CAPITULO II

1.- FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

El conocimiento cabal del movimiento de los fluidos dentro de un reservorio, es de primordial importancia para entender el proceso de su producción desde el reservorio al superficie.

Los conceptos y leyes básicas que regulan este proceso son las Darcy, balance de materia, difusividad, etc, y sus adecuaciones y cambios a casos específicos.

Ley de Darcy.- Es una relación empírica que fue desarrollada por Henry Darcy para determinar el flujo de agua a través de filtros de arena. La ley enuncia que la velocidad de un fluido homogéneo en un medio poroso es proporcional al gradiente de presión entre la entrada y salida del fluido e inversamente proporcional a su viscosidad y a la longitud del camino que recorre, así:

-K p V = --------- (1)

L

Esto es lo que se conoce como la Ley de Darcy y para su deducción, se hicieron algunas consideraciones:- Se tiene flujo laminar. El flujo turbulento ocurre a

altas velocidades y en estas circunstancias el gradiente aumenta a una tasa mas alta que la de flujo.

- La formación es homogénea en todas las direcciones; esto es se trata de una roca isotrópica.

- El fluido utilizado es incompresible. En realidad se utilizó agua.

- La roca horizontal, como la figura IIa - Flujo monofásico. Sol agua dulce.

Si partimos de la velocidad aparente V, en cm/seg y a su vez se conoce que V = q/A, la ecuación 1 se puede expresar como:

-K A*P q = --- ----- (2)

L

Las unidades utilizadas en el experimento de Darcy son:

K = Es la constante de proporcionalidad y se conoce como

1

Permeabilidad absoluta de la roca, se expresa en darcys.q = Caudal de flujo en movimiento, en centímetros cúbicos por segundo.A = Area de la sección transversal total o aparente de la roca tubo)en centímetros cuadrados. Este valor incluye la parte porosa y rocosa.P= Diferencial de presión entre el punto de ingreso y salida del fluido, en atmósferas.L = Longitud del tubo en centímetros. = Viscosidad del fluido en centipoises.

A partir de las ecuaciones anteriores, se puede visualizar el flujo a través de un tubo horizontal e inclinado

L p2

q, p1 p2 A h=L sen L q, p1

A

Fig.#II-1a Fig.#II-1b

Si en la ecuación 2, el factor de presión P se desagrega en la presión que se ejerce sobre la superficie libre de un fluido y la producida por su densidad, se puede presentar como:

-K A*(P+d*g*h) k P d*g*h q = --- -------------- = - A--- ---- + ------ (3) L L L

Si el flujo tiene lugar en una tubería inclinada semejante al de la figura II-b, la ecuación se puede presentar como:

k P d*g*L*sen q = -A --- ---- + -------------- L L

Esto es : K Pq = -A --- ---- + d*g*sen (4) L

De donde:

d = Densidad del fluido. Aquí no tiene unidades pues resulta de dividir por la densidad del agua dulce de valor 1, como gravedad específica(γ=d/da) por lo que se anulang = Gradiente del fluido?? o aceleración de la gravedad? h = Altura desde un nivel de referencia.

2

De estas ecuaciones, se conoce como:Carga hidrostática = d*g*h Potencial de flujo de un fluido = P + d*g*h

En esta ecuación q es positivo cuando el flujo es hacia arriba y negativo cuando es hacia abajo. En el caso de un flujo donde no existe presión externa y con =0, la presión en cualquier punto del fluido es solamente el resultado de la densidad por su altura o sea igual a dgh. O de gradiente por altura?, revisar

El signo negativo de estas ecuaciones indica que si el flujo positivo se toma en la dirección positiva de L, la caída de presión ocurre en la misma dirección que aumenta el valor de L, lo que resulta en un valor negativo de la pendiente dp/dl.

Partiendo de las relaciones arriba indicadas, se puede definir a la unidad de permeabilidad (K) DARCY. Se dice que una roca tiene una permeabilidad de un darcy cuando un fluido con una viscosidad de un centipoise avanza a una velocidad de un centímetro por segundo bajo una gradiente de presión de un atmósfera por centímetro.

En la industria petrolera, se ha hecho práctica común el usar unidades propias, que se conocen como unidades de campo, en cuyo caso la ecuación 2 de flujo lineal puede expresarse como:

- 1,127*K*A P q = ------------ --- (5) L

De donde:

K = Permeabilidad absoluta de la roca en Darcys.q = Caudal en barriles por día.A = Area de la sección transversal total o aparente de la roca en pies cuadrados. P/L = Gradiente de presión, en libras por pulgada cuadrada

por pie. = Viscocidad del fluido en centipoises.

La ecuación de flujo lineal para líquidos, es una de las mas simples, dado que la compresibilidad del un líquido es tan pequeño para propósitos de flujo estable que se puede considerar a la tasa q como constante.

3

FLUJO RADIAL.-Para flujo radial incompresible, se obtiene sustituyendo la sección transversal A por la de un cilindro de altura h, radio r, por lo que la ecuación 3 quedaría como:

+1,127*K*(2rh) P q = --------------- ---- (6) r

re

h

Pe Pwf

Fig.#II-2 Flujo radial

El signo negativo de la ecuación 3 se elimina debido a que la longitud L se cambia por el radio r y este es medido en sentido contrario a la dirección del flujo; esto es donde la presión decrece con el incremento del radio, entonces la relación P/r es positiva.

La ecuación anterior puede quedar como:

q* (r) P = --------- ----- (7) 7.08*K*h (r)

Para fluidos incompresibles, la relación q*/7.8*k*h, se puede considerar que no cambia con el radio. Entonces la caída de presión en el reservorio desde el radio de drenaje exterior re al radio del pozo rw, se asume como Pe-Pwf. Para ello se integrará la ecuación 7:Pe q* re P = --------- (r/r) Pwf 7.08*K*h rw

4

Pe q* re dP = --------- (dr/r) , de donde: Pwf 7.08*K*h rw

q *Pe-Pwf= ---------- ln (re/rw), de donde a su vez: (8) 7.08*K*h

7.08*K*h (Pe-Pwf)q = ---------- ---------- (9)

ln(re/rw)

Esta es una de las ecuaciones mas conocidas e importantes de flujo radial para líquidos en medios porosos. Donde:

q = Producción, barriles reservorio / día. K = Permeabilidad promedio en área de drenaje de zona no

dañada y dañada o mejorada alrededor del pozo, en darcys.

h = Espesor promedio de la formación productora, pies.Pe = Presión exterior del reservorio, psiPwf = Presión fluyente al fondo del pozo, psiµ = Viscosidad del fluido a Pe o (Pe+Pw)/2, cpre = Radio exterior del reservorio, piesrw = Radio del pozo, pies

ECUACIONES DE FLUJO CONSTANTE en barriles de reservorio

TIPO GAS LÍQUIDO

0.112*A*K*(Pe²-Pwf²) 1,127*K*A (Pe-Pwf)LINEAL qg = -------------------- q = --------- ---------

Tf Z µ L µ L

0.703*K*H*(Pe²-Pwf²) 7.08*K*h (Pe-Pwf)RADIAL qg = -------------------- q = -------- ----------

Tf Z µ ln(re/rw) µ ln(re/rw)

Tf = Temperatura de la formación en °R = (°F+460)z = Factor de compresibilidad

Estas ecuaciones expresan la tasa de fluido a condiciones de reservorio. En el caso del petróleo para expresarlo a

5

condiciones de superficie, se introduce el factor volumétrico de formación, Bo y se expresa como:

7.08* Ko*h*(Pe-Pwf) qo = ------------------- (10)

Bo*µo*ln(re/rw)

En el experimento de Darcy se utilizó un solo agua, en cuyo caso se habla permeabilidad absoluta; sin embargo, en un reservorio existen varios fluidos que se mueven a la vez cuando se produce un pozo, por lo que tratándose de petróleo el valor de K se reemplaza por la permeabilidad efectiva al petróleo, Ko, tal como se indica en la ecuación 10.

II.2.1.- TIPOS DE PERMEABILIDAD.

En el experimento de Darcy se utilizó un solo agua, en cuyo caso y a partir de la ecuación 1, se habla permeabilidad absoluta; sin embargo, en un reservorio existen varios fluidos que se mueven a la vez cuando se produce un pozo. De aquí que se ha hecho necesario definir tres tipos de permeabilidad a los fluidos: absoluta, efectiva y relativa.

Del experimento del Darcy y a partir de la ecuación 1, se definió la permeabilidad absoluta y la unidad adoptada fue el Darcy. En la práctica, se ha visto esta unidad es muy grande para la mayoría de reservorios, por lo que se usan con mucha frecuencia los milidarcys (Darcy/1000)

Se ha determinado que con excepción de los gases a bajas presiones, la permeabilidad es una propiedad de las roca y no del fluido que se mueve a través de ella; esto siempre y cuando el fluido moje el 100% de los espacios porosos.

Las diferencias de permeabilidad a varias fases, se cree que se debe a la reacción de los medios porosos a una o mas de estas fases, por lo que se puede decir que la permeabilidad a un fluido dado es independiente de la naturaleza del mismo.

Los siguientes ejemplos son tomados del libro Ing. Aplicada de Yacimientos Petrolíferos de B.C. Craft and M.Hawkins a.- Permeabilidad Absoluta,K.-

De todo lo dicho anteriormente, se define la permeabilidad absoluta, K como la habilidad de la roca para permitir el flujo de un fluido homogéneo que moja o satura el 100% de los espacios porosos de la roca.

6

Ejemplo: (K Hawkins, pag446). Cual es la permeabilidad absoluta de una roca que tiene una sección transversal de 2.0 cm2, una longitud de 3.0 cm. y fluye agua salada de 1.0 cp. Una tasa de 0,50 cm3/seg. Con una diferencial de presión de 2.0 atmósferas.

q*µ*L 0.5*1.0*3.0K= --------- = ------------= 0.375 Darcys A* P 2.0*2.0

Si en lugar del agua salada fluye petróleo de una viscosidad de 3.0cp a una tasa de 0.167 cm3/seg y con el mismo diferencial de presión, la permeabilidad absoluta, será:

q*µ*L 0.167*3.0*3.0K= --------- = ------------= 0.376 Darcys A* P 2.0*2.0

PERMEABILIDAD EFECTIVA

Dado que en un reservorio de petróleo, las rocas están saturadas con dos o más fluidos, agua, gas y petróleo. Es necesario introducir el concepto de permeabilidad efectiva, que describe el flujo simultáneo de más de un fluido. En esta definición cada fase es considerada por ser completamente independiente de la otra en datos de flujo. En este caso los fluidos se consideran inmiscibles. Se habla de permeabilidad efectiva de una roca a un fluido que se mueve, cuando la saturación de éste en la roca es menor de 100%

La ley de Darcy puede ser aplicada individualmente a cada uno y representada como sigue:

-Ko po -Ka pa -Kg pgVo = --------- Va = --------- Vg = --------- o L a L g L

El símbolo para la permeabilidad efectiva es ko, kw, kg petróleo, agua y gas respectivamente. La permeabilidad efectiva es una medida relativa de la conducta del medio poroso para un fluido de un sola fase cuando el medio es saturado con mas de un fluido. Esta definición implica que en el medio puede haber condiciones distintas y medibles para cada fluido presente en el medio.

7

En laboratorio, se ha comprobado que la permeabilidad efectiva depende de: la saturación del fluido prevaleciente, las características mojantes de la roca y la geometría de los poros.Es necesario, además, especificar la saturación del fluido cuando la condición de la permeabilidad efectiva de cualquier fluido en particular se da en el medio.

La permeabilidad efectiva se expresa como un valor numérico dada por algunas condiciones de saturación, cuyos valores conocidos deberían ser indicados para definir las condiciones a las cuales la permeabilidad efectiva existe; así Ko(60,13), indica que la saturación de petróleo es 60% y agua el 13%, siendo la diferencia respecto a 100% de 27% de gas. Los valores de So, Sa se dan siempre y Sg se conoce por diferencia entre el 100%.

Del ejercicio anterior, si: Sa=70%, So=30%, qa=0.30 cm3/seg, qo=0.02 cm3/seg. Cual será el valor de Ka y Ko:

qa*µa*L 0.3*1.0*3.0Ka= ---------- = -------------= 0.225 darcys A* P 2.0*2.0

qo*µo*L 0.02*3.0*3.0Ko= --------- = -------------- = 0.045 darcys A* P 2.0*2.0

Ka+Ko= 0.225+0.045 = 0.370 darcys

En este caso se ve que la suma de las permeabilidades efectivas es menor a la absoluta aun cuando los dos fluidos saturan el 100% de los poros de la roca.

c.- Permeabilidad Relativa, Kr.

Si dos o mas fluidos como petróleo, agua y gas dentro de la roca se mueven a la vez, sus tasas relativas de flujo se determinan por sus viscosidades y permeabilidades relativas.

De aquí se habla de permeabilidades relativas al flujo de cada uno de ellos y se define como la razón de permeabilidad efectiva a la absoluta, K, esto es la permeabilidad efectiva del fluido con un 100% de saturación, donde normalmente se asume que la permeabilidad efectiva es la misma para todo fluido con un 100% de saturación, esta permeabilidad se denota como la del medio poroso, o sea: KefKr=------

K

8

Las permeabilidades al petróleo, agua y gas, se expresan como Kro, Kra, Krg respectivamente. En el siguiente caso, se indica que la roca esta saturada con 50% de petróleo, 30% de agua y 20% de gas con K como permeabilidad absoluta.

Ko(50,30) Ka(50,30) Kg(50,20)

Kro(50,30) = ------- Kra(50,30) = ------- Krg(50,30) = ------- K K K

En el ejemplo anterior, los valores de Kra y Kro, son:

Ka 0.225 Ko 0.045Kra=----= ------= 0.6 Kro=----= ------= 0.12

K 0.375 K 0.375

Relacionando qa y qo, se tendrá:

qa Ka*A*P/µa*L Ka/µa a---- =--------------- =------- =---- = M qo Ko*A*P/µo*L Ko/µo o

Hace falta tener presente algunos conceptos derivados de las definiciones de permeabilidad y la ley de Darcy:- Mobilidad de un fluido, = Kefc/µ - Relación de movilidades, M = (Ka/µa)/(Ko/µo); en este

caso, se trata de agua al petróleo - Conductividad o capacidad = K*h- Transmisibilidad = k*h/µ

En el ejemplo anterior de permeabilidades efectivas, la razón de movilidad, será:qa Ka/µa 0.225/1.0---- =------= ----------- = 15qo Ko/µo 0.045/3.0

Esto indica que a una saturación de agua del 50% y 30% de petróleo, el flujo (tasa) de agua es 15 veces más alto que el flujo de petróleo, debido a que la viscosidad del petróleo es 3 veces mas alta que la del agua. Las permeabilidades efectivas, pueden substituirse por relativas, ya que la razón de Kra/Kro, es igual a la razón de permeabilidades efectivas Ka/Ko. Para el caso anterior:

Kra Ka/K 0.225----= ------= ------- = 5.0 Kro Ko/K 0.045Este resultado indica que la permeabilidad al agua es 5 veces la permeabilidad al petróleo.

9

II.3.- REGIMENES DE FLUJO DE FLUIDOS

Se ha determinado que el movimiento de los fluidos dentro de un reservorio, puede comportarse dentro de tres grupos principales, que son: flujo estable, pseudoestable, inestable. Desde un punto de vista práctico, es conveniente agrupar las ecuaciones de flujo de acuerdo al tipo de regimen que presentan.

a.- FLUJO ESTABLE (Steady state flow).p,q = constantes

La figura 3 representa la distribución de la presión y la tasa en el flujo radial que tiene lugar dentro de pozo. Cuando esta distribución permanece constante en función del tiempo, se habla de flujo estable.

P qq de t=0 a

PeP de t=0 a

P=Pe-Pwf

Pwf

rw Radio,r reFig.#II-3. Distribución de presión y tasa en condiciones de

Flujo estable.Las historias de producción y presión de un pozo, podrían ser usadas para determinar si existe flujo estable; así si la tasa de flujo y la presión de fondo permanecen constantes en el tiempo, entonces se puede decir que el área de drenaje del pozo esta en flujo constante.

10

Esta situación solo se da en reservorios con gran empuje hidráulico (fondo o lateral) o de capa de gas. En forma artificial se logra en reservorios con mantenimiento de presión por inyección de agua en dirección hacia abajo(down dip) o de gas hacia arriba(up dip), donde se aproxima a condiciones de flujo estable como lo haría la mayoría de patrones de invasión de agua (waterflooding) después que la etapa inicial ha pasado. Esta condición se representa en la figura II-3.

Las ecuaciones de flujo constante son útiles para analizar las condiciones cerca del borde del pozo. En flujo inestable cerca del borde es casi constante, por lo que el error al utilizar ecuaciones de flujo estable en esta parte es mínimo.

Mantener la presión con inyección de agua en dirección hacia abajo (down dip) o con gas hacia arriba (up dip), se aproxima a condiciones de flujo estable, tal como lo haría la mayoría de patrones de invasión de agua luego que ha pasado la etapa inicial.

La ecuación de Darcy de flujo radial estable se expresa como: _

7.08* Ko*ho*(Pe-Pwf) qo = ------------------- o como: (10)

Bo*µo*ln(re/rw)

7.08* Ko*ho*(Pr-Pwf) qo = ------------------- (11)

Bo*µo*ln(re/rw)

De donde:Ko = Es la permeabilidad efectiva al petróleo, darcysho = Espesor neto de la zona de petróleo, piesPe = Presión exterior del reservorio, psiPr = Presión a un radio r, puede ser Pe presión promedio del

reservorio, psi.Pwf= Presión fluyente al fondo del pozo, psiBo = Factor volumétrico de formación a Pe o (Pe+Pwf)/2, en

bls. Reservorio / bls superficie.µo = Viscosidad del crudo a Pe o (Pe+Pwf)/2, cpre = Radio exterior, piesr = Cualquier radio de drenaje, pies.rw = Radio del pozo, piesEn las ecuaciones 10 y 11, Ko es un promedio de la permeabilidad en la zona de drenaje no dañada y dañada o mejorada alrededor de la cara del pozo (well bore).

El comportamiento de la presión de un pozo en un reservorio homogéneo con flujo radial, en función del radio, r se puede

11

representar como una recta de un gráfico de presión versus log.(figura # II-4A), en tanto que la figura 4B cuya pendiente se incrementa a medida que disminuye el valor de r. La figura 4A representa mejor el comportamiento del flujo estable. Presión Psia Pe

A rw Log. r re

B

Figura II-4.A y B Comportamiento de la presión en función del radio para flujo estable.

La ecuación 10 se podría escribir en función del daño o mejora de la permeabilidad, mediante la inclusión de una caída adicional de presión Pskin alrededor de la cara del pozo, en cuyo caso se tendría:

7.08*Kound*ho *(Pe-Pwf’) qo = ----------------------------- (12) Bo*µo*ln(re/rw)

7.08*Kound*ho *(Pe-Pwf-Pskin) qo = ----------------------------- (12) Bo*µo*ln(re/rw)

12

Kund es la permeabilidad dañada o mejorada alrededor del hueco+Pskin = Caída de presión por daño alrededor del pozo-Pskin = Caída de presión por mejora alrededor del pozo.

En la ecuación 12 el numerador se podrá expresar mejor como (Pe-(Pwf+Pskin)) donde irá el factor Pskin con signo positivo o negativo si hay daño o mejora. Esta ecuación podrá también expresarse en función del daño de membrana s, con signo positivo o negativo por daño o mejora.

141,2 Qo* Bo*µo*s+Pskin = ------------------ Ko*ho

7.08* Ko*h*(Pe-Pwf) q = --------------------- (13)

Bo*µo*ln(re/rw)+s

+s= Daño alrededor del pozo-s= Mejora alrededor del pozo

Ejercicio 1: Calcular la tasa de producción de un pozo de petróleo, con presión de reservorio constante de 2000 psia en su radio de drenaje de 2000 pies. Los datos del pozo son rw=0.5pies, k=230md, kro=1.0, h=10pies, Bo=1.1bls.res./STB y µ=3.5 cp. Pwf=1000 psig. Asumir que no hay daño de formación (s=0).

Solución: Se trata de un reservorio con flujo estable ya que la presión se mantiene constante. Si bien los datos de Bo y µ, deben ser calculados a una presión promedia en el área de drenaje, en este caso se usará la presión a re en vista de la poca diferencia de estos valores.

Ko= K*Kro= 230 md*1.0= 230 md = 0,23 darcysPwf= 1000 psig+14.7 psim= 1015 psia.

7.08* Ko*h*(Pe-Pwf) 7.06*0.23*10*(2000-1015)q = -------------------- = --------------------------= 502b/d Bo*µo*(ln(re/rw)+s) 1.1*3.5*((ln(2000/0,5)+0)

Ejercicio 2: Un reservorio no saturado de empuje hidráulico, produce por varios años, con presión de 2000 psia, permeabilidad efectiva no dañada al petróleo de 10md. y presión de fondo fluyente de 900 psia produce 80 bppd. Otros

13

valores son: re= 700pies, rw= 0.7pies, h=6.9pies, µo= 0.708cp, Bo=1.25. Se desea saber: a.- Cual es el valor de Pskin,b.- Cual será la tasa si Pskin=0 c.- Cual será la tasa si Pskin=-100 psia*Ejercicio del libro de H.C.Slider, Practical Petro. Reservoir a. Pskin =?

q*Bo*µo*ln(re/rw) 80*1.25*0.708*ln(700/0.7)(Pe-(Pwf+Pskin))=-----------------=-------------------------

7.08*Kound*h 7.08 * 0.01*6.9

(Pe-(Pwf+Pskin))=1001

Pskin=Pe-Pwf–1001=2000-900-1001=+100

Respuesta:Pskin =+100psia

b. Pskin=0

7.08*Kound*h*(Pe-Pwf-Pskin) 7.08*0.01*6.9*(2000-900-0)q =----------------------------=--------------------------- Bo*µo*ln(re/rw) 1.25*0.708*ln(700/0.7)

q = 88 bppd

c. Pskin=-100psia

7.08*Kound*h*(Pe-(Pwf+Pskin)) q =------------------------------ Bo*µo*ln(re/rw)

7.08*0.01*6.9*(2000-((900-100))q = --------------------------------

1.25*0.708*ln(700/0.7)

q = 96 bppd.

14

Ejercicio 3. Calcular la tasa de producción de petróleo de un cuyos datos son: Presión constante de reservorio de 2000 psia, radio de drenaje= 2000 pies, rw= 0,5 pies, K= 230 md,Kro=1,0, h=10pies, Bo=1,1 bls. Res/bls supe., µo= 3,5cp, s=0 (no daño).

Solución: Se trata de un reservorio de presión y flujo constante. Si bien los datos de Bo y µo deben calcularse a una presión promedio del área de drenaje, en este caso se usará la presión a re dado que existe poca diferencia entre estos valores. 7.08*K*Kro*h*(Pe-Pwf) 7.08*0,230*1,0*10*(2000-1015)q=---------------------=-----------------------------=502bppd Bo*µo*(ln(re/rw)+s) 1,1*3,5*(ln(2000/0,5)+0)

C.- FLUJO PSEUDOESTABLE (pseudosteady state), q=constante

En el flujo constante se asume que la tasa de flujo en re es la misma en rw, para que esto ocurra debe haber una entrada constante de flujo a través de re. Sin embargo en reservorios que producen por depleción se asume que los fluidos producidos vienen del área de drenaje y no de fuera de re. En estas condiciones cuando el flujo se estabiliza, se habla de flujo Pseudo-estable, ya que posee ciertas características del estable, pero en realidad es un flujo inestable.

En este tipo de flujo la tasa del pozo, qw se mantiene constante, esto podría ser comparable al pozo que produce a tasa constante con algún tipo de levantamiento artificial.

P q q@t=0 Pr1

Pi P@t1 P@t2 Pe

q P=Pe-Pwf2Pwf1

Pwf2 P=Pe-Pwf2

rw r1 re

Radio,r

15

Fig.#II-5.Distribución de presión en condiciones de flujo Pseudo-estable

En la figura #II-5, al tiempo t=0 la presión a través del reservorio se mantiene uniforme como Pi; luego de un período corto de producción t1 a una tasa constante, solo una pequeña parte del reservorio ha experimentado una caída significativa de presión, drenando desde un radio r1.

A medida que se continua con la producción constante, todo el reservorio experimenta una caída de presión como en P@t2, y las bajas de presión a futuro son uniformes y paralelas; como es el caso de los tiempos t2 a t5.

Los cambios de presión constate con el tiempo y en todos los radios seguirá, hasta que el reservorio no pueda mantener laproducción constante al fondo de pozo. Esto ocurrirá cuando la presión al radio rw haya alcanzado su límite físico mas bajo.

De aquí, se puede decir, que el flujo pseudoestable ocurre cuando el reservorio ha producido a tasa constante por un período tal, que lo afecte en su totalidad causando un cambio constante de la presión(distribuciones paralelas) con el tiempo en todos los radios, desde rw a re. En ese caso aunque la presión del reservorio cae con el tiempo, los gradientes de presión son función solo de la tasa y no cambia con el tiempo.

El término pseudoestable se deriva desde la ecuación de Darcy, donde los términos son constantes o estables.

A este flujo se conoce como caso especial del Inestable. Ecuaciones similares en la forma a aquellas de flujo estable,

16

pueden ser derivadas y usadas para describir el comportamiento de un reservorio durante este período de tiempo.

Se ha determinado que muchos reservorios, gran parte de su vida, actúan bajo condiciones de como flujo pseudoestable. Las ecuaciones que regulan este flujo son:

7.08* ko*h*(Pe-Pwf) q = ------------------------ (13)

Bo*µo*ln(re/rw)-0.5+s

Pe es la presión exterior al radio de drenaje.

Esta ecuación es similar a la de flujo estable(4), excepto el factor ln(re/rw)-0.5+s por ln(re/rw). La diferencia obedece a que en el pseudo-estable el fluido viaja menos distancia que en el estable (flujo viene desde fuera de re). Para la misma caída de presión y características de fluido y reservorio similares, la tasa de producción será ligeramente mayor en el flujo pseudo-estable.

La ecuación 13, se aplica a reservorios donde el fluido se produce solo por expansión de los materiales con una compresibilidad constante dentro del área de drenaje del pozo. Un caso es el reservorio que produce por expansión de rocas y fluidos por encima de la presión de burbuja.

Un gráfico de presión versus logaritmo del radio, r, para tres tiempos diferentes, presenta rectas paralelas similares a las de flujo estable, donde la presión cae continuamente.

Presión

t1

Log. r

Log r

Figura.II-6. Distribución de presión en función del radio de drenaje en tres tiempos, con una presión mayor a la de burbuja

No es estrictamente aplicable a reservorios que producen por gas en solución, pero puede servir como una aproximación para este caso. La ecuación, no es aplicable para pozos de gas

17

debido al cambio de su compresibilidad con la presión. Sin embargo durante la vida productiva la mayoría de reservorios lo hacen bajo condiciones pseudo-estables.

Una variación de la ecuación anterior es Pr, para r, que da lugar a que en el denominador vaya 3/4 en lugar de 0.5.

7.08*Ko*h*(Pr-Pwf) q = ------------------------ (14)

Bo*µo*(ln(re/rw)-3/4+s)

Pr, es la presión media del reservorio.

De las ecuaciones de Darcy para flujo radial, es necesario conocer algunos conceptos y definiciones muy comunes, como:

Ko*h = Capacidad o conductibidad Ko/µo = Movilidad Ko*h/µo = Transmisibilidad

Ejercicio 4: Calcular la tasa de un pozo que produce por expansión de roca y fluido. Los parámetros son los mismos del ejercicio anterior. Los valores de Bo y µo son a 2000 psia.

Solución: Dado que el reservorio esta produciendo a por expansión de fluidos, se utiliza la ecuación de flujo pseudo-estable

7.08* ko*h*(Pe-Pwf) 7.08*230*10*(2000-1015) q =-----------------------=------------------------= 535bl/d Bo*µo*(ln(re/rw)-0.5+s) 1.1*3.5(ln4000-0.5+0)

B.- ESTADO DE FLUJO INESTABLE(Unsteady state). Pwf= constante

El flujo inestable es aquel en que la tasa y la presión cambian con el tiempo. Esto es cubre todos los flujos en un reservorio, excepto cuando la tasa y la presión no cambian con el tiempo. Se asume que la mayoría de reservorios que producen tienen características de flujo pseudo-estable y que este es una variación del flujo inestable.

En el flujo inestable, figura II-7, la producción se debe enteramente a la expansión de fluidos o roca en el reservorio y la producción es controlada de modo que Pwf sea constante. Luego de un corto período de producción a una rata dada que mantiene Pwf constante, ocurre la distribución de la presión; así P a t1, indica que solo parte del reservorio (radio r1) ha sido afectado por la caída de presión con producción q1. En tanto

18

que q al radio exterior re es cero y se incrementa a un máximo en el radio rw. Inicialmente la presión al tiempo cero es igual a Pi y uniforme a través del reservorio. Esto representa un tiempo de producción cero.

La figura 7 es un caso típico de flujo inestable, donde la tasa y la presión cambian con el tiempo, excepto Pwf que es mantenida artificialmente mediante el de chokes o controlando su producción como es el caso con levantamiento artificial. Aquí se asume que no hay ingreso de agua a través de re. La figura 5 es una variedad de flujo inestable que mantiene constante la tasa (Pseudeo-estable) en el tiempo t2 a t5

Se ha indicado que el flujo inestable se produce por expansión de los fluidos del reservorio, por lo que es necesario una caída de presión en cualquier radio para que haya flujo.

Presión.p q@t=0 Pr1 q Pi P@t1 p@t2 Pe

Pwf1 p@t3 P=Pe-Pwf2

Pwf q@t2

q@t1 q@t3

rw r1 reRadio,r

Fig.#7.Distribución de presión en condiciones de flujo Inestable

19

La tasa q a t1, con r1 es cero, pero se incrementa hasta llegar a un valor máximo cuando el radio se reduce a rw, en cuyo caso se logra igualmente la caída máxima de presión Pe-Pr1, que con la ecuación de Darcy da una q máximo. A t1 la tasa en re es cero, pero en t2 se alcanzará q máximo, q2 con un diferencial Pe-Pwf2.

En el tiempo t2 en que todo el reservorio es afectado por la caída de presión, la distribución de la presión y la tasa, no serían afectados por el tamaño del resevorio o la posición del radio de drenaje re. En este tiempo decimos que el reservorio actúa como tuviera empuje infinito, debido a que el radio de drenaje re, matemáticamente podría ser infinito.

La distribución de tasa y presión a t1, representa solo un instante en el tiempo y van cambiando con la producción y afecta a mas partes del reservorio, hasta llegar el cambio de presión a todo el reservorio, re. De modo general se puede decir que estos cambios son un función de la tasa y tiempo.

Mientras el flujo estable se describe con ecuaciones simples, el inestable se describe mejor con ecuaciones diferenciales, conocidas como ecuaciones de DIFUSIVIDAD y consideran los cambios de presión y tasa en función del tiempo y del radio de drenaje. Esta ecuación se expresa como:

dP 1 dP d²P ---- = -- --- + ---- (15) dt r dr dr²

en donde = 6.33*K/Ø*µ*c

Para un mejor entendimiento, la ecuación 15 puede expresarse en forma finita, como:

20

P 1 P (P/r) ---- = -- --- + --------- (16) t r r r

En esta forma relaciona las pendientes de tres diferentes gráficos a un tiempo dado y a un radio particular. Los gráficos son de presión versus radio a diferentes tiempos, presión versus radio contra radio y presión versus tiempo. El cambio de presión que ocurre en el pozo, da lugar a su difusión en el reservorio; de aquí el término DIFUSIVIDAD. La ecuación 16, describe en mejor casi todas las formas de transferencia inestable de masa y energía. Ecuaciones de difusividad igualmente se utilizan en otras ciencias como transferencia de calor, difusión molecular, etc.

Es posible combinar las constantes de reservorio con el tiempo, presión y radio de la ecuación 16, de modo que pueda en términos generales aplicarse a cualquier tipo de reservorio de un tamaño particular (re/rw). La ecuación 16 por lo tanto puede expresarse como:

PD 1 PD (PD/rD) ---- = -- --- + ---------- (17) tDW rD rD rD

De dondetDW= *t/rw² PD= P/0.141*q*µo/(K*h) rD = r/rwEl subíndice D, significa que son parámetros sin dimensiones. Combinando con las ecuaciones anteriores con la de Darcy, se puede expresar como:

7.08* ko*h*(Pe-Pwf) q = --------------------- (15) Bo*µo*(PtD+s)

De donde:PtD= Presión adimensional, función de la producción acumulada.PtD= 1/2(ln tD + 0.809)tD = *t/rw² a su vez:= 6.33*k/Ø*µ*c.

21