clase de castillo

8/15/2019 Clase de Castillo

1/81

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

El presente manual se realizó con el

motivo de brindar un respaldo alestudiante que recién ingresa a launiversidad nacional de ingeniería

“Estudia como si fueras a vivir por siempre, y vive como si fueras a morir

mañana.”

Pág. 1


2/81


FISICALa física es una ciencia cuyo obetivo es el estudio de las componentes de lamateria y sus interacciones. En término de tales componentes e

interacciones el cientí!co intenta e"plicar las propiedades de la materia# así como los demás fenómenos naturales que observamos.

$nteracciones { Gravitatorias

Electromagnéticas

Débiles Fuertes

}

VECTORESEn el eemplo anterior%

a= AB=( X 2− X 1; Y 2−Y 1; Z 2−Z 1 )

b=CD=( X 4− X 3 ;Y 4−Y 3 ; Z 4−Z 3)

Magnitud de un vector%

|a|=√ ( X 2− X 1 )2+(Y 2−Y 1 )

2+(Z

2−Z

1)2

Em%& ' (1) 1) *+ , ' (-*) ) 1+

Pág. *


3/81


⇒ | AB|=√ (−2−1 )2+(3−1 )2+(1−2)2=√ 14

/esultante

cba ;; → cba R ++=

Vector unitario%

au

a=

r

1u =

Propiedad de vectores%

1.-a b b a+ = +

Propiedad conmutativa

Pág.


4/81


*.-

( ) ( )a b c a b c+ + = + +Propiedad asociativa

.-

0a a+ =Propiedad del elemento neutro aditivo

0.-.1a a=

Propiedad del elemento neutromultiplicativo

Producto escalar de vectores%

θ :ángulo entre los dosvectores

bs%

. 1i i =

)

. 0i j =

)

. 0i k =

. 1 j j =)

. 0 j i =)

. 0 j k =

. 1k k =)

. 0k j =)

. 0k i =

23&% El producto escalar se denota con un punto.

Producto vectorial de vectores%

Pág. 0


5/81


6/81


1 2 3( , , )c c c c=

Triple producto vectorial%

( ) ( . ) ( . )ax bxc a c b a b c= =

$erivada de vectores%

1.

( )d A B d A d B

dt dt dt

±= ±

*.

( . ) .d A B d A d B B Adt dt dt

= +

.

( )d AxB d A d B xB Ax

dt dt dt = +

Integraci#n de vectores%

. F dr ∫ ( , , ) x y z F F F F =

( , , )dr dx dy dz =

. ( , , ).( , , ) x y z x y z F dr F F F dx dy dz F dx F dy F dz= = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ecuaci#n vectorial de la recta%

Pág. 5


7/81


Ecuaci#n para!&trica de la recta%

0 P P t a= + "= "0+ta

( x # $ # % )=( xo # $0 # %0 )+ t (a1, a2 # a3)

x= x0+ t a1

$= $0+t a

2

%= %0+t a

3

Ecuaci#n si!&trica%

0 0 0

1 2 3

x x y y z zt

a a a

− − −= = =

1 2// // L L a b⇒

1 2 L L a b⊥ ⇒ ⊥

Pág. 6


8/81


.cos

.

a b

a bθ =

Ecuaci#n vectorial de un plano%

1 2 3

1 2 3

( , , )

( , , )

,

( , , )

a a a a

b b b b

t s R

n A B C

=

=

∈

=

0

0

0

P P ta sb

P P ta sb

P P ta sb

= +

− = +

= + +

{ }0 / , R P P ta sb t s R= = + + ∈

Ecuaci#n para!&trica del plano%

0 P P ta sb= + +

0 0 0 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x y z t a a a s b b b= + +

0 1 1 x x ta sb= + +

0 2 2 y y ta sb= + +

0 3 3 z z ta sb= + +

Pág. 7


9/81


tra ecuación del plano%

0. 0n P P =

0 0 0( , , ).( , , ) 0 A B C x x y y z z − − − =

0 0 0( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − =

0 Ax By Cz D+ + + =

$istancia de un punto a un plano%

:Q ax by cz d + + +

! ! !

2 2 2( , )

ax by cz d d P Q

a b c

+ + +=

+ +

Eemplo%8allar la recta L que interfecta ortogonalmente a la recta L1

{ }1 (1, 2,3) (2,1,1) / L t t R= + ∈ 9 que pasa por el punto :&;' (#


10/81


>L?@$2

(2,1,1)a =)

(3,0,2) A =

. 0............(1) PA a⇒ =

0 (1, 2,3) (2,1,1) P P ta t = + = +

(1 2 , 2 ,3 ) P t t t = + + +

(2 2 , 2 , 1 ) PA A P t t t = − = − − − − −

&Aora en (1+%

(2 2 , 2 , 1 ).(2,1,1) 0t t t − − − − − =

&t =1 /6

'= {(3,0,2 )+( (11,−13,−7 ) /(∈ ) }

Pág. 1


11/81


CINEM'TICA $E UNA PART(CU)AEs parte de la mecánica que estudia el movimiento sin considerar las causasque lo producen.>e considera partícula si la dimensión del cuerpo es pequeBa encomparación al recorrido realizado.

- >istema de referencia inercial%

Es aquel sistema que no está inCuenciado por fuerzas internas ointeracciones.

- @lasi!cación del movimiento%

a+ Por su trayectoria&.1.- /ectilínea.- @uando su trayectoria es recta&.*.- @urvilínea.- @uando su trayectoria es una curva (parabólico#

circular# elíptico# espiral# etc.+

b+ Por su velocidad

,.1.- & velocidad constante% D./.?,.*.- & velocidad variable% &celerados y desacelerados

elocidad promedio ( P V

+%

B A P

B A

r r r V

t t t

−∆= =

∆ −

Pág. 11


12/81


elocidad instantánea (i

V

+%

!

0lim

o

it

r d r V r r

t dt ∆ →

∆= = = =

∆

0 0

t r t

t r

d r V d r Vdt d r Vdt

dt = ⇒ = ⇒ =∫ ∫

0 00 0( )t r t t t r rl Vtl r r V t t ⇒ = ⇒ − = −

0 0( )t r r V t t = + −

&celeración promedio%

Pág. 1*


13/81


B A

p

B A

dv v va

dt t t

−= =

−

&celeración instantánea%

0limi

t

v d v d v d d r a a

t dt dt dt dt ∆ →

∆= = ⇒ = = ÷

∆

2

2

d r a

dt

=d v

a

dt

= ºº ll a r r

= =d v adt =

0 0

t v t

t v

dv adt =∫ ∫

0 00 0( )

t r t t t r

vl atl v v a t t = ⇒ − = −

0 0( )t v v a t t = + −

3ambién%

0 0

t v t

t v

d r V dr vdt

dt = ⇒ =∫ ∫

0 0

0 0( ( ))t v t

t v

dr v a t t dt ⇒ = + −∫ ∫

2( ) 00 0 0

1( ) ( )

2t r r v t t a t t = + − + −

Pág. 1


14/81


Pág. 10


15/81


*Coordenadas polares%

cos x r θ =

y rsenθ = 2 2 2 x y r + =

tan x

yθ =

*Coordenadas cilíndricas%

z z=

y rsenθ =

cos x r θ =

*Coordenadas es+&ricas%

Pág. 14


16/81


cos z r φ =

cos x rsenφ θ =

y rsen senφ θ =

Pág. 15


17/81


MOVIMIENTO PARA,O)ICO

*8orizontalmente%

/ma" '0( cos )(2 ).................( )v t θ α

-erticalmente%

0

0

0

( ) : 0

0

y y

y

v v t

en A v

v sen t

v sent

θ

θ

= −

→ =

→ = −

→ =

/eemplazando en( )α

%2

0max

2v sen R

θ =

Luego%

2

0

1

2 y y v t t = −

Pág. 16


18/81


2

0 00

1.

2

v sen v senv sen

θ θ θ

= − ÷

2 2

0

2v sen !

θ =

3ambién%

0

0

coscos

x x v t t

vθ

θ = → =

2

0

0 0

1.

cos 2 cos

x x y v sen

v vθ

θ θ

⇒ = − ÷

2

2 2

0

tan2 cos

x y x

vθ

θ = −

Problema%

?n ugador lanza una pelota con una velocidad de20 /m s

Aaciendo unángulo de 04F con el ee y. en el mismo instante del lanzamiento empieza un

viento con una

21.5 /a m s=

en la dirección ". G& qué distancia del pateadorcaerá la pelotaH

>L?@$2

0 (0,10 2,10 2)v =

(1.5,0, 10)a→ = −

d v adt ⇒ =

0 0

(1.5, 0, 10)v t

v t

d v dt = −∫ ∫

Pág. 17


19/81


(1.5 ,10 2 , 10 10 2)v t t → = − + d r vdt → =

0 0

(1.5 ,10 2, 10 10 2)r t

r t

r t t d = − +

∫ ∫

→

22

( )1.5

,10 2 , 5 10 22

t t

r t t t

= − + ÷

2 _ : 5 10 2 0 2 2 para z t t t → − + = → =

(6,40,0)r → = r'0


20/81


21/81


22/81


t a xr α =

$ a #xv=

2 2

t $ a a a= +

2

( ) t $ d r v

a u udt R

= + ÷

r r

v #r =

( ).

dv d #r d# dr r #

dt dt dt dt = = +

Vector unitario tangente%

Pág. **


23/81


º

ºt

d r

r vdt u

d r vr dt

= = =r

Movi!iento curvilíneo generalen un plano

cos ........................(1)r u i jsenθ θ = +

cos ......................(2)u isen jθ θ θ = − +

....................(3)r u r

JKerivando (+%

( . ). . ....................(4)

r r r

d r d u r d u dr v r u

dt dt dt dt = = = +

r

JKerivando (1+%

cosr d u d d

isen jdt dt dt

θ θ θ θ = − +

( )cos d

isen jdt

θ θ θ = − +

↓

Pág. *


24/81


uθ

r d u d

udt dt θ

θ

→ =

r

En (0+%

r

d d r v u u

dt dt θ

θ = + ÷

r r

r

d r d v u r u

dt dt θ

θ = + ÷ ÷

r r

r v v vθ = +

-r v

es un vector paralelo al vectorr y se llama vector radial.

-

vθ es perpendicular al vector

r

# debido al cambio de dirección se llamatransversal o 3angencial.

- En el movimiento circular%

0 0r d r

vdt

= ⇒ =

9 solo e"iste#v #r θ =

&demás de todo esto se deduce%º º

r v r u r uθ θ = +r r

Pág. *0


25/81


2ºº º º º º º

2r a r r u r r uθ θ θ θ = − + + ÷ ÷

r r

Co!ponente tangencial " nor!al de la aceleraci#n%

>abemos que%

( )t d v d vua dt dt = =

( )...............(1)

t t

d v d ua u v

dt dt = +

r

Ke la !gura 1%

(cos , )..................(2)t u senθ θ =

( , cos )..................(3) $ u senθ θ = −

v% elocidad instantánea.

t a% 8ace cambiar en magnitud a la velocidad.

$ a% La que cambia en dirección a la velocidad y no en magnitud.

....................(4)t $ t $ t $ a a a u a u a= + = +

t v u v=)

( )t v % =)

( )t t u F =

Pág. *4


26/81


...............................(5)t

$ d u d

udt dt

θ =

r

( )

1.......................( )

s cteds d

dt dt

d v &

dt

θρ ρ θ

ρ

θ

ρ

==

=

($+ en (4+%

...................(6)t

$ $

du d vu u

dt dt

θ

ρ

= = ÷

r r

(5+ en (1+%

2

.t $ t $ dv v dv v

a u v u u udt dt ρ ρ

= + = + ÷ ÷ ÷

r r r r

t dv

adt

=2

$ va ρ

=

22 2dv v

adt ρ

= + ÷ ÷

Radio de curvatura (

ρ

+%

Pág. *5


27/81


,= |* 3||* x a|

= |́r|3

|́r x ŕ|

@urvatura%

1k

ρ =

)

t duk

ds=

Vector unitario tangente (t u

+%º

ºt

v r u

v r

= =r

Vector unitario nor!al .

$ u/%

1 1 t

t $ $

d ud u dt u u

dsk ds k dt

= ⇒ =

rr r

Vector unitario 0inor!al%

Pág. *6


28/81


B t x $ u u u=

Radio de curvatura en el plano%

ºº

2º 32

1

(1 )

y

y ρ

=+

Pág. *7


29/81


MOVIMIENTO RE)ATIVO

....................(1) BA B A AB r r r = = −

Kerivando (1+%

..............(2) BA B A

BA B A

d r d r d r v v v

dt dt dt = − ⇒ = −

elocidad de , respecto de &

>imilarmente%

* AB=* A−* B{velocidad

de A

res-ectode B

}Kerivando (*+%

BA B Ad v d v d vdt dt dt

= −

aBA=aB−a A {aceleraci.n

de B

res-ectode A

}

Pág. *=


30/81


>imilarmente%

a AB=a A−aB {aceleraci.n

de A

res-ectode B

}Movi!iento relativo de traslaci#n uni+or!e%

V paralelo al ee "

v cte=u'cte. (velocidad del ee o" yz paralelo al ee "+

* observadores%< y uponemos que para t '


31/81


!

!

!

x x vt trans%ormacion

y y alileana

z z

= −

= ÷ =

>abemos que%

x y z

d r dx dy dzv u u u

dt dt dt dt = = + +

r r r

&demás%

! ! !

! ! ! !!

x y zd r dx dy dz

v u u udt dt dt dt

= = + +r r r

Kerivando la ecuación (*+%!

( )d r d r d vt

dt dt dt = −

OOOO.. (+

!

!

!

! Re.....................(3)

x x

y y

z z

v v u la

v v u v v alileana

v v

= − ⇒ = − =

=

Kerivando (+%

d v−/

dt =

d v

dt −

du

dt ⏟

cero

=& a−/=a

⇒

&mbos observadores miden la misma aceleración

Movi!iento relativo de rotaci#n uni+or!e%

Pág. 1


32/81


J* observadores < y


33/81


! ! !

! ! !

!! ! !

! ! !. . . ....................() x y z

x y z

d r dx dy dz du du duu u u x y z

dt dt dt dt dt dt dt = + + + + +

r r r

J/ecordando que%

!

! ; x

x xd u # u

dt = r

!

! ; y

x yd u # u

dt = r

!

! z

x z du # u

dt = r

! ! !

! ! .............................(") x y z

x x x y xd u d u d u

# u # u # r dt dt dt

∴ = + = + =r r

(=+ en (7+%

! xv v # r = +

a=a−/+2 + x r⏟aceleraci.ndecoriolis

++ x (+ x r)⏟

aceleraci.ncentr0-eta

Pág.


34/81


ESTATICA

Parte de la mecánica que estudia el equilibrio (consideremos cuerpos:rígidos# sin deformación.;+

Material rígido% &quel que no sufre deformación# no se estira# no seencoe.

Fuer1a% Es toda acción que cambia el estado de acción de un cuerpo# tienenaturaleza vectorial# por lo tanto# se puede trazar como un vector (tiene

origen y sentido+

( , , ) F Fx Fy Fz=

## # F iFx jFy kFz= + +

C)ASIFICACION $E FUER2AS

a+ uerzas concurrentes

b+

uerzas coplanares

c+

uerzas paralelas

Pág. 0


35/81


d+

uerzas

colineales

Por su disposici#n de +uer1as%

a+ >istema de fuerzas colineales

b+ @oncurrentes en el plano

c+ Paralelas a un plano

Pág. 4


36/81


$denti!cación de fuerzas%

Peso%

Cuerpos o Ca0les%

Resortes%

Articulaci#n lisa% Engendra fuerzas bidimensionales normales a la

super!cie

E!potra!iento%

Pág. 5


37/81


Super3cies lisas en contacto%

Articulaci#n en r#tulo% rigina fuerzas tridimensionales a la super!cie.

E4uili0rio de una partícula%)e" de senos o teore!a de )a!!"

1 2 R F F = +

2 2

1 2 R F F = +

Tor4ue o !o!ento de +uer1as%

( , , ) F Fx Fy Fz= ( , , )r x y z = o+ rxF =

Pág. 6


38/81


@omponentes de equilibrio

1+

0 F =∑ (2o Aay traslación+

*+0 0 , =∑

(2o Aay rotación+

Pág. 7


39/81


CENTRO $E MASA

4

1 2 3 41

ii

R F F F F F =

= + + + = ∑

1 1 2 2 3 3 4 4. x R x F x F x F x F = + + +i i

i

x F x

F = ∑

∑

.i i

C,

i

r - r

- = ∑

∑

.i i

C,

i

x - x

- = ∑

∑

.i iC,

i

y - y

- = ∑∑

.i i

C,

i

z - z

- = ∑

∑.- m = .m Vol ρ =

Pág. =


40/81


1 2 3 ... n ρ ρ ρ ρ ρ = = = = =

>i el material es Aomogéneo%

1 1.m V ρ = 2 2.m V ρ = ..... .n nm V ρ =

( . ) .

.

i i i i

C, C,

i i

r m r mr r

m m= → =∑ ∑

∑ ∑

( ) .

( )

i i i i

C, C, C,

i i

r V r V r r r

V V

ρ

ρ = → = =∑ ∑

∑ ∑

Para olQmenes Para Rreas Para Longitudes

.

.

.

i i

C,

i

i i

C,

i

i i

C,

i

x L x

L

y L y

L

z L z

L

=

=

=

∑∑

∑∑

∑

∑

.

.

.

i i

C,

i

i i

C,

i

i i

C,

i

x A x

A

y A y

A

z A z

A

=

=

=

∑∑

∑∑

∑

∑

i i

C,

i

i i

C,

i

i i

C,

i

x V x

V

y V y

V

z V z

V

=

=

=

∑∑∑∑

∑

∑

Pág. 0


41/81


>i es un material continuo%

Para olQmenes% Para Rreas%dm dV ρ =

#

.cte ρ = dm dAβ =

#

.cteβ =

C

C

C

xdA x

dA

ydA y

dA

zdA z

dA

=

=

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

C

C

C

xdV x

dV

ydV y

dV

zdV z

dV

=

=

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

C,

rdmr

dm= ∫

∫

C,

rdmr

dm= ∫

∫

Para Longitudes%dm dLλ =

#.cteλ =

C

C

C

xdL xdL

ydL y

dL

zdL z

dL

=

=

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Pág. 01


42/81


C,

rdmr

dm= ∫

∫

2

0 0

0 0

2

0 0

0 0

,

. .2

2

.

. .2

2

C, C,

b b

C, b b

. .

C, . .

xdA xdA x y

dA dA

dA .dx

b x .dx x dx. b

x. b

dx dx

dA b dy

y y bdy y dyb y

yb y

bdy dy

= =

=

= = = =

=

= = = =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ Para un rectángulo%

Pág. 0*


43/81


44/81


/2

2

0 0

/2

0 0

2

0

0

, cos ,

( cos )( ) cos )

( cos )

( )

4

3

2

r

r

r

r

dA dLdr x r dL rd

xdA r dLdr r d dr x

dA dLdr rd dr

d r dr

x

d rdr

r dr r

x

rdr

π

π

θ θ

θ θ θ

θ

θ θ

θ

π π

= = =

= = =

=

= =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ Para un sector circular%

Para un @ilindro%

Pág. 00


45/81


2

2 2

0 0

2 2

0 0

,

Por 'ales:

( ( ))

4( ( ))

! !

! !

zdV z dV r dz

dV

r ! z

R !

R z r dz z ! z dz

! ! z

Rr dz ! z dz

!

π

π

π

= =

−=

−= = =

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ Para un cono%

Para un tronco de cono%

1 1 2 2

1 2

2 2

2 2

2 3

4

z V z V

z V V

R Rr r . z

R Rr r

−= −

+ += ÷+ +

Ecuaciones di+erenciales%

Pág. 04


46/81


1+ $1 2 2 $

3 + $=04 d

2 $

d2 x

2 2 d$

dx + $=0

r2−2 r+1&r 1.2=+1

$ ( x )=c1 e x+c2e

x

*+ $1 2 2 $

3 −64=0

r2−r−6& r1=3, r2=−2

En general

22

2

2

2

( ) ( )( ) ( )

( ) . .

on*e es el senti*o *e la com&onente normal.

( )

n t

n t n t

nn

t t

ds d v # velocidad

dt dt

dv dv dvdv dvdv

a a adt dt dt

dv vd va v # #

dt dt

v

dv d d d d d a

dt dt dt dt dt dt

ρ θ ρ

θ ρ

ρ

ρ

ρ θ θ ρ θ ρ

= = = →

• = +• = + → = +

• = = = = =

• = = = + ÷

÷

$ ( x )=c1 er

1 x+c

2e

r2 x

5+cn ern x

+ $1 2 2 $

3 + $=04 d

2 $

d2 x+ $=0

,>% r=162i

$ ( x )=e x (c1 sin2 x+c2cos2 x )

% a=−! 2

x &

d2 $

d2 x +! 2

x

x1 +! 2 x=¿ <

& x=v

0

! sin !t

❑

$ v=v0cos!t

Pág. 05


47/81


$IN'MICA $E UNAPART(CU)A

Es la rama de la mecánica que trata de

los cuerpos sometidos a fuerzasdesequilibradas# y debido a ellosanimada de movimiento acelerado o nouniforme de los cuerpos bao acción deun sistema de fuerzas.

MATERIA%>e denomina así a la sustancia que ocupa un espacio# dondepodemos de!nir como la materia limitada por una super!cie cerrada.

INERCIA%Propiedad de la materia de ofrecer resistencia a los cuerpos en su

movimiento MASA%Dedida cuantitativa de la inercia de un cuerpo# es una cantidadescalar# es constante salvo para velocidades cercanas a la velocidadde la luz.

PESO%uerza gravitacional que eerce la tierra sobre el cuerpo# es unacantidad vectorial# tiene dirección y sentido Aacia el centro de latierra

)E5ES $E NE6TON

A) PRIMERA LEY (LEY DE LA INERCIA)>i sobre un cuerpo material o partícula no actQa ninguna fuerza# elpunto quedará en reposo o en D/?.

B) SEGUNDA LEY@uando sobre un punto material# actQa una fuerza# el punto seacelerará y la dirección de la partícula será la misma# y su magnitudserá directamente proporcional a la fuerza e inversamenteproporcional al punto material.

C) TERCERA LEY& toda acción se opone una reacción de igual magnitud# las accionesmutuas de dos cuerpos entre si siempre son iguales y dirigidos ensentidos opuestos.

?2$K&KE> >$>3ED& ?E/S& D&>& &@ELE/&@$T2

DE3/$@ &bsolutoDU> @V>

2eWtonKina

Ugg

m /s2

cm/s2

3écnico ´

7g . !g−8 ?3D m /s2

Pág. 06


48/81


$2VLE> &bsoluto 3écnico

Poundal(PK+

ĺb. lb−8

Lb>lug

-ies /s2

-ie/s2

5

2

1 10 1 ".

1 0.46 4.45 32

1 "0

1 0.031 0.13

1 32

32.2 /

$t Dinas k $t

lb / $t pd

r Dinas

pd lb $t

slu lb

pies se

= =

≅ ≅ =

=

= ≅

=

=

( )

:

d d mv F ma F dt dt

mv

dv dm F m V

dt dt

si m cte

dv F m ma

dt

ρ

ρ

= = =

=

= +

=

= =

COMPONENTES RECTANGULARES:

2

2

2

2

2

2

( , , )( , , )

--

--

--

x y z

x y z

x

y

z

a a a a F F F F

d x F mx m

dt

d y F my m

dt

d z F mz m

dt

==

= =

= =

= =

∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

∑

Pág. 07


49/81


2

2

,

,

,

t t t

$ $ $

t $

dv F ma a

dt

v F ma a

dv v F m F mdt

ρ

ρ

= =

= =

= =

∑

∑

∑ ∑COMPONENTE TANGENCIAL Y NORMAL:

COMPONENTE RADIAL Y TRANSVERSAL:

2

2

,

-- - , -- 2 - -

( -- - ) , ( -- 2 - -)

r r

r

r

r

F ma F ma

a r r a r r

F m r r F m r r

F F F

θ θ

θ

θ

θ

θ θ θ

θ θ θ

= =

= − = +

= − = +

= +

∑ ∑

∑ ∑∑ ∑ ∑

Pág. 0=


50/81


CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL (´ ,) DE UNA PARTÍCULA:

mv ρ =

MOMENTUM ANGULAR DE UNA PARTÍCULA (´ '9 ):

( )

( )

o

o

L rx rx mv

L m rxv

ρ = ==

MOMENTUM LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS (´ ,) :

1 2 3

1 1

n n

i i i

i i

sp

sp p m v

ρ ρ ρ ρ

ρ = =

= + +

= =∑ ∑

MOMENTUM ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS (´ '9 ):

Pág. 4


51/81


1 2 3 4

1 1

n n

o i i i

i i

L sp L L L L L r x ρ = =

= + + + = =∑ ∑

Pág. 41


52/81


FUERZA DE ROZAMIENTO:@uando * cuerpos# tal es el caso como de un cubo que reposa sobre unamasa# Aay una resistencia que se opone al movimiento relativo entre *cuerpos.

• >e denomina fricción por deslizamiento y se debe a la interacción de

las moléculas que de los de * cuerpos.• @uando un cuerpo va a iniciar un movimiento esta fuerza es tangentea la super!cie de contacto y varía directamente al área geométrica.

• La fuerza de rozamiento siempre es perpendicular a la normal# ydepende de la velocidad relativa de sus cuerpos.

Cuando va a !"#a$ % !ov&!&n'o. . s s % u $ coe% de rozam estatico= =

k k % u $ coe%iciente de rozamiento= =

En los Cuidos también Aay rozamiento y se llama viscosidad.

( )

: .

: cos /

% Fricci0n del %luido

% /nV

/ coe% de %ricci0n

n coe% de vis idad $ m

=

= −

Pág. 4*


53/81


lim

( ) 6

1 / 10 10 . ( ) :

0

:

ite

L

"i es una es%era de radio R / R

/ ms poise p Ley de stockes La %uerza 1ue resulta es F /nv ma

F si v cte a v

/n

2n caida libre

m V correcci0n por ar1u3m edes

/n

π ∗ → =

= =∗ =

= → = → =

∗

= :

( ) L

m m% V

/n

−=

Pág. 4


54/81


1+

0

ln

ln ln

ln

V t

Vo

V

Vo

/nt

m

ma F /nV

dV m F /nV

dt

dV /n F V

dt m /n

dV /ndt

F mV

/n

F /nt V

/n m

F F /nt V Vo

/n /n m

F V /nt /n F m

Vo /n

F F V Vo e

/n /n

−

= −

= −

= − −

÷

→ = −−

→ − ∫ = − ÷

− − − − = ÷ ÷

− ÷ −= ÷

÷−

→ − = − ÷

∫ ∫

btener en función del tiempo lavelocidad de una partícula que se mueve en una trayectoria rectilíneaen un Cuido viscoso por una fuerza constante.

>olución%

eloci*a* *el tiem&o *e 0n c0er&o

10e cae en 0n 2l0i*o 3iscoso.

*+

1 2

1 3 2

500 150

0, 5 0, 4

- / - /

u u

= == = =

8allar el rango de ´ " si

X'


55/81


>olución%

Para el bloque ( :́ 2 +

Para el bloque ( :́ 1 +

0

0

x

y

F

F

=

=

∑∑>e debe cumplir que%

(3ambién realizar esta misma operación cuando el bloque :baa;+

+ Las pistas de alta velocidad tienen peralte en las curvas paraproporcionar la fuerza centrípeta necesaria para que el veAículo semueva a lo largo de las curvas# encontrar el ángulo en función de lavelocidad.

Pág. 44


56/81


2

2 2

0 0 0 0

/

arctan

1 ,5 ,10 ,30

$ F mv r

+an- m

v v+an

r r

α

α α

α

= =

= → = ÷

=

0+ ?na masa :m; suspendida en un punto !o por una cuerda delongitud :L; gira alrededor con una velocidad angular :W;# encontrarel ángulo :X;.

22

2

2

2

$

$

mv F m# Lsen

r

r CA Lsen

F # Lsen+an

#

cos

# L

arccos

# L

α

α

α α

α

α

= =

= =

= =

=

= ÷

MOMENTO ANGULAR:

Pág. 45


57/81


2 2

si r moimiento circlar

o

o

L rx rxmv

L mrxv

d

L mrv mr # mr dt

ρ

θ

= =

=⊥ →

= = =

>i el movimiento plano en vez de circular es una curva cualquiera# podemosdescomponer la velocidad en sus componentes radial y transversal.

2

( )

/ / , +

: +

r

r

r

v v v

L mrx v v

r v L mrv L mrv

d d como v r L mr

dt dt

θ

θ

θ θ

θ

θ θ

= +

= +

→ =

= →

:

:

( )

( )o

si L rx

dL d dr derivando rx xp

dt dt dt

dLrxF vx mv

dt

dLrxF + +or1ue

dt

ρ

ρ

=

= +

= +

= =

Pág. 46


58/81


59/81


2

2

1 -

2

1

2

dA 6rea 'PP r d

dA d dAr cte

dt dt dt

θ

θ

= ∆ =

= → =

:El movimiento bao las fuerzas centrales# el radio vector de lapartícula barre áreas iguales en tiempos iguales; *da Ley de Uepler.

Pág. 4=


60/81


TRA,A7O

:

/

.

. . .

. .

1 10

1 ",

1 0,3 .

4nidades

,/" $ m 7oule

C8" Dina cm erio

" &nles lb p ie lb pie

" +5cnico / m /m

7oule erios

/m 7oules

7oule lb pie

→ =→ =

→ =

→ =

=

=

=

+= ´ F ; ŕ= Fd cosθ

( , , )

( , , )

.

F Fx Fy Fz

dr dx dy dz

- F dr

==

= ∫

1+ Tra0a8o por una +uer1a constante%

.- F d Fdcosθ = =

Pág. 5


61/81


• El trabao es negativo y la fuerza tienesentido opuesto a :d;.

• El trabao es positivo si tiene el mismosentido de :d;.

•

El trabao es ' < si es perpendicular a :d;.

*+ Tra0a8o por una +uer1a varia0le%

.

era a lo laro

*e la tanente a la tra7ectoria.

t

d- F dr F dr cos

d- F d"

θ = =

=

Pág. 51


62/81


1 1 2 2 ...

. B B

t

A A

- F dr F dr

- F dr F d"

= + +

= =∫ ∫

2

1

x

(%

/

(i

(

( (

(

d- % x

- % x

- % d

= ∆

= ∆

=

∑

∫

Eemplo?na fuerza se eerce sobre una partícula el cual se desplaza a lo largo dela parábola y'"*(m+ en el plano Y9# 8allar el trabao efectuado por estafuerza cuando la partícula se desplaza del punto &' (1##


63/81


2 22

1 1

12 122

3 3

( , , )( , , )

25( 2 ) ( 6 ) /

2

2(3 2 ) 45 /

3

650 /

2

B

A

B

x y z x y z

A

B B B

x x y x z z

A A A

x

y

y +'+A L

- Fdr

- F F F d d d

- F d F d F d

- x y dx x x dx $ m

- z z dy y dy $ m

- - $ m

=

=

= + +

−= − = − =

= + = = ÷

= → =

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Pág. 5


64/81


ENER9(A CIN:TICA .E; # ;/

Teore!a del tra0a8o " la energía cin&tica

2 22 2

/ / .

( ) .... (1)

:

22

/

F x +rabajo - F r Fx

- ma x

De cinem6tica

V% ViV% Vi ax x

a

- 2

→ = ==

−= + → =

→ = ∆

:El trabao AecAo sobre una partícula por una fuerza resultante (cte. ovariable+ es siempre igual al cambio de energía cinética;

Po'n&a:

Pág. 50


65/81


66/81


Energía el-stica de resorte%

2 21( ) ( )2

(

x o

(o

V /x dx / x x∆ = − − = −∫

FUER2AS CONSERVATIVAS%

?na fuerza es conservativa si el trabao AecAo por la fuerza al mover unapartícula en trayectoria cerrada es nulo.

0 0

0

/ -

Fza conservativa

/ Fza no conservativa

∆ = → =

∆ ≠ →

>i el trabao AecAo por una partícula entre * puntos depende de esos puntosy no de la trayectoria de la uerza entonces es conservativa.

1 2 3:"i - - -

La %uerza es conservativa

= =

Pág. 55


67/81


SISTEMA CONSERVATIVO EN O < $IMENSIONES

( , , ) ( , , )

.

, ,

: , ,

x y z

( ) *

x y z

(o )o *o

F F F F dr dx dy dz

4 F dx F dy F dz

0 tambien

du du du F 4

dx dy dz

d d d operador nabla

dx dy dz

= =

∆ = − − −

= − − − = −∇ ÷

∇ = ÷

∫ ∫ ∫

8na 20er)a es conser3ati3a si:0 xF ∇ =

, tam9in se 0sa la con*ici;n∃

0na 20nci;n

&otencial4

/ F 4 = −∇

.

$INAMICA $E UN SISTEMA $E

PARTICU)ASEstudia la interacción de * o más partículas.

MOVIMIENTO $E) CENTRO $E MASA%

En el plano%

Pág. 56


68/81


En el espacio%

:El centro de masa depende de las masas de las partículas y sus posicionescon respecto a las otras;.

Ke (1+%

Kerivando%

Pág. 57


69/81


Ke (*+%

Kerivando%

:La masa total del sistema de partículas multiplicado por la aceleración [email protected]. es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas (e"ternas+ que actQansobre cada una de las partículas;.

Características%

1+a% antes de la colisiónd% después de la colisión

*+ >i% El @.D. permanece constante

+ @on relación a su @.D. la cantidad de movimiento de un sistema esnulo.

Pág. 5=


70/81


Las fuerzas internas entre laspartículas se anulan.1# *# uerzas e"ternas

Ke (+%:El @.D. de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa delsistema estuviera concentrada en el @.D. y las uerzas e"ternas actQanen ese punto;.

CANTI$A$ $E MOVIMIENTO )INEA) $E UN SISTEMA $E

PARTICU)AS (>.P.+

(*+ ' (0+

:El momentum lineal de un >.P. es igual al producto de la masa total del

sistema por la ;.

Kerivando (4+%

(*da Ley de 2eWton para un sistema de partículas+

PRINCIPIO $E )A CONSERVACION $E P

Pág. 6


71/81


>i

Konde%

:@uando la /esultante de las uerzas e"ternas que sobre un sistema departículas es cero# la cantidad de movimiento lineal permanece constante;.

IMPU)SO

Pág. 61


72/81


C=O>UESEs una interacción entre * o más cuerpos en la cual actQa una fuerza muygrande en un tiempo muy pequeBo.

El fenómeno de colisión entre * cuerpos donde e"isten fuerzas activas yreactivas de magnitudes muy grandes durante un intervalo de tiempo muycorto se llama @Aoque.

C=O>UE $IRECTO>ean m1 y m* las masas de * partículas que se mueven con velocidades 1 y*

za eercida por m1 que actQa sobre la masa m*.

za eercida por m* que actQa sobre la masa m1.

E) C=O>UE CONSTA $E PASOS%

Pág. 6*


73/81


74/81


uerza reactiva como consecuencia de la acción de la masa que aumenta odisminuye

Pág. 60


75/81


$INAMICA $E ROTACIONCUERPO RI9I$OEs aquel cuerpo que no sufre deformación# es decir en que la separaciónentre todos los pares de partículas permanecen constantes. 3odos loscuerpos reales son deformables Aasta un cierto grado# pero para nuestrocaso lo consideraremos como indeformable.

RE)ACION ENTRE

>i

Pág. 64


76/81


ENER9IA CINETICA $E ROTACION

(

El momento de inercia es la oposición que presenta un cuerpo a surodadura.

Pág. 65


77/81


TEOREMA $E STEINER O $E )OS E7ES PARA)E)OS

@% centro de masa del cuerpo rígido que pasa por @.$c% momento de inercia del cuerpo respecto a su centro de masa.

Potencia% P ' ' 3W

3% torque`% velocidad angular

MOMENTO $E INERCIA $E UN CUERPO >UE RUE$A

(*+ en (1+%

Pág. 66


78/81


ANA)O9IA ENTRE )AS VARIA,)ES $E TRAS)ACI?N 5 ROTACI?N

TRAS)ACI?N ROTACI?NEspacio Y

elocidad W

&celeración & XDasa D $uerza 3

3rabao

E. @inética

@ant. Dov.

$mpulso

Potencia

$INAMICA $E ROTACION

RA$IO $E 9IROS $E AREAS

Pág. 67


79/81


80/81


>i los ees "# y pasan por @


81/81


clase de castillo

Documents