1

CinemáticaLa cinemática es la parte de la mecánica que describe el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que los producen.

2

Z

X

Y

r

x

y

z

ij

k

kjir zyx ++=

O

Vector posición

( )mmetrordeISUnidad ≡..

Para estudiar el movimiento de una partícula necesitamos conocer su posición. Pero esta posición debe estar referida a un sistema de referencia, que en nuestro caso será el sistema cartesiano. La posición de un punto cualquiera, en la figura el punto P, estará caracterizada por el vector posición.

P.

3

Velocidad

tm ∆∆

=rv

tzv

tyv

txv zmymxm ∆

∆=

∆∆

=∆∆

= ,,, ,,

kjikjidtdz

dtdy

dtdxvvv zyx ++=++

X

Z

Yr1

r2

P1(t1)

P2(t2)∆s

∆r

∆r = r2 –r1 (Vector desplazamiento)∆s (Trayectoria)

Velocidad media entre P1 y P2:

(∆t = t2 –t1)

tzyxvvv zmymxm ∆

∆+∆+∆=++

kjikji ,,,

Es decir,

O bien,

X

Z

Yr1

P1

P2∆r’

P’2P’’2∆r

∆r’’dr

dtd

tlímt

rrv =∆∆

=→∆ 0

Velocidad instantánea en P1:

Es decir,

Módulo = 222zyx vvv ++

O

O

≡sm

segundometrovdeISUnidad ..

4

Aceleración

tm ∆∆

=va

tva

tv

atva z

zmy

ymx

xm ∆∆

=∆

∆=

∆∆

= ,,, ,,

kjikjidtdv

dtdv

dtdvaaa zyx

zyx ++=++

Aceleración media entre P1 y P2:

tvvv

aaa zyxzmymxm ∆

∆+∆+∆=++

kjikji ,,,

Es decir,

O bien,

dtd

tlímt

vva =∆∆

=→∆ 0

Aceleración instantánea en P1:

es decir,

Módulo = 222zyx aaa ++

X

Z

Y

P1

P2v1

v2

∆v

O

2

2

dtd

dtddtd

rarv

va=⇒

=

=o bien, 2

2

2

2

2

2

,,dtzda

dtyda

dtxda zyx ===

≡ 22..sm

segundometroadeISUnidad

5

Relación entre la velocidad y la posición

=

=

dtddtd

rv

va

dtd

dtd ravv =⇒ ∫∫ =⇒

f

i

f

i

ddr

r

v

v

ravv

Integrando, ∫+=f

i

dvv if

r

r

ra222

Caso particular: aceleración constante

∫+=f

i

dvv if

r

r

ra222 ra ∆⋅=−⇒ 222if vv

6

Componentes tangencial y normal de la aceleración

( )dtdvv

dtdv

dtd

dtd

tt

t uuuva +===

ϕϕ senjiut += cos

dtd

dtd

dtdsen

dtd ϕϕϕϕϕ n

t ujiu=+−= cos

aan

at

ut

Y

X

C

dϕ

ϕπ/2

i

j

utun

ds

vρ

ϕϕπϕπϕ cos22

cos jijiun +−=

++

+= sensen

Derivando ut,

ρϕϕϕ vvdsd

dtds

dsd

dtd

=== ya que ϕρ dds =

Finalmente,

dtdvava

dtdvv

tn ==⇒+= ;22

ρρ tn uua

7

Componentes tangencial y normal de la aceleración (2)

va φcos=⋅vaComo vsena φ=×vay

se cumple:

×=⋅=vava

vava

n

t

v

aan

at

Φ

φcosaat =

φensaan =

va

va

n

t

va

va

×=

⋅=

8

Posición, velocidad y aceleraciónEjemplo: El vector velocidad de una partícula viene dado por:

( ) ( ) ( )kjiv 145623 2 −+−+−= ttty el vector posición en el instante inicial es:

k.jir +−= 230Calcular: El vector posición y el vector aceleración en cualquier instante y las aceleraciones tangencial y normal en t = 1 s:

Obtenemos las componentes del vector posición a partir del vector velocidad:

( ) ;22323 2

xCttdttx +−=−= ∫ ( ) ;5256 32yCttdtty +−=−= ∫ ( ) zCttdttz +−=−= ∫ 2214

Haciendo t = 0, la posición es r0, luego Cx = 3, Cy = -2 y Cz = 1 y la posición en cualquier instante es:

( ) ( )k.jir 122523223 232 +++

+= -ttt--tt-t

Derivando el vector velocidad, obtenemos:k.jia 4123 ++= t

En t = 1 s:

vat

av ⋅=

van

av×=

( ) ( )11

41233 kjikji ++⋅++=

1127

=

( ) ( )11

41233 kjikji ++×++=

119532 kji ++−

=11

1130=

9

Movimiento con aceleración constante

∫ ∫=⇒=f

i

v

v

avvaf

i

t

t

dtddtd

∫ ∫=⇒=f

i

r

r

vrrvf

i

t

t

dtddtd

∫=f

i

t

t

dta ( )if tt −= a ( )if tt −+=⇒ avv if

( )[ ]∫ −+=f

i

t

tif dtttavi ( ) ( )2

21

ifif tttt −+−= avi

( ) ( )221

ifif tttt −+−+=⇒ avrr iif

Para ti = 0, ;tavv i += 2

21 tt avrr ii ++=

El movimiento es parabólico y se desarrolla en un plano ya que el vector v esla suma de un vector constante, vi , y de otro, a t, que solo varía en módulo.

10

Movimiento con aceleración constante. Proyectiles

2

21 tt

t

gvr

gvv

i

i

+=

+=

( )

−+=+

−+=+

jjiji

jjiji

2

21 tgtvvyx

tgvvvv

iyix

iyixyx

Y

X

viviy

vix

v1v1y

vx

v2 = vx i

v3v3y

vf

vfy

vx

vx

g 2

21,

;

tgtvytvx

tgvvvv

iyix

iyyixx

−==

−==

Tiempo para altura máxima :

Altura máxima:

Alcance:

Ecuación de la trayectoria:

gsenv

gv

tv iiyy

α==⇒= 0

gsenv

gsenvg

gsenvh iii

máx 221 22

2

2222 ααα=−=

gsenv

gsenv

gsenvvxy iii

imáxααααα 2cos22cos0

22

===⇒=

( )xxvg

vxg

vsenvxy

iii

i αααα

α tancos2cos2

1cos

22222

2

+−=−=

ra ∆⋅=− 222if vvLa expresión

la podemos poner ahora como:

Caída desde una altura h partiendodel reposo

Ascensión vertical desde el suelo

( )( ) hgvhgv 222 =⇒−−=

( ) hgvhgvi 220 2 =⇒−+=

(v=velocidad de llegada al suelo)

(v=velocidad de salida del suelo)

= vxOα

11

Movimiento con aceleración constante

Ejemplo 2: En una carrera de atletismo se corre la prueba de 100 metros lisos. El ganador recorre la distancia en 10 s pero, justamente al cruzar la línea de meta es alcanzado en la cabeza por el proyectil disparado a la salida. El proyectil ha sido disparado desde una altura igual a la de la cabeza del ganador. ¿Con qué ángulo y a qué velocidad se efectuó el disparo?Recordamos las ecuaciones del tiro parabólico: 2

21; tgsentvycostvx ii −== αα

Poniendo valores:

=⇒−=

=⇒=

αα

αα

senvsenv

cosvcosv

ii

ii

49108,921100

1010100

2º47,78=⇒α9,4

1049

==αtan

Sustituyendo en una de las otras dos ecuaciones:

º47,7810 cosvi=smvi 50=⇒

Ejemplo 1: Si un objeto cae libremente partiendo del reposo, recorre la mitad del camino total en el último segundo de su caída (t2 = 1 s). ¿Desde qué altura ha caído?La ecuación para la segunda mitad del recorrido la podemos poner como: 2

222 2

12

tgtvhh +=

Pero la velocidad cuando ha recorrido la mitad es:2

22

hgvh = Por lo tanto,

222 2

12

22

tgthgh+= ghg

21

+= hggh 2=−⇒

hghggh 4222 =−+⇒ 06 22 =+−⇒ ghgh mh 12,57=⇒

(donde se ha sustituido t por su valor, 1 s)

12

( )f f f

i i i

t t

f i f it t

d dt dt t t= = ⇒ = + −∫ ∫ ∫ω

ω

ω α α ω ω α

( ) ( ) ( )212

f f f

i i i

t t

i f i i f i f it t

d dt t t dt t t t t = = + − = − + − ∫ ∫ ∫ϕ

ϕ

ϕ ω ω α ω α

( ) ( )212f i i f i f it t t t⇒ = − + −ϕ ϕ + ω α

Movimiento circularωϕϕ R

dtdR

dtdsvdRds ===⇒=

dtdϕω =

r

v

γ

C R

ω

O

v

dsdϕ

C

R

es la velocidad angular

ωγγ senrvsenrR =⇒= rr ×=×= ωω

rv ×=ωSegún la figura, ω cumple la ley de la mano derecha, luego,

La aceleración angular, α, se define como

dtdωα =

La dirección de ω no varía, luego

2

2

dtd

dtd ϕωα ==

Caso de aceleración angular constante

Para ti = 0,

tαωω += i2

21 tt αωϕϕ ++= ii

≡srad

segundoradiándeUnidad ω

radiándeUnidad ≡ϕ

≡ 22 srad

segundoradiándeUnidad α

13

Movimiento circular. Componentes de la aceleración lineal

dtdvat =

ρ

2van =

( )dtdR

dtRd ωω

== αR=

( ) RRR 2

2

ωω==

Movimiento circular uniforme

( )dt

ddtd rva ×

==ω

dtdr

×=ω v×=ω ( )r××= ωω

r

v

γ

C

ω

O

ω

ω x v

( ) ( )centrípetanaceleracióRsenrωa 2ωγωω ==×= rω

R

14

Movimiento circular

Ejemplo: Aceleración centrípeta que sufre una persona que se encuentra en Logroño en reposo con respecto al suelo. Datos: Radio de la Tierra, R = 6,37·103 km. Latitud de Logroño, θ = 42º.

Eje de rotación

R

r Logroño

La Tierra gira con velocidad angular constante y tarda un día en dar una vuelta sobre sí misma, por tanto su velocidad angular es:

srad

díavuelta

8640021 πω ==

En la figura se ve que el radio de giro de un punto que está a 42º de latitud es r cuyo valor es:

mcoscosRr 66 1073,4º421037,6 ⋅=⋅== θ

θ

La aceleración centrípeta será pues:

26

9

22 025,01073,4

1046,74

smrac =⋅

⋅==

πω

ac

15

Movimiento relativo. Móviles puntuales

A

B

rBA

rA

rB

X

Y

Z

O

vA

vBaAaB

ABBABAAB rrrrrr −=⇒+=

( ) ( )kjikjikji AAABBBBABABA zyxzyxzyx ++−++=++

ABBAABBAABBA zzzyyyxxx −=−=−= ;;

Posición

Velocidad

Aceleración

dtd

dtd

dtd ABBA rrr

−= ABBA vvv −=⇒

dtd

dtd

dtd ABBA vvv

−= ABBA aaa −=⇒

zAzBzBAyAyByBAxAxBxBA vvvvvvvvv ,,,,,,,,, ;; −=−=−=

zAzBzBAyAyByBAxAxBxBA aaaaaaaaa ,,,,,,,,, ;; −=−=−=

16

Movimiento relativo

smsmhkm B /20/20/2 iv7 −=⇒=

Ejemplo: Los dos circuitos de la figura son circulares de 50 m de radio. El coche B circula por el de la derecha con una velocidad de módulo constante vB = 72 km/h. Cuando este coche está en el punto que indica la figura, el coche A que circula por el circuito de la izquierda, parte del reposo desde el punto indicado, con una aceleración tangencial de 2 m/s2. Calcular la velocidad del coche A relativa al coche B cuando éste haya recorrido un arco correspondiente a π/2 rad.

Con esta velocidad, el tiempo necesario para recorrer π/2 rad será:

st π

π

25,120

250

==

En este tiempo, el coche A habrá recorrido una distancia:

A B

Y

X

( ) mtad AA 42,1525,1221

21 22 === π

que corresponde a un ángulo: º67,173084,050

42,15=== radθ

El módulo de la velocidad del coche A en ese instante será: smtav AA /85,725,12 =⋅== π

y sus componentes: xA,vyA,v

La velocidad del coche A relativa al coche B será entonces:

ABv

vA

vB

θ

smsen /38,2º67,1785,7 ii −=−=iθsenvA−=jθcosvA−= smcos /48,7º67,1785,7 jj −=−=

BA vv −= iji 2048,738,2 −−−= ( ) sm /48,738,22 ji −−=

vA,x

vAy

17

A B

Y

X

vA

vB

θvA,x

vAy

18

Movimiento armónico simple (MAS)

-A

+A

x

t

T

O

ϕ/ω

Movimiento oscilatorio: Movimiento que se repite alrededor de una posición de equilibrio. Si el movimiento se repite a intervalos regulares de tiempo, se denomina movimiento periódico, siendo el periodo, T, la duración de cada oscilación completa.

( )ϕω += tAx cos

A: Amplitud; ω: frecuencia angular; ϕ: Constante de fase o fase inicial

( ) ( ) πϕωϕω 2++=++ tTtωπ2

=⇒ T

T1

=ν ωνπ =⇒ 2

( )ϕωω +−== tsenAvdtdx

x

( )ϕωω +−== tAadtdv

xx cos2 x2ω−=

Movimiento armónico simple (MAS): Es el movimiento oscilatorio que sigue un objeto medianteuna función armónica, es decir la posición, x, como función del tiempo, t, se escribe

19

Movimiento armónico simple (MAS). (2)

-A

x

t

T/4

O

O

O

T/4

t

t

t

ω2A

A

ωA

vx

ax

vx y ax son también funciones armónicas con la misma frecuencia angular que x y con amplitudes ωA y ω2A, respectivamente. Por tanto, la velocidad máxima vmáx = ωAy la aceleración máxima es amáx = ω2A.vx adelanta a x en π/2 y ax adelanta a vx en π/2, es decir, la velocidad alcanza el máximo T/4 antes que la posición, y la aceleración T/4 antes que la velocidad.Ejemplo: Una partícula ejecuta un movimiento armónico simple en un plano horizontal con una amplitud de 10 cm. En un punto, situado a 6 cm de distancia de la posición de equilibrio, la velocidad es de 24 cm/s. ¿Cuál es el periodo?, ¿cuál es el desplazamiento cuando la velocidad vale ±12 cm/s?

( )ϕω += tcos106

Sustituyendo los valores en las expresiones correspondientes,

( )ϕωω +−= tsen1024

( )53

=+⇒ ϕω tcos

srad /3=⇒ω

sT 09,23

22===

πωπ

Si la velocidad vale 12 cm/s,

( )ϕωω +−= tsen1012 ( )52

=+⇒ ϕω tsen( ) cmtcosx 17,910 =+= ϕω

20

Movimiento Armónico Simple y Movimiento Circular Uniforme

ϕcosAx =

0

Aθ

xX

Y

0θ

vx

X

Y

v

0θ

ax

X

Y

a

Podemos relacionar el MAS. y el circular uniforme, cosa que puede ayudar a comprender mejor ambos tipos de movimiento.Consideremos una partícula que sigue la trayectoria de la figura con una velocidad angular ω. Si en el instante t = 0 el radio-posición forma un ángulo ϕ con la horizontal, la coordenada x vendrá dada por:

( )ϕω += tcosAxEn cualquier instante posterior, t, la expresión será:que es la ecuación para el M.A.S., si identificamos ω con frecuencia angular.

De esta figura,

+=

2πθcosvvx

Y de esta figura, θcosaax −=

θsenv−= θω senA−= ( )ϕωω +−= tsenA

θcosAv2

−= θω cosAA22

−= ( )ϕωω +−= tcos2

0

Aθ

xX

Y

y

Todo lo que hemos visto es válido igualmente para la componente y. En la figura vemos que para esta componente,

( )ϕω += tsenAyPodemos decir entonces que el movimiento circular se compone de dos armónicos simples, a lo largo de dos diámetros perpendiculares, de la misma amplitud y frecuencia pero con una diferencia de fase de π/2

Si variamos alguna amplitud, frecuencia o diferencia de fase, se obtienen otras figuras que no son circunferencias. Por ejemplo, en la figura, ωx = 2 ωy.

Y

X

21

0θ

vx

X

Y

v

0θ

ax

X

Y

a

0

Aθ

xX

Y

y

22

Movimiento Armónico Simple y Movimiento Circular Uniforme

Movimiento circular como composición de dos MAS con la misma amplitud y frecuencia con una diferencia de fase de π/2