Clase 12

Introducción a las Finanzas

AEA 504

Escuela de Ingeniería

MATERIAL ACADÉMICO DE PROPIEDAD DE UDLA, ELABORADO POR LA PROFESORA: VALENTINA TOMBOLINI ECHEVERRÍA.

El Valor del Dinero en el Tiempo: Valor Futuro; Valor Presente.

Interés Simple vs. Interés Compuesto

Valor del Dinero en el Tiempo

• Corresponde a uno de los Conceptos másImportantes en Finanzas.

• Se define como la relación entre una unidadmonetaria en distintos momentos.

• $1000 Hoy ≠ $1000 en 10 Años. Desde el punto devista económico, siempre se preferirá tener eldinero antes que después.

• ¿Por qué?

• Porque Implícitamente existe un costo deoportunidad del dinero, al cual se renuncia si sepospone la recepción del flujo de efectivo.

• El valor del Dinero en el Tiempo se manifiesta en elMercado a través de las Tasas de Interés

• Ejemplo: ¿Qué prefiere, recibir $100 hoy o al cabo deun año?. Suponga que puede invertir su dinero a unatasa de interés del 10% anual.

Hoy (Año 0) 1 Año más (Año 1)

$110$100

x(1 + 0,1)

Nota: 10%=0,1

Valor del Dinero en el Tiempo

• Por lo tanto, se dice que $ 110 son el valor Futuro (VF) de$ 100 invertidos a un año al 10%

• En términos de notación:– Valor Presente o Actual: VP = VA = $100

– Interés: i% = 10%

– Horizonte de Inversión o Cantidad de Períodos: n = 1

– Valor Futuro: VF = $110

• Valor Futuro: Es el valor alcanzado por un capital oprincipal al final del período analizado.

• Interés: Es el rendimiento o costo de un capitalcolocado o prestado a un tiempo determinado.

Nota: Debe existirconsistencia. Es decir,si n esta expresado enaños, la tasa debeestar “anualizada”

Valor del Dinero en el Tiempo

Diagrama de Flujo de Caja

• Es un horizonte de tiempo en el cual se registran ingresos y egresosde caja en el momento en que ocurren. Permite mostrarequivalencias entre valores presentes y valores futuros en cualquierinstante de tiempo.

n

VF

VP

0 1 2 3 …………………....

Obtener VF

Actualizar (Obtener VP)

•Una flecha hacia abajo es un egreso de caja.•Una flecha hacia arriba es un ingreso de caja.•Se asume que los ingresos y egresos se hacen efectivos al vencimiento

(al final del período) salvo que se explicite lo contrario (anticipados).

Valor Futuro

• ¿Qué ocurre si el horizonte de inversión es mayora un año? ¿Cuál será el valor Futuro de lainversión?

• Dependerá si la tasa está expresada en formasimple o compuesta

• Ejemplo:

• ¿Cuánto se obtendrá si se depositan $100 a unatasa de interés del 10% con un horizonte deinversión de 2 años?

Caso 1: Tasa de Interés Simple

• Es el interés que se paga (o gana) sólo sobre la cantidad original que seinvierte o monto principal. No se paga interés sobre interés.

• Por Tanto en el caso del interés simple, los intereses se acumulan enforma aditiva.

• Al Año 1, VF1 = VP + VP * i = $110

• Al Año 2, VF2 = VF1 + VP * i

• VF2 = VP+ VP * i + VP * i = VP + 2 * VP * i = 120

• Para n períodos:

• Año= n, VFn = VP + n * VP * i =>

VP*i

P

VP

1 2 F

VP*iVP*i

VFn = VP * (1 + n * i)

Los intereses se aplican solo sobre el monto invertido

Caso 2: Tasa de Interés Compuesta

• A contar del segundo período se genera interés sobre intereses.

• El Proceso de no disponer durante más de un período del dinero yde cualquier interés acumulados por una inversión, reinvirtiendode este modo el interés, recibe el nombre de composición ocapitalización

• Capitalización de interés significa ganar intereses sobre intereses(interés compuesto)

n

VF

VP

0 1 2 3 ……………..........

Capitalización o Composición de

Intereses

• En nuestro ejemplo por tanto debemos ir acumulando los intereses ganados alo largo del horizonte de inversión

• Al Año 1, VF1 = VP + VP * i = VP * ( 1 + i) = 110

• Al Año 2 , VF2 = VF1 + VF1 * i

• VF2 = VP * (1 + i) + [VP * (1 + i)] * i

• VF2 = VP * (1 + i)2 = 121

• Para n períodos:

Los intereses se aplican sobre el monto invertido más los intereses

generados en el año 1

VFn = VP0*(1 + i)n

VF1

0

VP

1 2

VF2

Caso 2: Tasa de Interés Compuesta

100 (inversión inicial)

10 (interés ganado durante el 1°año)

10 (interés ganado durante el 2° año)

1 (interés ganado sobre interés)

• En Finanzas modernas se utiliza casiexclusivamente el interés compuesto.

• En lo sucesivo centraremos el análisis en el interéscompuesto

• Antes, analicemos como difiere el VF a interéssimple y compuesto a medida que aumenta n

121

Caso 2: Tasa de Interés Compuesta

Comparación: Tasa de Interés Simple vs Compuesta

Inversión: VA 100Tasa de Interés 10%

nVF con Interés

SimpleVF con Interés

Compuesto

0 $ 100,00 $ 100,00

1 $ 110,00 $ 110,00

2 $ 120,00 $ 121,00

3 $ 130,00 $ 133,10

4 $ 140,00 $ 146,41

5 $ 150,00 $ 161,05

6 $ 160,00 $ 177,16

7 $ 170,00 $ 194,87

8 $ 180,00 $ 214,36

9 $ 190,00 $ 235,79

10 $ 200,00 $ 259,37

11 $ 210,00 $ 285,31

12 $ 220,00 $ 313,84

13 $ 230,00 $ 345,23

14 $ 240,00 $ 379,75

15 $ 250,00 $ 417,72

16 $ 260,00 $ 459,50

17 $ 270,00 $ 505,45

18 $ 280,00 $ 555,99

19 $ 290,00 $ 611,59

20 $ 300,00 $ 672,75

0

100

200

300

400

500

600

700

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Tasa de Interés Simple vs. Compuesto

VF con Interés Simple VF con Interés Compuesto

Grá

fica

me

nte

• El gráfico anterior, muestra que a medida queaumenta el horizonte de inversión, crece la brechaentre VF con tasa compuesta y el con tasa simple.

• La brecha descrita corresponde a lo que se conocecomo el Poder de la Capitalización o Composiciónde intereses.

• Lo anterior dado que con tasas de interéscompuesta, la inversión crecerá a (1 + i) por cadaperíodo

Comparación: Tasa de Interés Simple vs Compuesta

Encontrando el Valor Presente

• Definiremos Proceso de Descuento, como el cálculo del VP en función de algún momento futuro

• Sabemos que:

VF=VP(1+i)n

VP(1+i)n=VF

• Por tanto, despejando VP

n

VF

VP

0 1 2 3 ……………..........

Actualizar o Descontar al Presente

Valor Presente

• Ejemplo:

• Ud. Necesita $100.000 dentro de 10 años. Suponga quepuede ganar 7% sobre su dinero. ¿Cuánto tendrá queinvertir hoy para lograr la meta?

•Reemplazando en la fórmula:

10

100.000

¿VP?

0 1 2 3 ……………..........

Descontar al 7%

VP = 50.834,93

• A medida que crece el plazo para el pago, losvalores presentes disminuyen

• Para un plazo determinado, entre más alta seala tasa, más bajo será el valor presente (VP ytasa de descuento están inversamenterelacionados). Por tanto, si puedo ganar uninterés mayor, necesitaré realizar unainversión menor para alcanzar la meta

• Para el ejmplo anterior, ¿Cómo cambiaría surespuesta si en vez de 7% puede ganar un 11%sobre su dinero?

Valor Presente