Clase 1Desigualdades e Inecuaciones

Desigualdades e Inecuaciones.

Mister Samuel Pereira M.Septiembre 2011

Unidad: Inecuaciones Lineales

Contenido: Desigualdades e Inecuaciones.

Capacidades: Razonamiento Lógico

Destreza: Conocer, Identificar, razonar, Inferir, calcular, graficar.

• Desigualdades• Denominaremos desigualdades a toda relación que se establece entre

números reales mediante una comparación establecida. Esta puede estar definida con los siguientes símbolos de desigualdades conocidos:

• Si la relación establecida es verdades diremos que la desigualdad indicada se cumple.

...

...

...

...

Mayor que

Menor que

Mayor o igual que

Menor que

> −< −≥ − − −≤ −

• Un Ejemplo

• Muchos ejemplos podemos encontrar en lo cotidiano que muestran la utilización de intervalos de posibilidades o valores posibles de obtener ante un determinado evento. Un ejemplo de ello es cuando una carretera establece un límite máximo de velocidad:

• Este caso lo que indica es que los vehículos pueden llegar a tener una velocidad de hasta 120 k/h, incluido los 120. O sea, si es sorprendido a una velocidad de 120,01 k/h será infraccionado. Luego esta relación la podemos escribir como una relación de posibles velocidades quedando definida como:

VEL. MAX: 120 k/h

120v ≤Velocidad menor o iguala

120

• Veracidad de las desigualdades:• Un elemento fundamental en estas desigualdades es la verificación de veracidad

sobre ellas mismas.

• Ej: • Al resolver el siguiente ejemplo llegaremos a un resultado ilógico lo que nos

indicará que la desigualdad, esta relación definida no es cierta.

• Además podemos darnos cuenta de que para que la desigualdad fuera verdades al 7 del numerador tendríamos que no sumarle nada para que la división fuera 7, o restar un número positivo cualquiera, así nos aseguraríamos que la división planteada por el problema será siempre menor o igual que 7.

2(7 2)7

7

+ ≤ 11,57 7≤

• Intervalos en los números reales: • Como indicamos anteriormente para el caso de las desigualdades podemos obtener

un grupo o conjunto de valores o resultados que cumplan en confirmar la veracidad de dicha desigualdad. Para ello estableceremos un concepto conocido el cual es Intervalo, el cual será “..un conjunto de puntos que cumplen una condición dada, teniendo este un valor límite superior y otro inferior, ambos considerados o no en el conjunto según se definan las características del mismo”.

• Estos Intervalos se pueden representar gráficamente en ¨La recta numérica” ¿recuerda que hablamos de números reales?, como de forma simbólica. También pueden ser de tipo cerrado o abierto.

5 5x− ≤ < [ [5,5−-5 50

• Es importante recordar: Debemos tener en consideración que cuando hablamos de conjuntos o intervalos existen algunos elementos propios de la teoría de conjuntos útiles y presentes en la interacción de diversos problemas planteados con desigualdades.

• Recordar:

• Ejemplo: Sea el conjunto A: Todos los números Reales de 0 al 10, y sea el conjunto B: todos los número primos entre el 1 y el 12. Según los conjuntos dados tenemos:

∪∩

∅Unión entre conjuntos

Intersección entre conjuntos

Conjuntos Vacío

∈ ∧ ∉ Pertenece y no pertenece

{ }0,1,2,3,...,10,11,12A B∪ ={ }1,3,5,7A B∩ =

• Algunas consideraciones sobre la representación gráfica:

• * En la representación gráfica el punto ennegrecido indica que se incluye el valor límite. Si no está ennegrecido indicará que ese valor límite no se incluye dentro del intervalo

• * La flechas indican hacia donde se dirigen los valores del conjunto o subconjunto.

• Algunas consideraciones sobre la Notación:• * El corchete se abrirá hacia el número cuando el intervalo incluya ese valor límite y se abrirá

hacia fuera cuando el intervalo no le incluya dentro de los posibles resultados.

* Ejemplo: Sena los intervalos A= y B= Determinar y [ ]1,5 ] [7,+∞ A B∪ A B∩

• Como podemos ver el intervalo A es cerrado en el 1 y el 5 e incluye todos los valores entre estos límites incluyéndolos. En cambio el Intervalo B es abierto en ambos límites y considera los valores comprendidos entre 7 e infinito positivo, sin considerar los límites. Luego:

[ ] ] [1,5 7,A B∪ = ∪ +∞

1 75

[ ] ] [1,5 7, ( )A B vacio∩ = ∩ +∞ = ∅

Si observas veras que no existen valores que pertenezcan a ambos intervalos

• Resumen sobre la representación de intervalos: Sean a y b dos números reales con a < b, se definen los siguientes intervalos

{ }/x a x b∈ ≤ ≤¡

Conjunto NotaciónRepresentación

Gráfica Tipo Intervalo

[ ],a b a b

Intervalo Cerrado

{ }/x a x b∈ < <¡ ] [,a b a b

Intervalo abierto

{ }/x a x b∈ ≤ <¡ [ [,a b a b

Intervalo Semi abierto

{ }/x a x b∈ < ≤¡ ] ],a b Intervalo Semi abiertoa b

• d) Desarrolla los siguientes casos faltantes, indicando Notación, Representación gráfica y tipo de intervalo:

{ }/x x a∈ ≥¡

{ }/x x a∈ >¡

{ }/x x b∈ ≤¡

{ }/x x b∈ <¡

• Por hoy hemos terminado.• Debes estar muy atento a la publicación de la clase 2.• Revisar la Guía de ejercicios para esta clase.

Suerte¡¡¡¡¡