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INTRODUCCIN A LA TOPOGRAFA
Topografa II - Unidad I Teorema 1: La suma de ngulos interiores: Si , y son ngulos interiores de un tringulo, la suma de sus medidas es siempre 180.A B R C S L1 + + = 180
Introduccin a la Topografa - [email protected] relativos a ngullos en los tringulosTeorema 2 : La suma de los ngulos exteriores de un tringulo es de 360. A B
C
Introduccin a la Topografa - [email protected] 3 : ngulos exteriores de un tringulo: todo ngulo exterior de un tringulo, es igual a la suma de las medidas de los ngulos interiores no adyacentes a l. C
A B
Introduccin a la Topografa - [email protected] ABC tringulo rectngulo en C, se cumple que la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa.a2 + b2 = c2
Introduccin a la Topografa - [email protected] de PitgorasLos nmeros 3, 4 y 5 son llamados nmeros pitagricos, por cuanto son los nicos tres nmeros naturales consecutivos, que satisfacen la relacin pitagrica 32 + 42 = 52+ 16 = 2525 = 25En todo triangulo rectngulo se cumple que:
El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa:
El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccin del cateto sobre la hipotenusa:
Teorema de la alturaTeorema de los catetos
Introduccin a la Topografa - [email protected] de EuclidesCDBACateto bCateto a Hipotenusa c q p Altura hCBD
ACD
ABC
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Introduccin a la Topografa - [email protected] 3Los cuerpos geomtricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).Un cuerpo geomtrico o slido es todo lo que ocupa lugar en el espacio.Ejemplos:
Introduccin a la Topografa - [email protected] GeomtricosOBS. Cada cuerpo geomtrico o slido tiene volumen y rea.Volumen: lugar que ocupa en el espacio. (Capacidad)rea Total: superficie de cada figura que forma el cuerpo geomtrico.
Cuerpo tridimensional delimitado por caras poligonales planas.
vrticearistacaraAl punto en el que coinciden tres o ms caras se le llama vrtice, y a la lnea en la que coinciden dos caras se le llama arista.
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TetraedroOctaedroHexaedro o CuboDodecaedroIcosaedroLos poliedros regulares han tenido siempre aplicaciones astronmicas. Platn utiliza al Tetraedro como figura bsica de su cosmogona. J. Kepler hace coincidir las rbitas planetarias de forma que los planetas se colocan el esferas circunscritas a cada uno de estos slidos.
Introduccin a la Topografa - [email protected] RegularesCubo o HexaedroPoliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes.Cubo o Hexaedro6812N de carasN de vrticesN de aristasrea=6a2Volumen=a3arista (a)
Introduccin a la Topografa - [email protected]:A=6(3)2V=333Determinar el rea y volumen de un cubo cuya arista mide 3 cm.A=54 cm2V=27 cm3A=6a2V=a3
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ParaleleppedoPoliedro formado por 6 caras que son paralelgramos.Largo (l)alto (h)ancho (a)Volumen=l a hrea=2(al + ah + lh)Estas caras son paralelas e iguales dos a dos.
Introduccin a la Topografa - [email protected] la capacidad de una piscina cuyo largo, ancho y alto miden 3, 2 y 2,5 metros respectivamente.Solucin:Volumen=l a hVolumen=3 2 2,5Volumen=15 m3
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Los poliedros irregulares tienen una base poligonal, que puede ser un tringulo, un cuadrado, un pentgono, etc. Y se nombran teniendo en cuenta dicha base. As, se denominan: pirmide triangular (si la base es un tringulo); prisma cuadrangular (si la base es un cuadrado) y as con los dems polgonos. Las pirmides tienen una sola base, y los prismas dos, una superior y otra inferior (siendo iguales las dos).PirmidetriangularPirmidecuadrangularPrismacuadrangularPrismatriangularAristaBaseCaraAltura
Introduccin a la Topografa - [email protected] IrregularesPirmidePoliedro que posee un rea basal (polgono regular) y un vrtice comn llamado cspide.
rea: Volumen:
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CilindroConoEsferaEstos cuerpos reciben este nombre porque su forma se genera por medio de la revolucin (giro sobre un eje) de una figura plana. Si giramos un rectngulo sobre su lado mayor, obtenemos un cilindro; si giramos un tringulo rectngulo sobre un cateto, obtenemos un cono; y si giramos una semicircunferencia, obtenemos una esfera. Debido a esto, en estos cuerpos, hay superficies curvas.GeneratrizBaseAlturaRadio
Introduccin a la Topografa - [email protected] o Figuras de RevolucinCilindroCorresponde al cuerpo generado por la rotacin indefinida de un rectngulo alrededor de uno de sus lados.
hrLas bases del cilindro son 2 circunferencias iguales y la distancia entre las bases se llama altura.
Introduccin a la Topografa - [email protected]= pr2 h rea=2pr h + 2pr2ConoCorresponde al cuerpo generado por la rotacin indefinida de un tringulo rectngulo alrededor de uno de sus catetos.La base del cono es una circunferencia; el vrtice superior del tringulo es el vrtice del cono; la distancia entre la base y el vrtice es la altura; y la hipotenusa del tringulo es la generatriz.
vrtice del conoGeneratriz (g)hAltura (h)
Introduccin a la Topografa - [email protected]= pr2 h 3 rea=prg + pr2
rea lateral:rea Total:Volumen:Tronco de ConoSe forma por la rotacin indefinida de un trapecio rectngulo en torno al lado que es perpendicular a las bases.
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EsferaCorresponde al cuerpo generado por la rotacin indefinida de un semicrculo alrededor de su dimetro.Volumen= 4 pr3 3 rea=4pr2
(r : radio)
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