UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICAANTONIO JOS DE SUCREVICERRECTORADO PUERTO ORDAZ

Cinemtica de los Fluidos

Ciudad Guayana, Julio 2011

ndice.

3

Introduccin.3Ecuacion de Bernoulli.4Numero de Reinolds5Cantidad de Movimiento8Diagrama de Moody9Conservacion de la masa11Ecuacion de Euler12Conclusin17

Introduccin

La cinemtica estudia los conceptos requeridos para la mejor comprensin del movimiento de los fluidos. Sus resultados se aplican en el clculo y diseo de obras, accesorios y controles para el manejo de fluidos que fluyen, escurren o se mueven. La cinemtica tambin utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias y se le llama sistema de referencia.La cinemtica de los fluidos se ocupa de la descripcin del movimiento de las partculas fluidas, sin preocuparse por las fuerzas que causan ese movimiento ni por las fuerzas que ese movimiento origina. As que los asuntos tratados se refieren a la posicin de las partculas, a su velocidad, al cambio de velocidad y a las variables asociadas directamente con la descripcin del movimiento.A continuacin se explican varios conceptos y ecuaciones referentes a este tema.

Ecuacin de Bernoulli

La ecuacin de Bernoulli es eficaz y til porque relaciona los cambios de presin con los cambios en la velocidad y la altura a lo largo de una lnea de corriente. Para poder aplicarse, el flujo debe cumplir con las siguientes restricciones:a) Flujo estable.b) Flujo incompresible.c) Flujo sin friccin.d) Flujo a lo largo de una lnea de corriente.

La ecuacin de Bernoulli puede aplicarse entre cualesquiera dos puntos sobre una lnea de corriente siempre que se satisfagan las otras tres restricciones.

El resultado es

Donde los subndices 1 y 2 representan dos puntos cualesquiera sobre una lnea de corriente. Entre las aplicaciones de las ecuaciones 1 y 2 a problemas de flujo tpicos, se tienen los siguientes: flujo en una tobera, flujo a travs de un sifn, tubo de Pitot y muchos ms.

Numero De ReynoldsEl Nmero de Reynolds permite caracterizar la naturaleza del flujo, es decir, si se trata de un flujo laminar o de un flujo turbulento, adems, indica la importancia relativa de la tendencia del flujo hacia un rgimen turbulento respecto de uno laminar y la posicin relativa de este estado dentro de una longitud determinada.Reynolds estudi dos escurrimientos geomtricamente idnticos, de esto pudo concluir que dichos flujos serian dinmicamente semejantes si las ecuaciones diferenciales que describan a cada uno estos eran idnticas.Dos escurrimientos son dinmicamente semejantes cuando: Ambos sistemas son geomtricamente semejantes, es decir, cuando se tiene una relacin constante entre dimensiones de longitudes correspondientes. Las correspondientes familias de lneas de corriente son geomtricamente semejantes o las presiones en puntos correspondientes forman una relacin constante.Al cambiar las unidades de ms, longitud y tiempo en un grupo de ecuaciones y al determinar las condiciones necesarias para hacerlas idnticas a las originales, Reynolds encontr que el parmetro adimensionalDv/udeba ser igual en ambos casos. En este parmetro v es la velocidad caracterstica,Des el dimetro de la tubera,es la densidad del fluido yues su viscosidad. Este parmetro se conoce como numero de Reynolds (R).

Para encontrar el significado fsico de tal parmetro adimensional, Reynolds llevo a cabo sus famosos experimentos a travs de tubos de vidrio. Coloco un tubo de vidrio horizontalmente con una vlvula en uno de sus extremos y un tanque de alimentacin en otro. La entrada al tubo tena una forma de campana y su superficie era bastante lisa. Reynolds dispuso, adems, de un sistema para inyectar tinta en forma de corriente sumamente fina en cualquier punto de la entrada al tubo.Para gastos pequeos, la corriente de tinta se presentaba como un delgado filamento a lo largo del tubo, indicando que se trataba de un rgimen laminar. Al incrementar el gasto (aumentando, por consiguiente el nmero de Reynolds) se alcanzaba la condicin en que el filamento de tinta presentaba caractersticas oscilantes hasta que sbitamente se rompa, difundindose la tinta a todo lo ancho del tubo. En estas condiciones, el flujo haba cambiado a rgimen turbulento, con su caracterstico intercambio brusco de cantidad de movimiento; al llevar a cabo las pruebas cuidadosamente Reynolds obtuvo un valorR= 12000 antes de que se presentara la turbulencia. En investigaciones posteriores, equipo original de Reynolds, se lograron valores hasta de 40000, al permitir que el agua en el tanque estuviera en calma por varios das antes del experimento y al tomar precauciones a fin de evitar vibraciones en el agua y en el equipo.Estos ndices, conocidos comonmeros crticos de Reynoldsno tienen significado prctico alguno, ya que en tuberas ordinarias existen irregularidades que ocasionan el paso al rgimen turbulento para valores mucho menores al del nmero de Reynolds.Al proceder de manera inversa en el tubo de vidrio, Reynolds encontr que el flujo turbulento siempre pasaba a ser laminar, cuando al disminuir la velocidad se haca queRvaliera menos de 2000. Este ndice es elnmero crtico inferior de Reynoldspara el flujo de tubos y s tiene importancia prctica. Para tuberas convencionales, el flujo cambiar de laminar a turbulento cuando el nmero de Reynolds se encuentre en el rango de 2000 a 4000.Una caracterstica distintiva entre el flujo laminar y el turbulento es que las prdidas en el laminar son proporcionales a la velocidad promedio, mientras en el turbulento son proporcionales a una potencia de la velocidad que vara entre 1.7 y 2.0.El nmero de Reynolds se puede interpretar como la relacin entre el esfuerzo cortantetfdebido a la turbulencia y el esfuerzo cortantetndebido a la viscosidad. En efecto, si se aplica la ecuacin de cantidad de movimiento al flujo a travs de un elemento de readA, se puede determinar el esfuerzo cortante aparente debido a la turbulencia: siv`es la velocidad perpendicular adA yu`es la diferencia de velocidades, o la fluctuacin de velocidad, entre dos caras del elemento, entonces, la fuerza cortantedF que ah acta es: dF =rv`dAu`Donderv`dA es la masa por segundo de fluido que cambia su cantidad de movimiento, yu`corresponde a la velocidad final menos la velocidad inicial en direccins. Al dividir toda la expresin entradA, se obtiene el esfuerzo cortantetfdebido a las fluctuaciones turbulentas, tf=rv`u`El esfuerzo cortante debido a la viscosidad se puede escribir como tn=mu`/ lDondeu`se puede interpretar como el cambio de velocidad en la distancia l, medida perpendicularmente a la velocidad. El cociente tf/tn=rv`l /mTiene entonces la forma del nmero de Reynolds.La naturaleza de determinado flujo incompresible se puede caracterizar mediante su nmero de Reynolds. Para valores grandes deR, uno o todos los factores en el numerador resultan grandes, comparados con el denominador. Esto implica una gran expansin en el conducto del fluido, una velocidad alta, una gran densidad, una viscosidad extremadamente pequea o combinaciones de estos extremos. Los trminos en el numerador se relacionan con las fuerzas de inercia, es decir, las fuerzas debidas a la aceleracin o desaceleracin del fluido. El termino en el denominador es la causa de las fuerzas cortantes viscosas. De esta manera, tambin se puede considerar el nmero de Reynolds como el cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. Un nmero de Reynolds grande indica que el flujo es altamente turbulento con las prdidas proporcionales al cuadrado de la velocidad. La turbulencia puede ser de escala pequea caracterizada por remolinos muy pequeos, los cuales convierten rpidamente la energa mecnica en irreversibilidades a travs de la accin viscosa; o puede ser de escala grande, como en el caso de los remolinos ms o menos definidos que se forman en los ros o en la zona de la atmsfera en inmediato contacto con la superficie terrestre. Los grandes remolinos generan remolinos ms pequeos, los cuales a su vez dan lugar a la turbulencia de escala pequea. Se puede imaginar al flujo turbulento como un flujo regular, posiblemente uniforme, en el cual se tuviera sobreimpuesto un flujo secundario. En la turbulencia de escala pequea se tienen fluctuaciones de velocidad que se caracterizan por una frecuencia alta; la raz media cuadrada de estas fluctuaciones y la frecuencia de cambio de su signo son medidas cuantitativas de la turbulencia. En general, la intensidad de la turbulencia aumenta conforme lo hace el nmero de Reynolds.Para valores intermedios deR, tanto los efectos viscosos como los inerciales son de importancia y los cambios en la viscosidad afectan a la distribucin de las velocidades y a la resistencia al flujo.Dos conductos cerrados geomtricamente semejantes con el mismo nmero de Reynolds (por ejemplo uno con el doble del tamao del otro), tienen la misma relacin entre prdidas y carga de velocidad; de esta manera, se concluye que mediante el nmero de Reynolds se pueden predecir los resultados en determinado escurrimiento en un fluido, utilizando los resultados experimentales de un caso semejante con un fluido diferente.

Cantidad de Movimiento

La cantidad de movimientoomomentum es una propiedad que est asociada a lacantidad de masaque tiene un objeto y a lavelocidadcon que este se mueve; estransferible, es decir, una persona o un objeto pueden transferir momentum a un cuerpo. Para esto debemos interactuarcon l; dicho de otro modo, debemosejercerle una fuerza.Ahora bien, si todas las fuerzas sobre un sistema, sea este un cuerpo o un conjunto de cuerpos, se anulan entre s, es decir, la fuerza neta sobre el sistema es igual a cero, entonces el momentum del sistemase conserva, lo que significa que su cantidad de movimiento no cambia, es constante. Lo anterior se refiere a que, por ejemplo, si queremos mover una pelota de ftbol, debemos patearla. Si nadie patea la pelota, esta no se mueve. La accin de patear la pelota implica que el jugador le transfiere momentum propio al sistema pelota.La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma direccin y sentido que la velocidad.

La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendr mayor cantidad de movimiento.

m = Masav = Velocidad (en forma vectorial)p = Vector cantidad de movimiento

Diagrama de MoodyEl Diagrama de Moody es con toda probabilidad el grfico ms famoso de la mecnica de fluidos. A continuacin, ilustramos dicho diagrama:

La primera parte de este diagrama, nos muestra una relacin lineal que se mantiene aproximadamente hasta un nmero de Reynolds de aproximadamente 2300, que es el valor en donde se inicia la transicin al rgimen turbulento para los tubos. Por debajo de estos valores del nmero de Reynolds, podemos decir que todo el flujo es laminar y organizado y puede regirse por la relacin:

Esta relacin es vlida hasta que se alcanza la zona crtica delimitada por la presencia de una lnea vertical entrecortada. Para el anlisis de la zona de rgimen turbulento (donde Re excede 2300), es necesario hacer un anlisis de las relaciones de paredes lisas y flujo dominado por la rugosidad. El flujo rodeado de paredes lisas fue modelado matemticamente por el cientfico alemn Ludwig Prandtl, quien obtuvo la siguiente relacin para calcular las prdidas por friccin:

Ms tarde, algunos discpulos de Prandtl derivaron una expresin similar, pero para el flujo turbulento en paredes rugosas:

Vemos que se introduce un nuevo parmetro /d, que es un parmetro adimensional que mide la rugosidad de las superficies y que es conocido como rugosidad relativa. El valor de vara en funcin del material, la condicin del material y viene en unidades de pies (ft) para el sistema ingls y de milmetros (mm) para el SI

En 1939, C.F. Colebrook combin las expresiones para flujo turbulento en un conducto para paredes lisas y rugosas en una sola ecuacin para obtener:

Esta frmula es apropiada para el cmputo del coeficiente de friccin para el flujo turbulento y en 1944 fue representada grficamente por L.F Moody a quien debe su nombre el diagrama descrito en este resumen. Este diagrama es el ms til de la mecnica de fluidos y suele ser muy fiable cuando sus errores son inferiores al 15% en el rango mostrado en la figura 1. Las aplicaciones de este diagrama se extienden a flujo en conductos circulares y no circulares, adems de canales turbulentos y aplicaciones relacionadas con la teora de capas lmite turbulentas. El proceso para obtener un coeficiente de friccin a travs de la ecuacin de Colebrook puede ser lento y engorroso, a menos que no se disponga de un software como EES, Matlab, Excel o MathCad que lleve a cabo las iteraciones. Por lo general el nmero de iteraciones no debe pasar de 100, ya que si comenzamos a iterar desde un valor del coeficiente de friccin de 0.008 en incrementos de 0.001 llegaremos hasta el valor mximo de 0.10 en 93 iteraciones. Es recomendable ir tanteando valores en ambos lados de la ecuacin de Colebrook hasta que converjan hacia un mismo valor, es decir que su diferencia sea de cero (0). Esto lo podremos comprobar si tabulamos los datos y observamos un cambio en signo para la diferencia de ambos lados de la expresin, entones ser el momento de detener las iteraciones y seleccionar el valor inmediatamente anterior al primer negativo.

Conservacin de la masaLa ecuacin de conservacin de la masa representa una previsin de la adicin y sustraccin de masa de una regin concreta de un fluido. Pensemos en un volumen fijo e indeformable de un fluido, V, llamado volumen de control (cs). Para que se cumpla la conservacin de la masa, la tasa de intercambio de masa por unidad de tiempo dentro del volumen de control tiene que ser igual a la velocidad a la que la masa penetra en volumen de control ms la velocidad a la que este gana o pierde masa debido a fuentes y sumideros. Dentro del volumen de control existe una distribucin de algunas especies, que viene definida por el campo de concentracin (concentracin field,) C(x, y, z). La masa total dentro de dicho volumen es:

M puede variar a lo largo del tiempo debido a fuentes y sumideros localizados en el interior del volumen, o a flujos de masa que atraviesan sus lmites. En un sistema de fluidos existen dos tipos de flujo msico: eveccin y difusin. El flujo neto de masa que sale del volumen de control viene dado por la integral:

Aqu es el vector de velocidad y es la normal que apunta hacia afuera para el segmento de superficie representa la componente de velocidad perpendicular al segmento de rea Da, definir como la normal en direccin hacia afuera convierte a la ecuacin 2 en el flujo neto de

Es decir el flujo saliente de (en la misma direccin que) contribuye positivamente a la integral y el flujo entrante en (opuesto a) contribuye negativamente. El flujo neto saliente del volumen de control debido a la difusin se define mediante la ley de fick.

Ecuaciones De Euler

V(t)dV+SvndS=0V(t)(v)dV+S(vv+pI)ndS=0V(t)(e+v22)dV+S(e+v22+p)vndS=0.Las anteriores ecuaciones son, interpretados los smbolos de forma adecuada, una de las formas (la forma integral de conservacin) adoptadas por las ecuaciones de Euler de la dinmica del fluido no viscoso son un modelo matemtico extraordinariamente til y bello que tiene grandes aplicaciones en campos como el diseo aerodinmico. Sirven para modelar un fluido: sin viscosidad; sin conductividad trmica; sin campos de fuerza (sin efectos gravitatorios, por ejemplo); sin reacciones qumicas; sin transferencia de calor por radiacin; sin efectos relativistas (mucho ms lento que la luz); modelable como un medio continuo (as que no valen para atmsferas muy enrarecidas).Estas hiptesis, aunque parecen restrictivas, son aplicables a muchsimos casos de inters prctico. El aire alrededor de un vehculo con buenas formas aerodinmicas (por ejemplo, un avin) a velocidades no demasiado elevadas, por ejemplo, responde muy bien a las ecuaciones de Euler salvo en regiones muy pequeas (lascapas lmite, las estelas y los chorros).Las ecuaciones de Euler son unas ecuaciones de conservacin: de conservacin de la masa; de conservacin de la cantidad de movimiento; de conservacin de la energa.Vamos a ver cmo deducir su forma. Antes, introduzcamos cierta notacin: tes el tiempo; es la densidad del fluido (depende del tiempo y del punto del espacio); ves la velocidad a la que se mueve el fluido (depende del tiempo y del punto del espacio); pes la presin (depende del tiempo y del punto del espacio); ees la energa interna del fluido por unidad de masa (depende del tiempo y del punto del espacio), es decir, su energa total menos su energa cintica.

Ecuacin de conservacin de la masaCentrmonos en una masa de control, una masa determinada del fluido. Por su propia definicin, esta masa no vara. La masaMes igual a la integral de volumen de la densidad. La regin del espacio ocupada por la masa de control,Vm(t), puede cambiar con el tiempo, pero la masa es fija: (ddt)M=(ddt)Vm(t)dV=0.

Slo est indicada la dependencia explcita del tiempo del volumenVm(t), pero la densidad tambin depende del tiempo y del espacio. La omisin est hecha con el fin de hacer la notacin ms simple y se aplicar por igual al campo de velocidadesv(de mdulov), al campo de presinpy al campo de energa interna por unidad de masae.

Campo de velocidades: en cada punto del espacio y en cada instante del tiempo podramos poner un minsculo anemmetro imaginario y medir la velocidad del fluido all. El conjunto de estas velocidades, cada una con su posicin espacio temporal, es el campo de velocidades. La figura muestra, en dos dimensiones, una visin cualitativa de los vectores de velocidad alrededor de un torbellino.Si aplicamos elteorema del transporte de Reynoldsal volumenV(de frontera Sy normal a la fronteran), podemos expresar la derivada de la masa de una masa de control (que es nula porque la masa no vara) con lo que pasa en el volumen que ocupa: (ddt)M=V(t)dV+SvndS=0.

sta es la ecuacin de la conservacin de la masa en forma integral para un volumen de control fijo.Ecuacin de la cantidad de movimientoLa masa de control est sometida a fuerzas exteriores. Por hiptesis, estas fuerzas son slo las de la presin aplicada en su contornoSm(t). La segunda ley de Newton, aplicable a la masa de control, dice que la cantidad de movimientoPvara en el tiempo con la fuerza aplicada. La cantidad de movimiento de la masa de control resulta de integrar la cantidad de movimiento por unidad de volumenvpor todo el volumen ocupado por la masa de control. Con estas condiciones, la segunda ley de Newton queda as: (ddt)P=(ddt)Vm(t)vdV=Sm(t)pndS.

La integral de la presin tiene un signo negativo porque la presin, que siempre acta en la direccin perpendicular a la superficie, es positiva cuando apunta hacia el interior del volumen (es decir, cuando hay compresin) y la normalnest definida como positiva hacia el exterior.

Esfuerzos de presin (flechas azules) sobre un elemento fluido (mancha gris).Podemos aplicar el teorema del transporte de Reynolds a cada una de las componentes de la velocidad, con lo que obtenemos tres ecuaciones. Con el fin de ser ms escuetos, podemos expresar las ecuaciones de forma vectorial. Queda lo que sigue: (ddt)P=V(t)(v)dV+S(v)vndS=SpndS.

sta es la ecuacin de la cantidad de movimiento escrita en forma integral para un volumen de control fijo.Ecuacin de la energaLa ltima ecuacin que necesitamos esprimer principio de la termodinmica, que en una de sus formas dice que la energa totalE, suma de la energa interna y la energa mecnica, es igual a la suma del calor y el trabajo aportados por el exterior. Por hiptesis, no hay ms energa mecnica en el fluido que la cintica. La energa total ser, por lo tanto, la integral de las energas interna y cintica por unidad de volumen en la regin ocupada por la masa de control. Tambin por hiptesis, no hay calor aportado por el exterior (que se transmitira por conduccin o radiacin) y el trabajo es el de la nica fuerza, la de presin. La variacin de la energa total con el tiempo es igual a la potencia de estas fuerzas de presin. Por lo tanto, obtenemos esta expresin de la ecuacin de la energa:

(ddt)E=(ddt)Vm(t)(e+v22)dV=Sm(t)pnvdS.

El criterio de signos, como antes, nos obliga a poner un menos delante del trmino de la presin.Ahora apliquemos, como antes, el teorema del transporte de Reynolds para ver lo que pasa en un volumen de control fijo. Nos queda esta ecuacin:

(ddt)E=(ddt)V(e+v22)dV+S(e+v22)vndS=SpnvdS. sta es la ecuacin de la energa escrita en forma integral para un volumen de control fijo.Todo juntoReunamos las ecuaciones de la conservacin de la masa, de la cantidad de movimiento y de la energa. Si introducimos las magnitudes tensorialesI(el tensor unitario tal queInpara cualquier vectorn)vv(el producto tensorial de la velocidad por s misma), podemos escribir las ecuaciones de Euler completamente en forma de conservacin: lo que vara una magnitud en un volumen es compensado por unos flujos a travs de la frontera de este volumen.V(t)dV+SvndS=0V(t)(v)dV+S(vv+pI)ndS=0V(t)(e+v22)dV+S(e+v22+p)vndS=0.La anterior forma de expresar las ecuaciones de Euler es muy til y general. Vale para situaciones en las que hay superficies de discontinuidad (como las ondas de choque) que otras formulaciones, debido a que asumen cierta suavidad de las soluciones, no pueden modelar. Varias familias de mtodos numricos de volmenes finitos de alta resolucin para resolver problemas de mecnica de fluidos sin viscosidad estn basadas en esta forma de expresar las ecuaciones de Euler.Tenemos tres ecuaciones, pero hay cuatro campos incgnita (el de densidad, el de velocidad, el de presin y el de energa interna). La ecuacin adicional para resolver el problema, la ecuacin de cierre, es una ecuacin constitutiva que suele relacionar presin, densidad y energa interna. En el caso de gases, es a menudo de aplicacin laley de los gases idealesjunto con una relacin lineal entre la temperatura y la energa interna. En el caso de lquidos ideales, la densidad es constante, lo que elimina trivialmente una de las incgnitas y permite resolver primero las ecuaciones de la conservacin de la masa y de la cantidad de movimiento y, despus, la de la energa.Con las condiciones iniciales y de contorno adecuado y la ecuacin constitutiva adecuada la aplicacin de las ecuaciones de Euler a volmenes arbitrarios permite resolver el problema de la evolucin de un fluido simple no viscoso. El lector avispado podr darse cuenta de que, en realidad, si nos encontramos superficies de discontinuidad, entonces hay soluciones mltiples. Esto se debe a las simplificaciones que hemos hecho al no tener en cuenta fenmenos difusivos como la viscosidad. Veremos ms adelante cmo podemos usar elsegundo principio de la termodinmicapara elegir la solucin adecuada sin necesidad de emplear modelos matemticos ms complicados.Las ecuaciones de Euler son una herramienta de trabajo que usan a diario aerodinamistas de todo el mundo para producir vehculos ms rpidos, seguros y eficientes.

Conclusin

La mecnica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronutica, la ingeniera qumica, civil e industrial, la meteorologa, las construcciones navales y la oceanografa. Y segundo centrndonos en nuestro tema que es la Cinemtica de los Fluidos y sus diferentes tems tenemos que la cinemtica de los Fluidos estudia el movimiento de los fluidos desde un punto de vista descriptivo, sin relacionarlo con las fuerzas que lo generan. En la realizacin de este trabajo se pudo conocer los distintos temas que esta abarca tales como la ecuacin de Bernoulli, numero de Reynolds, cantidad de movimiento, ecuacin de Euler, diagrama de moodi y la conservacin de la masa.

Referencias Bibliogrficas

- Mecnica de fluidos Victot L. Streeter- Wikipedia