chapra metodos 5e capitulo muestra c18

5/21/2018 Chapra Metodos 5e Capitulo Muestra c18

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CAPTULO 18Interpolacin

Con frecuencia se encontrar con que tiene que estimar valores intermedios entre datos

definidos por puntos. El mtodo ms comn que se usa para este propsito es la interpola-cin polinomial. Recuerde que la frmula general para un polinomio de n-simo grado es

f(x) = a0+ a1x+ a2x2+ + anxn (18.1)

Dados n+ 1 puntos, hay uno y slo un polinomio de grado* nque pasa a travs de todoslos puntos. Por ejemplo, hay slo una lnea recta (es decir, un polinomio de primer gra-do) que une dos puntos (figura 18.1a). De manera similar, nicamente una parbola uneun conjunto de tres puntos (figura 18.1b). La interpolacin polinomial consiste en de-terminar el polinomio nico de n-simo grado que se ajuste a n+ 1 puntos. Este polino-

mio, entonces, proporciona una frmula para calcular valores intermedios.Aunque hay uno y slo un polinomio de n-simo grado que se ajusta a n+ 1 puntos,

existe una gran variedad de formas matemticas en las cuales puede expresarse estepolinomio. En este captulo describiremos dos alternativas que son muy adecuadas paraimplementarse en computadora: los polinomios de Newton y de Lagrange.

18.1 INTERPOLACIN POLINOMIAL DE NEWTONEN DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Como se dijo antes, existe una gran variedad de formas alternativas para expresar unainterpolacin polinomial. Elpolinomio de interpolacin de Newton en diferencias di-

FIGURA 18.1Ejemplos de interpolacin polinomial: a) de primer grado (lineal) que une dos puntos, b) desegundo grado (cuadrtica o parablica) que une tres puntos y c) de tercer grado (cbica)que une cuatro puntos.

a) b) c)

* De hecho se puede probar que dados n + 1 puntos, con abscisas distintas entre s, existe uno y slo un poli-nomio de grado a lo ms nque pasa por estos puntos.

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504 INTERPOLACIN

vididases una de las formas ms populares y tiles. Antes de presentar la ecuacingeneral, estudiaremos las versiones de primero y segundo grados por su sencilla inter-pretacin visual.

18.1.1 Interpolacin lineal

La forma ms simple de interpolacin consiste en unir dos puntos con una lnea recta.Dicha tcnica, llamada interpolacin lineal,se ilustra de manera grfica en la figura18.2. Utilizando tringulos semejantes,

=

1 00

1 0

1 0

( ) ( )

( ) ( )

x x

x x

x x

x x

reordenndose se tiene

= +

1 01 0

1 00( ) ( )

( ) ( )

( )x x

x x

x xx x (18.2)

que es una frmula de interpolacin lineal. La notacinf1(x) designa que ste es unpolinomio de interpolacin de primer grado. Observe que adems de representar lapendiente de la lnea que une los puntos, el trmino [f(x1) f(x0)]/(x1x0) es una aproxi-macin en diferencia dividida finita a la primer derivada [ecuacin (4.17)]. En general,

f(x)

xx1xx0

f(x1)

f(x0)

f1(x)

FIGURA 18.2Esquema grfico de la interpolacin lineal. Las reas sombreadas indican los tringulossemejantes usados para obtener la frmula de la interpolacin lineal [ecuacin(18.2)].



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cuanto menor sea el intervalo entre los datos, mejor ser la aproximacin. Esto se debe alhecho de que, conforme el intervalo disminuye, una funcin continua estar mejor aproxi-mada por una lnea recta. Esta caracterstica se demuestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 18.1 Interpolacin lineal

Planteamiento del problema. Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolacinlineal. Primero, realice el clculo por interpolacin entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.791759.Despus, repita el procedimiento, pero use un intervalo menor de ln 1 a ln 4 (1.386294).Observe que el valor verdadero de ln 2 es 0.6931472.

Solucin. Usamos la ecuacin (18.2) y una interpolacin lineal para ln(2) desde x0=1 hastax1= 6 para obtener

= +

=1 2 0

1 791759 0

6 12 1 0 3583519( )

.( ) .

que representa un error: et= 48.3%. Con el intervalo menor desdex0= 1 hastax1= 4 seobtiene

= +

=1 2 0

1 386294 04 1

2 1 0 4620981( ).

( ) .

As, usando el intervalo ms corto el error relativo porcentual se reduce a et= 33.3%.Ambas interpolaciones se muestran en la figura 18.3, junto con la funcin verdadera.

f(x)

f(x) = ln x

f1(x)

Valor

verdadero

Estimaciones lineales

x50

2

0

1

FIGURA 18.3Dos interpolaciones lineales para estimar ln 2. Observe cmo el intervalo menorproporciona una mejor estimacin.

18.1 INTERPOLACIN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS 505



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506 INTERPOLACIN

18.1.2 Interpolacin cuadrticaEn el ejemplo 18.1 el error resulta de nuestra aproximacin a una curva mediante unalnea recta. En consecuencia, una estrategia para mejorar la estimacin consiste en intro-ducir alguna curvatura a la lnea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos,stos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (tambin conocido como poli-nomio cuadrtico oparbola). Una forma particularmente conveniente para ello es

f2(x) = b0+ b1(xx0) + b2(xx0)(xx1) (18.3)

Observe que aunque la ecuacin (18.3) parece diferir del polinomio general [ecuacin(18.1)], las dos ecuaciones son equivalentes. Lo anterior se demuestra al multiplicar lostrminos de la ecuacin (18.3):

f2(x) = b0+ b1x b1x0+ b2x2+ b2x0x1 b2xx0 b2xx1

o, agrupando trminos,

f2(x) = a0+ a1x+ a2x2

dondea0= b0 blx0+ b2x0x1

a1= b1 b2x0 b2x1

a2= b2

As, las ecuaciones (18.1) y (18.3) son formas alternativas, equivalentes del nico poli-nomio de segundo grado que une los tres puntos.

Un procedimiento simple puede usarse para determinar los valores de los coeficien-

tes. Para encontrar b0, en la ecuacin (18.3) se evala conx=x0para obtenerb0=f(x0) (18.4)

La ecuacin (18.4) se sustituye en la (18.3), despus se evala en x=x1para tener

bx x

x x1

1 0

1 0

= ( ) ( )

(18.5)

Por ltimo, las ecuaciones (18.4) y (18.5) se sustituyen en la (18.3), despus se evala en

x=x2y (luego de algunas manipulaciones algebraicas) se resuelve para

b

x x

x x

x x

x x

x x2

2 1

2 1

1 0

1 0

2 0

=

( ) ( )

( ) ( )

(18.6)

Observe que, como en el caso de la interpolacin lineal, b1todava representa lapendiente de la lnea que une los puntos x0y x1. As, los primeros dos trminos dela ecuacin (18.3) son equivalentes a la interpolacin lineal dex0ax1, como se especi-fic antes en la ecuacin (18.2). El ltimo trmino, b2(xx0)(xx1), determina la cur-vatura de segundo grado en la frmula.



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Antes de ilustrar cmo utilizar la ecuacin (18.3), debemos examinar la forma del co-eficiente b2. Es muy similar a la aproximacin en diferencias divididas finitas de la segundaderivada, que se present antes en la ecuacin (4.24). As, la ecuacin (18.3) comienza amanifestar una estructura semejante a la expansin de la serie de Taylor. Esta observacinser objeto de una mayor exploracin cuando relacionemos los polinomios de interpolacinde Newton con la serie de Taylor en la seccin 18.1.4. Aunque, primero, mostraremos unejemplo que indique cmo se utiliza la ecuacin (18.3) para interpolar entre tres puntos.

EJEMPLO 18.2 Interpolacin cuadrtica

Planteamiento del problema. Ajuste un polinomio de segundo grado a los tres pun-tos del ejemplo 18.1:

x0= 1 f(x0) = 0

x1= 4 f(x1) = 1.386294

x2= 6 f(x2) = 1.791759

Con el polinomio evale ln 2.

Solucin. Aplicando la ecuacin (18.4) se obtiene

b0= 0

La ecuacin (18.5) da

b11 386294 0

4 10 4620981=

=.

.

f(x)

f(x)= ln x

f2(x)

Valorverdadero

Estimacin lineal

Estimacin cuadrtica

x50

2

0

1

FIGURA 18.4El uso de la interpolacin cuadrtica para estimar ln 2. Para comparacin se presentatambin la interpolacin lineal desde x= 1 hasta 4.




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508 INTERPOLACIN

y con la ecuacin (18.6) se obtiene

b2

1 791759 1 386294

6 40 4620981

6 10 0518731=

=

. ..

.

Sustituyendo estos valores en la ecuacin (18.3) se obtiene la frmula cuadrtica

f2(x) = 0 + 0.4620981(x 1) 0.0518731(x 1)(x 4)

que se evala enx= 2 para

f2(2) = 0.5658444

que representa un error relativo de et= 18.4%. As, la curvatura determinada por lafrmula cuadrtica (figura 18.4) mejora la interpolacin comparndola con el resultadoobtenido antes al usar las lneas rectas del ejemplo 18.1 y en la figura 18.3.

18.1.3 Forma general de los polinomios de interpolacinde Newton

El anlisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-simo grado a n+ 1 datos. El polinomio de n-simo grado es

fn(x) = b0+ b1(xx0) + + bn(xx0)(xx1) (xxn1) (18.7)

Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadrticas, los puntos asociadoscon datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,..., bn. Para un polinomio den-simo grado se requieren n+ 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)],..., [xn, f(xn)]. Usamosestos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:

b0=f(x0) (18.8)

b1=f[x1,x0] (18.9)

b2=f[x2,x1,x0] (18.10)

bn=f[xn,xn1, ,x1,x0] (18.11)

donde las evaluaciones de la funcin colocadas entre parntesis son diferencias divididasfinitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representacomo

=

[ , ]( ) ( )

x x

x x

x xi j

i j

i j

(18.12)

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos primerasdiferencias divididas, se expresa en forma general como

= [ , , ] [ , ] [ , ]

x x x x x x xx x

i j k

i j j k

i k

(18.13)



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En forma similar, la n-sima diferencia dividida finitaes

=

[ , , , , ]

[ , , , ] [ , , , ]

x x x xx x x x x x

x xn n

n n n n

n

1 1 01 1 1 2 0

0

(18.14)

Estas diferencias sirven para evaluar los coeficientes en las ecuaciones (18.8) a(18.11), los cuales se sustituirn en la ecuacin (18.7) para obtener el polinomio de in-terpolacin

fn(x) =f(x0) + (xx0)f[x1,x0] + (xx0)(xx1)f[x2,x1,x0]

+ + (xx0)(xx1) (xxn1)f[xn,xn1, ,x0] (18.15)

que se conoce comopolinomio de interpolacin de Newton en diferencias divididas.Debe observarse que no se requiere que los datos utilizados en la ecuacin (18.15) estnigualmente espaciados o que los valores de la abscisa estn en orden ascendente, comose ilustra en el siguiente ejemplo. Tambin, advierta cmo las ecuaciones (18.12) a (18.14)

son recursivas (es decir, las diferencias de orden superior se calculan tomando diferenciasde orden inferior (figura 18.5). Tal propiedad se aprovechar cuando desarrollemos unprograma computacional eficiente en la seccin 18.1.5 para implementar el mtodo.

EJEMPLO 18.3 Polinomios de interpolacin de Newton en diferencias divididas

Planteamiento del problema. En el ejemplo 18.2, los datosx0= 1,x1= 4 yx2= 6 seutilizaron para estimar ln 2 mediante una parbola. Ahora, agregando un cuarto punto(x3= 5;f(x3) = 1.609438], estime ln 2 con un polinomio de interpolacin de Newton de

tercer grado.

Solucin. Utilizando la ecuacin (18.7), con n= 3, el polinomio de tercer grado es

f3(x) = b0+b1(xx0) + b2(xx0)(xx1) + b3(xx0)(xx1)(xx2)

Las primeras diferencias divididas del problema son [ecuacin (18.12)]

=

=

=

=

[ , ] .

.

[ , ] . .

.

x x

x x

1 0

2 1

1 386294 0

4 00 4620981

1 791759 1 386294

6 40 2027326

i xi f(xi) Primero Segundo Tercero

0 x0 (x0) [x1,x0] [x2,x1,x0] [x3,x2,x1,x0]

1 x1 (x1) [x2, x1] [x3, x2, x1]

2 x2 (x2) [x3, x2]

3 x3 (x3)

FIGURA 18.5Representacin grfica de la naturaleza recursiva de las diferencias divididas finitas.




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510 INTERPOLACIN

=

=[ , ]

. ..x x

3 2

1 609438 1 791759

5 60 1823216

Las segundas diferencias divididas son [ecuacin (18.13)]

=

=

=

=

[ , , ] . . .

[ , , ]. .

.

x x x

x x x

2 1 0

3 2 1

0 2027326 0 46209816 1

0 05187311

0 1823216 0 2027326

5 40 02041100

La tercera diferencia dividida es [ecuacin (18.14) con n= 3]

=

=[ , , , ]

. ( . )

.x x x x3 2 1 00 02041100 0 05187311

5 1 0 007865529

Los resultados def[x1,x0],f[x2, x1, x0] yf[x3,x2,x1,x0]representan los coeficientes b1, b2yb3de la ecuacin (18.7), respectivamente. Junto con b0=f(x0) = 0.0, la ecuacin (18.7) es

f3(x) = 0 + 0.4620981(x 1) 0.05187311(x 1)(x 4)

+ 0.007865529(x 1)(x 4)(x 6)

la cual sirve para evaluarf3(2) = 0.6287686, que representa un error relativo: e

t= 9.3%.

La grfica del polinomio cbico se muestra en la figura 18.6.

f(x)

f(x)= ln x

f3(x)

Valorreal

Estimacincbica

x50

2

0

1

FIGURA 18.6

Uso de la interpolacin cbica para estimar ln 2.



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18.1.4 Errores de la interpolacin polinomial de NewtonObserve que la estructura de la ecuacin (18.15) es similar a la expansin de la serie deTaylor en el sentido de que se van agregando trminos en forma secuencial, para mostrarel comportamiento de orden superior de la funcin. Estos trminos son diferencias di-vididas finitas y, as, representan aproximaciones de las derivadas de orden superior. Enconsecuencia, como ocurri con la serie de Taylor, si la funcin verdadera es un polino-mio de n-simo grado, entonces el polinomio de interpolacin de n-simo grado basadoen n+ 1 puntos dar resultados exactos.

Tambin, como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulacinpara el error de truncamiento. De la ecuacin (4.6) recuerde que el error de truncamien-to en la serie de Taylor se expresa en forma general como

Rn

x xn

n

i i

n=

+

+

++

( ( )( )!

( )1

11

1

(4.6)

donde xest en alguna parte del intervalo dexiaxi+1. Para un polinomio de interpolacinde n-simo grado, una expresin anloga para el error es

R n x x x x x xn

n

n=

+

+( )( )

( )! ( )( ) ( )

1

0 11

(18.16)

donde xest en alguna parte del intervalo que contiene la incgnita y los datos. Para queesta frmula sea til, la funcin en turno debe ser conocida y diferenciable. Por lo comnste no es el caso. Por fortuna, hay una formulacin alternativa que no requiere del co-nocimiento previo de la funcin. Utilizndose una diferencia dividida finita para aproxi-mar la (n+ 1)-sima derivada,

Rn= [x,xn,xn1, . . . ,x0](xx0)(xx1) (xxn) (18.17)

donde [x,xn,xn1,. . . ,x0] es la (n+ 1)-sima diferencia dividida finita. Debido a quela ecuacin (18.17) contiene la incgnitaf(x), no permite obtener el error. Sin embargo,si se tiene un dato ms, f(xn+1), la ecuacin (18.17) puede usarse para estimar el errorcomo sigue:

Rn[xn+1,xn,xn1, . . . ,x0](xx0)(xx1) (xxn) (18.18)

EJEMPLO 18.4 Estimacin del error para el polinomio de Newton

Planteamiento del problema. Con la ecuacin (18.18) estime el error en la interpo-lacin polinomial de segundo grado del ejemplo 18.2. Use el dato adicional f(x3) =f(5)= 1.609438 para obtener sus resultados.

Solucin. Recuerde que en el ejemplo 18.2 el polinomio de interpolacin de segundogrado proporcion una estimacin, f2(2) = 0.5658444, que representa un error de0.6931472 0.5658444 = 0.1273028. Si no se hubiera conocido el valor verdadero, comousualmente sucede, la ecuacin (18.18), junto con el valor adicional enx3, pudo haberse

utilizado para estimar el error,R2= [x3,x2,x1,x0](xx0)(xx1)(xx2)




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512 INTERPOLACIN

oR2= 0.007865529(x 1)(x 4)(x 6)

donde el valor de la diferencia dividida finita de tercer orden es como se calcul antesen el ejemplo 18.3. Esta expresin se evala enx= 2 para obtener

R2= 0.007865529(2 1)(2 4)(2 6) = 0.0629242

que es del mismo orden de magnitud que el error verdadero.

Con el ejemplo anterior y la ecuacin (18.18), debe resultar claro que el error esti-mado para el polinomio de n-simo grado es equivalente a la diferencia entre las pre-dicciones de orden (n+ 1) y de orden n. Es decir,

Rn=fn+1(x) fn(x) (18.19)

En otras palabras, el incremento que se agrega al caso de orden npara crear el caso deorden (n+ 1) [es decir, la ecuacin (18.18)] se interpreta como un estimado del error

de orden n. Esto se percibe con claridad al reordenar la ecuacin (18.19):fn+1(x) =fn(x) +Rn

La validez de tal procedimiento se refuerza por el hecho de que la serie es altamenteconvergente. En tal situacin, la prediccin del orden (n + 1) debera ser mucho mscercana al valor verdadero que la prediccin de orden n. En consecuencia, la ecuacin(18.19) concuerda con nuestra definicin estndar de error, al representar la diferenciaentre la verdad y una aproximacin. No obstante, observe que mientras todos los otroserrores estimados para los procedimientos iterativos presentados hasta ahora se encon-traron como una prediccin presente menos una previa, la ecuacin (18.19) constituyeuna prediccin futura menos una presente. Lo anterior significa que para una serie quees de convergencia rpida, el error estimado de la ecuacin (18.19) podra ser menorque el error verdadero. Esto representara una calidad muy poco atractiva si el errorestimado fuera a emplearse como un criterio de terminacin. Sin embargo, como seexpondr en la siguiente seccin, los polinomios de interpolacin de grado superior sonmuy sensibles a errores en los datos (es decir, estn mal condicionados). Cuando seemplean para interpolacin, a menudo dan predicciones que divergen en forma signifi-cativa del valor verdadero. Si se trata de detectar errores, la ecuacin (18.19) es mssensible a tal divergencia. De esta manera, es ms valiosa con la clase de anlisis dedatos exploratorios para los que el polinomio de Newton es el ms adecuado.

18.1.5 Algoritmo computacional para el polinomiode interpolacin de Newton

Tres propiedades hacen a los polinomios de interpolacin de Newton muy atractivospara aplicaciones en computadora:

1. Como en la ecuacin (18.7), es posible desarrollar de manera secuencial versionesde grado superior con la adicin de un solo trmino a la ecuacin de grado inferior.



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Esto facilita la evaluacin de algunas versiones de diferente grado en el mismoprograma. En especial tal capacidad es valiosa cuando el orden del polinomio no seconoce a priori. Al agregar nuevos trminos en forma secuencial, podemos deter-minar cundo se alcanza un punto de regreso disminuido (es decir, cuando la adicinde trminos de grado superior ya no mejora de manera significativa la estimacin,o en ciertas situaciones incluso la aleja). Las ecuaciones para estimar el error, quese analizan en el punto 3, resultan tiles para visualizar un criterio objetivo paraidentificar este punto de trminos disminuidos.

2. Las diferencias divididas finitas que constituyen los coeficientes del polinomio

[ecuaciones (18.8) hasta (18.11)] se pueden calcular eficientemente. Es decir, comoen la ecuacin (18.14) y la figura 18.5, las diferencias de orden inferior sirven paracalcular las diferencias de orden mayor. Utilizando esta informacin previamentedeterminada, los coeficientes se calculan de manera eficiente. El algoritmo en lafigura 18.7 incluye un esquema as.

3. El error estimado [ecuacin (18.18)] se incorpora con facilidad en un algoritmocomputacional debido a la manera secuencial en la cual se construye la prediccin.

Todas las caractersticas anteriores pueden aprovecharse e incorporarse en un algo-

ritmo general para implementar el polinomio de Newton (figura 18.7). Observe que elalgoritmo consiste de dos partes: la primera determina los coeficientes a partir de laecuacin (18.7); la segunda establece las predicciones y sus errores correspondientes. Lautilidad de dicho algoritmo se demuestra en el siguiente ejemplo.

SUBROUTINE NewtInt (x, y, n, xi, yint, ea)

LOCAL fddn,n

DOFOR i = 0, n

fddi,0= yi

END DO

DOFOR j = 1, n

DOFOR i = 0, n j

fddi,j= (fddi+1,j1 fddi,j1)/(xi+j xi)

END DO END DO

xterm = 1

yint0= fdd0,0

DOFOR order = 1, n

xterm = xterm * (xi xorder1)

yint2 = yintorder1+ fdd0,order* xterm

Eaorder1= yint2 yintorder1

yintorder= yint2

END order END NewtInt

FIGURA 18.7Un algoritmo para el polinomio de interpolacin de Newton escrito en seudocdigo.




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514 INTERPOLACIN

EJEMPLO 18.5 Estimaciones del error para determinar el grado de interpolacin adecuadoPlanteamiento del problema. Despus de incorporar el error [ecuacin (18.18)],utilice el algoritmo computacional que se muestra en la figura 18.7 y la informacinsiguiente para evaluarf(x) = lnxenx= 2:

x (x) = lnx

0 1 4 1.3862944

6 1.7917595 5 1.6094379 3 1.0986123 1.5 0.4054641 2.5 0.9162907 3.5 1.2527630

Solucin. Los resultados de emplear el algoritmo de la figura 18.7 para obtener una

solucin se muestran en la figura 18.8. El error estimado, junto con el error verdadero(basndose en el hecho de que ln 2 = 0.6931472), se ilustran en la figura 18.9. Observeque el error estimado y el error verdadero son similares y que su concordancia mejoraconforme aumenta el grado. A partir de estos resultados se concluye que la versin dequinto grado da una buena estimacin y que los trminos de grado superior no mejoransignificativamente la prediccin.

NUMERO DE PUNTOS? 8

X( 0 ), y( 0 ) = ? 1,0

X( 1 ), y( 1 ) = ? 4,1.3862944

X( 2 ), y( 2 ) = ? 6,1.7917595

X( 3 ), y( 3 ) = ? 5,1.6094379

X( 4 ), y(

4 ) = ? 3,1.0986123

X( 5 ), y( 5 ) = ? 1.5,0.40546411

X( 6 ), y( 6 ) = ? 2.5,0.91629073

X( 7 ), y( 7 ) = ? 3.5,1.2527630

INTERPOLACION EN X = 2

GRADO F(X) ERROR0 0.000000 0.462098

1 0.462098 0.103746

2 0.565844 0.062924

3 0.628769 0.046953

4 0.675722 0.021792

5 0.697514 0.003616

6 0.693898 0.000459

7 0.693439

FIGURA 18.8Resultados de un programa, basado en el algoritmo de la figura 18.7, para evaluar ln 2.



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FIGURA 18.9Errores relativos porcentuales para la prediccin de ln 2 como funcin del orden delpolinomio de interpolacin.

Error

Error verdadero (original)

Error estimado (original)

Error estimado (invertido)

Grado5

0.5

0

0.5

Este ejercicio tambin ilustra la importancia de la posicin y el orden de los puntos.Por ejemplo, hasta la estimacin de tercer grado, la mejora es lenta debido a que los pun-tos que se agregaron (enx= 4, 6 y 5) estn distantes y a un lado del punto de anlisis enx= 2. La estimacin de cuarto grado muestra una mejora un poco mayor, ya que el nuevopunto enx= 3 est ms cerca de la incgnita. Aunque, la disminucin ms dramtica enel error corresponde a la inclusin del trmino de quinto grado usando el dato enx= 1.5.Dicho punto est cerca de la incgnita y tambin se halla al lado opuesto de la mayora delos otros puntos. En consecuencia, el error se reduce a casi un orden de magnitud.

La importancia de la posicin y el orden de los datos tambin se demuestra al usar

los mismos datos para obtener una estimacin para ln 2, pero considerando los puntosen un orden diferente. La figura 18.9 muestra los resultados en el caso de invertir elorden de los datos originales; es decir,x0= 3.5,x1= 2.5,x3= 1.5, y as sucesivamente.Como los puntos iniciales en este caso se hallan ms cercanos y espaciados a amboslados de ln 2, el error disminuye mucho ms rpidamente que en la situacin original.En el trmino de segundo grado, el error se redujo a menos de et= 2%. Se podran em-plear otras combinaciones para obtener diferentes velocidades de convergencia.




14/36

516 INTERPOLACIN

El ejemplo anterior ilustra la importancia de la seleccin de los puntos. Como esintuitivamente lgico, los puntos deberan estar centrados alrededor, y tan cerca comosea posible, de las incgnitas. Esta observacin tambin se sustenta por un anlisis di-recto de la ecuacin para estimar el error [ecuacin (18.17)]. Si suponemos que la dife-rencia dividida finita no vara mucho a travs de los datos, el error es proporcional alproducto: (xx0)(xx1)(xxn). Obviamente, cuanto ms cercanos axestn los pun-tos, menor ser la magnitud de este producto.

18.2 POLINOMIOS DE INTERPOLACIN DE LAGRANGE

Elpolinomio de interpolacin de Lagrange es simplemente una reformulacin del po-linomio de Newton que evita el clculo de las diferencias divididas, y se representa demanera concisa como

=

=

n i ii

n

x L x x( ) ( ) ( )

0

(18.20)

donde

L xx x

x xi

j

nj

i jj i

( )

=

=0

(18.21)

donde designa el producto de. Por ejemplo, la versin lineal (n= 1) es

= + 11

0 10

0

1 01( )

( )

( )x

x x

x xx

x x

x xx (18.22)

y la versin de segundo grado es

= +

+

21 2

0 1 0 20

0 2

1 0 1 21

0 1

2 0 2 12

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

xx x x x

x x x xx

x x x x

x x x xx

x x x x

x x x xx (18.23)

La ecuacin (18.20) se obtiene de manera directa del polinomio de Newton (cuadro18.1). Sin embargo, el razonamiento detrs de la formulacin de Lagrange se compren-de directamente al darse cuenta de que cada trmino Li(x) ser 1 enx=xiy 0 en todoslos otros puntos (figura 18.10). De esta forma, cada productoLi(x)f(xi) toma el valor de

f(xi) en el puntoxi. En consecuencia, la sumatoria de todos los productos en la ecuacin

(18.20) es el nico polinomio de n-simo grado que pasa exactamente a travs de todoslos n+ 1 puntos, que se tienen como datos.



15/36

EJEMPLO 18.6 Polinomios de interpolacin de LagrangePlanteamiento del problema. Con un polinomio de interpolacin de Lagrange deprimero y segundo grado evale ln 2 basndose en los datos del ejemplo 18.2:

x0= 1 f(x0) = 0

x1= 4 f(x1) = 1.386294

x2= 6 f(x2) = 1.791760

Solucin. El polinomio de primer grado [ecuacin (18.22)] se utiliza para obtener laestimacin enx= 2,

=

+

=1 22 4

1 40

2 1

4 11 386294 0 4620981( ) . .

De manera similar, el polinomio de segundo grado se desarrolla as: [ecuacin (18.23)]

=

+

+

=

2 22 4 2 6

1 4 1 60

2 1 2 6

4 1 4 61 386294

2 1 2 4

6 1 6 41 791760 0 5658444

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( ).

( )( )

( )( ). .

Como se esperaba, ambos resultados concuerdan con los que se obtuvieron antes al usarel polinomio de interpolacin de Newton.

Cuadro 18.1 Obtencin del polinomio de Lagrange directamente a partirdel polinomio de interpolacin de Newton

El polinomio de interpolacin de Lagrange se obtiene de mane-ra directa a partir de la formulacin del polinomio de Newton.Haremos esto nicamente en el caso del polinomio de primergrado [ecuacin (18.2)]. Para obtener la forma de Lagrange,reformulamos las diferencias divididas. Por ejemplo, la primeradiferencia dividida,

f x xf x f x

x x[ , ]

( ) ( )

1 01 0

1 0

= (B18.1.1)

se reformula como

= +[ , ]

( )

( )

x x

f x

x x

f x

x x1 01

1 0

0

0 1 (B18.1.2)

conocida como la forma simtrica. Al sustituir la ecuacin(B18.1.2) en la (18.2) se obtiene

f x f xx x

x xf x

x x

x xf x1 0

0

1 01

0

0 10( ) ( ) ( ) ( )= +

+

Por ltimo, al agrupar trminos semejantes y simplificar se ob-tiene la forma del polinomio de Lagrange,

f xx x

x xf x

x x

x xf x1

1

0 10

0

1 01( ) ( ) ( )=

+

18.2 POLINOMIOS DE INTERPOLACIN DE LAGRANGE 517



16/36

518 INTERPOLACIN

FIGURA 18.10Descripcin visual del razonamiento detrs del polinomio de Lagrange. Esta figura muestraun caso de segundo grado. Cada uno de los tres trminos en la ecuacin (18.23) pasa atravs de uno de los puntos que se tienen como datos y es cero en los otros dos. La suma delos tres trminos, por lo tanto, debe ser el nico polinomio de segundo grado f2(x) que pasa

exactamente a travs de los tres puntos.

Sumatoriade los trestrminos = f2(x)

Tercer trmino

Segundo trmino

150

0

100

50

150

100

50

2015 3025

Primer trmino

FIGURA 18.11Seudocdigo para la interpolacin de Lagrange. Este algoritmo se establece para calcularuna sola prediccin de grado n-simo, donde n+ 1 es el nmero de datos.

FUNCTION Lagrng(x, y, n, x)

sum = 0 DOFOR i = 0, n

product = yi DOFOR j = 0, n

IF i j THEN product = product*(x xj)/(xi xj)

ENDIF

END DO

sum = sum + product

END DO

Lagrng = sumEND Lagrng



17/36

Observe que, como en el mtodo de Newton, la forma de Lagrange tiene un errorestimado de [ecuacin (18.17)]

R x x x x x xn n ni

n

i= =

[ , , , , ] ( )1 00

De este modo, si se tiene un punto adicional enx=xn+1,se puede obtener un error esti-mado. Sin embargo, como no se emplean las diferencias divididas finitas como parte delalgoritmo de Lagrange, esto se hace rara vez.

Las ecuaciones (18.20) y (18.21) se programan de manera muy simple para imple-

mentarse en una computadora. La figura 18.11 muestra el seudocdigo que sirve paratal propsito.

En resumen, en los casos donde se desconoce el grado del polinomio, el mtodo deNewton tiene ventajas debido a la comprensin que proporciona respecto al comporta-miento de las frmulas de diferente grado. Adems, el estimado del error representadopor la ecuacin (18.18) se agrega usualmente en el clculo del polinomio de Newtondebido a que el estimado emplea una diferencia finita (ejemplo 18.5). De esta manera,para clculos exploratorios, a menudo se prefiere el mtodo de Newton.

Cuando se va a ejecutar slo una interpolacin, las formulaciones de Lagrange y de

Newton requieren un trabajo computacional semejante. No obstante, la versin de La-grange es un poco ms fcil de programar. Debido a que no requiere del clculo ni delalmacenaje de diferencias divididas, la forma de Lagrange a menudo se utiliza cuandoel grado del polinomio se conoce a priori.

EJEMPLO 18.7 Interpolacin de Lagrange empleando la computadora

Planteamiento del problema. Es posible usar el algoritmo de la figura 18.11 paraestudiar un problema de anlisis de tendencia que se relaciona con nuestro conocido caso

de la cada del paracaidista. Suponga que se tiene un instrumento para medir la velocidaddel paracaidista. Los datos obtenidos en una prueba particular son

Nuestro problema consiste en estimar la velocidad del paracaidista en t= 10 s para tenerlas mediciones faltantes entre t= 7 y t= 13 s. Estamos conscientes de que el comporta-miento de los polinomios de interpolacin tal vez resulte inesperado. Por lo tanto, cons-truiremos polinomios de grados 4, 3, 2 y 1, y compararemos los resultados.

Solucin. El algoritmo de Lagrange se utiliza para construir polinomios de interpo-lacin de cuarto, tercer, segundo y primer grado.

Tiempo, Velocidad medida v, s cm/s

1 800 3 2 310 5 3 090 7 3 940 13 4 755

18.2 POLINOMIOS DE INTERPOLACIN DE LAGRANGE 519



18/36

520 INTERPOLACIN

El polinomio de cuarto grado y los datos de entrada se grafican como se muestraen la figura 18.12a. Es evidente, al observar la grfica, que el valor estimado de yenx= 10 es mayor que la tendencia global de los datos.

Las figuras 18.12ba 18.12dmuestran las grficas de los resultados de los clculoscon las interpolaciones de los polinomios de tercer, segundo y primer grado, respecti-vamente. Se observa que cuanto ms bajo sea el grado, menor ser el valor estimado dela velocidad en t= 10 s. Las grficas de los polinomios de interpolacin indican que lospolinomios de grado superior tienden a sobrepasar la tendencia de los datos, lo cualsugiere que las versiones de primer o segundo grado son las ms adecuadas para esteanlisis de tendencia en particular. No obstante, debe recordarse que debido a que tra-tamos con datos inciertos, la regresin, de hecho, ser la ms adecuada.

El ejemplo anterior ilustr que los polinomios de grado superior tienden a estar malcondicionados; es decir, tienden a ser altamente susceptibles a los errores de redondeo.

El mismo problema se presenta en la regresin con polinomios de grado superior. Laaritmtica de doble precisin ayuda algunas veces a disminuir el problema. Sin embargo,conforme el grado aumente, habr un punto donde el error de redondeo interferir con lahabilidad para interpolar usando los procedimientos simples estudiados hasta ahora.

18.3 COEFICIENTES DE UN POLINOMIO DE INTERPOLACIN

Aunque el polinomio de Newton y el de Lagrange son adecuados para determinar valores

intermedios entre puntos, no ofrecen un polinomio adecuado de la forma convencionalf(x) = a0+ a1x+ a2x2+ + anxn (18.24)

v,cm/s

v,cm/s

00

3 000

6 000

5 10 15

00

3 000

6 000

5 10

t(s)

15

00

3 000

6 000

5 10 15

00

3 000

6 000

5 10

t(s)

15

a) b)

c) d)

FIGURA 18.12Grficas que muestran interpolaciones de a) cuarto grado,b) tercer grado, c) segundogrado y d) primer grado.



19/36

Un mtodo directo para calcular los coeficientes de este polinomio se basa en elhecho de que se requieren n+ 1 puntos para determinar los n+ 1 coeficientes. As, seutiliza un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultneas para calcular las a. Porejemplo, suponga que usted desea calcular los coeficientes de la parbola

f(x) = a0+ a1x+ a2x2 (18.25)

Se requiere de tres puntos: [x0,f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2,f(x2)]. Cada uno se sustituye en laecuacin (18.25):

f(x0) = a

0+ a

1x

0+ a

2x2

0

f(x1) = a0+ a1x1+ a2x21 (18.26)

f(x2) = a0+ a1x2+ a2x22

De esta manera, las xson los puntos conocidos, y las a las incgnitas. Como hay elmismo nmero de ecuaciones que de incgnitas, la ecuacin (18.26) se podra resolvercon uno de los mtodos de eliminacin de la parte tres.

Debe observarse que el procedimiento anterior no es el mtodo de interpolacinms eficiente para determinar los coeficientes de un polinomio. Press et al. (1992) ofre-cen un anlisis y cdigos para computadora de los procedimientos ms eficientes.Cualquiera que sea la tcnica empleada, se debe hacer una advertencia. Sistemas comolos de la ecuacin (18.26) estn notoriamente mal condicionados. Ya sea que se resuelvancon un mtodo de eliminacin o con un algoritmo ms eficiente, los coeficientes resul-tantes pueden ser bastante inexactos, en particular para ngrandes. Si se usan para unainterpolacin subsecuente, a menudo dan resultados errneos.

En resumen, si usted se interesa en determinar un punto intermedio, emplee la in-terpolacin de Newton o de Lagrange. Si tiene que determinar una ecuacin de la formade la (18.24), limtese a polinomios de grado menor y verifique cuidadosamente susresultados.

18.4 INTERPOLACIN INVERSA

Como la nomenclatura implica, los valores def(x) yxen la mayora de los problemas deinterpolacin son las variables dependiente e independiente, respectivamente. En con-secuencia, los valores de las x con frecuencia estn espaciados uniformemente. Unejemplo simple es una tabla de valores obtenida para la funcinf(x) = 1/x,

Ahora suponga que usted debe usar los mismos datos, pero que se le ha dado unvalor def(x) y debe determinar el valor correspondiente dex. Por ejemplo, para los datosanteriores, suponga que se le pide determinar el valor dexque corresponda af(x) = 0.3.En tal caso, como se tiene la funcin y es fcil de manipular, la respuesta correcta sedetermina directamente,x= 1/0.3 = 3.3333.

A ese problema se le conoce como interpolacin inversa. En un caso ms compli-cado, usted puede sentirse tentado a intercambiar los valores f(x) yx [es decir, tan slo

x 1 2 3 4 5 6 7

(x) 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0 .1429

18.4 INTERPOLACIN INVERSA 521



20/36

522 INTERPOLACIN

graficarxcontraf(x)] y usar un procedimiento como la interpolacin de Lagrange paradeterminar el resultado. Por desgracia, cuando usted invierte las variables no hay garan-ta de que los valores junto con la nueva abscisa [lasf(x)] estn espaciados de una ma-nera uniforme. Es ms, en muchos casos, los valores estarn condensados. Es decir,tendrn la apariencia de una escala logartmica, con algunos puntos adyacentes muyamontonados y otros muy dispersos. Por ejemplo, paraf(x) = 1/x el resultado es

Tal espaciamiento no uniforme en las abscisas a menudo lleva a oscilaciones en elresultado del polinomio de interpolacin. Esto puede ocurrir aun para polinomios degrado inferior.

Una estrategia alterna es ajustar un polinomio de interpolacin de orden n-simo,fn(x), a los datos originales [es decir, conf(x) contrax]. En la mayora de los casos, comolasxestn espaciadas de manera uniforme, este polinomio no estar mal condicionado.La respuesta a su problema, entonces, consiste en encontrar el valor dexque haga estepolinomio igual al dado porf(x). As, el problema de interpolacin se reduce a un pro-

blema de races!Por ejemplo, para el problema antes descrito, un procedimiento simple sera ajustar

los tres puntos a un polinomio cuadrtico: (2, 0.5), (3, 0.3333) y (4, 0.25), cuyo resulta-do ser

f2(x) = 1.08333 0.375x+ 0.041667x2

La respuesta al problema de interpolacin inversa para determinar laxcorrespondienteaf(x) = 0.3 ser equivalente a la determinacin de las races de

0.3 = 1.08333 0.375x+ 0.041667x2

En este caso simple, la frmula cuadrtica se utiliza para calcular

x=

=0 375 0 375 4 0 041667 0 78333

2 0 041667

5 704158

3 295842

2. ( . ) ( . ) .

( . )

.

.

As, la segunda raz, 3.296, es una buena aproximacin al valor verdadero: 3.333. Si sedesea una exactitud adicional, entonces podra emplear un polinomio de tercer o cuar-

to grado junto con uno de los mtodos para la localizacin de races analizado en laparte dos.

18.5 COMENTARIOS ADICIONALES

Antes de proceder con la siguiente seccin, se deben mencionar dos temas adicionales:la interpolacin y extrapolacin con datos igualmente espaciados.

Como ambos polinomios, el de Newton y el de Lagrange, son compatibles con

datos espaciados en forma arbitraria, usted se preguntar por qu nos ocupamos del casoespecial de datos igualmente espaciados (cuadro 18.2). Antes de la llegada de las

f(x) 0.1429 0.1667 0.2 0.25 0.3333 0.5 1

x 7 6 5 4 3 2 1



21/36

computadoras digitales, dichas tcnicas tenan gran utilidad para interpolacin a partirde tablas con datos igualmente espaciados. De hecho, se desarroll una estructura compu-tacional, conocida como tabla de diferencias divididas, para facilitar la implementacinde dichas tcnicas. (La figura 18.5 es un ejemplo de esa tabla.)

Sin embargo, como las frmulas dadas son subconjuntos de los esquemas de Newtony Lagrange compatibles con una computadora y debido a las muchas funciones tabularesexistentes, como subrutinas de bibliotecas, ha disminuido la necesidad de tener versionespara datos igualmente espaciados. A pesar de ello, las hemos incluido en este tema porsu relevancia en las ltimas partes de este libro. En especial, son necesarias para obtener

frmulas de integracin numrica que por lo comn utilizan datos igualmente espaciados(captulo 21). Como las frmulas de integracin numrica son importantes en la solucinde ecuaciones diferenciales ordinarias, el anlisis del cuadro 18.2 adquiere tambinsignificado para la parte siete.

Extrapolacin es el proceso de estimar un valor de f(x) que se encuentra fuera deldominio de los valores conocidos, x0,x1,...,xn(figura 18.13). En una seccin anterior,mencionamos que la interpolacin ms exacta se obtiene cuando las incgnitas estncerca de los puntos. En efecto, ste no es el caso cuando la incgnita se encuentra fueradel intervalo y, en consecuencia, el error en la extrapolacin puede ser muy grande. Como

se ilustra en la figura 18.13, la naturaleza de la extrapolacin de extremos abiertos re-presenta un paso a lo desconocido, ya que el proceso extiende la curva ms all de laregin conocida. Como tal, la curva real podr fcilmente diverger de la prediccin.Por lo tanto, se debe tener mucho cuidado cuando aparezca un problema donde se debaextrapolar.

f(x)

x

Curvareal

Extrapolacindel polinomiode interpolacin

Interpolacin Extrapolacin

x2x1x0

FIGURA 18.13Ilustracin de la posible divergencia de una prediccin extrapolada. La extrapolacin sebasa en ajustar una parbola con los primeros tres puntos conocidos.

18.5 COMENTARIOS ADICIONALES 523



22/36

524 INTERPOLACIN

Cuadro 18.2 Interpolacin con datos igualmente espaciadosSi los datos estn igualmente espaciados y en orden ascendente,entonces la variable independiente tiene los valores de

x1=x0+ hx2=x0+ 2h

xn=x0+ nh

donde hes el intervalo, o tamao de paso, entre los datos. Ba-sndose en esto, las diferencias divididas finitas se pueden ex-presar en forma concisa. Por ejemplo, la segunda diferenciadividida hacia adelante es

=

[ , , ]

( ) ( )

( ) ( )

x x x

x x

x x

x x

x x

x x0 1 2

2 1

2 1

1 0

1 0

2 0

que se expresa como

= +

[ , , ]( ) ( ) ( )

x x xx x x

h0 1 2

2 1 02

2

2 (C18.2.1)

ya quex1x0=x2 x1= (x2x0)/2 = h. Ahora recuerde que lasegunda diferencia hacia adelante es igual a [numerador dela ecuacin (4.24)]

2f(x0) =f(x2) 2f(x1) +f(x0)

Por lo tanto, la ecuacin (B18.2.1) se representa como

=

[ , , ]( )

!x x x

x

h0 1 2

20

22

o, en general

=

[ , , , ]( )

!x x x

x

n hn

n

n0 10

(C18.2.2)

Usando la ecuacin (C18.2.2), en el caso de datos igualmenteespaciados, expresamos el polinomio de interpolacin de Newton[ecuacin (18.15)] como

= +

+

+ +

+

n

n

n

n

x xx

hx x

x

hx x x x h

x

n hx x x x h

x x n h R

( ) ( )( )

( )

( )

!( )( )

( )

!( )( )

[ ( ) ]

00

0

20

2 0 0

00 0

0

2

1

(C18.2.3)

donde el residuo es el mismo que en la ecuacin (18.16). Estaecuacin se conoce comofrmulade Newton o lafrmula haciaadelante de Newton-Gregory, que se puede simplificar ms aldefinir una nueva cantidad, a:

= x x

h

0

Esta definicin se utiliza para desarrollar las siguientes expre-

siones simplificadas de los trminos en la ecuacin (C18.2.3):

xx0= ahxx0 h= ah h= h(a 1)

xx0 (n 1)h= ah (n 1)h= h(a n+ 1)

que se sustituye en la ecuacin (C18.2.3) para tener

= + +

+ +

+ +

n

n

n

x x xx

x

nn R

( ) ( ) ( )( )

!( )

( )

!( ) ( )

0 0

20

0

21

1 1

(C18.2.4)

donde

R n h nn

n

n

=

+

++

( )( )

( )! ( )( ) ( )

11

1 1 2

En el captulo 21 esta notacin concisa tendr utilidad en la de-duccin y anlisis del error de las frmulas de integracin.

Adems de la frmula hacia adelante, tambin existen lasfrmulas hacia atrs y central de Newton-Gregory. Para msinformacin respecto de la interpolacin para datos igualmenteespaciados vase Carnahan, Luther y Wilkes (1969).



23/36

18.6 INTERPOLACIN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES)En la seccin anterior, se usaron polinomios de n-simo grado para interpolar entre n+ 1puntos que se tenan como datos. Por ejemplo, para ocho puntos se puede obtener unperfecto polinomio de sptimo grado. Esta curva podra agrupar todas las curvas (almenos hasta, e incluso, la sptima derivada) sugeridas por los puntos. No obstante, haycasos donde estas funciones llevaran a resultados errneos a causa de los errores deredondeo y los puntos lejanos. Un procedimiento alternativo consiste en colocar polino-mios de grado inferior en subconjuntos de los datos. Tales polinomios conectores se

denominantrazadoreso splines.Por ejemplo, las curvas de tercer grado empleadas para unir cada par de datosse llaman trazadores cbicos. Esas funciones se pueden construir de tal forma que lasconexiones entre ecuaciones cbicas adyacentes resulten visualmente suaves. Podraparecer que la aproximacin de tercer grado de los trazadores sera inferior a la ex-presin de sptimo grado. Usted se preguntara por qu un trazador an resulta prefe-rible.

La figura 18.14 ilustra una situacin donde un trazador se comporta mejor que unpolinomio de grado superior. ste es el caso donde una funcin en general es suave, pero

presenta un cambio abrupto en algn lugar de la regin de inters. El tamao de pasorepresentado en la figura 18.14 es un ejemplo extremo de tal cambio y sirve para ilustraresta idea.

La figura 18.14aa c ilustra cmo un polinomio de grado superior tiende a formaruna curva de oscilaciones bruscas en la vecindad de un cambio sbito. En contraste, eltrazador tambin une los puntos; pero como est limitado a cambios de tercer grado, lasoscilaciones son mnimas. De esta manera, el trazador usualmente proporciona unamejor aproximacin al comportamiento de las funciones que tienen cambios locales yabruptos.

El concepto de trazador se origin en la tcnica de dibujo que usa una cinta delgaday flexible (llamada spline, en ingls), para dibujar curvas suaves a travs de un conjun-to de puntos. El proceso se representa en la figura 18.15 para una serie de cinco alfileres(datos). En esta tcnica, el dibujante coloca un papel sobre una mesa de madera y colo-ca alfileres o clavos en el papel (y la mesa) en la ubicacin de los datos. Una curva c-bica suave resulta al entrelazar la cinta entre los alfileres. De aqu que se haya adoptadoel nombre de trazador cbico (en ingls: cubic spline) para los polinomios de estetipo.

En esta seccin, se usarn primero funciones lineales simples para presentar algu-

nos conceptos y problemas bsicos relacionados con la interpolacin mediante splines.A continuacin obtendremos un algoritmo para el ajuste de trazadores cuadrticos a losdatos. Por ltimo, presentamos material sobre el trazador cbico, que es la versin mscomn y til en la prctica de la ingeniera.

18.6.1 Trazadores lineales

La unin ms simple entre dos puntos es una lnea recta. Los trazadores de primer gra-

do para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto de funcioneslineales,

18.6 INTERPOLACIN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES) 525



24/36

526 INTERPOLACIN

f(x) =f(x0) + m0(xx0) x0


25/36

donde mies la pendiente de la lnea recta que une los puntos:

mx x

x x

ii i

i i

= +

+

( ) ( )

1

1

(18.27)

Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la funcin en cualquier punto entrex0yxnlocalizando primero el intervalo dentro del cual est el punto. Despus se usa laecuacin adecuada para determinar el valor de la funcin dentro del intervalo. El mto-do es obviamente idntico al de la interpolacin lineal.

EJEMPLO 18.8 Trazadores de primer grado

Planteamiento del problema. Ajuste los datos de la tabla 18.1 con trazadores deprimer grado. Evale la funcin enx= 5.

Solucin. Se utilizan los datos para determinar las pendientes entre los puntos. Porejemplo, en el intervalo dex= 4.5 ax = 7 la pendiente se calcula con la ecuacin (18.27):

m=

=2 5 1

7 4 50 60

.

..

Se calculan las pendientes en los otros intervalos y los trazadores de primer grado ob-tenidos se grafican en la figura 18.16a. El valor enx= 5 es 1.3.

FIGURA 18. 15La tcnica de dibujo que usa una cinta delgada y fl exible para dibujar curvas suavesa travs de una serie de puntos. Observe cmo en los puntos extremos, el trazadortiende a volverse recto. Esto se conoce como un trazador natural.




26/36

528 INTERPOLACIN

TABLA 18.1Datos para ajustarsecon trazadores.

x f(x)

3.0 2.54.5 1.07.0 2.59.0 0.5

Una inspeccin visual a la figura 18.16aindica que la principal desventaja de lostrazadores de primer grado es que no son suaves. En esencia, en los puntos donde seencuentran dos trazadores (llamado nodo), la pendiente cambia de forma abrupta. For-malmente, la primer derivada de la funcin es discontinua en esos puntos. Esta deficien-cia se resuelve usando trazadores polinomiales de grado superior, que aseguren suavidaden los nodos al igualar las derivadas en esos puntos, como se analiza en la siguiente

seccin.

18.6.2 Trazadores (splines) cuadrticos

Para asegurar que las derivadas m-simas sean continuas en los nodos, se debe emplearun trazador de un grado de, al menos, m+ 1. En la prctica se usan con ms frecuenciapolinomios de tercer grado o trazadores cbicos que aseguran primera y segunda deri-vadas continuas. Aunque las derivadas de tercer orden y mayores podran ser discontinuas

cuando se usan trazadores cbicos, por lo comn no pueden detectarse en forma visualy, en consecuencia, se ignoran.Debido a que la deduccin de trazadores cbicos es algo complicada, la hemos in-

cluido en una seccin subsecuente. Decidimos ilustrar primero el concepto de interpo-lacin mediante trazadores usando polinomios de segundo grado. Esos trazadorescuadrticos tienen primeras derivadas continuas en los nodos. Aunque los trazadores cua-drticos no aseguran segundas derivadas iguales en los nodos, sirven muy bien para de-mostrar el procedimiento general en el desarrollo de trazadores de grado superior.

El objetivo de los trazadores cuadrticos es obtener un polinomio de segundo grado

para cada intervalo entre los datos. De manera general, el polinomio en cada intervalose representa como

fi(x) = aix2+ bix+ ci (18.28)

La figura 18.17 servir para aclarar la notacin. Para n+ 1 datos (i= 0, 1, 2,..., n) existennintervalos y, en consecuencia, 3nconstantes desconocidas (las a,b y c) por evaluar. Porlo tanto, se requieren 3necuaciones o condiciones para evaluar las incgnitas. stas son:

1. Los valores de la funcin de polinomios adyacentes deben ser iguales en los nodosinteriores. Esta condicin se representa como



27/36

ai1x2i1+ bi1xi1+ ci1=f(xi1) (18.29)

aix2i1+ bixi1+ ci=f(xi1) (18.30)

para i= 2 a n. Como slo se emplean nodos interiores, las ecuaciones (18.29) y(18.30) proporcionan, cada una, n 1 condiciones; en total, 2n 2 condiciones.

2. La primera y la ltima funcin deben pasar a travs de los puntos extremos. Estoagrega dos ecuaciones ms:

a1x20+ b1x0+ c1=f(x0) (18.31)

an

x2n

+ bn

xn

+ cn

=f(xn

) (18.32)

en total tenemos 2n 2 + 2 = 2ncondiciones.

f(x)

x102 4 6

a)

80

2

f(x)

x

b)

0

2

f(x)

x

c)

0

Interpolacincbica

Trazador deprimer orden

Trazador desegundo orden

Trazadorcbico

2

FIGURA 18.16Ajuste mediante trazadores de un conjunto de cuatro puntos. a) Trazador lineal,b) Trazador cuadrtico y c) trazador cbico; se grafica tambin un polinomiode interpolacin cbico.




28/36

530 INTERPOLACIN

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales. La primera deri-vada de la ecuacin 18.28 es

(x) = 2ax+ b

Por lo tanto, de manera general la condicin se representa como

2ai1xi1+ bi1= 2aixi1+ bi (18.33)

para i= 2 a n. Esto proporciona otras n 1 condiciones, llegando a un total de 2n+n 1 = 3n 1. Como se tienen 3nincgnitas, nos falta una condicin ms. A menosque tengamos alguna informacin adicional respecto de las funciones o sus deriva-das, tenemos que realizar una eleccin arbitraria para calcular las constantes. Aunquehay varias opciones, elegimos la siguiente:

4. Suponga que en el primer punto la segunda derivada es cero . Como la segundaderivada de la ecuacin 18.28 es 2ai, entonces esta condicin se puede expresar

matemticamente comoa1= 0 (18.34)

La interpretacin visual de esta condicin es que los dos primeros puntos se unirncon una lnea recta.

EJEMPLO 18.9 Trazadores cuadrticos

Planteamiento del problema. Ajuste trazadores cuadrticos a los mismos datos que

se utilizaron en el ejemplo 18.8 (tabla 18.1). Con los resultados estime el valor enx= 5.

FIGURA 18.17Notacin utilizada para obtener trazadores cuadrticos. Observe que hay nintervalos

y n+ 1 datos. El ejemplo mostrado es para n= 3.

f(x)

f(x1)

f(x2)

f(x3)

f(x0)

xx0

a1x2 + b1x+ c1

a2x2 + b2x+ c2

a3x2 + b3x+ c3

x1 x2 x3

i = 0 i = 1 i = 2 i = 3

Intervalo 1 Intervalo 2 Intervalo 3



29/36

Solucin. En este problema, se tienen cuatro datos y n= 3 intervalos. Por lo tanto,3(3) = 9 incgnitas que deben determinarse. Las ecuaciones (18.29) y (18.30) dan 2(3) 2 = 4 condiciones:

20.25a1+ 4.5b1+ c1= 1.0

20.25a2+ 4.5b2+ c2= 1.0

49a2+ 7b2+ c2= 2.5

49a3+ 7b3+ c3= 2.5

Evaluando a la primera y la ltima funcin con los valores inicial y final, se agregan 2ecuaciones ms [ecuacin (10.31)]:

9a1+ 3b1+ c1= 2.5

y [ecuacin (18.32)]

81a3+ 9b3+ c3= 0.5

La continuidad de las derivadas crea adicionalmente de 3 1 = 2 condiciones [ecuacin

(18.33)]:

9a1 + b1= 9a2 + b2

14a2+ b2 = 14a3+ b3

Por ltimo, la ecuacin (18.34) determina que a1= 0. Como esta ecuacin especifica a1de manera exacta, el problema se reduce a la solucin de ocho ecuaciones simultneas.Estas condiciones se expresan en forma matricial como

4 5 1 0 0 0 0 0 00 0 20 25 4 5 1 0 0 0

0 0 49 7 1 0 0 0

0 0 0 0 0 49 7 1

3 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 81 9 1

1 0 9 1 0 0 0 0

0 0 14 1 0 14 1 0

1

1

2

2

2

3

3

3

.. .

bc

a

b

c

a

b

c

=

11

2 5

2 5

2 5

0 5

0

0

.

.

.

.

Estas ecuaciones se pueden resolver utilizando las tcnicas de la parte tres, con los re-sultados:

a1= 0 b1= 1 c1= 5.5

a2= 0.64 b2= 6.76 c2= 18.46

a3= 1.6 b3= 24.6 c3= 91.3

que se sustituyen en las ecuaciones cuadrticas originales para obtener la siguiente re-lacin para cada intervalo:




30/36

532 INTERPOLACIN

f1(x) = x+ 5.5 3.0


31/36

Cuadro 18.3 Obtencin de trazadores cbicos

El primer paso en la obtencin (Cheney y Kincaid, 1985) seconsidera la observacin de cmo cada par de nodos est unidapor una cbica; la segunda derivada dentro de cada intervalo esuna lnea recta. La ecuacin (18.35) se puede derivar dos vecespara verificar esta observacin. Con esta base, la segunda deri-vada se representa mediante un polinomio de interpolacin deLagrange de primer grado [ecuacin (18.22)]:

= +

i i ii

i i

i ii

i i

x x x x

x xx

x x

x x( ) ( )

( )

1

1

1

1 (C18.3.1)

donde fi(x) es el valor de la segunda derivada en cualquierpuntoxdentro del i-simo intervalo. As, esta ecuacin es unalnea recta, que une la segunda derivada en el primer nodo(xi1)con la segunda derivada en el segundo nodo (xi).

Despus, la ecuacin (C18.3.1) se integra dos veces paraobtener una expresin para fi(x). Sin embargo, esta expresincontendr dos constantes de integracin desconocidas. Dichas

constantes se evalan tomando las condiciones de igualdad delas funciones [f(x) debe ser igual a f(xi1) enxi1yf(x)debe serigual af(xi) enxi)]. Al realizar estas evaluaciones, se tiene la si-guiente ecuacin cbica:

=

+

+

+

i

i i

i i

i

i

i i

i

i

i i

i i i

i

i

i i

xx

x xx x

x

x xx x

x

x x

x x xx x

x

x x

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( )

1

1

3

11

3

1

1

1 1

6 6

6

1

116

( )( )( )

x x xx xi i i

i

(C18.3.2)

Ahora, es claro que esta relacin es una expresin mucho mscompleja para un trazador cbico para el i-simo intervalo que,

digamos, la ecuacin (18.35). Sin embargo, observe que contie-ne slo dos coeficientes desconocidos; es decir, las segundasderivadas al inicio y al final del intervalo: (xi1) y (xi).Deesta forma, si podemos determinar la segunda derivada en cadanodo, la ecuacin (C18.3.2) es un polinomio de tercer grado quese utiliza para interpolar dentro del intervalo.

Las segundas derivadas se evalan tomando la condicin deque las primeras derivadas deben ser continuas en los nodos:

fi1(xi) =fi(xi) (C18.3.3)

La ecuacin (C18.3.2) se deriva para ofrecer una expresinde la primera derivada. Si se hace esto tanto para el (i 1)-simo,como para i-simo intervalos, y los dos resultados se igualan deacuerdo con la ecuacin (B18.3.3), se llega a la siguiente rela-cin:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

x x x x x x

x x x

x xx x

x xx x

i i i i i i

i i i

i i

i i

i i

i i

+

+

=

+

+

+ +

++

1 1 1 1

1 1

11

11

2

6

6 (C18.3.4)

Si la ecuacin (C18.3.4) se escribe para todos los nodos interio-res, se obtienen n 1 ecuaciones simultneas con n+ 1 segundas

derivadas desconocidas. Sin embargo, como sta es un trazadorcbico natural, las segundas derivadas en los nodos extremos soncero y el problema se reduce a n 1 ecuaciones con n 1 incg-nitas. Adems, observe que el sistema de ecuaciones ser tridia-gonal. As, no slo se redujo el nmero de ecuaciones, sino quelas organizamos en una forma extremadamente fcil de resolver(recuerde la seccin 11.1.1).

La deduccin del cuadro 18.3 da como resultado la siguiente ecuacin cbica encada intervalo:

=

+

+

+

ii i

i i

ii i

i i

i

i

i i

i i ii

i

i

xx

x xx x

x

x xx x

x

x x

x x xx x

x

x x

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( )

1

1

3

11

3

1

1

1 1

6 6

6

ii

i i i i

x x xx x

11 16

( )( )( )

(18.36)




32/36

534 INTERPOLACIN

Esta ecuacin contiene slo dos incgnitas (las segundas derivadas en los extremos de

cada intervalo). Las incgnitas se evalan empleando la siguiente ecuacin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

x x x x x x x x x

x xx x

x xx x

i i i i i i i i i

i i

i i

i i

i i

+ +

=

+

+ + +

++

1 1 1 1 1 1

11

11

2

6 6 (18.37)

Si se escribe esta ecuacin para todos los nodos interiores, resultan n 1 ecuacionessimultneas con n 1 incgnitas. (Recuerde que las segundas derivadas en los nodos

extremos son cero.) La aplicacin de estas ecuaciones se ilustra con el siguienteejemplo.

EJEMPLO 18.10 Trazadores cbicos

Planteamiento del problema. Ajuste trazadores cbicos a los mismos datos que seusaron en los ejemplos 18.8 y 18.9 (tabla 18.1). Utilice los resultados para estimar elvalor enx= 5.

Solucin. El primer paso consiste en usar la ecuacin (18.37) para generar el conjuntode ecuaciones simultneas que se utilizarn para determinar las segundas derivadas enlos nodos. Por ejemplo, para el primer nodo interior se emplean los siguientes datos:

x0= 3 f(x0) = 2.5

x1= 4.5 f(x1) = 1

x2= 7 f(x2) = 2.5

Estos valores se sustituyen en la ecuacin (18.37):

( . ) ( ) ( ) ( . ) ( . ) ( )

.( . )

.( . )

4 5 3 3 2 7 3 4 5 7 4 5 7

6

7 4 52 5 1

6

4 5 32 5 1

+ +

=

+

Debido a la condicin de trazador natural, (3) = 0, y la ecuacin se reduce a

8(4.5) + 2.5(7) = 9.6

En una forma similar, la ecuacin (18.37) se aplica al segundo punto interior con el si-

guiente resultado:

2.5f(4.5) + 9f(7) = 9.6

Estas dos ecuaciones se resuelven simultneamente:

f(4.5) = 1.67909

f(7) = 1.53308

Estos valores se sustituyen despus en la ecuacin (18.36), junto con los valores delasxy lasf(x), para dar



33/36

= +

+

1

31 67909

6 4 5 3 3

2 5

4 5 3 4 5

1

4 5 3

1 67909 4 5 3

63

( )

.

( . ) ( )

.

. ( . )

.

. ( . )( )

x x x

x

o

f1(x) = 0.186566(x 3)3+ 1.666667(4.5 x) + 0.246894(x 3)

Esta ecuacin es el trazador cbico para el primer intervalo. Se realizan sustituciones

similares para tener las ecuaciones para el segundo y tercer intervalo:

f2(x) = 0.111939(7 x)3 0.102205(x 4.5)3 0.299621(7 x)

+ 1.638783(x 4.5)

y

f3(x) = 0.127757(9 x)3+ 1.761027(9 x) + 0.25(x 7)

Las tres ecuaciones se pueden utilizar para calcular los valores dentro de cada intervalo.Por ejemplo, el valor enx= 5, que est dentro del segundo intervalo, se calcula comosigue

f2(5) = 0.111939(7 5)3 0.102205(5 4.5)3 0.299621(7 5)

+ 1.638783(5 4.5) = 1.102886

Se calculan otros valores y los resultados se grafican en la figura 18.16c.

Los resultados de los ejemplos 18.8 a 18.10 se resumen en la figura 18.16. Observecmo mejora progresivamente el ajuste conforme pasamos de trazadores lineales, acuadrticos y cbicos. Tambin hemos sobrepuesto un polinomio de interpolacin cbi-ca en la figura 18.16c. Aunque el trazador cbico consiste de una serie de curvas detercer grado, el ajuste resultante difiere del obtenido al usar un polinomio de tercergrado. Esto se debe al hecho de que el trazador natural requiere segundas derivadasiguales a cero en los nodos extremos; mientras que el polinomio cbico no tiene talrestriccin.

18.6.4 Algoritmo computacional para trazadores cbicos

El mtodo para calcular trazadores cbicos, descrito en la seccin anterior, es ideal paraimplementarse en una computadora. Recuerde que, con algunas manipulaciones inteli-gentes, el mtodo se reduce a la solucin de n 1 ecuaciones simultneas. Un beneficioms de la derivacin es que, como lo especifica la ecuacin (18.37), el sistema de ecua-ciones es tridiagonal. Como se describi en la seccin 11.1, existen algoritmos para re-

solver tales sistemas de una manera extremadamente eficiente. La figura 18.18 muestrauna estructura computacional que incorpora esas caractersticas.




34/36

536 INTERPOLACIN

Observe que la subrutina de la figura 18.18 da slo un valor interpolado, yu, para

un valor dado de la variable dependiente,xu. sta es slo una forma en la cual se puedeimplementar la interpolacin mediante trazadores. Por ejemplo, a usted desear deter-minar los coeficientes una sola vez y, despus, realizar muchas interpolaciones. Adems,la rutina da tanto la primera (dy) como la segunda derivadas (dy2) enxu. Aunque no esnecesario calcular esas cantidades, son tiles en muchas aplicaciones de la interpolacinmediante trazadores.

SUBROUTINE Spline (x,y,n,xu,yu,dy,d2y) SUBROUTINE Interpol (x,y,n,d2x,xu,yu,dy,d2y)

LOCAL en, fn, gn, rn, d2xn fl ag = 0

CALL Tridiag(x,y,n,e,f,g,r) i = 1

CALL Decomp(e,f,g,n1) DOFOR

CALL Subst(e,f,g,r,n1,d2x) IF xu xi1AND xu xiTHENCALL Interpol(x,y,n,d2x,xu,yu,dy,d2y) c1 = d2xi1/6/(xi xi1)

END Spline c2 = d2xi/6/(xi xi1)

c3 = (yi1/(xi xi1) d2xi1* (xixi1)/6

SUBROUTINE Tridiag (x,y,n,e,f,g,r) c4 = (yi/(xi xi1) d2xi* (xixi1)/6

f1 2 * (x2x0) t1 = c1 * (xi xu)3

g1 (x2x1) t2 = c2 * (xu xi1)3

r1 6/(x2x1) * (y2y1) t3 = c3 * (xi xu)

r1 r1+6/(x1x0) * (y0y1) t4 = c4 * (xu xi1)

DOFOR i 2, n2 yu = t1 + t2 + t3 + t4

ei (xixi1) t1 = 3 * c1 * (xi xu)2

fi 2 * (xi+1 xi1) t2 = 3 * c2 * (xu xi1)2

gi (xi+1 xi) t3 = c3

ri 6/(xi+1 xi) * (yi+1 yi) t4 = c4

ri ri+6/(xi xi1) * (yi1 yi) dy = t1 + t2 + t3 + t4

END DO t1 = 6 * c1 * (xi xu)

en1= (xn1 xn2) t2 = 6 * c2 * (xu xi1)

fn1= 2 * (xn xn2) d2y = t1 + t2

rn1= 6/(x

n x

n1) * (y

n y

n1) fl ag = 1

rn1= rn1 + 6/(xn1 xn2) * (yn2 yn1) ELSE

END Tridiag i = i + 1

END IF

IF i = n + 1 OR fl ag = 1 EXIT

END DO

IF fl ag = 0 THEN

PRINT outside range

pause

END IF END Interpol

FIGURA 18.18Algoritmo para la interpolacin mediante trazadores cbicos.



35/36

PROBLEMAS 537

PROBLEMAS

18.1Estime Estime el logaritmo natural de 10 por medio deinterpolacin lineal.

a) Interpole entre log 8 = 0.9030900 y log 12 = 1.0791812.b) Interpole entre log 9 = 0.9542425 y log 11 = 1.0413927.

Para cada una de las interpolaciones calcule el error relativoporcentual con base en el valor verdadero.

18.2 Ajuste un polinomio de interpolacin de Newton de segun-do orden para estimar el log 10, con los datos del problema 18.1

enx= 8, 9 y 11. Calcule el error relativo porcentual verdadero.18.3 Ajuste un polinomio de interpolacin de Newton de tercerorden para estimar log 10 con los datos del problema 18.1.18.4 Dados los datos

x 1.6 2 2.5 3.2 4 4.5

f(x) 2 8 14 15 8 2

a) Calculef(2.8) con el uso de polinomios de interpolacin de

Newton de rdenes 1 a 3. Elija la secuencia de puntos msapropiada para alcanzar la mayor exactitud posible para susestimaciones.

b) Utilice la ecuacin (18.18) para estimar el error de cadaprediccin.

18.5 Dados los datos

x 1 2 3 5 7 8

f(x) 3 6 19 99 291 444

Calculef(4) con el uso de polinomios de interpolacin de Newtonde rdenes 1 a 4. Elija los puntos base para obtener una buenaexactitud. Qu indican los resultados en relacin con el ordendel polinomio que se emplea para generar los datos de la tabla?18.6 Repita los problemas 18.1 a 18.3, con el empleo del poli-nomio de Lagrange.18.7 Vuelva a hacer el problema 18.5 con el uso de polinomiosde Lagrange de rdenes 1 a 3.18.8 Emplee interpolacin inversa con el uso de un polinomio de

interpolacin cbico y de biseccin, para determinar el valor dexque corresponde af(x) = 0.23, para los datos tabulados que siguen:

x 2 3 4 5 6 7

f(x) 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 1.1429

18.9 Utilice interpolacin inversa para determinar el valor dexquecorresponde af(x) = 0.85, para los datos tabulados siguientes:

x 0 1 2 3 4 5

f(x) 0 0.5 0.8 0.9 0.941176 0.961538

Observe que los valores de la tabla se generaron con la funcinf(x) =x2/(1 +x2).a) Determine en forma analtica el valor correcto.b) Use interpolacin cbica dexversusy.c) Utilice interpolacin inversa con interpolacin cuadrtica

y la frmula cuadrtica.d) Emplee interpolacin inversa con interpolacin cbica y

biseccin. Para los incisos b) a d) calcule el error relativoporcentual verdadero.

18.10 Desarrolle trazadores cuadrticos para los cinco primerosdatos del problema 18.4, y pronostiquef(3.4) yf(2.2).18.11 Obtenga trazadores cbicos para los datos del problema18.5, y a) pronostique f(4) y f(2.5), y b) verifique que f2(3) yf3(3) = 19.18.12 Determine los coeficientes de la parbola que pasa por losltimos tres puntos del problema 18.4.18.13 Determine los coeficientes de la ecuacin cbica que pasapor los primeros cuatro puntos del problema 18.5.

18.14 Desarrolle, depure y pruebe un programa en cualquierlenguaje de alto nivel o de macros que elija, para implantar lainterpolacin de polinomios de Newton, con base en la figura18.7.18.15 Pruebe el programa que desarroll en el problema 18.14con la duplicacin del clculo del ejemplo 18.5.18.16 Use el programa que desarroll en el problema 18.14 pararesolver los problemas 18.1 a 18.3.18.7 Utilice el programa que desarroll en el problema 18.14para solucionar los problemas 18.4 y 18.5. En el problema 18.4

utilice todos los datos para desarrollar polinomios de primero aquinto grado. Para ambos problemas, haga la grfica del errorestimado versusel orden.18.18 Desarrolle, depure y pruebe un programa en el lenguajede alto nivel o macros que elija, para implantar la interpolacin deLagrange. Haga que se base en el seudocdigo de la figura 18.11.Prubelo con la duplicacin del ejemplo 18.7.18.19Una aplicacin til de la interpolacin de Lagrange sedenomina bsqueda en la tabla. Como el nombre lo indica, in-volucra buscar un valor intermedio en una tabla. Para desarro-llar dicho algoritmo, en primer lugar se almacena la tabla de losvalores dexyf(x) en un par de arreglos unidimensionales. Des-pus, dichos valores se pasan a una funcin junto con el valor de

xque se desea evaluar. La funcin hace luego dos tareas. Enprimer lugar, hace un ciclo hacia abajo de la tabla hasta queencuentra el intervalo en el que se localiza la incgnita. Despusaplica una tcnica como la interpolacin de Lagrange para de-terminar el valor apropiado de f(x). Desarrolle una funcin ascon el uso de un polinomio cbico de Lagrange para ejecutar la

interpolacin. Para intervalos intermedios sta es una buenaeleccin porque la incgnita se localiza en e intervalo a la mitad



36/36

538 INTERPOLACIN

de los cuatro puntos necesarios para generar la expresin cbica.

Para los intervalos primero y ltimo, use un polinomio cuadr-tico de Lagrange. Asimismo, haga que el cdigo detecte cuandoel usuario pida un valor fuera del rango de lasx. Para esos casos,la funcin debe desplegar un mensaje de error. Pruebe su progra-ma paraf(x) = lnxcon los datosx= 1, 2, , 10.18.20 Desarrolle, depure y pruebe un programa en cualquierlenguaje de alto nivel o de macros de su eleccin, para implantarla interpolacin con segmentaria cbica con base en la figura18.18. Pruebe el programa con la repeticin del ejemplo 18.10.18.21 Emplee el software desarrollado en el problema 18.20

para ajustar trazadores cbicos para los datos de los problemas18.4 y 18.5. Para ambos casos, pronostiquef(2.25).

18.22 Emplee la porcin de la tabla de vapor que se da para el

H2O supercalentada a 200 MPa, para a) encontrar la entropacorrespondiente spara un volumen especfico vde 0.108 m3/kgcon interpolacin lineal, b) encontrar la misma entropa corres-pondiente con el uso de interpolacin cuadrtica, y c) hallar elvolumen correspondiente a una entropa de 6.6 con el empleo deinterpolacin inversa.

v (m3/kg) 0.10377 0.11144 0.1254

s (kJ/kg K) 6.4147 6.5453 6.7664


chapra metodos 5e capitulo muestra c18

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