Cantidad de movimiento lineal y colisiones

Clase 5

A los conceptos ya estudiados para una partícula,vamos a generalizar para un sistema de partículas.

Fuerzas Externas: fuerzas actuantes sobrelas partículas debido a fuentes externas al sistema.

Fuerzas Internas: fuerzas actuantes sobre unapartícula debido a las demás partículas quecomponen el sistema.

Cantidad de Movimiento Lineal – Momento Lineal

Cantidad de Movimiento Lineal – Momento Lineal

Al producto de la masa de un cuerpo por su velocidad se lo denomina cantidad de movimiento lineal

y se lo designa con la letra p.

[p] = Kg m / s

La cantidad de movimiento lineal es una magnitud vectorialy tiene la misma dirección y sentido de la velocidad.

Por lo tanto puede ser expresada por sus componentes de la forma:

px = m vx py = m vy pz = m vz

mp v

Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal

De aquí se obtiene que:

Si la fuerza externa resultante sobre un sistema es nula, la

cantidad de movimiento lineal total del sistema se conserva.

Total 1 2p p p cons tante

La cantidad de movimiento lineal total del sistemase conserva, no necesariamente el de cada partícula.

m1

m2

Para dos partículas que interactúan se cumple que:

111P vm

22 vm2P0Ptotal

La conservación de la cantidad de movimiento lineal total del sistema ( 2 partículas) puede ser expresada matemáticamente de varias formas:

Se conserva en cada dirección en forma independiente

px i-total = pxf-total pyi-total = pyf-total pzi-total = pzf-total

Puede ser aplicado a sistemas de varias partículas

total 1 2p = p + p = constante

constante....P 321total PPP

A

Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal

2final1finalinicial2inical1 PPpp

Ejemplo de conservación de la cantidad de movimiento lineal

Un arquero está parado sobre hielo(superficie sin rozamiento).¿Que sucede después de lanzar la flecha?

Análisis:

Con la segunda ley de Newton No, porque no hay información de la Fuerza ni de la aceleración.

Con el teorema Trabajo-Energía No, porque no hay información de los trabajos o energías.

Con la conservación de la cantidad de movimiento lineal Si

Considerando 1: hombre y arco2: flecha

Como No actuan Fuerzas Externas al sistema :

Además

La cantidad de movimiento lineal total del sistema antes arrojar la flecha es cero:

La cantidad de movimiento lineal total del sistema después arrojar la flecha también es cero:

1i 2i 1f 2fp + p = p + p1i 2i 0v v

1 2

1 21 2

p pf f

f fm v m v

Ejemplo:

1f 2f0 = p + p

La velocidad de la flecha negativa indica que se dirige en dirección contraria alarquero y con un valor mayor, ya que su masa es mucho menor.

v2fv1f

Impulso AA partirr dee laa segundaa leyy dee Newtonn see puedee relacionar laAA partirp rcantidad

dededde

aa segundas ggggg allmovimiento

yeyyyyyyy dedlellineal

NewNee Nde

wtonewuna

sese puedepnnpartícula

relacreecon

cionacla

nar laonfuerzacantidad

resultantee movimiemded

eee actuandoentomie

oo sobreneallin

ee ellaeallala:

[I] = N/s = Kgm / s

Integrando para encontrar el cambio de la cantidad de movimientolineal durante un intervalo de tiempo para una Fuerza que no esconstate

La integral se llama el impulso de una fuerza, , actuando sobre un objeto durante un t

f

i

t

f i tdtp p p F I

p Fd dt I

I

d md dm mdt dt dt

vv pF a

El Impulso es una magnitud vectorial.

El módulo del impulso es igual al área bajo la curva defuerza vs tiempo.

El Impulso no es una propiedad de la partícula, pero es una medidadel cambio en la cantidad de movimiento de la partícula.

Impulso

•El impulso se puede escribir como:

donde Fm es la fuerza promedio durante el intervalo.

• La fuerza F que actúa en untiempo muy corto, y se llamafuerza de impulso.

Área = Fm t

ti tf

t

F

Fm

mI F t

Impulso

Se puede ver que la interacción de la fuerza con el objeto es algo compleja, es útil definir:

Impulso

mI F tPor ejemplo:

Los airbags tienen la función de aumentar el tiempo de acción ( t) de la F deacuerdo a la ecuación Fm disminuye y por lo tanto el daño a causa del choque es menor.

EjemploUna pelota de golf de 50 g inicialmente en reposo es golpeada por un palo de golf y ésta alcanza una distancia de 200m, calcule el impulso aplicado por el palo, suponga la velocidad inicial 44 m/s.

Ipelota = ppelota = pfinal – pinicial =

Si el tiempo de contacto en B dura 4.5 x 10–4 sla fuerza es: F = I/ t = 4900 N

En la mayoría de los casos, la fuerza actúa durante un tiempo pequeño sobre lapartícula, por eso F es muy grande comparada con otras fuerzas presentes.

A B C

vB = 44 m/svA = 0 m/s

m vB – m vA = (0,050)(44 - 0) = 2,2 kg m/s

Colisiones o Choques – Características

Llamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerposmediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de loscuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimientoestablece que:

m1v1 + m2v2 = m1 u1 + m2 u2

Debe involucrar un contacto físico, pero puede ser generalizadoincluyendo casos en donde no existe con contacto físico.

El intervalo de tiempo durante el cual las velocidades cambiandesde el valor inicial hasta el final, se asume muy corto.

Las fuerzas de interacción se las considera mucho mayor quecualquier fuerza externa presente.

2final1finalinicial2inical1 PPpp

Colisiones Las colisiones pueden ser el resultadodel contacto directo (a).

La fuerza del impulso varía en el tiempode forma complicada.

Esta fuerza es interna del sistema.

La cantidad del movimiento linealse conserva.

Hay colisiones que no necesitan contactofísico entre las partículas (b).

por ejemplo: fuerzas eléctricas entre ellas.

Este tipo de colisiones pueden analizarse en lamisma forma que las (a).

112

dpFdt

221

dpFdt

12 21F F

De la tercera ley de Newton, tenemos que:

Fuerzas de interacción

Consideraremos colisiones en una dimensión.Las colisiones se clasifican en:

Semielásticas o Semplásticas: cuando parte dela energía cinética total se transforma en energía norecuperable (calor, deformación, sonido, etc.).

Inelásticas o Plásticas: cuando los objetospermanecen juntos después de la colisión,perdiendo parte de la energía cinética total.

u1 = u2

Clasificación de las colisiones

En todos los casos la cantidad de movimiento lineal del sistema se conserva

2 2 2 21 1 1 11 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2m v m v m u m u

totalftotali EcEc v= veloc. inicial antes del choqueu= veloc. final después del choque

Qtotalftotali EcEc

Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir:

En colisiones elásticas se conserva:la cantidad de movimiento lineal del sistema.

Es fácil mostrar que a partir de lo anterior:

si m1 = m2

m1 m2

v1 v2u2u1

Antes de la colisión Después de la colisión

Colisiones elásticas

1 1 2 2v u v u

2 2 2 21 1 1 11 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2m v m v m u m u

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u

y la energía cinética total

v1 – v2 = -u1 + u2

v1 + u1 = v2 + u2

A

Para colisiones inelásticas se cumple:

m v m vu u um m

1 1 2 21 2

1 2

Si m2 está inicialmente en reposo, entonces: v2 =0

m vum m

1 1

1 2

Si v2 = v1 , entonces:

Y si en este caso m1= m2, entonces: u = 0

m mu vm m

1 21

1 2

Colisiones inelásticas

m1

v1

m2

v2

m1+m2

u

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u

Antes de la colisión Después de la colisión

A

Qtotalftotali EcEc

Colisiones en dos dimensiones

Para el caso de dos dimensiones la conservación de la cantidad de movimiento se expresa para cada componente como:

Eje x: m1v1x + m2v2x = m1u1x + m2u2x

Eje y: m1v1y + m2v2y = m1u1y + m2u2y

m1

m2

v1

u2

u1

Antes de la colisión Después de la colisión

v2

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u

Si m2 está en reposo v2 = 0. Después del choque, m1 se mueve a un ángulo con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo con la horizontal. reemplazando:

P sistema antes = P sistema después

En eje x: m1v1 = m1u1cos + m2u2cos

En eje y: 0 = m1u1 sen - m2u2sen

Si el choque es perfectamente élastico, la ley de la conservación de la energía también se cumple de acuerdo a la ecuación:

m1

m2

v1

u2

u1

Antes de la colisión

Después de la colisión

2222

12112

12112

1 umumvm

Por ejemplo:

A

v1

v2

u

Colisiones en dos dimensiones

Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular

L I

t

xIneta

xItneto

Ltneto

Análogamente a la cantidad de movimiento lineal P se puede definir en el movimiento giratorio la cantidad de movimiento angular L:

Como la aceleración angular se define:

Si actúa un momento neto, se tiene la siguiente expresión:

Si el momento neto =0 , se puede enunciar:el principio de conservación de la cantidad de movimiento angular:

finalinical LL0neto

variación de la cantidad de movimiento angular.

Reemplazando:

0L

I = momento de inercia

0 0

Momento lineal Momento angular

Fuerza Momento de una fuerza

2 ley de Newton 2 ley de Newtonneta neto

p = mv L = I

F

dp dLF = =ma = = Id d

mp m m y

Movimiento lineal Movimiento de rotación

COMPARACIÓN ENTRE EL MOVIMIENTO LINEAL Y MOVIMIENTO ANGULAR

Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular

0neto

0L

finalinical LL

finalinical I

La patinadora cuando estira sus brazos,aumenta r, aumenta su momento de inercia I.Para que la cantidad de movimiento angular se conserve debe disminuir

Recordemos que momento de inercia I depende de la masa y de su distancia r al eje de giro

Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular

El mismo razonamiento se hace:

Para realizar un giro con mayor velocidad ( aumente)El momento de inercia (L) debe disminuir, para esto acerca su cuerpo al eje de giro