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CICLO FORMATIVO

Mdulo Mdulo Mdulo Mdulo 2222: : : :

L o s d e s a fL o s d e s a fL o s d e s a fL o s d e s a f o s d e l a e n s e a n z a d e o s d e l a e n s e a n z a d e o s d e l a e n s e a n z a d e o s d e l a e n s e a n z a d e l o s nl o s nl o s nl o s n m e r o s r a c i o n a l e s m e r o s r a c i o n a l e s m e r o s r a c i o n a l e s m e r o s r a c i o n a l e s

Clase N Clase N Clase N Clase N 4444: : : : Aportes de la Didctica de la Matemtica para pensar la Aportes de la Didctica de la Matemtica para pensar la Aportes de la Didctica de la Matemtica para pensar la Aportes de la Didctica de la Matemtica para pensar la enseanzaenseanzaenseanzaenseanza

Autoras: Graciela Chemello, Mnica Agrasar, Silvia Chara y Anala Crippa - Equipo reas curriculares del Ministerio de Educacin

Desde hace ms de tres dcadas se han divulgado en nuestro pas numerosos aportes

referidos a la enseanza de la Matemtica, que dieron lugar a variadas experiencias en

distintas escuelas y vienen orientando las polticas curriculares en el rea desde hace varios

aos, generando un enfoque concordante a travs del tiempo. Este enfoque responde a las

demandas sociales emergentes en relacin con las competencias deseables a desarrollar en

los alumnos, y ha sido plasmado en diferentes documentos curriculares en cuyo anlisis es

necesario seguir trabajando entre docentes, en espacios de trabajo comn.

Por ello, en esta clase desarrollaremos algunos puntos de partida generales incluidos en

Ensear Matemtica en el segundo ciclo de los Cuadernos para el aula NAP, que han sido

elaborados a partir de diferentes trabajos de especialistas en Didctica de la Matemtica.

EL TRABAJO MATEMTICO EN LA ESCUELA

Desde una perspectiva que entiende a la Matemtica como una forma de produccin, como

una cultura, incluimos a continuacin algunas reflexiones extradas de los mencionados

documentos, que permiten caracterizar la prctica matemtica que consideramos pertinente

promover en las aulas.

Pensar la actividad matemtica en la ciencia y en la escuela

El conocimiento matemtico, como ocurre con otros conocimientos y con las producciones

culturales en general, ha ido generndose y transformndose en diferentes momentos

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histricos, en dilogo permanente con problemas que tienen lugar en los distintos entornos

sociales y culturales.

Cuando se quiere estudiar una determinada situacin o interactuar con ella desde la

Matemtica, se formulan preguntas que pueden referirse tanto al mundo natural y social

como a la misma Matemtica. Para responderlas, se utilizan modelos matemticos

conocidos o se elaboran conjeturas y se producen nuevos modelos. En todos, las conclusiones

que se elaboran se interpretan para determinar si responden o no a las preguntas planteadas

inicialmente.

Tambin forma parte de este proceso mejorar la eficacia de los modelos que se crean y de las

formas de comunicar los descubrimientos, as como establecer relaciones entre lo nuevo y lo

que ya se conoce.

El proceso de construccin y las conclusiones resultantes tienen rasgos especficos: un modo

particular de pensar y proceder, y conocimientos con caractersticas particulares. Estos

conocimientos permiten anticipar el resultado de algunas acciones sin realizarlas

efectivamente. Por ejemplo, para determinar de cuntas formas distintas puedo combinar 5

entradas, 12 platos centrales y 10 postres diferentes en un restaurante, es posible calcular el

producto 5 x 12 x 10 sin necesidad de armar las diferentes posibilidades y contarlas. Por otra

parte, los resultados se consideran necesariamente verdaderos si, para obtenerlos, se han

respetado reglas matemticas. Por ejemplo, para la multiplicacin planteada en el problema

anterior, se puede justificar que 5 x 12 x 10 = 5 x 2 x 6 x 10 = (5 x 2) x 10 x 6 = 10 x 10 x 6,

aplicando propiedades de la multiplicacin. En el mismo sentido, al trabajar con figuras en

Geometra es posible afirmar, aun sin hacer ningn dibujo, que si se construye un

cuadriltero cuyas diagonales son distintas, este no puede ser un cuadrado pues, si lo fuera,

tendra sus diagonales iguales.

A la vez, la obtencin de nuevos resultados conlleva la necesidad de crear un lenguaje para

comunicarlos. Los nmeros, las figuras y las relaciones tienen representaciones cuyo uso se

conviene entre los matemticos.

De esta manera, la actividad matemtica en la ciencia est muy fuertemente ligada a la

resolucin de problemas y a un modo particular de razonar y comunicar los resultados.

Esta forma de trabajar en Matemtica debera ser tambin la que caracterice

la actividad en el aula desde los inicios de la escolaridad. Se trata de que los alumnos entren

en el juego matemtico, es decir, que se ocupen de producir conocimientos nuevos (para

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ellos) frente a los problemas que se les planteen, y que debatan para validarlos. Luego, con la

intervencin del maestro, los reconocern como conocimientos que forman parte de la

Matemtica. As, en la escuela, los nios deberan ser introducidos en la cultura matemtica,

es decir, en las formas de trabajar matemticamente.

Desde esta perspectiva, entendemos que saber Matemtica requiere dominar los

conocimientos de esta disciplina para utilizarlos como instrumentos en la resolucin de

problemas, y tambin para definirlos y reconocerlos como objetos de una cultura.

Reconsiderar el sentido de la Matemtica en la escuela

La concepcin que cada persona se va formando de la Matemtica depende del modo en que

va conociendo y usando los conocimientos matemticos. En este proceso, la escuela tiene un

rol fundamental, ya que es all donde se ensea y se aprende de un modo sistemtico a usar

la Matemtica. El tipo de trabajo que se realice en la escuela influir fuertemente en la

relacin que cada persona construya con esta ciencia, lo que incluye el hecho de sentirse o no

capaz de aprenderla.

Cuando la enseanza de la Matemtica, en lugar de plantearse como la introduccin a la

cultura de una disciplina cientfica, se presenta solo como el dominio de una tcnica, la

actividad en el aula se limita a reconocer, luego de las correspondientes explicaciones del

maestro, qu definicin usar, qu regla hay que aplicar o qu operacin hay que hacer en

cada tipo de problema.

Se aprende qu hacer, pero no para qu hacerlo ni en qu circunstancia hacer cada cosa.

Esta enseanza ha derivado en dificultades que ya conocemos: por una parte, aunque

permite que algunos alumnos logren cierto nivel de xito, cuando el aprendizaje se evala

en trminos de respuestas correctas para problemas tipo, deja afuera a muchos alumnos que

no se sienten capaces de aprender Matemtica de este modo. Por otra parte, lo as

aprendido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata de usar los

conocimientos para resolver situaciones diferentes de aquellas en las que se aprendieron.

Otras veces, la actividad en el aula incluye la resolucin de problemas diversos, y se pasa de

uno a otro y a otro sin un trabajo reflexivo que vuelva sobre lo realizado.

Trabajar solo resolviendo problemas, sin explicar o fundamentar matemticamente,

tambin es insuficiente. El trabajo que implica volver sobre lo realizado, por uno mismo o por

los compaeros, exige siempre una explicitacin, un reconocimiento y una sistematizacin

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del conocimiento que se pone en juego en la resolucin de los problemas, en las formas de

obtenerlo y de validarlo. Sin este proceso, los conocimientos matemticos aprendidos en la

escuela (las nociones y las formas de trabajar en Matemtica) no tendrn, a futuro, las

mismas posibilidades de reutilizacin, ya que quedaran asociados a su uso en algunos casos

particulares.

En sntesis, cmo se hace Matemtica en el aula define, al mismo tiempo, qu

Matemtica se hace, y para qu y para quines se la ensea, lo que plantea una

disyuntiva central en relacin con la construccin de las condiciones que posibilitan el acceso

a la Matemtica de unos pocos o de todos.

Priorizar un tipo de trabajo matemtico

Resulta pues vital que prioricemos en la escuela, desde el momento en que los nios se

inician en el estudio de la Matemtica, la construccin del sentido de los conocimientos por

medio de la resolucin de problemas y de la reflexin sobre estos, para promover as un

modo particular de trabajo matemtico que est al alcance de todos los alumnos y que

suponga para cada uno:

Involucrarse en la resolucin del problema presentado, vinculando lo que se quiere resolver

con lo que ya se sabe y plantearse nuevas preguntas.

Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus compaeros considerando que

los procedimientos incorrectos o las exploraciones que no los llevan al resultado esperado

son instancias ineludibles y necesarias para el aprendizaje.

Discutir sobre la validez de los procedimientos realizados y de los resultados obtenidos.

Reflexionar para determinar qu procedimientos fueron los ms adecuados o tiles para la

situacin resuelta.

Establecer relaciones y elaborar formas de representacin, discutirlas con los dems,

confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notacin convencional.

Elaborar conjeturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de ejemplos o justificarlas

utilizando contraejemplos o propiedades conocidas.

Reconocer los nuevos conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos.

Interpretar la informacin presentada de distintos modos, y pasar de una forma de

representacin a otra segn su adecuacin a la situacin que se quiere resolver.

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Producir textos con informacin matemtica avanzando en el uso del vocabulario

adecuado.

Para generar en el aula un trabajo matemtico de las caractersticas del que acabamos de

describir es necesario disear actividades que den lugar a diferentes tipos de tareas por

parte de los alumnos: algunas que prioricen la resolucin, otras la comunicacin en forma

oral o escrita, otras la justificacin, otras la formulacin de preguntas. Cabe advertir que si

bien el acento de dichas actividades puede estar puesto en un tipo de tarea particular, de

ningn modo implica dejar de lado las otras. Por ejemplo, las justificaciones deben estar

presentes en las distintas prcticas propias del quehacer matemtico.

Por otra parte, y con respecto a la construccin del sentido (), dice Guy Brousseau: El

sentido de un conocimiento matemtico se define no slo por la coleccin de situaciones

donde este conocimiento es realizado como teora matemtica; no slo por la coleccin de

situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solucin, sino tambin por el

conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economas que procura, de

formulaciones que retoma, etc. (Brousseau, 1983: 170)

As, al seleccionar un conjunto de problemas para trabajar con una nocin a ensear, es

necesario advertir dos cuestiones. Por un lado, que se trata de un recorte entre muchos

posibles respecto de una coleccin ms amplia cuyo estudio demandar varios aos de

escolaridad. Precisar los criterios que fundamentan los distintos recortes en cada nivel de

concrecin curricular, da lugar a la explicitacin del propsito particular que orienta un nivel,

un ciclo, un ao, una unidad de trabajo. Por otro lado, que ese conjunto de problemas debe

incluir aquellos que permiten analizar los lmites de la nocin en estudio, es decir, problemas

en los que la nocin no funciona como instrumento de resolucin. Un ejemplo es el de

considerar, en el conjunto de problemas para trabajar la nocin de proporcionalidad,

algunos donde esta relacin no se cumpla (como es el caso de los problemas de costo de

viajes en taxi, con un pago fijo por la bajada de bandera y luego un costo por kilmetro)

Cabe destacar aqu en el nivel del aula que muchas veces, con la intencin de no confundir a

los alumnos, el maestro evita incluir este tipo de problemas para ensear un contenido,

cuestin que debemos tomar en los espacios de capacitacin.

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Otro didacta, Roland Charnay, avanza sobre una primera descripcin de los problemas

matemticos que dan lugar a la construccin de sentido o, como l lo denomina, la

significacin de un conocimiento afirmando que .la construccin de la significacin de

un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:

- un nivel externo: cul es el campo de utilizacin de este conocimiento y cules son los

lmites de este campo?

- un nivel interno: cmo y por qu funciona tal herramienta? (por ejemplo, cmo

funciona un algoritmo y por qu conduce al resultado buscado? (Charnay, 1994:53)

En cuanto a los niveles de significacin, ningn proyecto de enseanza debiera descuidar la

presencia de ambos de manera equilibrada. Un nfasis en el nivel de significacin externa no

contribuye a los procesos de puesta en relacin y generalizacin de las nociones en juego y,

un nfasis en el anlisis del funcionamiento de las herramientas, sin haber dado

previamente lugar a su uso en contextos variados, obstaculiza la identificacin de las

situaciones donde resultan necesarias.

Por otra parte, Gerard Vergnaud despliega una caracterizacin de los tipos de conocimiento

ligados a la construccin de un concepto, poniendo a los saberes hacer en un pie de

igualdad con los saberes expresados y considerando que lo que permite y lo que define la

adquisicin de un concepto es la accin en situacin en la que ambos se ponen en juego. l

sostiene que El saber-hacer no puede oponerse al saber, puesto que constituye su criterio y

se fundamenta en l. Saber y saber-hacer son dos vertientes indisociables del pensamiento

conceptual.

Un concepto no puede ser reducido a su definicin, al menos si se est interesado en su

aprendizaje y enseanza. A travs de las situaciones y de los problemas que se pretenden

resolver es como un concepto adquiere sentido para el nio. (Vergnaud, 1990 : 133-170)

Estas ideas estuvieron presentes en la elaboracin de diversas producciones curriculares

como los NAP y los diseos curriculares provinciales como tambin en distintos materiales

de desarrollo curricular. En los diferentes documentos curriculares se plantea como

actividad principal de la clase de matemtica la resolucin de problemas y la reflexin sobre

la misma, lo que involucra para el maestro tanto la eleccin de problemas desafiantes pero

adecuados para los conocimientos de sus alumnos, as como una particular gestin de la

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clase, cuestiones que, de modo general, abordaremos en esta clase y profundizaremos en las

restantes.

LA SELECCIN DE PROBLEMAS

Para atender a la construccin de sentido que mencionamos, ser necesario precisar con

qu criterios se seleccionaran los problemas que configuran el proyecto de enseanza de un

tema particular.

En los Cuadernos para el Aula del Segundo Ciclo se lee:

Elegir los problemas

Estamos afirmando que el sentido de los conocimientos matemticos se construye al resolver

problemas y reflexionar sobre ellos. Esto nos plantea, en principio, algunos interrogantes

centrales: qu problemas presentamos?, cmo conviene seleccionar el repertorio de

actividades para un determinado contenido y un grupo particular de alumnos?

En principio, la posibilidad de dominar una nocin matemtica con suficiente nivel de

generalidad como para poder utilizarla en distintas situaciones depender de que la variedad

de problemas considerados al estudiarla sea representativa de la diversidad de contextos de

uso, de significados y de representaciones asociados a la nocin. Tambin habr que tener en

cuenta que la nocin que se quiere ensear surja como una herramienta necesaria para

resolver el problema y no como una definicin que hay que aplicar, y que la presentacin de

la informacin no fomente ideas estereotipadas acerca de los modos de resolucin.

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Consideramos que cada actividad constituye un problema matemtico para un alumno en la

medida en que involucra un enigma, un desafo a sus conocimientos matemticos, es decir, si

estos le permiten iniciar la resolucin del problema y, para hacerlo, elabora un cierto

procedimiento y pone en juego las nociones que tiene disponibles, modificndolas y

estableciendo nuevas relaciones.

En este sentido, la actividad que puede resultar problemtica para un alumno no lo es

necesariamente para otro, puesto que depende de los conocimientos de que dispone. As,

para atender la heterogeneidad en cada grupo de alumnos respecto de sus conocimientos

iniciales y dar a todos la posibilidad de construir una solucin es necesario plantear buenas

preguntas, confiar en que todos los nios pueden responderlas de algn modo, admitir

diferentes procedimientos y, luego, trabajar con los conocimientos que surjan para avanzar

hacia los que se quiere ensear por medio del planteo de nuevas preguntas.

Con relacin a la seleccin de problemas, es necesario tener presente que la inclusin de

problemas desafiantes orientados a abordar nuevas nociones o nuevos procedimientos, no

implica dejar de lado instancias tendientes a la consolidacin de lo que se est aprendiendo.

Es necesario tambin proponer actividades que permitan utilizar dichas nociones o

procedimientos en situaciones diferentes, lo que permitir la extensin de su campo de

utilizacin, enriqueciendo su sentido. Tambin es necesario pensar en actividades tendientes

a que los alumnos alcancen un mayor dominio de lo que estn aprendiendo, lo que

favorecer que dichos aprendizajes estn ms anclados y disponibles.

Adems de considerar la finalidad a que apunta cada problema y el tipo de tareas que se

promueve, es necesario tener en cuenta los contextos en los que se plantean, los

significados que se priorizan, las representaciones involucradas, las variables didcticas

seleccionadas, el tipo de tarea que se le propone a los alumnos y el carcter de herramienta

u objeto que pueden revestir las nociones involucradas.

A continuacin nos centraremos en los contextos en que se proponen los problemas, el

carcter de instrumento u objeto de los conocimientos involucrados y los tipos de tareas ,

reservando para las prximas clases los anlisis que apunten a los significados, las

representaciones y las variables didcticas.

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Con relacin a los contextos

Leemos en los Cuadernos para el Aula para el segundo ciclo:

Para cada nocin es posible considerar diferentes contextos que nos permitan plantear

problemas en los que la resolucin requiera su uso. Estos contextos podrn ser matemticos

o no, incluyendo entre estos ltimos los de la vida cotidiana, los ligados a la informacin que

aparece en los medios de comunicacin y los de otras disciplinas (Ministerio de Educacin,

2003: 21).

De nuestra experiencia como capacitadores, podemos afirmar que, en ocasiones, se

interpreta que por ejemplo, hacer cuentas es equivalente a trabajar problemas en el

contexto matemtico. Esta asimilacin nos interpela a reflexionar en la capacitacin sobre la

idea de que, si bien resolver cuentas es un trabajo en ese contexto, puede tanto apuntar a

afianzar el dominio de una tcnica como constituirse en un buen problema. Para ello es

necesario que la actividad planteada sobre las cuentas permita que se establezcan nuevas

relaciones o se descubran nuevos conceptos y no se trate solo de ejercitar una sucesin

fija de pasos

Podemos analizar dos ejemplos sobre problemas ligados a las cuentas que forman parte

de una de las secuencias con operaciones con nmeros naturales, la elaborada para sexto

grado.

Actividad para los alumnos: Descomponer para multiplicar

a) Analiz esta forma de multiplicar y explic qu propiedades aseguran que los

resultados que se obtienen son correctos:

14 x 36 =

7 x 2 x 9 x 4

63 x 2 x 2 x 2 = 126 x 2 x 2 = 252 x 2 = 504

b) Podras usar este tipo de descomposiciones para hacer alguna de estas

operaciones? Por qu?

72 x 60 = 45 x 29 = 41 x 37 =

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En esta actividad, se piden varias tareas, analizar un procedimiento para multiplicar y

justificarlo, y repetirlo si es posible para otros nmeros. Al intentar usarlo, los alumnos vern

qu condicin deben cumplir los factores para que el procedimiento sea posible, nuevo

conocimiento que deriva de la resolucin.

Actividad para los alumnos: Dividir sin calculadora

Cuando Lucio no tiene la calculadora multiplica el divisor por 10, por 50, por 100 para aproximar el cociente y opera as.: 4.560 : 24 =

24 x 10 = 240 240 x 5 = 1200 240 x 10 = 2400

4560 / 24

2400 100

2160

1200 50

960

240 10

720

240 10

480

240 10

240

240 10

0 190

a) Usen el mtodo de Lucio para resolver: 6.580 : 32 = 13.875 : 425 =

b) Piensan que podran modificar el mtodo de Lucio para hacer la cuenta en menos pasos?

Tambin en este problema deben analizar un procedimiento dado para poder repetir los

pasos segn lo que pide el tem a. Luego, para hacerlo en menos pasos, podrn pensar en

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una transformacin de esos pasos -por ejemplo usando dobles o triples del x 10- en un

nuevo problema intramatemtico.

En el mismo texto dice: Los contextos tendrn que ser significativos para los alumnos, es

decir que implicarn un desafo que puedan resolver en el marco de sus posibilidades

cognitivas y sus experiencias sociales y culturales previas. Asimismo, los conocimientos

involucrados en el problema debern cobrar inters para ellos y ser coherentes desde el

punto de vista disciplinar. (Ministerio de Educacin, 2003: 20)

En relacin con la significatividad habr que poner el foco en la capacitacin en dos

cuestiones. La primera es que no solo es significativo un contexto que aluda al mundo

cercano, a las experiencias de la vida cotidiana. Tambin lo son aquellos contextos que los

chicos conocen a travs de cuentos, historias, viajes, programas de televisin, etc. Asimismo

pueden ser significativas las curiosidades, los trucos numricos, los acertijos, siempre que

los saberes requeridos para abordar la pregunta sean aquellos que los alumnos conocen.

La segunda cuestin es que, al elegir los contextos para elaborar problemas y formular las

preguntas, es importante revisar que las preguntas tengan sentido en s mismas, es decir,

que aludan a problemas reales o verosmiles. Muchas veces, las preguntas no atienden al

sentido que tiene averiguar lo que se pide. Cabra preguntarse frente a ellas: quin puede

necesitar saberlo? y para qu? Por ejemplo: cuntos aos tienen entre la mam y la hija?,

cuntas manchas tiene una jirafa? Si pretendemos que los alumnos consideren que la

matemtica nos provee de herramientas tiles para resolver verdaderos problemas,

tendremos que cuidar que lo que se pregunta tenga sentido.

Un contexto que podra ser utilizado en la clase de matemtica es el de los juegos. Su

inclusin va ms all de la idea de despertar el inters, pues permite a los alumnos resolver

problemas que tienen sentido y habilita a que hagan Matemtica, es decir elaboren

estrategias propias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus

pares, expliquen sus ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten sus

producciones con las de otros, acepten crticas y otros puntos de vista. (Chemello, Agrasar,

Chara, 2001: 4)

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Este recurso de enseanza da lugar a plantear una considerable cantidad de problemas con

una dinmica que permite a los alumnos acordar resultados, y discutir procedimientos entre

ellos.

En relacin con este recurso, el foco de la intervencin se suele poner no slo en jugar

efectivamente, sino tambin en analizar posibles estrategias de juego basadas en diferentes

conocimientos, considerando variantes al cambiar algo en la situacin: los materiales, la

organizacin del grupo, las reglas.

Ser tambin interesante elaborar con los docentes actividades para plantear a los nios

luego de jugar -algunas de juego simulado y otras intramatemticas- y discutir a qu

conclusiones, reglas, formulaciones podran arribar los alumnos.

Cuando se da lugar a este tipo de elaboracin en el acompaamiento, las propuestas de

actividades que plantean como tarea para los alumnos decidir cmo jugar, o decidir quin

gana, son ms frecuentes que las que apuntan a analizar jugadas de otros, o a elaborar una

explicacin sobre por qu se jug de cierta forma.

A propsito de puntualizar el sentido de incluir juegos en la clase de Matemtica, B. Charlot

plantea:

Si por juego se designa una actividad donde el alumno realiza con placer -que no excluye el

esfuerzo, sino que lo sostiene-, una actividad que permite un funcionamiento del

pensamiento no condicionado por reglas exteriores vividas por el alumno como artificiales y

arbitrarias, no tengo ninguna objecin. Adems el alumno tiene derecho a que su actividad

sea socialmente reconocida como un trabajo serio y no como un juego y se engae a ciertos

alumnos con la idea de que ellos juegan en la escuela en vez de trabajar!

Pero si por juego matemtico, se designa una actividad puntual no articulada alrededor de

un campo de problemas, no anclado en el programa, sin proyecto intelectual ni institucional,

ya no estoy de acuerdo. Estos momentos de aventura matemtica no son para excluir, pero

no pueden constituir la base de un aprendizaje de las matemticas. Este supone la

articulacin entre situaciones, que para el maestro al menos, sean ricas de progresin futura.

El alumno debe sentir que l progresa y el docente, por su lado, no puede librarse de toda

dependencia con los programas

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Con relacin al carcter de instrumento o de objeto

Como dijimos anteriormente, otro aspecto a considerar en la seleccin de los problemas es

si la nocin que queremos trabajar al presentar el problema permite resolverlo, o si es un

objeto de estudio. Veamos como caracteriza estas dos nociones su autora, Regine Douady.

Para un concepto matemtico, conviene distinguir su carcter instrumento y su carcter

objeto. Por instrumento entendemos su funcionamiento cientfico en los diversos

problemas que permite resolver. Un concepto toma sentido por su carcter instrumento. No

obstante, ese carcter pone en juego las relaciones que mantiene con los otros conceptos

implicados en el mismo problema. Es decir, desde una ptica instrumental, no se puede

hablar de un concepto sino de una red de conceptos que gravitan eventualmente alrededor

de un concepto principal. Tambin el aprendizaje deber considerar tal conjunto.

Diremos que un instrumento es un instrumento adaptado si interviene en un problema,

justificando el uso del concepto del cual procede, por eficacia o necesidad. Un instrumento

puede ser adaptado a varios tipos de problema. Recprocamente, varios instrumentos

pueden ser adaptados a un mismo problema. No obstante, cada uno tiene un cierto mbito

de validez ()

Por objeto, entendemos el concepto matemtico, considerado como objeto cultural que tiene

su lugar en una construccin ms amplia, que es la del conocimiento inteligente en un

momento dado, reconocido socialmente.

()

La actividad principal en matemticas, en el cuadro escolar, o en los centros de investigacin

profesional, consiste en resolver problemas, en plantear cuestiones. El investigador puede

declarar resuelto un problema si puede justificar sus declaraciones segn un sistema de

validacin propio de las matemticas. En este camino, crea conceptos que juegan el papel de

instrumentos para resolver problemas. Cuando pasa a la comunidad cientfica, el concepto es

descontextualizado para que pueda servir nuevamente. Se convierte as, en objeto de saber.

(Douady, 1983)

En nuestro caso, al resolver un problema que requiera de la puesta en juego de una

multiplicacin o una divisin, los clculos funcionan como una herramienta, como un

instrumento matemtico que permite dar respuesta a la pregunta. En cambio, si

proponemos un problema que implica analizar dos clculos con los mismos nmeros

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realizados con diferentes procedimientos, esos clculos son objeto de estudio. Del mismo

modo, producir una manera de realizar un clculo tambin es un problema y las dos

actividades de las pginas 7 y 8, Descomponer para multiplicar y Dividir sin calculadora

son ejemplos de problemas donde los clculos son objeto de estudio. Ambos tipos de

problemas deberan formar parte del proyecto de enseanza.

Con relacin a los tipos de tareas

En los Cuadernos para el aula del Segundo Ciclo leemos:

Los nios podrn realizar diferentes tareas. En algunas ocasiones, trabajarn usando los

conocimientos matemticos de manera implcita, sin nombrarlos ni escribirlos, por ejemplo,

al medir, construir, decidir cmo jugar o calcular. En otras, utilizarn los conocimientos

matemticos de manera explcita: tendrn que describir cmo midieron o calcularon, qu

instrumentos usaron para construir y qu hicieron en cada paso, o producirn un instructivo

para que otro construya una figura o realice un clculo, explicarn por qu decidieron utilizar

un procedimiento u otro, cmo pueden comprobar que un resultado es adecuado. Tambin

darn razones para convencer a otro compaero de que los nmeros encontrados o las

figuras dibujadas cumplen con las condiciones del problema; tendrn que argumentar sobre

si un procedimiento es o no correcto. En otras oportunidades, ser el maestro el que presente

una afirmacin para que los alumnos discutan sobre su validez.

Anlisis de problemas

A continuacin presentamos algunos problemas extrados de las secuencias elaboradas para

este curso, y realizamos un primer anlisis atendiendo a lo que venimos desarrollando.

Actividad para los alumnos: Deudas pendientes

a) En una empresa lograron ahorrar en el ao $78.000. Quieren saldar las 12 cuotas pendientes de $2.500 de una maquinaria. Pagarn un bono a sus 32 empleados de $ 1.200 a cada uno. Realizarn una fiesta de fin de ao cuyo costo ser de $2.735. Tambin tienen ahorrados del ao anterior $ 24.400 y depositado en una cuenta $11.000. Deciden ponerse al da con la deuda impositiva de $4500 y para ello debern pagar intereses de cuatro cuotas de $ 421. Les alcanza para todos sus planes?

b) Reunite con otros compaeros y compartan sus producciones

- Llegaron a los mismos resultados?

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- Hicieron las mismas cuentas?

- Es posible ordenar los clculos en grupos para hacerlos con una calculadora sin anotar resultados parciales?

- Hay una sola forma de hacerlo?

El problema est planteado en un contexto extramatemtico, dado que se trata de clculos

que usualmente se realizan en las empresas, y que son accesibles para los alumnos del

Segundo Ciclo.

En el inciso a) la tarea est centrada en resolver clculos, para lo que es posible utilizar

diversos procedimientos, pues las operaciones pueden ser realizadas inicialmente en forma

separada, para luego trabajar con los resultados, y tambin se puede armar una o dos

expresiones combinadas.

Notemos que en este inciso, las operaciones y su orden surgen como herramientas

necesarias de resolucin y que su uso no est explicitado en el enunciado del problema (por

ejemplo, expresando tengan en cuenta el orden de las operaciones), lo que favorece la

construccin de sentido por parte de los alumnos.

En el inciso b) se propone discutir acerca del orden en que se deben realizar una serie de

clculos y sobre el uso del parntesis, lo que permite explicitar relaciones que posiblemente

se hayan usado anteriormente de manera implcita. Este anlisis implica la consideracin de

los clculos y la forma de escribirlos como objeto de estudio.

Otro aspecto a tener en cuenta es que los datos no se presentan en el orden en el que deben

ser usados, lo que llevar seguramente a la necesidad de leer varias veces el enunciado.

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Actividad para los alumnos: Descomponer para dividir

a) Para resolver el clculo 936 : 9, a dos amigos se les ocurrieron distintas

descomposiciones.

Juan: 900 : 9 + 36 : 9

Pedro: 936 : 3 + 936 : 3 + 936 : 3

Con quin ests de acuerdo? O ambos son correctos? Por qu?

b) Usaras alguna de esas descomposiciones para dividir 1890 : 9 o 468 : 9?

c) Cmo podras descomponer 504 para que fuera fcil de dividir por 9? Y 675?

d) Pedro dice que se puede descomponer el dividendo en una suma si cada

sumando es mltiplo de 9. Juan dice que no hace falta y le muestra esta cuenta,

Quin tiene razn?

1760 : 9 1700 + 60 / 9 .

900 54 100 + 80 + 8 + 6 + 1 = 195

800 6

720

80

72

8 14

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e) Para resolver 480 : 12, tambin se presentan dos maneras de descomponer el

nmero que divide (el divisor)

480 : 12 = 480 : 10 : 2 480 : 12 = 480 : 4 : 3

Es lo mismo? Por qu?

En este caso se trata de un problema planteado en contexto intramatemtico, y la tarea

consiste en discutir resoluciones realizadas por otros: si es posible, o no, descomponer en

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sumandos el dividendo o el divisor. Luego se avanza en un anlisis acerca de cmo elegir los

sumandos para descomponer el dividendo y el divisor de modo que se facilite el clculo. Es

importante tener en cuenta que, si bien lo que dice Pedro es cierto (slo hay que tener

cuidado y no olvidarse de los restos parciales) conviene elegir al menos un sumando que sea

mltiplo para facilitar el clculo y hacer menos aproximaciones. Notemos que en este caso

se prioriza un trabajo acerca de las propiedades de la divisin en cuanto objetos de estudio.

Actividad para los alumnos: Haciendo etiquetas

Dos amigas recortan papel autoadhesivo para hacer etiquetas. Las dos han recortado etiquetas iguales a sta (dibujo).

Sol us la tercera parte del papel que tena y recort una etiqueta como esta. Mili dice que us la mitad de su papel que tena. a) Es posible que ambas tengan razn? b) Dibuj cmo podran haber sido los papeles que tenan Sol y Mili. c) El papel que tena Sol, o el que tena Mili, podran haber sido como este? Por qu?

d) Marc en el rectngulo anterior cmo se podran cortar 4 etiquetas iguales. Hay ms de una posibilidad?

18

En esta actividad se promueve un trabajo en el que se considera un nico entero dividido en

partes iguales. La misma est planteada en un contexto extramatemtico, ya que se trata de

etiquetas que se recortan de un rectngulo inicial. Aqu, dos etiquetas de igual forma y

tamao resultan ser partes distintas (1/2 y 1/3 respectivamente) de enteros diferentes, lo

que puede obtenerse como conclusin al reconstruir cada uno de ellos. Esta reconstruccin

podr dar rectngulos distintos segn como ubiquen las partes. Luego, habr que comparar

un rectngulo dibujado con los obtenidos por los nios al hacer la reconstruccin, lo que

podr o no dar el mismo dibujo y habr que ver si se puede tratar del mismo papel o no.

Finalmente, se pide obtener cuartos en un rectngulo, lo que permitir obtener como

conclusin que partes iguales pueden tener diferentes formas.

Notemos que las tareas que se promueven apuntan a justificar procedimientos realizados

por otros y a representar, especficamente a dibujar. En todas ellas la nocin de fraccin

como parte de un entero funciona como instrumento implcito.

Actividad para los alumnos: Otros procedimientos

I. a) Dibuj un cuadriltero cuyas diagonales miden 4 y 7 cm., de modo que

cada una corte a la otra en el punto medio.

b) Pods asegurar que la figura que dibujaste es igual a la que hicieron tus

compaeros sin verlas? Por qu?

II. a) Para que Mariana pudiera construir esta figura sin verla, los chicos escribieron

estos mensajes. Cres que alguno permite construir la figura? Por qu?

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b) Qu informacin habra que agregar a cada mensaje para que la figura sea un

romboide que se pueda superponer con el del dibujo?

Se trata de una actividad planteada en contexto intramatemtico, en la que las propiedades

de los cuadrilteros constituyen una herramienta implcita de resolucin. En la primera

parte, la tarea consiste en realizar una construccin, y luego en discutir acerca de la unicidad

o no de la misma. Los alumnos debern concluir que es posible construir tantos

cuadrilteros como quieran, ya que hay muchas soluciones. En la segunda parte, se

promueven tareas que apuntan a la comunicacin escrita y a la justificacin, y permite

relacionar datos con cantidad de soluciones. En este caso las propiedades de las diagonales

del romboide permitirn establecer las condiciones para que la construccin sea nica.

Los problemas y su gestin en clase

Para que los alumnos puedan involucrarse en una prctica matemtica como la que

describimos, adems de seleccionar problemas utilizando los criterios explicitados, es

necesario tener en cuenta otras condiciones: qu materiales pueden utilizarse, cmo

organizaremos la clase, que interacciones entre alumnos prevemos en funcin de la

organizacin propuesta, y cules seran las intervenciones que deberamos realizar durante

el desarrollo de la clase. Para analizar estas cuestiones nos remitimos nuevamente a la

lectura de los Cuadernos para el aula del Segundo Ciclo.

20

Las situaciones de enseanza

En algunas ocasiones, la tarea que se propone al alumno puede presentarse solo mediante el

enunciado de un problema o con una pregunta para un conjunto bien elegido de clculos o

con un interrogante que deba ser respondido a partir de una informacin publicada en el

diario o en un texto de Ciencias Naturales o de Ciencias Sociales. En otras ocasiones, habr

que proporcionar los instrumentos de Geometra para realizar una construccin o los

materiales para un juego por ejemplo dados y tablas para anotar puntajes, el croquis de un

recorrido, un mapa, etc. En todos los casos, una primera condicin es asegurarnos de tener

disponibles los materiales a utilizar.

Tambin habr que anticipar cul es el tipo de interacciones que queremos que se den para

organizar distintos momentos de la clase: las de cada alumno y el problema, las de los

alumnos entre s y las de los alumnos con el maestro. Para ello, habr que proponer, segn

convenga y de manera no excluyente, momentos de trabajo en forma individual, en

pequeos grupos o con toda la clase.

.

En Segundo Ciclo, es importante tambin que los alumnos comiencen a analizar el nivel de

generalidad que tienen las respuestas a los problemas que resuelven. As, comprobar que se

pueden obtener dos tringulos iguales plegando un cuadrado de papel glas no es suficiente

para afirmar que las diagonales de cualquier cuadrado son congruentes. Asimismo, habr

que descubrir y explicitar que algunas afirmaciones son verdaderas en un campo numrico, o

para un conjunto de figuras, y no lo son para otros. Por ejemplo, el producto de una

multiplicacin es mayor que cualquiera de sus factores, siempre que se opera con nmeros

naturales, pero esto no es cierto si, por ejemplo, los factores son nmeros racionales menores

que 1.

Al anticipar el desarrollo de la clase y prever las condiciones necesarias para que ocurran las

interacciones que nos interesan, diseamos una situacin problemtica a propsito del

conocimiento que queremos ensear. Esta situacin incluye un conjunto de elementos y

relaciones que estarn presentes en la clase: el problema, los materiales, una cierta

organizacin del grupo, un desarrollo con momentos para distintos intercambios. Al

planificar, tambin anticipamos los diferentes procedimientos y las representaciones que

podrn usar los alumnos, nuestras preguntas y las conclusiones matemticas posibles.

21

La gestin de la clase

Hemos planteado ya que, para que los alumnos desarrollen el tipo de trabajo matemtico

que buscamos promover, sern fundamentales las intervenciones del docente durante la

clase.

El trabajo de resolucin de problemas que se propone en este enfoque genera muchas veces

inseguridad. Pensamos: cmo voy a presentar este problema si no muestro antes cmo

hacerlo?, cmo voy a organizar la clase si cada uno responde de una manera distinta? o

cmo voy a corregir si hay distintos procedimientos en los cuadernos? Respecto de la

primera pregunta, para iniciar el aprendizaje de un nuevo conocimiento en el proyecto de

cada ao escolar tendremos que presentar un problema asegurndonos de que todos hayan

comprendido cul es el desafo que se les propone. Para que cada alumno acepte ocuparse

de l, es esencial generar el deseo de resolverlo. Este tipo de intervencin, que busca que el

alumno se haga cargo de la resolucin, es siempre parte del inicio de la clase, pero puede

reiterarse en distintos momentos, toda vez que sea necesario y oportuno. Es una invitacin

para que el chico resuelva por s solo y no una orientacin sobre cmo debe hacerlo o qu

debe hacer. Para comenzar, los nios lo resuelven de manera individual o en pequeos

grupos, con diferentes procedimientos, segn los conocimientos de los que dispone cada

uno

Antes de seguir avanzando, consideremos como ejemplos dos problemas y la diversidad de

procedimientos que los alumnos podran utilizar para resolverlos identificando los

conocimientos puestos en juego.

Chocolates en el cine

Ana festej su cumple yendo al cine con sus amigas Vero y Luz. Llevaron 4

chocolates para repartir en partes iguales entre las 3, sin que sobre nada. Dibuja

cmo pueden repartir los chocolates y escrib cunto le toca a cada una.

22

El reparto de chocolates, se puede pensar de varias formas, dando lugar a procedimientos

diferentes:

Seguramente los chicos trabajarn sobre una representacin rectangular o cuadrada, dado

el contexto del problema. En el primer procedimiento se piensa que cada chica come 1

chocolate y la tercera parte de otro, en el segundo, recibe dos mitades y la tercera parte de

otro y en el ltimo, recibe una tercera parte de cada uno de los 4 chocolates. En los tres

procedimientos los conocimientos que los alumnos ponen en juego son la idea de divisin

como reparto, la de dividir un entero en partes iguales y las de y 1/3, fracciones que son la

expresin de una cantidad que es una parte de un todo. Tambin las escrituras de la parte

podrn ser distintas, aditivas, con palabras, slo con fracciones unitarias, con fracciones

mayores que 1, entre otras, poniendo de manifiesto conocimientos diferentes

1 y 1/3 1 + 1/3 + + 1/3

1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 4/3 cuatro terceras partes

Algunos alumnos podran realizar procedimientos con errores marcando los tercios de la

forma siguiente:

Vemos que si bien se ha considerado que son tres partes, se ha obviado que el reparto debe

ser equitativo y por lo tanto las partes iguales.

Envolver un regalo

Las amigas de Ana le llevaron como regalito una tarjeta. La idea fue hacer una

mitad cada una en su casa, y luego pegarlas sobre un rectngulo de cartulina que

compr Vero. Cuando se encontraron ambas se sorprendieron porque no podan

pegarlas en el rectngulo. Qu pudo haber ocurrido?

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La no coincidencia de las partes para formar un nico entero, pudo provenir de dos

cuestiones diferentes. Una de ellas es que no hicieran mitades del mismo rectngulo con lo

que las partes no resultaban de igual rea.

Otra cuestin es que cada amiga pensara en una mitad de forma distinta a la otra.

A B C

En trminos de conocimientos, se ponen en juego dos ideas relativas a la nocin de fraccin

cuando se consideran partes de cantidades: para que las partes sean comparables entre s

deben referirse a una misma unidad y si bien la parte de una cantidad es independiente de

la forma, dada una parte, siempre se pueden reconstruir enteros de la misma cantidad de

magnitud, que no necesariamente tienen la misma forma.

En este caso (A, B, y C) se trata de tres enteros iguales, todas las partes mitades tienen la

misma rea y distinta forma y si se combinan, por ejemplo, un tringulo de A y un cuadrado

de B se obtiene un entero de la misma rea que el rectngulo original.

Volviendo a la caracterizacin de la gestin de la clase, esta variedad de procedimientos

deber ser objeto de debate y reflexin, tal como se explicita a continuacin retomando el

texto incluido en los Cuadernos para el aula. Cabe sealar que este anlisis de lo producido

no necesariamente se realiza inmediatamente despus de terminar de resolver. Por

ejemplo, algunos procedimientos podran conservarse para ser retomados en otra clase.

, habr que dar lugar a un intercambio donde participen todos los alumnos y en el que se

vayan explicando las diferentes aproximaciones al conocimiento que se quiere ensear, y

debatir sobre ellas. Al analizar las diferentes soluciones, tendremos que valorizar de igual

24

modo todas las producciones, ya sea que permitan o no arribar a una respuesta al problema

planteado.

Al dar lugar a la presentacin y explicacin de los procedimientos utilizados por los chicos, es

necesario animarlos a dar razones de lo realizado, a explicar por qu lo hicieron de cierta

forma, a argumentar sobre la validez de sus producciones. Esto les permitir volver sobre lo

que han pensado, para analizar sus aciertos y errores, y controlar, de este modo, el trabajo.

Alentarlos a hablar o participar a aquellos que no lo hacen espontneamente significa

trabajar suponiendo que los chicos pueden progresar y no que van a fracasar.

En algn caso, recuperar todas las producciones escritas distintas, y presentarlas en conjunto

para compararlas y discutir cmo mejorar cada una, puede contribuir a despersonalizar las

mismas, focalizando el anlisis en su validez o nivel de generalidad y no en los conocimientos

de quienes las elaboraron. As el error de unos se capitaliza en la reflexin de todos.

Este trabajo incorpora a los alumnos en el proceso de evaluacin en un lugar diferente del

habitual, donde quedan a la espera de la palabra del docente que les ratifica de inmediato si

lo que hicieron est bien o no. Si han asumido como propia la tarea de resolucin, querrn

saber si lo producido es o no una respuesta a la pregunta que organiz el quehacer

matemtico en el aula. El debate del conjunto de la clase dar por vlida o no una respuesta,

y llevar a la modificacin de los procedimientos que conducen a errores.

En un comienzo, las razones que los alumnos den al debatir se apoyarn en ejemplos,

comprobaciones con materiales como plegar papeles o tomar medidas, entre otros casos,

para luego avanzar hacia el uso de propiedades.

A la vez, estas ltimas se enunciarn con distintos niveles de generalidad; por ejemplo,

pasaremos de: Pods hacer 4 + 3 y te da lo mismo que 3 + 4, en el Primer Ciclo, a: Al sumar es

posible cambiar el orden de los nmeros, en el Segundo Ciclo.

Con la intervencin del maestro, se reconocern y sistematizarn los saberes que se van

descubriendo. Esta tarea de establecer relaciones entre las conclusiones de la clase y el

conocimiento matemtico al que se pretende llegar, introduciendo las reglas y el lenguaje

especficos, y entre los conocimientos ya incorporados y los nuevos, es una tarea que est

siempre a cargo del maestro y que resulta imprescindible para que los alumnos identifiquen

qu han aprendido.

25

Para esto, no tenemos que basarnos en ningn esquema rgido. Esas intervenciones pueden

darse en distintos momentos, siempre que sean oportunas; es decir que lleguen despus de

que los alumnos hayan desplegado sus propios razonamientos.

El camino propuesto no implica diluir la palabra del maestro. Cuando los chicos estn

resolviendo los problemas solos o con su grupo, el maestro podr pasar cerca de cada uno,

atendiendo lo que van haciendo, los trminos que usan, lo que escriben, quines no

participan y quines siguen atentamente aun sin hablar lo que hacen sus compaeros. De

tal modo, el maestro tendr un registro del conjunto de conocimientos que se despliegan en

la clase. Esta informacin ser fundamental para tomar decisiones en el momento del

debate: qu grupo conviene que hable primero?, cules tienen una respuesta similar?,

qu procedimiento es el ms potente para hacer avanzar el debate hacia el conocimiento

que se espera ensear? Esto permitir optimizar el tiempo dedicado

a la puesta en comn, de manera que no resulte tediosa para los alumnos ya que, cuando los

procedimientos son muy similares, bastar con tomar como objeto de anlisis la produccin

de uno solo de los grupos.

El docente tampoco queda al margen del debate de la clase, puesto que es l quien lo

conduce. A veces, las conclusiones a las que los chicos llegan en conjunto son parcialmente

vlidas. All, el maestro podr decir, por ejemplo: Por ahora acordamos que resolvemos as;

en la prxima clase lo seguiremos viendo. De esta manera, interviene en el proceso sin

anticiparse, pero dejando marcas, planteando la provisoriedad de lo acordado o alguna

contradiccin que queda pendiente por resolver. As, no invalidaremos el trabajo de la

comunidad clase, pero dejaremos instalado que hay alguna cuestin que hay que seguir

discutiendo.

En relacin con el modo de organizar la clase frente a las distintas respuestas y tiempos de

trabajo de los nios, los docentes muchas veces planteamos situaciones para que sean

resueltas por todo el grupo, lo que nos permite valorar, corregir, hacer sealamientos a las

intervenciones de los alumnos.

Es cierto que es ms fcil llevar adelante el trabajo colectivo sobre un nico procedimiento,

pero de este modo se corre el riesgo de que solo un grupo de alumnos participe activamente

siguiendo al maestro, mientras otros se quedan al margen de la propuesta; y aunque todos lo

siguieran, lo aprendido se limita a una nica manera de pensar.

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La alternativa que proponemos a la organizacin habitual de la clase, segn nuestros

objetivos, ser armar la actividad de distintas maneras: individual, por pares o grupos de ms

alumnos, y aun con distintos tipos de tareas para cada grupo o dentro del mismo grupo,

alentando la movilidad de los roles y estando atentos a la posible configuracin de

estereotipos que, lamentablemente, algunas veces hacen que la discriminacin se exprese en

la clase de Matemtica.

Tanto los momentos de trabajo individual como los compartidos en grupo aportan al alumno

un tipo de interaccin diferente con el conocimiento, por lo que ambos debern estar

presentes en la clase.

Muchas veces, cuando estamos a cargo de un plurigrado, separamos a los nios segn el

ao/grado que cursan, y vamos atendiendo a un grupo por vez.

Sin embargo, a la hora de realizar adaptaciones a las actividades presentadas, es importante

tener en cuenta el enfoque de enseanza, de manera de no perder la riqueza de las

propuestas que ofrecemos. Por ejemplo, para alcanzar determinados aprendizajes, es

indispensable generar espacios de debate en los que deberan participar alumnos que

compartan repertorios de conocimientos y niveles de anlisis similares. Sin embargo, ocurre

muy frecuentemente que en estos escenarios haya solo uno o que sean muy pocos los

alumnos en alguno de los aos/grados, lo que hace imposible organizar un verdadero debate

entre ellos. En estos casos, proponemos agrupar nios de varios aos/grados y organizar

actividades con un contexto comn, proponiendo una tarea distinta a cada grupo, de modo

que los desafos sean adecuados a los distintos conocimientos de los alumnos. Esto permite

que en el momento de la confrontacin todos los alumnos puedan entender las discusiones

que se generen e incluso puedan participar de las mismas, aunque no sean originadas por la

actividad que le correspondi a su grupo. Por ejemplo, se podra proponer para grupos

armados con nios de 4, 5 y 6 aos/grados un juego como La escoba del uno 1 de cartas

con fracciones, diferenciando la complejidad a la hora de analizar las partidas simuladas.

En esta propuesta, el cuaderno o la carpeta tiene diferentes funciones: en l, cada chico

ensaya procedimientos, escribe conclusiones que coinciden o no con su resolucin y,

eventualmente, registra sus progresos, por ejemplo, en tablas en las que da cuenta del

repertorio de clculos que ya conoce. De este modo, el cuaderno o la carpeta resultan un

registro de la historia del aprendizaje y los docentes podemos recuperar las conclusiones que

los alumnos hayan anotado cuando sea necesario para nuevos aprendizajes.

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En este sentido, conviene adems conversar con los padres que, acostumbrados a otros usos

del cuaderno, pueden reclamar o preocuparse al encontrar en l huellas de errores que para

nosotros juegan un papel constructivo en el aprendizaje. De todos modos, es recomendable

discutir con el equipo de colegas de la escuela cmo se registra en el cuaderno la presencia

de una produccin que se revisar ms adelante.

Tambin el pizarrn tiene diferentes funciones. All aparecer todo lo que sea de inters para

el grupo completo de la clase, por ejemplo: los procedimientos que queremos que los

alumnos comparen, escritos por un representante del grupo que los elabor o por el maestro,

segn lo que parezca ms oportuno.

Convendr usar tambin papeles afiche o de otro tipo para llevar el registro de las

conclusiones, como tablas de productos, acuerdos sobre cmo describir una figura, etc., para

que el grupo las pueda consultar cuando sea necesario.

Promover la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos en el aprendizaje, de

generar confianza en las propias posibilidades de aprender y de poner en evidencia la

multiplicidad de formas de pensar frente a una misma cuestin, as como la necesidad de

acordar cules se consideran adecuadas en funcin de las reglas propias de la Matemtica.

Es muy importante instalar en la escuela las condiciones necesarias para que los nios

sientan que los errores y los aciertos surgen en funcin de los conocimientos que circulan en

la clase, es decir que pueden ser discutidos y validados con argumentos y explicaciones. Es as

como pretendemos que los chicos vayan internalizando progresivamente que la Matemtica

es una ciencia cuyos resultados y progresos se obtienen como consecuencia necesaria de la

aplicacin de ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no como una

prctica de la adivinacin o del azar o un saber que no sufre transformaciones.

De todos modos, sabemos que seleccionar problemas y secuencias de actividades que

puedan ser abordadas por los alumnos de la clase con distintas herramientas, e intervenir

convenientemente para que todos puedan avanzar, supone para nosotros una dificultad

mucho mayor que la de presentar un problema que la mayora resuelve de la misma manera.

Quiz nos d un poco de tranquilidad saber que a trabajar en grupo se aprende y que, en el

inicio de este aprendizaje, hay que tolerar una cuota de desorganizacin, hasta que los

alumnos incorporen la nueva dinmica.

Una cuestin ligada a la organizacin de la enseanza que conviene tener en cuenta es la de

articular, en cada unidad de trabajo, algn conjunto de actividades que formen una

28

secuencia para desarrollar cierto contenido. El criterio que utilizamos al presentar algunos

ejemplos en el apartado Propuestas para la enseanza es que en cada nueva actividad de

una misma secuencia se tome como conocimiento de partida aquel que haya sido

sistematizado como conclusin en la anterior.

Otra cuestin tambin ligada a la elaboracin de una unidad de trabajo, y que permite

mejorar el uso del tiempo de clase, es la articulacin de contenidos. Algunos contenidos

relacionados con distintos NAP pueden abordarse en una misma unidad y an en una misma

secuencia. Por ello, es conveniente tener en cuenta que la presentacin de los NAP no indica

un orden de enseanza y que, antes de armar las unidades, es indispensable tener un

panorama de la totalidad de la propuesta.

29

En la seccin Lecturas complementarias de la plataforma, Ud. encontrar el documento Clase 4 - Anexo para actividad obligatoria, que ser necesario para la resolucin de la actividad integradora, a entregar cuando finalice el Mdulo 2.

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BIBLIOGRAFA

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