clase 10 - flexion oblicua

Facultad de Ingeniería - UNA

Clase 10

Flexión oblicua: Tensiones. Fórmula referida a: los ejes principales de inercia, a dos ejes cualesquiera baricéntricos, a un sistema de ejes baricéntricos uno de ellos coincidente con la línea neutra, sistema de ejes baricéntricos uno de ellos coincidente con la carga. Problemas principales. Sección más conveniente. Flexión oblicua: Línea elástica plana – Línea elástica alabeada.

Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre


Flexión desviada

+

Plano de carga

P5P4P3P2P1

DMF +DMF

q


+

-P

q

DMF


My

a

z

zy

y

c

0

P

zI

My

I

M

y

y

z

zc

zI

Mseny

I

M

yzc

cos

P Pcosa

Psena

z2

y2

(z1;y1)

Flexión oblicua: Método de superposición

Zona doblemente traccionada

Zona traccionada debido a My

Zona traccionada debido a Mz

Zona doblemente comprimidaMz


a

z

zy

y

c

0

b

L

N

P

y1m

ax

y2m

ax

P Pcosa

Psena

z2

y2

(z1;y1)

0 zI

My

I

M

y

y

z

z

Posición de la Línea Neutra

0cos

zI

Mseny

I

M

yz

y

z

I

Isen

z

y

cos

y

z

I

Itgtg z

I

Itgy

y

z


a

z

zy

y

-

+

c

0

b

L

N

P

s1max

s2max

y1m

ax

y2m

ax

P Pcosa

Psena

z2

y2

(z1;y1)

Tensiones máximas

y

z

I

Itgtg

22max2z

I

My

I

M

y

y

z

z

11max1z

I

My

I

M

y

y

z

z


dx

L

N

A

y

A

z

A

dAzM

dAyM

dA

..

..

0.

a)

b) Observación de laboratorio

dxzcybadxx 1111

c) Si se cumple la ley de Hooke

zcyba 1111

zEcyEbEa

E

x

x

111

.

dx

FLEXIÓN OBLICUA – Método General


A

y

A

z

A

dAzM

dAyM

dA

..

..

0.

c) Reemplazando en (a)

0A

dAczbyaE

A

z dAyczbyaEM .

A

y dAzczbyaEM .

a)

)..( zyzz IcIbEM

)..( yzyy IcIbEM

0..... gg zAcyAbAa

0 AAA

zdAcydAbdAa

)( 2 A AA

y dAzcdAyzbzdAaEM

)( 2 A AA

z dAzycdAybydAaEM

0a

z

z

EI

Mb

y

y

EI

Mc

zI

My

I

M

y

y

z

zx

)( czbyaEx

Si el par de ejes centroidales es además un eje principal: Izy; yg; zg son iguales a cero. El área A no puede ser cero.


VERIFICACION DE TENSIONES

ty

y

z

zt

cy

z

z

yc

I

zM

I

yM

I

zM

I

yM

22

11

..

..

a

s1m

ax

s2m

ax

1

2


Línea elástica plana


Flexión desviada

+

Plano de carga

P5P4P3P2P1

DMF +DMF

q


IE

senM

dx

d

IE

M

dx

d

.

.

.

cos.

2

2

2

2

a

Plano de carga

M

L

N

n

h

Dir

ecci

ón

del

des

pla

zam

ien

to

b

Dn = desplazamiento vertical

Dh

D tota

l

90º

Dtotal = Dn cos b + Dh sen b

0


¿Porqué el desplazamiento es perpendicular a la L.N.?

=n

=hEIn

f(x). cosa

f(x). sena

EIh

h n

= tg a = - tg bIhIn


a

Plano de carga

M

L

N

m

h

Dir

ecci

ón

del

des

pla

zam

ient

o

b

Dv = desplazamiento vertical

Dh

D tota

l

90º

Dv = Dt cos b

LN

N

IE

M

dx

d

.2

2

uDh = Dt sen b

Mn = M cosgg

0


Ejemplo: (Elástica plana) Calcular las dimensiones mas conveniente de la viga de la

figura Determinar la posición de la L.N. de la sección más

peligrosa y La magnitud y dirección del desplazamiento del extremo

libre

2a a

P = 150 kg

h

b

= a 30ºP

y

z

Datos¨a = 1,00 m

s = 100 kg/cm2

E = 105 kg/cm2


bh2

6

My

Mz

M cosa

M sena

1

tga

hb2

6

Dimensión más conveniente

s = +

My

Mz

Wz

Wy

Wy

Mz

Wz

My

=óptimo =

bh2

6=

h

b

= = = 1,73 =h

b

h

b

= a30ºy

z

s = Wz

2 Mymax Mymax = M cos = a 300 . 3/2 = 260 kgm

Wz = = = = 520 cm32 Mymax 52.000

s 100

De la tabla de W: 539 7” x 4” ; relación = 1,75 7

4

2a a

P = 150 kg

-M = 300 kgcm DMF


W =bh2/6 “b” y “h” en pulgadas

h b

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3 133 207 300 407 520 667 819 992 1186

4 177 274 398 539 698 884 1092 1314 1571

5 220 341 495 671 870 1100 1365 1636 1956

6 265 411 597 808 1051 1325 1639 1971 2357

7 308 478 695 940 1203 1542 1912 2283 2733

8 352 544 792 1072 1393 1749 2185 2616 3133

9 392 612 890 1203 1565 1975 2458 2935 3500

10 440 683 991 1341 1744 2201 2731 3272 3912

11 482 747 1085 1468 1909 2408 3004 3581 4282


bh3

12

hb3

12

tgb = tga = tgaIy

Iz

=

b60º

y

z0

b

L

hN

= a30º

tgb = tga =b2 42 3

h2 72 3

tgb = 1,7681 b = 60º

Posición de la Línea Neutra

Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre =

b

60º

y

z0

b

L

h

N

= a30º

b = 60º

ddy

dz

2a a

P = 150 kg

M = 300 -

Mz = M sena

-

-

EIy dz = ½ Mz 2a ( 2/3 . 2a) +a

dz = 2,22 cm

EIz dy = ½ My 2a ( 2/3 . 2a) +a

My = M cosa

dy = 1,26 cm

d = dz senb + dy cosb

d = 2,55 cm

dz Iz

dy Iy

= tg = a tgb

Cálculo del desplazamiento

= b 90º


Línea elástica alabeada


+

-P

q

DMF


MM2

P2

P1

222

2

2

2

2

.

.

total

v

v

u

u

vu

IE

M

dx

ud

IE

M

dx

vd

0

n

u

n

Mu = M cos a

Mv = M sen a

1

1

2

2

m m

n

n

u

a

n

u

Dtotal

u

M1

MM2


222

2

2

2

2

.

.

total

v

v

u

u

vu

IE

M

dx

ud

IE

M

dx

vd

0

n

u

n

M

Mu = M cos a

Mv = M sen a

1

1

2

2

m m

n

n

q

u

a

n

u

Dtotal

Para calcular Dvertical

a lo largo de la elástica

d2n Mu cosq Mv senq

u

dx2 Eiu EIv

= +


EIz dv = ( 2/3 . ½ L + ½ L )

P2

P1

½ L ½ L½ P2L

P1L

Ejemplo: Calcular el desplaza-miento resultante del extremo libre

(Elástica alabeada)

½ P2L . ½½ L .

EIy dh = P1L . ½ L . 2/3 L


P2

P1

½ L ½ L

dh

dv

dt

Desplazamiento del extremo libre

d2t = d2

v + d2h


Deflexión de una viga sometida a flexión

asimétrica

En el análisis anterior se supuso que las deflexiones eran causadas por flexión respecto de uno de los ejes principales de una viga. Sin embargo, si se tiene flexión asimétrica, las deflexiones se calculan en cada uno de los planos principales y las deflexiones halladas se suman vectorialmente. Un ejemplo se muestra en la figura para una sección Z. Los ejes “y” y “z” son aquí los ejes principales que pasan por el centroide, así como por el centro de corte de la sección transversal. Una deflexión positiva v1 se muestra para la deflexión de la viga que tiene lugar en el plano “xy” y, similarmente w1 corresponde a una deflexión en el plano “xz”. Su suma vectorial AA´ es la deflexión total de la viga.

DEFLEXIONES EN FLEXIÓN ASIMÉTRICA1/2


Deflexión de una viga sometida a flexión

asimétrica

Para prevenir la torsión, las fuerzas aplicadas deben actuar en el centro de corte de la sección transversal. Si no, los esfuerzos y deformaciones torsionantes tratados antes deben también ser considerados.

Si las vigas tienen magnitudes considerablemente diferentes a sus momentos de inercia con respecto a los dos ejes principales, son muy sensitivas a la alineación de la carga. Como se ve en la figura, incluso una pequeña inclinación de la fuerza aplicada respecto de la vertical causa grandes desplazamientos laterales (y también altos esfuerzos).

DEFLEXIONES EN FLEXIÓN ASIMÉTRICA2/2

clase 10 - flexion oblicua

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