clave segundo parcial 1

8/12/2019 Clave Segundo Parcial 1

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

CLAVE DE EXAMEN

CURSO: Matemtica Bsica 2

SEMESTRE: Segundo

FECHA: 19 / 9 / 2007

HORARIO: 14:5016:30

SECCIONES EVALUADAS: P y Q

CODIGO DEL CURSO: 103

TIPO DE EXAMEN Segundo Parcial

FECHA DE ENTREGA 01 / 10 / 2007

(f)__________________________________

Aux. Werner Asdrbal Arriola M.


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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA.FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

REA DE MATEMTICA BSICA 2SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

Carn________________ Nombre: ___________________________________Instrucciones: A continuacin aparecen una serie de problemas, resulvalos en el

cuadernillo de trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas dentro delcuadernillo de trabajo. El tiempo de l prueba es de 100 minutos.

PROBLEMA 1 (10 PUNTOS)Encuentre el lmite si es posible:

Limx- [3x+ (9x2-x)]

PROBLEMA 2 (25 PUNTOS)La seccin transversal de un tanque de 5 metros de largo es un tringulo

equiltero de 4 metros por lado con vrtice hacia abajo, el agua fluye al tanque a un ritmo de1 metro por minuto. Con qu rapidez aumenta el nivel del agua cuando esta tiene un metrode profundidad?

PROBLEMA 3 (25 PUNTOS)Un slido se forma juntando dos hemisferios a los extremos de un cilindro

circular recto. El volumen total del slido es de 12 cm. Encontrar el radio del cilindro queproduce el rea superficial mnima.

PROBLEMA 4 (20 PUNTOS)Encuentre una ecuacin de la recta tangente a la grfica xy - 9x - 4y= 0 en el

punto (-4, 2 3).

PROBLEMA 5 (20 PUNTOS)Dibuje la grfica de una funcin fque tenga las caractersticas indicadas.

f(0) = f(6) = 0f(3) = f(5) = 0f(x) > 0 si x < 3, y x > 5; f(x) < 0 si 3 < x < 5

f"(x) < 0 si x < 3 o x > 4; f"(x) > 0 si 3 < x < 4


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PROBLEMA 1

Limx- [3x+ (9x2-x)]

Multiplicamos la expresin por uno a manera de eliminar la raz, para que nos quede una

diferencia de cuadrados y operamos:

Limx- 3x+ (9x-x) 3x - (9x - x)3x - (9x - x)

= limx- (3x) - (9x - x)) = limx- (9x - 9x + x)3x - (9x - x) 3x - (9x - x)

= limx- x3x- (9x-x)

En el denominador sacamos factor comn a 9x:Limx- x = limx- x

3x - 9x 1 - x 3x - 9x 1 - 19x 9x

= limx- x3x - |3x| 1 - 1

9x

Aplicamos valor absoluto para toda x < 0, esto va a ser igual a |3x| = 3x, y obtenemos:

limx- x = limx- x3x - (3x) 1 1 3x+ 3x 1 - 1

9x 9x

Luego aplicamos factor comn en el denominador:

Limx- x(3x) 1 + 1 - 1

9x


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As podemos eliminar x tanto en el numerador como en el denominador;

Limx- 13 1 + 1 - 1

9x

Y por ltimo valuamos:Limx- 1

3 1+1 - 19()

Y como sabemos que cualquier nmero dividido va a tender a cero, obtenemos losiguiente:Limx- 1

3 (1+ (1 0))

Limx- 13(1 + 1 )

Limx- 1(3(2))

= 16

Y obtenemos la solucin cuando

R// limx- [3x+(9x-x)] = 16


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PROBLEMA 2

Datos:dV = 1m Cuando, h = 1mdt min

Para poder encontrar la altura del tringulo equiltero,aplicamos el teorema de Pitgoras:c = (a + b);

En donde despejando b = (c -a)

4

44h

h = (4) - (2)

h = 23

Como sabemos que el volumen del tanque va a ser igual a V = rea de

triangulo x longitud; donde:Atringulo= bh ; donde: b = base2 h = altura

Y como la base del tringulo es variable, debemos dejarla en trminos deh.Haciendo relacin de tringulos, obtenemos:

b = h2 23

b = h3

Como sabemos que la base total va a ser b = 2b, sustituimos en la ecuacin devolumen:

V = 2bh (5)2

V = 5bh

4

4h

b

4

44

5


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V = h (5)

3

V = 5h3

Luego derivamos la ecuacin en trminos de t:dV = 10h dhdt 3 dt

Y despejamos dh :dt

dVdh= dtdt 10h

3

Luego sustituimos los datos que nos proporcionan:dh = (1 m / min) = 3dt (10(1)) 10

(3)

R// dh = 3dt 10


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PROBLEMA 3

V = 12 cmVolumen total = Volumen cilindro + VolumenV = rh + 4 r

3

Sustituimos el volumen total:12 = rh + 4 r ecuacin No. 1

3

rea Superficial = S cilindro + S esferaS = 2 rh + 4 r ecuacin No. 2

Despejamos h de la ecuacin No. 112 = rh + 4 r

3h = 12 - 4 r

3( r )

h = 36 - 4 r3( r)

h = 36 - 4 r ecuacin No. 33 r

Sustituimos ecuacin No. 3 en ecuacin No. 2

S = (2r)(36 - 4r) + 4r3r

S = 2r(36-4r) + 4r3r

S = 2(36 - 4 r) + 4 r3r

S = 72 - 8 r + 4 r3r

h

r


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Como S = mnima

S = 0

S = (8)( r - 9)3r

0 = (8)( r - 9)3r

0 = 8 r - 72

8 r = 72

r = 728

r = 3 72

8

r = 3 9

R// r = 3 9


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PROBLEMA 4

Como sabemos que la pendiente es la f(x), entonces derivamos implcitamente:xy - 9x - 4y = 0

d xy - 9x - 4y = 0

dx

d (xy) + d ( -9x) + d (-4y) = 0dx dx dx

2xy + x 2y dy - 18x - 8y dy = 0dx dx

xy dy -8y dy = 18x - 2xydx dx

dy (x2y - 8y) = 18x - 2xydx

dy = 18x - 2xydx 2xy - 8y

Ahora valuamos en el punto que nos dan (-4,23 )dy = 18(-4) -2(-4)(23 )dx 2(-4)(23) - 8(23 )

dy = 3 m = 3dx 6 6

La ecuacin de la recta tangente es:yy1= m (xx1)y = m (xx1) + y1

Sustituimos valores:y = 3 (x + 4) +23 = 3 x + 43 + 23

6 6 6

y = 3 x + 836 3 R// ecuacin de la recta tangentey = 3 x + 83

6 3


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PROBLEMA 5

El problema se corrigi de tal manera que se eligi:Que f(3) y f(5) no existen, y obtenemos que:

f(0) a f(3) = cncava hacia abajof(4) = punto de inflexinf(3) a f(4) = cncava hacia arribaf(4) a f(5) = cncava hacia abajoy en la interseccin de f(6) = cncava hacia abajo

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