Áreas de figuras planas · calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳....
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© 2020 Urtzi Buijs Martín
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
𝑳
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
𝑳
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
𝑨 =𝑷 × 𝒂𝒑
𝟐
=𝟔 × 𝑳 × 𝒂𝒑
𝟐
La fórmula del área del Hexágono es bien conocida: Perímetro multiplicado por apotema dividido entre 2. Pero… ¡No tenemos la apotema como dato!
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
𝑳
¿ 𝒂𝒑 ?
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
𝑨 =𝑷 × 𝒂𝒑
𝟐
=𝟔 × 𝑳 × 𝒂𝒑
𝟐
Vamos a ver que no necesitamos la apotema ya que para el caso del hexágono regular podremos deducirlo directamente.
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EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Empecemos trazando una circunferencia de centro el centro del hexágono
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Una vuelta completa son 360 grados. Si dividimos una vuelta entre 6 obtenemos 60°
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°
60°60°
60°60°
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Tracemos radios en esta circunferencia espaciándolos 60°
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°
60°60°
60°60°
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Uniendo los puntos de corte de estos radios con la circunferencia obtenemos el perímetro de nuestro hexágono regular.
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°
60°60°
60°60°
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
El hexágono regular está formado por 6 triángulos iguales uno de cuyos ángulos es de 60°.
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°60°
60°60°
60°
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°60°
60°60°
60°
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Este triángulo es isósceles pues dos de sus lados son precisamente los radios de la circunferencia.
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°60°
60°60°
60°
𝛼 𝛼
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
De este modo, este triángulo también tiene los dos ángulos restantes iguales entre sí. Llamémosles 𝛼.
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°60°
60°60°
60°
𝛼 𝛼
𝛼 + 𝛼 + 60 = 180
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Dado que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180 tenemos la siguiente ecuación.
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°60°
60°60°
60°
𝛼 𝛼
𝛼 + 𝛼 + 60 = 180
2𝛼 = 180 − 60
2𝛼 = 120
𝛼 =120
2= 60
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Resolviendo dicha ecuación tenemos que el ángulo 𝛼 vale exactamente 60°.
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°60°
60°60°
60°
𝛼 + 𝛼 + 60 = 180
2𝛼 = 180 − 60
2𝛼 = 120
𝛼 =120
2= 60
60° 60°
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Pero eso quiere decir que nuestro triángulo es un triángulo con todos sus ángulos iguales.
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360°360
6= 60
Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60°60°
60°60°
60°
𝛼 + 𝛼 + 60 = 180
2𝛼 = 180 − 60
2𝛼 = 120
𝛼 =120
2= 60
60° 60°
𝑳 𝑳
𝑳 𝑳
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Y por tanto también todos sus lados son iguales, es decir, se trata de un triángulo equilátero.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳 𝑳
𝑳
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Vamos a ampliarlo para verlo mejor
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳 𝑳
𝑳
90°
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Si trazamos la altura de este triángulo esta altura corta a la base formando un ángulo recto-
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳 𝑳
𝑳
90°
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
De este modo obtenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el lado 𝑳
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Este triángulo rectángulo tiene como catetos la altura y la mitad del lado 𝑳 .
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂2 +𝑳
2
2
= 𝑳2
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
El Teorema de Pitágoras afirma que la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂2 +𝑳
2
2
= 𝑳2
𝒂2 +𝑳𝟐
4= 𝑳2
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Quitamos paréntesis.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂2 +𝑳
2
2
= 𝑳2
𝒂2 +𝑳𝟐
4= 𝑳2
𝒂2 = 𝑳2 −𝑳𝟐
4
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Pasámos la fracción restando al miembro derecho.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂2 +𝑳
2
2
= 𝑳2
𝒂2 +𝑳𝟐
4= 𝑳2
𝒂2 = 𝑳2 −𝑳𝟐
4
𝒂2 =4𝑳𝟐
4−𝑳𝟐
4
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Reducimo a común denominador para restar ambas fracciones.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂2 +𝑳
2
2
= 𝑳2
𝒂2 +𝑳𝟐
4= 𝑳2
𝒂2 = 𝑳2 −𝑳𝟐
4
𝒂2 =4𝑳𝟐
4−𝑳𝟐
4
𝒂2 =3𝑳𝟐
4
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂2 =3𝑳𝟐
4
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂2 =3𝑳𝟐
4
𝒂 =3𝑳𝟐
4
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Elevamos ambos miembros de la ecuación para despejar la 𝒂.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂2 =3𝑳𝟐
4
𝒂 =3𝑳𝟐
4
𝒂 =3 𝑳2
4
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Aplicamos la raíz cuadrada tanto a numerador como a denominador.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂2 =3𝑳𝟐
4
𝒂 =3𝑳𝟐
4
𝒂 =3 𝑳2
4
𝒂 =3𝑳
2
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂 =3𝑳
2
𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂 =𝐵 ∙ 𝑎
2
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Una vez hallada la altur (que coincide con la apotema del hexágono original) podemos calcular el área del triángulo.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂 =3𝑳
2
𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂 =𝐵 ∙ 𝑎
2
=𝑳 ∙ 𝒂
2
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Teniendo en cuenta que la base del triángulo es 𝑳
y la altura la acabamos de calcular.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂 =3𝑳
2
𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂 =𝐵 ∙ 𝑎
2
=𝑳 ∙ 𝒂
2
=𝑳 ∙
3𝑳2
2
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Sustituimos 𝒂por su valor
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂 =3𝑳
2
𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂 =𝐵 ∙ 𝑎
2
=𝑳 ∙ 𝒂
2
=𝑳 ∙
3𝑳2
2
=𝑳2 ∙ 3
4
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Y simplificamos la expresión.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂 =3𝑳
2
𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂 =𝐵 ∙ 𝑎
2=𝑳2 ∙ 3
4
𝑨𝐻𝐸𝑋Á𝐺𝑂𝑁𝑂 = 6𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
El área del hexágono es 6 veces el área del triángulo.
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂 =3𝑳
2
𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂 =𝐵 ∙ 𝑎
2=𝑳2 ∙ 3
4
𝑨𝐻𝐸𝑋Á𝐺𝑂𝑁𝑂 = 6𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂
=6 ∙ 𝑳2 ∙ 3
4
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂 =3𝑳
2
𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂 =𝐵 ∙ 𝑎
2=𝑳2 ∙ 3
4
𝑨𝐻𝐸𝑋Á𝐺𝑂𝑁𝑂 = 6𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂
=6 ∙ 𝑳2 ∙ 3
4
=3 3𝑳2
2
EJERCICIOSÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Basta con sustituir y simplificar la expresión y ¡Voila!
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Calcular el área de un hexágono regular en función del lado 𝑳 .
EJERCICIO 2. (ÁREA DEL HEXÁGONO)
60°
60° 60°
𝑳
𝑳
𝑳
90°
𝒂
𝑳
2
𝒂 =3𝑳
2
𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂 =𝐵 ∙ 𝑎
2=𝑳2 ∙ 3
4
𝑨𝐻𝐸𝑋Á𝐺𝑂𝑁𝑂 = 6𝑨𝑇𝑅𝐼Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂=3 3𝑳2
2
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¡Problema resuelto!