1.- Cinemática directa de un robot planar de 2 GDL

Las variables a utilizar en el modelo cinemático del robot planar de 2 grados de libertad se indican

en la figura 1.1 en donde se utilizan las longitudes 𝑙𝑖 de cada eslabón, las posiciones angulares 𝑞𝑖

de cada eslabón y las coordenadas (𝑥, 𝑦) de la posición final del robot. Los parámetros 𝑙1 y 𝑙2 del

brazo son de 310 𝑚𝑚 y 305 𝑚𝑚 respectivamente.

Fig. 1.1 Estructura cinemática de un robot planar de 2GDL.

1.1.- Posición

Parámetros Denavit-Hartenberg

Fig. 1.2 Ubicación de los sistemas de referencia.

𝜽𝒊: Es el ángulo en la articulación desde el eje 𝑋𝑖−1 al eje 𝑋𝑖 respecto al eje 𝑍𝑖−1

𝒅𝒊: Es la distancia medida desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-ésimo hasta la

intersección del eje 𝑍𝑖−1 con el eje 𝑋𝑖 a lo largo de eje 𝑍𝑖−1

𝒍𝒊: Es la distancia que separa la intersección de los ejes 𝑍𝑖−1 y 𝑋𝑖 con el origen del sistema

i-esimo medida a lo largo de eje 𝑋𝑖

𝜶𝒊: Es el ángulo desde el eje 𝑍𝑖−1 y al eje 𝑍𝑖 respecto del eje 𝑋𝑖

𝑨𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒊 𝜽𝒊 𝒅𝒊 𝒍𝒊 𝜶𝒊 1 𝑞1 0 𝑙1 0°

2 𝑞2 0 𝑙2 0°

Matrices de transformación homogénea

𝐻𝑖−1𝑖 = (

cos 𝑞𝑖 −𝑠𝑒𝑛 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑞𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑖

𝑠𝑒𝑛 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑖 −𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑖

00

𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑖

0cos 𝛼1

0

𝑙𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑖

𝑙𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑞𝑖

𝑑𝑖

1

) [1.1.1]

𝐻01 = (

cos 𝑞1 −𝑠𝑒𝑛 𝑞1 0𝑠𝑒𝑛 𝑞1 𝑐𝑜𝑠 𝑞1 0

00

00

10

𝑙1𝑐𝑜𝑠 𝑞1

𝑙1𝑠𝑒𝑛 𝑞1

01

) [1.1.2]

𝐻12 = (

cos 𝑞2 −𝑠𝑒𝑛 𝑞2 0𝑠𝑒𝑛 𝑞2 𝑐𝑜𝑠 𝑞2 0

00

00

10

𝑙2𝑐𝑜𝑠 𝑞2

𝑙2𝑠𝑒𝑛 𝑞2

01

) [1.1.3]

𝐻02 = 𝐻0

1 𝐻12 = (

cos (𝑞1 + 𝑞2) −𝑠𝑒𝑛 (𝑞1 + 𝑞2) 0sen (𝑞1 + 𝑞2) cos (𝑞1 + 𝑞2) 0

00

00

10

𝑙1𝑐𝑜𝑠 𝑞1 + 𝑙2 cos(𝑞1 + 𝑞2)

𝑙1𝑠𝑒𝑛 𝑞1 + 𝑙2 sen(𝑞1 + 𝑞2)01

)

De donde obtenemos las coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la posición final del robot:

(𝒙𝒚𝒛

) = (𝑙1𝑐𝑜𝑠 𝑞1 + 𝑙2 cos(𝑞1 + 𝑞2)

𝑙1𝑠𝑒𝑛 𝑞1 + 𝑙2 sen(𝑞1 + 𝑞2)0

) [1.1.4]

1.2.- Velocidad

Una vez determinada la posición, las relaciones de velocidad están determinadas por la matriz

Jacobiana.

(�̇��̇�

) = 𝐽 ∙ (𝑞1̇

𝑞2̇) [1.2.1]

𝐽 = (

𝜕𝑥

𝜕𝑞1

𝜕𝑥

𝜕𝑞2

𝜕𝑦

𝜕𝑞1

𝜕𝑦

𝜕𝑞2

) [1.2.2]

(�̇��̇�

) = (−𝑙1𝑠𝑒𝑛𝑞1 − 𝑙2𝑠𝑒𝑛(𝑞1 + 𝑞2) −𝑙2𝑠𝑒𝑛(𝑞1 + 𝑞2)

𝑙1𝑐𝑜𝑠𝑞1 + 𝑙2cos (𝑞1 + 𝑞2) 𝑙2 cos(𝑞1 + 𝑞2)) (

𝑞1̇

𝑞2̇)

(�̇��̇�

) = ([−𝑙1 𝑠𝑒𝑛𝑞1 − 𝑙2 𝑠𝑒𝑛(𝑞1 + 𝑞2)] 𝑞1̇ − 𝑙2 𝑠𝑒𝑛(𝑞1 + 𝑞2) 𝑞2̇

[𝑙1 𝑐𝑜𝑠𝑞1 + 𝑙2 cos(𝑞1 + 𝑞2)] 𝑞1̇ + 𝑙2 cos(𝑞1 + 𝑞2) 𝑞2̇) [1.2.3]

2.- Cinemática inversa de un robot planar de 2 GDL

Fig. 2.1.- Variables del modelo cinemático inverso

[2.1.1]

[2.1.2]

[2.2.1]

2.1.- Posición De la figura 2.1 y por ley de cosenos

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑙12 + 𝑙2

2 − 2𝑙1𝑙2cos (180 − 𝑞2)

𝑐𝑜𝑠 𝑞2 =𝑥2 + 𝑦2 − 𝑙1

2 − 𝑙22

2𝑙1𝑙2

𝒒𝟐 = ± 𝐜𝐨𝐬−𝟏 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒍𝟏

𝟐 − 𝒍𝟐𝟐

𝟐𝒍𝟏𝒍𝟐)

Además

𝑞1 = 𝛽 − 𝛼

𝛽 = tan−1 (𝑦

𝑥) 𝛼 = tan−1 (

𝑙2𝑠𝑒𝑛 𝑞2

𝑙1+𝑙2𝑐𝑜𝑠𝑞2)

𝒒𝟏 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝒚

𝒙) − 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (

𝒍𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒒𝟐

𝒍𝟏 + 𝒍𝟐𝒄𝒐𝒔𝒒𝟐)

2.2.- Velocidad

De la ecuación [1.2.1] despejamos el vector de velocidades angulares.

(𝑞1̇

𝑞2̇) = 𝐽−1 ∙ (

�̇��̇�

)

Donde la inversa del Jacobiano es:

𝐽−1 =

(𝑙2cos (𝑞1 + 𝑞2) 𝑙2𝑠𝑒𝑛(𝑞1 + 𝑞2)

−𝑙1𝑐𝑜𝑠𝑞1 − 𝑙2cos (𝑞1 + 𝑞2) −𝑙1𝑠𝑒𝑛𝑞1 − 𝑙2𝑠𝑒𝑛(𝑞1 + 𝑞2))

𝑙1𝑙2 sen 𝑞2