cicloeco

ANÁLISIS DEL CICLO ECONÓMICO:

DESCOMPOSICIÓN DE SERIES TEMPORALES

INFORMÁTICA APLICADA AL ANÁLISIS ECONÓMICO

Instituto L.R. Klein. Universidad Autónoma de Madrid. Octubre 2002

D. Julian Moral Carcedo

Dep. Análisis Económico: Tª Económica e Historia Económica

Universidad Autónoma de Madrid

Análisis del Ciclo Económico Página 3

1.-INTRODUCCION

A pesar de que en Economía carece de sentido considerar que los hechos se

repiten estrictamente, si es cierto que en muchas macromagnitudes se observan de

manera recurrente fases de aceleración a las que siguen fases de contracción y

viceversa, esta sucesión de aceleraciones-contracciones se asocia tradicionalmente a la

idea de ciclo.

Tal y como expone el Instituto Nacional de Estadística (INE) en su publicación

Sistema de Indicadores Cíclicos de la Economía Española: “las economías de mercado

experimentan fluctuaciones en los ritmos de crecimiento de un conjunto amplio y

diverso de magnitudes: producción, empleo, precios, consumo, inversión, etc,….Tales

oscilaciones son recurrentes y sistemáticas aunque con patrones variables de

amplitud y duración.Estos fenómenos se denominan ciclos económicos.”

De esta definición, derivada de los pioneros trabajos de Burns y Mitchell en el

National Bureau of Economic Research (NBER), se extraen inmediatamente dos

características básicas en el estudio del ciclo económico: la variabilidad en la

evolución del ciclo y la existencia de fluctuaciones en un amplio conjunto de

indicadores o comovimientos. Esta última característica es la que resulta más interesante

desde el punto de vista de la Teoría Económica, existiendo un amplío número de

investigaciones sobre la caracterización y explicación de las fluctuaciones entre

variables. Una revisión parcial de los mismos desde una perspectiva histórica puede

consultarse en Zarnowitz (1991), Zarnowitz (1996) ó Kydlan (1995), entre otros.

En el estudio de las fluctuaciones tradicionalmente se han empleado dos

enfoques complementarios, uno eminentemente empiricista o descriptivo en el que se

atiende principalmente al estudio de las características cíclicas: número de ciclos,

duración total, duración de las fases de aceleración, correlaciones entre variables,

relaciones de adelanto-retraso (“lead and lag”), etc. y de otra parte un enfoque teórico,

en el que se estudia la “habilidad” de un conjunto de “priores” teóricos, plasmados en

relaciones y modelos matemáticos, en la replicación de fluctuaciones cíclicas y

comovimientos observados.

En este documento prestaremos especial atención al primero de los enfoques, y

de manera más concreta a la problemática derivada de la estimación del componente

cíclico, paso ineludible en la caracterización cíclica de cualquier variable.


La necesidad apuntada de tener que estimar el componente cíclico, es indicativa

del modelo que subyace en el tratamiento que daremos a este tema. La hipótesis de los

componentes subyacentes (HCS)1 tan conocida , es el punto de partida en el análisis

cíclico, estableciéndose un conjunto de técnicas más o menos complejas con el objetivo

de “distinguir-estimar” cada uno de los componentes. En Uriel (1995) pueden

encontrarse la descripción de algunos de los métodos tradicionales de descomposición

de series, y en Fischer (1995) un breve repaso a la historia de los métodos de

descomposición, así como una interesante comparación y descripción de los diferentes

procedimientos utilizados por Eurostat en la desestacionalización de series temporales.

Al ser un tema tratado con asiduidad desde hace mucho tiempo, existen muchos otros

trabajos sobre esta materia y rara es la publicación que verse sobre Series Temporales

que no contenga alguna referencia al respecto.

RECUADRO I

-4

-2

0

2

4

6

8

10

70 75 80 85 90 95 00

TASA INTERANUAL DE CRECIMIENTO DEL PIB

“Las economías de mercado experimentan fluctuaciones en los ritmos de crecimiento de un conjunto amplio y diverso de series: producción, empleo, precios, consumo, inversión, etc,….Tales oscilaciones son recurrentes y sistemáticas aunque con patrones variables de amplitud y duración.Estos fenómenos se denominan ciclos económicos.” (National Bureau of Economic Research)

1 La HCS expone que una serie temporal tY puede descomponerse en todos o alguno de los siguientes

elementos: Tendencia ( tT ), Ciclo ( tC ), Estacionalidad ( tE )e Irregularidad ( tI ).


2.- EL ESTUDIO DEL CICLO ECONÓMICO. OBJETIVOS Y UTILIDADES

Una de las características más sobresalientes de las economías de mercado es la

existencia de ciclos en la actividad productiva, es decir, en la sucesión recurrente de

fases recesivas y expansiones en un conjunto amplio de indicadores, indicadores

relacionados con la evolución de un conjunto de variables macroeconómicas clave, tales

como el PIB, el empleo, inflación, tipos de interés, saldo exterior, etc.

Esta sucesión de fases demuestra como la actividad económica es

inherentemente inestable, resultando se suma utilidad no sólo explicar el porque de estas

oscilaciones, sino el modo en que estas se producen, a que variables afectan, el como se

propagan y en última instancia como pueden anticiparse y como mitigarse. Estos

objetivos constituyen la finalidad del estudio del ciclo económico, campo de la teoría

económica con innumerables aportaciones en los últimos 70 años y aún vigente en la

actualidad, dado que como sucede en numerosas ocasiones en Economía, no existe aún

una teoría generalmente aceptada, sino más bien diferentes aproximaciones que

permiten explicar determinadas características observadas en los datos económicos.

RECUADRO II: CICLO ECONÓMICOS. ALGUNOS TIPOS

• Ondas de Kondratieff, este economista ruso planteaba la existencia de ciclos l argos de entre 40

y 60 años. Sin evidencias empíricas claras.

• Ondas de Kuznets, ciclos de 20 años en variables como el PNB, emigración y población. Con

evidencia empírica.

• "Building cycle". Evidencia de la existencia de ciclos de 15-20 años en el sector de la

construcción.

• Ciclos de Hansen, este economista plantea la existencia de ciclos "mayores" de período 6-11

años (debidos a cambios tecnológicos) junto con ciclos "menores" de duración entre 2 -4 años (

ciclo de inventario/ existencias).

• Business cycle, definidos por el NBER (National Bureau of Economic Research) como un tipo

de fluctuación encontrado en la actividad económica agregada, de duración media 4 años y

rango entre 1-12 años.

• Sub-ciclos de Mack, llamados así por tener una duración corta de 24 meses, encontrados en

series de pedidos, precios, inventarios, etc….

GRANGER .Spectral analysis of economic time series.1964.


Aun cuando se prescinda de la carga teórica explicativa del ciclo, el estudio

puramente descriptivo o empiricista de las características cíclicas de las diferentes

magnitudes económicas proporciona una visión valiosa sobre la coyuntura económica.

El estudio de los comovimientos entre variables, la duración de las fases de aceleración

y desaceleración, etc. permite interpretar adecuadamente, así como anticipar a modo de

escenarios posibles, la evolución de la economía.

Al margen de las explicaciones teóricas, el objetivo de este documento es

proporcionar una introducción a la problemática derivada de la estimación del ciclo

económico, revisando algunas de los conceptos y técnicas más utilizadas con especial

atención a la metodología subyacente en los programas informáticos TRAMO y SEATS 2 , así como a la exposición teórica del filtro de Hodrick-Prescott, técnica profusamente

utilizada en el análisis del ciclo económico.

2.1.-DESCOMPOSICIÓN DE SERIES TEMPORALES

Dada la naturaleza de las variables estudiadas en Economía es habitual que éstas

exhiban una evolución temporal que puede a su vez dividirse en 4 tipos de movimientos

característicos en función de la duración de los mismos:

• Tendencia, )(tT ,que representa la evolución a largo plazo de la serie. Está

asociada con movimientos de larga duración cuyo período es superior a los 32

trimestres (ocho años). Este componente suele asociarse con los determinantes

del crecimiento económico: progreso técnico acumulado; evolución del stock de

capital físico; nivel, composición y cualificación (capital humano) de la fuerza

de trabajo.

• Ciclo, )(tC movimientos oscilatorios en torno a la tendencia, generalmente

reflejan oscilaciones de duración comprendida entre 2 y 8 años, sin embargo se

admiten especificaciones del ciclo de duración por encima y por debajo de estos

límites. La distinción entre tendencia y ciclo, sobre todo las oscilaciones

comprendidas entre cinco y diez años resulta muchas veces problemática. La

2Programas desarrollados por Agustín Maravall y Victor Gómez.


escasa longitud de la mayoría de las series macroeconómicas junto con la

complejidad de estimar de forma excluyente la tendencia o el ciclo, hacen esta

tarea especialmente difícil. Por otra parte muchos de los factores que afectan a la

tendencia son responsables también del comportamiento cíclico, de forma que

no es conveniente ni posible imponer una distinción clara, por esta razón se

suele manejar habitualmente un componente de ciclo-tendencia compuesto por

ambos.

• Estacionalidad, )(tE ,o patrón repetitivo de duración igual al año. Se trata de un

movimiento periódico o cuasiperiódico de duración inferior o igual al año.

Viene determinado, principalmente, por factores institucionales, climáticos y

técnicos que evolucionan de forma suave, desde una perspectiva a largo plazo.

Este componente suele carecer normalmente de interés, dado que carece de

contenido económico relevante, por eso se suele filtrar (eliminar) la

estacionalidad de la mayoría de variables antes de proceder a su análisis.

• Irregularidad, )(tI o movimientos esporádicos y sin un patrón determinado.

Dado que no contienen información relevante es necesaria su eliminación a fin

de interpretar adecuadamente la evolución de la variable.

Gráfico 1.-Índice de Producción Industrial. Componentes ciclo-tendencia y estacional-irregular

400

600

800

1000

1200

1400

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

IPI HPTREND03

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

EST.+IRREG.


Según estas definiciones, una serie temporal, )(tY , puede admitir una

descomposición del tipo:

)()()()()( tItEtCtTtY +++= (esquema aditivo)

)(*)(*)(*)()( tItEtCtTtY = (esquema multiplicativo)

)()(*)(*)()( tItEtCtTtY += (esquema mixto)

En todo caso hay que destacar que este tipo de descomposición a veces no es

posible, o no es total, dado que en función de la naturaleza y periodicidad de los datos

(series anuales, trimestrales, mensuales, diarias, etc,...) alguno o la totalidad de los

componentes pueden no existir. Asimismo hay que señalar que dado que los

componentes no son observables directamente no existe una total unanimidad en la

definición de los mismos, por lo que existe la posibilidad de que utilizando diversos

métodos y definiciones obtengamos estimaciones de los componentes totalmente

diferentes.

Partiendo de la inobservabilidad de los componentes se hace necesario

determinar a priori las especificaciones de cada uno de los componentes, de aquí que

sea muy habitual encontrarse diversas caracterizaciones de los mismos conforme a los

priores que asuma el investigador.

2.2.-METODOLOGIA UCARIMA DE DESCOMPOSICIÓN DE SERIES

TEMPORALES

La metodología UCARIMA (“unobserved components ARIMA”) asume que

tanto la serie observada como los componentes inobservables responden a modelos

ARIMA, cómo veremos la estimación de los mismos no consiste más que en la

aplicación de filtros de características adecuadas. La ventaja que aporta este método está

ligada a la estimación-especificación previa de un modelo a la serie observada lo que

resuelve los problemas de adecuación del filtrado a la naturaleza de las series. De

manera adicional, este método permite la obtención de medidas estadísticas de

confianza sobre la estimación, así como efectuar predicciones sobre los componentes.


Dado que este tipo de metodología es la utilizada en el programa SEATS procederemos

a continuación a desarrollar someramente el contenido teórico subyacente.

El esquema más extendido de descomposición de series temporales, supone que los

componentes responden a las siguientes especificaciones (Quilis, 1997):

• Tendencia: Se asume que responde a un PGD del tipo:

tTTtd BTB ,)()1( εΘ=− ; ),0(...~, TtT Ndii σε

Es decir, se asume que la tendencia presenta d raíces unitarias ( d normalmente

menor que 3) modulada por un operador de medias móviles de orden igual o inferior a d

(posteriormente se verá la necesidad de imponer esta restricción).

Conforme a los resultados anteriores, la tendencia presenta un espectro

(propiamente se trata de un pseudo-espectro, o espectro en el que se “permite” que haya

un número finito de discontinuidades ±∞ , si bien se utilizará indistintamente la

denominación espectro) con función de transferencia racional de expresión:

)()()(2 ωωω εTTT hh Γ=

22

212

)1(

...1()(

diw

idwd

wiiw

T e

eee−

−−−

−++++

=Γθθθ

ω

πσ

ωε2

)(2T

Th =

Grafico 2.- Espectro de la tendencia (IMA(1,1) de parametro MA=0.8)

F U N C I O N D E T R A N S F E R E N C I A

INF 2

4,0

12,0

8,0

6,0

4,8

4,0

3,4

3,0

2,7

2,4

2,2

2,0


La presencia de d raíces unitarias en el denominador de la función de transferencia

determina que en la frecuencia 0 la ganancia sea infinita, de ahí la forma del espectro

representado en el gráfico superior.

• Estacionalidad, se establece un PGD del tipo:

tEEt BEBS ,)()( εΘ= ; ),0(...~, EtE Ndii σε

Donde S(B) es el sumador estacional anteriormente introducido, que para series

mensuales sería:

1132 ...1)( BBBBBS +++++=

El polinomio de medias móviles se asume de orden igual o inferior al del

sumador estacional ( en series mensuales de orden igual o inferior a 11)

En consecuencia el espectro de la estacionalidad responderá a:

)()()(2 ωωω εEEE hh Γ=

2

1132

1111

2212

...1(

...1()(

wiwiwiiw

wiwiiw

E eeee

eee−−−−

−−−

+++++++++

=Γθθθ

ω

πσ

ωε2

)(2E

Eh =

El sumador estacional mensual presenta once raíces unitarias asociadas a la frecuencia

estacional y sus armónicos, la presencia del sumador en el denominador de la función

de transferencia determina que para las frecuencias estacionales el espectro se haga

infinito, característica que puede apreciarse en el gráfico inferior.

Grafico 3.: Espectro de la estacionalidad (mensual)


-

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

INF 2

4,0

12,0

8,0

6,0

4,8

4,0

3,4

3,0

2,7

2,4

2,2

2,0


• Irregularidad, habitualmente se la representa únicamente como un ruido blanco, si

bien en algunos casos se representa como un proceso invertible de medias móviles

de orden bajo (generalmente 1) que acentúe las altas frecuencias:

tIIt BI ,)( εΘ= ; ),0(...~, ItI Ndii σε

)()()(2 ωωω εIII hh Γ=

22

1)( iwI e −−=Γ θω

πσ

ωε 2)(

2I

Ih =

Grafico 4.-Espectro de la irregularidad (θ=0.7)

• Ciclo, puede verse como un componente residual o bien aceptar una

especificación concreta del mismo, habitualmente se define como un tipo de

fluctuación de período superior al año e inferior a 7, aunque naturalmente

pueden suponerse períodos superiores a 7, dependiendo naturalmente de la

longitud de la serie (una serie de 10 años que presente un ciclo de período mayor


-

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

INF 2

4,0

12,0

8,0

6,0

4,8

4,0

3,4

3,0

2,7

2,4

2,2

2,0


a 10 aparentará presentar únicamente tendencia. Cómo ya se vio en el apartado

2.6 puede admitirse una representación estacionaria ( una oscilación que se

amortigua) o no estacionaria (un ciclo puro que nunca “muere”).

Una formulación general del ciclo puede ser:

tCCtC BCB ,)()( εΘ=Φ ; ),0(...~, CtC Ndii σε

)()()(2

ωωω εCCC hh Γ=

2

221

2212

..1

..1)(

iqwq

wiiw

iqwq

wiiw

C eee

eee−−−

−−−

++++

++++=Γ

φφφ

θθθω

πσ

ωε 2)(

2C

Ch =

Donde exigiremos que el polinomio de retardos no presente raíces comunes con el

resto de componentes y que dichas raíces estén asociadas a frecuencias “cíclicas”.

Grafico 5.- Espectro del ciclo (ARMA(2,2) no estacionario, periodo 50 (meses)

asociado a la parte AR)


INF 2

4,0

12,0

8,0

6,0

4,8

4,0

3,4

3,0

2,7

2,4

2,2

2,0


Una vez especificados los modelos que siguen los componentes subyacentes en

el dominio del tiempo y de la frecuencia, la combinación de ellos han de ser

compatibles con el PGD que exhibe la serie, así combinando los diferente modelos

tendríamos:

ttttt IECTY +++= ;

tTdT

ttTTtd

B

BTBTB ,, )1(

)()()1( εε

−Θ

=→Θ=− ;

tEE

ttEEt BS

BEBEBS ,, )(

)()()( εε

Θ=→Θ= ;

tIIt BI ,)( εΘ= ;

tCC

CttCCtC B

BCBCB ,, )(

)()()( εε

ΦΘ

=→Θ=Φ ;

[ ] )()',,,)(,,,( Σ= diagE IECTIECT εεεεεεεε ;

Asumiendo que las distintas perturbaciones están incorrelacionadas entre sí

(matriz de varianzas-covarianzas diagonal) y que los operadores no comparten raíces

comunes.

Como consecuencia de la especificación ARIMA de los componentes y dado

que la agregación de modelos ARIMA proporciona modelos ARIMA, se concluye que

la serie observada, Y, responde a un PGD del tipo:

tt BYB ε)()( Θ=Φ (a)


Que puede no ser estacionario al permitirse que el polinomio autorregresivo

contenga raíces unitarias, en cambio se exige que el polinomio de medias móviles sea

invertible ( no presente raíces unitarias).

La expresión (a) puede contemplarse como la forma reducida del modelo

especificado, y es el que realmente es “observable” (directamente estimable).

En la estimación de componentes subyacentes basados en modelos expresados

en forma reducida, el punto de partida es determinar un modelo ARIMA que aproxime

“razonablemente” bien la serie que deseamos descomponer, por ello toda crítica

aplicable a la modelización ARIMA (estimación, especificación, etc,…) es susceptible

de ser aplicada a la estimación de componentes basada en modelos, así un “mal”

modelo determinará unos componentes “defectuosos” e incluso que componentes no

presentes puedan estimarse al ser compatibles con el modelo ARIMA mal especificado.

Si expresamos la serie como suma de componentes, tendremos:

tIItEE

tCC

CtTd

Tttttt B

BS

B

B

B

B

BIECTY ,,,, )(

)(

)(

)(

)(

)1(

)(εεεε Θ+

Θ+

ΦΘ

+−

Θ=+++=

SI tomamos factor común a todos los sumandos , obtendremos la expresión:

)()()1(

)()()()1(

)()()1(

)()()1(

)()()1(

)()()1(

)()()1(

)()()(

,,

,,

BSBB

BBSBB

BSBB

BBB

BSBB

BBSB

BSBB

BBSBY

Cd

tIICd

Cd

tEECd

Cd

tCCd

Cd

tTTCt

Φ−ΘΦ−

+Φ−

ΘΦ−+

+Φ−

Θ−+

Φ−

ΘΦ=

εε

εε

Tras lo cual, y fijándonos en (a):

tt BYB ε)()( Θ=Φ

Concluiríamos que la parte autorregresiva de (a) equivale a:

)()()1()( BBSBB Cd Φ−=Φ


Y la parte MA a la expresión:

tIICd

tEECd

tCCd

tTTCt

BBSBBBBB

BBSBBBSBB

,,

,,

)()()()1()()()1(

)()()1()()()()(

εε

εεε

ΘΦ−+ΘΦ−+

+Θ−+ΘΦ=Θ

En términos frecuenciales, la serie observada presentara un espectro

(pseudoespectro al presentar el polinomio de retardos, previsiblemente, raíces unitarias):

πσ

ωωω εε 2)()(

)()()()()(

22

iwiw

iwiw

yY ee

eehh

ΦΦΘΘ

=Γ= −

−

Asumiendo que las perturbaciones aleatorias de los componentes son

independientes, y conforme a la expresión (a) tenemos la siguiente relación general

entre los espectros (Maravall, Planas, 1998)

)()()()()( ωωωωω IECTY hhhhh +++=

πσ

ωωω εε 2)()(

)()()()()(

22 T

iwT

iwT

iwT

iwT

TTT ee

eehh

ΦΦΘΘ

=Γ= −

−

πσ

ωωω εε

2)()(

)()()()()(

22 E

iwE

iwE

iwE

iwE

EEE ee

eehh

ΦΦΘΘ

=Γ= −

−

πσ

ωωω εε

2)()(

)()()()()(

22 I

iwI

iwI

iwI

iwI

IIIee

eehh

ΦΦΘΘ

=Γ= −

−

πσ

ωωω εε 2)()(

)()()()()(

22 C

iwC

iwC

iwC

iwC

CCC ee

eehh

ΦΦΘΘ

=Γ= −

−


TENDENCIA

CICLO

ESTACIONALIDAD

IRREGULARIDAD

Yt

εT

εC

εE

εI

PROCESO EN “PARALELO”

)()()(2

ωωω εTTT hh Γ=

)()()(2

ωωω εCCC hh Γ=

)()()(2

ωωω εEEE hh Γ=

)()()(2

ωωω εIII hh Γ=

)()()()()( ωωωωω IECTY hhhhh +++=

De manera intuitiva el procedimiento subyacente en la estimación de

componentes basado en modelos expresados en forma reducida, partiría del ajuste de un

proceso ARMA a la serie de interés, ello nos proporcionará la forma reducida (a), a

continuación, procederíamos a “particionar” el modelo de forma que obtenemos unos

componentes congruentes con la especificación de cada uno de ellos (en términos

frecuenciales y del polinomio de retardos asociado) y congruentes a su vez con la

forma reducida.

Sin embargo esta descomposición puede no ser única al poder existir infinitas

descomposiciones congruentes con el modelo en forma reducida (estaríamos ante un

problema clásico de falta de especificación—sistemas compatibles indeterminados), por

lo cual es necesario establecer algún tipo de restricción adicional. Dentro de las

posibilidades existentes, la restricción incorporada con mayor frecuencia es el principio

de descomposición canónica (Hillmer, Bell y Tiao, 1983; Hillmer y Tiao, 1982,

Maravall,…..).


A fin de comprender el problema de la falta de identificación veamos un ejemplo

propuesto por Maravall y recogido por Quilis, en el que se trata la descomposición de

un modelo de líneas aéreas estimado para una serie mensual.

Supongamos que una serie puede aproximarse por el modelo:

tt BBYBB εθθφ )1)(1()1)(1( 12121

12 −−=−−

Los polinomios autorregresivo y medias móviles son por tanto:

131212 1)1)(1()( BBBBBB φφφ +−−=−−=Φ :

13121

12121

12121 1)1)(1()( BBBBBB θθθθθθ −−+=−+=Θ

Estas expresiones determinan una función de transferencia similar a la representada a

continuación (equivaldría al pseudoespectro teórico).

Gráfico 6.-Espectro ARIMA(1,0,1)SARIMA(0,1,1)

0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 30

5

1 0

1 5

2 0

2 5F u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a

F r e c u e n c i a ( 0 - p i )


La especificación de la parte autorregresiva de los componentes es inmediata,

basta con factorizar el polinomio total en:

)()1)(1()...1)(1)(1()1)(1()( 11212 BSBBBBBBBBBB −−=++++−−=−−=Φ φφφ :

Donde se aprecia directamente la presencia de una raíz unitaria en la frecuencia

0, (1-B), que se asocia con la tendencia y el sumador estacional S(B) que se asocia a la

estacionalidad.

Para factorizar la parte MA hemos de tener en cuenta los modelos de los

componentes y el polinomio MA estimado en la serie original, cumpliéndose:

tIICd

tEECd

tCCd

tTTCt

BBSBBBBB

BBSBBBSBB

,,

,,

)()()()1()()()1(

)()()1()()()()(

εε

εεε

ΘΦ−+ΘΦ−+

+Θ−+ΘΦ=Θ

En nuestro ejemplo:

ItICtC

EtETtT

BSBBBSB

BBBSBBBB

εφεεφεφθθ

Θ−−+Θ−+Θ−−+Θ−=−−=Θ

)()1)(1()()1(

)1)(1()()1()1)(1()( 12121 (b)

Dado que los ordenes de los operadores MA han de ser compatibles con la

estructura observada se concluye que, dado que la parte observada es un MA de orden

13, la suma de los operadores MA de los componentes no ha de ser superior a 13. Al ser

una suma de operadores MA, cada sumando no ha de presentar un orden superior a 13,

por ello concluimos que:

[ ] 1)([ ≤Θ Borden T

[ ] 11)([ ≤Θ Borden E

[ ] 1)([ ≤Θ Borden C

[ ] 0)([ =Θ Borden I

Igualando la varianza y autocovarianzas del ambos lados de la igualdad (b) se

obtiene un sistema de 14 ecuaciones ( al ser un MA(13) a partir del retardo 13 la

autocovarianza se anula), con las que tenemos que determinar 17 parámetros ( los 13


parámetros de los operadores MA de los componentes y las 4 varianzas de las

perturbaciones de la tendencia, estacionalidad, ciclo e irregularidad), es decir nos

encontramos ante un sistema indeterminado que admite infinitas soluciones, denotadas

genéricamente para nuestro ejemplo cómo:

tTTt BTB ,1 )1()1( εθ+=− ;

tCCt BCB ,1 )1()1( εθφ +=−

tEEEEt BBBEBS ,11

112

21 )...1()( εθθθ ++++= ;

tItI ,ε= ;

Las restricciones adicionales necesarias para la identificación del sistema surgen

del “principio de descomposición canónica”, según el cual el componente no ha ser a su

vez susceptible de ser descompuesto como suma de una señal y un ruido blanco

adicional. Esta restricción supone la maximización de la varianza del componente

irregular, así como que los espectros de los componentes distintos del ruido han de

anularse para alguna frecuencia. Específicamente, para la tendencia exigiremos que el

espectro se anule en PI (frecuencia más alta) y para la estacionalidad que se anule en 0

(Quilis,1997). El exigir que el espectro se anule para alguna frecuencia implica

necesariamente la introducción de una raíz de módulo unitario en la representación de

medias móviles de los componentes, lo que conlleva que las estimaciones de los

componentes no sean invertibles.

Los modelos canónicos de los componentes en el ejemplo son:

tTt BTB ,)1()1( ε+=− ;

tCt BCB ,)1()1( εφ +=− (c)

tEEEEt BBBBEBS ,10

102

21 )...1)(1()( εθθθ ++++−= ;

tItI ,ε= ;

Estimación de los componentes

Una vez que se han determinado los modelos de los componentes procederíamos

a su estimación. Para ello el procedimiento más extendido consiste en la aplicación del


filtro Wiener-Kolmogorov dado que proporciona estimaciones de error cuadrático

mínimo, es simétrico (no origina desfases respecto de la serie original), es infinito

aunque convergente y se adapta a las características estocásticas de la serie en

contraposición a los filtro fijos (Filtro de Hodrick-Prescott, X-11,…).

Según este método la expresión de los estimadores de los componentes, cuando

éstos son ortogonales, corresponde al cociente entre los espectros del componente y de

la serie, utilizando las equivalencias: iwiw eFeB == − ; .

Así, si la serie observada responde a un proceso genérico ARMA (si bien

originariamente el filtro se diseñó para el caso estacionario, puede demostrarse que su

aplicación también es válida en procesos no estacionarios):

tt BYB ε)()( Θ=Φ ; π

σωωω ε

ε 2)()(

)()()()()(

22

iwiw

iwiw

yY ee

eehh

ΦΦΘΘ

=Γ= −

−

Y a su vez puede descomponerse como la suma de k componentes ortogonales:

∑=

=K

iit XY

1

; )()(1

ωω Xi

K

iY hh ∑

=

=

Cada uno de los cuales responde a su vez a un proceso ARMA:

itiiti BXB ε)()( Θ=Φ ; π

σωωω ε

ε 2)()(

)()()()()(

22 i

iwi

iwi

iwi

iwi

iXiXi ee

eehh

ΦΦΘΘ

=Γ= −

−

Lo que implica:

)()(1

BB i

K

i

Φ=Φ Π=

itiNi

K

it BBB εε )()()(

1

ΘΦ=Θ Σ=

, siendo )(1

1

Bj

K

ijj

Ni Φ=Φ Π−

≠=

.

El filtro WK que permite estimar cada uno de los componentes responde a:


ti

i

i

iiit Y

FF

FF

BB

BBX

)()(

)()(

)()(

)()(ˆ2

2

ΘΦΦΘ

ΘΦΦΘ

=ε

ε

σσ

;

O, simplificando conforme a las anteriores suposiciones:

tNiiNiii

it YF

FF

B

BBX

)(

)()(

)(

)()(ˆ2

2

ΘΦΘ

ΘΦΘ

=ε

ε

σσ

Resulta inmediato ver la equivalencia entre el estimador y el cociente de los

espectros utilizando las equivalencias: iwiw eFeB == − ; :

2

2

2

2

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

ε

ε

ε

ε

σσ

ωω

ω

ω

ωω i

iwiw

iwiw

iwi

iwi

iwi

iwii

Y

Xi

Y

Xi

ee

ee

ee

ee

h

h

h

h

ΘΘΦΦ

ΦΦΘΘ

=Γ

Γ= −

−

−

−

Así partiendo del modelo ARIMA estimado en la serie:

tt BBYBB εθθφ )1)(1()1)(1( 12121

12 −−=−−

Que puede verse como un filtro aplicado a un ruido blanco:

tt BB

BBY ε

φθθ

)1)(1(

)1)(1(12

12121

−−−−

=

En términos frecuenciales:

)()1)(1(

)1)(1(

)1)(1(

)1)(1()(

12

12121

12

12121 wh

ee

ee

ee

eewh

iwiw

iwiw

iwiw

iwiw

Y εφθθ

φθθ

−−−−

−−−−

= −−

−−

Para obtener la estimación del componente canónico, bastaría aplicar el filtro

WK sobre la serie original. Así en el caso del ciclo según (c) y simplificando:

tC

t YFF

FFSF

BB

BBSBC

)1)(1(

)1)(()1(

)1)(1(

)1)(()1(ˆ12

12112

1212

2

θθθθσσ

ε

ε

−−+−

−−+−

=


Gráfico 7.-Función de transferencia y fase para el filtro WK en la estimación del ciclo

(thetha1=0.5, thetha12=0.6)

Como podemos observar la función de transferencia asociada al filtro WK en la

estimación del ciclo, presenta ceros en la frecuencia 0 (tendencia) y en las frecuencias

estacionales, asimismo presenta atenuación de las altas frecuencias (asociadas a la

irregularidad). También puede observarse cómo la función de fase es nula para todas las

frecuencias, ello como consecuencia de la simetría del filtro.

2.3.-OTROS METODOS DE DESCOMPOSICIÓN DE SERIES TEMPORALES: EL

FILTRO DE HODRICK-PRESCOTT

La descomposición de series temporales, tal y como se apuntó en la

introducción, es una materia ampliamente tratada en la literatura econométrica, de ahí

que existan un amplio número de técnicas de descomposición de series temporales. Al

margen de la metodología UCARIMA otros métodos han sido utilizados profusamente

por los investigadores y organismos estadísticos de todo el mundo. Algunos de los

métodos más difundidos son el X-11 y el filtro Hodrick-Prescott.

El método X-11 es utilizado en la práctica como una técnica de

desestacionalización de series temporales, proporcionando una estimación de la serie

desestacionalizada, por lo tanto, presentando dicha serie tanto tendencia, como ciclo e

irregularidad.

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 30

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0

4 0 0

4 5 0

5 0 0

F u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a

F r e c u e n c i a ( 0 - p i )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Funcion de fase

Frecuencia (0-pi)


El filtro de Hodrick-Prescott (HP) es un método concebido para extraer la

tendencia de una serie temporal. Puede definirse como un filtro lineal no causal que

surge al determinar la tendencia, St, de la minimización de la expresión:

( )∑ ∑=

−

=−+ −−−+−

T

t

T

ttttttt sssssx

1

1

2

211

2 )()()( λ .

Cumpliéndose: ttt csx += .

El parámetro λ controla la suavidad de la tendencia estimada, cuanto mayor es,

mas se aproxima la tendencia a una línea recta. De modo contrario, cuanto menor es el

parámetro, mayor la semejanza entre la tendencia y la serie original.

La solución al problema de minimización puede expresarse en forma matricial cómo:

XMS 1ˆ −= (a) (Tx1) (TxT)(Tx1)

Dónde:

[ ]KKIM 'λ+=

−

−−

−

=

12100

01000

02100

01210

00121

L

MMMM

K

K

K

K

K

(T-2 x T)

La matriz M inversa, nos determina los coeficientes que se aplican a la serie

orignal para obtener la tendencia, lo cual puede intepretarse como los coeficientes del

filtro que nos permite obtener un ouput de un input.

Es habitual trabajar con una derivación del filtro HP proporcionada por King y

Rebelo (1993), que se trataría de la misma formulación del filtro HP considerada para

un número infinito de datos o alternativamente para los tramos centrales de la muestra.

Esta derivación del filtro HP puede observarse intuitivamente al fijarnos en la expresión

(a)


XMS 1ˆ −= (a) (Tx1) (TxT)(Tx1)

Si pasamos M inversa al primer término, podemos escribir:

XSM =ˆ (c) Dónde:

[ ]KKIM 'λ+=

−

−−

−

=

12100

01000

02100

01210

00121

L

MMMM

K

K

K

K

K

(T-2 x T) Asumamos el caso n=6 y lambda igual a 1, entonces la matriz M tiene esta forma:

MATRIZ M 2.000000 -2.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -2.000000 6.000000 -4.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 -4.000000 7.000000 -4.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 -4.000000 7.000000 -4.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 -4.000000 6.000000 -2.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 -2.000000 2.000000

Con lo que el sistema (c) puede expresarse cómo:

=

−−−

−−−−

−−−

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

221000

264100

147410

014741

001462

000122

x

x

x

x

x

x

s

s

s

s

s

s

Si desarrollamos la fila 3, obtenemos:

3654321 014741 xssssss =++−+−


O alternativamente

3231331323 14741 xsssss =+−+− ++−− O generalizando para t=3 y 4

tttttt xsssss =+−+− ++−− 2112 14741

Lo cual puesto en función de los operadores B y F (backward y forward) kttk xxB −= ;

kttk xxF += , proporciona la expresión:

tt xsFFBB =+−+− )14741( 22 Podemos reescribir el término entre paréntesis de la siguiente forma:

[ ] tt xsFB =−−+ 22 )1()1(1 (d) Dado que lklk BFB −= si k>l ó kllk FFB −= si l>k, por lo que:

[ ]

BBFF

FBBBFF

FFBBFB

447

42221211

)21)(21(1)1()1(1

22

22

2222

−+−+=

=+−−−++−++=

=−+−++=−−+

[ ] 2222 474)1()1(1 FFBBFB +−+−=−−+

Si asumimos que el número de datos disponibles de x es infinito o bien que los

valores centrales se aplican a toda la muestra de x, conseguiremos que la expresión (d)

sea válida para todo t, es decir podemos aplicar (d) para todo t de la muestra sin más que

ampliar con valores de predicción hacia atrás y hacia delante la muestra disponible.

La expresión (d) puede generalizarse para todo lambda, de modo que

proporciona la siguiente formulación general de la tendencia estimada por el filtro HP

modificado:

[ ] tt xsFB =−−+ 22 )1()1(1 λ

O bien:


[ ] tt xFB

s22 )1()1(1

1

−−+=

λ

Dado que

ttt csx +=

Podemos obtener la expresión de la estimación de Ct

[ ]

[ ] [ ] →

−−+

−−−+=

−−+

−=→

→+−−+

=+=

ttt

ttttt

xFB

FBx

FBc

cxFB

csx

22

22

22

22

)1()1(1

1)1()1(1

)1()1(1

11

)1()1(1

1

λλ

λ

λ

[ ] tt xFB

FBc

−−+

−−=22

22

)1()1(1

)1()1(

λλ

Si recordamos la expresión del polinomio de retardos en el dominio de la

frecuencia y tras algunas sustituciones mediante la relación de Euler, llegaríamos a la

expresión de la función de ganancia del filtro HP:

[ ]

−+

−=Γ2

2

)cos1(41

)cos1(4)(

w

ww

tc λλ

[ ]

−+

=Γ2)cos1(41

1)(

ww

ts λ

Grafico 8.- Función de ganancia filtro HP para distintos valores de lambda

FUNC. DE GANANCIA FILTRO HP: TENDENCIA

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 PI

100 400 1600 3200

FUNC. DE GANANCIA FILTRO HP: SERIE-TENDENCIA

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 PI

100 400 1600 3200


En ocasiones se utiliza el filtro de HP modificado para extraer la señal cíclica,

(mediante la sustracción de la tendencia estimada a la serie original), sin embargo, como

apunta Quilis, esto sólo ha de hacerse en series sin estacionalidad ni irregularidad, dado

que por la forma de la función de ganancia, los componentes estacionales e irregulares

“pasarían” sin ser modificados, dando como resultado una señal cíclica “contaminada”

por estos componentes. Otros autores, como Guay y St-Amant (1996) señalan que el

filtro HP “funciona” adecuadamente en la extracción de la señal cíclica cuando el

espectro de la serie original presenta un “pico” en las frecuencias “cíclicas”, en el caso

de que el espectro esté dominado por las bajas frecuencias (cómo es el caso de la

mayoría de series macroeconómicas), el filtro HP proporciona un ciclo “distorsionado”.

RECUADRO III

Aunque el lector pueda verse abrumado por las formulaciones antes incluidas, ha de ser

consciente que seguramente conoce desde hace tiempo uno de los mejore métodos de estimación de la

señal cíclica. Aunque parezca extraño, la tasa de crecimiento interanual (en su versión logarítmica) es

un estimador de la señal cíclica adecuado en la mayoría de ocasiones.

A pesar de su simplicidad la tasa de crecimiento contiene un filtro desestacionalizador y un filtro

de tendencia por lo que su aplicación permite obtener una estimación del ciclo, si bien, contaminado por

la irregularidad.

Aunque la tasa de crecimiento presenta algunas limitaciones, tales como el desfase que introduce

respecto a la serie original, su facilidad de cálculo y su inmediata interpretación hacen de este método uno

de los mejores a la hora de estimar el componente cíclico presente en una serie (1).

(1) F.Melis. Series temporales, coyuntura económica y el BTS del INE: la utilidad y las limitaciones de la

tasa interanual. Boletín trimestral de Coyuntura. INE:Marzo 1984


APLICACIÓN PRACTICA.

El objetivo de esta aplicación práctica consiste en familiarizar al estudiante con

el tratamiento de series temporales necesarias para la extracción de información

relevante en el análisis de coyuntura.

La primera parte de la práctica consistirá en el estudio de las series de Viviendas

Iniciadas y Viviendas terminadas elaboradas por la Dirección General de la Vivienda,

Arquitectura y Urbanismo (Ministerio de Fomento). El interés del estudio de estas

variables reside en a priori es posible establecer entre ambas una clara relación causal y

temporal, dado que una vivienda terminada necesariamente se registró de forma previa

como una vivienda iniciada, por lo tanto la evolución temporal de la serie de Viviendas

Terminadas ha de estar relacionada claramente con la de Viviendas iniciadas. El saber

de antemano que ambas series están relacionadas nos permitirá enfocar el estudio en la

propia técnica sin tener que preocuparnos excesivamente por las razones explicativas de

la relación entre variables, aspecto que en otros casos pone en tela de juicio los

resultados obtenidos.

El punto de partida en el análisis de cualquier serie temporal es la representación

gráfica de dicha serie. Este paso previo nos permitirá apreciar de manera inmediata

cuales son las características temporales dominantes en la serie y, en relación con los

objetivos de esta práctica, también nos permitirá comprender cuales son las dificultades

a las que debe hacer frente el analista de coyuntura.

Grafico 9.- Representación gráfica de las variables.

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

VINIC

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

VTERMI


Un simple vistazo al gráfico 9 nos permite comprobar que en ambos casos, la

característica temporal dominante es la existencia de tendencia, asimismo se perciben

saltos en la variable aparentemente erráticos.

La existencia de tendencia se confirma mediante la inspección del

autocorrelograma, asimismo permite comprobar la existencia de estacionalidad, aspecto

que se manifiesta en la existencia de correlaciones significativas para el retardo 12 en el

caso de series mensuales (4 en el caso de series trimestrales).

Grafico 10.- Autocorrelación de las variables (izquierda: Viviendas iniciadas, derecha:

Viviendas terminadas).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-60 -40 -20 0 20 40 60 -0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-60 -40 -20 0 20 40 60

RECUADRO: AUTOCORRELACIÓN

Si definimos la correlación entre X e Y cómo:

yx

xyxy SS

S=ρ

La autocorrelación será por tanto:

12

2

===y

y

yy

yyyy S

SSS

Sρ

Consideremos ahora la serie Y desplazada r períodos:


Y(t) Y(t-1) Y(t-2) Y(t-3) 10 - - - 15 10 - - 17 15 10 - 19 17 15 10 21 19 17 15 22 21 19 17 - 22 21 19 - - 22 21 - - - 22

La autocorrelación en el retardo r se define como:

yy

yyy

yy

yyy SS

Sr

SS

Sr rtrtt −− =−== )()( ρρ

Dónde podemos observar que cuando r=0, se cumple que la autocorrelación es igual a 1. En términos poco estrictos, decimos que X e Y están correlacionadas cuando se parecen mucho,

asimismo decimos que Y(t) e Y(t-r) están correlacionadas cuando evolucionan de manera similar, esto se

produce de manera clara cuando existe tendencia.

El gráfico 11 ilustra una situación frecuente en el estudio de series económicas.

La existencia de tendencia claramente dominante en ambas series nos induciría a

afirmar inmediatamente que entre ambas variables existe relación. En este caso es

evidente pensar que existe dicha relación, pero también afirmaríamos lo mismo si

estudiásemos el IPI (Indice de Producción Industrial) y la serie de Viviendas Iniciadas,

series que presentan una correlación de 0,61 pero cuya relación económica no es tan

evidente o al menos es más cuestionable.

Por lo tanto, apreciamos claramente como la presencia de tendencia en las series

analizadas puede conducirnos a extraer conclusiones precipitadas y en muchos casos

erróneas.

Volviendo al caso que nos ocupa, observar directamente el grafico de la

evolución temporal conjunta de las series de viviendas iniciadas y terminadas no nos

permite extraer información relevante sobre ambas series. En todo caso, podemos

afirmar que siguen una trayectoria similar, pero en ningún caso podemos observar un

patrón claro de evolución. Esta falta de patrón claro se hace aún más evidente cuando

limitamos el período de estudio, por ejemplo a los dos últimos años, situación

presentada en el gráfico 12.


Grafico 11.-Representación gráfica de las variables

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

VINIC VTERMI

40000

60000

80000

100000

120000

140000

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

IPI VINIC

Gráfico 12.- Representación gráfica de las variables. 2000-2001

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

00:01 00:04 00:07 00:10 01:01 01:04 01:07 01:10

VINIC VTERMI

Limitando el período de estudio resulta imposible apreciar un patrón común de

evolución entre estas variables, es más, la correlación tan baja entre ambas variables

(0.01) en dicho período conseguiría confundir a cualquier analista coyuntural.

A la luz de las anteriores apreciaciones, resulta por lo tanto evidente la necesidad

de contar con algún método de extracción de información de las variables estudiadas.

Estos métodos en la mayor parte de las ocasiones nos permitirán condensar la

información a cambio de obviar detalles, que a veces pueden resultar importantes, en

todo caso es un coste pequeño a cambio de la información que proporcionan.

Una de las pérdidas de información surge de la eliminación de la estacionalidad

de las series, si ésta está presente. Para desestacionalizar las variables existen numerosos


métodos y procedimientos, en ésta práctica utilizaremos el método implantado en

SEATS, cuyos fundamentos han sido esbozados en la exposición teórica.

Gráfico 13.- Representación gráfica de las variables corregidas de estacionalidad

10000

20000

30000

40000

50000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

VTERSA VINISA

Grafico 14.- Autocorrelación de las variables corregidas de estacionalidad (izquierda:

Viviendas iniciadas, derecha: Viviendas terminadas).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-60 -40 -20 0 20 40 60 -0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-60 -40 -20 0 20 40 60

La serie desestacionalizada, como podemos apreciar en los gráfico 13 y 14,

presentará tanto tendencia, como ciclo e irregularidad, componentes que trataremos por

separado.

En primer lugar eliminaremos la irregularidad mediante dos métodos

alternativos a fin de apreciar las similitudes, en cuanto a su funcionalidad, entre ambos.

El primer método consiste en la aplicación del filtro de Hodrick-Prescott con un valor

de lambda muy bajo (para esta aplicación se ha tomado un lambda=100), el segundo

método consiste en el cálculo de una media móvil centrada de orden 3. Los resultados


obtenidos se presentan en el gráfico 15, apreciándose la clara similitud de la estimación

proporcionada por ambos métodos.

Grafico 14.- Serie filtrada de irregularidad. Izquierda Viviendas iniciadas

desestacionalizada. Derecha viviendas terminadas desestacionalizada

10000

20000

30000

40000

50000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

MM_VINISA HPTREND03

10000

20000

30000

40000

50000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

MM_VTERSA HPTREND04

El resto del análisis se efectuará con la serie filtrada de irregularidad

proporcionada por el filtro de Hodrick-Prescott, dado que nos permite obtener

estimaciones para todo el período muestral, mientras que la aplicación de la media

móvil centrada nos obligaría a prescindir de parte de las observaciones iniciales y

finales (el mismo número de observaciones que el orden de la media móvil).

Grafico 14.- Series desestacionalizadas, con y sin el componente irregularidad.

10000

20000

30000

40000

50000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

HPTREND03 VINISA

10000

20000

30000

40000

50000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

HPTREND04 VTERSA

En el gráfico 15 se presentan las series corregidas de estacionalidad e

irregularidad, o también denominadas de ciclo-tendencia, dado que tan sólo presentan


dichos componentes al haber sido eliminado el resto. En dicho gráfico ya puede

apreciarse la existencia de un patrón común de comportamiento. Si el lector observa el

gráfico 15, podrá percibir claramente como la serie HPTREND04 (viviendas

terminadas) es similar a HPTREND03 (viviendas iniciadas) desplazada hacia la

derecha, es decir, la serie de viviendas terminadas es, trascurrido un período de tiempo

determinado, la serie de viviendas iniciadas, tal y como cabría esperarse dada la

definición de ambas variables.

Grafico 15.- Series desestacionalizadas sin el componente irregularidad.

10000

20000

30000

40000

50000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

HPTREND03 HPTREND04

La relación entre ambas aún resulta más evidente al analizar el componente

cíclico en exclusiva. Para estimar el componente cíclico eliminaremos la tendencia

mediante la diferenciación de la serie, es decir, restando a cada valor el inmediatamente

anterior 3 . Para comprobar la afirmación anterior, estudiamos el correlograma cruzado

de las series, que no es mas que la correlación cruzada para distintos retardos y

adelantos de una de las dos variables.

Definiríamos la correlación cruzada entre X e Y cómo:

[ ]22 )()(

))(()(

ytxt

yrtxtXY

YEXE

YXEr

µµ

µµρ

−−

−−= −

3 Si la serie original se denota por ty , la serie diferenciada se denota cómo 1−−=∆ ttt yyy . Si a la

serie original se aplican logaritmos y se diferencia la serie resultante, obtenemos prácticamente una tasa de crecimiento intermensual, por lo tanto manejar diferencias logarítmicas equivale a trabajar con tasas de crecimiento.


Nótese que, en general, )()( rr XYXY −≠ ρρ , es decir, frente al caso de la

autocorrelación, la cross-correlación no tiene porqué ser simétrica en torno a 0, de

hecho, esta asimetría se produce de forma clara cuando existe una relación de desfase-

adelanto entre dos serie.

Grafico 16.-Componente cíclico

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

CVTERM CVINI

Grafico 17.-Correlación cruzada

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-60 -40 -20 0 20 40 60

Retardo /Adelanto

corr

ela

ción c

ruza

da

Según el correlograma cruzado, la máxima correlación entre ambas series se

produce al considerar la serie de viviendas iniciadas con la de viviendas terminadas

adelanta 20 meses, es decir, entre ambas variables existe un retardo aproximado de 20

meses.


Grafico 18.-Componente cíclico de las variables desplazadas

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

CVINI CVTERM(20)

¿Cómo podemos interpretar este retardo de 20 meses entre ambas variables?. En

este caso parece evidente achacar dicho desfase al periodo necesario para construir las

viviendas, aunque naturalmente ha de entenderse como un período promedio ya que

existirán excepciones a ese desfase.

Por último, en las tablas siguientes se incluye la caracterización del componente

cíclico presente en ambas series, detallándose la duración media del ciclo, el número de

ciclo completos, duración de las fases de aceleración, etc,.. parámetros de gran interés

para el estudio de la coyuntura.

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

CVTERM MAX_CVTERM MIN_CVTERM

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

CVINI MAX_CVINI MIN_CVINI


SERIE CVINI SEGUN MÁXIMOS SEGUN MINIMOS DURACION CICLO ENTRE PICOS MEDIA 19.153846 18.384615 MEDIANA 19.000000 20.000000 DESV.TIPICA 7.8299229 6.4101282 NUMERO DE CICLOS 13.000000 13.000000 FECHAS DE LOS MAXIMOS 1981. 2. 1982. 11. 1984. 12. 1987. 2. 1988. 9. 1990. 9. 1991. 7. 1992. 5. 1993. 11. 1994. 11. 1997. 12. 1998. 10. 2000. 3. 2001. 11. FECHAS DE LOS MINIMOS 1980. 11. 1981. 12. 1984. 2. 1985. 11. 1987. 10. 1989. 11. 1990. 12. 1991. 8. 1993. 2. 1994. 2. 1995. 11. 1998. 3. 1999. 11. 2000. 10. DURACION FASES ACELERACION (MINIMO-MAXIMO) MEDIA 10.214286 DESVIAC.TIPICA 5.3086080 DURACION FASES DESACELERACION (MAXIMO-MINIMO) MEDIA 8.3846154 DESVIAC.TIPICA 4.6822086


SERIE CVTERM SEGUN MAXIMOS SEGUN MINIMOS

DURACION CICLO ENTRE PICOS MEDIA 18.384615 18.000000

MEDIANA 17.000000 16.000000 DESV.TIPICA 9.1882031 9.3094934

NUMERO DE CICLOS 13.000000 14.000000

FECHAS DE LOS MAXIMOS 1980. 7. 1981. 8. 1982. 9. 1983. 9. 1985. 2. 1986. 7. 1988. 2. 1990. 2. 1991. 12. 1993. 4. 1993. 9. 1996. 5. 1999. 8. 2000. 6.

FECHAS DE LOS MINIMOS 1980. 6. 1981. 4. 1981. 1. 1983. 6. 1984. 4. 1985. 11. 1987. 3. 1989. 4. 1991. 7. 1992. 2. 1993. 5. 1994. 8. 1997. 11. 1999. 12. 2001. 8.

DURACION FASES ACELERACION (MINIMO-MAXIMO) MEDIA 9.2142857 DESVIAC.TIPICA 6.1915398 DURACION FASES DESACELERACION (MAXIMO-MINIMO) MEDIA 8.5384615 DESVIAC.TIPICA 5.5017480


BIBLIOGRAFÍA

Bell, W.R, Hillmer ,S.C. Issues involved with the seasonal Adjustment of Economic

Time Series. En Modelling Seasonality.Ed. S. Hylleberg.Oxford University

Press.1992

Box, G. E., Jenkins, G.M.Time series analysis, forecasting and control.San

Francisco:Holden-Day. 1970.

C.W.J.Granger, M. Hatanaka. Spectral analysis of economic time series. Princeton

University Press.1964.

E. Uriel Jiménez. Análisis de datos: Series temporales y análisis multivariante. Ed.

AC.1995.

E.M. Quilis. Apuntes de extracción de la señal en series económicas.INE.1997.

F.Melis. Series temporales, coyuntura económica y el BTS del INE: la utilidad y las

limitaciones de la tasa interanual. Boletín trimestral de Coyuntura. INE:Marzo

1984

Gómez, V.,Maravall, A. Programs TRAMO and SEATS: Instructions for the user.

1997.

Guay A. , St-Amant P. Do mechanical filters provide a good approximation to

business cycles?.Bank of Canada.1996.

King, R.G. , Rebelo, S.T. Low frequency filtering and real business cycles. Journal

of Economics Dynamics and Control. Nº 17.1993.

Kydlan, F. E. Business Cycle Theory. Ed. Edward Elgar Publishing Limited.1995. Planas, C.Applied time series analysis: modelling, forecasting, unobserved

components analysis and the Wiener-Kolmogorov filter. Eurostat.1997.

Planas,C. The analysis of seasonality in economic statistics: a survey of recent

developments. Eurostat. 1997.

R.Kaiser,A. Maravall.Estimation of the business cycle: a modified Hodrick-Prescott

Filter.Servicio de Estudios banco de España.1999.

S.C. Hillmer, G.C.Tiao. An ARIMA-model-based approach to seasonal

adjustment.Journal of the American Statistical Association.Vol.77.N.377.1982.

V.Goméz, A. Maravall.Seasonal adjustment and signal extraction in economic time

series. Servicio de Estudios Banco de España.1998.

cicloeco

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