Unidad 1. Integrales

Actividad 6. Integral indefinida

Calcula las siguientes integrales indefinidas y verifica su resultado por derivación.

a) ∫45

√ x2−1

∫ 45

√ x2−1=45∫ 1

√x2−1=45¿

Derivación:

ddx

(45acosh ( x )+45c )=45( ddx acosh ( x )+ ddxc)= 45

√ x2−1

b)∫√x dx

∫ √x dx=∫ ( x )12dx=

2 x32

3+c

Derivación:

ddx ( 2 x

32

3+c )=23 ddx x 32+ ddx c=23 ( 32 x

12 )=x

12=√x

c) ∫ x+1√x

dx

∫ x+1√x

dx=∫ x

√ xdx+∫ 1

√ xdx

∫√x dx+∫ 1√ xdx=∫ x

12 dx+¿∫ x

12 dx+¿∫ x

12 dx=2

3x32+2x

−12 +c ¿¿

Derivación:

ddx ( 23 x

32+2 x

12+c)=23 ddx x

32+2 d

dxx12+ ddxc=( 23 ) 32 x

12+2 1

2x12

¿ x12+x

−12 =√x+ 1√x

= x+1√x

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Unidad 1. Integrales

Actividad 6. Integral indefinida

d)∫sen (x )cos2(x)

dx

∫ sen (x )cos2(x)

dx=∫ sen(x )cos(x )( 1

cos (x ))dx=∫ tg ( x ) sec ( x )dx=sec ( x )+c

Derivación:

ddxsec ( x )+c= d

dxsec x+ d

dxc=sec(x )tg ( x )= sen (x )

cos2(x )

e) ∫(x3+√3+ 1x √x )dx

∫(x3+√3+ 1x √x )dx=∫ x3dx+∫ x

13 dx+∫ x

−32 dx=

x 4

4+3 x

43

4−2x

−12

Derivación:

ddx ( x44 + 3x

43

4−2 x

−12 )=14 ddx x 4+ 34 ddx x 43−2 ddx x−3

2 =144 x3+ 3

4 ( 43 ) x13−2(−12 )x

−32

¿ x3+ x13+x

−32 =x2+ 3√ x+ 1

x √x

f) ∫ x2+x3+3x4

∫ x2+x3+3x4

=∫( x2x 4+ x3

x4+ 3x4 )dx=∫( 1x2+ 1x + 3x4 )dx=∫ 1

x2dx+∫ 1

xdx+3∫ 1

x 4

∫ x−2dx+∫ x−1dx+3∫ x−4 dx=−x−1+ ln ( x )−¿ x−3+c ¿

Derivación:

ddx

(−x−1+ ln ( x )−x−3+c)=−ddxx−1+ d

dxln ( x )− d

dxx−3+ d

dxc

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Unidad 1. Integrales

Actividad 6. Integral indefinida

¿ x−2+x−1−(−3 ) x−4= 1x2

+ 1x+ 3x4

= x2+x3+3x 4

g) ∫ (1+3 t ) t 3dt

∫ (1+3 t )t 3dt=¿∫ (t 3+3 t 4 )dt=∫ t 3dt+3∫ t 4dt=∫ t 3+dt+3∫ t 4dt=¿ 3t5

5+ t

4

4+c ¿¿

Derivación:

ddx ( 3 t

5

5+ t

4

4+c)=35 ddx t 5+ 14 ddx t4+ ddx c=35 5 t 4+ 14 4 t 3=3 t 4+t 3=(1+3 t ) t 3

h)∫10dz=10

∫10dz=10∫ dz=10 z+c

Derivación:

ddx

(10 z+c )=10

i) ∫ (7 senθ+cos θ )dθ

∫ (7 senθ+cos θ )dθ=∫ (7 senθ+cosθ )dθ=7∫ senθdθ+∫ cosθdθ

¿−7cosθ+senθ+c

Derivación:

ddx

(−7cosθ+senθ+c )=7 ddxcosθ+ d

dxsenθ+ d

dxc=−7 (−sen θ )+cosθ=7 sen θ+cosθ

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Unidad 1. Integrales

Actividad 6. Integral indefinida

j) ∫ senθ

1−( senθ )2dθ

∫ senθ

1−( senθ )2dθ=∫ senθ

(cosθ )2dθ=∫ senθ

cos θ ( 1cosθ )=∫ tgθ secθ=secθ+c

Derivación:

ddx

( secθ+c )= ddxsec θ+ d

dxc=tgθ secθ= senθ

cosθ ( 1cosθ )= senθ

(cosθ )2

¿ senθ

1−( senθ )2

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