Msc. Diego Freire Quiroga

2.1 Momento de inercia de Masa

2.2 Ecuaciones de movimiento de Cinética Plana.

2.3 Ecuaciones de movimiento: Traslación.

2.4 Ecuaciones de movimiento: rotación alrededor de un eje fijo.

2.5 Ecuaciones de movimiento: Movimiento plano general.

2.1 Momento de inercia de Masa

2.2 Ecuaciones de movimiento de Cinética Plana.

2.3 Ecuaciones de movimiento: Traslación.

2.4 Ecuaciones de movimiento: rotación alrededor de un eje fijo.

2.5 Ecuaciones de movimiento: Movimiento plano general.

� En este capitulo se demostrará que los aspectos de rotación provocados por un momento M, están regidos por una ecuación de la forma:

� M = Iα

� El símbolo I en esta ecuación se denomina momento de Inercia de masa,

� Por comparación, el momento de inercia mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración angular del mismo modo que la masa mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración. (F = ma)

� Definimos el momento de inerciacomo la integral del “segundomomento “ alrededor del eje detodos los elementos de masa dm loscuales componen el cuerpo.

El momento de inercia del cuerpo� El momento de inercia del cuerpoalrededor del eje z en la figura es:

� En este caso el “brazo de momento” r es ladistancia perpendicular del eje z al elementoarbitrario dm.

� En el estudio de cinemática plana, por lo general eleje seleccionado para el análisis pasa por el centroeje seleccionado para el análisis pasa por el centrode masa G del cuerpo y siempre es perpendicular alplano de movimiento.

� El momento de inercia con respecto a este eje sedenotará como IG.

� Si el cuerpo se compone de material de densidad variable,

� ρ= ρ (x,y,z)

� La masa elemental dm del cuerpo puede � La masa elemental dm del cuerpo puede expresarse en función de su densidad y volumen como dm = ρ dV.

� Si se sustituye dm en la primera ecuación, entonces se calcula el momento de inercia del cuerpo con elementos de volumen en la integración, es decir,

� En el caso especial en que ρ sea una constante, este termino se saca de la integral constante, este termino se saca de la integral y la integración es entonces puramente una función de geometría.

� Cuando el elemento de volumen seleccionadopara la integración tiene dimensionesinfinitesimales en las tres direcciones.

� El momento de inercia del cuerpo se determinapor medio de una “integración triple”

� Sin embargo, el proceso de integración puedesimplificarse a un integración simple siempre quesimplificarse a un integración simple siempre queel elemento de volumen seleccionado tenga untamaño o espesor diferencial en solo unadirección.

� Para este propósito a menudo se utilizaelementos en forma de casquillo o de disco.

� Para obtener el momento de inercia porintegración, consideremos solo cuerpos devolúmenes generados al hacer girar una curvaalrededor de un eje.

Se puede elegir dos tipos de elementos� Se puede elegir dos tipos de elementosdiferenciales:

� Elemento en forma de Casquillo:

� Si para la integración se selecciona unelemento en forma de casquillo de altura z,radio r=y, espesor dy, entonces el volumeneses

� dV= (2πy)(z)dy

� Este elemento puede utilizarse en la ecuación

� para determinar elmomento de inercia Iz,del cuerpo con respectoal eje z, puesto quetodo el elemento debidotodo el elemento debidoa su espesor queda a lamisma distanciaperpendicular r = y deleje z

� Elemento en forma de disco:

� Si para la integración se selecciona un elemento en forma de disco de radio y yespesor dz, entonces el volumen es

� dV = (πy2)dz.

� Este elemento es finito en la direccion radial y por consiguiente no todas sus partes quedan a la misma distancia radial r del eje z.

� Para realizar laintegración primero esnecesario determinar elmomento de inercia delelemento con respecto aleje z y luego integrareje z y luego integrareste resultado.

� No se pueden utilizar lasecuaciones como en elelemento anterior.

� Si se conoce el momento de inerciadel cuerpo con respecto a un eje quepasa por su centro de masa, entoncespuede determinarse el momento deinercia con respecto a cualquier otroeje paralelo por medio del teoremadelosejesparalelos,delosejesparalelos,

� Este teorema se deriva de laconsideración del cuerpo que semuestra en la figura. Aquí pasa el ejez’ pasa por el centro de masa G,mientras que el eje z paralelocorrespondiente queda a unadistancia d.

� Al seleccionar el elemento de masa diferencial dm, localizadoen el punto (x’, y’) y utilizar el teorema de Pitágoras,r2=(d+x’)2 + y2, podemos expresar el momento de inercia delcuerpo con respecto al eje z como

� Dado que r’2=x’2 + y2, la primera integral representa IG.� La segunda es igual a cero puesto que el eje z’ para por el

centro de masa del cuerpo, es decir

� La tercera integral representa la masa total m del cuerpo.

� Por lo tanto el momento de inercia con respecto al eje z puedeescribirse como.

� Donde

� IG = momento de inercia con respecto al eje z’ que pasa por el centro de masa G.

� m= masa del cuerpo

� d= distancia perpendicular entre los ejes paralelos z y z’.

� De vez en cuando, el momento de inercia de un cuerpo conrespecto a un eje especificado se reporta en manuales pormedio delradio de giro k.

� Este es una propiedad geométrica que tiene unidad de� Este es una propiedad geométrica que tiene unidad delongitud. Cuando se conocen el radio de giro y la masa m delcuerpo, el momento de inercia del cuerpo se determina con laecuación.

� Si un cuerpo se compone de varias formas simples comodiscos, esferas y barras, su momento de inercia conrespecto a cualquier eje se determina por la sumaalgebraica de los momentos de inercia de todas las formascompuestascalculadasconrespectoal eje.compuestascalculadasconrespectoal eje.

� La adición algebraica es necesaria puesto que una partecompuesta debe considerarse como una cantidad negativasi ya se contó como una pieza de otra de parte – porejemplo, un “ agujero” restado de una placa sólida.

� El teorema de los ejes paralelos se requiere para loscálculos si el centro de masa de cada parte compuesta noqueda en el eje.

� Paracálculos,entoncesI = ∑ (IG + md2). Aquí el IG de� Paracálculos,entoncesI = ∑ (IG + md2). Aquí el IG decada una de las partes compuestas se determina porintegración, o por formas simples, como barras y discos.

� La semiesfera se forma al hacer girar el área sombreadaalrededor del eje y. Determine el momento de inercia Iy yexprese el resultado en función de su masa total m. Ladensidadρ del material es constante.

� Determine el momento de Inercia delensamble con respecto a un eje perpendiculara la pagina y que pasa por el punto O. El pesoespecifico del materia es γ = 90 lb/pie3