π

0dtR2 = 2πR2.

Y como vemos, se satisface el teorema.

Teorema 4.2.6. Teorema de Gauss-Ostrogradski, o de la divergencia.Sea W ⊂ R3 abierto, ~F : W → R3 de clase C 1, B ⊂ W un abierto tal que B es compactoy B ⊂ W . Sea ∂B el borde de B con la orientación inducida (“normal hacia afuera”).Entonces, se satisface la fórmula de Gauss-Ostrogradski∫

Bdiv ~F dV =

∫∂B

~F d~S.

Si todos los puntos frontera de B son regulares; o, más generalmente, si el conjunto depuntos frontera singulares de B es “negligible” (como que esté contenido en una uniónfinita de curvas regulares conexas).

Observación 4.2.7. La definición precisa de puntos frontera regulares y singulares, deborde y su orientación, se explicarán con más detalle en la sección 5.8.

Ejemplo 4.2.8. Consideramos

~r =

xyz

un campo vectorial radial con div~r = 3. Sea

B : x2 + y2 + z2 < R2,

∂B : x2 + y2 + z2 = R2.

Ahora, tenemos

r = ~r

r, ~rr = r2

r= r

B= R.

Por último,

vol(B) =∫B

dV = 13

∫B

div~r dV = 13

∫∂B~r d~S = 1

3

∫∂B

(~rr) dS.

Por lo tanto,vol(B) = 1

3R vol (∂B) .

4.3. PotencialesDefinición 4.3.1. Sea U ⊆ Rn un abierto conexo, ~F : U → Rn un campo vectorial.Diremos que ~F es conservativo cuando existe f : U → R de clase C 1 tal que ~F = grad f ,diremos que f es el potencial escalar para ~F .

4.3. POTENCIALES 73

Observación 4.3.2. Si c ∈ R y f es potencial escalar para ~F , f + c también lo es(grad(f + c) = grad f

).

Proposición 4.3.3. Sea U ⊂ Rn conexo, ~F : U → Rn un campo vectorial, si f, g son dospotenciales escalares para ~F , entonces f − g es una constante.

Demostración. f, g son potenciales escalares para ~F =⇒ grad f = grad g =⇒ grad(f −g) = 0 U conexo=⇒ f − g = constante.

Observación 4.3.4. Sea γ : [t0, t1]→ Rn un camino de clase C 1 a trozos, con γ (t0) = x0,γ (t1) = x1. Suponemos ~F conservativo, es decir ~F = grad f , entonces,∫

γ

~F d~l = f (x1)− f (x0)

En otras palabras, la circulación de ~F solo depende de los puntos inicial y final.En este caso, escribiremos ∫ x1

x0

~F d~l

También, tenemos que∫ x0x0~F d~l = 0,

∮ ~F d~l = 0 y las fórmulas∫ x1

x0

~F d~l +∫ x2

x1

~F d~l =∫ x2

x0

~F d~l∫ x1

x0

~F d~l = −∫ x0

x1

~F d~l

Proposición 4.3.5. Sea U ⊆ Rn un abierto convexo y ~F : U → Rn un campo vectorialde clase C 0. Suponemos que la circulación de ~F a lo largo de cualquier camino de claseC 1 a trozos solo depende de los puntos iniciales y final. Entonces, ~F es conservativo.

Observación 4.3.6. Se puede construir f fijando x0 ∈ U un punto que llamaremos elorigen del potencial. Entonces, la función

f : U → R

x 7→ f(x) :=∫ x

x0

~F d~l

que está bien definida y grad f = ~F .

Demostración. Sea x ∈ U , ~u ∈ Rn. Calculamos

Dx,~u f = ddt

∣∣∣∣∣t=0

f (x+ t~u)

Sea t > 0 suficientemente pequeño, de manera que [x− t~u, x+ t~u] ⊂ U

f (x+ t~u) =∫ x+t~u

x0

~Fj d~l =

∫ x

x0

~F d~l︸︷︷︸constante

+∫ x+t~u

x

~F d~l


Aplicando un cambio de variable∫ x+t~u

x

~F d~l =∫ t

0~F (x+ s~u) ~u dS

Por lo tanto,

ddt

∣∣∣∣∣t=0

∫ x+t~u

x

~F d~l T.F.C.= ~F (x+ t~u) · ~u∣∣∣t=0

= ~F (x) · ~u =⇒ Dx,~u f = ~F (x) · ~u

Tomando ahora ~u = ei, obtenemos

Deif = Fi ∀i =⇒ grad f = ~F

Teorema 4.3.7. Sea U ⊆ R3 abierto conexo. ~F : U → R3 de clase C 1. Consideramos laspropiedades

(i) ~F es conservativo

(ii) Dados p0, p1 ∈ U y una curva orientada C ⊂ U tal que ∂U = p0, p1; la circulación∫C~F d~l solo depende de p0, p1.

(iii) Para toda curva cerrada C ⊂ U∮C~F d~l = 0

(iv) rot ~F = 0, es decir, ~F es irrotacional

Las tres primeras afirmaciones son equivalentes e implican la cuarta. Sin embargo,el recíproco es falso en general, depende de la topología de U y es cierto en algunascircunstancias.

Definición 4.3.8. Un subconjunto A ⊂ Rn se dice que es estrellado respecto a un puntop ∈ A si ∀q ∈ A, [p, q] ⊂ A. Diremos que A es estrellado si lo es respecto a un punto.

Observación 4.3.9. Un conjunto es convexo ⇐⇒ es estrellado respecto a todos suspuntos.

Ejemplo 4.3.10. Los siguientes conjuntos son estrellados

Las semirectas en R2.

Un semiplano en R3.

Lo siguientes, sin embargo, no lo son

R2 \ un punto.

R3 \ un punto.

4.3. POTENCIALES 75

Lema 4.3.11. de Poincaré.Sea U ⊂ R3 un abierto estrellado y ~F : U → R3 es un campo vectorial de clase C 1. Si ~Fes irrotacional

(rot ~F = 0

), entonces es conservativo (tiene potencial escalar).

Definición 4.3.12. Sea A un espacio métrico. Sean γ0, γ1 : [0, 1] → A dos caminos conlos mismos puntos de origen p y término q. Diremos que γ0 y γ1 son caminos homótopos(con extremos fijos) si existe una homotopía de caminos entre γ0 y γ1, es decir:

una familia (Γs)0≤s≤1 de caminos en A, de origen en p y término en q, tales queΓ0 = γ0

Γ1 = γ1

La aplicación Γ: [0, 1]× [0, 1]→ A definida por Γ(s, t) = Γs(t) es continua.

Definición 4.3.13. Un camino cerrado o lazo de punto base p, es un camino con origeny término p.

Definición 4.3.14. Diremos que un conjunto A es simplemente conexo sii) Es arco-conexo.

ii) Dados dos caminos γ0, γ1 con el mismo origen y final, γ0 es homótopo a γ1.

Observación 4.3.15. ii) es equivalente a requerir que cualquier camino γ0 cerrado eshomótopo al camino constante.

Observación 4.3.16. Ejemplos de conjuntos simplemente conexos son: Rn, las bolas,los rectángulos, los semiespacios de Rn, los conjuntos estrellados, o R2\ semirecta.

Ejemplos de conjuntos NO simplemente conexos son: R2\ punto, R3\ recta o R3\circunferencia.

Proposición 4.3.17. Si U ⊂ R3 es un conjunto abierto simplemente conexo y ~F : U →R3 es un campo vectorial de clase C 1 irrotacional

(rot ~F = 0

), entonces ~F es conservativo

(tiene potencial escalar).

Observación 4.3.18. En caso de que U = R3 y ~F sea irrotacional, el cálculo del potencialescalar se puede hacer integrando la ecuación en derivadas parciales grad f = ~F . Son tresecuaciones que se integran sucesivamente de manera elemental, en términos del cálculode primitivas.

Ejemplo 4.3.19. Consideramos U = R3 y

~F =

yz cos(yz) + xy cos(yz)


con rot ~F = 0. Ahora, intentaremos resolver grad f = ~F

∂f

∂x= F1 = y

integrar→ f = xy + g(y, z)︸︷︷︸constante respecto a x

∂f

∂y= F2 = z cos(yz) + x→x+ ∂g

∂y=x+ z cos(yz) int→ g = sin(yz) + h(z) =⇒

=⇒ f = xy + sin(yz) + h(z)∂f

∂z= F3 = y cos(yz)→y cos(yz) + dh

dz = y cos(yz) =⇒ h(z) = C

Por lo tanto, concluimos que

f(x, y, z) = xy + sin(yz) + C

Ejemplo 4.3.20. Sea U = R3\eje z. Tomamos

~F =

− yx2+y2x

x2+y2

0

rot ~F = 0

Tomamos

C =

x2 + y2

z = 0

orientada “positivamente”. Se puede comprobar que∮C~F d~l = 2π 6= 0, es decir, que ~F no

es conservativa

Potenciales vectorialesEsta tema tampoco se ha estudiado (debido a la falta de tiempo) en clase, así que

hacemos un pequeño resumen y referenciamos, como siempre, a los curiosos a los apuntesdel profesor.

Recordemos que decíamos que un campo ~G es solenoidal si existe ~F tal que ~G = rot ~F ,esto, implica que div ~G = 0, es decir, todo campo solenoidal es sin divergencia. Sinembargo, el recíproco es, en general falso. A pesar de ello, el lema de Poincaré, nosasegura que si U es estrellado, todo campo sin divergencia es solenoidal.

4.4. Campos en el plano: Teorema de Green y po-tenciales

Definición 4.4.1. Sea U ⊆ R2 un abierto. Se puede definir el gradiente de un campoescalar y la divergencia de un campo vectorial en U , de hecho, en coordenadas cartesianas

grad f = ∂f

∂xe1 + ∂f

∂ye2 div ~F = ∂F1

∂x+ ∂F2

∂y

4.4. CAMPOS EN EL PLANO: TEOREMA DE GREEN Y POTENCIALES 77

También podemos considerar ~F : U → R2 como un campo vectorial en R3, entonces,

~F =

F1(x, y)F2(x, y)

0

=⇒ rot ~F =

00

∂F2∂x− ∂F1

∂y

Teorema 4.4.2. Teorema de Green.Sean U ⊆ R2 un abierto, ~F : U → R2 de clase C 1, M ⊂ U abierto tal que M compactocon M ⊂ U , sea ∂M es el borde de M con la orientación inducida (“la parte de dentro,a la izquierda”). Entonces, se satisface la fórmula de Green∫

M

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dx dy =

∫∂M

~F d~l,

suponiendo que todos los puntos frontera de M son regulares, o, más generalmente, si elconjunto de puntos frontera singulares de M es finito.

Observación 4.4.3. El teorema de Green se puede considerar como caso particular delteorema de Kelvin-Stokes (4.2.3), considerando ~F como campo vectorial en R3 yM comosuperficie dentro de R3.

Ejemplo 4.4.4. Aplicación del teorema de Green para el cálculo de áreas. Sea ~F : R2 →R2 tal que ∂F2

∂x− ∂F1

∂y= 1, por ejemplo

~F = 12(−yi+ xj

)Aplicando la fórmula de Green, tenemos que

área(M) =∫M

dx dy =∫∂M

~F d~l =⇒ área(M) = 12

∫∂M

(−y dx+ x dy)

Proposición 4.4.5. Sea ~F : U → R2 un campo vectorial de clase C 1 definido en unconjunto abierto U ⊂ R2. Recordamos que ~F es conservativo cuando existe f : U → Rtal que ~F = grad f . En tal caso, la circulación de ~F a lo largo de una curva cerrada es 0.Además, si ~F es conservativo, necesariamente se cumple

∂F2

∂x= ∂F1

∂y

Proposición 4.4.6. Igualmente, si consideramos ~F : U → R2 un campo vectorial tal que∂F2

∂x= ∂F1

∂y,

~F es conservativo si U es simplemente conexo.

De nuevo, por falta de tiempo, se “prescindió” de este tema en clase, considerándolocomo un caso particular del R3, aún así, puede ser interesante consultar los apuntes delprofesor, tanto de lo que queda de esta sección como de la siguiente.


4.5. Operadores diferenciales en otros sistemas decoordenadas

Como ya hemos anunciado, se prescindió de este tema en clase debido a la falta detiempo. Referenciamos a los curiosos a los apuntes del profesor.

Tema 5

Integración de formas diferenciales yteorema de Stokes

En este tema, consideraremos, salvo mención contraria, que todas las funciones sonde clase C∞.

5.1. Formas diferenciales en Rn

Definición 5.1.1. Definiremos Ω1 como el espacio vectorial generado por dx1, . . . , dxn,que es un espacio vectorial real de dimensión n. Denotaremos como Ω• el álgebra exteriorde Ω1. Su producto está regido por

dxi ∧ dxi = 0, dxi ∧ dxj = − dxj ∧ dxi, (i 6= j).

Así pues, tenemos Ω• =n⊕r=0

Ωr, donde estos subespacios tienen dimensión y bases

dim Ω0 = 1, base 1.

dim Ω1 = n, base(dxi

)1≤i≤n

.

dim Ω2 =(n2

), base

(dxi ∧ dxj

)∀i<j

.

...

dim Ωn−1 = n, base(dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn

)i.

dim Ωn = 1, base dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

En general, se tiene que Ωk tiene dimensión(nk

), y una base es

(dxI

)donde

dxI ≡ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

e I = (i1, . . . , ik) es un multiíndice de longitud k estrictamente creciente. Así pues,dim Ω• = 2n.

79

80 TEMA 5. INTEGRACIÓN DE FORMAS DIFERENCIALES Y T. DE STOKES

Definición 5.1.2. Denominamos formas diferenciales en Rn a los elementos del conjuntoΩ• (Rn) = C∞ (Rn)⊗ Ω•, es decir, expresiones de la forma

ω =∑I

fI dxI

Donde fI ∈ C∞ (Rn) e I es un multiíndice. También tenemos la gradución de Ω• (Rn)

Ω• (Rn) =n⊕k=0

Ωk (Rn) donde Ωk (Rn) = C∞ (Rn)⊗ Ωk

son las formas diferenciales de grado k (k-forma diferencial). Así, podemos escribir

ω = ω0 + ω1 + · · ·+ ωn

Los elementos de Ωn (Rn) se denominan por abuso del lenguaje “formas diferencialesde grado máximo”. Si ω ∈ Ωk (Rn), escribiremos |ω| := k.

Definición 5.1.3. Las operaciones algebraicas de Ω• se trasladan a operaciones algebrai-cas de Ω• (Rn). En particular, el producto exterior de dos formas diferenciales se calculasegún la distributividad respecto de la suma, y con la regla(

f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)∧(g dxj1 ∧ · · · ∧ dxjl

)= fg dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjl .

Proposición 5.1.4. El producto exterior en Ω• (Rn) tiene elemento neutro (la funciónconstante igual a 1) y es asociativo y anticonmutativo: si α y β son formas diferencialesde grados |α| y |β|, entonces

β ∧ α = (−1)|α||β|α ∧ β.

5.2. La diferencial exterior en Rn

Definición 5.2.1. Dada una función f ∈ C∞ (Rn) = Ω0 (Rn), podemos construir una1-forma diferencial df ∈ Ω1 (Rn), de acuerdo con la fórmula

df :=n∑i=1

∂f

∂xidxi,

donde ∂f∂xi

representa la derivada parcial de f respecto a la variable i-ésima.

Observación 5.2.2. Observamos que si f(a1, . . . , an

)= ai, entonces df = dxi. Está

función se conoce como la coordenada cartesiana i-ésima y es habitual denotarla por xi.

Definición 5.2.3. La diferencial actuando sobre funciones se puede extender a una apli-cación R-lineal, denominada diferencial exterior y definida de la manera siguiente

d: Ω• (Rn)→ Ω• (Rn)f dxI 7→ d

(f dxI

):= df ∧ dxI .

5.2. LA DIFERENCIAL EXTERIOR EN RN 81

Observación 5.2.4. Si ω ∈ Ωk (Rn), entonces, dω ∈ Ωk+1 (Rn).

Ejemplo 5.2.5. En R2, se tiene que

df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy,

d(f dx ∧ dy) = 0,d(f dx+ g dy) = df ∧ dx+ dg ∧ dy =

=(

∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy)∧ dx+

∂g∂x

dx+

∂g

∂ydy ∧ dy =

(−∂f∂y

+ ∂g

∂x

)dx ∧ dy.

En R3, se tiene que

df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy + ∂f

∂zdz,

d(f1 dx+ f2 dy + f3 dz) = · · · =

=(∂f3

∂y− ∂f2

∂x

)dy ∧ dz +

(∂f1

∂z− ∂f3

∂x

)dz ∧ dx+

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dx ∧ dy,

d(g1 dy ∧ dz + g2 dz ∧ dx+ g3 dx ∧ dy) = · · · =(∂g1

∂x+ ∂g2

∂y+ ∂g3

∂z

)dx ∧ dy ∧ dz.

Observación 5.2.6. La diferencial exterior d: Ω• (Rn) → Ω• (Rn) es una antiderivaciónde grado +1: es R-lineal, aumenta el grado en 1 y sigue la regla de Leibniz “graduada”:

d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)|α|α ∧ dβ.

Proposición 5.2.7. Sea d: Ω• (Rn)→ Ω• (Rn) la diferencial exterior. Entonces tenemosque d d= 0.

Demostración. Basta demostrarlo para

d(df) =∑i,j

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)dxj ∧ dxi = 0.

Aplicando el lema δij = δji

Aij = −Aji=⇒

∑i,j

δijAij = 0.

Definición 5.2.8. Diremos que una forma diferencial α es cerrada si dα = 0. Diremosque una forma diferencial β es exacta, si existe otra forma diferencial α tal que β = dα.

Observación 5.2.9. La propiedad 5.2.7 significa que exacta =⇒ cerrada.


Proposición 5.2.10. Sean yj (1 ≤ j ≤ n) funciones en Rn. Tenemos

dyj =n∑i=1

∂yj

∂xidxi.

La aplicación ψ =(y1, . . . , yn

): Rn → Rn es un difeomorfismo alrededor de cada punto

T. Función⇐⇒

InversaJψ =

(∂yj

∂xi

)es invertible en cada punto. Y ψ es un difeomorfismo, si es biyectiva

y Jψ es invertible en todos los puntos.En estas condiciones, las diferenciales dyj también son base para las 1-formas diferen-

ciales. Observamos además que

dy1 ∧ · · · ∧ dyn = det(∂yj

∂xi

)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Observación 5.2.11. Sea g : Rn → R. Interpretamos g como una función de las yj,entonces ∑

j

∂g

∂yjdyj =

∑i,j

∂g

∂yj∂yj

∂xidxi regla

=cadena

∑i

∂g

∂xidxi = dg.

Esta relación, demuestra que la diferencial exterior no depende del sistema de coor-denadas utilizado.

Definición 5.2.12. Para cada k ≥ 1 definimos una función R-lineal

K : Ωk (Rn)→ Ωk−1 (Rn)

f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik 7→k∑r=1

(−1)r(∫ 1

0tk−1f(tp) dt

)xir dxi1 ∧ · · · ∧ dxir ∧ · · · ∧ dxin

∣∣∣∣∣∣p

donde dxir significa que ese término no está presente.

Lema 5.2.13. Para toda forma diferencial ω de grado ≥ 1 en Rn

ω = K dω + dKω.

Teorema 5.2.14. Lema de Poincaré.Toda forma diferencial en Rn cerrada de grado ≥ 1 es exacta.

Demostración.ω = K dω + dKω.

5.3. PULLBACK DE FORMAS DIFERENCIALES EN RN 83

Ejemplo 5.2.15. En R2, podemos considerar el cambio de coordenadas de (x, y) a (r, φ),entonces

x = r cosφ, y = r sinφ,dx = cosφ dr − r sinφ dφ,dy = sinφ dr + r cosφ dφ,∂(x, y)∂(r, φ) =

(cosφ −r sinφsinφ r cosφ

).

Consideramos ahora la funciónf : R2 → R(x, y) 7→ f(x, y) = x2 + y2 = r2.

Se tiene que

df = 2x dx+ 2y dy, df = 2r dr,

dx ∧ dy = det(

cosφ −r sinφsinφ r cosφ

)dr ∧ dφ = r dr ∧ dφ.

5.3. Pullback de formas diferenciales en Rn

Definición 5.3.1. Sea F : Rm → Rn una aplicación de clase C∞. Dada una funcióng ∈ C∞ (Rn), la función

F ∗(g) := g F ∈ C∞ : Rm → R

se denomina pullback de g por F . Así, tenemos una aplicación R-lineal F ∗ : C∞ (Rn) →C∞ (Rm).

Observación 5.3.2. Es similar a la aplicación transponer de álgebra lineal.

Definición 5.3.3. Podemos extender el pullback a formas diferenciales, definiendo unaaplicación F ∗ : Ω• (Rn) → Ω• (Rm) denominada pullback y definida por las propiedadessiguientes

La aplicación es R-lineal.

Sobre Ω0 (Rn) es el pullback de funciones.

La aplicación conmuta con el producto exterior

F ∗(α ∧ β) = F ∗(α) ∧ F ∗(β).

Si g ∈ Ω0 (Rn), entonces F ∗ (dg) = dF ∗(g).Por lo tanto, F ∗ aplica de k-formas en k-formas y F ∗ conmuta con la difencial exterior

d F ∗ = F ∗ d.

F ∗ se define poniendo

F ∗(g dyj1 ∧ · · · ∧ dyjl

)= F ∗(g) dF ∗

(yj1)∧ · · · ∧ dF ∗

(yjl).


Observación 5.3.4. En particular, tenemos

F ∗(dyj

)= dF ∗

(yj)

=∑i

∂F ∗(yj)

∂xidxi.

Donde podemos observar la aparición de la jacobiana de F

JF =

∂F ∗(yj)

∂xi

.

Observación 5.3.5. En el caso particular de que m = n, tenemos que

F ∗(dy1 ∧ · · · ∧ dyn

)= det JF dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Proposición 5.3.6. Cuando F : Rm → Rn es un difeomorfismo (necesita m = n), enton-ces las diferenciales dF ∗

(yj)también forman una base para las formas diferenciales de

grado 1 en Rm, y la matriz de cambio de base respecto a la base de las dxi es la matrizjacobiana JF .

Ejemplo 5.3.7. Consideramos la función

F : R2 → R2

(u, v) 7→ F (u, v) = (u2 − v2, 2uv).

Entonces,

F ∗(x) = u2 − v2, F ∗(y) = 2uv,

F ∗(x2 + y2

)=(u2 − v2

)2+ (2uv)2 =

(u2 + v2

)2,

F ∗ (dx) = dF ∗(x) = 2u du− 2v dv, F ∗ (dy) = dF ∗(y) = 2v du+ 2u dv,F ∗ (dx ∧ dy) = F ∗ (dx) ∧ F ∗ (dy) = · · · = 4

(u2 + v2

)du ∧ dv,

F ∗ (−y dx+ x dy) = · · · = 2(u2 + v2

)(−v du+ u dv) .

5.4. Integral de formas diferencialesObservación 5.4.1. Recordemos que si f : Rn → R es una función continua de claseC∞, está definida la integral ∫

Rnf ≡

∫Rnf(x) dx1 · · · dxn.

Definición 5.4.2. Sea ω ∈ Ωn (Rn) una n-forma diferencial escrita como ω = f dx1 ∧· · · ∧ dxn, con f de clase C∞. Si f tiene soporte compacto, se define su integral como∫

Rnω :=

∫Rnf dx1 ∧ · · · ∧ dxn =

∫Rnf dx1 · · · dxn.

5.5. SUBVARIEDADES DE RN 85

Proposición 5.4.3. Sea F : Rn → Rn un difeomorfismo y ω ∈ Ωn (Rn) con soportecompacto, entonces ∫

RnF ∗(ω) = ±

∫Rnω,

donde el signo es el de JF .

Demostración. Por un lado, tenemos que∫Rnω =

∫Rnf(x) dx1 · · · dxn T.C.V.=

∫Rnf(F (y)

)∣∣det JF (y)∣∣ dy1 · · · dyn.

Por otro lado,∫RnF ∗(ω) =

∫RnF ∗(f) det JF dy1 ∧ · · · dyn =

∫Rnf(F (y)

)det JF (y) dy1 · · · dyn.

Observación 5.4.4. Si interpretamos F como un cambio de variables, esta fórmula,demuestra que la definición dada de integral de una forma diferencial de grado máximoNO depende del sistema de coordenadas utilizado, aunque cambia de signo dependiendode la orientación.

Definición 5.4.5. Sea ω ∈ Ωk (Rn) una forma diferencial de grado k < n. Si σ : Rk → Rn

es una aplicación, se define la integral de ω a lo largo de σ como la integral∫σω :=

∫Rkσ∗(ω),

suponiendo que σ∗(ω) tenga soporte compacto.

Observación 5.4.6. Todo lo que hemos hecho, se puede hacer en abiertos de Rn en lugarde en todo Rn. Si V ⊆ Rn abierto, Ω•(V ), Ωk(V ), ω = ∑

IgI dxI

(gI ∈ C∞(V )

). Pullback

de F : U ⊆ Rm → V ⊆ Rn, F ∗ : Ω•(V )→ Ω•(U).Para el lema de Poincaré es necesario que V ⊂ Rn sea estrellado respecto al origen.

Definición 5.4.7. Decimos que una forma diferencial es de clase C k cuando sus coefi-cientes son de clase C k, en los apartados anteriores hemos considerado diferenciabilidadde clase C∞, pero algunas operaciones con formas diferenciales no requieren tanta dife-renciabilidad.

5.5. Subvariedades de Rn

Este tema es un repaso de cálculo diferencial, así que referenciamos a los apuntes delprofesor ante cualquier duda, este apartado se trata de un simple repaso de las propieda-daes básicas de las subvariedades.


5.6. Formas diferenciales en una variedadObservación 5.6.1. No trataremos el tema de los campos vectoriales en subvariedades,pero sí que aparecen en el resumen de apuntes. Como siempre, los curiosos a los apuntes.

Definición 5.6.5. Sea M una subvariedad, llamaremos 1-forma diferencial en M a unaaplicación

θ : M → T ∗M ≡⋃p∈M

T ∗pM

p 7→ θp ≡ θ(p) ∈ T ∗pM.

Observación 5.6.6. Si f : M → R, df : M → T ∗M que envia cada punto p ∈ M a ladifencial df(p).

En particular, en el dominio de una carta, tenemos las diferenciales de las funcionesde las funciones coordenadas, dxi.

Definición 5.6.7. En el dominio V de una carta, una 1-forma diferencial θ se expresade manera única como

θ|V =m∑i=1

ai dxi,

donde ai : V → R son los componentes de θ en la carta.Diremos que θ es de clase C∞ cunado sus componentes son de clase C∞.

Proposición 5.6.8. En el dominio de una carta, la diferencial de una función se expresacomo

df |V =m∑i=1

∂f

∂xidxi.

Definición 5.6.9. Definiremos una k-forma diferencial como una expresión del tipo

ω|V =∑

i1<···<ikfi1···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

El resto de este tema tampoco se ha realizado en clase, ante cualquier duda o curio-sidad, consultar los apuntes del profesor.

5.7. Integración de formas diferenciales en varieda-des orientadas

Definición 5.7.1. Una parametrización g : W → M de una variedad define en cadaespacio tangente TpM una base de vectores tangentes coordenados, y, por tanto, unaorientación de TpM .

Otra parametrización f : V → M de M define la misma orientación de los espaciostangentes sii el cambio de coordenadas f−1 g : W → V tiene jacobiana positiva.

5.7. INTEGRACIÓN EN VARIEDADES ORIENTADAS 87

Definición 5.7.2. Un atlas orientado deM es un conjunto de cartas que recubrenM y talque sus cambios de coordenadas (en sus dominios comunes) tienen jacobianas positivas.Un atlas orienta los diferentes espacios tangentes de M de manera coherente. En caso deexistir dicho atlas, se dice que M es orientable.

Definición 5.7.3. Una orientación de una variedad orientable viene dada por la elecciónde un atlas orientado. Una variedad orientada es una variedad orientable en la cual se haelegido una orientación.

Definición 5.7.4. SiM es una variedad orientada, diremos que una carta deM pertenecea la orientación de M o que es una carta positiva cuando su cambio de coordenadasrespecto a las cartas de la orientación de M tiene jacobiana positiva.

Definición 5.7.5. Una forma diferencial Ω en M de grado máximo que no se anula enningún punto, se denomina forma de volumen.

Proposición 5.7.6. Si una variedad tiene una forma de volumen, entonces es orientable.

Demostración. En cada punto p ∈ M la forma diferencial Ωp define una orientación delespcaio tangente TpM : una base ~v1, . . . , ~vn de TpM es positiva cuando Ωp (~v1, . . . , ~vn) >0. De manera análoga, una carta ϕ =

(x1, . . . , xn

)es positiva cuando

Ω(∂

∂x1 , . . . ,∂

∂xm

)> 0.

Las cartas positivas constituyen un atlas orientado en M , y por tanto, definen na orien-tación.

Observación 5.7.7. Recíprocamente, se puede demostrar que si una variedad tiene unatlas orientado, entonces tiene una forma de volumen.

Observación 5.7.8. Una variedad orientada conexa tiene exactamente 2 orientaciones.

Definición 5.7.9. Sea M ⊂ Rn una subvariedad m-dimensional orientada, ω ∈ Ωm (M)una forma diferencial de grado máximo con soporte compacto. Si M admite una para-metrización global g : W ⊂ Rn → M correspondiente a la orientación de M , se define laintegral de ω como ∫

Mω :=

∫Wg∗(ω).

Lema 5.7.10. La integral anterior no depende de la parametrización escogida.


Demostración. Sea g′ : W ′ → M otra parametrización y sea X : W ′ → W un difeomor-fismo, entonces ∫

W ′g′∗(ω) =

∫W ′X∗

(g∗(ω)

)= ±

∫Wg∗(ω),

donde el signo es el signo de la jacobiana de X.

Observación 5.7.11. Si M requiere diversas parametrizaciones, se requiere un instru-mento técnico para definir la integral de una forma diferencial, si alguno está interesadopuede consultar en los apuntes del profesor (en el mismo índice).

Definición 5.7.12. Sea φα : Vα → M una familia de cartas positivas que recubren todoM y (χα) es una partición de la unidad subordinada, tenemos pues que ω = ∑

αχαω, lo

cual nos permite definir ∫Mω =

∑α

∫Mχαω.

Donde∫M χαω se debe entender como la integral sobre los abiertos Vα ya que χα fuera

de ellos vale 0.

Observación 5.7.13. Como hemos supuesto que ω tiene soporte compacto, la suma esuna suma finita, y, en general, M se puede expresar como

M =(⋃α

Vα

)︸︷︷︸

finito

∪ Z︸︷︷︸medida nula

,

y entonces, ∫Mω =

∑α

∫Vαω.

5.8. Variedades con borde y teorema de StokesObservación 5.8.1. El modelo local de variedad con borde es el semiespacio cerradoHm,

Hm =(x1, . . . , xm

)∈ Rm|x1 ≤ 0

= (−∞, 0]× Rm−1.

Formado por (−∞, 0)× Rm−1, el interior de Hm y su frontera 0 × Rm−1.

Definición 5.8.2. Una subvariedad con borde de dimensión m en Rn es un subconjuntoM ⊂ Rn que satisface la propiedad:

para cada p ∈ M existe un conjunto abierto V ⊂ Rn, con p ∈ V , y un difeomorfismoΦ: V → U entre abiertos de Rn, tal que

Φ (V ∩M) = U ∩(Hm × 0

).

Definición 5.8.3. Para un punto p ∈M de una subvariedad, y un difeomorfismo Φ comoel de antes, hay dos posiblidades,

5.8. VARIEDADES CON BORDE Y TEOREMA DE STOKES 89

Φ(p) ∈ Int (Hm)× 0.

Φ(p) ∈ Fr (Hm)× 0.

Que ocurra una o la otra, no depende del difeomorfismo utilizado. A los puntos del primertipo los llamaremos “puntos interiores” de M . Los puntos del segundo tipo, forman elborde de M , que se representa por ∂M .

Proposición 5.8.4. Si M es una subvariedad con borde,(M \ ∂M

)es una subvariedad

de dimensión m y ∂M es una subvariedad de dimensión m− 1.

Es tanto interesante como recomendable, consultar los apuntes del profesor de la parteque falta.

Proposición 5.8.8. Si una subvariedad M m-dimensional está orientada, entonces ∂Mtiene una orientación canónica (“hacia el exterior”), definida de la marea siguiente:

Si(x1, . . . , xn

)es una carta positiva deM , definida alrededor de un punto p del borde

según la definición del principio (es decir, x1 ≤ 0), entonces(x2, . . . , xm

)es una carta

positiva del borde.

Teorema 5.8.9. Teorema de Stokes.Sean M ⊂ Rn una variedad con borde, orientada y de dimensión m, y ω ∈ Ωm−1(M) unaforma diferencial de grado m − 1 en M de soporte compacto. Entonces, se satisface lafórmula de Stokes ∫

Mdω =

∫∂M

ω,

donde el borde tiene la orientación inducida por M .

Es interesante, aunque no se ha hecho en clase, consultar los apuntes del profesor paraver cómo se aplican las diversas fórmulas y teoremas vistas durante los temas anterioresa subvariedades con bordes.

Índice alfabético

aplicación lipschitziana, 46area de una superficie regular, 62

camino, 53cerrado, 75equivalente, 54homótopo, 75rectificable, 53

campo vectorialconservativo, 69solenoidal, 69

casi para todo, 34circulación de una función

a lo largo de un camino, 58a lo largo de una curva orientada, 59

componentenormal de un campo vectorial, 64tangencial de una función, 60

composición camino y homeomorfismo,54

conjuntoadmisible Jordan, 34simplemente conexo, 75

contenido nulo, 28cuadrado, 29curva

orientada, 58parametrizada, 53

diámetro de una función, 30discontinuidad de una función, 33divergencia, 67

de un campo escalar, 76dominio de convergencia, 12

exhaustión de una sucesión, 51extensión de una función a todo R, 36

funcióncaracterística de un subespacio, 35

integrable, 24localmente acotada, 52localmente integrable, 16localmente integrable Riemann, 51

gradiente, 67de un campo escalar, 76

integralde Riemann impropia, 51doble, 24impropia, 17absolutamente convergente, 19condicionalmente convergente, 19convergente, 17divergente, 17

inferior, 24superior, 24triple, 24

integral de línea de una funcióna lo largo de un camino, 57a lo largo de una curva regular, 58

integral de superficie(orientada) de un campo vectorial, 63(parametrizada) de una función, 61(regular) de un campo vectorial, 62(regular) de una función, 61

laplaciano, 69longitud

de un camino, 57de una curva, 53de una curva regular de clase C 1, 57

medida nula, 27

norma de una matriz, 46

operador nabla, 68orientación

de una curva regular, 58

91

92 ÍNDICE ALFABÉTICO

de una superficie regular, 63oscilación de una función, 30

en un punto, 30

partenegativa de un real, 9positiva de un real, 9

particiónde un rectángulo, 23más fina, 24

poligonal de longitud, 53

radio de convergencia, 12rectángulo de Rn, 23región elemental, 42rotacional, 67

serieabsolutamente convergente, 9alternada, 11analítica, 14condicionalmente convergente, 9convergente, 1

de números reales, 1divergente, 1oscilante, 1

de potencias, 12de Riemann, 4de Taylor, 14geométrica, 2harmónica, 4

subconjunto estrellado, 74suma

de una serie, 1inferior, 24superior, 24

superficieorientable, 63orientada, 63regular, 60

vértices de una poligonal, 53valor medio de una función, 37vector normal a una superficie, 64volumen n-dimensional, 23

cÁlculo integral - gitlab · 2020-07-03 · cÁlculo integral apuntes basados en el curso...

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