clasificación de las funciones.docx investigacion

7/21/2019 Clasificacin de Las Funciones.docx Investigacion

1/11

Clasificacin de las funciones

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que

pueden

formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

Si a cada imagen le corresponde una nica preimagen, inyectiva.

Si la imagen de la funcin es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.

Una funcin que sea inyectiva y sobreyectiva simultneamente, se denomina

biyectiva .

Puede aber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas,

supreyectiva pero no

inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tieneun nombre especifico.

!"efiniciones alternas# sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio $.

Consideremos la ecuacin

f(x)=b()

.

la funcin es suprayectiva o sobreyectiva si, y slo si, la ecuacin siempre tiene al

menos una

solucin.

la funcin es inyectiva si, y !solo si, la ecuacin %&' tiene a lo ms una solucin.

la funcin es biyectiva cuando, y slo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la ve(.


2/11

)amos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones %aplicaciones' en un "iagrama

de )enn, el con*unto

universal U, representado por un rectngulo, es el con*unto de todas las posibles

aplicaciones, el

con*unto + es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el con*unto aquel de lassobreyectivas, esto nos

permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo grfico.

+plicacin inyectiva y no sobreyectiva

-n una funcin inyectiva, cada elemento imagen tiene nica preimgen. Un funcin

que no sea

inyectiva, tendr al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la

misma imagen.

-n una funcin suprayectiva %sobreyectiva' cada elemento del codominio es imagen

de algn elemento

del dominio. Una funcin no ser suprayectiva, cuando al menos un elemento del

codominio %con*unto

final' no tenga una preimagen.

-n el diagrama de )enn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a + y no

pertenecen a , esto

es las que pertenecen a la diferencia de + y # +.


3/11

-n estas aplicaciones la cardinalidad de / es siempre menor que la de $, esto es el

con*unto $ tendr

mayor nmero de elementos que / cuando tratamos de compararlos.

-*emplo

en el diagrama de la figura#

todos los elementos de $, que tienen origen, tienen un nico origen, esto ace que

la aplicacin

sea inyectiva

el elemento d de $, no tiene ningn origen por lo que esta aplicacin no es

sobreyectiva.

Segundo e*emplo

Partiendo del con*unto de pinceles con pintura de colores#, ,

Sobre el con*unto de caras pintadas#

, , ,

+sociando cada pincel con la cara correspondiente#

"ado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta

correspondencia es una aplicacin,

como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la

aplicacin es inyectiva,


4/11

y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningn pincel de este color, la

aplicacin no es sobreyectiva.

+plicacin no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicacin no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o

ms or0genes y una

sobreyectiva todos los elementos del con*unto final tienen al menos un elemento

origen.

-n el diagrama de )enn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a + y si

pertenecen a ,

esto es las que pertenecen a la diferencia de y +# +.

Para esta aplicacin el con*unto / a de tener mayor nmero de elementos que $, la

cardinalidad de /

a de ser mayor que la de $.

-*emplo


el elemento c de $, tiene dos or0genes# el 1 y el 2, por lo que esta aplicacin no esinyectiva.

todos los elementos de $, tienen origen, esto ace que la aplicacin sea

sobreyectiva.


5/11

Segundo e*emplo

3gual que en el e*emplo anterior partiremos del con*unto de pinceles con pintura de

colores#

, , ,

-n este caso ay dos pinceles con pintura a(ul, pero a pasar de tener el mismo

color de pintura son dos

pinceles distintos.

Como con*unto final tenemos el con*unto de caras pintadas#

, ,

+sociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene

una cara pintada de su

color y solo una, esto ace que la correspondencia sea una aplicacin, la cara a(ul

tiene dos pinceles de

su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su

color, luego la

aplicacin es sobreyectiva.

+plicacin inyectiva y sobreyectiva %biyectiva'4


6/11


7/11


8/11

5a correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una

aplicacin porque

todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la

aplicacin es inyectiva

porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todaslas caras tiene un

pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultneamente esta aplicacin

es biyectiva.

Una aplicacin biyectiva ace corresponder los elementos del con*unto inicial con

los del con*unto

final uno a uno, pudi:ndose decir que ay el mismo nmero de elementos en el

con*unto inicial que en

el final.

+plicacin no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicacin no inyectiva tendr al menos un elemento imagen que tenga dos o

ms or0genes y una

no sobreyectiva tendr al menos un elemento del con*unto final que no tenga

elemento origen. -ste tipode aplicaciones no tiene un nombre especifico y qui(

sean las que presenten, desde el punto de vista

matemtico, un menor inter:s.

Para esta aplicacin los con*untos / e $ no son comparables, y no podemos

plantear ningn supuesto

sobre su cardinalidad, partiendo de su comparacin, ni sobre su nmero de

elementos.

-n el diagrama de )enn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a + y

no pertenecen a ,

esto es las que no pertenecen a la unin de + y .

-*emplo


el elemento b de $, tiene dos or0genes# 8 y 7, esto ace que esta aplicacin no sea

inyectiva


9/11


10/11


11/11

clasificación de las funciones.docx investigacion

Documents