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Cinemática del robot


La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia.

La cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y la orientación del extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares.

Existen dos problemas fundamentales a resolver en la cinemática del robot; el primero de ellos se conoce como el problema cinemático directo y el segundo como problema cinemático inverso.


El problema cinemático directo consiste en determinar cuál es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot.

El problema cinemático inverso, resuelve la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas.


Denavit y Hartenberg propusieron un método sistemático para describir y representar la geometría espacial de los elementos de una cadena cinemática, y en particular de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo.

Este método utiliza una matriz de transformación homogénea para describir la relación espacial entre dos elementos rígidos adyacentes, reduciéndose así el problema cinemático a encontrar una matriz de transformación homogénea de 4x4 que relacione la localización espacial del extremo del robot con respecto al sistema de coordenadas de su base.

Problema cinemático directo Dado que un robot se puede considerar como una cadena cinemática formada por objetos rígidos o eslabones unidos entre sí mediante articulaciones, se puede establecer un sistema de referencia fijo situado en la base del robot y describir la localización de cada uno de los eslabones con respecto a dicho sistema de referencia.

De esta forma, el problema cinemático directo se reduce a encontrar una matriz homogénea de transformación T que relacione la posición y orientación del extremo del robot respecto del sistema fijo situado en la base del mismo. Esta matriz T será función de las coordenadas articulares.

Cadenas cinemáticas

La resolución del problema cinemático directo consiste en encontrar las relaciones que permiten conocer la localización espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus coordenadas articulares.

Así, si se han escogido coordenadas cartesianas y ángulos de Euler para representar la posición y orientación del extremo de un robot de seis grados de libertad, la solución al problema Cinemático directo vendrá dada por las relaciones:


La obtención de estas relaciones no es en general complicada, siendo incluso en ciertos casos (robots de pocos GDL) fácil de encontrar mediante simples consideraciones geométricas.

( )( )( )( )( )( )654321

654321

654321

654321

654321

654321

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

qqqqqqfqqqqqqfqqqqqqfqqqqqqfzqqqqqqfyqqqqqqfx

z

y

x

γ

β

α

γβα

=

===

==

Cadenas cinemáticas Por ejemplo para un robot de 2 GDL que se muestra en la figura, es fácil comprobar que:

Para robots de más grados de libertad puede plantearse un método sistemático basado en la utilización de las matrices de transformación homogénea.

Robot planar de 2 GDL

( )( )21211

21211 coscosqqsenlsenqlyqqlqlx

++=++=


En general, un robot de n grados de libertad está formado por n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par articulación-eslabón constituye un grado de libertad.

A cada eslabón se le puede asociar un sistema de re fe renc ia so l i da r i o a é l y, u t i l i zando l as transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot.

Cadenas cinemáticas Normalmente, la matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se suele denominar matriz i-1Ai.

Así pues, 0A1 describe la posición y orientación del sistema de referencia solidario al primer eslabón con respecto al sistema de referencia solidario a la base, 1A2 describe la posición y orientación del segundo eslabón respecto del primero, etc.


Del mismo modo, denominando 0Ak a las matrices resultantes del producto de las matrices i-1Ai con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemática que forma el robot.

Así, por ejemplo, la posición y orientación del sistema solidario con el segundo eslabón del robot con respecto al sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante la matriz 0A2:

0A2 = 0A1 1A2


De manera análoga, la matriz 0A3 representa la localización del sistema del tercer eslabón:

0A3 = 0A1 1A2 2A3

Cuando se consideran todos los grados de libertad a la matriz 0An se le suele denominar T. Así, dado un robot de seis grados de libertad, se tiene que la posición y orientación del eslabón final vendrá dada por la matriz T:

T = 0A6 = 0A1 1A2 2A3

3A4 4A5 5A6


Aunque para describir la relación que existe entre dos elementos contiguos se puede hacer uso de cualquier sistema de referencia ligado a cada elemento, la forma habitual que se suele utilizar en robótica es la representación de Denavit-Hartenberg.

Denvit-Hartenbarg en 1955 propusieron un método matricial que permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas {Si} ligado a cada eslabón i de una cadena articulada, pudiéndose determinar a continuación las ecuaciones cinemáticas de la cadena completa.


Según la representación de D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón.

Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permiten relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1.

Cadenas cinemáticas Las transformaciones básicas son las siguientes:

1.  Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo θi.

2.  Traslación a lo largo de zi-1 una distancia di; vector di(0,0,di).

3.  Traslación a lo largo de xi una distancia ai; vector ai(ai,0,0).

4.  Rotación alrededor del eje xi un ángulo αi.

Cadenas cinemáticas Dado que el producto no es conmutativo las transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:

i-1Ai = Rot(z,θi) Tras(0,0,di) Tras(ai,0,0) Rot(x,αi)

y realizado el producto entre matrices:

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

10000cos00cos00001

100001000010

001

1000100

00100001

1000010000cos00cos

1

ii

ii

i

i

ii

ii

ii

sensen

a

dsen

sen

ααααθθ

θθ

A


donde θi, ai, di, αi, son los parámetros D-H del eslabón i. De este modo, basta con identificar los parámetros θi, ai, di, αi para obtener las matrices A y relacionar así todos y cada uno de los eslabones del robot.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=−

1000cos0

coscoscoscoscoscos

1

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

dsensenasensen

asensensen

ααθθαθαθθθαθαθ

A

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo

D-H 1. Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.

D-H 2. Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.

D-H 3. Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.


D.H 4. Situar el origen del sistema en la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 y y0 se situarán de modo que formen un sistema de dextrógiro con z0.

D.H 5. Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.

D-H 6. Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi o en la dirección normal a los planos zi-1-zi si zi-1 y zi se intersectan.


D-H 7. Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.

D-H 8. Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

D-H 9. Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos.


D.H 10. Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 queden alineados.

D.H 11. Obtener ai como la distancia medida a lo largo xi (que ahora coincidiría con xi-1) que habrá que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.

D.H 12. Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi (que ahora coincidiría con xi-1), para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.


D.H. 13. Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

D.H. 14. Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0A1, 1A2,.. n-1An.

D.H 15. La matriz T define la orientación y posición del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares.


Los cuatro parámetros de D-H (θi, ai, di, αi) dependen únicamente de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y el siguiente. Estos parámetros se muestran en la siguiente figura y representan:

θi es el ángulo que forman los ejes xi-1 y xi medido en un plano perpendicular al eje zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias.


di es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-ésimo hasta la intersección del eje zi-1 con el eje xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.

ai es la distancia a lo largo del eje xi que va desde la intersección del eje zi-1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes zi-1 y zi.


αi es el ángulo de separación del eje zi-1 y el eje zi, medido en un plano perpendicular al eje xi, utilizando la regla de la mano derecha.

Una vez obtenidos los parámetros D-H, el cálculo de las relaciones entre los eslabones consecutivos del robot es inmediato.

Obtenida la matriz T, ésta expresará la orientación y posición del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, con lo que quedará resuelto el problema cinemático directo.


Representación D-H para un eslabón giratorio

Manipulador de dos eslabones

Considere el robot de dos eslabones que se muestra en la figura. Hallar la solución al problema cinemático directo.

Manipulador de dos eslabones

Manipulador de dos eslabones Se obtiene la tabla de parámetros y se determinan las matrices A.

Manipulador de dos eslabones Obtenemos la matriz de transformación T

La posición del efector final con respecto a la base está dada por:

Robot cilíndrico de tres eslabones Considere ahora el robot cilíndrico de 3 eslabones representado simbólicamente en la siguiente figura.

Robot cilíndrico

Robot cilíndrico de tres eslabones

Los parámetros se muestran en la siguiente tabla.

Robot cilíndrico de tres eslabones

Se hallan las matrices A y T.

Muñeca esférica Una configuración de muñeca esférica se muestra en la siguiente figura, en la cual los ejes de las articulaciones z3, z4, z5 se intersecan en o (origen).

Muñeca esférica

Los parámetros Denavit-Hartenberg se muestran en la siguiente tabla. El manipulador Stanford es un ejemplo de un manipulador que tiene una muñeca de este tipo.

Muñeca esférica Se calculan las matrices A.

Muñeca esférica

Se resuelve la matriz de transformación T.

Manipulador cilíndrico con muñeca esférica

Supongamos que ahora fijamos una muñeca esférica al manipulador cilíndrico del ejemplo anterior. Note que el eje de rotación del eslabón 4 es paralelo a z2 y coincide con el eje z3 del ejemplo anterior. Entonces podemos decir que la cinemática directa está dada por:


Manipulador ci l índr ico con muñeca esférica.


Desarrollamos la matriz T:

Robot SCARA Considere el robot SCARA que se muestra en la figura.

Robot SCARA

La tabla de parámetros D-H es:

Robot SCARA

Las matrices A son las siguientes:

Robot SCARA

La matriz de transformación T queda como:

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot cilíndrico

Robot cilíndrico


Se localizan los sistemas de referencia de cada una de las articulaciones del robot. Posteriormente se determinan los parámetros de Denavit-Hartenberg del robot con los que se construye la siguiente tabla.

Articulación θ d a α 1 θ1 l1 0 0 2 0 d2 0 90 3 0 d3 0 0 4 θ4 l4 0 0


Una vez calculados los parámetros de cada eslabón, se calculan las matrices A como sigue:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

100010000cos00cos

1

11

11

10

lsen

senθθθθ

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100010000cos00cos

4

44

44

43

lsen

senθθθθ

A⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000100

00100001

33

2

dA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000110

00010100

22

1

dA


El resultado de la matriz T es el siguiente:

( )( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−+−

==

10000 1244

43114141

43114141

433

22

11

0

ldCSldSSSCCCldCCSSCS

AAAAT

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot IRB6400C

En primer lugar y siguiendo el algoritmo Denavit-Hartenberg, se localizan los sistemas de referencia de cada una de las articulaciones del robot como se muestra en la figura. Posteriormente se determinan los parámetros de Denavit-Hartenberg del robot con los que se construye la tabla de parámetros.


Asignación de ejes de referencia para el robot IRB6400C.


Tabla de parámetros D-H.

Articulación θ d a α

1 θ1 0 0 -90 2 θ2 l1 0 90 3 0 0 l2 90 4 θ4 l3 0 -90 5 θ 5 0 0 90 6 θ6 l4 0 0


Se calculan ahora las matrices A, sustituyendo en la expresión general de la siguiente manera:


Así pues, se puede calcular la matriz T que indica la localización del sistema asociado al extremo del robot con respecto de referencia de la base del robot:


A continuación se desarrollan los términos de la matriz T.

Tarea Para el robot simple mostrado en la siguiente figura, asigne los sistemas coordenados necesarios basándose en el algoritmo D-H y llene la tabla con los parámetros. Por último halle la solución al problema cinemático directo.

Solución

Se sitúan los ejes de acuerdo al algoritmo D-H

Solución Se hallan los parámetro de D-H y se llena la tabla

Solución

Se escriben las transformaciones entre cada articulación sucesiva.

Solución

Solución La transformación total entre la base del robot y la mano es:

Ejercicio El brazo Stanford. Asigne los sistemas coordenados al brazo Stanford de la siguiente figura. El brazo Stanford es un brazo de coordenadas esféricas, lo que significa que sus dos primeras articulaciones son rotatorias y la tercera es prismática.

Solución del brazo Stanford La asignación de sistemas del brazo y la tabla de parámetros son los siguientes:

Solución del brazo Stanford

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