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CLCULO DE REASEl rea es una medida de superficie que representa el tamao de lamisma. En los trabajos topogrficos comunes, el rea se expresa enmetros cuadrados (m2), hectreas (ha) o kilmetros cuadrados (km2),dependiendo del tamao de la superficie a medir. La equivalencia entrelas unidades de superficie mencionadas es:

1 ha => 10.000 m21 km2 => 100 ha

El clculo del rea de una superficie se determina indirectamente,midiendo ngulos y distancias y realizando los clculoscorrespondientes.Existen distintos mtodos y procedimientos para el clculo de las reas.En el presente captulo estudiaremos el clculo de reas de figuras

fundamentales, el mtodo del clculo de reas de polgonos por suscoordenadas, y los mtodos para superficies irregulares de los trapecios(o de Bezout), el de Simpson y el de Easa.

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REA DE FIGURAS ELEMENTALESEjemplo:En el diseo de una urbanizacin es necesario construir la Avenida 4 y laCalle 12. La parcela A-1, representada en la figura E1-8, originalmentecolindaba por el norte con el eje de la Calle 12 y por el oeste con el eje de la

Avenida 4. Las dos vas a construir son perpendiculares entre s, y se debecumplir con los siguientes retiros:

8 m a partir del eje de la Avenida 4.4 m a partir del eje de la Calle 12.Se pide calcular:a.- La nueva rea de la parcela A-1,teniendo en cuenta adems que suesquina noroeste debe ser

redondeada con un arco decircunferencia de radio R=2.00 m.b.- El rea a expropiar de la parcela

A-1 para la construccin de ambasvas. Los dems datos se muestran en

la figura E1-8.

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Solucin.El rea original A0 de la parcela A-1 es el rea de un rectngulo

A0 = 35,280*20,820 = 734,530 m2.El rea final (Af) de la parcela A-1 ser el rea del rectngulo A1234menos el rea en exceso del crculo (Ae).Af= A1234 - AeA1234 = (20,820-8,000)*(35,280-4,000)A1234 = 401,010 m2Ae; segn tabla (T1-1)

Af = 401,010 - 0,858 = 400,152 m2 Af = 400,152 m2El rea a expropiar A(ex) ser

A ex = A0 Af.A x = 734,530 - 400,152 = 334,378 m2 A ex = 334,378 m2

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REA DE UN POLIGONO POR SUS COORDENADAS

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Una regla prctica para memorizar la ecuacin 1.11 es observar que en ella secumple que "el doble del rea de un polgono cerrado es igual a la suma algebraica

del producto de cada una de las coordenadas norte por la diferencia entre lacoordenada este anterior y la coordenada este siguiente."En forma general la ecuacin 1.11 se puede escribir,

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El clculo correspondiente a la ecuacin del rea puede organizarse enforma tabulada como se indica a continuacin:

Se colocan en forma ordenada los paresde coordenadas de cada punto, luego enla posicin anterior al primer punto serepite la coordenada este del ltimo, ydespus del ltimo punto, se repite lacoordenada este del primero.

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Se unen mediante flechas cada una de las coordenadas norte con losestes anteriores y posteriores.

Finalmente, la suma algebraica del producto de cada uno de los nortespor la diferencia entre los estes indicados nos dar el doble del rea.

En forma anloga la ecuacin de rea Se coloca en forma ordenada lospares de coordenadas de cada uno de los puntos. Despus del ltimo

punto se repiten las coordenadas del primero. Se conectan mediantelneas el norte de cada punto con el este que le sigue y en el otro sentidose conectan el este de cada punto con el norte siguiente. Luego semultiplica en cruz, tomando como positivo el producto de nortes porestes y como negativo el producto de estes por nortes. Finalmente el

doble del rea del polgono es la suma algebraica de los

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2.6 INSTRUMENTOS TOPOGRFICOS

2.6.1 INSTRUMENTOS PRINCIPALES

1. Eclmetro o ClinmetroConsta de un nivel trico de doble curvatura [A] sujeto a un nonio[B], el cual puede girar alrededor del centro de un semicrculo

graduado [C] fijo al ocular. La imagen de la burbuja del nivel tricose refleja mediante un prisma sobre el campo visual del ocular [D].Con el Eclmetro se pueden determinar desniveles, horizontalizar lacinta, medir ngulos verticales y pendientes, calcular alturas ylanzar visuales con una pendiente dada.

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2. BrjulaGeneralmente un instrumento de mano que se utiliza

fundamentalmente en la determinacin del norte magntico,direcciones y ngulos horizontales. Su aplicacin es frecuente endiversas ramas de la ingeniera. Se emplea en reconocimientos

preliminares para el trazado de carreteras, levantamientostopogrficos, elaboracin de mapas geolgicos, etc.

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3. Miras VerticalesSon reglas graduadas en metros y decmetros, generalmente

fabricadas de madera, metal o fibra de vidrio. Usualmente, paratrabajos normales, vienen graduadas con precisin de 1 cm yapreciacin de 1 mm. Comnmente, se fabrican con longitud de 4m divididas en 4 tramos plegables para facilidad de transporte yalmacenamiento.

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4. Teodolitos MecnicosEl teodolito es un instrumento utilizado en la mayora de las

operaciones que se realizan en los trabajos topogrficos.Directa o indirectamente, con el teodolito se pueden medirngulos horizontales, ngulos verticales, distancias ydesniveles.

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5. Teodolitos ElectrnicosEl desarrollo de la electrnica y la aparicin de los microchipshan hecho posible la construccin de teodolitos electrnicos con

sistemas digitales de lectura de ngulos sobre pantalla de cristallquido, facilitando la lectura y la toma de datos mediante el usoen libretas electrnicas de campo o de tarjetas magnticas;eliminando los errores de lectura y anotacin y agilizando eltrabajo de campo.

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6. Nivel de IngenieroEn las operaciones de nivelacin, donde es necesario el clculo de

las diferencias verticales o desniveles entre puntos, al nivel tricose le anexa un telescopio, una base con tornillos nivelantes y untrpode. Los niveles difieren entre s en apariencia, de acuerdo ala precisin requerida y a los fabricantes del instrumento.

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7. Estacin TotalEquipos que permiten realizar mediciones lineales y angulares

con mucha precisin, debido a la integracin digital yelectrnica de sus componentes, hacindolas en la actualidad elinstrumento ms utilizado en trabajos topogrficos. Existenmuchos tipos y modelos se diferencian entre ellas de acuerdo asu nivel de precisin y su utilidad.

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8. GPSEquipos que utilizan la tecnologa satelital para obtener una ubicacin en

algunos casos submilimtricos, basados en seales obtenidas de satlite yque forman parte de sistemas de navegacin satelital como son: GPS,GLONASS, GALILEO.

2.6.2 INSTRUMENTOS SECUNDARIOS1. Cintas Mtricas y AccesoriosMedir una longitud consiste en determinar, porcomparacin, el nmero de veces que una unidad

patrn es contenida en dicha longitud. La unidad

patrn utilizada en la mayora de los pases delmundo es el metro, definido (Despus de laConferencia Internacional de Pesos y Medidascelebrada en Pars en 1889).

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2. Plomada metlicaInstrumento con forma de cono, construido generalmente en

bronce, con un peso que vara entre 225 y 500 gr, que al dejarsecolgar libremente de la cuerda sigue la direccin de la vertical dellugar, por lo que con su auxilio podemos proyectar el punto deterreno sobre la cinta mtrica.

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3. Tensimetro.Es un dispositivo que se coloca en el extremo de la cinta paraasegurar que la tensin aplicada a la cinta sea igual a la tensinde calibracin, evitando de esta manera la correccin portensin y por catenaria de la distancia medida.

4. Jalones.Son tubos de madera o aluminio, con un dimetro de 2.5 cm yuna longitud que vara de 2 a 3 m. Los jalones vienen pintadoscon franjas alternas rojas y blancas de unos 30 cm y en su parte

final poseen una punta de acero.

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5. Fichas.Son varillas de acero de 30 cm delongitud, con un dimetro =1/4,

pintados en franjas alternas rojas y

blancas. Las fichas se usan en lamedicin de distancias para marcarlas posiciones finales de la cinta yllevar el conteo del nmero decintadas enteras que se hanefectuado.

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2.7 SISTEMA DE UNIDADESMedir significa establecer la relacin entre magnitudes

homogneas. Es decir hallar cuantas veces una de ellasllamada Unidad, est contenida en la otra. La unidad demedicin lineal es el Metro

1. Medicin lineal: unidad patrn; el metro (m)

2. Medicin de superficie: unidad patrn; el metro cuadrado (m)3. Medicin cubica: unidad patrn; el metro cubico (m)4. MedidaAngular .La unidad de medida para los ngulos, varia con el sistema dedivisin que se adopta para la circunferencia segn la siguienterelacin:

5. Equivalencias ms usadas.

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2.8 ESCALASPor sus dimensiones, la Tierra no se puede representar en un

plano en su verdadera magnitud, hay que representarla a escala.

La escala de un mapa es la relacin que existe entre la distanciagrfica lineal que hay entre dos puntos en el mapa y la distancialineal que existe entre dichos puntos en la superficie terrestre,

esto es, una unidad de longitud en el mapa representa las mismasunidades sobre la superficie terrestre.

Ejemplo:Si se tiene un mapa Esc. 1: 250 000, entonces, las conversiones

sern:

1 cm. en el mapa = 250 000 de centmetros del terreno1 cm en el mapa = 2 500 metros del terreno1 cm en el mapa = 2.5 kilmetros del terreno

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CLASES DE ESCALASLa escala de los mapas se puede expresar de dos formas:

1. Numrica2. GrficaO bien 1: 100000 esta ltima expresin es la ms usual.

ESCALA NUMRICALas representaciones numricas de las escalas ms conocidas

son: 1/100, 1/200, 1/500, 1/750, etc.Si 100 metros de terreno se representa en 1 metro de papel, la

escala ser 1/100, equivale a decir que en 1 cm. de papel serepresenta 100 cm de terreno, la escala ser 1/100, ambasexpresiones (numerador y denominador) deben estar en lamisma unidad.

Si la expresin 1/100 = 1/E, donde 1 representa el papel (P), yE representa el terreno (T).

T

P

E

1

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ESCALA GRFICAEs una recta dividida en partes iguales que representa una porcin

de longitud de terreno en un mapa, As por ejemplo en el grfico, 1cm representa a 100 m. Desde el punto 0 m. se subdivide hacia laizquierda en diez partes iguales para tomar detalles en el plano yhacia la derecha se divide cada centmetro. Las divisiones puedentomar otras cantidades como 2, 3, 4 cm. etc. Y representar

cantidades como 200, 500, 1000 m. 2, 3, 5 Km. etc. De acuerdo alplano que se quiera dibujar.

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Escala natural.- Es cuando el tamao fsico de la pieza

representada en el plano coincide con la realidad. Existen variosformatos normalizados de planos para procurar que la mayora depiezas que se mecanizan, estn dibujadas a escala natural o sea.Escala 1:1

Escala de reduccin.- Se utiliza cuando el tamao fsico del planoes menor que la realidad. Esta escala se utiliza mucho pararepresentar planos de viviendas E:1:50, o mapas fsicos deterritorios donde la reduccin es mucho mayor y pueden serescalas del orden de E.1:50.000 o E: 1 : 100000. Para conocer el valorreal de una dimensin hay que multiplicar la medida del plano porel valor del denominador.

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Escala de ampliacin.-Cuando hay que hacer el plano de

piezas muy pequeas o de detalles de un plano se utilizan laescala de ampliacin en este caso el valor del numerador esms alto que el valor del denominador o sea que se deberdividir por el numerador para conocer el valor real de la

pieza.

Ejemplos de escalas de ampliacin son: E: 2:1, E. 10:1, E: 50:1

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MEDICIN DE DISTANCIASDIRECTASEl proceso consiste en hallar elcoeficiente de paso de cadaindividuo.Se emplean mucho enlevantamientos de escala

pequea, tales como en los

trabajos de agricultura, forestal,minera y para levantamientos decroquis. La precisin de unamedida hecha a pasos depende dela prctica del individuo que lo

ejecuta y de la clase de terrenosobre el cual camina. Es necesariocartabonear el paso previamente,es decir determinar la relacinque existe entre la longitud del

paso y la del Metro.

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Promedio nmero de pasos = 534/4 = 133.50Coeficiente de paso/metro = 100/133.5 = 0.75 m/paso.

1 paso = 0.75 m.

D AB = (Pasos) * (longitud de cada paso)

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En un terreno conpendiente, los pasos son enpromedio ms cortos

cuando se sube y ms largoscuando se baja; por tanto serecomienda que eltopgrafo realice elcartaboneo de su paso en

pendientes, tanto de subidacomo de bajada.Existe un instrumento quecuenta el nmero de pasos

que recorre una persona(podmetro) esta se instalaal estilo llavero en una delas piernas de la persona; noobstante no esimprescindible su uso