CINEMATICACINEMATICA

UNIVERSIDAD HERMILIO VALDIZAN

CINEMÁTICA (MRU)

CONCEPTO DE CINEMÁTICAEstudia las propiedades geométricas de las trayectorias que describen los cuerpos en movimiento mecánico, independientemente de la masa del cuerpo y de las fuerzas aplicadas.

1 . SISTEMA DE REFERENCIAPara describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

2. MOVIMIENTO MECÁNICOEs el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el movimiento mecánico es relativo.

3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICOa) MóvilEs el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se dice que está en reposo relativo.b) TrayectoriaEs aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo.

c) Recorrido (e)Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).d) Desplazamiento (d)Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio

de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición final. Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil.

e) Distancia (d)Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo

del vector desplazamiento. Se cumple que:

4. MEDIDA DEL MOVIMIENTOa) Velocidad media (Vm)Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un sistema de referencia. Se define como la relación entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.

EJEMPLO:Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la velocidad media entre A y B.

b) Rapidez Lineal (RL)Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del cambio de posición en función del recorrido. Se define como la relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo correspondiente.

5. MOVIMIENTO RECTILÍNEOEl móvil describe una trayectoria rectilínea respecto de un sistema de referencia.

En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido tienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de la velocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.

6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad media constante en módulo, dirección y sentido, durante su movimiento.

a) Velocidad (V)Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidez del cambio de posición respecto de un sistema de referencia. En consecuencia la velocidad tiene tres elementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de la velocidad también se le llama RAPIDEZ.

b) Desplazamiento (d)El desplazamiento que experimenta el móvil es directamente proporcional al tiempo transcurrido.

c) Tiempo de encuentro (Te)Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es:

d) Tiempo de alcance (Ta)Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en el mismo sentido, el tiempo de alcance es:

CINEMÁTICA (MRUV)

¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO?Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde la trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante.

¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?Es una magnitud vectorial que nos permitedeterminar la rapidez con la que un móvilcambia de velocidad.

EJEMPLO:Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4 m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración.

RESOLUCIÓN:

POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL M.R.U.V.La posición de una partícula, que se mueve en el eje “x” en el instante “t” es.

ECUACIONES DEL M.R.U.V.

TIPOS DE MOVIMIENTOI. ACELERADO– El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de velocidad).

II . DESACELERADO– EL signo (–) es para un movimiento desacelerado (disminución de velocidad).

OBSERVACIÓN:Números de Galileo

EJEMPLO:Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer segundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el cuarto segundo?

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEHemos expresado la posición x de un objeto como una función del Hemos expresado la posición x de un objeto como una función del tiempo t indicando la función matemática que relacionaba a x y a t. tiempo t indicando la función matemática que relacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x con Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x con respecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto respecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimiento derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la velocidad es constante, rectilíneo uniforme es aquél en el cual la velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero (la derivada de una constante es por tanto, la aceleración es cero (la derivada de una constante es cero).cero).

La función desplazamiento es la integral de la función velocidad La función desplazamiento es la integral de la función velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto el que en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto el desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , donde x0 será la posición desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , donde x0 será la posición inicial del móvilinicial del móvil

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADOACELERADOSi un objeto se mueve con aceleración constante en una sola Si un objeto se mueve con aceleración constante en una sola dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ? dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ? Sí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleración Sí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleración podemos obtener la función velocidad integrando la podemos obtener la función velocidad integrando la aceleración y dada la velocidad podemos obtener la función aceleración y dada la velocidad podemos obtener la función desplazamiento integrando la velocidad.desplazamiento integrando la velocidad.

La función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = C La función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = C , por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . t . La función , por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . t . La función desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto:desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto:Esta es la expresión general de la posición de un objeto en

el caso del movimiento en una dimensión con aceleración constante, donde x0 es la posición inicial del objeto.

CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRESi permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento, que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición, independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída librepor el símbolo g , se llama aceleración en caída libreSi bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la misma movimiento hacia arriba experimentan la misma aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la altitud. Hay también variaciones significativas causadas altitud. Hay también variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza por diferencias en la densidad local de la corteza terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección.en esta sección.Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:variaciones:

Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+

Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.arriba, significa que la aceleración es negativa.Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.arriba, significa que la aceleración es negativa.

En la gráfica podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.

Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser: Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:

a ( t ) = - g a ( t ) = - g

v ( t ) = v0 - g v ( t ) = v0 - g

MOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICOLlamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto que describe un vuelo en el aire después de haber sido que describe un vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, los tiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g . j , hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g . j , entonces:entonces:

Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x , velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x , como se muestra en la figura:como se muestra en la figura:

Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las componentes iniciales de la velocidad:componentes iniciales de la velocidad:

Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un movimiento partir del hecho de que el proyectil experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y uniformemente acelerado rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y uniformemente acelerado a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que: a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que:

Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si integramos obtenemos el desplazamiento:integramos obtenemos el desplazamiento:

Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y , Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y , obtenemos la ecuación de la trayectoria :obtenemos la ecuación de la trayectoria :

y = ax2 +bx +cy = ax2 +bx +c

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEExaminaremos ahora el caso especial en que una partícula Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define como continuamente. Esta situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada radial es fija la coordenada radial es fija ( r )( r ) y el movimiento queda y el movimiento queda descrito por una sola variable, el ángulo descrito por una sola variable, el ángulo θθ , que puede ser , que puede ser dependiente del tiempo dependiente del tiempo θθ (t (t ). Supongamos que durante un ). Supongamos que durante un intervalo de tiempo intervalo de tiempo dtdt , el cambio de ángulo es , el cambio de ángulo es dd θθ ..

La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por ds ds = r d= r d θθ . Al dividir entre el intervalo de tiempo . Al dividir entre el intervalo de tiempo dtdt , obtenemos una , obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento:ecuación para la rapidez del movimiento:

De donde De donde dd θθ /dt/dt es la rapidez de cambio del ángulo es la rapidez de cambio del ángulo θθ y se define y se define como la como la velocidad angularvelocidad angular, se denota por , se denota por ωω y sus dimensiones se y sus dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En terminos de expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En terminos de w, tenemos que: w, tenemos que:

v = r wv = r wUna cantidad importante que caracteriza el movimiento circular Una cantidad importante que caracteriza el movimiento circular uniforme es el período y se define como el tiempo en que tarda el uniforme es el período y se define como el tiempo en que tarda el cuerpo en dar una revolución completa, como la distancia recorrida cuerpo en dar una revolución completa, como la distancia recorrida

en una revolución es 2en una revolución es 2ππr, el período T es:r, el período T es:

2 π r = v T

La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como un La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, esto es:esto es:

ACELERACIÓN CENTRÍPETAACELERACIÓN CENTRÍPETAAunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la aceleración no es cero.aceleración no es cero.

Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V , curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V , ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la trayectoria descrita durante La longitud de la trayectoria descrita durante ∆∆tt es la longitud del es la longitud del arco del punto P1 a P2, que es igual a arco del punto P1 a P2, que es igual a r.r. θθ ( donde q esta medida ( donde q esta medida en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma: respecto al tiempo, de esta forma: r . θ = V . ∆ t

Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se originen en un punto en común:se originen en un punto en común:

Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 . Este velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 . Este cambio es: cambio es: V1 - V2 = V1 - V2 = ∆∆V V Ya que la dirección de la aceleración promedio es la misma Ya que la dirección de la aceleración promedio es la misma que la de que la de ∆∆VV, la dirección de a está siempre dirigida hacia el , la dirección de a está siempre dirigida hacia el centro del círculo o del arco circular en el que se mueve la centro del círculo o del arco circular en el que se mueve la partícula. Para un movimiento circular uniforme, la partícula. Para un movimiento circular uniforme, la aceleración centrípeta es:aceleración centrípeta es:

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADOACELERADO

Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una aceleración angular, y se define como la razón instantánea de aceleración angular, y se define como la razón instantánea de cambio de la velocidad angular:cambio de la velocidad angular:

Las unidades de la aceleración angular son radianes por Las unidades de la aceleración angular son radianes por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante, segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante, entonces la velocidad angular cambia linelmente con el entonces la velocidad angular cambia linelmente con el tiempo; es decir,tiempo; es decir,

ωω = = ωω0 + a t0 + a tdonde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el ángulo está expresado porángulo está expresado por

θθ (t) = (t) = θθ 0 + 0 + ωω0 t + ½ a t ²0 t + ½ a t ²

EJERCICIOSEJERCICIOS

1.1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a “B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se encontraron había “B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se encontraron había recorrido el primer coche 36 km más que el segundo. A partir del momento recorrido el primer coche 36 km más que el segundo. A partir del momento en que se encontraron. El primero tardó 1 hora en llegar a “B” y el en que se encontraron. El primero tardó 1 hora en llegar a “B” y el segundo 4 horas en llegar a “A”. Hallar la distancia entre “A” y “B”.segundo 4 horas en llegar a “A”. Hallar la distancia entre “A” y “B”.

1 2

1 2

X + 36 x

Durante

Final2 1

etotal = 2x + 36

(I)

e2 = V2 x T2 = X

e1 = V1 x T1 = X + 36

(II)

e2 = V1 x T2 = (V1) (1h)e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)

A B

e1 e2

De la ecuación IDe la ecuación Iee2 2 = X = V= X = V22TTee1 1 = X + 36 = V= X + 36 = V11TT Cuando se encuentranCuando se encuentran T T22 = T = T11 = T = T

VV22 = = XX TT

VV11 = = X + 36X + 36 TT

Reemplazando en las ecuaciones IIReemplazando en las ecuaciones IIee22 = X = (V = X = (V11) (1h) = ) (1h) = (X + 36) (1)(X + 36) (1) X + 36 = X T X + 36 = X T T= T= X + 36X + 36

TT X X ee11 = X + 36 = (V = X + 36 = (V22) (4h) = ) (4h) = XX (4) (4)

T T Reemplazo IIIReemplazo IIIX + 36 = (X + 36 = ( X X22 ) (4) ) (4) 4 X 4 X 22 = (X + 36) = (X + 36)2 2 (raíz) X = 36 (raíz) X = 36

X + 36 X + 36 etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36

= 108 m

2.2. (17)(17) Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10/ms10/ms22, luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar , luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/sen forma constante con a = 5 m/s 2 2 hasta detenerse, si el tiempo total hasta detenerse, si el tiempo total empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?.empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?.

V0 VfT1 T2

e1 e2

X

Ttotal = 30 Seg

T1 + T2 = 30 Seg

X = e1 + e2

Para el primer tramo

Vf1 = V0 ± a T1

Vf1 = 0 + (10) T1

Vf1= 10 T1 (I)

e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2

2

e1 = 1 (10) (T1)2

2

Para el segundo tramo

Vf = Vi ± aT

Vf = Vf1 ± aT

0 = 10 T1 – (5) (T2) …. Reemplazo (I)

T2 = 2T1 (I I)

Como T1 + T2 = 30 ….. (a)

T1 + (2T1) = 30 … reemplazo I I en a

3T1 = 30 T1=10

T2 = 20

Se cumple:

e2 = (Vf1) (T2) – 1 (5) (T2) 2

2

e2 = (10 T1) (T2) – 1 (5) (T2)2

2 reemplazo (I)

Sumando eSumando e22 y e y e22

ee11 + e + e22 = 10 T = 10 T11 T T2 – 2 – ( ( 1 1 ) (5) T) (5) T222 2 + 5T+ 5T11

22

22

X = 10 (10) (X = 10 (10) (2020) – ( ) – ( 11 ) (5) (20) ) (5) (20)2 2 + (5) (10)+ (5) (10)22

22

X = 1500 mX = 1500 m

3.3. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura, mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad altura, mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20 m. ¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedra alcanza 20 m. ¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedra soltada de 400 m de altura en el último segundo de su caída?soltada de 400 m de altura en el último segundo de su caída?

Planeta XPlaneta XVV ff = 0 = 0

h h

VV11

Para la tierraPara la tierra::VV ff

2 2 = V= V0022 ± 2ge± 2ge

0022 = (V = (V11) ) 22 - 2(g) (100) -- raiz- 2(g) (100) -- raiz

VV11 = 20 m/s = 20 m/s (I)(I)

hmax = 100 m

Gravedad

+ -

V f = V1 – gt ---- V i = V1

0 = 20 – 10 T

T = 2 Seg

Planeta TierraPlaneta Tierra

Hmax = 20 m

Vf = 0

h

V1

Para el planeta X:Para el planeta X:VV ff

22 = V = V002 2 ± 2 ge± 2 ge

0022 = (V = (V11))22 - 2 (g) (100) - 2 (g) (100)202022 = 2(g) (100) = 2(g) (100)g = 2m/sg = 2m/s22

1er Tramo1er Tramoe = Ve = V 00 t + t + 11 gt gt 22

22400 – X = 0 +400 – X = 0 + 11 (2) (T-1) (2) (T-1) 22

22400 – X = (T-1) … 400 – X = (T-1) … (I)(I)VV ff = V = V 00 + gt + gtVV 11 ’= 0+(2) (T-1)’= 0+(2) (T-1)VV 11 ’ = 2 (T-1)’ = 2 (T-1)VV 11 ’ = 2 (20 – 1) = 38 m/s’ = 2 (20 – 1) = 38 m/s

(II)

V0=0

400-x <-- 1er tramo

X T=1 Seg

2do Tramo

V 1’

2do Tramo2do Tramoe = Ve = V 00 T T ± ± 11 g t g t 22

22e = Ve = V 11 ’ (1) + ’ (1) + 11 (2) (1) (2) (1) 22

22e = Ve = V 11 ’ + 1 ’ + 1 e=38+1= 39 m e=38+1= 39 m

Reemplazo V1 en hReemplazo V1 en h

Tomando el movimiento total:Tomando el movimiento total:e = V1 T ± e = V1 T ± 11 gt2 gt2 400=400=11 (2) (t)2 (2) (t)2 T = 20 T = 20 2 2 2 2

4.4. (19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la f igura (19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la f igura con una rapidez constante en el tramo AB y una aceleración con una rapidez constante en el tramo AB y una aceleración de 6m/sde 6m/s 22 . Con otra rapidez constante en el tramo BC y . Con otra rapidez constante en el tramo BC y aceleración de 5 m/saceleración de 5 m/s 22 . Hallar el t iempo que demora en el . Hallar el t iempo que demora en el recorr ido total ABC.recorr ido total ABC.

Para ABPara ABV = CteV = Ctea = 6m/sa = 6m/s22

r = 6 mr = 6 m

Para BC

V = Cte

a= 5m/s2

Sabemos: ar = v2 , donde V = velocidad l ineal r

Para AB:Para AB:VV 22

= = aa rr * r * r

VV ABAB 22 = = (6) (6)(6) (6)

VV ABAB = = 6 m/s6 m/s

Para BC:Para BC:VV 2 = 2 = ar * rar * rVVBCBC 2 2 = 5 * 5= 5 * 5

VVBC = 5 m/sBC = 5 m/s

Sabemos que Sabemos que S = S = θθ .r.rPara AB:Para AB:1)1) SSAB = (AB = (∏∏) ( 6 ) ( 6 ) = 6 ) = 6 ∏∏

2)2) SSABAB = e = vt = e = vt 6 6 ∏∏ = VT = VT 11

6 6 ∏∏=(6)T=(6)T 11 T T 11 = = ∏∏ Seg Seg

Para BC:Para BC:1)1) SSBC = (BC = (∏∏) (5) = 5 ) (5) = 5 ∏∏2)2) egvT egvT 5 5 ∏∏ = 5 = 5 11 TT 11 T T 22 = = ∏∏SegSeg

Ttotal = TTtotal = T 11 + T + T 2 2 = 2 = 2 ∏∏ Seg Seg

5. 5. (16)(16) Hallar las velocidades “V Hallar las velocidades “V11”, y “V”, y “V22”. Si lanzadas las partículas ”. Si lanzadas las partículas simultáneamente chocan como muestra la figura.simultáneamente chocan como muestra la figura.

Para 1Para 1

M. HorizontalM. Horizontal

e = V Te = V T

10 = V10 = V1 1 T (I)(I)

Para 2M. Horizontal

e = V T

30 = V2 T (II)

VY = 0

Vx

Vx

Vx

Vy

Vy

Vy

En y:

H = V1T + 1 (10) T2

2

180 = 1 (10) T2

2

II I en I y I I

V1 = 10 = 5 m/s

6 3

V2 = 30 = 5 m/s

6

T = 6 (III)