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FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. TEMA 1. EL MOVIMIENTO. Página 1

Materiales de estudio para la asignatura de FÍSICA Y QUÍMICA Rafael González Farfán y Rafael Ángel Quirós Blázquez

TEMA 1

EL MOVIMIENTO

1.‐MOVIMIENTOS Y SISTEMAS DE REFERENCIA

Las ideas de reposo y movimiento, pertenecen a ese grupo de ideas que todo el mundo parece tener claras. Sin

embargo, pronto descubrirás que, en física, incluso las ideas más arraigadas pueden volverse dudosas si reflexionamos sobre ellas.

Imagina un portaaviones que se mueve tranquilamente por el mar a 20 km/h hacia la derecha. Sobre la cubierta

del mismo, hay una persona en bicicleta moviéndose

justamente a 20 km/h hacia la izquierda. Desde la playa, con unos prismáticos, un turista se da cuenta de que la

bicicleta

permanece

inmóvil

en

el

mismo

punto.

Por

supuesto, el ciclista no está de acuerdo en decir que él está

quieto. La pregunta es, “¿cuál de los dos observadores estará describiendo la realidad? ”. Los dos pueden llevar

parte de razón, desde su punto de vista.

El ejemplo anterior (sólo uno entre los muchos que podrían ponerse) demuestra que el reposo y el movimiento son dos ideas RELATIVAS, y que

en primer lugar, para hablar de ellos, es necesario DECIDIR

(arbitrariamente) un punto de referencia, respecto del cual realizar el estudio del movimiento. Según cuál sea esa elección, la descripción del movimiento es completamente distinta.

Como vemos en el ejemplo del portaaviones, no es necesario que el punto de referencia esté en “reposo”, como

por ejemplo la tierra firme. El portaaviones es el punto de referencia del ciclista, y este punto de referencia está en

movimiento (respecto a la tierra firme). Desde luego, desde el punto de vista del portaaviones, ¡es la tierra firme la

que está en movimiento! Además, ¿acaso la tierra “firme” no está también en movimiento alrededor del Sol? No

hay, por tanto, un sistema de referencia preferente: cualquier punto sirve como referencia. En un dibujo, lo

indicaremos con las letras P.R., o bien con la letra O (origen).

Una vez hecha la elección del punto de referencia, será necesario definir la POSICIÓN del cuerpo. Sin embargo, algo tan aparentemente simple se complica según la situación en la que nos encontremos.

• Si el cuerpo se mueve sobre una línea determinada que es conocida (por ejemplo, una

carretera o la

vía

del

tren)

llamaremos POSICIÓN (s) a la distancia que existe en todo

Al hablar de movimiento se

hace necesario, antes de

nada, decidir el PUNTO DE

REFERENCIA.

Criterio de evaluación nº 1

Reconocer las magnitudes necesarias para describir los movimientos, aplicar estosconocimientos a los movimientos de la vida cotidiana y valorar la importancia del estudiode los movimientos en el surgimiento de la ciencia moderna.

Plantearse y resolver cualitativamente problemas de interés en relación con el movimientoque lleva un móvil (uniforme o variado) y determinar las magnitudes características paradescribirlo.

Comprender el concepto de aceleración en los movimientos acelerados. Interpretar expresiones como distancia de seguridad, o velocidad media. Comprender la importancia de la cinemática por su contribución al nacimiento de la ciencia

moderna.





momento entre el cuerpo móvil y el punto de referencia elegido. Se indican con signo POSITIVO las posiciones que se encuentran a la DERECHA O ARRIBA del punto de referencia y NEGATIVO las que se

encuentran a la IZQUIERDA O ABAJO. En realidad, lo podríamos hacer también al revés, pero es necesario

que nos pongamos de acuerdo. Este es el caso que nos vamos a encontrar con más frecuencia en este

curso.

• Si el

cuerpo

se

puede

mover

libremente

por

un

PLANO

(por

ejemplo,

en

un

mapa),

para

saber

dónde

está

es necesario conocer DOS números llamados COORDENADAS, representados habitualmente por las letras x e y en matemáticas. También has estudiado que para localizar un punto sobre la superficie terrestre se

necesitan dos coordenadas llamadas latitud y longitud. Necesitamos igualmente fijar un punto de

referencia u ORIGEN DE COORDENADAS, y a partir de él se sigue el mismo criterio de signos que hemos dicho: hacia la derecha o hacia arriba, las distancias se consideran positivas, y viceversa.

• En el caso de que el cuerpo se mueva libremente por el ESPACIO, se necesitarán TRES coordenadas para

localizarlo correctamente. Este es el caso más complicado.

Después de definir la posición, ahora podemos afirmar que un cuerpo está en MOVIMIENTO cuando CAMBIA SU

POSICIÓN respecto de un punto de referencia. Estará en REPOSO cuando tal posición NO cambie. Por tanto, el movimiento y el reposo son relativos, dependiendo de dónde esté situado el punto de referencia. Así podremos comprender que, en el ejemplo anterior del portaaviones, una persona piensa que la bicicleta no se mueve porque

ha puesto la referencia en la playa, y otra persona piensa que sí se mueve, porque ha puesto la referencia en la

cubierta del portaaviones.

Habitualmente no

somos

conscientes

de

dónde

ponemos

el

punto

de

referencia,

y a partir

de

ahora

debemos

prestar atención a este detalle o no conseguiremos ponernos de acuerdo al describir un movimiento.

Observa en este dibujo otro

ejemplo un poco más complicado: cómo se vería el bote de una pelota desde

dentro del tren donde viaja el chico (movimiento rectilíneo, sube y baja), y el mismo

fenómeno visto desde fuera

(movimiento curvilíneo: avanza

y rebota

contra

el

suelo).

En este último ejemplo podemos ver que, si cambiamos el punto de referencia, también se observa una

trayectoria diferente. Se denomina TRAYECTORIA a la línea que forman todas las posiciones del cuerpo que se

mueve, por ejemplo el humo que dejan los aviones acrobáticos al moverse o la línea que dibuja la tiza en la

pizarra. Según sea su trayectoria, los movimientos se dividen en:

• Movimientos rectilíneos. La trayectoria es una línea recta.

• Movimientos curvilíneos. La trayectoria es una línea curva. Dentro de los movimientos curvilíneos, podemos destacar algunos:

- Movimiento circular (la trayectoria es una circunferencia)

- Movimiento

elíptico

(la

trayectoria

es

una

elipse).

- Movimiento parabólico (la trayectoria es una parábola).

coordenada x

O

1

x1

y1

O s

LOCA LIZ A CI ÓN S OB RE UN A L ÍN EA LOCA L IZ A CIÓN E N U N PLA NO

O

1

suelo

paredf ron t a l

e e z

ej e x

ej e y

z 1 : d i s t anc ia des de el s uel ox1

y1

LOCALIZACIÓN EN EL ESPACIO





A1.1 Señala el punto de referencia que tomarías y el número de coordenadas que serían necesarias para indicar la

posición en los siguientes movimientos. Indica también la clasificación del movimiento según su trayectoria: a) Un coche que se desplaza por la Autovía de Andalucía. b) Un caracol que se mueve por el suelo.

c)

Un

avión

en

pleno

vuelo

entre

dos

ciudades

muy

alejadas.

d) Una flecha lanzada desde lo alto de una muralla. e) Una lámpara que se suelta de techo y cae. f) Un péndulo oscilando.

2.‐ ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

Acabamos de decir que cuando un cuerpo se mueve, cambia de posición MIENTRAS VA TRANSCURRIENDO EL TIEMPO. Esto significa que los valores de las coordenadas (x, y ó z) necesarias para la localización del objeto van

cambiando cuando cambia el tiempo. Matemáticamente se expresa diciendo que las coordenadas son funciones

del tiempo.

Las matemáticas nos proporcionan un método que nos permite conocer en cualquier instante dónde está el objeto móvil, esto es, una función matemática. A esa función que relaciona la POSICIÓN con el TIEMPO se le

denomina ECUACIÓN DE POSICIÓN o ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO. Por ejemplo:

x = 3 ∙ t + 2

Ésta podría ser la ecuación de posición de un cuerpo que se mueve por el eje OX. La letra x representa la

coordenada donde se encuentra el objeto, y la letra t representa el tiempo. El tiempo (t) y la posición (x) son

variables y por eso se representan por letras. Para calcular dónde se encuentra el objeto, debemos CAMBIAR o

SUSTITUIR la letra t por el valor del tiempo (debe ser un valor positivo) y así encontramos el valor de x. Por ejemplo, si queremos saber dónde se encuentra el objeto a los 4 segundos de iniciar el movimiento, cambiamos t por 4 segundos:

x = 3 ∙ 4 + 2 = 14 metros

Como el resultado es POSITIVO, debemos interpretar que se encuentra a la DERECHA del punto tomado como

referencia. Observa que siempre utilizamos las unidades del SISTEMA INTERNACIONAL, que como ya estudiaste el año pasado, son metros para las distancias y segundos para los tiempos.

Si te das cuenta, necesitamos también un origen para el tiempo. El tiempo se suele medir con un CRONÓMETRO, que se pone en marcha en el momento que se desee. Se le llama POSICIÓN INICIAL x0 a la que tenía el cuerpo

cuando se puso en marcha el cronómetro, y por tanto, si queremos hallarla, debemos sustituir t = 0 segundos:

POSICIÓN INICIAL x 0 = 3 ∙ 0 + 2 = 2 metros

El resultado es de nuevo positivo, o sea, que el objeto se encontraba 2 metros a la derecha del punto de

referencia.

Con el conocimiento que se supone que tienes sobre ecuaciones de 1º grado (las más sencillas), también es posible lo contrario: calcular CUÁNDO se encontraba un objeto en una cierta posición. Para ello, sustituimos la x por la posición conocida y DESPEJAMOS t de la ECUACIÓN. Si al resolver la ecuación da un tiempo negativo, se

debe interpretar que el objeto nunca pasa por esa posición, o que el objeto ya ha pasado por ahí antes de poner en marcha el cronómetro. Por ejemplo, si queremos saber en qué momento se encontraba el objeto situado a 5

metros a la derecha del origen, cambiamos x por 5 metros:

5 = 3 ∙ t + 2

5 – 2 = 3 ∙ t 3 = 3 ∙ t

t = 1 segundo





Si queremos saber si alguna vez el objeto móvil ha pasado por el punto de referencia, debemos cambiar x por 0 metros:

0 = 3 ∙ t + 2

‐ 2 = 3 ∙ t t = ‐ 2 / 3 segundos

No es ningún problema que nos haya salido una fracción. El problema es que el tiempo no puede ser negativo, por tanto, en este ejemplo, el objeto NUNCA pasa por el punto de referencia.

Por costumbre, si el objeto se mueve en una línea VERTICAL, utilizaremos la letra y en vez de la letra x para indicar la posición del objeto. Si el objeto se mueve por una trayectoria conocida, aunque no sea rectilínea, como una

carretera, utilizaremos cualquier otra letra (por ejemplo la letra s) para indicar la posición del objeto.

A1.2 Completa la siguiente tabla referida a la ecuación x = 3 ∙ t + 2.

t (en seg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x (en m)

a. ¿Cuál es la posición inicial del cuerpo? b. ¿Cuál será la posición al cabo de 20 s? ¿Y a los 5,5 s? ¿Y cuando t = 7/3 segundos? c. ¿Cuándo alcanza el objeto la posición x = 18 metros? d. ¿Cuándo se encuentra el objeto a 8 metros a la derecha del punto de referencia?

A1.3 La ecuación de un tren expreso viene descrita por la expresión x E = ‐50∙t +10, mientras que un tren talgo que

se mueve por la misma vía, lleva de ecuación x T = 30∙t – 90. En este caso, x está en kilómetros y t en horas. (a) ¿Dónde se encontraba cada tren en el momento de iniciar la cuenta del tiempo? (b) ¿Qué distancia separaba inicialmente los trenes? (c) Deduce en qué sentido se mueve cada tren, hacia la derecha o hacia la izquierda.

(d) ¿Llegarán

a

chocar

los

trenes?

De

ser

así,

indica

cuándo

y

dónde.

(e) Cuando el tren expreso esté 14 km a la izquierda del origen ¿dónde estará el talgo? (f) ¿Pasa algún objeto móvil por el punto de referencia (común) elegido?

A1.4 La ecuación de movimiento de un ciclista viene descrita por la expresión s = – 5 – t, donde s está en metros y t en segundos. Un espectador, situado 20 m a la derecha del punto de referencia, está esperando que pase por delante para sacarle una foto. ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar? ¿Ha pasado el ciclista en algún momento por el punto de referencia?

3.‐

ESPACIO

RECORRIDO

Y

DESPLAZAMIENTO

Se define el DESPLAZAMIENTO (∆ x ) como la distancia entre la posición inicial y la final. En el desplazamiento

sólo nos interesa el resultado final del movimiento, no nos importa cómo ha llegado hasta ahí. La letra griega

DELTA ∆ indica DIFERENCIA. ∆ x = x ‐ x 0

Se define ESPACIO RECORRIDO (e) como la distancia que realmente ha recorrido el objeto móvil sobre la

trayectoria. El espacio recorrido sólo coincide con el desplazamiento cuando el móvil NO CAMBIA DE SENTIDO

(es decir, cuando no se da la vuelta). Si se diera la vuelta, habría que sumar el espacio recorrido en la ida y en la vuelta.

Por

ejemplo,

observa

las

siguientes

gráficas.

En

la

primera

de

ellas,

el

espacio

realmente

recorrido

por

el

objeto

es

desde x = ‐ 3 m hasta x = 4 m (un total de 7 metros) y luego vuelve hasta x = 1 m (otros tres metros más). Por





tanto, ha recorrido un ESPACIO de 10 metros. Sin embargo, el DESPLAZAMIENTO ha sido sólo de 4 metros, que es la distancia entre la posición inicial y la final. Observa que el desplazamiento nos ha salido POSITIVO, lo cual significa que en total se ha desplazado HACIA LA DERECHA. Es importante restar en el orden correcto, la posición final menos la posición inicial. ¿Cuándo va a salir NEGATIVO? Cuando la posición final sea un número menor que

la posición inicial, o sea, cuando se desplace hacia la IZQUIERDA.

A1.5 En las gráficas anteriores, indica la posición inicial y la posición final del objeto móvil y determina en cada

caso: a) El espacio recorrido por el móvil. b) El desplazamiento

c) La trayectoria, ¿es rectilínea o curvilínea?

• Si la trayectoria es una CIRCUNFERENCIA podemos calcular el espacio

recorrido con la famosa fórmula:

LONGITUD = 2 ∙ π ∙ R (R es el radio)

• Si el objeto se mueve siguiendo la hipotenusa de un triángulo rectángulo, podemos aplicar el famoso TEOREMA DE PITÁGORAS:

H2 = A2 + B

2 (A y B son los catetos)

• Es importante entender que la ecuación del movimiento NO CALCULA el espacio recorrido por el cuerpo, ni su desplazamiento, sino “dónde está”, es decir LA POSICIÓN del objeto respecto de un punto de referencia.

• Date cuenta de que la ecuación del movimiento NO NOS INFORMA DEL TIPO DE TRAYECTORIA QUE LLEVA EL CUERPO.

A1.6 ¿Dependerá el desplazamiento de un cuerpo del punto dónde decidamos situar la referencia? ¿Y el espacio

recorrido? Cambia en las gráficas anteriores el punto de referencia (sitúalo donde tú quieras), y vuelve a numerar todas las posiciones. Calcula de nuevo el desplazamiento y el espacio recorrido, y comprueba si sale el mismo.

A1.7 Un móvil que se encuentra en la posición inicial x = 2 m se traslada hasta la nueva posición de x = ‐ 2 m. a) ¿Cuál ha sido su desplazamiento? ¿Qué signo ha salido? ¿Qué significa ese signo? b) Si después vuelve hasta la posición inicial, determina el nuevo desplazamiento y el desplazamiento total efectuado. Interpreta los signos que has obtenido.

A1.8 ¿Es posible que un móvil haya descrito una trayectoria y no haya realizado un desplazamiento? ¿Es posible

que el desplazamiento sea mayor que el espacio recorrido? Explicación.





A1.9 Un tren se mueve sobre una vía curvilínea. Una vez fijado el punto de referencia en uno de los postes de

electrificación, se encuentra que la coordenada de posición varía con el tiempo de acuerdo a la expresión: S = 10 ∙ t – 25

a. ¿Cuál es la posición del cuerpo en el instante inicial (t = 0 segundos)? Explícala con palabras. b. Determina la posición al cabo de 5 segundos.

c.

¿Se

cruzaría

con

otro

tren

que

circule

por

otra

vía

paralela

y

que

tuviera

de

ecuación

R

=

9

–

7 ∙

t?

En

caso

afirmativo indica cuándo y dónde sucede. d. ¿Qué tiempo habrá transcurrido para que el objeto S se sitúe a 250 m a la derecha del punto de

referencia? e. ¿Qué espacio habrá recorrido cada tren en 5 minutos de recorrido? ¿Dónde estará cada uno? (Sabemos

que NO se han dado la vuelta)

A1.10 Las ecuaciones de posición de una hormiga que se mueve por el suelo son

x = 3 ∙ t – 4 y = 2 ∙ t (Sistema Internacional de unidades) a) Completa el siguiente cuadro:

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x (m)

y

(m)

b) Representa gráficamente en un sistema de coordenadas XY los puntos por los que va pasando la hormiga. c) Anota junto a cada punto el valor del tiempo en el que pasa por él. d) Une todos los puntos para encontrar la trayectoria del móvil. ¿Es rectilínea o curvilínea? e) Encuentra el desplazamiento entre los puntos t = 2 segundos y t = 6

segundos.

A1.11 Determina el espacio recorrido por la Tierra alrededor del Sol en un año, sabiendo que el radio de la órbita es aproximadamente 150 ∙10

6 kilómetros.

¿Cuánto vale el desplazamiento de la Tierra en ese tiempo?

A1.12 Una persona camina 4 km hacia el norte; luego 2 km hacia el Este, y por

último,

900

m

hacia

el

sur.

Representa

en

un

sistema

de

coordenadas

XY

la

trayectoria de la persona. ¿Cuál ha sido el desplazamiento total? ¿Y el espacio recorrido?

A1.13 La gráfica corresponde a un movimiento

rectilíneo horizontal, aunque la posición se

represente en el eje OY. Busca en ella la

respuesta a las cuestiones siguientes: a) Construye una tabla posición‐tiempo. b) ¿Cuál ha sido el desplazamiento entre los instantes t = 6 s y t = 10 s? Interpreta el signo. c) ¿Cuál ha sido el desplazamiento total? d) ¿Coincide el desplazamiento total con el espacio recorrido total? e) Indica dos posiciones entre las cuales el objeto se haya desplazado 20 metros hacia la

derecha. f) ¿En qué instante se encuentra más alejado de su posición inicial?

Evidentemente lo que nos interesa es saber construir las ecuaciones del movimiento de los objetos, atendiendo a

las características de su movimiento. Como verás en lo que sigue NO es un proceso en absoluto complicado, pero

antes hemos de profundizar un poco en algunas magnitudes que nos ayudarán a definir y estudiar el movimiento

de los objetos. Ya lo decía el propio Galileo Galilei: ‘ignoratu motu, ignoratur natura’





4.‐MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Algunas magnitudes quedan perfectamente determinadas con un valor numérico. Así, al hablar de la

masa de un cuerpo sólo es necesario conocer la cantidad

correspondiente (por

ejemplo,

5 kg).

A

nadie

se

le

ocurre

preguntar si el valor de esa masa es con el cuerpo boca

arriba o boca abajo.

Este tipo de magnitudes, donde no importa la dirección, se denominan MAGNITUDES ESCALARES. Más ejemplos de magnitudes escalares son la temperatura, el volumen

o el tiempo. En cambio, para otras magnitudes es muy

importante ‘disponer de más información’ para tenerlas completas. Por ejemplo, en algunas de ellas necesitamos conocer UNA DIRECCIÓN (además de la cuantía, o valor), y/o necesitamos UN SENTIDO: son las MAGNITUDES VECTORIALES. Por ejemplo, si nos piden que te desplaces 100 m, ¿quedaría perfectamente claro hacia dónde te tienes que

mover?

El desplazamiento es una magnitud vectorial.

Las magnitudes vectoriales se representan gráficamente por medio de FLECHAS, que en matemáticas se llaman

VECTORES. Se suele poner una flecha encima de la letra. Podemos distinguir tres partes:

• MÓDULO: es el número con la unidad correspondiente. Cuanto mayor sea el número, más largo hay que

pintar el vector. • DIRECCIÓN: recta que contiene al vector. Puede ser vertical, horizontal, inclinada, etc.

• SENTIDO: señalado por la flecha. Se indica con el SIGNO, como ya sabemos, POSITIVO hacia la DERECHA O

ARRIBA, y NEGATIVO hacia la IZQUIERDA O ABAJO.

Para sumar o restar vectores hay que tener en cuenta la dirección y sentido de las mismas. Si tienen la misma dirección, es tan fácil como sumar números enteros, teniendo en cuenta su signo. Así, si dos vectores tienen el mismo sentido se suman sus módulos (o valores absolutos), pero si tienen sentido contrario, se restan y se le pone

el signo (o sentido) del mayor de ellos. En el próximo tema estudiaremos la suma cuando tienen distinta dirección.

A1.14 Clasifica las siguientes magnitudes en escalares o vectoriales, explicando la razón: a. el tiempo

b. el volumen

c. la densidad d. la temperatura

e. la posición de un cuerpo

f.

el

desplazamiento

que

sufre

un

móvil

g. el espacio recorrido por un cuerpo

A1.15 ¿Qué significa una señal de tráfico de forma circular y color rojo, con un rectángulo

blanco en el centro? ¿Por qué suele decirse que ‘las señales de tráfico de dirección prohibida

son científicamente erróneas’?

5.‐ VELOCIDAD Y RAPIDEZ

En principio parece que casi todo el mundo conoce qué es la velocidad. Por ejemplo, si tardamos dos horas en

recorrer

una

distancia

de

80

km,

decimos

que

hemos

viajado

a

una

velocidad

de

80/2

=

40

km/h.

Pero

esta





información es incompleta, ya que no conocemos HACIA DÓNDE se ha movido el objeto. En física, la palabra VELOCIDAD tiene un significado más completo:

• La velocidad es una magnitud vectorial. No es lo mismo lanzar un

cuerpo hacia arriba que hacia un lado. Por tanto, al hablar de

velocidad

es

preciso

señalar

el

módulo,

la

dirección

y

el

sentido.

• El módulo de la velocidad (vector) es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado y se denomina RAPIDEZ. En el ejemplo anterior 40 km/h sería la rapidez, no la velocidad.

• La dirección de la velocidad (vector) es la recta TANGENTE a la trayectoria en dicho punto. Recuerda que la tangente es una recta

que toca a una curva sólo en un punto. Lógicamente, si la

trayectoria es recta, la dirección de la velocidad coincide con dicha

recta.

• El sentido de la velocidad (vector) es la información de hacia dónde se mueve (hacia la derecha o hacia la izquierda), una vez conocida la dirección (la recta donde se mueve). En el lenguaje de la

calle, frecuentemente se confunden las palabras “dirección” y “sentido”. Así, algunos dicen “el coche

accidentado

iba

en

dirección

contraria

a

los

demás

coches”

en

vez

de

decir

“el

coche

accidentado

iba

en sentido contrario a los demás coches”, esto último sería lo correcto.

Por otra parte, tenemos que diferenciar la RAPIDEZ MEDIA de la RAPIDEZ INSTANTÁNEA. Por ejemplo, si tardamos una hora en recorrer 60 km, la velocidad media es 60 km/h, pero eso no quiere decir que todo el tiempo hemos

viajado a 60

km/h,

a veces

hemos

corrido

un

poco

más,

y a veces

hemos

ido

más

lentos,

o incluso

nos

hemos

detenido.

La mayoría de los movimientos de la vida real tienen una velocidad variable, no constante. Pero podemos utilizar la ecuación del movimiento UNIFORME que acabamos de ver, siempre que a la letra V le demos el significado de “velocidad media”.

EL VELOCÍMETRO DE UN VEHÍCULO NOS INDICA LA RAPIDEZ, NO LA VELOCIDAD

EL VELOCÍMETRO INDICA LA RAPIDEZ INSTANTÁNEA, NO LA RAPIDEZ MEDIA

A1.16 ¿Puede variar la velocidad de un objeto sin que varíe su rapidez? ¿Y a la

inversa? EXPLICACIONES y ejemplos.

A1.17 Clasifica las siguientes rapideces de menor a mayor: 60 km/h 20 m/s 1800 cm/min

A1.18 Un avión vuela en círculos con una rapidez constante de 36 m/s. ¿Es constante su velocidad?

A1.19 Hay aviones que pueden volar a 2500 km/h; y el sonido se desplaza en el aire a 340 m/s. ¿Qué movimiento es más rápido?

A1.20 El autobús del transporte escolar, pasó por el kilómetro 80 de la carretera N‐350 a las 7h 35 m 21 s, y por el kilómetro 113 de la misma carretera a las 8h 07 m 12 s. ¿Cuál fue la rapidez media en ese tramo? ¿Podemos asegurar que el autobús no se ha detenido en ningún momento? ¿Sería posible que el autobús hubiera rebasado el límite de 90

km/h?

EXPLÍCALO.

tporrepresentaseidotranscurrtiempoEl

sporrepresentaserecorridoespacioEl

t

s vpor vrepresentaserapidezLa

vporrepresentasevelocidadLa

∆

∆

∆

∆==

r

r

v

v

v

v





6.‐MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

En un movimiento rectilíneo la rapidez puede ser constante (no cambia) o variable (va cambiando poco a poco). En el caso de que la rapidez sea constante se habla de MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.

En el

caso

de

que

la

rapidez

vaya

cambiando

poco

a poco

se

habla

de

MOVIMIENTO

RECTILÍNEO

ACELERADO.

La ecuación de posición en un movimiento rectilíneo uniforme es del tipo

X = Xo + V∙ t

Donde Xo hay que sustituirlo por la POSICIÓN INICIAL, y V por la VELOCIDAD (por ahora, rapidez con signo).

X (POSICIÓN FINAL) y t (TIEMPO) son las variables y no se

sustituyen, si solamente queremos escribir la ecuación.

• v es la rapidez, con signo + si el cuerpo se desplaza hacia la derecha o hacia arriba y con signo – hacia la izquierda o hacia abajo.

• x 0 es la posición inicial, con signo + si el cuerpo se encuentra a la derecha o encima del punto de referencia y con signo – si se encuentra a la izquierda o debajo del mismo.

Recuerda que la ecuación de los movimientos solo nos dicen LA POSICIÓN del móvil, y NO el espacio recorrido, si bien ese espacio y otras magnitudes pueden DEDUCIRSE a partir de ella.

A1.21 La ecuación de posición de un cuerpo viene dada por la expresión (S.I.) y = 20 – 2 t a) Explica el significado de dicha ecuación. ¿Se puede deducir que el movimiento que sigue es rectilíneo? b) Sustituye t por 10 segundos y calcula y . ¿Qué significa ese resultado?

c) ¿Cuál es su velocidad? ¿Y su rapidez? d) ¿Qué espacio habrá recorrido en los 6 primeros segundos de su movimiento? e) ¿Coincide el espacio que has calculado con el desplazamiento, en los 6 primeros segundos?

A1.22 La ecuación de posición de un móvil que sigue un movimiento rectilíneo es x = – 4 ∙ t + 40 (S.I.). a) Completa la siguiente tabla:

t (s) 0 4 8 12 16

x (m) 32 16 0 – 16 – 32

b) ¿Recorre espacios iguales en tiempos iguales? c) ¿Es por tanto un movimiento uniforme o acelerado?

d) Calcula la rapidez a partir de la tabla, tomando distintos intervalos de tiempo. ¿Sale siempre igual? e) Identifica la rapidez y la posición inicial en la ecuación de posición. f) Representa gráficamente x frente a t. ¿Qué significa que la pendiente sea hacia abajo?

A1.23 El siguiente cuadro contiene información sobre la posición de un móvil que sigue una trayectoria recta, en

función del tiempo:

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7

x (m) -4 -2 0 2 4 6 8 10

¿Es un movimiento rectilíneo uniforme? Escribe la ecuación que relaciona la posición del móvil con el tiempo y

representa la posición frente al tiempo.





A1.24 Los datos del estudio del movimiento de un cuerpo, son los que aparecen en la siguiente tabla:

Posición x (m) 10 4 0 -2 -1 1 4 8 13 19 19 19

Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a) Realiza la gráfica posición ‐ tiempo. b) ¿Hacia dónde se mueve el objeto al principio? ¿Cambia la velocidad de sentido (“se da la vuelta”) en algún

momento? ¿Se detiene el objeto en algún momento? Con esta información, escribe una frase describiendo el movimiento del objeto.

c) ¿Se trata de un movimiento uniforme? Explica por qué. d) ¿En qué momentos lleva una mayor rapidez? e) ¿Qué distancia total recorre el móvil? ¿Coincide con el desplazamiento total? f) ¿Cuántas veces pasa por el punto de referencia?

A1.25 Encuentra la ecuación del movimiento de un objeto que se encuentra en y = 8 metros cuando t = 1 segundo y en y = 2 metros cuando t = 2 segundos. Vas a necesitar resolver un SISTEMA DE DOS ECUACIONES.

A1.26

La

gráfica

adjunta,

representa

el

resultado

del

estudio

del

movimiento

de

un

objeto

móvil.

a) Indica la posición inicial del objeto y calcula la rapidez. b) Determina la ecuación del

movimiento que lo representa. c) Calcula el instante exacto en que

pasa por el punto de referencia. d) ¿Cuándo estará ese cuerpo situado a

100 m a la izquierda del punto de

referencia? e) ¿Qué distancia total recorre en los 15

segundos de estudio? f) Representa la gráfica rapidez ‐

tiempo

y

comprueba

si

el

área

bajo

la

gráfica coincide con el resultado del apartado anterior.

A1.27 La posición inicial de un objeto es s0 = ‐ 10 metros. Cuando pasa por el punto de referencia , el tiempo es t =

5 segundos. ¿Cuál es la ecuación de su movimiento?

A1.28 Un movimiento que sea UNIFORME, ¿ha de ser obligatoriamente rectilíneo? Un movimiento que sea

rectilíneo, ¿ha de ser obligatoriamente UNIFORME? Explicaciones.

EJERCICIOS DEL MOVIMIENTO UNIFORME

Para aplicar la ecuación del Movimiento Uniforme a la resolución de ejercicios es conveniente seguir una serie de

pasos que nos facilitaran la comprensión y la resolución de los mismos. 1. Dibujo o esquema que especifique el punto de referencia y los signos de las velocidades y posiciones. 2. Escribir los “datos” (la información que da el problema) junto a su correspondiente magnitud (“letra”) y

pasarlo a unidades internacionales, si hay mezcla de unidades en el ejercicio. 3. Escribir la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme y sustituir las magnitudes que sean conocidas. 4. Aplicar la condición que se obtiene del enunciado y resolver la ecuación. 5. Interpretar el resultado.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

20

40

60

-20

-40

-60





Vamos a verlo con un ejemplo

PROBLEMA EJEMPLO: Un coche sale de la ciudad A hacia la ciudad B con velocidad constante de

60 Km/h. Otro sale dos horas después desde B hacia A con una velocidad de 90 Km/h. La

distancia entre A y B es de 500 Km. ¿Cuándo y donde se encuentran?

Lo primero, necesitamos un PUNTO DE REFERENCIA. Vamos a ponerlo por ejemplo EN LA CIUDAD “A”.

Dado que el vehículo B no parte hasta 2 horas después, el primero ya le lleva 120 km “de ventaja”: esta es su

posición inicial. Es decir, vamos a poner “cronómetro en marcha” (t = 0) en el momento en que sale el vehículo B. En ese momento, las ECUACIONES del movimiento son

A = 120 + 60 t

B = 500 – 90 t

(posición en kilómetros y tiempo en horas)

Observa que la posición inicial de B no es cero, sino 500, porque el punto de referencia hemos dicho que es A.

Además, observa

que

la

velocidad

de

B

es

negativa,

porque

se

mueve

hacia

la

izquierda.

En

el

tiempo

t no se

incluyen las dos horas que el vehículo A se estaba moviendo antes de que saliera el vehículo B.

CONDICIÓN: Cuando suceda el cruce, las posiciones de ambos vehículos en ese instante deberán ser las mismas (es decir, estarán en el mismo lugar), por tanto

A = B

120 + 60 t = 500 – 90 t

Resolvemos la ecuación y sale: t = 2,53 h

O sea, se cruzarán 2,53 h después de haber salido B. OJO: 2,53 h NO SON 2 HORAS Y 53 MINUTOS. ACTIVIDAD 1: ¿Sabes pasar este dato a horas y minutos? ACTIVIDAD

2:

Deduce

lógicamente:

¿cuánto

tiempo

ha

estado

viajando

el

vehículo

B?

¿Y

el

vehículo

A?





Ya sabemos cuándo se cruzan. Ahora vamos a averiguar dónde.

El lugar del encuentro se calcula sustituyendo el tiempo en cualquiera de las dos ecuaciones, porque tiene que dar el mismo resultado. Sale A = B = 272 km. Esta distancia se mide a partir del punto de referencia. ¿Te acuerdas cuál

es?

ACTIVIDAD 3: ¿Qué distancia ha recorrido cada coche cuando se cruzan? (la respuesta no es 272 km)

Ahora inténtalo por tí mismo….

A1.29 Dos amigas deciden un domingo salir al campo en bicicleta. Una de ellas circulará a una media de 20 Km/h; la otra, como es capaz de mantener una velocidad media mayor (25 km/h), saldrá media hora más tarde. ¿Cuánto

tiempo tardará en alcanzar a su amiga? ¿Qué distancia ha recorrido cada una en ese momento?

A1.30 Un atleta hace footing por un camino a la velocidad constante de 8 km/h. Quince minutos más tarde, un

motorista sale en su busca con una velocidad constante de 24 km/h. a) ¿Cuándo y dónde se encuentran? b) Representa gráficamente las posiciones de ambas personas frente al tiempo, en una misma gráfica las

dos líneas. Señala con un punto el momento de encontrarse ambos.

A1.31 De una misma estación salen, en el mismo instante, dos trenes, con

velocidades constantes de 72 y 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo la

distancia que separa a ambos será de 2 km…

a) …Si se mueven en el mismo sentido de circulación? b) …Si se mueven en sentidos contrarios?

A1.32 Un automóvil sale a las 9:00 horas de Écija en dirección a Sevilla

(a 90 km de Écija) con velocidad constante de 90 km/h. En el momento

que el automóvil pasa por La Luisiana (a 18 km de Écija), sale otro

automóvil con intención de realizar el mismo viaje, pero a una velocidad de 120 km/h. a) Escribe las ecuaciones de posición de los dos automóviles. b) ¿Alcanzará el segundo automóvil al primero antes de llegar a Sevilla? c) En caso afirmativo, ¿a cuántos kilómetros de Écija? Y ¿a qué hora se produce el encuentro?

A1.33 Está disputándose la final olímpica de los 200 m lisos. Supongamos que los corredores se mueven a velocidad constante. Cuando el cronómetro del juez de

meta marca 11 segundos, el corredor azul entra en la recta final y le faltan por tanto 100 m para la meta. El corredor verde le sigue 6 metros pordetrás. Cuando

el cronómetro indica 19 segundos, al corredor de azul le faltan 44 m para llegar a

la meta, y el de verde le sigue ahora a tan sólo 2 metros de distancia. a) Determina la velocidad y la posición inicial de cada uno, tomando la

meta como punto de referencia. b) Escribe la ecuación de movimiento de cada uno. c) ¿Alcanzará el corredor verde al azul antes de llegar a la meta?

A1.34 La locomotora de un tren, que mide 100 m de largo, toca la bocina justo al entrar en un túnel. Un pasajero

que se encuentra en la cola del tren observa que pasan 5 s desde que escuchó la bocina hasta que él entra en el túnel y que transcurren 8 s más hasta salir de éste.

a) Calcula la rapidez del tren. b) Escribe la ecuación de posición del pasajero con respecto a la entrada del túnel. Indica qué punto de

referencia has elegido, y en qué momento se pone en marcha tu cronómetro (imaginario). c) Calcula la longitud del túnel.





A1.35 La ecuación del movimiento para dos móviles que se mueven por la misma trayectoria, es (S.I.):

x A = 7 – 3 ∙ t x B = – 1 + 5 ∙ t

a) ¿Cuál tiene una velocidad mayor? b) ¿Se mueven en el mismo sentido o en sentido contrario?

c)

Sin

realizar

ningún

cálculo,

¿podríamos

saber

si

se

van

a

cruzar

en

algún

momento?

d) En el caso de encontrarse, ¿qué velocidad tiene cada uno en ese momento? e) ¿Pasan los dos móviles por el punto de referencia? En caso afirmativo, ¿cuál pasa antes?

A1.36 Se denomina TIEMPO DE REACCIÓN al tiempo que tarda en reaccionar una persona que va conduciendo, desde que decide frenar hasta que acciona

el freno. Normalmente, este tiempo es de ¾ de segundo. Si la distancia que

nos separa del obstáculo es menor que la distancia que recorremos durante

el tiempo de reacción, es seguro que vamos a tener un accidente. Por tanto, tenemos que conservar una DISTANCIA DE SEGURIDAD delante de nuestro

vehículo que sea como mínimo igual a la distancia recorrida en ¾ de segundo. Completa esta tabla (ten cuidado con las unidades): Velocidad Ciclomotor 50 km/h Camión 80 km/h Autovía 120 km/h Conductor irresponsable 150 km/h

Distancia

mínima de

seguridad ( metros )

• ¿Es proporcional la distancia de seguridad a la velocidad? Inventa un truco fácil para calcular mentalmente la mínima distancia de seguridad.

Ten en cuenta que, a la distancia que has calculado, hay que sumarle la distancia de frenado, es decir, la distancia

necesaria para detener el vehículo. Pero de esto hablaremos más adelante.

A1.37 El presidente del gobierno sale de Madrid en AVE en dirección a Sevilla, aproximadamente a 500 km de distancia. Supongamos que el AVE circula a una velocidad media de 200 km por hora. Delante del AVE, y al mismo tiempo, sale un helicóptero para

inspeccionar la vía, a 300 km/h. Cuando el helicóptero llega a Sevilla, se da la vuelta y continúa inspeccionando la vía hasta encontrarse con el tren. De nuevo se da la vuelta y así sucesivamente hasta que el tren llega a Sevilla. ¿En qué punto kilométrico se produce el primer encuentro entre el tren y el helicóptero?

• ¿Cuántos kilómetros ha recorrido el helicóptero en el momento en que el AVE llega a Sevilla? (Es más fácil de

lo que parece)

A1.38 El intrépido protagonista de "La vuelta al mundo en ochenta días" Phileas Fogg, ha llegado tarde al puerto: el barco en el que debería continuar su viaje ha salido dos horas antes, con una rapidez constante de 40 km/h. Pero

Fogg no se da por vencido. Contrata los servicios de una pequeña motora y sale en persecución del barco a una

velocidad constante de 50 km/h. ¿A cuántos kilómetros de la costa lo alcanzará y cuánto tiempo tardará?

A1.39 Un matrimonio viaja a Málaga desde Écija (134 km). El marido le pide a su mujer que acelere a 140 km/h, para llegar antes, saltándose el límite de 120 km/h. Pero ella le

responde que no merece la pena que le multen por ganar menos de 10 minutos. ¿Lleva

razón la señora?

ACTIVIDADES PARA PRACTICAR MÁS

A1.40 Un cuerpo se mueve por una carretera. La ecuación de posición es s = 6 ∙ t ‐ 10. a) ¿Dónde se encuentra inicialmente el cuerpo? ¿Cuál es su velocidad? b) ¿Pasará por el punto de referencia? En caso afirmativo, ¿cuándo? c) Determina el espacio recorrido en los cinco primeros segundos.





A1.41 La gráfica de la figura representa la posición de un cuerpo (con respecto a un punto de referencia) en función

del tiempo. a) Describe el movimiento del cuerpo entre los intervalos A‐B, B‐C y C ‐D. b) Calcula el espacio recorrido en cada tramo y el

espacio recorrido en total.

c)

Calcula

el

desplazamiento

en

cada

tramo

y

el

desplazamiento total.

A1.42 Alberto va en el coche azul, y se encuentra en el típico

atasco de todas las mañanas para llegar al instituto. Salió de

su casa a las 7:30 h de la mañana y llega al instituto a las 8:00 en punto. Su casa se encuentra a 3 Km del centro. ¿Cuál es la velocidad media que lleva el padre de Alberto?

A1.43 Carlos, vecino de Alberto, ha decidido ir al centro en bici, ya que por el carril de bicicletas puede llevar una media de 9

Km/h, recorriendo los mismos 3 Km de Alberto. ¿A qué hora debe

salir Carlos de su casa para llegar puntualmente al Instituto?

A1.44 Un coche parte de un punto con una velocidad constante de 54 Km/h. Media hora más tarde, sale del mismo punto en su

persecución otro coche a una velocidad constante de 72 Km/h. ¿A

qué distancia del punto de partida le alcanzará?

A1.45 Marta va de paseo en bici. Inicialmente se

encuentra a 10 m de su casa (que adoptaremos como

el punto de referencia). Cuando se encuentra a 20 m

del origen de posiciones, se da cuenta de que no lleva

la gorra. Se para y la busca durante 10 segundos hasta que la encuentra unos metros hacia atrás. Retrocede, la recoge y sigue avanzando. ¿Es correcta

esta gráfica posición‐tiempo para este movimiento? ¿Por qué? En caso contrario dibuja la gráfica que lo

represente.

7.‐ ACELERACIÓN

No debemos sacar hasta aquí la errónea conclusión de que todos los movimientos de la Naturaleza son rectilíneos y uniformes y que por tanto todos los movimientos tienen una ecuación general de forma x = x0 + v∙t. Muchos movimientos se producen con rapidez (y con velocidad) variable, y en ese caso, la ecuación debe modificarse.

Dentro de los movimientos variables hay uno especialmente importante: cuando la velocidad varía

uniformemente, es decir, en un mismo intervalo de tiempo siempre gana (o pierde) la misma rapidez. Este tipo de

movimiento se denomina MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO.

• CUIDADO: No existe el movimiento UNIFORME ACELERADO. ¡Sería una contradicción!

Para indicar los CAMBIOS de velocidad es necesario definir una nueva magnitud que se denomina

ACELERACIÓN. Esa magnitud nos mide cuánto cambia la velocidad en cada unidad de tiempo, por lo

que matemáticamente puede definirse como:

P o s i c i ó n

( m )

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

T i e m p o

( s )

6 0 1 2 0 1 8 01 4 0 2 0 0

A

B C

D

t

v-v a 0

∆=





En el lenguaje coloquial, ir “acelerado” es ir “rápido”, por tanto, se podrían confundir la aceleración con la

velocidad. Sin embargo, en la ciencia son dos conceptos muy diferentes. La aceleración NO mide la velocidad, sino

el cambio que se produce en ésta, y repartiendo este cambio entre el tiempo que ha tardado en producirse, para

obtener el cambio en cada UNIDAD DE TIEMPO (por ejemplo en cada segundo).

De

acuerdo

con

esto,

las

UNIDADES

INTERNACIONALES

DE

ACELERACIÓN

son

metros

por

segundo

en

cada

segundo (m/s2).

Por ejemplo, una coche que pasa de 15 m/s a 19 m/s y tarda 2 segundos en dicho cambio, su velocidad ha

cambiado en 4 m/s, repartidos entre los dos segundos que ha tardado, tendrá una aceleración de 2 metros por segundo, en cada segundo, o sea 2 m/s2. Si hubiera sido al revés, pasar de 19 m/s a 15 m/s en dos segundos, la

aceleración sería NEGATIVA (PORQUE DISMINUYE LA VELOCIDAD). Si restamos siempre en el orden correcto FINAL MENOS INICIAL nos sale un signo negativo; 15 – 19 = – 4. La aceleración, igual que la velocidad, tiene un

SENTIDO y se puede representar con una flecha como se ve en el dibujo siguiente. Las flechas rojas representan la

aceleración y las negras la velocidad:

Hay que destacar que la aceleración es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido se calculan RESTANDO

dos vectores velocidad. Del mismo modo que la velocidad, EL SENTIDO DEL VECTOR ACELERACIÓN SE INDICA

MEDIANTE UN SIGNO: POSITIVO hacia la DERECHA o ARRIBA, NEGATIVO hacia la IZQUIERDA o ABAJO.

Observa con mucho detenimiento los siguientes ejemplos, para darte cuenta de que una aceleración negativa NO

SIEMPRE significa que el automóvil va más despacio:

Verás que ahora el objeto se mueve hacia la izquierda, y las velocidades son todas negativas. La velocidad inicial se

encuentra a la derecha y la final a la izquierda. El signo de la aceleración se obtiene siempre al restar en el orden

correcto VELOCIDAD FINAL MENOS VELOCIDAD INICIAL. (Recuerda cómo se restan dos números negativos) A1.46 ¿Qué significará que la aceleración de un objeto móvil sea de 0,45 Km/h∙s (kilómetros por hora en cada

segundo)? Expresa este dato en el SI.

A1.47 Una moto sale de una curva a 80 km/h y acelera a 120 km/h en 2’4

segundos. Expresa su aceleración en unidades internacionales.

A1.48 Un objeto es lanzado hacia arriba a 40 m/s. Cinco segundos más tarde se mueve hacia abajo a 10 m/s. Realiza un esquema indicando los sentidos y los signos de los vectores velocidad y aceleración, y determina la

aceleración del objeto.

V = -15 m/s V0 = -19 m/sa = 2 m/s V = -19 m/s V0 = -15 m/sa = - 2 m/s

V0 = 15 m/s V = 19 m/sa = 2 m/s V0 = 19 m/s V = 15 m/sa = - 2 m/s





8.‐MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)

Partiendo de la definición de aceleración que hemos dado en el apartado anterior, podemos deducir la ECUACIÓN

DE LA VELOCIDAD en el M.R.U.A. que nos permite calcular la velocidad del objeto en cualquier instante:

V = Vo + a · t(intenta deducirla)

Recuerda que la velocidad y la aceleración son VECTORES y por tanto deben llevar un SIGNO de acuerdo a su

SENTIDO: positivo a la derecha o arriba, negativo a la izquierda o abajo. Lo habitual es hacer el dibujo de manera

que el objeto se mueva hacia la derecha, es decir, que su VELOCIDAD SEA POSITIVA. De ese modo, la aceleración

será NEGATIVA si el objeto va FRENANDO y POSITIVA si el objeto va CADA VEZ MÁS RÁPIDO. Pero esto no es obligatorio, sólo es una sugerencia.

Para encontrar la ECUACIÓN DE LA POSICIÓN, podemos partir de la ecuación de movimiento rectilíneo uniforme: x = x 0 + v ∙ t

Podemos pasar x 0 a la izquierda para obtener otra ecuación más sencilla, que nos permite calcular el desplazamiento:

∆ x = v ∙ t

En un

movimiento

acelerado

NO

puede

utilizarse

esta

expresión

porque

la

velocidad

es

VARIABLE.

Pero

podemos

cambiar la rapidez v por la rapidez media Vm, que será lógicamente la suma de la velocidad inicial más la final, dividido

entre dos. (¿Cómo haces tú la media entre dos notas?). Luego sustituimos la velocidad final utilizando la ECUACIÓN DE

LA VELOCIDAD que hemos puesto antes.

Estas dos ecuaciones deberás memorizarlas muy bien, porque serán la herramienta fundamental para resolver los problemas del movimiento acelerado. En estos problemas deberás seguir los siguientes pasos:

• ELEGIR EL PUNTO DE REFERENCIA (en un esquema o dibujo) • EXPRESAR LA POSICIÓN INICIAL RESPECTO DE ESE PUNTO DE REFERENCIA (con su signo)

• INDICAR LA VELOCIDAD INICIAL DEL CUERPO MÓVIL Y SU ACELERACIÓN (con sus signos)

• SUSTITUIR LOS DATOS CONOCIDOS EN LAS DOS ECUACIONES.

• SI OBTIENES UNA ECUACIÓN CON DOS INCÓGNITAS, NO SE PUEDE RESOLVER. HAY QUE BUSCAR MÁS INFORMACIÓN QUE A VECES ESTÁ “ESCONDIDA” EN EL ENUNCIADO DEL PROBLEMA. OTRAS VECES SE

PUEDE PLANTEAR UNA SEGUNDA ECUACIÓN, PARA FORMAR UN SISTEMA DE ECUACIONES.

• LEER BIEN LAS CONDICIONES QUE PLANTEA EL PROBLEMA, MUCHAS VECES HAY DOS MAGNITUDES QUE

SON IGUALES.

2

t . a tv x x

2

t . a tv t

2

v t . av t

2

vv tv x

2

00

2

0

000

M

+

+==

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

RECTILÍNEO

UNIFORMEMENTE

ACELERADO:

vv == vv00 ++ aa ∙∙ tt

xx == xx00 ++ vvoo ∙∙ tt ++ aa ∙∙ tt22 // 22

En caso de movimiento uniforme a = 0





A1.49 La ecuación que describe el movimiento de un objeto es x = 5 – 6 ∙ t + t 2 (S.I.).

a) ¿Cuál es la posición inicial del móvil? b) ¿Pasa en algún momento por el Punto de Referencia? Calcúlalo. c) Calcula la velocidad media cada dos segundos, completando el siguiente cuadro:

t (s) 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10

x (m) v (media)

d) ¿Te sale siempre la misma velocidad media? ¿Es uniforme el movimiento?

e) Esta es la gráfica posición ‐ tiempo. ¿Qué

forma tiene? f) ¿Encuentras alguna relación entre la

pendiente de la gráfica y las velocidades medias que has obtenido antes?

g)

¿Cuándo

estará

ese

cuerpo

situado

a

8

metros a la izquierda del punto elegido

como referencia? h) Encuentra los valores de la velocidad

inicial y la aceleración en la ecuación del movimiento.

i) Escribe la ecuación de la velocidad de este movimiento y encuentra en qué momento se hace cero

dicha velocidad. Observa que en este momento la gráfica posición‐tiempo llega a su punto más bajo.

A1.50 En el instante de comenzar el estudio de una motocicleta, el motorista se encontraba a 5 m a la derecha del semáforo elegido como referencia y moviéndose con una rapidez de 2 m/s hacia la izquierda. La aceleración la

mantenía constante e igual a 0,4 m/s2 (positiva). a) La motocicleta ¿va cada vez más rápido o cada vez más lento? b) Escribe las ecuaciones de la posición y de la velocidad. c) Encuentra la posición de la moto a los 10 segundos y la rapidez con que se mueve en ese instante. d) La distancia de frenado es la distancia que necesita un automóvil para detenerse. Se calcula primero

el tiempo de frenado , sustituyendo la velocidad FINAL por CERO. Luego, este tiempo se sustituye en la

ecuación de la posición. Calcula cuándo y dónde se detiene la moto.

A1.51 La siguiente tabla expresa la distancia de frenado (en metros) para distintos vehículos, suponiendo una calzada en óptimas condiciones. Encuentra cuál de los tres modelos de coche es capaz de frenar con mayor aceleración, con una velocidad inicial de 100 km/h. ‐ Comprueba si el audi A‐4 frena con la misma aceleración al variar la velocidad inicial.

Velocidad inicial (km/h) Alfa Romeo 156 Audi A4 BMW 320d

60 13.5 15.0 13.8

100 38.6 40.2 38.3

120 58.3 61.3 55.5

A1.52 Un terrorista se salta un control de la guardia civil, y se aleja de

ellos con una rapidez constante de 120 km/h. De inmediato, un coche de

la guardia civil que estaba parado, sale en su persecución, alcanzando los 100 km/h en 6’3 segundos. Si continúa acelerando constantemente, ¿cuánto tiempo necesitará la guardia civil para alcanzar al terrorista?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo (s)

0

10

20

30

40

50

-10

p o s i c i o n ( m )





A1.53 Un automóvil circula por una autopista a 110 km/h, y al observar humo saliendo de motor, trata de detener el vehículo lo antes posible, ¿Cuánto tarda en detenerse y qué distancia necesita, si la aceleración máxima que

pueden comunicar los frenos es de 4 m/s2?

A1.54 Un Boeing 727 necesita alcanzar como mínimo una velocidad

de

360

km/h

para

iniciar

el

despegue,

velocidad

que

tarda

25

s

en

alcanzar, partiendo del reposo. a) Determina la aceleración, constante, que proporcionan

los motores del avión. b) Escribe las ecuaciones de posición y velocidad del avión

mientras despega. c) Calcula la longitud mínima que ha de tener la pista de

despegue. d) Calcula la aceleración de frenado que ha de tener para

aterrizar en la misma pista, suponiendo una velocidad inicial de 360 km/h.

A1.55 Un objeto lanzado hacia arriba desde la ventana de un edificio se mueve de acuerdo con la ecuación

siguiente: A = 15 + 6 t – 5 t 2. Otro objeto, lanzado desde otra ventana, se mueve con la ecuación: B = 27 – 5 t 2. a) ¿Se cruzarán en algún momento? En caso afirmativo, indica cuándo y dónde. b) ¿Qué rapidez poseen en el momento de cruzarse? c) ¿Pasan por el punto de referencia? En caso afirmativo, indica quién lo hace primero y cuándo sucede

eso. d) Determina la distancia que separa los objetos en el instante t = 4 s.

A1.56 Un camionero circula a 50 km/h cuando se pone en rojo un semáforo

situado 150 m por delante. Si la aceleración máxima que pueden proporcionar los frenos del camión es 3 m/s2 , determina si puede frenar a tiempo.

A1.57 Las ecuaciones del movimiento correspondiente a dos automóviles que se

desplazan por una misma carretera son: Ford = ‐ 6 ∙ t + 14 Opel = 4 – 5 ∙ t + t 2

a) Determina las características de cada movimiento. b) ¿Pasa algún móvil por el punto tomado como referencia? En caso

afirmativo indica cuándo y qué rapidez posee cada uno en ese

momento. c) ¿Se cruzarán en algún instante?.

A1.58 Un tren se mueve con una rapidez constante de 72 km/h. Justo cuando está a 1100 m de la estación, el último de los vagones se desengancha y poco a poco va parándose hasta llegar a la misma estación donde

finalmente se detiene por completo. Cuando el vagón suelto ha llegado a la estación, ¿dónde estará el resto del tren?

A1.59 Un ladrón sale de un banco y corre con una rapidez constante de 8 m/s hacia su cómplice, que le espera con

el coche en marcha, 80 m a la derecha de la puerta de la oficina bancaria. Un coche de policía, situado a 30 m de la

misma oficina, pero a la izquierda, sale en su persecución desde el reposo con una aceleración constante de 1 m/s2 en el momento en que lo ve salir del banco. ¿Alcanzará al ladrón antes de que se suba en el coche de su cómplice?





7.‐MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE

El movimiento de caída libre es el movimiento de un objeto sometido

exclusivamente a la fuerza peso, es decir, cuando no hay rozamiento con

el aire, o éste es despreciable. No se puede considerar “caída libre” la

caída de una pluma o de un paracaidista (con el paracaídas abierto), porque

el

rozamiento

con

el

aire

equilibra

la

fuerza

peso,

y el

movimiento

se produce a velocidad constante. El movimiento de caída libre es un

movimiento ACELERADO, puesto que parte del reposo y va adquiriendo

cada vez más velocidad. En el caso de la foto, el movimiento de caída

libre sólo dura los primeros segundos, porque el rozamiento va

aumentando con la velocidad, hasta que se alcanza una velocidad

constante.

Hay que observar también que, en física, no sólo es “caída libre” cuando

se deja caer un cuerpo desde una altura h, sino también cuando se lanza un cuerpo hacia arriba, porque la

ecuación del movimiento es la misma.

Los filósofos

griegos

(con

Aristóteles

a la

cabeza)

tenían

una

idea

muy

distinta

de

la

caída libre. Pensaban que los cuerpos caen a velocidad constante, y que esa velocidad

es mayor cuando el cuerpo pesa más. No habían hecho ningún experimento para

comprobarlo, simplemente les parecía que esa ley estaba dictada por el “sentido

común”. Todavía muchas personas incultas piensan del mismo modo.

Galileo, en el siglo XVI, comprobó que esta idea estaba equivocada, dejando caer dos bolas del mismo tamaño, pero de distinto peso, desde lo alto de la torre inclinada de

Pisa. ¿Por qué no se observa esto con objetos como un papel? Porque el rozamiento

con el aire retiene su caída. Si pudiéramos sacar el aire de un recipiente, haciendo el vacío, demostraríamos que un papel y un taco de madera caen exactamente a la vez. Puedes verlo en unos videos que están colgados en la página del departamento:

http://www.iesnicolascopernico.org/FQ/plumartillo.htm

http://www.iesnicolascopernico.org/FQ/caidaigual.mov

Galileo demostró que el movimiento de caída de cuerpos era un movimiento uniformemente acelerado. Dejó caer una bola por un plano inclinado, y realizó unas marcas a distancias iguales. Comprobó que, transcurrido un

segundo, la bola se encontraba en la primera marca, en el siguiente segundo en la cuarta marca, en el siguiente en

la novena marca, etc. Es decir, que el espacio recorrido iba aumentando de acuerdo con los cuadrados de los números naturales: 12, 22, 32, 42… Esto está de acuerdo con la ecuación del M.R.U.A. ya que en ella

el tiempo se encuentra elevado al cuadrado. Con todo ello, demostró que:

La aceleración de caída de todos los cuerpos es la misma y tiene un valor de 9,8 m/s2 (aproximadamente 10 m/s2), en nuestro planeta y al nivel del mar.





AMPLIACIÓN: Resolver problemas de este tipo de movimiento es fácil, ya que se hacen como cualquier movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado, con la ventaja adicional de que ahora conocemos siempre el valor de la aceleración.

Y = Yo + Vo ∙ t ‐ ½ g ∙ t2

TEN PRESENTE LOS SIGNOS: La aceleración de la gravedad es un vector dirigido hacia abajo, por tanto su signo es siempre

NEGATIVO. El

signo

de

la

velocidad

inicial

depende

de

la

situación:

POSITIVO

si

se

lanza

el

objeto

hacia

ARRIBA,

y Negativo

si

se

lanza hacia ABAJO. No obstante, en muchos problemas los objetos se “dejan caer” y por tanto la velocidad inicial es CERO. La

posición inicial y 0 es la altura desde la que se lanza el objeto, medida a partir del punto de referencia. Si por ejemplo ponemos el punto de referencia en el suelo a la hora de hacer el lanzamiento de una piedra, lógicamente la posición inicial será CERO. Pero ¿podría ser negativa la posición inicial?

La ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD también es similar a la que hemos estudiado:

V = Vo – g∙ t

Esta ecuación nos permite conocer la velocidad del objeto EN CUALQUIER INSTANTE, con solo sustituir el valor del instante (el valor del tiempo, t, en le ecuación). Y a la inversa: podemos saber CUÁNDO un objeto móvil llevará una determinada velocidad

(despejaremos el valor de t). De hecho, una situación interesante es la que se produce cuando un objeto lanzado verticalmente y hacia arriba llega a su altura máxima. Justo en ese momento la velocidad se hacer cero (deja de subir para comenzar a bajar). Por

tanto,

sustituimos

v = 0

y despejamos

el

tiempo.

Luego,

con

este

valor

de

t,

nos

vamos

a la

ecuación

de

la

posición

y

despejamos la altura “y ”.

Un error muy frecuente es pensar que la velocidad de un cuerpo es cero cuando éste llega al suelo. Evidentemente esto NO es cierto, y de hecho, ‘de no haber suelo’ el objeto seguiría moviéndose (cayendo). Por tanto el objeto tendrá velocidad cero, lógicamente DESPUÉS de haber chocado con el cuelo, pero el impacto se produce a cierta velocidad.

A1.60 MIDE TU TIEMPO DE REACCIÓN : Pide a un compañero que sujete una regla

verticalmente, como en la imagen. Tú prepara los dedos en el extremo inferior de la

regla como para cogerla, pero sin tocarla. Sin avisar, tu compañero soltará la regla y tú intenta atraparla lo antes posible, cerrando los dedos. Observa cuántos centímetros ha caído la regla antes de atraparla. Repite el experimento dos o tres

veces, para obtener una media de las distancias. • Ahora despeja el tiempo sustituyendo los datos conocidos en la ecuación

de la caída libre. ¿Cuál es la velocidad inicial?

A1.61 Lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez de 5 m/s. ¿Qué altura máxima alcanza? ¿Qué tiempo tardará en caer de nuevo, y con qué

velocidad llegará de nuevo al suelo?

A1.62 Desde lo alto de una azotea situada a 15 m del suelo, lanzamos dos objetos. Uno verticalmente hacia arriba con una

rapidez de 8 m/s. El otro, verticalmente hacia abajo, con una rapidez de 8 m/s. Escribe las ecuaciones de movimiento de ambos cuerpos. ¿Qué tiempo tardará cada uno en caer al suelo? ¿Cuál de los dos llegará al suelo con una mayor rapidez?

A1.63 Desde la baranda de un puente se tira una piedra hacia arriba con una rapidez de 6 m/s.

a) ¿Hasta qué altura llega la piedra?

b) ¿Cuánto tiempo tarda en pasar de nuevo por el sitio desde el que se lanzó?

c) ¿Qué altura hay del puente al agua, si la piedra cae en el río 1,94 segundos después de haber sido lanzada?

d) ¿Con qué rapidez entra la piedra en el agua?

A1.64 Un pintor está pintando un puente por el que está pasando un tren, que se mueve a una velocidad constante de 60 km/h. Cuatro metros por encima del techo del tren, caen gotas de pintura a un ritmo constante, cada dos segundos una gota. ¿Qué

distancia separará una gota de otra en el techo del tren?

A1.65 ¿Con qué rapidez habrá que lanzar un objeto verticalmente y hacia arriba para que alcance los 150 m de altura máxima?





A1.66 Verticalmente y hacia arriba se dispara una bala con una rapidez de 120 m/s. ¿Qué rapidez tendrá cuando esté a la

mitad de la altura máxima que va a alcanzar?

A1.67 Un globo asciende con una rapidez constante de 4 m/s. Cuando se encuentra a 24 m del suelo, soltamos un saco de

lastre. ¿Qué tiempo tardará el saco en llegar al suelo y con qué rapidez se estrellará?

A1.68 Un niño lanza una pelota, desde el suelo, verticalmente y hacia arriba a 12 m/s. En el mismo momento, otro niño situado

en un balcón, a 3.75 m, deja caer otra pelota y ambas chocan. ¿Dónde se produce el choque y qué rapidez posee cada pelota en

ese momento?

EJERCICIOS DE REPASO Y REFUERZO

1. El tren de alta velocidad (AVE) alcanza una velocidad máxima de 270 km/h. Para llegar a esa velocidad partiendo del reposo, necesita 3 minutos y 30 segundos. Un ciclista, puede alcanzar una velocidad máxima

de 54 km/h. Para llegar a esa velocidad, partiendo del reposo, necesita 30 segundos. ¿Cuál ha tenido

mayor aceleración?

2. AMPLIACIÓN: Desde lo alto de una azotea soltamos una pelota, observando que emplea 2,54 s en llegar al suelo. ¿Con

qué rapidez llega y qué altura posee la azotea?

3. La ecuación de un movimiento viene dado por la expresión siguiente: x = 2 ‐ t + 3∙t 2

a. ¿De qué tipo de movimiento se trata? b. ¿Cuál es la posición inicial del móvil? c. ¿Y la velocidad inicial? d. ¿Dónde estaba y con qué rapidez se mueve a los 2 segundos?

4. A dos kilómetros de una estación (en línea recta), un tren que marchaba a la velocidad constante de 30

km/h pierde su último vagón, el cual, va poco a poco deteniéndose hasta que termina por pararse justo en

la misma estación, mientras el tren ha seguido constantemente su camino sin darse cuenta del suceso. a) Escribe las ecuaciones del movimiento de cada móvil. b) ¿Qué tiempo empleará el vagón soltado en llegar a la estación desde el instante en que se soltó? ¿Dónde

estará la locomotora entonces? ¿Cuál fue la aceleración de frenado del vagón?

5. Un tren que mide 150 m de largo se mueve con velocidad de 72 km/h y tarda 20 s desde que la máquina

entra en el túnel hasta que la cola sale del mismo. ¿Cuál es la longitud del túnel?

6. Un guepardo en un zoológico se encuentra a 100 m de la puerta de su recinto. Un cuidador entra por la

puerta

para

dejarle

la

comida.

¿A

qué

distancia

de

la

puerta

puede

alejarse

el

cuidador,

de

modo

que

le

de

tiempo a huir en el caso de que el guepardo decida ir a por él? Velocidad del guepardo 108 km/h. Velocidad del cuidador: 10 m/s. Suponer movimientos uniformes.

7. AMPLIACIÓN: Un gamberro observa a una persona caminando con velocidad uniforme de 2 m/s, que va a pasar por debajo de su balcón y va a dejar caer una nuez para darle en la cabeza. Si la altura del balcón es 12 m y la altura de la

persona es 1’6 m, ¿a qué distancia debe encontrarse la persona en el momento de soltar la nuez? Escribe las ecuaciones de movimiento de la persona y del objeto, e iguala el tiempo.

8. Un coche se encuentra parado en un área de servicios de una autovía cuando pasa un camión con rapidez constante de 100 km/h. Cinco minutos después sale el coche en la dirección y sentido del camión con

velocidad constante de 120 km/h. ¿Dónde y cuándo alcanzará el coche al camión?





9. AMPLIACIÓN: Desde el suelo lanzamos un objeto con una rapidez de 9 m/s. Calcula qué rapidez tendrá cuando pase

por la mitad de su altura máxima. (Una ayuda: comienza por calcular cuál es esa altura máxima)

10. AMPLIACIÓN: ¿A qué velocidad mínima debe disparar un arma para alcanzar a un helicóptero que vuela a 1 km de

altura? Si disparamos con un arma a 350 m/s, ¿a qué velocidad impacta contra el helicóptero?

11. Comenta los siguientes enunciados explicando en qué condiciones son verdaderos, si lo son: a) El movimiento es relativo. b) El espacio recorrido se calcula como la diferencia entre la posición final del móvil y la posición inicial. c) La rapidez es una magnitud vectorial. d) El vector aceleración tiene el mismo sentido que el vector velocidad. e) AMPLIACIÓN: Una bola de acero tarda menos tiempo en llegar al suelo que una bola de madera. f) AMPLIACIÓN: Cuando el cuerpo asciende la gravedad es negativa y positiva en caso contrario.

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OTROS RECURSOS en INTERNET.

http://www.iesnicolascopernico.org/FQ/cuarto.htm

http://newton.cnice.mecd.es/4eso/trayectoria/indice_trayec.htm

http://newton.cnice.mecd.es/4eso/mru/rectobjetivos.htm

http://www.fq.cebollada.net/cinema4.html

cinemetic

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