Ciclo euleriano En la teora de grafos, un camino euleriano es un camino que pasa por cada arista una y solo una vez. Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez. El problema de encontrar dichos caminos fue discutido por primera vez por Leonhard Euler, en el famoso problema de los puentes de Knigsberg.

ndice

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1 Ciclos eulerianos

2 Historia

3 Casos

4 Teorema

5 Propiedades

6 Contando circuitos eulerianos en dgrafos

7 Vase tambin

8 Referencias

Ciclos eulerianos[editar]

Dibujar un sobre abierto, como el de la imagen, sin levantar el lpiz del papel ni pasar dos veces por

el mismo sitio, es posible. En cambio, dibujar el sobre cerrado (prescindiendo del punto 5 y sus

lneas adyacentes) es imposible.

En la imagen, es un ciclo euleriano, luego es un grafo euleriano.

Un grafo es una representacin, un modelo, compuesto por un nmero determinado de vrtices (nodos) y un nmero de arcos (aristas) que los relacionan, cada arista o arco tiene la capacidad de relacionar dos nodos. La palabra ciclo se emplea enteora de grafos para indicar un camino cerrado en un grafo, es decir, en que el nodo de inicio y el nodo final son el mismo, como contrapartida un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vrtices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vrtice. Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano.

Si un grafo admite un ciclo euleriano, se denomina grafo euleriano.

Historia[editar] Artculo principal: Problema de los puentes de Knigsberg

El origen de la teora de los ciclos eulerianos fue planteado y resuelto por el propioLeonhard Euler en 1736 en un problema que tiene el nombre de Siete puentes de la ciudad de Knigsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII y actualmente,Kaliningrado, provincia rusa) dando origen a la Teora de los grafos.

El problema se enuncia de la siguiente forma: Dos islas en el ro Pregel, en Knigsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Euler enfoc el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una lnea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: se puede recorrer el dibujo sin repetir las lneas?

Euler demostr que no era posible puesto que el nmero de lneas que inciden en cada punto no es par (condicin necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento).

Casos[editar]

Dado un grafo conexo (no existen nodos aislados) y no dirigido , si tiene

exactamente dos vrtices de grado impar, entonces tiene un camino euleriano no

cerrado. En caso de que todos los vrtices tengan grado par, tiene un ciclo euleriano.

Teorema[editar]

Dado no orientado y conexo; si tiene nodos de grado impar,

entonces puede ser escrito como unin de caminos (simples) distintos sobre los arcos y valen las siguientes expresiones:

1) es euleriano;

2) con grado y par.

3) todos disjuntos (caminos distintos) en los arcos,

es decir con

va de un nodo de grado impar a un nodo de grado impar.

Un grafo admite un camino euleriano cuando tiene exactamente dos nodos de grado impar (conexos a los caminos).

Propiedades[editar]

Un grafo conexo y no dirigido se dice que es euleriano si cada vrtice tiene un

grado par.

Un grafo no dirigido es euleriano si es conexo y si se puede descomponer en uno

con los vrtices disjuntos.

Si un grafo no dirigido G es euleriano entonces su grfo-lnea L(G) se dice que es

tambin euleriano.

Un grafo dirigido es euleriano si es conexo y cada vrtice tiene grados internos

iguales a los externos.

Un grafo no dirigido se dice que es susceptible de ser recorrido (en

ingls: traversable) si es conexo y al menos dos vrtices en el grafo tienen grado

impar.

Contando circuitos eulerianos en dgrafos[editar]

El nmero de circuitos euleriano en los dgrafos puede ser calculado mediante el teorema denominado en Ingls: BEST-theorem, procedente de los nombres de sus fundadores: de Bruijn, van Aardenne-Ehrenfest, Smith y Tutte.

En dicho teorema se menciona que dado un dgrafo euleriano G := (V, E), el nmero ciclos eulerianos no-equivalentes en el grafo es

o equivalentemente

siendo C cualquier cofactor de la matriz laplaciana de G.

Vase tambin[editar]

Problema de los puentes de Knigsberg

Ciclo hamiltoniano

Glosario en teora de grafos

Referencias[editar]

"Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis", Euler, L.,Comment.

Academiae Sci. I. Petropolitanae 8 (1736), 128-140.

"ber die Mglichkeit, einen Linienzug ohne Wiederholung und ohne

Unterbrechnung zu umfahren",Hierholzer, C.Mathematische

Annalen 6 (1873), 30-32.

Rcrations Mathmatiques IV, Lucas, E., Paris, 1921.

"Deux problemes de geometrie de situation", Fleury, Journal de

mathematiques elementaires (1883), 257-261.

"Discrete Mathematics with Applications", Susanna Epp, Fourth Edition