clases del capitulo ii primer parcial ( cinemática movimiento en una dimension)

8/18/2019 Clases Del Capitulo II Primer Parcial ( Cinemática movimiento en una dimension)

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JOSÉ L PERAZA, FÍSICA 1 JOSÉ L PERAZA, FÍSICA 1 JOSÉ L PER

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CAPITULO 2 CINEMÁTICA (MOVIMIENTO ENUNA DIMENSIÓNEn este capitulo estudiaremos la cinemática que

estudia el movimiento de los cuerpos sin

importar la causa que los produce.

En otras palabras en este capitulo se describirá

el movimiento de un objeto mientras se ignoran

las interacciones con agentes externos que

puedan causar o modificar dicho movimiento.

En este capitulo consideraremos solo el

movimiento traslacional, en este movimiento se

usa el modelo de partícula, y el objeto en

movimiento se describe como una partícula sin

importar su tamaño. Por ejemplo si queremos

describir el movimiento de la tierra alrededor del

sol, puede considerarse a la tierra como una

partícula.

Describamos ciertas definiciones básicas para el

estudio de este movimiento.

Distancia: la distancia se refiere a cuantoespacio recorre un objeto durante su

movimiento

La figura muestra que podemos iniciar un evento y

seguir una ruta. Esta ruta es la que hace que recorramos

una distancia

Por ser una medida de longitud, la distancia seexpresa en unidades de metro en el sistema

internacional (SI).

Desplazamiento: esta se refiere a la distancia yla dirección de la posición final respecto a la

posición inicial de un objeto. Al igual que la

distancia, el desplazamiento es una medida de

longitud por lo que el metro es su unidad de

medida. Sin embargo, al expresar el

desplazamiento se hace en términos de la

magnitud con su respectiva unidad de medida y

la dirección. El desplazamiento es una cantidad

de tipo vectorial.


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En esta figura observamos que la persona

recorre 8 metros al norte, luego 12 metros al

este y finalmente 8 metros al sur, para el

desplazamiento solo importa el punto de inicio o

partida y el punto de llegada, por lo que al unir el

inicio con el final marca el desplazamiento de la

persona entonces matemáticamente el

desplazamiento se expresa como:

Esto representa la posición final menos la

posición inicial de la persona, el signo del

resultado indica la dirección en un sistema de

coordenadas definido, ya que estamos

trabajando en una dimensión el signo menos

indicara que esta a la izquierda del eje x, o que

esta por debajo del eje y en su parte negativa.

En el caso de la figura indicara que el

desplazamiento es 12 metros hacia la derecha o

hacia el este.

O vectorialmente

Cuando el objeto termina en la misma posición

que donde comenzó el desplazamiento será

cero, y no necesariamente la distancia tendrá

que serlo.

Trayectoria:Es una línea imaginaria que resulta de unir

todos los puntos del recorrido de una partícula u

objeto.

Posición: la posición de una partícula es la

ubicación de la partícula respecto a un punto dereferencia elegido que se considera el origen de

un sistema coordenado.

Hoy día podemos decir que la posición de un

objeto es aquella información que permite

localizarlo en el espacio en un instante de

tiempo determinado.

Velocidad:En física, velocidad es la magnitud física que

expresa la variación de la posición de un objeto

en función del tiempo, o distancia recorrida por

un objeto en la unidad de tiempo. Se suele


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representar por la letra .la velocidad puede

distinguirse según el lapso considerado, por lo

cual se hace referencia a la velocidad

instantánea, la velocidad promedio etcétera. En

el sistema internacional de unidades su unidades el metro por segundo m/s.

En términos precisos, para definir velocidad de

un objeto debe considerarse no sólo la distancia

que recorre por unidad de tiempo sino también

la dirección y el sentido del desplazamiento, por

lo cual la velocidad se expresa como una

magnitud vectorial.

Velocidad media:La velocidad media o la velocidad promedio

informa sobre la velocidad en un intervalo dado.

Se halla a través del cociente entre el

desplazamiento delta x ( ∆ x), y el tiempo

transcurrido delta t ( ∆ t).

Velocidad instantánea:La velocidad instantánea se aproxima al valor

de la velocidad media entre dos puntos muy

próximos. En términos matemáticos se dice que

la velocidad instantánea es el límite del cociente

entre el vector desplazamiento y el tiempo,

cuando el tiempo tiende a cero. Por otro lado se

puede decir que la velocidad instantánea es la

derivada del vector desplazamiento con

respecto al tiempo.

AceleraciónLa aceleración es una magnitud vectorial que

nos indica el cambio de la velocidad por unidad

de tiempo. Se representa por la letra y su

unidad en el sistema internacional (SI) es el

. Cada instante, o sea en cada punto de

la trayectoria queda definido un vector velocidad

que, en general, cambia tanto en módulo como

en dirección al pasar de un punto a otro de la

trayectoria. La dirección de la velocidad

cambiará debido a que la velocidad es tangente

a la trayectoria y ésta, por lo general, no es

rectilínea.


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La aceleración mediaLa aceleración media se define como el cambio

en la variación de la velocidad con respecto al

tiempo

Aceleración instantáneaLa aceleración instantánea se aproxima al valor

de la aceleración media entre dos puntos muy

próximos. En términos matemáticos se dice que

la aceleración instantánea es el límite del

cociente entre el vector velocidad y el tiempo,

cuando el tiempo tiende a cero. Por otro lado se

puede decir que la aceleración instantánea es la

derivada del vector velocidad con respecto al

tiempo.

Ecuaciones que rigen el movimiento

Movimiento a velocidad constante,movimiento a velocidad constante se describe

mediante la ecuación

Integrando ambos términos de la ecuación

tenemos

Generalmente

Movimiento con aceleración constantePara encontrar las ecuaciones que controlan

este movimiento partimos de:


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Por otro lado tenemos

Integrando

Combinando las tres ecuaciones tenemos

Movimiento en una dimensión en el eje yEn esta sección estudiaremos tres tipos de

movimientos en el eje y

1) Lanzamiento vertical hacia arriba

2) Lanzamiento vertical hacia abajo

3) Caída libre

En esta sección las ecuaciones son lasmismas que en la sección anterior

solamente que en las ecuaciones sustituimos

x por y, y la aceleración la estudiaremos

ahora como la aceleración de la gravedad

La aceleración de la gravedad es una

manifestación de la atracción universal que

impulsa los cuerpos hacia el centro de la

tierra.

Sir Isaac Newton formulo la ley de la gravitación

universal.

Por efecto de la gravedad tenemos la sensación

de peso. Si estamos situados en las

proximidades de un planeta, experimentamos

una aceleración dirigida hacia la zona central de

dicho planeta —si no estamos sometidos al

efecto de otras fuerzas —. En la superficie de la

Tierra, la aceleración originada por la gravedad

es 9.81 m/s², aproximadamente.

Albert Einstein demostró que la gravedad no es una fuerza

de atracción, sino una manifestación de la distorsión de la

http://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein


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geometría del espacio-tiempo bajo la influencia de los

objetos que lo ocupan.

Para el lanzamiento vertical hacia arriba

tenemos

Concepto lanzamiento vertical:

El lanzamiento vertical es aquel Movimiento

sujeto a la aceleración gravitacional pero ahora,

la aceleración se opone al movimiento inicial del

objeto .

Las ecuaciones que rigen el movimiento son:

Lanzamiento vertical hacia abajo

Las ecuaciones que rigen el sistema son

Para este caso es negativa

Si tomamos el origen del sistema de referencia

donde comienza el movimiento tenemos

que , y será negativa por estar

por debajo del nivel de referencia

seleccionado.

Caída libre

Las ecuaciones que rigen el sistema son

Y =0

Y =0


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Si tomamos el nivel de referencia al comienzo

del movimiento ,

Graficas del movimiento

Ejercicios de movimiento en una dimensión1) Dada la grafica de aceleración en función

del tiempo a(t), determinar las graficas de

velocidad en función del tiempo v(t), y

posición en función del tiempo x(t).

Dadas las condiciones iniciales de que para

un tiempo t =0, tenemos que:

V(0) = 2m/s, y x(0) = 1m.

Dada la grafica anterior, primero la dividimos

en áreas, A1, A2, A3, y por definición

podemos decir que cada área de las que

definimos representara el cambio en la

velocidad en el intervalo que represente.

Por ejemplo.

Veamos el intervalo entre 2 y 4 segundos

Veamos el intervalo entre 6 y 4 segundos

El signo menos significa que la velocidad es

negativa.

Ahora construyamos la grafica de velocidad en

función del tiempo.

a (m/

t (s

2

-2

A1 A2

A32 4 6

A1A2

A32

6

V (m/s)


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Al igual que la grafica anterior dividámosla en

áreas las cuales representaran los cambios en

la posición para cada intervalo

Para el intervalo entre 2 y 4 segundos

Para el intervalo entre 4 y 6 segundos

2) En una carrera de 100 metros Ana y julia

cruzan la meta en un empate muy

apretado, ambas con un tiempo de 10,2

seg. Acelerando uniformemente, Ana

tarda 2 seg. Y Julia 3 seg. Para alcanzar

la velocidad máxima, la cual mantienen

durante el resto de la competencia.

a) ¿Cuál fue la aceleración de cada

velocista?

b) ¿cuál fue la velocidad respectiva?

c) ¿Cuál de las velocista va adelante en

la marca de 6 seg. Y por cuanto?

2 4 6

1

13

25

37


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Estudiemos primero el caso de Ana

Por otro lado

También sabemos que

Y que

Sustituyendo en esta ecuación tenemos

De la misma forma resolvemos para julia

También sabemos que

Y que

Sustituyendo en esta ecuación tenemos

A

J

100m

10,2s


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para saber quien de las dos va adelante

en la marca de 6 s

Ana

Para Julia

Finalmente Ana va delante por 2,6m

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONESEn este capitulo vamos a estudiar

movimientos en dos dimensiones, entre

los cuales se encuentran: el lanzamiento

de proyectiles, movimiento circular ymovimiento Relativo.

Movimiento parabólico o lanzamiento

de proyectiles.

Un movimiento parabólico es un ejemplo

de un movimiento a aceleración

constante. Todo cuerpo o partícula puede

ser considerado como proyectil, este

movimiento se caracteriza por ser un

movimiento al cual se le suministra al

cuerpo o partícula una velocidad inicial y

el cual es lanzado con un cierto ángulo y

describe una trayectoria parabólica la

cual esta influenciada durante su

recorrido sólo por la aceleración de la

gravedad, la cual se considerara

constante. Existe el caso de movimiento

parabólico donde el ángulo de

lanzamiento sea cera (se lanza

horizontalmente), pero esto debe ocurrir

al lanzarse sobre una superficie elevada.

Primero hallemos las componentes de la

velocidad inicial del movimiento


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Ahora determinemos la ecuación para

determinar la velocidad en cualquier

instante de tiempo en el eje x o y.

Donde:

Ya que =0

(3)

Si queremos hallar la velocidad total en

cualquier instante

Rapidez de la partícula en cualquierinstante de tiempo

(6)

Tiempo máximoEl tiempo máximo es le tiempo que tarda la

partícula u objeto en alcanzar su máxima altura

(momento en el cual su velocidad en y es cero)

Entonces

Hacemos

Altura máximaLa altura máxima ocurre cuando el

tiempo es máximo

g

La posición x de la partícula encualquier instante

La posición inicial de la partícula es cero

y la aceleración en el eje x es cero ya queel movimiento parabólico solo esta

acelerado en el eje y debido a la

aceleración.

(10)

Tiempo de vuela


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El tiempo de vuelo es el tiempo cuando la

partícula vuelve a pasar por el mismo

nivel de referencia desde el que salió y se

define como dos veces el tiempo máximo

(2)

Alcance máximoEl alcance máximo es la distancia

horizontal que la partícula recorre hasta

que pasa de nuevo por el mismo nivel de

referencia que fue lanzado

Finalmente

Finalmente hallemos la ecuación de la

trayectoria

Es

Ejercicios de movimiento parabólicoUn jugador de baloncesto lanza la pelota,

formando un ángulo de 55 ° con la

horizontal: calcular

a) ¿A qué velocidad inicial deberá el

jugador lanzar el tiro de castigo?

b) ¿Qué tiempo tarde en llegar la pelota

a la cesta?

c) ¿Cuál es la velocidad de la pelota al

instante de entrar a la cesta?

Solución

b)

10 pies 7 pies13 pies

55


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c.) +

Finalmente

2. Un jugador de beisbol que lanza una

pelota desde el jardín suele dejar que la

pelota de un bote en el piso con base en

la teoría de que la pelota llegará más

rápido de esta manera. Suponga que la

pelota golpea el suela a un ángulo θ y

después rebota al mismo ángulo pero

pierde la mitad de su velocidad.

a) Suponiendo que la pelota siempre se

lanza con la misma velocidad inicial, ¿Aqué ángulo θ debe lanzarse para que

recorra la misma distancia D con un bote

que con un lanzamiento dirigido hacia

arriba a 45 ° que llega al blanco sin botar.

b) Determine la razón de tiempos

correspondientes a lanzamientos de un

bote y sin bote.

a. Para los 45 ° es el alcance máximo

Sin rebote

Con rebote

D = X1 +X2

Ahora sustituyendo tenemos

Igualando con la primera ecuación

45

D

X1X2


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Finamente

b. Sin rebote

c.

Con rebote

Ahora la razón de los tiempos es

3) Un cañón antitanques esta ubicado en

el borde de una meseta a una altura de

60m sobre la llanura que la rodea. La

cuadrilla del cañón avista un tanque

enemigo estacionado en la llanura a

una distancia horizontal de 2,2 km del

cañón. En el mismo instante, la

tripulación del tanque ve el cañón y

comienza a escapar en línea recta de

éste con una aceleración de 0,900

m/ . Si el cañón antitanque dispara

un obús con una velocidad de 240 m/s

y un ángulo de elevación de 10 ° sobre

la horizontal. ¿Cuánto tiempo

esperaran los operarios del cañón

antes de disparar para darle al tanque?

Solución

Supongamos que el cañón se desplazauna distancia ∆ a partir de donde

estaba estacionado hasta que fue

impactado por el obús. Y que X sea la


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distancia total desde donde sale el obús

hasta donde impacta el tanque.

Utilicemos la ecuación de la trayectoria

X= 2349,6 m

La distancia que recorre le tanque hastael punto de impacto es

Por otro lado el tiempo que le toma al

tanque llegar allí es:

Donde es la aceleración del tanque y

es el tiempo del tanque

El tiempo que le toma al proyectil llegar

allí es:

Finalmente el tiempo que debe esperar el

operador del cañón es.

Movimiento circularEstudiaremos ahora el caso especial en

que la partícula se mueve en unatrayectoria circular con una rapidez

constante (magnitud de la velocidad) y

una aceleración constante en magnitud

ya que tanto la velocidad como la

aceleración cambian de dirección

constantemente, este tipo de movimiento

se llama movimiento circular uniforme.

Estamos rodeados por objetos que

describen movimientos circulares: un

disco compacto durante su reproducción

en el equipo de música, las manecillas de

un reloj o las ruedas de una motocicleta


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son ejemplos de movimientos circulares;

es decir, de cuerpos que se mueven

describiendo una circunferencia.

Donde el arco descrito como s se llama

arco de circunferencia y se determina por

Donde

Y esto nos da el ángulo medido en

radianes (rad). Como tanto la longitud de

arco como el radio deben medirse en las

mismas unidades entonces el radian

resulta ser un número sin unidades.

Este valor de radianes los podemos

transformar en grados y en vueltas o

revoluciones en la circunferencia, según

la siguiente manera.

En este caso particular de movimiento

circular uniforme la partícula se mueve a

velocidad constante en magnitud donde

su dirección esta cambiando

constantemente y esto de debe a una

aceleración denominada aceleracióncentrípeta o aceleración radial y se

determina de la siguiente manera.

En la figura (a) observamos que el punto

p1 es la posición de la partícula en un


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tiempo t1 cualquiera, y el punto p2 es la

posición de la partícula en un tiempo

, mientras que la velocidad v1

es la tangente a la curva en la posición

p1 y la velocidad v2 es la tangente a lacurva en la posición p2, como en este

movimiento la velocidad es constante en

magnitud entonces vi y v2 son iguales en

magnitud y podemos observar por

definición de arco de circunferencia que

el segmento de curva p1p2 es igual a

y como la velocidad es constante y ∆ tpequeño

Entonces tenemos que:

Por otro lado podemos observar el la

figura (b) que , de donde

Por definición sabemos que la magnitud

de la aceleración es:

Dividiendo ambos términos entre dos (2)

tenemos que:

Por trigonometría sabemos que para

ángulos pequeños en radianes tenemos

que , entonces finalmente

Entonces podemos finalmente definir a la

aceleración centrípeta como

Y su dirección siempre es apuntando

hacia el centro del circulo en el que se

mueve la partícula y sus unidades están

dadas en .

El tiempo que tarda la partícula en dar

una vuelta completa o una revolución se

llama periodo (T) y se calcula como:

El periodo también se define como:

Donde F se denomina frecuencia

Se denomina frecuencia (F) de un

movimiento circular al número de

revoluciones, vueltas o ciclos completos

durante la unidad de tiempo. La unidad


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utilizada para cuantificar (medir) la frecuencia

de un movimiento es el hertz (Hz) , que indica

el número de revoluciones o ciclos por cada

segundo.

También existe otro movimiento circular el

cual no es uniforme el cual se caracteriza por

cambiar su velocidad tanto en magnitud

como dirección durante el recorrido circular

de la partícula.

Donde es la aceleración total

Donde

Acá aparecen dos términos nuevos los

cuales son la velocidad angular y la

aceleración angular

La velocidad angular es la tasa de

variación del desplazamiento angular y

puede ser descrito por la relación

Y su dirección esta determinada por la

regla de la mano derecha

La aceleración angular es la medida de la

variación de la velocidad angular en relación con

el tiempo

Y su dirección esta determinada por la regla de

la mano derecha

Existe también una relación entre estas

magnitudes lineales y angulares dada por:

Derivando esta ecuación respecto al tiempo

r


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Volviendo a derivar tenemos la aceleración

Movimiento relativoEn este tipo de movimiento consideramos a la

partícula desde el punto de vista de tres

observadores diferentes dos de los cuales son

móviles y uno fijo

Donde los puntos A y B representas dos

objetos que se están moviendo respecto al

punto O donde se encuentra un observador fijo.

Entonces los vectores posición

De igual manera

Y

Si derivamos esta posición respecto del tiempo

tenemos la velocidad relativa y al derivar esta

tendremos la aceleración

Al igual que la posición

Derivando la velocidad

EjerciciosUna pelota oscila en un círculo vertical en el

extremo de una cuerda de 1,5 m de largo.

Cuando se encuentra en el punto A, en θ = 37

del punto más bajo en su trayectoria, la

aceleración de la pelota es

m/ . Para este instante,

a) Dibuje el diagrama vectorial que muestra

las componentes de su aceleración

b) Determine la magnitud de su aceleración

centrípeta

c) Determine la magnitud y dirección de su

velocidad

A

B

20,2 m/

22,5m/


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20

b.

A 37 ° de la horizontal

2) un bote cruza un rio de 160 m de ancho,

el rio tiene una velocidad constante de 1,5

m/s en dirección este respecto a la orilla. El

piloto mantiene el bote a velocidad constante

respecto del rio a 2 m/s perpendicular al

mismo. Determinar:

a) ¿cual es la velocidad del bote respecto a

la tierra?

b) que tan lejos, aguas abajo, llega el bote a

la otra orilla

Y su magnitud es

b.

11 37

37 160m

X

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