1

CRCULO DE MOHR DE ESFUERZOS PARA PROBLEMAS BIDIMENSIONALES

Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera CivilResistencia de Materiales 2Inga. Mara del Mar Girn CordnLaboratorio A

Actualmente nos encontramos realizando la Hoja de Trabajo No. 2, la cual trata de la resolucin de los problemas 925, 928, 931, 938, 947 y 963 del libro de texto. El siguiente taller tiene el objetivo de dar a los estudiantes los lineamientos bsicos para poder realizar la hoja de trabajo mencionada.Es importante ir realizando paso a paso cada una de las indicaciones.Espero que disfruten el ejercicio.

2

Recordemos

Para un mismo punto de un slido sometido a un estado de esfuerzo, los esfuerzos varan segn la orientacin del elemento diferencial que se considere en dicho punto

En esta primera parte ser importante hacerse las siguientes preguntas:1. Cules son los esfuerzos resultantes debidos a la aplicacin de una

fuerza a un slido?2. Si se escoge un punto cualquiera de ese slido y es atravesado por un

plano cualquiera, cules son los esfuerzos en ese punto?3. Qu sucede con los esfuerzos, si el plano vara de direccin?4. Cmo varan los esfuerzos con la orientacin del elemento?5. En qu planos se presentan los esfuerzos mximos?

Para ahondar ms en el tema lea las pginas 301 y 302 del libro de texto.

3

Esfuerzo en un punto... El esfuerzo en un punto

define el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencial de rea.

El esfuerzo en un punto queda definido por los esfuerzos que actuan sobre las caras del elemento que rodea dicho punto.

En la diapositiva se puede observar de forma grfica el esfuerzo en un punto y sus componentes.Como se podrn dar cuenta el anlisis llega a establecerse de forma bidimensional (lo visto en clase), pero como algunos habrn investigado, este anlisis tambin puede darse de forma tridimensional. Para aquellos que no lo han integrado en su investigacin sera excelente que lo hicieran. Responde las siguiente preguntas:Qu tipos de esfuerzos se presentan en las grficas?Qu mtodos se utilizan para calcular la variacin del esfuerzo en un punto?

4

Mtodo analtico

Responde las siguientes preguntas:

Qu representa la grfica? Qu esfuerzos se ven ilustrados?Qu representa cada ecuacin?Qu sucede con las ecuaciones si tenemos direcciones diferentes en los esfuerzos (corte-tensin-compresin)?

Para ayudarse consulten de la pgina 303 a 306 del libro de texto.

5

Mtodo Geomtrico

Para explicar el mtodo geomtrico nos apoyaremos en la solucin de un problema, problema 931 del libro de texto (Hoja de Trabajo No.2).

Es importante resaltar que lo que se est preguntando en el problema es:A. Determinar los esfuerzos principales. Qu son los esfuerzos principales?B. Cul es el esfuerzo cortante mximo? C. Mostrar todos sus resultados grficamente.

Antes de pasar a la siguiente diapositiva calcula las soluciones para los enunciados A y B.

6

Resultados...(mtodo analtico) Si entendemos a los esfuerzos principales,

aquellos que se presentan en los ngulos de 0 y 90 grados, encontramos:

=80MPa0MPa

2

80MPa0MPa2

cos 2030MPa sen 20=80MPa

=80MPa0

2sen2030MPa cos 20=30MPa

Si el ngulo es 0 grados:

Si el ngulo es 90 grados:

=80MPa0MPa

2

80MPa0MPa2

cos 29030MPa sen 290=0MPa

=80MPa0

2sen29030MPa cos 290=30MPa

Responde a los siguientes enunciados:

Qu significa cada uno de estos datos?

Cules son las ecuaciones para esfuerzos normal y cortante dejando como variable independiente al ngulo?

Muestra grficacmente lo que significa. Toma como ejemplo las ilustraciones de la diapositiva 3 y de la pgina 304 del libro de texto.

7

Esfuerzos mximos... Esfuerzos normales:

MX= 80MPa0MPa2

80MPa0MPa2 2

30MPa 2=90MPa

=

tan1230MPa

80MPa0MPa

2=18.43 grados

mn= 80MPa0MPa2

80MPa0MPa2 2

30MPa2=10MPa

=71.57 grados Esfuerzos cortantes:MX mn= 80MPa0MPa2

2

30MPa 2=50 MPa

=

tan180MPa0MPa

230MPa

2=26.56 grados

Como se darn cuenta, en la pgina 312 del libro de texto, en las respuestas del libro solamente aparecen el esfuerzo normal mximo y el ngulo en que se presenta.Responde los siguientes enunciados:

Qu significa cada uno de estos esfuerzos y sus ngulos?Los ngulos mostrados psalos a radianes.Mustralos grficamente.

Como se podrn dar cuenta una forma de mostrar grficamente los esfuerzos y ngulos se pueden graficar en base de las ecuaciones obtenidas en la diapositiva 6.

8

Ecuaciones a graficar

=40MPa40MPa cos 230MPa sen2

=40MPa sen 230MPa cos2

Grafica las ecuaciones, tomando el eje Y como , desde -20 grados, hasta 360 grados, y el eje X como esfuerzos (Mpa).Para esto te puedes auxiliar en papel milimetrado o cuadriculado, o en programas como Mathematica o Geogebra (enlace en la pgina virtual del grupo), o en otro medio que creas adecuado.

9

Grfica 1. ngulo vrs. Esfuerzos

Como te podrs dar cuenta existe una amplitud y una frecuencia para ambas grficas. Contesta los siguientes enunciados:Para la grfica del esfurzo cortante:Cul es su amplitud?Cul es su frecuencia?Cules son sus mximo y mnimo?En qu ngulos se presentan?Para la grfica del esfurzo normal:Cul es su amplitud?Cul es su frecuencia?Cules son sus mximo y mnimo?En qu ngulos se presentan?Qu significan los valores negativos para ngulos y esfuerzos?

Adjunto a este documento encontrars un documento titulado TallerAGraficaEcuaciones. Para poder abrirlo, baja GeoGebra (en el grupo encontrars el enlace para descargar el programa). Al abrirlo encontrars las grficas de las ecuaciones de los esfuerzos, al posicionarte en el punto A y haciendo click y mover el mouse podrs deslizarte por la grfica del Esfuerzo Normal, y podrs ver los valores que toma el esfuerzo al cambiar el ngulo. Puedes hacer lo mismo con B.

10

Tabla 1. ngulos y esfuerzos.ngulo

(grados)ngulo

(radianes)Esfuerzo normal

(MPa)Esfuerzo cortante

(MPa)0

26.56 40.00881571.57

90 pi/2116.56161.57 0.008637

180206.56251.57

270 0296.56 -50341.57

360 2pi

Llena la tabla. Ten cuidado con los decimales, pueden tratarse de valores aproximados. Despus de haber llenado la tabla crears otra, en la que tomars nicamente los valores de los esfuerzos normales y cortantes, concluyendo con una parametrizacin.

11

Tabla 2. Esfuerzo normal vrs. Esfuerzo cortanteEsfuerzo normal (Mpa)

Eje XEsfuerzo cortante (Mpa)

Eje Y80 30

40.00881597 50-10 -0.008637320 -30

39.99118403 -5090 0.008637325380 30

40.008815 50-10 -0.0086373253660 -30

39.99118403 -5090 0.0086373280 30

Esta es la tabla que se debe originar de la diapositiva anterior. El siguiente paso consiste en graficar estos puntos. Auxiliate de una hoja milimetrada o cuadrcula, un programa como Mathematica o GeoGebra, o cualquier otro que consideres adecuado.

12

Grfica 2. Esfuerzo Normal vrs. Esfuerzo Cortante.

Responde los siguientes enunciados:

Refleja los puntos A y J por el eje X.

Si unieras los puntos por una lnea curva, a qu se asemeja la figura?

En dnde se encuentra su centro? En trminos de esfuerzo a qu es igual el centro?

Cul es su radio? En trminos de esfuerzo a qu es igual el radio?

Cul es la ecuacin de la figura encontrada? En trminos de esfuerzos, a qu es igual la ecuacin de la figura encontrada?

Dejar el esfuerzo cortante en funcin del esfuerzo normal.

13

Grfica 3. Crculo de Mohr

FELICITACIONES, ACABAS DE APLICAR EL MTODO GRFICO PARA LA VARIACIN DEL ESFUERZO CON LA ORIENTACIN DEL ELEMENTO, EL CRCULO DE MOHR.El siguiente paso es comparar el grfico obtenido con la grfica mostrada en la pgina 307 del libro de texto. Comparar las ecuaciones obtenidas en la diapositiva 12, con las ecuaciones de las pginas 306 y 307 del libro de texto.Lee las reglas para la aplicacin del crculo de Mohr.

Adjunto a este documento se envi el archivo TallerAGraficaCirculoMohr, el cual se abre tambin con el programa GeoGebra. Al cliquear sostenidamente sobre P, en la tabla podras observar los cambios en los esfuerzos, as como el valor del dobre ngulo y el ngulo .