Circulo de MohrEl círculo de Mohr es una representación gráfica de los esfuerzos o las deformaciones que pudiesen ocurrir en un punto de un continuo en un instante determinado.

Ecuaciones del círculo de MohrTeniendo las ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana se

pudieran modificar eliminando el parámetro y nos quedan las ecuaciones del círculo de Mohr:

Siendo:

La primera de las ecuaciones representa la ecuación del círculo de Mohr para la deformación

unitaria. Tiene un centro en el eje en el punto C y un radio R.

Procedimiento para la construcción del cirulo de MohrConstrucción del cirulo

- Definir un sistema de coordenadas tal que las abscisas representen la deformación

unitaria normal , positivo hacia la derecha, y la ordenada represente la mitad del valor

de la deformación cortante, , siendo positivo hacia abajo figura 1.

- Aplicar la convención de signo positivo a y determinar el centro del círculo C,

que está en el eje a una distancia del origen, figura 1.

- Graficar el punto de referencia A con coordenadas A ( . Este punto representa

el caso en el que el eje x’ coincide con el eje x. por consiguiente, , figura 1.

- Unir el punto A con el centro C del círculo, y con el triángulo sombreado determinar el radio R del círculo, figura 1.

- Una vez determinado R, trazar el círculo.

Deformaciones unitarias principales

- Las deformaciones unitarias y se determinan con el círculo, y son las coordenadas

de los puntos B y D, esto es, donde , figura a.

- La orientación del plano sobre el que actúa se determina en el círculo, calculando

mediante trigonometría, en este caso, el ángulo se mide en sentido contrario a las

aguas del reloj, desde la línea radial de referencia CA hacia la línea CB, figura a. la

rotación de debe tener esta misma dirección, desde el eje de referencia del

elemento x hacia el eje x’. figura b.

A

C

Figura 1. Círculo de Mohr para deformaciones

- Cuando se indica que y son positivos, como en la figura a, el elemento de la figura b

se alarga en las direcciones x’ y y’, como indica el contorno en línea interrumpida.

Deformación unitaria cortante máxima en el plano- La deformación unitaria normal promedio, y la mitad de la deformación unitaria cortante

máxima se determinan en el círculo, como las coordenadas de los puntos E y F, figura a.

- La orientación del plano sobre el cual actúan y se determinan en el

círculo, calculando mediante trigonometría. En este caso, el ángulo se mide en el

sentido de las agujas del reloj, desde la línea radial de referencia CA hacia la línea CE,

figura a. La rotación de debe tener esta misma dirección, desde el eje de referencia x

del elemento, hacia el eje x’, figura c.Deformaciones unitarias sobre un plano arbitrario

- Los componentes de deformación unitaria normal y cortante, y , para un plano

especificado que forma un ángulo , figura d, se obtienen con el circulo y empleando

trigonometría para determinar las coordenadas del punto P, figura a.

- Para localizar P, se mide el ángulo conocido del eje x’, en el círculo, como . Esta

medición se hace desde la línea radial de referencia CA hacia la línea radial CP. Las

mediciones de en el circulo, deben tener la misma dirección que para el eje x’.

- Si se requiere el valor de , se puede determinar calculando la coordenada del punto

Q, en la figura a. la línea CQ está a 180° de CP, así que representa una rotación de 90° del eje x’.

A

CA

Q

D

E

F

B

Figura a

Figura b

Figura c

Ejemplo 1 El estado de deformación unitaria plana en un punto se representa con los componentes

y . Determinar las deformaciones

unitarias principales y la orientación del elemento.

Solución

Construcción del círculo. Se definen los ejes y como en la figura 3a, el eje positivo debe estar dirigido hacia abajo, para que las rotaciones contrarias al sentido de las agujas del reloj del elemento correspondan a rotaciones contrarias al sentido de las agujas del reloj en

torno al círculo, y viceversa. El centro del círculo C está ubicado sobre el eje en:

Como , el punto de referencia A( ) tiene las coordenadas A(

). De acuerdo con el triángulo sombreado en la figura 3a, el radio del

círculo es CA, esto es:

Figura d

Deformaciones unitarias principales. Las coordenadas de los puntos B y D representan las

deformaciones principales. Estas son:

La dirección de la deformación unitaria principal positiva se define por el ángulo en el

sentido contrario a las agujas del reloj, medido desde la línea radial de referencia Ca hacia la línea CB. Entonces,

Por consiguiente, el lado dx’ del elemento está orientado a 8.35° en sentido contrario a las

aguas del reloj, como se ve en la figura 3b. Esto también define la dirección de . También se

muestra la deformación del elemento en esa figura.

A

C

D B ()

50

250

60R=208.8

Figura 2a

Ejemplo 2.El estado de deformación unitaria plana se representa pos los componentes

y . Determine las deformaciones unitarias

máximas en el plano y la orientación del elemento.

SoluciónEl círculo se trazó en el ejemplo anterior.

Deformación unitaria cortante máxima en el planoLa mitad de la deformación unitaria cortante máxima en el plano, y la deformación unitaria normal promedio se representan con las coordenadas del punto E o F en el círculo. De acuerdo con las coordenadas del punto E

Figura 2b

Para orientar al elemento, se puede determinar el ángulo en sentido de las agujas del reloj,

en el círculo.

El ángulo se muestra en la figura 4b. Como la deformación unitaria cortante definida en el punto E del círculo tiene un valor positivo, y la deformación unitaria normal promedio también es positiva, corresponden a esfuerzo cortante positivo y a esfuerzo normal promedio positivo, que deforman al elemento hacia la forma indicada con la línea punteada en la figura.

C

D

E ()

50

250

60

R=208.8

Figura 3a

A

F

Ejemplo 3 El estado de deformación unitaria en un punto se representa en un elemento que tiene

componentes , y . Determine el estado

de deformación unitaria sobre un elemento orientado a 20° en sentido de las agujas del reloj, respecto a la posición original.

Solución

Construcción del círculo. Los ejes y se definen como en la figura 3. El centro del circulo

está en el eje en:

Figura 3b

El punto de referencia A tiene las coordenadas A el radio CA

determinado con el triángulo sombreado es, por consiguiente,

Deformaciones unitarias sobre el elemento inclinado. Como el elemento se va a orientar a 20° en sentido de las agujas del reloj, se debe trazar una línea radial CP a 2(20°)=40° en sentido de

las agujas del reloj, medidos desde CA ( ), figura 4. Las coordenadas del punto P(

) se obtienen con la geometría del círculo. Obsérvese que

Así,

La deformación unitaria normal , se determina a partir de las coordenadas del punto Q del

círculo, figura 5.

Como resultado de esas deformaciones unitarias, el elemento se deforma respecto a los ejes x’ y y’ como se indica en la figura 5.

C

E

50

300

13.34°

A

Q

200

13.34°

R=13.34°40°

Figura 4a

Círculo de Mohr en 3D

En las tres dimensiones, el estado de esfuerzo en un punto se puede representar por un elemento orientado en una dirección específica tal que el elemento solo está sujeto a esfuerzos

principales cuyos valores máximo, intermedio y mínimo son , y . Estos esfuerzos

Figura 4b

someten al material a las deformaciones unitarias principales , y . También, si el

material es homogéneo e isotrópico a la vez, el elemento no estará sometido a deformaciones unitarias cortantes, porque el esfuerzo cortante en los planos principales es cero.

Supongamos que las tres deformaciones unitarias principales causan alargamientos a lo largo de los ejes x’, y’ y z’, como se ve en la figura 5a. si el elemento se ve en dos dimensiones, esto es, en los planos x’-y’, x’-z’ y y’-z’, figuras 5b, 5c y 5d, entonces se puede usar el circulo de Mohr para determinar la deformación unitaria cortante máxima en el plano para cada caso. Por ejemplo, a partir de la vista del elemento en el plano x’-y’, figura 5b, el diámetro del circulo de

Mohr se extiende entre y , figura 5e. Este círculo define los componentes de

deformación unitaria normal y cortante en cada elemento orientado respecto al eje z’. De igual modo, los círculos de Mohr para cada elemento orientado respecto a los ejes y’ y z’ se muestran también en la figura 5e.

En estos tres círculos se ve que la deformación unitaria cortante máxima absoluta se determinado con el círculo que tenga mayor diámetro. Está en el elemento orientado a 45° respecto al eje y’ a partir del elemento que se muestra en su posición original, figura 5a o 5c, para esta condición,

Y

El conclusion:- El estado general tridimensional de deformación unitaria en un punto se puede

representar por un elemento orientado de tal modo que solo actúen sobre el tres deformaciones unitarias principales

- A partir de esta orientación, el elemento que representa la deformación unitaria cortante máxima absoluta se puede obtener haciendo girar 45° al elemento respecto al

eje que define la dirección de .

- La deformación unitaria cortante máxima absoluta será mayor que la deformación unitaria cortante máxima en el plano cuando las deformaciones unitarias principales en el plano tienen el mismo signo. Cuando esto sucede, la deformación unitaria cortante máxima absoluta actúa fuera del plano