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AÑO 2000

NIVEL 3: 3º DE E.S.O.

No se permite el uso de calculadoras. Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderán si fuera correcta. Las preguntas no contestadas no puntúan. Inicialmente tienes 30 puntos. Tiempo : 1h15min Los problemas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.

La nariz del Canguro apunta hacia la señal * en la figura. ¿ En qué dirección apuntará la nariz si gira 630° en sentido horario sin moverse del sitio donde está?

El 80% de una fotografía en blanco y negro es de color negro y el 20% es de color blanco. La foto se amplía tres veces. En la fotografía ampliada, ¿ qué porcentaje de color blanco hay?

A) 20% B) 30% C) 40% D) 60% E) 80%

Entre las 11h 11m y las 13h 13 m, ¿ qué intervalo de tiempo transcurre?

A) 02 h 00m B) 12h 12m C) 02h 12m D) 02h 02m e) 112 m

Si se trazan todas las diagonales de un hexágono regular, ¿ cuántos puntos de intersección entre ellas se determinan, sin contar los vértices del hexágono?

A) 6 B) 7 C) 12 D) 13 E) 15

¿ Cuál de los siguientes es un triángulo isósceles no equilátero?

A) Cualquier triánguloB) Un triángulo rectángulo con ángulos de 30°, 60°B) Un triángulo con ángulos de 30°, 100°D) Un triángulo con ángulos de 50°, 80°E) Un triángulo cuyos tres lados son iguales

A) A B) B C) C D) D E) E

2

3

¿Cuál es el máximo número de figuras, como la fig 1, que pueden colocarse, sin solaparse, en el cuadrado de la fig 2?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4

5

6

1

En una tira de papel de 1 m. de longitud hacemos marcas dividiendo a tira en 4 partes iguales, y , en el mismo lado de la tira, volvemos a acer marcas dividiéndola en 3 partes iguales. Después de eso, cortamos la tira por todas las marcas que hemos señalado. ¿Cuántas longitudes diferentes tienen los trozos de la tira?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

La suma de 7 números impares consecutivos es 119. El menor de esos números es

A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19

En la figura, AD = DC, AB = AC, ∠ABC=75°, ∠ADC=50° ¿Cuánto mide el ángulo ∠BAD?

El domador más experto del circo tarda 40 minutos en bañar a un elefante. Su hijo tarda 2 horas en hacer lo mismo. ¿Cuánto tardarán los dos juntos en bañar a los 3 elefantes de la troupe?

A) 30 min. B) 45 min. C) 60 min. D) 90 min E) 100 min.

Los problemas 11 a 20 valen 4 puntos cada uno.

¿ Cuánto vale el área de la parte oscura?

Si hacemos la operación siguiente, KANGAROO + 10000AROO - 10000KANG , el resultado es

A)AROOAROO B) AROOKANG C) KANGKANG D) KANGAROO E) KAGANROO

Algunas de las personas P, Q, R, S, T se saludan entre sí. P saluda a una sola persona, y Q también saluda a una sola persona. R, S, y T saludan, cada una, a dos personas. Se sabe que P saludó a T. ¿Qué saludo no se produjo con seguridad?

A) T con S B) T con R C) Q con R D) Q con T E) Q con S

¿Cuál es el ángulo de un sector circular cuya área es el 15% del área del círculo entero?

A) 15° B) 36° C) 54° D) 90° E) 150°

800 escudos valen lo mismo que 100 doblones. 100 escudos valen lo mismo que 250 ochavos. ¿Cuántos doblones valen lo mismo que 100 ochavos?

A) 2 B) 5 C) 10 D) 25 E) 50

7

8

9

A) 30° B) 85° C) 95° D) 125° E) 140°

10

11

A) 9 B) 23 C) 18 D) 12 E) 2336 −

12

13

14

15

Mamá compra una caja de terrones de azúcar. María se come la capa superior, que tiene 77 terrones ; después se come la cara lateral, que consta de 55 terrones; y finalmente se come la cara frontal también. ¿ Cuántos terrones quedan en la caja?

A) 203 B) 256 C) 295 D) 300 E) 350

En una competición de danza los jueces califican a los competidores con puntuaciones enteras. La media de las puntuaciones concedidas a un concursante es 5,625. ¿ Cuál es el menor número de jueces para que esto sea posible?

A) 2 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

Si el retículo de la figura está formado por cuadrados 2cm X 2cm, ¿ cuál es el área de la región sombreada limitada por arcos de círculo?

¿Con cuál de los siguientes desarrollos se puede formar un cubo, de modo que dos regiones cualesquiera, con una arista común, sean del mismo color?

Dentro de tres años (desde ahora) Esteban tendrá tres veces más que los años que tenía hace tres años. Dentro de cuatro años Esteban tendrá xxxxxxx más que los años que tenía hace cuatro años. ¿Qué palabras ocultan las x?

A) ''dos veces'' B) ''tres veces'' C) ''cuatro veces'' D) "cinco veces'' E) ''seis veces''


A) ABCDA52

B) ABCDA53

C) ABCDA94

D) ABCDA95

E) ABCDA32

Bill tiene una caja con 2000 caramelos de 5 colores. 387 de ellos son blancos, 396 amarillos, 402 rojos, 407 verdes y 408 marrones. Bill decide comérselos de la siguiente manera : aleatoriamente (sin mirar) saca de la caja 3 caramelos. Si los tres son del mismo color, se los come, en caso contrario los devuelve a la caja. Continúa de esta forma a lo largo del día. Por la noche, cuando Bill tiene un empacho considerable, sólo quedan en la caja dos caramelos del mismo color. ¿De qué color son?

A) blancos B) amarillos C) rojos D) verdes E) marrones

16

17

A)32 B) 28 C) 24 D) 20 E) 16

18

19

20

21 Los puntos P, Q, R y S dividen a los lados del rectángulo ABCD en la razón 1 : 2 como se ve en la figura El área APQRS del paralelogramo PQRS es igual a:

22

La hipotenusa AC de un triángulo rectángulo ABC se divide en 8 partes iguales, mediante 7 segmentos paralelos BC. Si BC = 10, entonces la suma de las longitudes de esos 7 segmentos es igual a:

A) No se puede saber B) 50 C) 70 D) 35 E) 45

El Canguro tiene un gran número de bloques en forma de ladrillo que miden 2 cm X 6cm X 1 cm. Quiere usar algunos de ellos para formar un cubo. ¿Cuál es el menor número de bloques que necesita?

A) 6 B) 12 C)18 D) 36 E) 144

Escribimos en orden creciente los números enteros positivos que son iguales al producto de sus divisores positivos (distintos de ellos mismos) . ¿ Cuál es el sexto de esos números?

A) 14 B) 15 C) 21 D) 22 E) 25

La longitud de una pieza mágica rectangular de cuero se reduce a la mitad y su anchura se reduce en una tercera parte después de conceder un deseo a su propietario. Después de 3 deseos tiene un área de 4 cm2 , y su anchura inicial era 9 cm. ¿ Cuál era su longitud inicial?

A)12cm B) 36 cm C) 4 cm D) 18 cm E) Imposible saberlo

Frank tiene 6 palos, con los que puede formar un triángulo equilátero, de manera que los palos sólo se tocan en sus extremos. Un día, Frank pierde 1 palo, y le pide a su padre que le construya otro. ¿Cuál debe ser su longitud, si las de los otros son 25, 27, 29, 31, 41 ?

A) 8 B) 10 C)15 D) 17 E) 20

Los 9 puntos de la figura son los vértices de un retículo. ¿Cuál es el mayor número de triángulos que no sean rectángulos y no sean iguales entre sí, que tienen sus vértices en esos puntos?

• • •

• • •

• • •

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Nueve fichas de dominó distintas forman la cruz de la figura que está parcialmente cubierta por una servilleta. Las fichas están colocadas según las reglas del juego, es decir, 1 es adyacente al 1, 2 al 2, etc. ¿ Cuántos puntos hay en la casilla negra?

Hallar la última cifra de la representación decimal finita del número 200051

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 5

23

24

25

26

27

28

A) 2 B) 3 C) 4 D) otra respuesta E) Imposible saberlo

29

30


Se eligen dos números del conjunto { -9, -7, -5, 2, 4, 6} y se multiplican. El menor resultado posible es

A) -63 B) -54 C) -18 D) -10 E) 8

Roberto tiene que empaquetar canguritos rojos y azules, debiendo poner 10 en cada caja. Si tiene 178 de un color y 121 del otro, ¿cuántas cajas necesita para empaquetarlos todos, sin mezclar en ninguna caja los de colores distintos?

A) 13 B) 18 C) 24 D) 30 E) 31

1

2

3 Enrique, en su clase, tiene 7 compañeros más que compañeras. En la clasehay el doble número de chicos que de chicas. ¿Cuántas compañeras tiene Juana, la chica que se sienta al lado de Enrique?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

4 .La figura adjunta representa calles en una ciudad. La distancia de A a P y deA a Q es de 500 m (en cada caso). El camino de P a Q, pasando por A, es 215 m más largo que si se hace pasando por B. El camino de P a Q, pasando por C, comparándolo con el que pasa por B es:

A) 275 m más largo B) 215 m más largo C) 430 m más largoD) 43 m más largo E) más corto

Una cría de koala se come todas las hojas de un eucalipto en 10 horas. Sus padres comen dos veces más rápido. ¿En cuántas horas se comerán los tres koalas las hojas del eucalipto?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

AÑO 2001

Nivel 3 (3º de E.S.0.)

6

ABCD es un cuadrado. Si la medida del ángulo ∠OND=60º entonces la del ángulo ∠COM es:

A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 35º

5

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¿Cuánto vale el cociente entre el área de un hexágono regular de lado 1 y la del triángulo equilátero de lado 3?

A) 32 B) 2 C)

65 D)

43 E) 1

La longitud del lado de un cuadrado es 1 m. Cada uno de sus vértices es centro de una circunferencia de radio 1 m., situada en el plano del cuadrado. ¿En cuántos puntos del plano se cortan, al menos, dos de esas circunferencias?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14


Se tienen dos largas mesas, con 2001 fichas en cada una, dispuestas en fila. A coge fichas de la primera mesa y B de la segunda. Primero A las coge una de cada tres, y una vez que ha terminado, de las que quedan coge una de cada 5. Por su parte, B coge primero una de cada 5 y luego una de cada tres. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta?

A) A coge los53 de las que coge B B) B coge los

53 de las que coge A

C) B coge una más que A D) A coge una más que BE) Los dos cogen el mismo número de fichas

En la operación siguiente, cada una de las letras K, L, M, N y P representa una cifra :

4 x KLMNP4=4KLMNP ¿Qué cifra representa M?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

8

11

12

13

ABC es un triángulo equilátero y B es el punto medio de AD. Se elige un punto E (en el mismo plano) de modo que DE = AB. Se sabe que la distancia entre C y E es la mayor posible. ¿Cuánto mide el ángulo ∠ BED?

A) 45º B) 30º C) 20º D) 15º E) 10º

14

7

9

¿Cuántos caminos conducen del punto A al punto B de la figura, si no se puede pasar por cada punto más de una vez?

A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) al menos 10

10

Un trozo de papel tiene la forma de un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, como se indica en la figura. Se pliega el papel (el pliegue es recto) de manera que C se superpone a B y luego se hace lo mismo de modo que A se superpone a B. La figura que se obtiene es:

A) Un cuadrado B) Un rectángulo C) Un pentágonoD) Un exágono irregular E) Un rombo

¿Cuál de los cuatro aros hay que que cortar para que los otros tres queden sueltos?

A) A B) B C) C D) D E) No se pueden soltar

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Un reloj digital marca las horas con dos dígitos, de 00 a 23, y los minutos también con dos dígitos, de 00 a 59. ¿Cuántas veces, entre las 00:01 y las 23:59, se leerá lo mismo la hora de izquierda a derecha que de derecha a izquierda? (Por ejemplo, a las 15:51 es uno de esos casos)

A) 10 B) 13 C) 15 D) 18 E) 24

A y B participan en una carrera; corren, cada uno, a velocidad constante. Mientras A da 5 vueltas en 12 minutos, B da 3 vueltas en 10 minutos. Toman la salida juntos. ¿Cuántas vueltas han dado entre los dos cuando cruzan juntos por primera vez la línea de meta?

A) 3 B) 43 C) 86 D) 90 E) 135


Un círculo se corta por cuatro rectas. ¿En cuántas partes NO se puede quedar dividido el círculo?

A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 12

En un concurso de saltos de canguros, cada competidor da 5 saltos. A cada salto se le asigna una puntuación entera entre 1 y 20. Sin embargo, el salto con menor puntuación (o uno de ellos, si hay más de uno con la misma puntuación mínima) no se contabiliza para el resultado final. Antes de que su menor puntuación sea descartada, el Canguro Matemático tiene 72 puntos (ha hecho sus 5 saltos). ¿Cuál es el menor valor posible de su puntuación final?

A) 52 B) 54 C) 57 D) 58 E) 72

15

Incluso cuando el camello está sediento, el 84% de su peso es agua. Después de beber todo lo que puede, su peso llega a 800 kg, y el agua representa el 85% del peso. ¿Cuánto pesa el camello cuando está sediento?

A) 672 kg B) 680 kg C) 715 kg D) 720 kg E) 750 kg

16

17

En la figura los ángulos A y B son rectos y 3)ACB(área)ABCD(área= . Calcula

)ACB(área)ADB(área

A) 2 B) 23 C) 1 D)

25 E) 2

18

La figura representa el desarrollo de un cubo con números del 1 al 6 en sus caras. Se multiplican los números de las tres caras que concurren en cada vértice. El mayor de esos productos vale:

A) 40 B) 60 C) 72 D) 90 E) 120

19

Un pescador se fabrica una red rectangular, similar a la de la figura. Hace 32 nudos (los puntos interiores) y coloca 28 corchos en el perímetro. ¿Cuántos agujeros tiene su red?

A) 40 B) 45 C) 54 D) 60 E) 64

21

22

20

---------- Nivel 3 Pag 3/4 -----------

¿Cuál es la primera cifra, por la izquierda, en el menor número natural cuya suma de cifras es 2001?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Tenemos 11 cajas grandes. Algunas de ellas contienen, cada una, 8 cajas medianas. A su vez, algunas de éstas contienen, cada una, 8 cajas pequeñas. Si hay 102 cajas vacías, ¿cuántas cajas hay en total?

A) 102 B) 64 C) 118 D) 115 E) 129

Un balón de fútbol está formado por piezas de cuero, blancas y negras. Las negras son pentágonos regulares, y las blancas, hexágonos regulares. Cada pentágono está rodeado por 5 hexágonos, y cada hexágono está rodeado por 3 pentágonos y 3 hexágonos. El balón tiene 12 pentágonos negros. ¿Cuántos hexágonos blancos tiene?

A) 60 B) 30 C) 20 D) 15 E) 10

El producto de las edades de mis hijos es 1664. La edad del más joven es la mitad de la del mayor. ¿Cuántos hijos tengo?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

En la clase hay 10 muchachos. El sábado hay un partido importante en la ciudad cercana. ¿De cuántas maneras distintas pueden formar los muchachos un grupo de visitantes si se sabe que: Si Juan va entonces llevará con él a Pedro?

A) 512 B) 640 C) 724 D) 768 E) 1024

Andrea y Bea juegan de la siguiente manera: toman, alternativamente, piezas de una pila, como máximo 7 de cada vez. No se puede tomar el mismo número de piezas que tomó el anterior jugador en su último movimiento. Pierde el que no puede mover. ¿Cuántas piezas debe tomar Andrea, de la pila de 20 piezas que hay al principio, si, jugando bien, quiere ganar el juego?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Marga tiene un talismán formado por 7 dados, pegados de tal manera que cada dos caras en contacto tienen el mismo número de puntos en ellas. Cuando está jugando con él, se le cae en un cubo de pintura blanca y los puntos desaparecen. ¿Cuántos puntos se veían inicialmente en el talismán?

A) 95 B) 102 C) 105 D) 112 E) 126

23

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30

En la figura se ve una construcción hecha con cubos, desde la izquierda y desde el frente, respectivamente. ¿Cuál es el máximo número de cubos usados?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

---------- Nivel 3 Pag 4/4 -----------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.

¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

A) 87 B)

7766 C)

666555 D)

55554444 E)

4444455555

En un juego infantil se van diciendo los números del 1 al 100 y se aplaude cuando se dice un múltiplo de 3 o un número que termina en 3. ¿Cuántas veces se aplaude durante todo el juego?

A) 30 B) 33 C) 36 D) 39 E) 43

El primero de Julio, en Finisterre, el Sol sale a las 4h 53m y se pone a las 21h 25m. El mediodía local es el instante medio entre esas dos horas. ¿Qué hora legal es en ese momento?

A) 11h 08m B) 12h 39m C) 13h 09m D) 16h 32m E) 24h 18m

Entre tres niños se comen 17 caramelos. Andrés se come más caramelos que cualquiera de los otros dos niños. ¿Cuál es el mínimo número de caramelos que se puede haber comido Andrés?

A) 5 B) 9 C) 6 D) 8 E) 7

AÑO 2002


1

2 En una cierta máquina hay dos ruedas dentadas como se muestra en la figura. El radio de la rueda mayor es triple del de la rueda menor. ¿Qué hace la rueda menor cuando la mayor da una vuelta completa en sentido contrario al de las agujas del reloj (llamado sentido antihorario)?

A) Da una vuelta completa en sentido horarioB) Da tres vueltas completas en sentido horarioC) Da tres vueltas completas en sentido antihorarioD) Da nueve vueltas completas en sentido horario

) E) Da nueve vueltas completas en sentido antihorario

3

4

5 En la figura, K,L,M y N son los puntos medios de los ladosdel rectángulo ABCD. Análogamente, O,P,R,S son los puntos medios del cuadrilátero KLMN ¿Qué porción del rectángulo ABCD está coloreada?

A) 53 B)

32 C)

65 D)

43 E)

75

6

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Juan necesita disponer de 2002 huevos de gallina tan pronto como sea posible. Cada una de sus 23 gallinas pone un huevo cada día. ¿Cuántos días (incluyendo el primero) necesita esperar Juan , y cuántos huevos le sobran?

A) 87 días y no sobra ninguno B) 87 días y sobra 1 huevoC) 88 días y sobran 20 huevos D) 88 días y sobran 21 huevosE) 88 días y sobran 22 huevos

En el mismo mes, tres Domingos han caído en días numerados pares. ¿Qué día de la semana fue el 20 de dicho mes?

A) Lunes B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) Sábado

Julián, María, Nicolás y Luisa tienen cada uno un animal, de entre los siguientes: un gato, un perro, un pez rojo y un canario. María tiene un animal de pelo ; Luisa, uno de cuatro patas; Nicolás un pájaro y se sabe que a Julián y a María no les gustan los gatos. ¿Cuál de las siguientes frases NO es cierta?

A) Luisa tiene un perro B) Nicolás tiene un canario C) Julián tiene un pezD) Luisa tiene un gato E) María tiene un perro

Una caja de manzanas cuesta 2 euros, una de peras cuesta 3 euros y una de melocotones 4 euros. Si 8 cajas de fruta cuestan en total 23 euros, ¿Cuántas de ellas, como máximo, pueden ser de melocotones?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

Si a:b=9:4 y b : c = 5 : 3, entonces (a – b) : (b – c) es igual a:

A) 7:12 B) 25 : 8 C) 4 : 1 D) 5 : 2 E) No se puede calcular

En una cierta población de ratones, el 25 % son blancos y el 75 % son negros. De los ratones blancos, el 50% tienen los ojos azules y de los ratones negros, el 20 % tienen los ojos azules. Se sabe que 99 ratones tienen los ojos azules. ¿Cuántos ratones tiene la población?

A) 360 B) 340 C) 240 D) otra respuesta E) no hay solución

Un barco recoge del mar a 30 náufragos. Como consecuencia, los víveres que llevaba, que eran suficientes para 60 días, quedan reducidos a 50 días. ¿Cuántas personas había en el barco antes de recoger a los náufragos?

A) 15 B) 40 C) 110 D) 140 E) 150

Cinco chicos se pesan conjuntamente de dos en dos, de todas las maneras posibles. Los pesos de las parejas son : 90 kg, 92kg, 93kg, 94kg, 95kg, 96kg, 97kg, 98kg, 100kg y 101kg. El peso conjunto de los cinco chicos es :

A) 225kg B) 230kg C) 239kg D) 240kg E) 250kg

7

8

9

10

11

12

En la figura, P y Q son los centros de los círculos tangentes , y la recta PQ corta a los círculos en A y B. El rectángulo ABCD es tangente al círculo mayor en T. Si el área de ABCD es 15, ¿cuánto vale el área del triángulo PQT?

A) 4 B)4

15 C) 21 D) 5 E) 2 5

13

14

15

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Los cuatro hijos compran un regalo para el cumpleaños de su padre. Uno de ellos esconde el regalo. Preguntados por su madre, dicen: Alfredo : “Yo no fui” Benjamín : “Yo no fui” Cristina : “Fue Daniel” Daniel : “Fue Benjamín”. Solamente uno de ellos NO ha dicho la verdad. ¿Quién escondió el regalo?

A) Alfredo B) Benjamín C) Cristina D) Daniel E) No se puede saber

Las tres bandejas A, B y C están en orden creciente de peso.

Para mantener este orden, la bandeja D debe colocarse :

A) entre A y B B) entre B y C C) delante de AD) después de C E) D y C pesan lo mismo.

En Canadá, parte de la población habla solamente inglés, otra parte solo habla francés y otra parte habla los dos idiomas. Se sabe que el 85% de la población habla inglés, y el 75% habla francés. ¿Qué porcentaje de la población habla los dos idiomas?

A) 50% B) 57% C) 25% D) 60% E) 40%

En algunas de las casillas de un tablero 2 x 9 hay monedas. Cada casilla, o bien contiene una moneda, o bien tiene un lado común con una casilla que contiene una moneda. El número de monedas en el tablero es, al menos,

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Cuando una escalera mecánica no funciona, tardamos 90 segundos en subir por ella. Cuando funciona, si no andamos, tardamos 60 segundos en subir. ¿Cuánto tardaremos en subir si la escalera funciona y además andamos?

A) 36 B) 75 C) 45 D) 30 E) 50


Se supone que un entero positivo n es divisible por 21 y por 9. ¿Cuál es el menor número posible de enteros positivos que dividen a n?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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Un juego con piezas triangulares como las de la figura tiene todas las combinaciones posibles con 5 colores, del 1 al 5, de tal manera que no se repiten dos colores en ninguna pieza. En la figura, las piezas marcadas con (*) y (**) se consideran iguales, porque una de ellas se deduce de la otra girándola ; pero son distintas de la marcada con (***).

¿Cuántas piezas diferentes tiene el juego?

A) 25 B) 125 C) 60 D) 30 E) 20

La cara inferior del extraño dado mostrado en la figura tiene 6 puntos, la de la izquierda 4 y la de atrás 2. Si giro el dado en mi mano, ¿Cuál es el mayor número total de puntos que puedo ver simultáneamente?

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) otra respuesta

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Cristóbal ha dibujado dos círculos y tres rectas, y ha coloreado los puntos de intersección . ¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección posibles?

A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) 14

De una hoja cuadrada de papel se ha construido un pentágono, doblándola según se indica en la figura.

El ángulo marcado con el signo de interrogación vale :

A) 104º B) 106,5º C) 108º D) 112,5º E) 114,5º

Se considera el conjunto de todos los números de cuatro cifras distintas, formados con las cifras 1, 2, 3, 4. La suma de todos esos números vale

A) 55550 B) 99990 C) 66660 D) 100000 E) 98760

En la figura, los triángulos ABC y DEC son iguales, y DC = AC = 1, CB = CE = 4.

Si el área del triángulo ABC es S, entonces el área del cuadrilátero AFDC es igual a :

A) S/2 B) S/4 C) S/5 D) 2S/5 E) 2S/3

La sucesión 1, x2 ,x3 ,....,xn-1, 1000 es la más larga sucesión posible de enteros positivos donde cada término, a partir del tercero, es la suma de todos los anteriores a él. ¿Cuánto vale x2 ?

A) 124 B) 125 C) 225 D) 224 E)120

24 La esfera de un reloj como el de la figura está dividida en tres partes, de modo que la suma de los números en cada parte es la misma. Sabiendo que ninguna de las líneas de división separa las cifras de ninguna hora, se puede decir que

A) 12 y 3 no están en el mismo trozo B) 8 y 4 están en el mismo trozoC) 7 y 5 no están en el mismo trozo D) 11, 1 y 5 están en el mismo trozoE) 2, 11 y 9 están en el mismo trozo .

25

26

Un cubo de arista 5 está formado por cubos de arista 1. Se quitan las tres filas de cubos que se indican en la figura y se sumerge en pintura.

¿Cuántos cubos tienen solamente una cara pintada?

A) 30 B) 26 C) 40 D) 48 E) 24

27

28

29

30

------------ Nivel 3 Pag 4/ 4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen TRES puntos cada una.

Hay 17 árboles a lo largo del camino desde la casa de Basilio hasta la piscina. Basilio marca algu-nos de ellos, con una cinta roja, de la manera siguiente: Cuando va hacia la piscina marca el primer árbol, y después deja sin marcar uno y marca el siguiente, repitiendo esta última opera-ción. Cuando regresa de la piscina marca el primer árbol, y después deja sin marcar dos y marca el siguiente, repitiendo también esta última operación. ¿Cuántos árboles quedan sin marcar después de todo eso?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Se traza una línea recta en un tablero 4×4 . ¿Cuál es el mayor número de cuadrados 1×1 que pueden ser divididos en dos partes por esa recta?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

En un polígono de seis lados (no necesariamente convexo), el máximo número posible de ángulos rectos interiores es

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Una botella y un vaso conjuntamente tienen la misma capacidad que una jarra. Una botella tiene la misma capacidad que un vaso y un tazón. Tres tazones tienen la misma capacidad que dos jarras. ¿A qué equivale un tazón?

A) 3 vasos B) 4 vasos C) 5 vasos D) 6 vasos E) 7 vasos

AÑO 2003


1

3

4

5

2

Hay 5 cacatúas en la jaula. Su precio medio (en el mercado negro) es de 6000 euros. Un día, durante la limpieza de la jaula, se escapa el ejemplar más caro. El precio medio de las que quedan es de 5000 euros. ¿Cuál era el precio de la cacatúa que se escapó?

A) 1000 euros B) 2000 euros C) 5500 eurosD) 6000 euros E) 10000 euros

6

Una hoja de papel se dobla y se le hacen los cortes señalados en la figura de la derecha. Luego se despliega. ¿Qué se ve?

------------ Nivel 3 Pag 1/4 ----- --------

En un número natural de por lo menos 2 cifras, se suprime la última cifra, con lo que el número disminuye n veces. ¿Cuál es el máximo valor de n?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 19 E) 20 El número de puntos de intersección de cuatro segmentos no puede ser exactamente

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 ¿Cuál de los siguientes números, multiplicado por 768, da un producto con mayor número de ceros en su terminación?

A) 7500 B) 5000 C) 3125 D) 2500 E) 10000

Las preguntas 11 a 20 valen CUATRO puntos cada una. Una hoja transparente está sobre la mesa. La letra У está dibujada en ella. Giramos la hoja 900 , en el sentido de las agujas del reloj; luego le damos la vuelta a la hoja sobre su borde izquierdo, y después la giramos 1800 en el sentido contrario a las agujas del reloj. ¿Qué vemos?

A) B) У C)

У

D)

У

E) Miguel tiene 42 cubos idénticos, cada uno de 1 cm de arista. Usa todos los cubos para construir un paralelepípedo. El perímetro de la base del paralelepípedo es 18 cm. ¿Cuánto mide su altura?

A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm

José lanza tres flechas a cada una de las cuatro dianas. Consigue 29 puntos en la primera, 43 en la segunda y 47 en la tercera. ¿Cuántos puntos consigue en la cuarta?

A) 31 B) 33 C) 36 D) 38 E) 39

El peso de un camión sin la carga es 2000 kg. Hoy la carga representa inicialmente el 80% del peso total. En la primera parada, se le descarga la cuarta parte de la carga. ¿Qué porcentaje del peso total representa ahora la carga restante?

A) 20% B) 25% C) 55% D) 60% E) 75%

El desarrollo de la figura se dobla para formar un cubo. ¿Qué cara es la opuesta a la marcada con x ? A) a B) b C) c D) d E) e

9

10

11

12

8

15

13

14

Dos cuadrados del mismo tamaño están superpuestos a un círculo de radio 3 cm, como se indica en la figura. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

A) 8(π – 1) cm2 B) 6(2π – 1)cm2 C) 9π – 25 cm2

D) 9(π – 2) cm2 E) 5 6 π

cm2

7

------------ Nivel 3 Pag 2/4 ----- --------

Tienes seis palos rectilíneos de longitudes 1 cm, 2 cm, 3 cm, 2001 cm, 2002 cm y 2003 cm. Debes escoger tres de ellos para formar un triángulo.¿Cuántas elecciones diferentes de los tres palos puedes hacer para conseguirlo?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) más de 50

¿Cuántos enteros positivos n tienen la siguiente propiedad: entre los divisores positivos de n , distintos de1 y del propio n , el mayor es 15 veces el menor.

A) 0 B) 1 C) 2 D) infinitos E) otra respuesta

Se marcan seis puntos A, B, C, D, E, F en una recta, de izquierda a derecha, en ese orden. Se sabe que AD = CF y BD = DF. Entonces, necesariamente,

A) AB = BC B) BC = DE C) BD = EF D) AB = CD E) CD = EF

María tiene 6 cartas con números naturales escritos en ellas (un número en cada carta). Elige 3 cartas al azar y suma los correspondientes números. Una vez hecho esto con las 20 posibles combinaciones de las tres cartas, descubre que 10 sumas son iguales a 16, y las otras 10 son iguales a 18. Entonces, el menor número que hay escrito en las cartas es

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Las preguntas 21 a 30 valen CINCO puntos cada una.

Paul, Bill, John, Nick y Tim están en un corro, siendo distintas las distancias mutuas entre cualquier par consecutivo de ellos. El profesor pide a cada uno que diga el nombre de quien está más próximo a él. Los nombres de Paul y Bill son mencionados dos veces cada uno, y el de John, una vez. Entonces,

A) Paul y Bill no son contiguos B ) Nick y Tim no son contiguos C) Nick y Tim son contiguosD) La situación descrita es imposible E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

19

20

16

17

18

Usando 3 piezas, cada una de las cuales consta de 4 cubos, se forma un paralelepípedo rectángulo (ver figura). La pieza cuadriculada es completamente visible; las otras, solo parcialmente. ¿Qué pieza es la blanca?

En el rectángulo ABCD, sean P, Q, R y S los puntos medios de los lados AB, BC, CD y AD, respectivamente, y T es el punto medio del segmento RS. ¿Qué fracción del área de ABCD es el area del triángulo ∆PQT ?

A) 5/16 B) 1/4 C) 1/5 D) 1/6 E) 3/8

21

22

------------ Nivel 3 Pag 3/4 ----- --------

En la figura hay cuatro cuadrados superpuestos de lados 11, 9, 7 y 5 cm ¿Qué diferencia hay entre la suma de las áreas grises y la suma de las áreas negras?

A) 25 B) 36 C) 49 D) 64 E) 0 En una librería hay 50 libros de Matemáticas y Física. Ningún par de libros de Física están juntos, mientras que todo libro de Matemáticas tiene otro de Matemáticas a su lado. ¿Cuál de las siguientes proposiciones puede ser falsa? A) Hay al menos 32 libros de Matemáticas B)A lo sumo hay 17 libros de Física C) Hay 3 libros de Matemáticas seguidos D) Si el número de libros de Física es 17, entonces uno de ellos es el primero o el último E) Entre 9 libros consecutivos cualesquiera, al menos 6 son de Matemáticas

El cuadrado de la figura está dividido en 25 cuadrados unidad. Hallar la medida del ángulo suma de los ángulos MAN, MBN, MCN, MDN, MEN.

A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 90°

Formamos una espiral de triángulos isósceles. El ángulo desigual es de 100°. Empezamos en el triángulo gris que tiene el número 0. Los siguientes triángulos (con números 1, 2, 3, ...) tienen un lado común con el anterior, según se muestra en la figura. Como puede verse, el triángulo número 3 cubre parcialmente el triángulo número 0 . ¿Cuál sera el número del primer triángulo que recubra exactamente el triángulo número 0? A) 10 B) 12 C) 14 D)16 E) 18 ¿Cuántos enteros positivos n hay tales que 2003 dividido por n dé resto 23?

A) 22 B) 19 C) 13 D) 12 E) 87 Se tienen 10 puntos en el plano, tales que no hay tres en línea recta. Todo par de esos puntos está unido por un segmento. ¿Cuál es el mayor número posible de esos segmentos, que pueden ser cortados por otra recta, que no pase por ninguno de esos puntos?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 45

Carlos intenta dividir la figura de la izquierda en piezas como se muestran en la parte derecha. Sólo puede usar papel cuadriculado para hacer eso. ¿Cuál es el menor número de figuras de tres cuadrados que puede conseguir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Carlos no puede hacerlo

23

11 9

7 5

24

25

26

27

28

29

En el triángulo ABC, AB = AC, AE = AD y ∠BAD = 30°. ¿Cuál es la medida del ángulo CDE?

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

30

------------ Nivel 3 Pag 4/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada una.

¿Cuánto vale 2004 – 4 × 200?

A) 400800 B) 400000 C) 1204 D) 1200 E) 2804

¿Cuál es el número inicial ( ? ) ?

A) 18 B) 24 C) 30 D) 40 E) 42

Nuria tiene 16 cartas, 4 picas (♠), 4 tréboles (♣), 4 diamantes (♦) y 4 corazones (♥). Quiere ponerlas en el cuadrado de la figura, de modo que en cada fila y en cada columna haya una carta de cada palo. ¿De cuántos palos puede colocar la carta en la casilla de la interrogación?

A) de ninguno B) de 1 C) de 2 D) de 3 E) de 4

El valor de la expresión )10099(...)65()43()21( −−−−−−−− es igual a

A) 0; B) 49; C) -48; D) 48 E) 50.

A: un triángulo equilátero

B: un rectángulo no cuadrado

C: un triángulo rectángulo

D: un cuadrado

E: un hexágono

Un hombre tiene un jardín rectangular. Decide ampliarlo incrementando la longitud y la anchura en un 10% cada una. El porcentaje de incremento del área es

A)10 % B) 20% C) 21% D) 40 % E) 121 %

♠ ?

♣ ♠

♦

♥

C D

A B

? Multiplicamos por 0,5 Multiplicamos por 1/3

Elevamos al cuadrado Sumamos 1 50

AÑO 2004


1

2 Un triángulo equilátero ACD gira en sentido antihorario alrededor delpunto A. ¿Qué ángulo ha girado después de que se superponga al triángulo ABC por primera vez?

A) 60° B) 120° C) 180° D) 240° E)300°

3

4

5

6

7

La sección de un cubo por un plano es una cierta figura plana, señalada por líneas de puntos en el desarrollo del cubo que se muestra a continuación. ¿Qué figura es?

------------ Nivel 3 (-04) Pag 1/4 ----- --------

¿Cuál es el diámetro del círculo?

A ) 18 cm B ) 12 cm C ) 10 cm

D ) 12,5 cm E ) 14 cm

Una heladería tiene helados de nueve sabores distintos. Cada uno de los niños de un grupo que llega a la heladería compra un cono doble, con dos sabores distintos. Todos eligen combinaciones de sabores distintas, y todas las combinaciones posibles han sido elegidas. ¿Cuántos niños hay en el grupo?

A) 9 B) 36 C) 72 D) 81 E) 90

Enlazamos anillos (con radio de la circunferencia exte-rior 3cm y de la interior 2 cm) como se muestra en la figura. La longitud de la cadena es 1,7m.

¿Cuántos anillos necesitamos?

A) 30 B) 21 C) 42 D) 85 E) 17

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada uno

En la figura ABCD es un cuadrado y se trazan los semicírculos de diámetros AB y AD. Si AB =2, ¿cuál es el área de la parte oscura?

A) 1 B) 2 C) 2π D) π/2 E) 3/4

En la tira de la figura hay 11 cuadrados. En el primero de la izquierda se escribe el número 7 y en el noveno el 6. ¿Qué número hay que escribir en el segundo cuadrado si debe cumplirse la siguiente propiedad: las sumas de los números de tres cuadrados consecutivos cualesquiera son iguales a 21?

A) 7 B) 8 C) 6 D) 10 E) 21

Durante el primero de dos años consecutivos hubo más Jueves que Martes. ¿Qué diá de la semana fué más abundante en el segundo año, si ninguno de los dos era bisiesto?

A: Martes B: Miércoles C: Viernes D: Sábado E: Domingo

ABC es un triángulo isósceles con AB = AC = 5 cm, y °> 60CAB . La longitud de su perímetro es un número entero de centímetros. ¿Cuántos de esos triángulos son posibles?

A ) 1 B ) 2 C) 3 D ) 4 E ) 5

8

10

9

11

12

13

14

------------ Nivel 3 (-04) Pag 2/4 ----- --------

?A B

6

Alfonso el avestruz está entrenándose para la Competición de la Cabeza en la Arena en la Olimpiada de los animales. Sacó la cabeza de la arena a las 8h15 de la mañana del Lunes y consiguió un nuevo récord personal, habiendo estado metido en la arena durante 98 horas y 56 minutos. ¿Cuándo empezó el entrenamiento?

A) El jueves a las 5.19 am B) El jueves a las 5.41 amC) El jueves a las 11.11 am D) El viernes a las 5.19 amE) El viernes a las 11.11 am

Tienes una gran cantidad de ladrillos iguales, de longitud 1, anchura 2 y altura 3 cm. ¿Cuál es el menor número de ladrillos necesario para construir un cubo?

A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 60

Cinco niños piensan un número cada uno. Ese número puede ser uno, dos o cuatro. Los números pensados se multiplican. ¿Cuál de los siguientes puede ser el resultado?

A) 100 B) 120 C) 256 D) 768 E) 2048

La edad promedio de la abuela, el abuelo y los siete nietos es 28 años. La edad promedio de los siete nietos es 15 años. Si se sabe que el abuelo es tres años mayor que la abuela, la edad del abuelo es :

A) 71 B) 72 C) 73 D) 74 E) 75

Un trapecio rectángulo ABCD tiene su base mayor AB de longitud b, su base menor CD de longitud a, y su altura AD de longitud a + b. El punto E de la altura es tal que AE = a. El ángulo CEB mide:

A) 45 grados B) 60 grados C) 75 grados D) 30 grados E) 90 grados

En un cuadrado de lado 6 cm los puntos A y B están situados en la paralela media (ver la figura). Se unen A y B con los vértices, tal como se indica en la figura, y el cuadrado queda dividido en tres partes de la misma área. ¿Cuál es la longitud del segmento AB?

A) 3,6 cm B) 3,8 cm C) 4,0 cm D) 4,2 cm E) 4,4 cm


Una persona va de la ciudad a la playa, a 30 km/h. A la vuelta viaja a 10 km/h. ¿Cuál es la velocidad media a lo largo de todo el viaje?

A) 12 km/h B) 15 km/h C) 20 km/h D)22 km/h E)25km/h

Juan pone algunas de sus revistas en su librería. Las revistas tienen 48 o 52 páginas. ¿Cuál de los siguientes número no puede ser el número total de las páginas de las revistas que ha puesto en la librería?

A) 500 B) 524 C) 568 D) 588 E) 620

En la granja había más de un canguro. El primero dice: “Somos 6”, y salta la verja de la granja. A continuación, cada minuto salta la verja un canguro y dice: “Todos los que saltaron delante de mí han mentido”. Así, hasta que no quedan canguros en la granja. ¿Cuántos dijeron la verdad?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

15

16

17

18

19

21

22

23

20

------------ Nivel 3 (-04) Pag 3/4 ----- --------

Si a y b son enteros positivos, ninguno de ellos divisible por 10, y el producto ab = 10000, entonces la suma a + b es

A) 1024 B) 641 C) 1258 D) 2401 E) 1000

Siguiendo las instrucciones indicadas, ¿cuánto vale la diferencia x – y?

A) -2 B) 2 C) 1998 D) 998 E) (–2)1999

ABCD es un paralelogramo. Si AA1 = 4 cm, DD1 = 5 cm, CC1 = 7 cm, ¿cuánto vale BB1 ?

A) 9 B) 11 C) 12 D) 16 E) 21.

Se escriben algunos números naturales en las caras de un cubo, y en cada vértice ponemos el producto de los números de las tres caras adyacentes en ese vértice. La suma de los números de los vértices es 70. Entonces la suma de los números de las caras es :

А) 12 В) 35 C) 14 D) 10 Е) imposible saberlo

El número 2004 es divisible por 12 y la suma de sus cifras es igual a 6. ¿Cuántos números de cuatro cifras tienen esas dos propiedades?

A) 10; B) 12; C) 13; D) 15; E) 18.

En la figura, el triángulo es equilátero. Para obtener el área del círculo grande, hay que multiplicar la del pequeño por :

A) 12 B) 16 C) 39 D) π2 E) 10

¿Cuál es la última cifra no nula del producto de los primeros 100 enteros positivos?

A) 4 B) 6 C) 2 D) 8 E) 9

24

25

A1

B1 D1

B

A

C

D

C1

26

27

28

29

30

------------ Nivel 3 (-04) Pag 4/4 ----- --------


Hay ocho canguros en las casillas de la tabla, como se ve en la figura de la derecha. Encuentra el mínimo número de canguros que tienen que saltar a otra celda para que haya exactamente dos canguros en cada fila y en cada columna de la tabla.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

El dibujo muestra un cubo con aristas de longitud 12 cm. Una hormiga va recorriendo la superficie del cubo desde A hasta B siguiendo el camino que se indica con línea gruesa ¿Cuántos centímetros recorre la hormiga?

A) 40 cm. B) 48 cm. C) 50 cm.D) 60 cm. E) Es imposible calcularlo

¿Cuántas horas hay en la mitad de un tercio de un cuarto de día?

A) 1/3 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 3

Dos chicas y tres chicos se comen, entre todos, 16 caramelos. Cada chico come el doble de caramelos que cada chica. ¿Cuántos caramelos se comerán tres chicas y dos chicos con la misma pasión por los caramelos?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 16 E) 17

En una guardería, el 50% de los alumnos tienen bicicleta. Entre los alumnos que tienen bicicleta, el 30% tienen patines. ¿Qué porcentaje de alumnos tienen bicicleta y patines?

A) 15% B) 20% C) 25% D) 40% E) 80%

En un triángulo ABC, el ángulo en A es el triple que el ángulo en B y la mitad que el ángulo en C. ¿Cuánto mide el ángulo en A?

A) 30º B) 36º C) 54º D) 60º E) 72º

El diagrama muestra el plano de una habitación. Las paredes adyacentes son perpendiculares entre sí. Las letras a y b representan las dimensiones, en longitud, de la habitación. ¿Cuál es el área de la habitación?

A) )(2 abaab −+ B) 2)(3 abaa −+ C) ba 23D) 2)(3 aaba +− E) ab3

AÑO 2005


5

4

7

3

6

1

2

------------ Nivel 3 (-05) Pag 1/4 ----- --------

Julia cortó una hoja de papel en diez trozos. Luego cogió un trozo y lo cortó de nuevo en diez trozos. Así siguió cortando los papeles del mismo modo tres veces más. ¿Cuántos trozos de papel tenía después del último corte?

A) 36 B) 40 C) 46 D) 50 E) 56

Un cierto número de cuervos se colocan, de uno en uno, en un determinado número de postes en la parte de atrás de la granja. Desafortunadamente, para un cuervo no queda ningún poste. Algo más tarde, los mismos cuervos se colocan de dos en dos sobre los mismos postes, quedando un poste sin ningún cuervo. ¿Cuántos postes hay?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

¿Cuál de los siguientes cubos ha sido construido a partir del plano de la derecha?


Considera una diana para dardos como se muestra en la figura. La puntuación es inversamente proporcional al área de cada región. Si un impacto en la región B supone obtener 10 puntos, entonces un impacto en la región C supone obtener...

A) 5 puntos B) 8 puntos C) 16 puntosD) 20 puntos E) 24 puntos

Un grupo de compañeros de clase está planificando un viaje. Si cada uno de ellos hiciera una aportación de 14 € para los gastos del viaje, les faltarían 4 €. Pero si cada uno de ellos hiciera una contribución de 16 €, obtendrían 6 € más de los que necesitan. ¿Cuánto debería contribuir cada alumno para obtener la cantidad exacta para el viaje?

A) 14,40 € B) 14,60 € C) 14,80 € D) 15 € E) 15,20 €

En el gráfico, las cinco circunferencias tienen el mismo radio y se “tocan” como se ve en él. El cuadrado tiene sus vértices en los centros de las cuatro circunferencias exteriores. La razón entre la parte sombreada y la parte no sombreada de las cinco circunferencias es...

A) 1:3 B) 1:4 C) 2:5 D) 2:3 E) 5:4

El relojero trabaja durante cuatro días seguidos y descansa el quinto día. Descansó el Domingo pasado y empezó a trabajar el Lunes. ¿Después de cuántos días, a partir de ese lunes, volverá a ser Domingo su día de descanso?

A) 27 B) 36 C) 13 D) 34 E) 7

A la serie de letras AGKNORU (en orden alfabético) se le asocia una serie de dígitos diferentes, colocados en orden creciente. ¿Cuál es el número más grande que puede ser asociado a la palabra KANGOUROU ?

A) 987654321 B) 987654354 C) 436479879 D) 536479879 E) 597354354

11

12

8

9

13

14

15

10

------------ Nivel 3 (-05) Pag 2/4 ----- --------

Desde el mediodía hasta la medianoche el “ListoGato” está durmiendo bajo el roble y desde me-dianoche hasta mediodía está contando historias. Hay un cartel en el roble que dice: “Hace dos horas el “ListoGato” estaba haciendo lo mismo que hará dentro de una hora” ¿A lo largo de cuántas horas al día lo que dice cartel es verdadero?

A) 6 horas B) 12 horas C) 18 horas D) 3 horas E) 21 horas

El dibujo muestra un triángulo equilátero y un pentágono regular. ¿Cuánto mide, en grados, el ángulo x?

A) 124º B) 128º C) 132º D) 136º E) 140º

Miguel escoge un número de tres cifras y otro número de dos cifras. ¿Cuánto vale la suma de estos dos números si su diferencia es 989?

A) 1000 B) 1001 C) 1009 D) 1010 E) 2005

La longitud de la cuerda l es...

A) dn B) dnπ C) dnπ2

D) d2π

E) dπ

Para cualquier número natural n, llamamos longitud de n al número de factores en la expresión de n como producto de números primos. Por ejemplo, la longitud del número 533290 ⋅⋅⋅= es igual a 4. ¿Cuántos números impares menores que 100 tienen longitud igual a 3?



En la figura se muestran dos rectángulos ABCD y DBEF. ¿Cuál es el área del rectángulo DBEF?

A) 10 cm2 B) 12 cm2 C) 13 cm2 D) 14 cm2 E) 16 cm2

Pedro tiene una caja fuerte con un código de tres cifras. Ha olvidado el código pero sabe que las tres cifras son diferentes y que la primera cifra es igual al cuadrado de la razón de la segunda y la tercera cifras. ¿Cuántos códigos de tres cifras cumplen estas condiciones?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

¿Cuántos números de dos cifras, distintas de cero, son mayores que el triple del número que resulta de cambiar la posición de sus cifras?

A) 6 B) 10 C) 15 D) 22 E) 23

22

16

17

18

19

20

21

23

------------ Nivel 3 (-05) Pag 3/4 ----- --------

¿Cuánto vale la suma de los 10 ángulos marcados en la figura?

A) 300º B) 450º C) 360º D) 600º E) 720º

Un barril contiene 64 litros de vino. Reemplazamos 16 litros de vino por 16 litros de agua. Supongamos que el vino y el agua se mezclan uniformemente y que el volumen de la mezcla es la suma de los dos volúmenes. Después reemplazamos 16 litros de la mezcla por 16 litros de agua. Esperamos a que se mezclen y volvemos a hacerlo una vez más. ¿Cuántos litros de vino (por supuesto, mezclados con agua) permanecen en el barril?

A) 27 litros B) 24 litros C) 16 litros D) 30 litros E) 48 litros

Sean a y b los lados más cortos del triángulo de la figura. Si d es el diámetro de la circunferencia inscrita y D el diámetro de la circunferencia circunscrita a este triángulo, entonces d + D es igual a...

A) a+b B) 2(a+b) C) ( )ba +⋅5,0 D) ba ⋅ E) 22 ba +

La media de diez números enteros positivos diferentes es 10. ¿Cuánto puede valer el mayor de los diez números como máximo?

A) 10 B) 45 C) 50 D) 55 E) 91

Una partícula se mueve a través del primer cuadrante como se indica en la figura. Durante el primer minuto se mueve desde el origen hasta (1,0). A continuación continúa moviéndose siguiendo las direcciones indicadas por la parte positiva de los ejes X e Y, moviéndose una unidad de distancia paralela a un eje cada minuto. ¿A qué punto llegará la partícula después de exactamente 2 horas?

A) (10,0) B) (1,11) C) (10,11) D) (2,10) E) (11,11)

Carlos dice la verdad tres días a la semana durante todo el día y los cuatro restantes miente siempre. Hoy ha dicho exactamente cuatro de las siguientes frases. ¿Cuál de ellas no ha dicho hoy?

A) Entre chicos y chicas tengo un número primo de amigos.B) Tengo tantos amigos chicos como amigas chicas.C) 288 es divisible por 4.D) Siempre digo la verdad.E) Tres de mis amigos son mayores que yo.

¿Cuántos grupos de números enteros positivos consecutivos, con al menos dos elementos,, cumplen que la suma de sus elementos es igual a 100?

A) 1 grupo B) 2 grupos C) 3 grupos D) 4 grupos E) ningún grupo

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El Concurso Canguro se celebra en Europa anualmente desde 1991. El Concurso de 2006 es el

A) décimo quinto B) décimosexto C) décimoséptimo D) décimotercero E) décimocuarto

20∙(0+6)−(20∙0)+6 =

A) 0 B) 106 C) 114 D) 126 E) 12

El punto O es el centro del pentágono regular de la figura. ¿Qué porcentaje de la superficie del pentágono está sombreado?

A) 10% B) 20% C) 25% D) 30% E) 40%

La abuela les dice a sus nietos: “Si preparo 2 magdalenas para cada uno de vosotros, me quedará suficiente masa para 3 magdalenas más. Pero no puedo preparar 3 magdalenas para cada uno de vosotros, porque me faltaría masa para las dos últimas” ¿Cuántos nietos tiene la abuela?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6.

El cubo de la figura de la derecha tiene como desarrollo uno de los cinco siguientes

Una encuesta a 2006 escolares de Minsk (Bielorrusia) reveló que 1500 de ellos tomaron parte en el Concurso Canguro, y que 1200 participaron en la Competición “Osito”. ¿Cuántos de los entrevistados participaron en las dos competiciones, si 6 de ellos no participaron en ninguna de las dos?

A) 300 B) 500 C) 600 D) 700 E) 1000

El sólido de la figura se forma colocando el cubo más pequeño, de 1 cm de arista, sobre el más grande, de arista 3 cm, en la posición mostrada en la figura. ¿Cuál es la superficie del sólido así formado?


AÑO 2006

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1

2

3

4

5

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Una botella con capacidad para 1/3 de litro está llena en sus 3/4 partes. ¿Cuánto contiene después de sacar de ella 20 cl ?

A) está vacía B) 5 cl C) 7,5 cl D) 13 cl E) 24,5 cl

Dos lados de un triángulo miden 7cm cada uno. La longitud del tercer lado es un número entero de centímetros. Como máximo, ¿cuántos cm mide el perímetro del triángulo?

A) 14 B) 15 C) 21 D) 27 E) 28

En una clase hay 21 alumnos. Ningún par de chicas tiene el mismo número de amigos (chicos) en la clase. ¿Cuál es el mayor número de chicas que puede haber en la clase?

A) 5 B) 6 C) 9 D) 11 E) 15


Si es azul, es redondo. Si es cuadrado, es rojo. Es azul o amarillo. Si es amarillo, es cuadrado. Es cuadrado o redondo. Esto significa:

A) Es rojo B) Es rojo y redondo C) Es un cuadrado azul. D) Es azul y redondo E) Es amarillo y redondo

Tres martes de un mes caen en fechas pares. ¿Qué día de la semana será el día 21 de este mes?

A) Miércoles B) Jueves C) Viernes D) Sábado E) Domingo

Alex, Hans y Stan ponen dinero para comprar una tienda de campaña. Stan pone el 60 % del precio; Alex pone el 40 % de lo que falta. De esta forma, Hans debe poner 30 € para completar el precio. ¿Cuánto vale la tienda?

A) 50 € B) 60 € C) 125 € D) 150 € E) 200 €

Varios extraterrestres viajan por el espacio en su cohete STAR 1. Los hay de tres colores: verde, naranja y azul. Los verdes tienen dos tentáculos; los naranja tres y los azules cinco. En la nave espacial hay tantos verdes como naranjas, y 10 azules más que verdes. En total hay 250 tentáculos. ¿Cuántos extraterrestres azules hay en la nave?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

Si el Canguro Matemático salta con su pata izquierda 2 m; si salta con su derecha, 4 m; y si salta con las dos, 7 m. ¿cuál es el menor número de saltos que debe hacer para cubrir una distancia de 1000 m exactamente?

A) 140 B) 144 C) 175 D) 176 E) 150

Un rectángulo está dividido en 7 cuadrados, como se muestra en la figura. Cada uno de los lados de los cuadrados grises de la derecha miden 8. ¿Cuál es el lado del gran cuadrado blanco?

A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30

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16

9

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¿Qué número, al ser elevado al cuadrado, se incrementa en un 500 %?

A)5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

¿Cuántos triángulos isósceles de área 1 tienen un lado de longitud 2?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Harry y Potter han dibujado un cuadrado 5x5 y señalado los centros de los cuadraditos. Después, dibujan obstáculos, como se muestra en la figura por trazos gruesos. Quieren saber de cuántas maneras es posible ir de A a B usando el camino más corto, evitando los obstáculos, y yendo de centro a centro de los cuadrados sólo vertical u horizontalmente. ¿Cuántos caminos de longitud mínima van de A a B en esas condiciones?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12

La última cifra de un número de tres cifras es 2. Si ponemos esta cifra como primera, el número disminuye en 36. ¿Cuál es la suma de las cifras del número original?

A) 4 B) 10 C)7 D) 9 E) 5


Belinda forma cuadrados reuniendo palillos en la forma que se muestra en la figura. ¿Cuántos palillos debe añadir al cuadrado trigésimo para construir el trigésimo primero?

A) 124 B) 148 C) 61 D) 254 E) 120

Un tren se compone de cinco vagones, I, II, III, IV y V, arrastrados por una locomotora. ¿De cuántas maneras puede formarse el tren de modo que el vagón I esté más próximo a la locomotora que el vagón II?

A) 120 B) 60 C) 48 D) 30 E) 10

¿Cuál es la primera cifra del menor número natural que tiene una suma de cifras igual a 2006?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8

La madre le pide a Juanito que forme pares con los calcetines de su padre, Juan, después de lavarlos, pero Juanito no lo hace. Coloca todos los calcetines (5 pares negros, 10 pares marrones y 15 pares grises), mezclados en su cajón. Juan va a hacer un viaje de 7 días. ¿Cuál es el menor número de calcetines que tiene que sacar para garantizar que tiene, por lo menos, 7 pares del mismo color? A) 21 B) 41 C) 40 D) 37 E) 31

Si la suma de tres números positivos es igual a 20,1 , entonces el producto de los dos mayores no puede ser

A) mayor que 99 B) menor que 0.001 C) igual a 75D) igual a 25 E) Todos los casos de A a D son posibles

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Pedro va en bicicleta del punto P al punto Q a velocidad constante. Si incrementa su velocidad en 3 m/s, llegará a Q tres veces antes. ¿Cuántas veces antes llegará a Q si incrementa su velocidad en 6 m/s?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 4,5 E) 8

Si el producto de dos enteros es igual a 25.32.5.73, entonces su suma puede ser

A) divisible por 8 B) divisible por 5 C) divisible por 49D) divisible por 3 E) ninguna de las condiciones A a D se puede cumplir

El pentágono regular OABCD (ver la figura) se refleja con respecto a la recta OA (por ejemplo, el vértice D se transforma en D' ). Luego, el pentágono obtenido se refleja respecto OD’ (de modo que el vértice A' =A se transforma en A"; véase la figura), etc. ¿Cuál es el menor número de tales operaciones necesario para que el pentágono vuelva a su posición original?

A) 6 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20

La primera fila muestra 11 cartas, cada una con dos letras. La segunda fila muestra una reordenación de las cartas- ¿Cuál de las siguientes puede aparecer como segunda fila de las cartas reordenadas así?

M I S S I S S I P P I

K I L I M A N J A R O

P S I S I M I S S P I

A) ANJAMKILIOR B) RLIIMKOJNAA C) JANAMKILIROD) ANMAIKOLIRJ E) RAONJMILIKA

Si X = 1 2 + 2 2 + … +2005 2 e Y = 1.3 + 2.4 + 3.5 + … + 2004.2006 entonces X − Y vale

A) 2000 B) 2004 C) 2005 D) 2006 E) 030

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=+++ 7002

2007

A) 1003 B) 75 C) 223 D) 213 E) 123

Se plantan rosas en línea, a ambos lados del camino. La distancia entre cada dos plantas consecutivas es 2 m. ¿Cuántas plantas hay si el camino tiene 20 m de largo?

A) 22 B) 20 C) 12 D) 11 E) 10

El robot empieza a andar sobre el tablero desde la casilla A2 y en la dirección de la flecha. Puede ir siempre hacia delante, pero si se encuentra con dificultades, tuerce a la derecha. El robot se detendrá en el caso en que no pueda ir hacia adelante, después de haber girado a la derecha. ¿En qué casilla se parará?

A) B2 B) A1 C) E1 D) D1 E) nunca

¿Cuál es la suma de los puntos de las caras invisibles del doble dado? La suma de puntos en dos caras opuestas siempre vale 7.


Los puntos A = (2006, 2007), B = (2007, 2006), C = (−2006, −2007), D = (2006, −2007) y E = (2007, −2006) se marcan en unos ejes coordenados. El segmento horizontal es

A) AD B) BE C) BC D) CD E) AB

El cuadrado pequeño está inscrito en el grande como muestra la figura. Hallar el área del cuadrado pequeño.

A) 16 B) 28 C) 34 D) 36 E) 49

¿Cuál es el menor número de cuadraditos que hay que sombrear en la figura para que tenga un eje de simetría?

A) 4 B) 6 C) 5 D) 2 E) 3

AÑO 2007


1

5

2

3

4

6

7

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Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, por ejemplo, 13931.¿Cuál es la diferencia entre el mayor capicúa de 6 cifras y el menor capicúa de 5?

A) 989989 B) 989998 C) 998998 D) 999898 E) 999988

En la figura hay seis círculos iguales, tangentes entre sí y a los lados del rectángulo. Los vértices del rectángulo pequeño son los centros de 4 círculos. El perímetro del rectángulo pequeño es 60 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo grande?

A) 160 cm. B) 140 cm. C) 120 cm. D) 100 cm. E) 80 cm.

x es un entero estrictamente negativo. ¿Cuál de estos números es mayor?

A) x − 1 B) 2x C) −2x D) 6x − 2 E) x − 2


Los cuadrados están formados intersecando el segmento AB de 24 cm. por la quebrada AA1A2 . . . A12B (ver la Fig.). Hallar la longitud de AA1A2 . . . A12B.

A) 48 cm. B) 72 cm. C) 96 cm.D) 56 cm. E) 106 cm.

Sobre dos rectas paralelas x e y se marcan 6 puntos; 4 sobre x y 2 sobre y. ¿Cuál es el número total de triángulos cuyos vértices son los puntos marcados?

A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 18

Una encuesta prueba que 2/3 de los usuarios compran el producto A y 1/3 compran el producto B. Tras una campaña publicitaria de a poyo al producto B una nueva encuesta demuestra que 1/4 de los usuarios que preferían A están ahora comprando B. Ahora se tiene

A) 5/12 de los usuarios compran A, 7/12 compran BB) 1/4 de los usuarios compran A, 3/4 compran BC) 7/12 de los usuarios compran A, 5/12 compran BD) 1/2 de los usuarios compran A, 1/2 compran BE) 1/3 de los usuarios compran A, 2/3 compran B

Para obtener el número 8 8 , debemos elevar 4 4 a la potencia

A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 16

ABC y CDE son triángulos equiláteros iguales situados en un plano. Si el ángulo ACD = 80º, ¿cuánto vale el ángulo ABD?

A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º

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Se consideran los números 1, 2, 3, 4, . . . , 10.000 ¿Qué porcentaje de ellos son cuadrados perfectos?

A) 1% B) 1.5% C) 2% D) 2.5% E) 5%

Trazando 9 líneas (5 horizontales y 4 verticales) se hace una tabla de 12 casillas. Si se usan 6 horizontales y 3 verticales, solo habría 10 casillas. ¿Cuál es el máximo número de casillas que se pueden formar trazando a lo sumo 15 líneas?

A) 22 B) 30 C) 36 D) 40 E) 42

¿Cuáles de los siguientes objetos se pueden obtener girando en el espacio el objeto dado?

A) W e Y B) X y Z C) sólo Y D) ninguno de esos E) W, X e Y

Si se eligen tres números del cuadro, uno de cada fila y uno de cada columna, y se suman, ¿cuál es el mayor valor que puede tener la suma?

A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24

Los segmentos OA y OB, OC y OD se trazan desde el centro O del cuadrado KLMN a sus lados, de modo que, OA es perpendicular a OB y OC es perpendicular a OD (ver figura) Si el lado del cuadrado es 2, el área de la parte sombreada es

A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 2,25E) depende de la elección de los puntos B y C


Una calculadora defectuosa no muestra la cifra 1. Por ejemplo, si tecleamos 3131, aparece el número 33 , sin espacios. Miguel teclea un número de 6 cifras, pero solo aparece 2007. ¿Cuántos números puede haber tecleado Miguel?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

Un paseante hace un recorrido de 2 horas, consistente en dos partes llanas, una subida una bajada, y otra vez dos partes llanas, todas de la misma longitud. Su velocidad es 4 km/h en la parte llana, 3 km/h cuando sube y 6 km/h cuando baja. Cuál es la longitud del recorrido?

A) No podemos saberlo B) 6 km C) 7.5 km D) 8 km E) 10 km

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La primera cifra de un número de 4 cifras es igual al número de ceros del número; la segunda es igual al número de unos, la tercera es igual al número de doses y la cuarta es igual al número de treses. ¿Cuántos de esos números puede haber?

A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Al y Bill juntos pesan menos que Charlie y Dan; Charlie y Ed juntos pesan menos que Frank y Bill. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es necesariamente cierta?

A) Al y Ed juntos pesan menos que Frank y DanB) Dan y Ed juntos pesan más que Charlie y FrankC) Dan y Frank juntos pesan más que Al y CharlieD) Al y Bill juntos pesan menos que Charlie y FrankE) Al, Bill y Charlie juntos pesan lo mismo que Dan, Ed y Frank

El entero positivo n tiene 2 divisores, mientras que n+1 tiene 3 divisores. ¿Cuántos divisores tiene n + 2 ?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) depende de n

La tabla adjunta contiene números naturales. Nick y Pete tachan cuatro números cada uno, de modo que la suma de los números tachados por Nick es igual a tres veces la suma de los tachados por Pete. El número que queda es

A) 4 B) 7 C) 14 D) 23 E) 24

Se escriben cinco enteros en círculo, de manera que no hay dos o tres consecutivos cuya suma sea divisible por 3. ¿Cuántos de los 5 son divisibles por 3?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) imposible saberlo)

La figura muestra una pieza de puzzle, de dimensiones 20 cm. × 20 cm. Se desea cubrir con ellas una superficie de dimensiones 80 cm. × 80 cm. Los arcos de círculo se conectan unos con otros. ¿Cuál es la máxima longitud de la parte curva, en cm.?

A) 75π B) 100π C) 105π D) 160π E) 525π

Un número de tres cifras se divide por 9. La suma de las cifras del cociente disminuye en 9. ¿Cuántos números de tres cifras tienen esa propiedad?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 11

Dado un número, una extraña calculadora puede solo realizar estas operaciones: multiplicarlo por 2 ó por 3, o elevarlo al cuadrado o al cubo. Empezando por 15, y aplicando esta calculadora 5 veces consecutivas, ¿cuál de los siguientes números se puede obtener?

A) 28 · 35 · 56 B) 28 · 34 · 52 C) 23 · 33 · 53 D) 26 · 36 · 54 E) 2 · 32 · 56

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------------ Nivel 3 (-07) Pag 4/4 ----- --------


¿Cuántas cuerdas hay en la figura?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

En una clase hay 9 chicos y 13 chicas. La mitad de los alumnos de la clase han cogido un resfriado. ¿Cuántas chicas, al menos, se han resfriado?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

6 canguros se comen 6 sacos de hierba en 6 minutos. ¿Cuántos canguros se comerán 100 sacos de hierba en 100 minutos

A) 100 B) 60 C) 6 D) 10 E) 600

Los números 2, 3, 4 y un cuarto número se escriben en las casillas de la tabla 2 × 2 . Se sabe que la suma de los números de las primera fila es 9, y que la suma de los número en la segunda fila es 6. El número desconocido es

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4

El triángulo y el cuadrado tienen el mismo perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura completa (un pentágono)?

A) 12 cm B) 24 cm C) 28 cm D) 32 cmE) Depende de las medidas del triángulo

La florista tiene 24 rosas blancas, 42 rojas y 36 amarillas. A lo sumo, ¿cuántos ramos idénticos puede hacer, utilizando todas las flores?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

Un cubo tiene todos sus vértices recortados, como se muestra en la figura. ¿Cuántas aristas tiene el sólido resultante? .


AÑO 2008


2

3

7

1

4

5

6

------------ Nivel 3 (-08) Pag 1/4 ----- --------

Tres rectas se cortan en un punto. En la figura se dan dos ángulos. ¿Cuántos grados mide el ángulo gris?

A) 52 B) 53 C) 54 D) 55 E) 56

Daniel tiene 9 monedas de 2 céntimos y Ana tiene 8 de 5 céntimos. ¿Cuál es el menor número de monedas que deben intercambiarse para tener los dos la misma cantidad de dinero?

A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) imposible conseguirlo

¿Cuántos cuadrados se pueden trazar uniendo los puntos por segmentos?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6


Si hay dos autobuses en la línea circular, con un intervalo entre ellos de 25 min, ¿cuántos autobuses extra son necesarios para acortar el intervalo en el 60%?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

El matemático francés August de Morgan decía que él tenía х años en el año х 2. Se sabe quemurió en 1899. ¿Cuándo nació?


Decidimos visitar por ferry-boat cuatro islas A, B, C y D partiendo del continente. A la isla B puede llegarse solo desde la isla A o desde el continente, las islas A y C están unidas entre sí y con el continente, y la isla D solo está unida a la isla A. ¿Cuál es el mínimo número de viajes en ferry que hay que hacer para visitar todas las islas?

A) 6 B) 5 C) 8 D) 4 E) 7

Tom y Jerry cortan dos rectángulos iguales. Tom obtiene dos rectángulos con un perímetro de 40 cm cada uno, y Jerry dos rectángulos con perímetro de 50 cm cada uno.¿Cuál era el perí-metro de los rectángulos iniciales?


Una de las caras del cubo se corta a lo largo de sus diagonales (ver la figura). Dos de los siguientes desarrollos son imposibles. ¿Cuáles son?

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9

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12

13

14

8

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A) 1 y 3 B) 1 y 5 C) 3 y 4 D) 3 y 5 E) 2 y 4Los puntos A, B, C y D se marcan en la recta, en un cierto orden. Se sabe que AB = 13, BC = 11, CD = 14 y DA = 12. ¿Cuál es la distancia entre los puntos más alejados?


Cuatro círculos tangentes iguales de radio 6 cm se inscriben en el rectángulo. Si P es un vértice, y Q y R son puntos de tangencia, ¿cuál es el área del triángulo PQR?

A) 27 cm2 B) 45 cm2 C) 54 cm2

D) 108 cm2 E) 180 cm2

En una caja hay siete cartas numeradas del 1 al 7. El primer jugador toma, al azar, 3 cartas de la caja, y al segundo jugador toma 2 cartas (quedan otras 2 cartas en la caja).Entonces el primer jugador dice al segundo: “Sé que la suma de los números de tus cartas es par”. La suma de las cartas del primer jugador es

A) 10 B) 12 C) 6 D) 9 E) 15

En un triángulo isósceles ABC, la bisectriz CD del ángulo C es igual a la base BC. Entonces el ángulo CDA es igual a

A) 90º B) 100º C) 108º D) 120º E) imposible determinarlo

Un cubo de madera 11 x 11 x 11 se obtiene poniendo juntos 113 cubos unidad. ¿Cuál es el mayor número de cubos unidad visible desde un cierto punto de vista?

A) 328 B) 329 C) 330 D) 331 E) 332


En la igualdad KAN – GAR = OO cada letra representa un dígito (letras iguales, dígitos iguales). Hallar el mayor valor posible del número KAN

A) 987 B) 876 C) 865 D) 864 E) 785

En una clase, las chicas son más del 45%, pero menos del 50%. ¿Cuál es el menor número posible de chicas en esa clase?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Un chico siempre dice la verdad los Jueves y Viernes; siempre miente los martes y dice la verdad o miente, aleatoriamente, los demás días de la semana. Durante siete días consecutivos se lepregunta su nombre, y los seis primeros días contesta (en ese orden): John, Bob, John, Bob, Pit, Bob. ¿Qué contestó el séptimo día?

A) John B) Bob C) Pit D) Kate E) otra respuesta

Heidi y Pedro buscan una cabaña en las montañas. En la aldea ven una señal según la cual su destino está a 2 h y 55 minutos (a pie). Salen de la aldea en bicicleta a las 12 horas. A la 1h se sientan para descansar por primera vez y ven en otra señal que su destino está a 1h y 15 minutos (a pie). Después de un cuarto de hora continúan su camino a la misma velocidad que antes y sin nuevas paradas. ¿A qué hora llegan a su destino?

A) 2:30 pm B) 2:00 pm C) 2:55 pm D) 3:10 pm E) 3:20 pm

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Llamaremos a tres números primos “trío especial” si su producto es 5 veces su suma. ¿Cuántos “tríos especiales” hay?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 6

Se dan dos conjuntos de números de 5 cifras: el conjunto A, formado por los números cuyo producto de cifras es 25, y el conjunto B, cuyo producto de cifras es igual a 15. ¿Qué conjunto contiene más números y cuántas veces más números hay en uno que en el otro conjunto?

A) conjunto А, 5/3 veces B) conjunto А, 2 veces C)conjunto B, 5/3 vecesD) conjunto B, 2 veces E) Los dos conjuntos tiene el mismo número de elementos

Cuatro dados idénticos se colocan en fila. Los dados no son Standard, es decir, la suma de puntos en caras opuestas no vale, necesariamente, 7. Hallar la suma total de los puntos en las seis caras tangentes de los dados.

A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

Se dibujan rectas en el plano de manera que los ángulos de 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°, 90° estén entre los ángulos que forman dichas rectas. El menor número posible de rectas es

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

El máximo común divisor de dos enteros positivos m y n es 12, y el mínimo común múltiplo es un

cuadrado. ¿Cuántos cuadrados hay entre los 5 números nmmnmn⋅,,,,

4433?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Es imposible determinarlo

Sea M el producto del perímetro de un triángulo por la suma de sus tres alturas. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso, si el área del triángulo es 1?

A) M puede ser mayor que 1000 B) M > 6 C) M puede ser igual a 18D) si el triángulo es rectángulo, entonces M > 16 E) M puede ser menor que 12

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¿Cuál de los siguientes números es par?

A) 2009 B) 2 + 0 + 0 + 9 C) 200 – 9 D) 200 × 9 E) 200 + 9

En una fiesta hay 4 chicos y 4 chicas. Los chicos sólo bailan con chicas, y las chicas con chicos. Después preguntamos a todos cuántos compañeros de baile ha tenido cada uno. Los chicos dicen 3, 1, 2, 2. Tres de las chicas dicen 2, 2, 2.¿Qué número dijo la cuarta chica?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

La estrella de la figura está formada por 12 triángulos equiláteros iguales. El perímetro de la estrella es 36 cm. ¿Cuál es el perímetro del hexágono marcado?


Enrique reparte propaganda en su calle. Tiene que repartir en las casas numeradas impares. La primera casa en la que reparte tiene el número 15, y la última el 53. ¿En cuántas casas ha repartido?

A) 19 B) 20 C) 27 D) 38 E) 53

El área del cuadrado grande es 1 ¿Cuánto vale el área del cuadradito negro?

A) 1

100 B)

1300

C) 1

600 D)

1900

E) 1

1000

El producto de cuatro enteros positivos y distintos es 100. ¿Cuánto vale su suma?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

Hay perros y gatos en la casa. El número de patas de los gatos es el doble del número de hocicos de los perros. Entonces, el número de gatos es

A) el doble del número de perros B) igual al número de perrosC) la mitad del número de perros D) un cuarto del número de perrosE) Un sexto del número de perros

El ascensor puede llevar a 12 adultos o a 20 niños. ¿Cuál es el máximo número de niños que pueden subir con 9 adultos?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

AÑO 2009

1

8

4

6

3

2

5

7

------------ Nivel 3 (-09) Pag 1/4 ----- --------

:

En la figura, QSR es una recta, el ángulo ∠QPS = 12º y PQ = PS = RS ¿Cuánto mide el ángulo ∠QPR?

A) 36º B) 42º C) 54º D) 60º E) 84º

¿Cuál de los siguientes lazos consta de más de un trozo de cuerda?

A) I, III, IV y V B) III, IV y V C) I, III y V D) todos ellosE) Ninguna de las respuestas anteriores


¿Cuántos enteros positivos tienen el mismo número de cifras en la representación decimal de sus cuadrados y sus cubos?

A) 0 B) 3 C) 4 D) 9 E) infinitos

¿Cuál es el menor número de puntos que hay que quitar de la figura para que en la figura resultante no haya ninguna terna de puntos alineados?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7

Nicolás mide los 6 ángulos de dos triángulos (uno es acutángulo y el otro es obtusángulo). Recuerda cuatro de los ángulos: 120º, 80º, 55º, y 10º. ¿Cuánto mide el menor ángulo del triángulo acutángulo?

A) 5º B) 10º C) 45º D) 55º E) imposible de determinar

¿Qué porción del cuadrado exterior ha sido sombreada?

A) 14

B) 12π C) 2

16π + D)

4π E) 1

3

La figura muestra un sólido formado por 6 caras triangulares. En cada vértice hay un número. Para cada cara, consideramos la suma de los tres números que hay en los vértices de esa cara. Si todas las sumas son iguales, y dos de los números, como se muestra en la figura, son 1 y 5, ¿cuál es la suma de los 5 números de los vértices del sólido?

A) 9 B) 12 C) 17 D) 18 E) 24

12

13

10

9

11

14

15

------------ Nivel 3 (-09) Pag 2/4 ----- --------

Hay 25 personas en una fila, que pueden ser veraces (dicen siempre la verdad) o mentirosos (siempre mienten). Todos, excepto la primera persona de la fila, dicen que la persona que está delante de él es un mentiroso, y la primera persona de la fila dice que todos los que están detrás de él son mentirosos.¿Cuántos mentirosos hay en la fila?

A) 0 B) 12 C) 13 D) 24 E) imposible saberlo

En la igualdad E I G H T T W OF O U R⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

, letras distintas representan cifras distintas y letras

iguales representan cifras iguales. ¿Cuántos valores distintos puede tener el producto T·H·R·E·E ?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Se quieren colorear las casillas de la tabla con los colores P, Q, R y S de tal manera que casillas contiguas no estén pintadas del mismo color (las casillas que comparten un vértice o un lado se consideran contiguas). Algunas de las casillas se muestran coloreadas en la figura. ¿Cuáles son las posibilidades de coloración de la casilla sombreada?

A) sólo Q B) sólo R C) sólo S D) R ó SE) la situación mostrada es imposible

La figura muestra un eneágono regular ¿Cuál es la medida del ángulo marcado en X?

A) 40º B) 45º C) 50º D) 55 E) 60º

Los tres primeros términos de la sucesión aparecen en la figura.

Sin incluir el cuadrado sombreado, ¿cuántos cuadrados unidad hacen falta para representar el décimo término de la sucesión?

A) 76 B) 80 C) 84 D) 92 E) 100


Empezando en el punto P, nos movemos a lo largo de las aristas del cubo de la figura, siguiendo la dirección de la flecha. Al final de cada arista hay que elegir entre ir a la derecha o a la izquierda. Se elige alternadamente ir a la derecha o a la izquierda. Después de cuántas aristas volveremos al punto P por primera vez?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12

16

19

18

17

20

21

------------ Nivel 3 (-09) Pag 3/4 ----- --------

¿Cuántos números de diez cifras, formados únicamente con las cifras 1, 2 y 3, son tales que dos cifras consecutivas cualesquiera difieren en 1?.

A) 16 B) 32 C) 64 D) 80 E) 100

Las fracciones 1/3 y 1/5 están situadas en la recta numérica, como se muestra en la figura.

¿Dónde está la fracción 1/ 4 ?

A) a B) b C) c D) d E) e

Se hacen tres cortes a lo largo del cubo grande para formar 8 paralelepípedos más pequeños. ¿Cuál es la razón de la superficie total de los 8 paralelepípedos a la superficie del cubo original?

A) 1 : 1 B) 4 : 3 C) 3 : 2 D) 2 : 1 E) 4 : 1

Los divisores del número N, excepto N y 1, se escriben uno tras otro. Ocurre que el mayor de los divisores escritos es 45 veces mayor que el más pequeño de ellos. ¿Cuántos números N satisfacen esta condición?

A) 0 B) 1 C) 2 D) más de 2 E) imposible saberlo

Un cuadrado se divide en 2009 cuadrados cuyas longitudes de los lados son números enteros. ¿Cuál es el menor valor posible del lado del cuadrado original?

A) 44 B) 45 C) 46 D) 503E) No se puede dividir un cuadrado en tales 2009 cuadrados

En el cuadrilátero PQRS, es PQ = 2006, QR = 2008, RS = 2007 y SP = 2009. ¿Qué ángulos interiores del cuadrilátero son necesariamente menores que 180º ?.

A) P, Q, R B) Q, R, S C) P, Q, S D) P, R, S E) P, Q, R, S

Si coloco un cuadrado 6 cm × 6 cm sobre un triángulo, puedo cubrir hasta un 60% del triángulo. Si

coloco el triángulo sobre el cuadrado, puedo cubrir hasta 23

del cuadrado. ¿Cuánto vale el área

del triángulo?

A) 4225

+

cm 2 B) 24 cm 2 C) 36 cm 2 D) 40 cm 2 E) 60 cm 2

Viernes escribe en una fila varios números naturales diferentes, menores que 11. Robinsón Crusoe examina esos números y observa con satisfacción que en cada par de números consecutivos (en la fila), uno de los números es divisible por el otro. ¿Cuál es el número máximo de enteros que ha podido escribir Viernes?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

En el triángulo ABC, el ángulo B es 20º y el ángulo C es 40º. La longitud de la bisectriz del ángulo A es 2. Calcular BC − AB.

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 4 E) Imposible saberlo

24

25

22

23

26

27

28

29

30

------------ Nivel 3 (-09) Pag 4/4 ----- --------


¿Cuánto vale 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89?

A) 405 B) 404 C) 396 D) 389 E) otro número

¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura?

A) 4 B) 2 C) 1 D) 0 E) más de 4

En una fábrica de juguetes, los canguros de peluche, todos iguales, se colocan en cajas cúbicas de cartón. Ocho de estas cajas se embalan en cajas cúbicas mayores, de plástico, sin desperdicio de espacio. ¿Cuántas cajas de canguros se apoyan en el fondo de cada una de esas cajas de plástico?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

¿Cuál es el perímetro de la figura adjunta, en la cual todos los ángulos son rectos?

A) 6a + 6b B) 6a + 8b C) 6a + 4b D) 3a + 4b E) 3a + 8b

Elena dibuja los seis vértices de un hexágono regular y traza segmentos uniendo esos puntos para obtener una figura geométrica. Esa figura seguro que no es un

A) trapecio B) triángulo rectángulo C) cuadradoD) rectángulo E) triángulo equilátero

Ana escribe siete enteros consecutivos, de modo que la suma de los tres menores es 33. ¿Cuál es la suma de los tres mayores?

A) 39 B) 37 C) 45 D) 48 E) 42

Un leñador contó 72 tacos de madera que obtuvo después de hacer 53 cortes con la sierra en troncos mayores. Como serró un tronco de cada vez, ¿cuántos troncos había antes de empezar a cortarlos?

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

Siete piezas de 3cm 1cm× se colocan en una caja de 5cm 5cm× . Se pueden deslizar las piezas en la caja, de modo que haya espacio para una pieza más. ¿Cómo mínimo, cuántas piezas hay que mover?

A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) imposible saberlo

AÑO 2010

1

3

2

7

4

6

5

8

------------ Nivel 3 (-2010) Pag 1/4 ----- --------

Un cuadrado se divide en cuatro cuadraditos iguales. Cada uno de esos cuadraditos se pinta de gris o de blanco. El dibujo muestra en diferentes posiciones la misma manera de pintar el cuadrado cuando pintamos uno de los cuadraditos de gris. ¿De cuántas maneras diferentes se puede pintar el cuadrado?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

La suma de los cien primeros números pares positivos, menos la suma de los cien primeros números impares positivos es igual a

A) 0 B) 50 C) 100 D) 10100 E) 15150


La abuela hizo una tarta para los nietos que vienen a visitarla. Ella quiere que todos coman la misma cantidad de tarta, pero no se acuerda si son 3, 5 ó 6 los nietos que vendrán. Para asegurarse que eso ocurra, ¿en cuántos pedazos iguales debe dividir la tarta?

A) 12 B) 15 C) 18 D) 30 E) 32

¿Cuál de los números siguientes es el menor número de dos cifras que no es igual a la suma de tres números distintos de una cifra ?

A) 10 B) 15 C) 25 D) 26 E) 28

Cati tarda 18 minutos en hacer una correa uniendo tres correas menores con hilos extras. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer otra correa, uniendo seis correas menores y siguiendo el mismo método?

A) 27 min B) 30 min C) 36 min D) 40min E) 45 min

En el cuadrilátero ABCD tenemos AD = BC ; DÂC = 50º ; ACD ˆ =65º ; BCA ˆ =70º

(ver la figura). ¿Cuánto mide el ângulo ˆABC ?

A) 50º B) 55º C) 60º D) 65º E) 70º

María enrolló un trozo de cuerda en un pedazo de madera, como se muestra en la figura. Si se hace una rotación de 180º alrededor de un eje horizontal, ¿cómo se verá la parte de atrás del pedazo de madera con la cuerda?

Hay 50 bolas en una caja, blancas, azules y rojas. El número de bolas blancas es once veces el número de bolas azules. Hay menos bolas rojas que blancas, pero hay más bolas rojas que azules. ¿Cuántas bolas rojas hay menos que bolas blancas en la caja?

A) 2 B) 11 C) 16 D) 19 E) 30

12

13

10

11

14

9

15

16

------------ Nivel 3 (-2010) Pag 2/4 ----- --------

¿Cuál es el menor número de rectas necesarias para dividir el plano en exactamente 5 regiones?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) infinitas

En la figura ABCD es un rectángulo y PQRS es un cuadrado. La región sombreada tiene la mitad del área del rectángulo ABCD. ¿Cuál es la medida del segmento PX ?

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 4

Si 1 2 3 4 5a b c d e− = + = − = + = − , ¿cuál de los números a, b, c, d, e es el mayor?

A) a B) b C) c D) d E) e

La figura está formada por semicírculos de radios 2 cm, 4 cm y 8 cm. ¿Qué fracción de la figura tiene color negro?

A) 13

B) 14

C) 15

D) 34

E) 23


En la figura hay nueve regiones interiores a las circunferencias. Se escriben los números de 1 a 9, uno en cada región, de modo que la suma de los números en el interior de cada circunferencia sea 11. ¿Qué número deberá ser escrito en la región indicada por el signo de interrogación?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

En un mercado de trueque, los animales se cambian de acuerdo con la lista de conversión mostrada a la derecha. ¿Cuál es el menor número de gallinas que debe llevar una persona al mercado, si quiere volver con un ganso, un pavo y un gallo?

A)14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

1 pavo = 5 gallos 1 ganso + 2 gallinas = 3 gallos

4 gallinas = 1 ganso

En 18 cartones se escriben los números 4 y 5 (un número en cada cartón). La suma de todos los números escritos es un número divisible por 17. ¿En cuántos cartones se escribió el número 4?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

19

18

23

17

20

21

22

------------ Nivel 3 (-2010) Pag 3/4 ----- --------

Una tira de papel fue doblada tres veces por la mitad y después fue desdoblada, de modo que, vista de lado, se pueden observar los dobleces hacia arriba o hacia abajo. ¿Cuál de las siguientes NO podrá ser observada?

La profesora escribe los números naturales de 1 a 10 en el encerado y pide a los alumnos que hagan lo siguiente: uno de ellos borra dos de esos números y escribe su suma disminuida en uno; el siguiente borra dos de los números restantes y hace lo mismo. El tercero repite la operación, y así sucesivamente, hasta que queda un único número . ¿Cuál es?

A) un número menor que 11 B)11 C) 46D) un número mayor que 46 E) un número mayor que 11 y menor que 46

En una sala hay algunas personas que dicen siempre la verdad y las demás mienten siempre. En un cierto momento, tres personas hacen las siguientes afirmaciones: 1ª persona: “No hay más que tres personas en esta sala. Todos somos mentirosos.” 2ª persona: “No hay más que cuatro personas en esta sala. Algunas no son mentirosas.” 3ª persona: “Hay cinco personas en esta sala. Tres son mentirosas.” ¿Cuántas personas había en la sala y cuántas eran mentirosas?

A) 3 personas, 1 mentirosa B) 4 personas, 1 mentirosa C) 4 personas, 2 mentirosasD) 5 personas, 2 mentirosas E) 5 personas, 3 mentirosas

El Canguro tiene una gran cantidad de cubitos 1 1 1× × , cada uno de un solo color, pudiendo haber cubitos del mismo color. Quiere usar 27 de esos cubos para montar un cubo 3 3 3× × en el cual dos cubitos cualesquiera con, al menos, un vértice común tengan colores diferentes. ¿Cuántos cubitos de colores diferentes, como mínimo, deben utilizarse?

A) 6 B) 9 C) 8 D) 12 E) 27

En la figura, el triángulo grande es equilátero y consta de 36 triángulos equiláteros más pequeños, de área 1 cm2 cada uno. ¿Cuál es el área del triángulo ABC?


El mínimo común múltiplo de 24 y x es menor que el mínimo común múltiplo de 24 e y. Entonces yx

no

puede ser igual a:

A) 78

B) 87

C) 23

D) 67

E) 117

En la figura, O7α = y las medidas de los segmentos

1 1 2 2 3, , ,OA A A A A K son todas iguales. ¿Cuál es el mayor número de segmentos distintos que pueden dibujarse en esas condiciones, a partir del punto A1 ?

A) 13 B) 12 C) 11 D) 10E) cuantos queramos

25

26

27

29

24

28

30

------------ Nivel 3 (-2010) Pag 4/4 ----- --------

------------ Nivel 3 (-2011) Pag 1/4 ----- --------


¿Cuál de los siguientes números es mayor?

A ) 20111 B) 12011 C) 1 x 2011 D) 1 + 2011 E) 1 / 2011

Elsa tiene 3 tetraedros y 5 cubos.

¿Cuántas caras tiene en total?

A) 42 B) 48 C) 50 D) 52 E) 56

Un paso cebra tiene bandas blancas y negras alternadas, todas ellas de la misma anchura, 50 cm. El paso empieza y termina con una banda blanca. Hay 8 bandas blancas. ¿Cuál es la anchura total del paso cebra?

A ) 7 m B) 7,5 m C) 8 m D) 8,5 m E) 9 m

El hámster Matías quiere ir a la Tierra Encantada atravesando varios túneles, en los que hay 16 semillas de calabaza distribuidas como se indica en la figura. ¿Cuál es el mayor número de semillas que se puede llevar consigo, si no se le permite pasar por cada cruce más que una vez?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

Mi reloj digital acaba de cambiar la hora y muestra 20:11. ¿Cuántos minutos después mostrará otra hora en la que aparezcan las cifras 0, 1, 1, 2 en algún orden?

A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60

Una calculadora tiene el chip enloquecido y divide en vez de multiplicar, y resta en vez de sumar. Si se teclea en ella (12 x 3) + (4 x 2), ¿qué aparece en la pantalla?

A) 2 B) 6 C) 12 D) 28 E) 38

En mi calle hay 17 casas. En el lado “par”, las casas se numeran 2, 4, 6, etc; y en el “impar”, 1, 3, 5, etc. Yo vivo en la última casa del lado “par”, que lleva el número 12. Mi primo vive en la última casa del lado “impar”. ¿Cuál es el número de su casa?

A) 5 B) 7 C) 13 D) 17 E) 21

El gato Félix pesca 12 peces en tres días. Cada día pesca más peces que en el inmediatamente anterior. El tercer día pesca menos peces que los que ha cogido los dos primeros días juntos. ¿Cuántos pescó el tercer día?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

AÑO 2011

1

3

8

7

2

5

6 4

6

------------ Nivel 3 (-2011) Pag 2/4 ----- --------

Se forma una lista con todos los números de 3 cifras tales que la suma de sus cifras sea 8. ¿Cuánto vale la suma del mayor y el menor número de esta lista?

A) 707 B) 907 C) 916 D) 1000 E) 1001

La figura muestra una pieza en forma de L compuesta por 4 cuadrados. Se quiere añadir un cuadradito a la pieza de manera que la figura resultante tenga un eje de simetría. ¿De cuántas maneras distintas se puede hacer esto?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6


¿Cuál es el valor de (2011x 2,011)/(201,1 x 20,11)?

A) 0,01 B) 0,1 C) 1 D) 10 E) 100

Tenemos 9 perlas, de pesos 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g y 9 g. Se hacen minipulseras de 2 perlas cada una. El peso total de las perlas en las 4 pulseras es 17 g, 13 g, 7 g y 5 g, respectiva-mente.¿Cuánto pesa la perla que no se ha usado?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

La figura muestra tres cuadrados. El cuadrado intermedio está formado uniendo los puntos medios de los lados del más grande, y de la misma forma se dibuja el más pequeño. El área del cuadrado menor es 6 cm2. ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del mayor y el intermedio?


Cada región de la figura se colorea con uno de estos cuatro colores: Rojo (R) , Verde (G) , Naranja (O) y Amarillo (Y). La figura muestra solamente tres regiones coloreadas, y dos regiones que tengan alguna frontera común tiene colores diferentes.

El color de la región X es:

A) Rojo B) Naranja C) VerdeD) Amarillo E) Imposible saberlo

El Atlético Escalerillas, en tres partidos, marcó tres goles y encajó uno. Ganó uno de los partidos, empató otro y perdió el tercero. ¿Cuál fue el resultado del partido que ganó?

A) 20 B) 30 C) 10 D) 41 E) 01

Un cuadrado se corta en seis trozos rectangulares, como se ve en la figura.

Cuando se suman los perímetros de las seis piezas el resultado es 120 cm. ¿Cuál es el área del cuadrado?

A) 48 cm2 B) 64 cm2 C) 110,25 cm2

D) 144 cm2 E) 256 cm2

12

15

11

9

10

13

14

16

------------ Nivel 3 (-2011) Pag 3/4 ----- --------

Tenemos la siguiente lista de números: 17, 13, 5, 10, 14, 9, 12, 16. ¿Qué dos números se pueden eliminar de la lista sin que cambie la media aritmética?

A) 12 y 17 B) 5 y 17 C) 9 y 16 D) 10 y 12 E) 10 y 14

Lali dibuja un segmento DE de longitud 2 cm en una hoja de papel. ¿Cuántos puntos diferentes F puede dibujar en el papel de modo que el triángulo DEF sea rectángulo y su área valga 1 cm2?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

El número positivo x es menor que 1, e y es mayor que 1. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor?

A) xy B) x + y C) yx D) y E) la respuesta depende de los valores de x e y

La figura 1 muestra el desarrollo de un cubo: Se traza una línea oscura como se indica en la figura 2, dividien-do la superficie del cubo en dos partes iguales Se desdobla el cubo, y el resultado es UNO de los siguientes diagramas. ¿Cuál?


El número de cinco cifras “24X8Y” es divisible por 4, por 5 y por 9.¿Cuánto vale la suma de las cifras X + Y?

A) 13 B) 10 C) 9 D) 5 E) 4

Lina ha colocado dos piezas grises en el tablero 5x5, como se muestra en la figura. ¿Cuál de las cinco piezas siguientes se ha de colocar en la parte vacía del tablero de modo que ninguna de las cuatro restantes pueda colocarse en el espacio vacío que quede? (las piezas se pueden girar o voltear, pero deben cubrir cuadrados por completo)

A) B) C) D) E)

Los tres cuervos Isaac, Max y Oscar tienen, cada uno, su propio nido. Isaac dice: “Estoy más de dos veces más lejos de Max que de Óscar”. Max dice: “Estoy más de dos veces más lejos de Oscar que de Isaac”. Oscar dice: “Estoy más de dos veces más lejos de Max que de Isaac”. Al menos dos de ellos dicen la verdad. ¿Quién miente?

A) Isaac B) Max C) Óscar D) Ninguno de los tres E) Imposible saberlo

20

18

19

21

17

22

23

------------ Nivel 3 Pag 4/4 ----- --------

La figura muestra un cuadrado de lado 3 cm dentro de un cuadrado de lado 7 cm, y un tercero, de lado 5 cm, que interseca los dos primeros. Cuál es la diferencia entre el área de la parte negra y el área de la parte gris?

A) 0 cm2 B) 10 cm2 C) 11 cm2 D) 15 cm2 E) Imposible saberlo

Matías lanza dardos a una diana, y obtiene (varias veces) 5, 8 y 10 puntos, y ninguna otra puntuación. El número de veces que obtiene 8 puntos es el mismo que el que obtiene 10. Consigue 99 puntos en total, y el 25% de sus lanzamientos fueron fuera de la diana. ¿Cuántos lanzamientos hizo?

A) 10 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24

En un cuadrilátero convexo ABCD, con AB = AC, se conocen los siguientes ángulos: BAD = 80º; ABC = 75º ; ADC = 65º. ¿Cuánto mide el ángulo BDC?

A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 45º

Hace 7 años, la edad de A era múltiplo de 8, y dentro de ocho años, su edad será múltiplo de 7. Hace 8 años, la edad de B era múltiplo de 7, y dentro de 7 años su edad será múltiplo de 8. Ninguno de ellos es centenario. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es cierta:

A) B es dos años mayor que A B) B es un año mayor que A C) A y B tienen la misma edadD) B es un año más joven que A E) B es dos años más joven que A

En la expresión (letras distintas representan cifras distintas

no nulas, y letras iguales, cifras iguales) . ¿Cuál es el menor valor entero positivo de esa expresión?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7

La figura de la izquierda muestra una pieza formada por dos rectángulos. Se han marcado las longitudes de dos de los lados, 11 y 13. La pieza se corta en tres partes que se colocan formando un triángulo, como muestra la figura de la derecha.

¿Cuánto vale x?

A) 36 B) 37 C) 38 D) 39 E) 40

Una cuerda de un círculo de área 1 divide en dos partes iguales al radio que es perpendicular a la cuerda. La cuerda divide al círculo en dos partes, de la que la más pequeña tiene área S. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es cierta?

A) 61S B)

61S C)

41S

61

D) 41S E)

41S

29

30

25

24

27

28

26

------------ Nivel 3 (-2013) Pag 1/4 ----- --------


El triángulo grande de la figura es equilátero y su área es 9. Mediante tresrectas paralelas a los lados, que dividen a éstos en 3 partes iguales, se hasubdividido en la forma que se ve en la figura. ¿Cuánto vale el área de laparte gris?

A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Es sabido que 11101

1111= . ¿Cuánto vale

303

6666

101

3333+ ?

A) 5 B) 9 C) 11 D) 55 E) 99

La proporción entre la sal y el agua contenidas en el agua del mar de Chipre es 7 : 193. ¿Cuántos kilosde sal hay en 1000 kg de agua de mar de Chipre?

A) 35 B) 186 C) 193 D) 200 E) 350

Ana tiene la hoja de papel cuadrada de la figura 1 ycortándola por las líneas, recorta tantos trozos comopuede de la forma de la figura 2¿Cuál es el menor número de cuadraditos que quedan enla hoja?

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

El Oso Yogi quiere decirle al Canguro un número tal que el producto de sus cifras sea 24. ¿Cuánto valela suma de las cifras del menor número que Yogi le puede decir?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

Una bolsa no transparente contiene bolas de 5 colores distintos. Dos son rojas; tres son azules, diezson blancas, cuatro son verdes y tres son negras.. Se extraen las bolas de la bolsa a ciegas y sinreemplazamiento. ¿Cuál es el menor número de bolas que hay que sacar de la bolsa para estar segurosde que dos de ellas son del mismo color?

A) 2 B) 12 C) 10 D) 5 E) 6

Alex enciende una vela cada diez minutos. Cada una arde durante 40 minutos y luego se apaga.¿Cuántas velas pueden estar encendidas 55 minutos después que Alex encendió la primera?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

El promedio de niños en 5 familias no puede ser

A) 0,2 B) 1,2 C) 2,2 D) 2,4 E) 2,5

AÑO 2013


2

3

7

5

6

8

1

4

------------ Nivel 3 (-2013) Pag 2/4 ----- --------

Marcos y Lisa están en extremos opuestos de una fuente circular. Empiezan a correr, en el sentido delas agujas del reloj, alrededor de la fuente. La velocidad de Marcos es 9/8 de la de Lisa. ¿Cuántasvueltas completas a la fuente ha dado Lisa cuando Marcos la alcanza por primera vez?

A) 4 B) 8 C) 9 D) 2 E) 72

Los enteros positivos a, b, c son tales que 14ba =× , 10cb =× y 35ac =× (el signo x es de

multiplicar). ¿Cuánto vale a + b + c?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18


Carina y un amigo están jugando a los barcos en el tablero 5 x 5. Como se ve enla figura, Carina ya ha colocado dos barcos. Todavía debe colocar un tercero, dedimensiones 3x1, ocupando exactamente tres casillas y sin que ninguno de sustres barcos tengan ningún punto común. ¿Cuántas posiciones tiene para esteúltimo barco?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

En la figura, α = 55º, β = 40º y γ = 35º. ¿Cuántos grados mide δ?

A)100º B) 105º C) 120º D) 125º E) 130º

El perímetro de un trapecio es 5 y las medidas de las longitudes de sus lados son números enteros.

¿Cuánto miden los dos ángulos menores del trapecio?

A) 30º y 30º B) 60º y 60º C) 45º y 45º D) 30º y 60º E) 45º y 90º

Uno de los siguientes desarrollos NO puede ser doblado para formar un cubo. ¿Cuál?

Basilio escribe varios enteros consecutivos. ¿Cuál de los siguientes NO puede ser el porcentaje de

números impares entre ellos?

A) 40 B) 45 C) 48 D) 50 E) 60

Los lados del rectángulo ABCD son paralelos a los ejes decoordenadas, como se muestra en la figura. ABCD está en el cuartocuadrante. Las coordenadas de los cuatro vértices, A, B, C y D sonenteras. Para cada vértice, se calcula el cociente entre su ordenada

y su abscisa (y:x). ¿Cuál de los cuatro vértices da el menor valor deeste cociente?

A) A B) B C) C D) D E) Depende del rectángulo.

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9

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------------ Nivel 3 (-2013) Pag 3/4 ----- --------

Se escriben en orden creciente, en el encerado, todos los números de 4 cifras que tienen las mismascifras que 2013. De los escritos, ¿cuál es la mayor diferencia posible entre dos números contiguos?

A) 702 B) 703 C) 693 D) 793 E) 198

En la cuadrícula 6x8 de la figura, 24 de las casillas han sidointersecadas por las diagonales. Si se trazasen las diagonales de unacuadrícula 6x10, ¿cuántas casillas NO serían intersecadas por ningunadiagonal?

A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32

Andrés, Beatriz, Catalina, Daniel y Eduardo han nacido, (no respectivamente) los días, meses y añosque se indican: 20/02/2001 ; 12/03/2000; 20/03/2001 ; 12/04/2000 y 23/04/2001. Andrés y Eduardo hannacido el mismo mes. Beatriz y Catalina, también el mismo mes. Andrés y Catalina, el mismo día demeses distintos. También Daniel y Eduardo han nacido el mismo día de meses distintos. ¿Cuál de loscinco es más joven?

A) Andrés B) Beatriz C) Catalina D) Daniel E) Eduardo.

Juan ha construido varias torres de cubos sobre una base cuadrada 4 x 4. Los

números indican el número de cubos de cada torre. Cuando la construcción se

ve desde la parte de atrás (Back en la figura), ¿Cómo se ve?


La figura muestra un cuadrilátero gris KLMN embutido en unacuadrícula. Los lados de cada casilla de la cuadrícula miden 2 cm.cadauno. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero KLMN?


Sea S el número de cuadrados perfectos entre los enteros desde 1 a 20136. Sea Q el número de cubos

perfectos entre esos mismos enteros. Entonces:

A) S = Q B) 2S = 3Q C) 3S = 2Q D) S = 2013Q E) S3 = Q2

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------------ Nivel 3 (-2013) Pag 4/4 ----- --------

Juan elige un entero positivo de 5 cifras y borra una de ellas para obtener así un número de 4 cifras. Lasuma de éste número y el inicial es 52713. ¿Cuánto vale la suma de las cifras del número original?

A) 26 B) 20 C) 23 D) 19 E) 17

Un jardinero quiere plantar 20 árboles (arces y tilos)a lo largo de una avenida en el parque. El número deárboles entre dos arces cualesquiera no debe ser igual a 3. De los 20 árboles, ¿cuál es el mayor númerode arces que puede plantar?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

Andrés y Daniel corrieron una maratón. Una vez terminada la carrera, observaron que Andrés terminópor delante del doble de corredores que terminaron delante de Daniel; y que Daniel terminó por delantede 1,5 veces el número de corredores que terminaron por delante de Andrés. Andrés terminó en lavigésimo primera posición. ¿Cuántos corredores tomaron parte en la maratón?

A) 31 B) 41 C) 51 D) 61 E) 81

Cuatro coches entran en una rotonda al mismo tiempo, cada unoprocedente de una dirección distinta, como se ve en la figura. Cada uno deellos no llega a completar una vuelta completa a la rotonda, y ningún par deellos salen por la misma salida. ¿De cuantas maneras distintas pueden loscoches salir de la rotonda?

A) 9 B) 12 C) 15 D) 24 E) 81

Una sucesión empieza con 1, -1, -1, 1, -1. Después del quinto término, cada término es igual al productode los dos inmediatamente anteriores. ¿Cuánto vale la suma de los 2013 primeros términos?

A) −1006 B) − 671 C) 0 D) 671 E) 1007

La abuela está cociendo 6 postres, uno tras otro, y los va numerando de 1 a 6 (1 el primero). Mientrashace esto, sus nietos entran en la cocina y se comen el postre más reciente (que es el que está máscaliente). ¿Cuál de los siguientes NO puede ser el orden en el que los postres desaparecen?

A) 123456 B) 125436 C) 325461 D) 456231 E) 654321

Cada uno de los cuatro vértices y 6 aristas del tetraedro de la figura semarca con uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 11 (el 10 no seusa). Cada número se usa exactamente una vez. Para cualesquierados vértices del tetraedro, la suma de los números en los vértices esigual al número de la arista que los une. La arista PQ está marcada conel 9. ¿Con qué número está marcada la arista RS?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 11

Un entero positivo N es menor que la suma de sus tres mayores divisores (naturalmente, excluyéndose a

sí mismo). ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdad?

A) Todos los tales N son divisibles por 4 B) Todos los tales N son divisibles por 5

C) Todos los tales N son divisibles por 6 D) Todos los tales N son divisibles por 7E) No existe ningún N cumpliendo esa condición

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------------ Nivel 3 (-2014) Pag 1/4 ----- --------


Cada año, la fecha internacional del Concurso Canguro es el tercer jueves de Marzo. ¿Cuál es la fecha más tardía posible en cualquier año?

A) 14 de marzo B) 15 de marzo C) 20 de marzo D ) 21 de marzo E) 22 de marzo

¿Cuántos cuadriláteros se ven en la figura?

A) Ninguno B) 1 C) 2 D) 4 E) 5

¿Cuál es el resultado de la operación 2014 x 2014 : 2014 – 2014?

A) 0 B) 1 C) 2013 D) 2014 E) 4028

El área del rectángulo ABCD es 10. Los puntos M y N son los puntos medios de los lados AD y BC. ¿Cuál es el área del cuadrilátero MBND?

A) 0,5 B) 5 C) 2,5 D) 7,5 E) 10

El producto de dos números es 36 y su suma 37. ¿Cuánto vale su diferencia?

A) 1 B) 4 C) 10 D) 26 E) 35

Tenemos varias piezas cuadradas de área 4. Las cortamos en cuadrados y triángulos rectángulos como se muestra en la figura de la izquierda. Luego reunimos algunas de ellas y formamos el pájaro que se ve en la figura de la derecha. ¿Cuál es el área del pájaro?

A) 3 B) 4 C) 9/2 D) 5 E) 6

Un jarro con agua está lleno hasta la mitad. Se le echan 2 litros de agua, y entonces está lleno hasta las tres cuartas partes. ¿Cuál es la capacidad del jarro?

A) 10 litros B) 8 litros C) 6 litros D) 4 litros E) 2 litros

Construimos el sólido de la figura con 7 cubos de arista 1. ¿Cuántos cubos unidad tenemos que añadir para formar un cubo de arista 3?

A ) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

AÑO 2014


3

7

5

2

4

1

6

8

------------ Nivel 3 (-2014) Pag 2/4 ----- --------

¿Cuál de las siguientes operaciones da el resultado mayor?

A) 44x777 B) 55x666 C) 77x444 D) 88x333 E) 99x222

El collar de perlas de la figura contiene perlas grises y blancas.

Quitamos una cuenta tras otra de uno u otro de los extremos del collar y nos paramos cuando hemos cogido la quinta cuenta gris. ¿Cuál es el mayor número de cuentas blancas que hemos podido coger?

A)4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8


A y B comienzan a la vez sus clases de piano. A tiene clase dos veces por semana, y B tiene una clase en semanas alternas. En un momento dado, A ha tenido 15 lecciones más que B. ¿Cuántas semanas han pasado?

A) 30 B) 25 C) 20 D) 15 E ) 10

El área de cada círculo de la figura es 1 cm2. El área

común a dos círculos superpuestos es (1/8) cm2.

¿Cuál es el área de la región cubierta por los cinco círculos?

A) 4 cm2

B) 2

9cm

2 C)

8

35cm

2

D) 8

9cm

2 E)

4

19cm

2

Este año la suma de las edades de una abuela, su hija y su nieta es 100 años y además las tres edades son potencias de 2. ¿Qué edad tiene la nieta?

A) 1 año B) 2 años C) 4 años D) 8 años E) 16 años

Cinco rectángulos iguales están situados dentro de un cuadrado de 24 cm de lado, como se muestra en la figura.

¿Cuál es el área de cada rectángulo?

A) 12 cm2 B) 16 cm2 C) 18 cm2 D) 24 cm2 E ) 32 cm2

El corazón y la flecha están en las posiciones mostradas en la figura. Empiezan a moverse al mismo tiempo. La flecha se mueve tres lugares en sentido horario y el corazón se mueve cuatro lugares en sentido antihorario, y entonces se paran. Se repite esta rutina una y otra vez. ¿Después de cuántas rutinas estarán el corazón y la flecha en el mismo triángulo, por primera vez?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) Nunca

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9

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------------ Nivel 3 (-2014) Pag 3/4 ----- --------

La figura muestra el triángulo ABC con la altura BH y la bisectriz AD. El ángulo obtuso entre BH y AD es 4 veces el ángulo DAB. ¿Cuánto mide el ángulo CAB?

A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 90º

Seis amigos comparten un piso con dos cuartos de baño, que utilizan cada mañana empezando a las 7h en punto. Nunca hay más de una persona utilizando cada cuarto de baño. Tardan 8, 10, 12, 17, 21 y 22 minutos, respectivamente, en utilizar el cuarto de baño. ¿Cuál es la hora más temprana a la que pueden terminar de usarlos?

A) 7h 45m B) 7h 46m C) 7h 47m D) 7h 48m E) 7h 50m

Un rectángulo tiene lados de longitudes 6 cm y 11 cm. Se elige uno de los lados largos. Se trazan las bisectrices de los ángulos en los extremos de ese lado, que dividen al otro lado largo en tres partes. ¿Cuáles son las longitudes de esas tres partes?

A) 1cm, 9 cm, 1 cm B) 2 cm, 7 cm, 2 cm C) 3 cm, 5 cm, 3 cm

D) 4 cm, 3 cm, 4 cm E) 5 cm, 1 cm, 5 cm

El capitán Sparrow y su tripulación de piratas tienen varias monedas de oro, que se reparten equitativamente entre todos ellos. Si hubiera cuatro piratas menos, cada persona recibiría 10 monedas más. Pero si hubiera 50 monedas menos, cada persona recibiría 5 monedas menos. ¿Cuántas monedas hay en el botín?

A) 80 B) 100 C) 120 D) 150 E) 250

La media aritmética de dos números positivos es un 30% menor que uno de ellos. ¿En qué porcentaje es esa media mayor que el otro número?

A) 75% B) 70% C) 30% D) 25% E) 20%


Colocamos las cifras 1, 2, …, 9 en las casillas de un tablero 3x3, de modo que cada casilla contiene una única cifra. Hemos colocado ya, como se muestra en la figura, las cifras 1, 2, 3 y 4. Se considera vecinos a dos números cuando sus casillas comparten un lado. Después de colocar todas las cifras observamos que la suma de los vecinos de 9 es 15. ¿Cuánto vale la suma de los vecinos de 8?

A) 12 B) 18 C) 20 D) 26 E) 27

Una balanza antigua no funciona bien. Si un objeto pesa menos de 1000 g, la balanza muestra el peso correcto, pero si el objeto pesa más de 1000 g, la balanza puede mostrar cualquier número mayor que 1000. Tenemos cinco pesos de A gramos, B gramos, C gramos, D gramos y E gramos, todos ellos menores que 1000 g. Cuando los pesamos de dos en dos, la balanza muestra los siguientes valores: B + D = 1200, C + E = 2100 , B + E = 800, B + C = 900, A + E = 700. ¿Cuál de los pesos es el mayor?

A) A B) B C) C D) D E) E

El cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D. Los números mostrados indican las áreas de dos de los triángulos. ¿Cuál es el área de ABCD?

A) 60 B) 45 C) 40 D) 35 E) 30

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Enrique y María están resolviendo problemas, de una lista de 100 que se les ha entregado. Para cada problema, el primero que lo resuelva obtiene 4 puntos, y el segundo 1 punto. Enrique resuelve 60 problemas, y María también resuelve 60 problemas. Conjuntamente tienen 312 puntos. ¿Cuántos problemas fueron resueltos por los dos?

A) 53 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

David va en bicicleta de la ciudad a su casa de campo. Quería llegar a las 3h de la tarde, pero utiliza 3

2 del

tiempo planeado en recorrer 4

3 de la distancia. Después de eso, pedalea más lentamente y llega exacta-

mente a la hora prevista. ¿Cuál es el cociente entre la velocidad de la primera parte del recorrido y la velocidad de la segunda parte?

A) 5:4 B) 4:3 C) 3:2 D) 2:1 E) 3:1

Tenemos cuatro cubos iguales, como se

indica en la figura 1. Se colocan de manera que se ve un gran círculo negro, como se indica en la figura 2 ¿Qué se ve en la cara opuesta a la del círculo negro? figura 1 figura 2

Un grupo de personas está formado por caballeros, escuderos y pajes. Los caballeros siempre dicen la verdad, los escuderos siempre mienten, y de los pajes, la mitad dicen la verdad y la otra mitad mienten. Cuando se preguntó a cada uno de ellos si era un caballero, 17 dijeron que sí. Cuando se les preguntó si era un escudero, 8 dijeron que sí. Y cuando se les preguntó si era un paje, 12 dijeron que sí. ¿Cuántos caballeros hay en el grupo?

A) 4 B) 5 C) 9 D) 13 E) 17

Se escriben en el encerado varios enteros positivos distintos. Exactamente dos de ellos son divisibles por 2 y exactamente 13 de ellos son divisibles por 13. Sea M el mayor de esos números. ¿Cuál es el menor valor posible de M?

A) 169 B) 260 C) 273 D) 299 E) 325

En un estanque hay 16 hojas de nenúfares formando un cuadrado 4x4 como se muestra en la figura, con una rana sentada en una de las esquinas. La rana salta de una hoja a otra, horizontal o verticalmente. Siempre salta por lo menos sobre una hoja y nunca aterriza en la misma hoja dos veces. ¿Cuál es el mayor número de hojas (incluyendo la inicial) que puede alcanzar la rana?

A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12

Un cuadrado 5x5 está formado por cuadrados 1x1, todos del mismo modelo, como el que se muestra en la figura Dos cuadrados adyacentes cualesquiera tienen el mismo color a ambos lados del lado compartido. El perímetro del cuadrado grande está formado por segmentos negros y grises, de longitud 1. ¿Cuál es el menor número posible de segmentos unitarios de color negro?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

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