CLASE 185CLASE 185

A B

C

DE

F HO

C

Halla la razón entre el área sombreada y la del hexágono.

Halla la razón entre el área sombreada y la del hexágono.

ABCDEF es un hexágono regular de centro O.ABCDEF es un hexágono regular de centro O.

CC

1. En la figura:1. En la figura:

es una circunferencia de centro en C y radio BC. H, O FC y H .es una circunferencia de centro en C y radio BC. H, O FC y H .

CC

A B

C

DE

F HO

BHC = CHD As = 2 ACHD

OCD es equilátero tal que:AABCDEF = 6 AOCD

( por tener igual base e igual altura)ACHD = AOCD

Entonces As = 2 AOCD

A sombreada

AABCDEF

2 AOCD

6 AOCD

= 13

=

Trazando OD tenemos:Luego,

EE FF

GGHH

MM

NN

EFGH es un paralelogramo de EFGH es un paralelogramo de área A = x. M y N son los puntos área A = x. M y N son los puntos medios de los lados EH y EF medios de los lados EH y EF respectivamente.respectivamente.

EFGH es un paralelogramo de EFGH es un paralelogramo de área A = x. M y N son los puntos área A = x. M y N son los puntos medios de los lados EH y EF medios de los lados EH y EF respectivamente.respectivamente.

Expresa el área del pentágono Expresa el área del pentágono MNFGH en función de x.MNFGH en función de x.Expresa el área del pentágono Expresa el área del pentágono MNFGH en función de x.MNFGH en función de x.

2.2.

A B

C

DE

F

P Q

R

3. Los lados del triángulo equilátero PQR se dividen en tres partes iguales mediante los puntos A, B, C, D, E y F.

3. Los lados del triángulo equilátero PQR se dividen en tres partes iguales mediante los puntos A, B, C, D, E y F.

Halla el área delHalla el área delcuadrilátero BCDFcuadrilátero BCDFconociendo que elconociendo que el

área del triánguloárea del triángulo

PQR es A = 54 cm2.PQR es A = 54 cm2.

A B

CD

M

N

Ejercicio 4Ejercicio 4

El rectángulo ABCD se ha dividido en 6 cuadrados iguales.AMN es un triángulo tal que M y N son vértices de estos cuadrados.

Ejercicio 4Ejercicio 4

a)Clasifica el triángulo AMN según la amplitud de sus ángulos interiores y la longitud de sus lados.

b)Halla qué porcentaje del área del rectángulo ABCD está ocupada por la del triángulo AMN.

A B

CD

M

NAD = NC

DN = MC

(1)(1)

(2)(2)

(Justificar)(Justificar)

Entonces: AND = NMC por ser dos triángulos rectángulos con los catetos iguales respectivamente.

E F

G

A B

CD

M

NAND = NMC

1 + 2 = 9001 + 2 = 900

Vamos a marcar los ángulos iguales con el mismo número.

11

1122 22

(suma de ángulos agudos en un triángulo rectángulo)(suma de ángulos agudos en un triángulo rectángulo)

+ 1 + 2 = 1800 + 1 + 2 = 1800 (fundaméntalo)

Luego, = 900Luego, = 900

E F

G

= 900 = 900M

A B

CD N

11

1122 22

E F

G

H

a)

Entonces, ANM es rectángulo en N.

(Diagonales de rectángulos iguales)AN = NM

Entonces, ANM es rectángulo e isósceles de base AM.

M

B

CD Nb)

¿AAMN = K?¿AAMN = K?xx

xx

xx xx xx

xx xx

xx

xx

A1 = 6x2x2

3x2

2

K = 7x2

2– =5x2

2 = 2,5x2

2,5x2

6x2 0,41666…=

A1A2

A3

A2 = x2

A3 =

7x2

2

xx

AAMN 41,7% del AABCD AAMN 41,7% del AABCD

A

Trazando:

MR // EF // HG El paralelogramo EFGH se divide en cuatro paralelogramos iguales.

AENM = AEFGH

18 =

18

x

Entonces: A MNFGH =78

x

Luego:

EE FF

GGHH

MM

NN

RR

SS

NS // EH // FG

AEFGH = x

y

¿ ¿ A A MNFGH MNFGH ??

2.2.

A B

C

DE

F

P Q

R

O

AAPQR PQR = 54 cm= 54 cm22AAPQR PQR = 54 cm= 54 cm22

54 cm2 : 9

6

63

333

= 6 cm2

AABCDF BCDF = 24 cm= 24 cm22AABCDF BCDF = 24 cm= 24 cm22

3.3.