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Cinemática y Dinámica

Objetivo: El alumno analizará y resolverá ejercicios de movimiento

plano de cuerpos rígidos, y de algunos mecanismos donde no

intervengan las causas que modifican dicho movimiento.

Cinemática del cuerpo rígido

Introducción

15 - 3

• Cinemática de cuerpos rígidos: relaciones entre el

tiempo y las posiciones, las velocidades y las

aceleraciones de las partículas que forman un cuerpo

rígido.

• Clasificación de los diferentes movimientos de cuerpo

rígido:

- movimiento general

- movimiento alrededor de un punto fijo

- movimiento plano general

- rotación alrededor de un eje fijo

• traslación curvilínea

• traslación rectilínea

- traslación:

Traslación

15 - 4

• Considerar un cuerpo rígido en traslación:

- la dirección de cualquier línea recta dentro del cuerpo

es constante,

- todas las partículas que forman el cuerpo se mueven en

líneas paralelas.

• Para cualquier par de partículas en el cuerpo,

ABAB rrr

• La diferenciación con respecto al tiempo,

AB

AABAB

vv

rrrr

Todas las partículas tienen la misma velocidad.

AB

AABAB

aa

rrrr

• La diferenciación con respecto al tiempo de nuevo,

Todas las partículas tienen la misma aceleración.

Rotación alrededor de un eje fijo. Velocidad

15 - 5

• Considerar la rotación de un cuerpo rígido

alrededor de un eje fijo AA’.

• El vector de velocidad de la partícula P es

tangente a la trayectoria con magnitud dtrdv

dtdsv

sensenlím

sen

0

rt

rdt

dsv

rBPs

t

ngular a velocidadkk

rdt

rdv

• El mismo resultado se obtiene a partir de

Rotación alrededor de un eje fijo. Aceleración

15 - 6

• Diferenciación para determinar la aceleración,

vrdt

d

dt

rdr

dt

d

rdt

d

dt

vda

•

kkk

ngular anaceleraciódt

d

radialn aceleració la de componente

aln tangenciaceleració la de componente

r

r

rra

• La aceleración de P es una combinación de dos

vectores,

Rotación alrededor de un eje fijo. Placa representativa

15 - 7

• Considerar la propuesta de una placa representativa en

un plano perpendicular al eje de rotación.

• Velocidad de cualquier punto P de la placa,

rv

rkrv

• Aceleración de cualquier punto P de la placa,

rrk

rra

2

• Resolviendo la aceleración en las componentes

tangencial y normal,

22

rara

rarka

nn

tt

Ecuaciones que definen la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo

15 - 8

• El movimiento de un cuerpo rígido que gira alrededor de un

eje fijo a menudo es especificado por el tipo de aceleración

angular.

d

d

dt

d

dt

d

ddt

dt

d

2

2

o• Recordando

• Rotación uniforme, = 0:

t 0

• Rotación uniformemente acelerada, = constante:

020

2

221

00

0

2

tt

t

Problema resuelto 15.1

15 - 9

El cable C tiene una aceleración constante de 9

in/s2 y una velocidad inicial de 12 in/s, ambas

dirigidas hacia la derecha.

Determinar a) el número de revoluciones

ejecutadas por la polea en 2 s, b) la velocidad

y el cambio en la posición de la carga B

después de 2 s, y c) la aceleración del punto D

sobre el borde de la polea cuando t = 0.

SOLUCIÓN:

• Debido a la acción del cable, la velocidad

tangencial y la aceleración de D son iguales a

la velocidad y la aceleración de C. Calcular la

velocidad angular inicial y la aceleración.

• Aplicar las relaciones de la rotación

uniformemente acelerada para determinar la

velocidad y la posición angular de la polea al

cabo de 2 s.

• Evaluar los primeros componentes

tangencial y normal de la aceleración de D.


15 - 10

SOLUCIÓN:

• La velocidad tangencial y la aceleración de D son iguales a la

velocidad y la aceleración de C.

srad4

3

12

sin.12

00

00

00

r

v

rv

vv

D

D

CD

2srad33

9

sin.9

r

a

ra

aa

tD

tD

CtD

• Aplicar las relaciones de la rotación uniformemente acelerada

para determinar la velocidad y la posición angular de la polea al

cabo de 2 s.

srad10s 2srad3srad4 20 t

rad 14

s 2srad3s 2srad422

212

21

0

tt

esrevolucion de númerorad 2

rev 1rad 14

N rev23.2N

rad 14in. 5

srad10in. 5

ry

rv

B

B

in. 70

sin.50

B

B

y

v


15 - 11

• Evaluar los primeros componentes tangencial y normal de la

aceleración de D.

sin.9CtD aa

2220 sin48srad4in. 3 DnD ra

22 sin.48sin.9 nDtD aa

Magnitud y dirección de la aceleración total,

22

22

489

nDtDD aaa

2sin.8.48Da

9

48

tan

tD

nD

a

a

4.79

Movimiento plano general

15 - 12

• El movimiento plano general no es ni una traslación ni

una rotación.

• Un movimiento plano general puede considerarse como la

suma de una traslación y una rotación.

• El desplazamiento de las partículas A y B a A2 y B2 se

puede dividir en dos partes:

- traslación a A2 y

- rotación de alrededor de A2 a B2 1B

1B

Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano

15 - 13

• Cualquier movimiento plano puede ser reemplazado por una

traslación de un punto de referencia arbitrario A y una rotación

simultánea alrededor de A.

ABAB vvv

rvrkv ABABAB

ABAB rkvv


15 - 14

• Suponiendo que la velocidad vA del extremo A es conocida, se desea determinar la velocidad vB

del extremo B y la velocidad angular en términos de vA, l y .

• Las direcciones de vB y vB/A son conocidas. Complete el diagrama de velocidad.

tan

tan

AB

A

B

vv

v

v

cos

cos

l

v

l

v

v

v

A

A

AB

A


15 - 15

• Seleccionar el punto B como punto de referencia y resolver para la velocidad vA del

extremo A, y la velocidad angular lleva a un triángulo de velocidad equivalente.

• vA/B tiene la misma magnitud, pero en sentido opuesto a vB/A. El sentido de la velocidad

relativa depende de la elección del punto de referencia.

• La velocidad angular de la varilla en su rotación alrededor de B es la misma que su

rotación alrededor de A. La velocidad angular no depende de la elección del punto de

referencia.


15 - 16

Un engrane doble rueda sobre una

cremallera estacionaria inferior; la

velocidad de su centro es 1.2 m/s.

Determinar a) la velocidad angular del

engrane, y b) las velocidades de la

cremallera superior R y del punto D del

engrane.

SOLUCIÓN:

• El desplazamiento del centro del engrane en

una revolución es igual a la circunferencia

exterior. Relacionar los desplazamientos de

traslación y angular. Diferenciar las relaciones

de las velocidades de traslación y angular.

• La velocidad de cualquier punto P en el engrane

puede escribirse como

• Evaluar las velocidades de los puntos B y D.

APAAPAP rkvvvv


15 - 17

x

y

SOLUCIÓN:

• El desplazamiento del centro del engrane en una revolución

es igual a la circunferencia exterior.

Para xA > 0 (moviéndose a la derecha), < 0 (girando en el

sentido de las manecillas del reloj).

1

22rx

r

xA

A

Diferenciar la relación de las velocidades de traslación y

angular.

m0.150

sm2.1

1

1

r

v

rv

A

A

kk

srad8


15 - 18

• Para cualquier punto P sobre el engrane, APAAPAP rkvvvv

La velocidad de la cremallera superior

es igual a la velocidad del punto B:

ii

jki

rkvvv ABABR

sm8.0sm2.1

m 10.0srad8sm2.1

ivR

sm2

Velocidad del punto D:

iki

rkvv ADAD

m 150.0srad8sm2.1

sm697.1

sm2.1sm2.1

D

D

v

jiv


15 - 19

La manivela AB tiene una velocidad angular

constante en el sentido de las manecillas del

reloj de 2000 rpm.

Para la posición indicada de la manivela,

determine a) la velocidad angular de la biela

BD, y b) la velocidad del pistón P.

SOLUCIÓN:

• Se determinará la velocidad absoluta del punto

D con

BDBD vvv

• La velocidad se obtiene de los datos de la

rotación de la manivela. Bv

• Las direcciones de la velocidad absoluta y

la velocidad relativa se determinan a partir

de la geometría del problema. Dv

BDv

• Las incógnitas en la expresión del vector son las

magnitudes de velocidad que pueden ser

determinadas a partir del triángulo vectorial

correspondiente.

BDD vv y

• La velocidad angular de la biela se calcula a

partir de .BDv


15 - 20

SOLUCIÓN:

• Se determinará la velocidad absoluta del punto D con

BDBD vvv

• La velocidad se obtiene de los datos de la rotación de la

manivela. Bv

srad 4.209in.3

srad 4.209rev

rad2

s60

min

min

rev2000

ABB

AB

ABv

La dirección de la velocidad es como se muestra.

• La dirección de la velocidad absoluta es horizontal. La

dirección de la velocidad relativa es perpendicular a BD.

Calcule el ángulo entre la horizontal y la biela por la ley de

los senos.

Dv

BDv

95.13in.3

sen

in.8

40sen


15 - 21

• Determinar las magnitudes de las velocidades

del triángulo vectorial. BDD vv y

BDBD vvv

sen76.05

sin.3.628

50sen95.53sen

BDDvv

sin.9.495

sft6.43sin.4.523

BD

D

v

v

srad 0.62

in. 8

sin.9.495

l

v

lv

BDBD

BDBD

sft6.43 DP vv

kBD

srad 0.62

Centro instantáneo de rotación en el movimiento plano

15 - 22

• El movimiento plano de todas las partículas en una placa siempre

puede reemplazarse por la traslación de un punto arbitrario A y

una rotación alrededor de A con una velocidad angular que es

independiente de la elección de A.

• Las mismas velocidades de traslación y rotación en A se obtienen

al permitir que la placa gire con la misma velocidad angular

respecto al punto C sobre una perpendicular a la velocidad en A.

• La velocidad de todas las demás partículas en la placa es la misma

que se definió originalmente, puesto que la velocidad angular y la

velocidad de traslación en A son equivalentes.

• En lo referente a las velocidades, la placa parece girar alrededor

del centro instantáneo de rotación C.


15 - 23

• Si se conoce la velocidad en los puntos A y B, el centro

instantáneo de rotación se encuentra en la intersección

perpendicular a los vectores de velocidad a través de A y B.

• Si los vectores de velocidad en A y B son perpendiculares a la

línea AB, el centro instantáneo de rotación se encuentra en la

intersección de la línea AB con la línea que une los extremos de

los vectores de velocidad en A y B.

• Si los vectores de velocidad son paralelos, el centro instantáneo

de rotación es infinito y la velocidad angular es cero.

• Si las magnitudes de velocidad son iguales, el centro instantáneo

de rotación es infinito y la velocidad angular es cero.


15 - 24

• El centro instantáneo de rotación se encuentra en la intersección de las

perpendiculares a los vectores de velocidad a través de A y B.

cosl

v

AC

v AA

tan

cossen

A

AB

v

l

vlBCv

• Las velocidades de todas las partículas en la varilla se comportan

como si fueran a girar alrededor de C.

• La partícula en el centro de rotación tiene velocidad cero.

• La partícula que coincide con el centro de rotación cambia con el

tiempo y la aceleración de la partícula en el centro instantáneo de

rotación no es cero.

• La aceleración de las partículas en la placa no puede determinarse si

ésta simplemente gira alrededor de C.

• El trazo del sitio del centro de rotación en el cuerpo es el centroide

cuerpo, y en el espacio es el espacio centroide.


15 - 25

Un engrane doble rueda sobre una

cremallera estacionaria inferior; la

velocidad de su centro es 1.2 m/s.

Determinar a) la velocidad angular del

engrane, y b) las velocidades de la

cremallera superior R y del punto D del

engrane.

SOLUCIÓN:

• El punto C está en contacto con la cremallera

estacionaria inferior y, al instante, tiene una

velocidad cero. Debe ser la ubicación del centro

instantáneo de rotación.

• Determine la velocidad angular respecto a C con

base en la velocidad dada en A.

• Evalúe las velocidades en B y D con base en su

rotación alrededor de C.


15 - 26

SOLUCIÓN:

• El punto C está en contacto con la cremallera estacionaria

inferior y, al instante, tiene una velocidad cero. Debe ser la

ubicación del centro instantáneo de rotación.

• Determine la velocidad angular respecto a C con base en la

velocidad dada en A.

srad8m 0.15

sm2.1

A

AAA

r

vrv

• Evaluar las velocidades en B y D con base en su rotación

alrededor de C.

srad8m 25.0 BBR rvv

ivR

sm2

srad8m 2121.0

m 2121.02m 15.0

DD

D

rv

r

sm2.12.1

sm697.1

jiv

v

D

D


15 - 27

La manivela AB tiene una velocidad angular

constante en el sentido de las manecillas del

reloj de 2000 rpm.

Para la posición indicada de la manivela,

determine a) la velocidad angular de la biela

BD, y b) la velocidad del pistón P.

SOLUCIÓN:

• Determinar la velocidad en B de los datos de la

rotación de la manivela.

• La dirección de los vectores de velocidad en B

y D son conocidos. El centro instantáneo de

rotación está en la intersección de las

perpendiculares a las velocidades a través de B

y D.

• Determinar la velocidad angular respecto al

centro de rotación basado en la velocidad en B.

• Calcular la velocidad en D con base en su

rotación alrededor del centro instantáneo de

rotación.


15 - 28

SOLUCIÓN:

• Del problema resuelto 15.3,

95.13

sin.3.628sin.3.4819.403

BB vjiv

• El centro instantáneo de rotación está en la intersección de

las perpendiculares a las velocidades a través de B y D.

05.7690

95.5340

D

B

sen50

in. 8

95.53sen05.76sen

CDBC

in. 44.8in. 14.10 CDBC

• Determine la velocidad angular respecto al centro de

rotación basado en la velocidad en B.

in. 10.14

sin.3.628

BC

v

BCv

BBD

BDB

• Calcular la velocidad en D en función de su rotación

alrededor del centro instantáneo de rotación.

srad0.62in. 44.8 BDD CDv

sft6.43sin.523 DP vv

srad0.62BD

Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano

15 - 29

• Aceleración absoluta de una partícula de la placa,

ABAB aaa

• La aceleración relativa asociada con la rotación alrededor de A incluye

componentes tangencial y normal, ABa

ABnAB

ABtAB

ra

rka

2

2

ra

ra

nAB

tAB


15 - 30

• Dados

determinar ,y AA va

.y

Ba

tABnABA

ABAB

aaa

aaa

• El vector resultante depende del sentido de y de las

magnitudes relativas de nABA aa y

Aa

• Debe conocer también la velocidad .


15 - 31

componentes x: cossen0 2 llaA

componentes y: sencos2 llaB

• Resolver para aB y .

• Escribir en términos de las dos ecuaciones de componentes, ABAB aaa

Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro

15 - 32

• En algunos casos esto es ventajoso para determinar la

velocidad y la aceleración absoluta de un mecanismo

directamente.

senlxA coslyB

cos

cos

l

l

xv AA

sen

sen

l

l

yv BB

cossen

cossen

2

2

ll

ll

xa AA

sencos

sencos

2

2

ll

ll

ya BB


15 - 33

El centro del engrane doble tiene una

velocidad y una aceleración hacia la derecha

de 1.2 m/s y 3 m/s2, respectivamente. La

cremallera inferior es estacionaria.

Determinar a) la aceleración angular del

engrane, y b) la aceleración de los puntos B,

C y D.

SOLUCIÓN:

• La expresión de la posición del engrane como

una función de se diferencia en dos ocasiones

para definir la relación entre las aceleraciones

de traslación y angular.

• La aceleración de cada punto en el engrane se

obtiene sumando la aceleración del centro del

engrane y las aceleraciones relativas con

respecto al centro. Esto último incluye los

componentes normal y tangencial de

aceleración.


15 - 34

SOLUCIÓN:

• La expresión de la posición del engrane como una

función de se diferencia en dos ocasiones para definir

la relación entre las aceleraciones de traslación y angular.

11

1

rrv

rx

A

A

srad 8m 0.150

sm2.1

1

r

vA

11 rraA

m 150.0

sm3 2

1

r

aA

kk 2srad20


15 - 35

jii

jjki

rrka

aaaaaa

ABABA

nABtABAABAB

222

222

2

sm40.6sm2sm3

m100.0srad8m100.0srad20sm3

222 sm12.8sm40.6m5 BB ajisa

• La aceleración de cada punto

se obtiene sumando la

aceleración del centro del

engrane y las aceleraciones

relativas con respecto al

centro.

Lo anterior incluye a los

componentes de las

aceleraciones normal y

tangencial.


15 - 36

jii

jjki

rrkaaaa ACACAACAC

222

222

2

sm60.9sm3sm3


jac

2sm60.9

iji

iiki

rrkaaaa ADADAADAD

222

222

2

sm60.9sm3sm3


222 sm95.12sm3m6.12 DD ajisa


15 - 37

La manivela AG del mecanismo tiene una

velocidad angular constante en el sentido de

las manecillas del reloj de 2000 rpm.

Para la posición que se muestra de la

manivela, determinar la aceleración de la

biela BD y la aceleración del punto D.

SOLUCIÓN:

• La aceleración angular de la biela BD y la

aceleración del punto D se determinan a

partir de

nBDtBDBBDBD aaaaaa

• La aceleración de B se determina a partir de la

velocidad de rotación dada de AB.

• Las direcciones de las aceleraciones

se determinan a partir

de la geometría.

nBDtBDD aaa

y ,

• Las ecuaciones de componentes para la

aceleración del punto D se resuelven

simultáneamente para la aceleración de D y la

aceleración angular de la biela.


15 - 38

• La aceleración de B se determina a partir de la velocidad de

rotación dada de AB.

SOLUCIÓN:

• La aceleración angular de la biela BD y la aceleración del

punto D se determinan a partir de

nBDtBDBBDBD aaaaaa

22

1232

AB

sft962,10srad4.209ft

0

constantesrad209.4rpm2000

ABB

AB

ra

jiaB

40sen40cossft962 10 2


15 - 39

• Las direcciones de las aceleraciones se determinan a

partir de la geometría.

nBDtBDD aaa

y ,

Del problema resuelto 15.3, BD = 62.0 rad/s, = 13.95o.

22

1282 sft2563srad0.62ft BDnBD BDa

jianBD

95.13sen95.13cossft2563 2

BDBDBDtBD BDa 667.0ft128

La dirección de (aD/B)t es conocida, pero el sentido no se conoce,

jia BDtBD

05.76cos05.76sen667.0

iaa DD


15 - 40

nBDtBDBBDBD aaaaaa

• Las ecuaciones de componentes para la aceleración del punto D se

resuelven simultáneamente.

componentes x:

95.13sen667.095.13cos256340cos962 10 BDDa

95.13cos667.095.13sen256340sen962 100 BD

componentes y:

ia

k

D

BD

2

2

sft9290

srad9940


15 - 41

En la posición mostrada, la manivela AB tiene

una velocidad angular constante de 1 = 20

rad/s en sentido contrario al de las manecillas

del reloj.

Determinar las velocidades angulares y las

aceleraciones angulares de la barra acopladora

BD y de la manivela DE.

SOLUCIÓN:

• Las velocidades angulares son determinadas

resolviendo simultáneamente las ecuaciones

componentes para

BDBD vvv

• Las aceleraciones angulares son determinadas

resolviendo simultáneamente las ecuaciones

componentes para

BDBD aaa


15 - 42

SOLUCIÓN:

• Las velocidades angulares son determinadas resolviendo

simultáneamente las ecuaciones componentes para

BDBD vvv

ji

jikrv

DEDE

DEDDED

1717

1717

ji

jikrv BABB

160280

14820

ji

jikrv

BDBD

BDBDBDBD

123

312

BDDE 328017 componentes x:

BDDE 1216017 componentes y:

kk DEBD

srad29.11srad33.29


15 - 43

• Las aceleraciones angulares son determinadas resolviendo

simultáneamente las ecuaciones componentes para

BDBD aaa

jiji

jijik

rra

DEDE

DE

DDEDDED

217021701717

171729.1117172

2

ji

jirra BABBABB

56003200

14820022

jiji

jijik

rra

DBDB

DB

DBBDDBBDBD

2580320,10123

31233.293122

2

componentes x: 690,15317 BDDE

componentes y: 60101217 BDDE

kk DEBD

22 srad809srad645

Razón de cambio con respecto a un sistema de referencia en rotación

15 - 44

• El sistema de referencia OXYZ

es fijo.

• El sistema de referencia Oxyz

gira alrededor del eje fijo OA

con velocidad angular

• La función vectorial varía

en dirección y magnitud. tQ

kQjQiQQ zyxOxyz

• Respecto al sistema de referencia OXYZ,

kQjQiQkQjQiQQ zyxzyxOXYZ

• razón de cambio con

respecto al sistema de referencia rotatorio.

Oxyzzyx QkQjQiQ

• Sí está fijado en Oxyz, entonces es

equivalente a la velocidad de un punto en un cuerpo

rígido adjunto a Oxyz y

OXYZQ

QkQjQiQ zyx

Q

• Respecto al sistema de referencia rotatorio Oxyz,

kQjQiQQ zyx

• Respecto al sistema de referencia OXYZ,

QQQ OxyzOXYZ

Aceleración de Coriolis

15 - 45

• El sistema de referencia OXY es fijo y el sistema de referencia

rotatorio Oxy gira con velocidad angular

.

• El vector de posición para la partícula P es el mismo en

ambos sistemas de referencia, pero la razón de cambio depende

de la elección del sistema de referencia.

Pr

• La velocidad absoluta de la partícula P es

OxyOXYP rrrv

• Imagine una placa rígida junto al sistema de referencia rotatorio Oxy, o F para abreviar. Sea P’ un punto sobre la placa que

corresponde de manera instantánea a la posición de la partícula

P.

OxyP rv F

velocidad de P a lo largo de su trayectoria

en la placa

'Pv velocidad absoluta del punto P’ sobre la placa

• La velocidad absoluta de la partícula P puede escribirse como

FPPP vvv


15 - 46

FPP

OxyP

vv

rrv

• La aceleración absoluta de la partícula P es

OxyOXYP rdt

drra

OxyOxyP rrrra

2

OxyOxyOxy

OxyOXY

rrrdt

d

rrr

pero

OxyP

P

ra

rra

F

• Utilizando el punto conceptual P’ sobre la placa,

• La aceleración absoluta para la partícula P se convierte en

22

2

F

F

F

POxyc

cPP

OxyPPP

vra

aaa

raaa

aceleración de Coriolis


15 - 47

• Considerar un collar P hecho para deslizarse a una velocidad

relativa constante u a lo largo de la varilla OB. La varilla gira a

una velocidad angular constante . El punto A sobre la varilla

corresponde a la posición instantánea de P.

cPAP aaaa

F

• La aceleración absoluta del collarín es

0 OxyP ra F

uava cPc 22 F

• La aceleración absoluta consiste en los vectores radial y

tangencial mostrados.

2rarra AA

donde


15 - 48

uvvtt

uvvt

A

A

,at

,at

• El cambio de la velocidad superior a t está representado

por la suma de tres vectores

TTTTRRv

2rarra AA recordando,

• se debe al cambio en la dirección de la velocidad del

punto A en la varilla,

AAtt

arrt

vt

TT

2

00límlím

TT

• se derivan de los efectos combinados del

movimiento relativo de P y la rotación de la varilla TTRR y

uuu

t

r

tu

t

TT

t

RR

tt

2

límlím00

uava cPc 22 F

recordando,


15 - 49

El disco D del mecanismo de Ginebra gira con

una velocidad angular constante de D = 10

rad/s en sentido contrario al de las manecillas

del reloj.

En el instante en que = 150o, determinar a)

la velocidad angular del disco S, y b) la

velocidad del pasador P relativa al disco S.

SOLUCIÓN:

• La velocidad absoluta del punto P puede

escribirse como

sPPP vvv

• La magnitud y la dirección de la velocidad de

del pasador P se calculan a partir de la

velocidad angular y del radio del disco D. Pv

• La dirección de la velocidad del punto P’

en donde S coincide con P es perpendicular al

radio OP.

Pv

• La dirección de la velocidad de P con

respecto a S es paralela a la ranura. sPv

• Resolver el triángulo vectorial de la velocidad

angular de S y velocidad relativa de P.


15 - 50

SOLUCIÓN:

• La velocidad absoluta del punto P puede escribirse como

sPPP vvv

• La magnitud y la dirección de la velocidad absoluta del pasador P se

calculan a partir de la velocidad angular y del radio del disco D.

smm500srad 10mm 50 DP Rv

• La dirección de la velocidad de P con respecto a S es paralela a la

ranura. De la ley de los cosenos,

mm 1.37551.030cos2 2222 rRRllRr

De la ley de los cosenos,

4.42742.0

30sensen

30sen

R

sen

r

6.17304.4290

El ángulo interior del triángulo vectorial es


15 - 51

• La dirección de la velocidad del punto P’ en donde S coincide con P

es perpendicular al radio OP. De la velocidad triangular,

mm 1.37

smm2.151

smm2.1516.17sensmm500sen

ss

PP

r

vv

ks

srad08.4

6.17cossm500cosPsP vv

jiv sP

4.42sin4.42cossm477

smm 500Pv


15 - 52

En el mecanismo de Ginebra, el disco D

gira con una velocidad angular constante

de 10 rad/s en sentido contrario al de las

manecillas del reloj. En el instante en que

j = 150o, determinar la aceleración

angular del disco S.

SOLUCIÓN:

• La aceleración absoluta del pasador P puede

expresarse como

csPPP aaaa

• La velocidad angular instantánea del disco S se

determinó como en el problema resuelto 15.9.

• La única incógnita involucrada en la ecuación de la

aceleración es la aceleración angular instantánea

del disco S.

• Resolver cada término de aceleración en la

componente paralela a la ranura. Determinar la

aceleración angular del disco S.


15 - 53

SOLUCIÓN:

• La aceleración absoluta del pasador P puede expresarse

como

csPPP aaaa

• Del problema resuelto 15.9,

jiv

k

sP

S

4.42sen4.42cossmm477

srad08.44.42

• Considerando cada término de la ecuación de la

aceleración,

jia

Ra

P

DP

30sen30cossmm5000

smm5000srad10mm500

2

222

jia

jira

jira

aaa

StP

StP

SnP

tPnPP

4.42cos4.42senmm1.37

4.42cos4.42sen

4.42sen4.42cos2

nota: S puede ser positivo o negativo


15 - 54

• La aceleración relativa debe ser paralela a la ranura. sPa

sPv

• La dirección de la aceleración de Coriolis se obtiene girando

la dirección de la velocidad relativa de 90° en el sentido

S.

ji

ji

jiva sPSc

4.42cos4.42sensmm3890

4.42cos4.42sensmm477srad08.42

4.42cos4.42sen2

2

• Equiparando los componentes de los términos de aceleración

perpendicular a la ranura,

srad233

07.17cos500038901.37

S

S

kS

srad233

Movimiento alrededor de un punto fijo

15 - 55

• El desplazamiento más general de un cuerpo rígido con un

punto fijo O es equivalente a una rotación del cuerpo alrededor

de un eje que pasa por O.

• Con el eje instantáneo de rotación y velocidad angular la

velocidad de una partícula P del cuerpo es ,

rdt

rdv

y la aceleración de la partícula P es

.dt

drra

• Las velocidades angulares tienen magnitud y dirección y

obedecen la ley del paralelogramo de adición. Son vectores.

• A medida que el vector se desplaza en el cuerpo y en el

espacio, genera un cuerpo y un espacio cónicos que son

tangentes a lo largo del eje instantáneo de rotación.

• La aceleración angular representa la velocidad de la punta de

.

Movimiento general

15 - 56

• Para las partículas A y B de un cuerpo rígido,

ABAB vvv

• La partícula A está fija dentro del cuerpo, y el movimiento

de éste en relación con AX’Y’Z’ es el movimiento de un

cuerpo con un punto fijo

ABAB rvv

• De manera similar, la aceleración de la partícula P es

ABABA

ABAB

rra

aaa

• La mayor parte del movimiento general de un cuerpo rígido es equivalente a:

- una traslación en la que todas las partículas tienen la misma velocidad y la

aceleración de una partícula de referencia A, y

- a un movimiento en el que la partícula A se supone fija.


15 - 57

La grúa gira con una velocidad angular

constante 1 = 0.30 rad/s, y la pluma se eleva

con una velocidad angular constante 2 =

0.50 rad/s. La longitud de la pluma es l = 12

m.

Determinar:

• la velocidad angular de la pluma,

• la aceleración angular de la pluma,

• la velocidad de la punta de la pluma,

• la aceleración de la punta de la pluma.

• Aceleración angular de la pluma,

21

22221

Oxyz

• Velocidad de la punta de la pluma,

rv

• Aceleración de la punta de la pluma,

vrrra

SOLUCIÓN:

Con

• Velocidad angular de la pluma,

21

ji

jir

kj

639.10

30sen30cos12

50.030.0 21


15 - 58

jir

kj

639.10

50.030.0 21

SOLUCIÓN:

• Velocidad angular de la pluma,

21

kj

srad50.0srad30.0

• Aceleración angular de la pluma,

kj

Oxyz

srad50.0srad30.021

22221

i 2srad15.0

• Velocidad de la punta de la pluma,

0639.10

5.03.00

kji

rv

kjiv

sm12.3sm20.5sm54.3


15 - 59

jir

kj

639.10

50.030.0 21

• Aceleración de la punta de la pluma,

kjiik

kjikji

a

vrrra

90.050.160.294.090.0

12.320.53

50.030.00

0639.10

0015.0

kjia 222 sm80.1sm50.1sm54.3

Movimiento tridimensional. Aceleración de Coriolis

15 - 60

• Con respecto al sistema de referencia fijo OXYZ y al sistema

de referencia rotatorio Oxyz,

QQQ OxyzOXYZ

• Considérese el movimiento de la partícula P respecto a un sistema de referencia rotatorio Oxyz, o F para abreviar. La

velocidad absoluta puede expresarse como

FPP

OxyzP

vv

rrv

• La aceleración absoluta puede expresarse como

Coriolis den aceleració 22

2

F

F

POxyzc

cPp

OxyzOxyzP

vra

aaa

rrrra

Sistema de referencia en movimiento general

15 - 61

Considérese:

- el sistema de referencia fijo OXYZ,

- el sistema de referencia de traslación

AX’Y’Z’, y

- el sistema de referencia de traslación y rotación Axyz, o F.

• Con respecto a OXYZ y AX’Y’Z’,

APAP

APAP

APAP

aaa

vvv

rrr

• La velocidad y la aceleración de P respecto a AX’Y’Z’

puede encontrarse en función de la velocidad, y la

aceleración de P respecto a Axyz.

FPP

AxyzAPAPAP

vv

rrvv

cPP

AxyzAPAxyzAP

APAPAP

aaa

rr

rraa

F

2


15 - 62

Para el disco montado en el brazo, las

velocidades rotatorias angulares indicadas

son constantes.

Determinar:

• la velocidad del punto P,

• la aceleración de P, y

• la velocidad angular y la aceleración

angular del disco.

SOLUCIÓN:

• Definir un sistema de referencia fijo OXYZ en O y un sistema de referencia en movimiento Axyz, o F,

unidos al brazo en A.

• Con P’ del sistema de referencia en movimiento

que coincide con P, la velocidad del punto P se

encuentra desde

FPPP vvv

• La aceleración de P se encuentra desde

cPPP aaaa

F

• La velocidad angular y la aceleración angular

del disco son

F

FD


15 - 63

SOLUCIÓN:

• Definir un sistema de referencia fijo OXYZ en O y un

sistema de referencia en movimiento Axyz, o F, unidos

al brazo en A.

j

jRiLr

1

k

jRr

D

AP

2

F

• Con P’ del sistema de referencia en movimiento que

coincide con P, la velocidad del punto P se encuentra

desde

iRjRkrv

kLjRiLjrv

vvv

APDP

P

PPP

22

11

FF

F

kLiRvP

12


15 - 64

• La aceleración de P se encuentra desde

cPPP aaaa

F

iLkLjraP

2111

jRiRk

ra APDDP

2222

FFF

kRiRj

va Pc

2121 22

2

F

kRjRiLaP

21

22

21 2

• Velocidad angular y aceleración del disco,

FD

kj

21

kjj

211

F

i

21

Cinemática y Dinámica

Cinemática del cuerpo rígido.

Gracias.

cinemática y dinámica · pdf fileobjetivo: el alumno analizará y...

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