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Introducción a la Matemática

TRABAJO PRÁCTICO 7. ECUACIONES CUADRÁTICAS

Índice

Actividades

Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5 Actividad 6 Actividad 7 Actividad 8 Actividad 9 Actividad 10 Actividad 11 Actividad 12 Actividad 13 Actividad 14

Ecuaciones cuadráticas

Resolución Número de soluciones

Propiedades de las

raíces Ecuaciones

bicuadradas

Problemas

Intersección de parábola y rectas

Respuestas a las actividades

Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5 Actividad 6 Actividad 7

Actividad 8 Actividad 9 Actividad 10 Actividad 11 Actividad 12 Actividad 13 Actividad 14

Bibliografía Adicional

Material de uso exclusivamente educativo 1


Material de uso exclusivamente educativo

Actividades

1. Resuelvan las siguientes ecuaciones

a) –x2 – 5x + 2 = 0

b) 3x2 – 6x + 4 = 0

c) x(x + 5) – 2x = 2x2

d) (x + 2)2 = 2x (x-1)

2. Muestren de dos maneras diferentes que

es igual a 22 1x3x 1x.8 .

3. Determinen el valor de k para que cada ecuación admita dos raíces reales distintas, una raíz real doble o ninguna raíz real.

a) 2x2 - k x + 2 = 0

b) x2 - k x + ( k-1) = 0

c) 3x2 + 6 k x + 9k = 0

4. Encontrar las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son:

a) x1 = -2 y x2 = 3

b) x1 = -2 y x2 = - 3

5. a) Resuelvan la ecuación . 010x 11x 24

b) Si 3 es una solución de , ¿cuál es el valor de c? 0cx2x2

6. Encuentren el valor de “k” para que 02x10kx2

a) Si una de las raíces es 8

1x

b) Si no tiene raíces reales; c) Si tiene una raíz doble.

Índice

2



7. Con 29 baldosas más, el piso de mi habitación, que es cuadrada, tendría exactamente una baldosa más por lado.

a) ¿Cuántas baldosas tiene el piso de mi habitación?

b) La longitud del lado de cada baldosa es 25 cm. ¿cuál es el área del piso de mi habitación?

8. Dos personas en bicicleta parten del mismo punto y al mismo tiempo dirigiéndose por dos caminos perpendiculares.

Sabiendo que la velocidad de una de ellas es 4km/h más que la de la otra y que al cabo de 2 horas se encuentran a una distancia de 40 km, hallen sus velocidades.

9. La suma de dos números es 56 y la diferencia de sus cuadrados es 448. ¿Cuáles son los números?

10. Para el sistema dado por

kxy

5x2x4

1y 2

hallar el número real k de modo que el sistema tenga:

a) Una solución.

b) Dos soluciones.

c) Ninguna solución

11. Laura y Martín venden artículos de informática. Por su venta Laura tiene un ingreso dado por f(x) = 5x (x+6) y Martín un ingreso dado por g(x) = 3x2 + 66 x; siendo x el número de artículos vendidos.

¿Qué cantidad de artículos vende cada uno para obtener el mismo ingreso?

12. Encuentren, en cada caso, los puntos de intersección de:

a) y = x2 + 3x -1; y = 4x + 1

b) y = x2 + 6x -1 y el eje de simetría de la parábola

c) y = x2 + 6x + 5; y = -x2 – 4x – 9

Índice

3



13. Para formar una caja abierta de 60 cm2 de base a partir de una placa rectangular de metal de (8 x 12) cm2 se cortan de sus esquinas unas piezas cuadradas y se doblan después las aristas.

Hallen la longitud del lado del cuadrado que se corta en cada esquina.

14. Analicen cuántas soluciones puede tener un sistema de ecuaciones formado por funciones cuadráticas.

Índice

4

http://go.hrw.com/math/midma/gradecontent/manipulatives/GraphCalc/graphCalc.html�



Respuestas

1. Resuelvan las siguientes ecuaciones

d) –x2 – 5x + 2 = 0

e) 3x2 – 6x + 4 = 0

f) x(x + 5) – 2x = 2x2

g) (x + 2)2 = 2x (x-1)

Respuestas

a) –x2 – 5x + 2 = 0

Buscamos las soluciones usando la fórmula resolvente:

a2

ac4bbx

2

2,1

Como es a = -1, b = - 5 y c = 2, reemplazamos y es:

)1(2

2)1(4)5()5(x

2

2,1

Operando:

2

335

2

8255x 2,1

Luego es;

2

335xy

2

335x 21

b) 3x2 – 6x + 4 = 0

Procediendo en forma análoga, encontramos que la ecuación no tiene solución en los reales.

c) x(x + 5) – 2x = 2x2

Distribuyendo x en el primer miembro,

x2 + 5x – 2x = 2x2

Operando e igualando a cero:

-x2 + 3x = 0

Que escribimos en forma equivalente

x( -x + 3) = 0

para que el producto sea cero debe ser alguno de sus factores o ambos. Esto es cierto para

x1 = 0 y x2 = 3 (verificar)

Por lo que es: S = {0; 3}

Índice

5



d) (x + 2)2 = 2x (x-1)

Se verifica para 2

526xy

2

526x 11

2. Muestren de dos maneras diferentes que

22 1x3x es igual a 1x.8 .

Respuesta

Desarrollando los cuadrados y operando:

1x.88x8

1x29x6

1x2x9x6x

1x2x9x6x1x3x22

222 2

Sabemos que ba.baba 22

21

, luego considerando

x como una diferencia de cuadrados, resulta: 23x

22 1x3x = (x+ 3 + (x – 1)) (x+ 3 – (x – 1))

= (x + 3 + x – 1) (x+3 – x+1) = (2x + 2) (4) = 8x + 8 = 8(x+1)

3. Determinen el valor de k para que cada ecuación admita dos raíces reales distintas, una raíz real doble o ninguna raíz real.

a) 2x2 - k x + 2 = 0

b) x2 - k x + ( k-1) = 0

c) 3x2 + 6 k x + 9k = 0

Respuesta

Para determinar los valores de k, usamos las propiedades del discriminante b2 – 4ac

a) 2x2 - k x + 2 = 0

b2 – 4ac = (-k)2 – 4 . 2 . 2 = k2 – 16

Si k2 – 16 = 0, la ecuación tiene una solución

k2 – 16 = 0 si y solo si |k| = 4,

Esto es cierto para k = 4 y k = -4

Índice

6



Si k2 – 16 < 0, es |k| < 4.

Por propiedad del módulo es: -4 < k < 4

Luego para cualquier k, tal que k (-4; 4) la ecuación no tiene solución en los reales.

Si k2 – 16 > 0, es |k| > 4.

Por propiedad del módulo es: k < -4 ó k > 4

Luego para cualquier k en el intervalo (-; -4) (4; + ) la ecuación tiene solución dos soluciones distintas en los reales.

b) x2 - k x + ( k-1) = 0

b2 – 4ac = (-k)2 – 4 (k – 1) = k2 – 4k + 4 = (k – 2)2

Si (k – 2)2 = 0 es |k – 2| = 0

Esto es cierto solo si k = 2.

Luego, la ecuación tiene una sola solución si es k = 2.

Si (k – 2)2 > 0, la ecuación tiene dos soluciones.

Como el cuadrado de un número real es siempre mayor o igual que cero, resulta que para todo número real distinto de cero y distinto de 2, la ecuación tiene dos soluciones.

Si (k – 2)2 < 0, la ecuación no tiene solución

Pero esto no se verifica nunca, luego para ningún valor de k la ecuación no tiene solución.

c) 3x2 + 6 k x + 9k = 0

b2 – 4ac = 36k2 – 4. 3. 9k = 36 k2 – 108 k

Si 36 k2 – 108k = 0 la ecuación tiene una solución. Esto es cierto para k = 0 ó k = 3

Si 36 k2 – 108 k > 0 la ecuación tiene dos soluciones. Esto es cierto para k en el intervalo (-; 0) (3; +)

Si 36 k2 – 108 k < 0 la ecuación no tiene solución. Esto ocurre si k está en el intervalo (0; 3)

4. Encontrar las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son:

a) x1 = -2 y x2 = 3

b) x1 = -2 y x2 = - 3

Respuesta

Buscamos una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0.

La expresión es equivalente a 0a

cx

a

bx2 .

Usando las propiedades de la suma y producto de raíces:

Índice

7



a

c xxy

a

b - xx 2121

Luego:

a

c6

63(-2) xxya

b1

a

b - 3 2- xx

21

21

Reemplazando en

0a

cx

a

bx2

Tenemos que la ecuación buscada es:

x2 - x – 6 = 0

b) Procediendo en forma similar, la ecuación es: x2 + 5x + 6 = 0

5. a) Resuelvan la ecuación . 010x 11x 24


Respuesta

a) Resuelvan la ecuación . 010x 11x 24

10 ;10- ;1 ;1S

10 y x10 x; 1 x; 1 x

resulta , bx ; b xluego

, 10 b y 1 b

:soluciones como tiene que cuadrática ecuación

,010b 11b

: resulta totan lo Por

,b y xb x

: variables de cambio un realizando resuelve se ;bicuadrada ecuación una Es

4321

2

21

2

242


Si 3 es una solución de la ecuación, entonces al reemplazar en la ecuación se debe cumplir que el resultado es cero. Luego:

32 + 2. 3 + c = 0

Operando es: 9 + 6 + c = 0

Y c = -15

Índice

8



6. Encuentren el valor de “k” para que 02x10kx2


1x

b) Si no tiene raíces reales; c) Si tiene una raíz doble.

Respuesta


1x

64.4

3k

4

3k.

64

1

024

5

64

1.k

028

1.10

8

1.k

2

Por lo que es k = 48

b) Si no tiene raíces reales, entonces b2 – 4ac < 0 b2 – 4ac = 100 + 8 k y es 100 + 8 k < 0

100 + 8 k < 0 si k < - 2

25

Entonces la ecuación no tiene raíces reales si k pertenece al intervalo (-; -25/2)

c) Si tiene una raíz doble, entonces b2 – 4ac = 0

b2 – 4ac = 100 + 8 k y es 100 + 8k = 0

100 + 8k = 0 si k = - 2

25

Entonces la ecuación tiene una raíz doble si 2

25k

7. Con 29 baldosas más, el piso de mi habitación, que es cuadrada, tendría exactamente una baldosa más por lado.

a) ¿Cuántas baldosas tiene el piso de mi habitación?

b) La longitud del lado de cada baldosa es 25 cm. ¿cuál es el área del piso de mi habitación?

Respuesta

a) La cantidad de baldosas que tiene el piso de la habitación la podemos calcular multiplicando la cantidad de baldosas por lado.

Llamemos b a las baldosas. Entonces, la cantidad de baldosas de la habitación es b2

Índice

9



Si se agregan 29 baldosas, entonces el piso tendría una baldosa más por lado lo interpretamos como:

(b + 1)2 = b2 + 29

Con esta expresión podemos calcular la cantidad de baldosas de la habitación. Lo hacemos.

(b + 1)2 = b2 + 29

b2 + 2b + 1 = b2 + 29 desarrollamos el cuadrado

2b + 1 = 29 restando miembro a miembro b2

2b = 29 – 1 restando miembro a miembro 1

2b = 28

b = 14 dividiendo miembro a miembro por 2

Luego el piso de la habitación tiene 14 baldosas por lado.

Para saber cuántas baldosas tiene el piso de la habitación, como es cuadrado, hacemos.

14 14 = 196

Entonces el piso de la habitación tiene 196 baldosas.

b) Para calcular el área del piso de la habitación, tenemos en cuenta que cada baldosas tiene 25 cm = 0, 25 m de lado.

Por lo que el área del piso es igual a:

(14 0, 25 m)2 = 12,25 m2

Luego el área del piso de la habitación es 12,25 m2.

8. Dos personas en bicicleta parten del mismo punto y al mismo tiempo dirigiéndose por dos caminos perpendiculares.

Sabiendo que la velocidad de una de ellas es 4km/h más que la de la otra y que al cabo de 2 horas se encuentran a una distancia de 40 km, hallen sus velocidades.

Respuesta En el gráfico interpretamos la situación.

AOB es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia entre los móviles a las 2 horas de partida.

a: distancia que recorre uno de los móviles

con velocidad t

av1 .

Como t = 2 entonces (1) av2 1 b: distancia que recorre el otro móvil con

velocidad t

bv2 .

Índice

10



Suponiendo v2 = v1 + 4 y como t = 2 entonces

v2 = 2(v1 + 4) = b

b = 2v1 + 8 (2)

Por el teorema de Pitágoras es:

402 = a2 + b2 .

Reemplazando a y b por (1) y (2)

402 = (2 v1 )2 + (2v1 + 8)2

01536v32v8

64v32v4v41600

121

121

21

De donde v1 = 12 ó v1 = -16 (Verifíquelo)

Considerando la velocidad positiva descartamos el valor negativo.

Luego:

el primer móvil se mueve con velocidad de 12 km/h

y el segundo a 16 km/h.

9. La suma de dos números es 56 y la diferencia de sus cuadrados es 448.

¿Cuáles son los números?

Respuesta

Llamemos a y b a los números buscados.

Con los datos del problema, formamos el sistema:

448ba

56 b a22

Como a2 – b2 = (a+b) (a – b), reemplazamos en la segunda ecuación

448ba.ba

56 b a

Como a + b = 56, reemplazamos

448ba6.5

56 b a

Por lo que:

856

448ba

56 b a

8ba

56 b a

Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones

856bba2

Índice

11



Por lo que

2 a = 64

a = 32

Como

a + b = 56

Resulta

b = 24

Por lo que los números buscados son a = 32 y b = 24.

10. Para el sistema dado por

kxy

5x2x4

1y 2

hallar el número real k de modo que el sistema tenga:

a) Una solución.

b) Dos soluciones.

c) Ninguna solución

Respuesta

Comencemos por igualar las dos ecuaciones

kx5x2x4

1 2

Igualando a cero:

0)k5(xx4

1

0kx5x2x4

1

2

2

De la ecuación de segundo grado analizamos el discriminante b2 – 4 ac.

b2 – 4 ac = )k5(4

1412

= k6k51

Luego es b2 – 4 ac = 6 – k

Si 6 – k = 0; k = 6 el sistema tiene una solución.

Si 6 – k > 0; k < 6 el sistema tiene dos soluciones.

Si 6 – k < 0; k > 6 el sistema no tiene solución.

Índice

12



11. Laura y Martín venden artículos de informática. Por su venta Laura tiene un ingreso dado por

f(x) = 5x (x+6) y Martín un ingreso dado por g(x) = 3x2 + 66 x; siendo x el número de artículos vendidos.

¿Qué cantidad de artículos vende cada uno para obtener el mismo ingreso?

Respuesta

Las funciones f y g representan los ingresos de Laura y Martín. Que ambos tengan el mismo ingreso significa que para cierta cantidad de artículos vendidos las funciones son iguales.

Luego para conocer el número de artículos vendidos es suficiente con igualar las funciones.

Lo hacemos:

f( x) = g(x)

5x (x+ 6) = 3x2 + 66 x

5x2 + 30 x = 3x2 + 66 x

Igualando a cero y resolviendo:

5x2 + 30 x - 3x2 - 66 x = 0

2x2 -36x = 0

Sacando factor común 2 y x;

2x(x – 18) = 0

Por lo que x = 0 ó x = 18

Entonces Laura y Martín tienen el mismo ingreso si no venden ningún artículo (x = 0) ó cuando venden 18 artículos.

12. Encuentren, en cada caso, los puntos de intersección de:

a) y = x2 + 3x -1; y = 4x + 1

b) y = x2 + 6x -1 y el eje de simetría de la parábola

c) y = x2 + 6x + 5; y = -x2 – 4x – 9

Respuesta

a) y = x + 3x -1; y = 4x + 1 2

Igualemos las dos ecuaciones.

x + 3x -1 = 2 4x + 1

Igualando a cero y operando:

x + 3x -1 - 2 4x - 1 = 0

x – x – 2 = 0 2

Mediante la fórmula resolvente, x = 2 y x = -1 1 2

Para saber cuáles son los puntos en donde se cortan, reemplazamos estos valores en y = 4x + 1

Índice

13



Si x1 = 2 es 4. 2 + 1 = 9

Si x2 = -1 es 4 (-1) + 1 = - 3

Luego los puntos de intersección son:

A = (2; 9) y B = (-1; -3)

b) y = x + 6x – 1 y el eje de simetría de la parábola 2

La parábola de ecuación y = x + 6x – 1 y su eje de simetría tienen un único punto en común: el vértice de la parábola.

2

Por lo que debemos buscar las coordenadas del vértice.

La abscisa del vértice es:

312

6

a2

bxv

Para hallar su ordenada, reemplazamos x en la ecuación de la parábola: v

y = (-3) + 6(-3) – 1 = 9 – 18 – 1 = -10 v2

Por lo que es V = (-3; -10)

Luego, el punto de intersección de la parábola con su eje de simetría es

V = (-3; -10)

c) Verifiquen que las parábolas no se cortan en ningún punto.

13 Para formar una caja abierta de 60 cm2 de base a partir de una placa rectangular de metal de

(8 x 12) cm2 se cortan de sus esquinas unas piezas cuadradas y se doblan después las aristas.

Hallen la longitud del lado del cuadrado que se corta en cada esquina.

Respuesta

Sea x el lado del cuadradito que se quiere cortar en cada esquina.

Se sabe que el área A del rectángulo sombreado es 60 y sus lados los llamamos a y b.

Entonces es A = a. b = 60.

Como no se tienen las dimensiones de a y b las debemos expresar teniendo en cuenta los datos conocidos que son los lados de la placa de metal: 8 y 12 respectivamente.

Así

a = 8 – 2x (el ancho de la placa menos los dos lados de los cuadrados que se quieren cortar)

Análogamente

b = 12 – 2x (el largo de la placa menos los dos lados de los cuadrados que se quieren cortar)

Índice

14



Reemplazando estas dos expresiones en la del área:

A = (8 – 2x) (12 – 2x)

Es decir: (8 – 2x) (12 – 2x) = 60

Que es una ecuación de segundo grado. Al resolverla encontramos que sus soluciones son x1 = 9 y x2 = 1 (Verificarlo).

Analizamos los valores hallados para x.

• x no puede ser igual a 9, pues sino sería mayor que el ancho de la placa que es 8.

• x puede ser igual a 1.

Entonces, el lado del cuadrado que se quiere cortar es de 1 cm

14 Les dejamos para investigar las posibilidades

Índice

15



Ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones1 de segundo grado

Se conoce como ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado con una incógnita a toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (a0, y a, b y c números reales).

Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación.

Por ejemplo, es una ecuación de segundo grado:

3x2 + 2x –5 = 0, donde a = 3; b = 2 y c = -5. Aunque expresadas de otra manera, son también ecuaciones de segundo grado:

8x2 = 32

-x2 + x = 0

4x2 - 16 = 0

(8x – 2) ( 2x + 3) = 0

(2x – 3)2 = 16

En algunos casos es relativamente fácil resolver una ecuación de segundo grado.

Revisaremos, mediante ejemplos, cómo hacerlo.

Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

Ejemplo 1.

Resolver (x – 2) ( x + 3) = 0

Solución

La expresión en el primer miembro es un producto entre números reales.

Para que este producto sea igual a cero es suficiente que lo sea uno de factores.

En este caso x – 2 = 0 ó x + 3 = 0.

Las soluciones de una ecuación de segundo grado se llaman raíces de la ecuación cuadrática

Luego, las soluciones son

x = 2 ó x = -3

ya que cualquiera de estos números anula a uno de los paréntesis.

Así S = {2; -3} es el conjunto solución de la ecuación.

Ejemplo 2

Resolver -x2 + x = 0 Solución

Sacando factor común “x” se tiene:

-x2 + x = x ( -x + 1) = 0

Índice

1 Elizondo, Giuggiolini, Módulo 2, Articulación Media Universidad; UBA XXI, 2007

16



Con lo que la ecuación se puede resolver en forma similar a la anterior.

Por lo tanto, las soluciones son: x = 0 ó x = 1.

Y es S = {0; 1}

Ejemplo 3.

4x2 - 16 = 0

Solución.

La expresión en el primer miembro es una diferencia de cuadrados. Podemos escribir:

4x2 - 16 = (2x + 4) (2x – 4) = 0

Y nuevamente las raíces se encuentran al tener en cuenta que para que un producto entre dos factores sea cero es suficiente que lo sea uno de ellos. Así las soluciones son:

x = - 2 ó x = 2

• También se puede resolver esta ecuación de la siguiente manera:

4x2 - 16 = 0

Dividiendo por 4 ambos miembros: x2 – 4 = 0

Sumando miembro a miembro 4, es: x2 = 4

De donde :

4 x2

|x| = 2 y esto es cierto si x = 2 ó x = - 2.

¡Cuidado!2

Si a es un número real

cualquiera |a| a2

Con lo que se llega a la misma solución. Luego es

S = { -2; 2}

Ejemplo 4

x2 + 4 = 0

Solución Si se escribe la expresión anterior en la forma x2 = - 4 se puede afirmar que esta ecuación no tiene soluciones reales pues no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea negativo.

Ejemplo 5

(2x – 3)2 = 16

Solución

Tomando raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad es:

16)3x2( 2

Esto es posible hacerlo ya que estamos seguros que (2x – 3)2 0 porque el cuadrado de un número real es siempre mayor o igual que cero.

La igualdad anterior puede escribirse como:

|2x –3| = 4 (ya que a a2 )

Índice

2 Ver Valor Absoluto, unidad 1

17



Luego es:

2x – 3 = 4 ó 2x - 3 = - 4

ya que si |a| = 4 a puede ser 4 ó a puede ser –4.

Entonces si

2

1 x es 4 3x2

2

7 x es 4 3x2

Vemos si son soluciones de la ecuación dada (2x-3)2 = 16

16 (-4) 3) - (-1 32

1-2. ;

2

1- x Si

16 4 3) - (7 32

7.2 ;

2

7 x Si

222

222

Como verifican la ecuación dada, el conjunto solución de la ecuación es

2

1- ;

2

7S

En los ejemplos anteriores fue posible hallar las soluciones de las ecuaciones planteadas recurriendo a propiedades conocidas de la igualdad y de los números reales.

Otros casos pueden ser más difíciles de resolver ya que no aparece claro cómo despejar la incógnita pues ésta aparece con distinto grado en los términos de la ecuación.

Por ejemplo en: x2 + 6x + 9 = 4

Ejemplo 6

x2 + 6x + 9 = 4

Solución

¿Es posible escribir la expresión en alguna de las formas anteriores?

En realidad sí ya que el primer término de la igualdad es el desarrollo de (x + 3)2

Veamos: (x + 3)2 = (x + 3) .(x + 3) Escribiendo el cuadrado como

producto.

= x.(x + 3) + 3 ( x + 3) Distribuyendo.

= x2 + 3x + 3x + 9 Distribuyendo nuevamente.

= x2 + 6x + 9 Asociando y sumando los términos semejantes.

Índice

18



De este modo podemos reemplazar a x2 + 6x + 9 por la expresión (x + 3)2 en la ecuación dada y escribir:

x2 + 6x + 9 = 4 (x +3)2 = 4

Y se resuelve en forma análoga al ejemplo 5.

Si se reemplazan estos valores en la ecuación dada, se ve que son solución de la misma.

Para x = -1 es (-1)2 +(-1).6 + 9 = 1 – 6 + 9 = 4

Para x = -5 es (-5)2 + (-5).6 + 9 = 25 –30 + 9 = 4

Entonces S = {-5; -1}

El procedimiento usado se basa en el cuadrado de un binomio:

(m + n)2 = m2 + 2mn+ n2

(m - n)2 = m2 - 2mn + n2

Otras ecuaciones de segundo grado no pueden reducirse a ninguno de los casos anteriores.

Para resolverlas utilizamos la fórmula

a2

ac4bbx

2

2,1

donde a es el coeficiente de x2; b es el coeficiente del término lineal x y c es el término independiente y x1,2 son las posibles soluciones de la ecuación dada.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 7.

Resolver la ecuación 2x2 –12 x + 10 = 0

Solución:

Teniendo en cuenta que a = 2; b = -12 y c = 10 reemplazamos en la fórmula anterior:

4

8 12

4

6412

4

8014412

2.2

10.2.4)12()12(x

2

2,1

Entonces es:

1 4

8-12 x ó 5

4

812 x 21

5 x ó 1- x donde de

2- 3 xó 2 3 x

2 3x

4 )3x( 2

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19



Así el conjunto de soluciones de la ecuación dada es

S = { 1; 5}

lo que puede verificarse reemplazando ambas soluciones en la ecuación dada.

Número de soluciones de una ecuación de segundo grado En los ejemplos propuestos, se observa que una ecuación de segudo grado, puede tener una, dos o ninguna solución en el conjunto de los números reales

Al trabajar con la fórmula resolvente, este hecho puede conocerse analizando el radicando b2 – 4ac, llamado discriminante.

Luego, teniendo en cuenta que p está definida en los reales sólo cuando p 0,

analicemos el discriminante b2 – 4ac.

• Si b2 – 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.

• Si b2 – 4ac = 0 la ecuación tiene una sola solución real.

Diremos que es una raíz doble o de multiplicidad 2.

• Si b2 – 4ac < 0 la ecuación no tiene soluciones reales.

Ejemplo 8

Analizamos el discriminante en cada uno de los siguientes casos

2x2 – 8x + 6 = 0

x2 + 6x + 9 = 0

3x2 +2x + 1 = 0

Si:

2x2 – 8x + 6 = 0

b2 – 4ac = (-8)2 –4.2.6 = 16

Como el discriminante es mayor que 0 se puede afirmar que la ecuación tiene dos soluciones reales.

x2 + 6x + 9 = 0

b2 – 4ac = 62 – 4.1.9 = 0

Como el discriminante es igual a 0 se puede afirmar que la ecuación tiene una raíz doble o de multiplicidad 2.

3x2 +2x + 1 = 0

b2 – 4ac = 22 –4.3. 1 = -8

Como el discriminante es menor que 0 se puede afirmar que la ecuación no tiene soluciones reales.

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20



Ceros de la función cuadrática

Al buscar los ceros de una función cuadrática de la forma ax2 + bx + c, planteamos que f(x) = 0 si se verifica que

ax2 + bx + c = 0

En la solución del problema usamos la forma resolvente que incluye el discriminante b2 – 4ac.

Analizando el signo del discriminante, encontramos tres casos

b2 – 4ac > 0

En este caso la parábola corta al eje x en dos puntos; x1 y x2.

La función cuadrática tiene dos ceros reales y distintos: x1 y x2.

b2 – 4ac = 0

En este caso la parábola corta al eje de abscisas en un solo punto: x1 = x2.

La función cuadrática tiene un solo cero x1 = x2

b2 – 4ac < 0

En este caso la parábola no corta al eje de abscisas en ningún punto.

La función cuadrática no tiene ceros.

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Ejemplo 9

Determinar, sin calcularlos, la cantidad de ceros que tienen cada una de las siguiente funciones;

a) f(x) = x2 – 4x + 4

b) f(x) = 2x2 -12x + 19

c) f(x) = -x2 – 2 x – 2

Solución.

En todos los casos, analizamos el discriminante b2 – 4ac

a) b2 – 4ac = (-4)2 – 4. 1. 4 = 16 – 16 = 0

Como el discriminante es cero, la función tiene un solo cero

b) b2 – 4ac = (-12)2 – 4. 2. 19 = 144 – 152 = - 8

Como el discriminante es menor que cero, la función no tiene ceros.

c) b2 – 4ac = = (-2)2 – 4. (-1). (-2) = 4 – 8 = -3

Como el discriminante es menor que cero, la función no tiene ceros.

Expresión como producto de una ecuación de segundo grado conocidas sus raíces.

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 entonces es:

ax2 + bx + c = a(x - x1) ( x - x2)

Ejemplo 10

Expresar como producto 2x2 + 5x –18

Solución

Para poder escribir como producto la expresión se deben hallar las raíces de

2x2 + 5x –18 = 0.

Aplicando la fórmula resolvente a2

ac4bbx

2

2,1

para a = 2; b = 5

y c = -18:

2

9-

4

18- x 2

4

8 x

4

13-5- x

4

135x

es Entonces4

169 5-

2.2

)18.(2.455x

21

21

2

2,1

Por lo que 2x2 + 5x –18 =

2

9x2x2

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22



Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado

Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0; y sus raíces si x1 y x2 se verifica que:

1. La suma de las raíces es igual al coeficiente de x cambiado de signo divido el coeficiente de x2.

a

b - xx 21

2. El producto de las raíces es igual al término independiente dividido el coeficiente de x2.

a

c xx 21

Ejemplo 11.

En el ejemplo anterior encontramos que 2

-9 y x2 x 21 son las

raíces de la ecuación 2x2 + 5x –18 = 0.

Veamos que se verifican las propiedades de la suma y el producto:

2

5-

2

92

2

9- 2 xx 21

El numerador de la fracción es igual al coeficiente 5 de x cambiado de signo y el denominador es igual al coeficiente de 2 de x2.

2

18-

2

9- 2 xx 21

El numerador de la fracción es igual al término independiente -18 y el denominador es igual al coeficiente de 2 de x2.

Las propiedades de de la suma y el producto de las raíces de una ecuación de segundo grado permiten reconstruir la ecuación cuando éstas se conocen.

Así, la ecuación ax2 + bx + c = 0.; a 0

se puede escribir como

0a

cx

a

bx2

Ejemplo 12

Encontrar la ecuación de segundo grado que tiene por raíces

4

1 x y

2

1 x 2 1

Índice

23



Por la propiedad de la suma de raíces es:

a

bx x 21

Entonces:

4

3

4

1

2

1 x x 21

Por lo tanto

4

3-

a

b4

3

a

-b

Además:

a

c x x 21

8

1

4

1

2

1

Por lo tanto;

8

1

a

c

Reemplazando en 0a

cx

a

bx2

Es 08

1x

4

3 x2

O bien, multiplicando miembro a miembro por 8:

8x2 –6x + 1 = 0.

Se puede verificar fácilmente que sus raíces son 4

1 x y

2

1 x 2 1

Ecuaciones bicuadradas

Algunas ecuaciones de cuarto grado tienen un aspecto similar a las de segundo grado. Son las llamadas ecuaciones bicuadradas. Su expresión general es:

ax4 + bx2 + c = 0 con a 0.

Para resolverlas, comenzamos por escribirlas en la forma:

ax4 + bx2 + c = a(x2)2 + bx2 + c = 0

Y haciendo la sustitución x2 = z, la expresión anterior queda:

az2 + bz + c = 0

que es una ecuación de segundo grado con incógnita z.

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Ejemplo 13.

Resolver la ecuación 4x4 –5x2 + 1 = 0

Solución

Reemplazando x2 por z, nos queda

4z2 – 5z +1 = 0.

Resolvemos para la variable z, usando la fórmula resolvente (siendo a = 4; b = -5 y c = 1)

8

35

8

16- 255

4.2

1.4.4)5()5(z

2

2,1

De este modo es:

4

1 z 1z

8

35z

8

35 z

2 1

21

Los dos valores hallados son solución de la ecuación 4z2 – 5z +1 = 0.

Ahora debemos obtener los valores de x (ya que hicimos la sustitución x2 = z)

Para z1 = 1 es x2 = 1 es :

1- x ó 1 x

1 x

1 1 x2

Para

2

1 - x ó

2

1 x que; lo por

2

1 xy

4

1 x luego ,

4

1 xes

4

1 z 22

2

Entonces el conjunto solución de 4x4 –5x2 + 1 = 0 es

1 ;

2

1 ;

2

1 ;1S

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Intersección de una parábola y una recta

Dadas la parábola de ecuación

y = ax2 + bx + c

y la recta de ecuación

y = mx + p

encontrar la intersección entre ambas gráficas es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones

pmxy

cbxaxy 2

Al resolver el sistema puede suceder que las gráficas:

Se corten en dos puntos

No se corten

Se corten en un solo punto.

Veamos un ejemplo

Ejemplo 12.

Graficamos en un mismo sistema de coordenadas la recta y = x + 1 y la parábola y = x2 – 6x + 7

Los gráficos se cortan en dos puntos.

Del gráfico podemos decir que

A = (1; 2) y B = (6; 7)

A veces no es tan sencillo encontrar los puntos de intersección de las curvas a partir del gráfico.

Para obtener las coordenadas de los puntos planteamos el sistema

1xy

7x6xy 2

Igualamos las dos ecuaciones:

x2 – 6x + 7 = x + 1

x2 – 6x + 7 - x – 1 = 0

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Calculamos las raíces de la ecuación cuadrática mediante la fórmula resolvente, encontramos que

x1 = 1 y x2 = 6

que son las abscisas de los puntos de intersección entre la parábola y la recta.

Para hallar la ordenada de cada punto, reemplazamos en una de las ecuaciones dadas, por ejemplo en y = x+ 1

Si x1 = 1 es y = 1 + 1 = 2

Si x2 = 6 es y = 6 +1 = 7

Por lo que los puntos de intersección son:

A = (1; 2) y (6; 7)

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Bibliografía Adicional

Alman Silvia y otros. Funciones 1. Colección Matemática. Polimodal. Editorial Longseller,

Bs. Aires, 2005

Bacco, Mónica Funciones elementales para construir modelos matemáticos Colección Ciencias Naturales y Matemática. INET. Ministerio de Educación de la Nación, Bs. Aires. 2010

Camuyrano, B. Matemática 1. Modelso matemáticos para interpretar la realidad Editorial

Estrada, Bs. Aires, 2000

Gysin, L y Fernández G. Matemática, una mirada funcional. AZ Editora, Bs. Aires, 1999

28

clase7_ecuaciones_cuadraticas.pdf

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