chapingo, texcoco, estado de méxico, diciembre de...

Chapingo, Texcoco, Estado de México, diciembre de 2018

i

AGRADECIMIENTOS

A mi alma mater la Universidad Autónoma Chapingo, por ser mi segunda casa,

por darme la oportunidad de formarme como profesionista, educarme con sus

valores y principios y ser cobijo en mis días de estudiante.

A la División de Ciencias Forestales, que me otorgo los conocimientos necesarios

para ser un profesionista de bien.

A mi comité de tesis, al Ing. Diego Ernesto Lira González por apoyarme en el

desarrollo y de esta tesis y en mis días de estudiantes.

Al Lic. Vicente González Juárez

Al M.C. E. Marcelo Zepeda Bautista

Al Ing. David García Cintora

AL Dr. Antonio Villanueva Morales

A mis padres Carlos y Agustina que me han apoyado en mi transcurso de

estudiante en esta casa de estudios.

A mis Hermanos Agustín y Guadalupe, que han estado conmigo en las buenas y

en las malas.

A mis amigos de grupo y generación que han aportado sus consejos de vida

hacia mi persona

A todos ustedes, gracias

ii

DEDICATORIA

A mis padres Carlos y Agustina, por apoyarme en mis decisiones y otorgarme el

mejor regalo que los papás puedes darles a sus hijos, la educación,

A mi hermano Agustín, padre de la personita más hermosa de este mundo, mi

sobrina Íngrid y mi hermana Guadalupe, por ser mi apoyo.

iii

INDICE GENERAL

ÍNDICE DE TABLAS ..................................................................................................... v

ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................. vi

RESUMEN .................................................................................................................... vii

SUMMARY .................................................................................................................. viii

1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 1

2. OBJETIVOS ........................................................................................................... 3

2.1 Objetivos específicos .................................................................................... 3

3. HIPÓTESIS ............................................................................................................ 4

4. REVISIÓN DE LITERATURA ................................................................................. 5

4.1 Círculo, circunferencia y elipse .................................................................... 5

4.2 Cónicas .......................................................................................................... 7

4.3 Tipos dendrométricos ................................................................................... 9

4.3.1 Fórmulas de cubicación de trozas .......................................................... 15

4.3.1.1 Fórmula de Smalian ................................................................................ 16

4.3.1.2 Fórmula de Huber ................................................................................. 16

4.3.1.3 Fórmula de Huber modificada ............................................................. 17

4.3.1.4 Fórmula de Newton .............................................................................. 17

5. METODOLOGÍA .................................................................................................. 19

6. RESULTADOS ..................................................................................................... 20

6.1 Errores para el cálculo de árboles en pie .................................................. 20

6.1.1 Errores en la determinación del volumen del cilindro ....................... 20

6.1.2 Errores en la determinación del volumen del paraboloide apolónico

22

6.1.3 Errores en la determinación del volumen del cono ........................... 25

6.1.4 Errores en la determinación del volumen del neiloide ...................... 27

6.2 Determinación de los errores relativos ...................................................... 31

6.2.1 Determinación del error relativo del volumen del cilindro ................ 31

6.2.2 Determinación del error relativo del volumen del paraboloide

apolónico ............................................................................................................ 32

6.2.3 Determinación del error relativo del volumen del cono ..................... 33

iv

6.2.4 Determinación del error relativo del volumen del neiloide ................ 34

6.3 Determinación del error relativo con porcentaje de cambio .................... 35

6.3.1 Error relativo del volumen del cilindro con porcentaje de cambio

radios 35

6.3.2 Error relativo del volumen del paraboloide apolónico con porcentaje

de cambio de radios. .......................................................................................... 36

6.3.3 Error relativo del volumen del cono con porcentaje de cambio de

radios. 37

6.3.4 Error relativo del volumen del neiloide con porcentaje de cambio de

radios. 39

6.4 Error en el volumen de los truncados de revolución ................................ 43

6.4.1 Error del truncado de paraboloide apolónico ..................................... 43

6.4.2 Error del truncado de cono .................................................................. 44

6.4.3 Error del truncado de neiloide ............................................................. 46

6.5 Calculo del error de la fórmula tradicional ................................................ 50

7. CONCLUSIÓN ..................................................................................................... 67

8. RECOMENDACIÓN ............................................................................................. 69

9. LITERATURA ....................................................................................................... 70

v

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Tipos dendrometricos clásicos definidos por valores enteros de n. ....... 9

Tabla 2. Volumen total de un tronco de un árbol en función de su arrea basal y

la altura total, para los cuatro tipos dendrometricos. ................................... 13

Tabla 3. Resumen del cálculo de los errores del volumen de las distintas

medias (aritmética, cuadrática y geométrica) con las propuestas

respectivas. ................................................................................................. 30

Tabla 4. Acumulación del error de la media aritmética. ..................................... 41

Tabla 5. acumulación del error de la media cuadrática ..................................... 41

Tabla 6. Acumulación de error de acuerdo con la diferencia entre los diámetros.

.................................................................................................................... 58

vi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Círculo. ................................................................................................ 5

Figura 2. Circunferencias. . ................................................................................. 6

Figura 3. Elipse. ................................................................................................. 7

Figura 4. Ecuación y esquema del tipo dendrométrico cilindro. .. ..................... 10

Figura 5. Ecuación y esquema del tipo dendrométrico paraboloide. ................ 10

Figura 6. Ecuación y esquema del tipo dendrométrico cono. ........................... 11

Figura 7. Ecuación y esquema del tipo dendrométrico neiloide. ...................... 11

Figura 8. Tipos dendrometricos en el fuste de un árbol. .................................. 13

Figura 9. Grafica del error cometido por la media aritmética y cuadrática. ...... 42

Figura 10. Elipse. ............................................................................................. 51

Figura 11. Grafica de acumulación de error en porcentaje. ............................. 59

Figura 12. Troza. .............................................................................................. 60

vii

RESUMEN

En la práctica forestal se asume la condición de circularidad del diámetro en el

fuste, (Diéguez et al, 2003, Imaña, 2011), siendo que en la mayoría de las

ocasiones esta circunstancia no se cumple, por ello se propone cambiar la

hipótesis donde las trozas tienden a tener diámetros circulares, y plantear que

estas se asemejan a una elipse.

Para ello el planteamiento de la cubicación tiene diferencias al considerar que las

trozas tiene forma de círculo, sin embargo, por lo general llegan a presentar

ciertas irregularidades, llegando en su mayoría a presentar formas asemejadas

a la elipse, por lo que las fórmulas tradicionales guardan un error cuando las

superficies son elípticas.

Se Propone una fórmula de cubicación que se basa en la forma de una elipse y

no de una circunferencia para cubicar árboles y trozas, así como determinar los

niveles de error de la misma estimación.

La media aritmética en la fórmula del círculo guarda un error con respecto a la

fórmula de la elipse, al momento de calcular el área de una sección transversal,

o calcular el volumen de una troza cuando se miden sus diámetros ese error es

similar, cuando las secciones o volúmenes tienden a ser elípticas, este error se

vuelve significativo mientras el porcentaje de cambio de los diámetros se va

haciendo más grande. Así que la media cuadrática guarda el mismo error tanto

en secciones como en trozos, que se vuelve del doble de la media cuadrática.

Palabras clave: media aritmética, media cuadrática, elipse, círculo.

viii

SUMMARY

In the forestry practice the condition of circularity of the diameter in the stem is

assumed, (Diéguez et al, 2003, Imaña, 2011), being that in the majority of the

occasions this circumstance is not fulfilled, for that reason it is proposed to change

the hypothesis where the logs tend to have circular diameters, and state that they

resemble an ellipse.

For this, the cubing approach has differences considering that the logs have a

circle shape, however, they usually come to present certain irregularities, arriving

mostly to present forms similar to the ellipse, so traditional formulas keep an error

when the surfaces are elliptical.

A cubiculation formula is proposed that is based on the shape of an ellipse and

not on a circumference to cover trees and logs, as well as to determine the error

levels of the same estimate.

The arithmetic mean in the formula of the circle keeps an error with respect to the

formula of the ellipse, when calculating the area of a cross section, or calculating

the volume of a log when measuring its diameters that error is similar, when the

Sections or volumes tend to be elliptical, this error becomes significant as the

percentage of change in diameters becomes larger. So the quadratic mean keeps

the same error in sections as well as in pieces, which becomes twice the quadratic

mean.

Keywords: arithmetic mean, quadratic mean, ellipse, circle.

1

1. INTRODUCCIÓN

La venta de la madera exigió en el siglo XVIII, una determinación aproximada de

sus existencias. Al principio fueron suficientes los métodos de estimación ocular

para los árboles derribados. Desde la mitad del siglo XVIII se comenzó a calcular

el volumen de madera y a emplear métodos de medición para la venta de madera,

así como para inventarios forestales. En la segunda mitad del siglo XVIII también

fueron empleados los primeros medios auxiliares para la medición del grosor de

los árboles, como las cintas métricas para medir circunferencias (Aldana, 2008).

El volumen es la medida de la cantidad de madera solida más ampliamente

utilizada. En el árbol individual pueden identificarse diferentes categorías de

volumen: el árbol completo, esto es considerando todos los componentes,

constituye el volumen total; todos aquellos componentes cuyas dimensiones son

aceptables para el mercado constituyen el volumen comercial (Cancino et al,

2012).

La medición directa de los volúmenes es difícil de realizar directamente en

árboles en pie. Por lo tanto, la cubicación normalmente se realiza mediante

métodos indirectos. Esto consiste en estimar el volumen del árbol a partir de

variables de más fácil medición como el diámetro a la altura del pecho, conocido

como diámetro normar, la altura y la forma del fuste utilizando una función de

volumen. La construcción y validación de una función de volumen requiere

determinar directamente el volumen en un número suficiente de árboles, a partir

de mediciones intensivas del diámetro y corteza a lo largo del fuste, (Cancino et

al, 2012).

El método analítico asume que la forma del fuste del árbol ya sea como un todo

o por secciones, es semejante a solidos geométricos básicos (cilindro,

paraboloide, cono o neiloide) o troncos de estos sólidos. El volumen de esos

solidos se obtiene mediante fórmulas específicas, las que a su vez se utilizan

para la cubicación de árboles y trozas, (Cancino et al, 2012).

2

La precisión de las fórmulas obtenidas por el método analítico depende del grado

de cercanía entre la forma real de la sección del árbol y la ideal asumida por el

sólido de referencia. Así, la precisión depende, por un lado, de la sección del

árbol donde se utilice una fórmula determinada y, por otro, de la distancia entre

las mediciones de diámetro realizadas en el fuste; Mientras mayor es la distancia,

menor es la precisión de las fórmulas, (Cancino et al, 2012).

En la práctica forestal se asume la condición de circularidad del diámetro en el

fuste, (Diéguez et al, 2003, Imaña, 2011), siendo que en la mayoría de las

ocasiones esta circunstancia no se cumple, por ello se propone cambiar la

hipótesis donde las trozas tienden a tener diámetros circulares, y plantear que

estas se asemejan a una elipse, lo que nos llevaría generar una adaptación a la

forma de cubicación y calcular un error de estimación entre las fórmulas actuales

y las que se están adaptando.

Cuando se miden los diámetros de los árboles (ya sean el arbolado en pie y en

las trozas) en el cual al utilizar en muchas ocasiones el promedio de diámetros,

con las siguientes consideraciones, su media aritmética, cuadrática o geométrica

y utilizar a la obtenida como el diámetro de un círculo, (Romahn & Ramírez,

2010). Se asume un error se medición, que dependerá de la desviación de la

circularidad de la sección transversal de la troza o del arbolado en pie.

3

2. OBJETIVOS

Proponer una fórmula de cubicación que se basa en la forma de una elipse y no

de una circunferencia para cubicar árboles y trozas, así como determinar los

niveles de error de la misma estimación.

2.1 Objetivos específicos

➢ Calcular el error de error de cubicación de cilindro considerando su base

como elipse.

➢ Calcular el error de error de cubicación de paraboloide apolónico

considerando su base como elipse.

➢ Calcular el error de error de cubicación de cono considerando su base

como elipse.

➢ Calcular el error de error de cubicación de neiloide considerando su base

como elipse.

➢ Calcular el error de cubicación de la fórmula tradicional de cubicación, si

considera su base como elipse.

4

3. HIPÓTESIS

El planteamiento de la cubicación tiene diferencias al considerar que las trozas

tiene forma de círculo, sin embargo, por lo general llegan a presentar ciertas

irregularidades, llegando en su mayoría a presentar formas asemejadas a la

elipse, por lo que las fórmulas tradicionales guardan un error cuando las

superficies son elípticas.

En diámetro y radio está en función de un círculo, por lo que se propone que

ese diámetro se realice en función de una elipse 𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑟1 ∗ 𝑟2

Los resultados de los cálculos con la nueva forma de cubicación presentan una

diferencia significativa vs los truncados de los tipos dendrometricos (neiloide,

cilindro, paraboloide apolónico y cono) vs la forma tradicional de cubicación.

Ho. Existe diferencias significativas mayores al 1% de cálculo al considerar las

superficies de las secciones transversales de las trozas como círculo cuando

tiende a tener una forma elíptica vs la forma actual de cubicación,

H1: No hay diferencias significativas mayores al 1% de volumen entre la fórmula

propuesta vs las de los truncados de los tipos dendrometricos, y la forma actual

de cubicación.

5

4. REVISIÓN DE LITERATURA

4.1 Círculo, circunferencia y elipse

Un círculo es el conjunto de puntos en un plano, (Baldor, 1983), cada uno de los

cuales es equidistante de un punto dado del plano, véase Figura 1. El punto dado

se llama centro del círculo, (Hemmerling et al, 1971; Wentworth- Smith, 1986).

Es la superficie limitada por la circunferencia, (Badia, 1980; Nichols et al, 1971;

Keedy-Nelson, 1965; Thompson, 1951).

Figura 1. Círculo.

Un segmento rectilíneo, uno de cuyos extremos es el centro del círculo y el otro

es un punto del círculo, es un radio del círculo. OA, OB, y OC son radios del

círculo. Así se puede decir que los radios de un mismo círculo son congruentes,

(Hemmerling et al 1971; Nichols et al 1971; Thompson 1951).

Una cuerda de un círculo es un segmento cuyos puntos extremos son puntos del

círculo. Un diámetro es una cuerda que contiene en centro del círculo de la figura

anterior, (Hemmerling et al, 1971; Baldor, 1983; Rich, 1970; Wentworth-Smith,

1986; Nichols et al, 1971).

Se notará que se definió “radio” y “diámetro”, como un segmento, es decir, como

un conjunto de puntos, no obstante, en la práctica común, frecuentemente hace

que estas palabras denoten las medidas de los segmentos. Así, se habla de un

círculo de, digamos 7 cm, bien se habla de un diámetro que es el doble del radio.

No existe posibilidad de confusión porque el texto de la proposición debe indicar

C

A O B

6

con claridad si se hace referencia a un conjunto de punto o a un número,

(Hemmerling et al, 1971).

La circunferencia de un círculo es su longitud (en ocasiones llamada perímetro),

puede demostrarse que la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro

es constante. Esta constante se representa mediante la letra griega π (pi). Por lo

tanto, en la Figura 2. 𝐶1/𝐷1 = 𝐶2/𝐷2 = 𝜋, (Hemmerling et al, 1971; Thompson,

1951). Es una línea curva plana cerrada y todos los puntos están a igual distancia

del punto interior llamado centro, (Rich, 1970; Badia, 1980).

Figura 2. Circunferencias.

π es lo que se le llama un numero irracional; es decir, no importa hasta qué grado

de exactitud se calculó, esa constante, nunca será exacta, (Hemmerling et al,

1971).

En la actualidad se puede calcular el valor de π, con una exactitud de más de 1

000 000 de dígitos con ayuda de calculadoras modernas. Este es un grado de

exactitud que no tiene un valor practico. El valor de π exacto hasta diez cifras

decimales es 3.1415926536, (Hemmerling et al, 1971).

Puesto que 𝐶

𝐷= 𝜋, ahora puede deducirse una fórmula para la circunferencia. Si

se multiplica cada miembro de la ecuación por D, se obtiene 𝐶 = 𝜋𝐷. Dado que

el diámetro D es igual a dos veces el radio, (Rich, 1970), puede sustituirse en la

7

ecuación y se obtiene 𝐶 = 2𝜋𝑅, Por lo tanto, la circunferencia de un círculo se

expresa mediante la fórmula 𝐶 = 𝜋𝐷, o bien 𝐶 = 2𝜋𝑅, (Hemmerling et al, 1971).

Por lo tanto, el área de un círculo está dada por la fórmula 𝐴 = 𝜋𝑟2, como R =

D/2, puede sustituirse en la fórmula y obtener 𝐴 =𝜋𝐷2

4, (Hemmerling, 1971).

Una elipse se define como un lugar geométrico de un punto que se mueve en un

plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos permanece

constante, (Bohuslov, 1970).

El área de una elipse es 𝐴 = 𝜋𝑎𝑏, (Xambó, 2000), véase la Figura 3.

Figura 3. Elipse.

4.2 Cónicas

El reconocimiento de las secciones cónicas se remonta a matemáticos tales

como, Euclides, y Apolonio, (Keedy-Nelson, 1965), entre las superficies de

cónicas más importantes están la superficie cilíndrica y cónica, (Baldor, 1983;

Keedy-Nelson, 1965).

Las curvas llamadas parábolas, elipses e hipérbolas reciben su nombre debido a

Apolonio, quien las investigó como ciertas secciones planas de conos circulares,

rectos y oblicuos, (Eves, 1969),

b

a

8

En cada una de sus posiciones, la recta engendradora se llama generatriz del

cono, (Baldor, 1980); el punto fijo se llama vértice de este, (Eves, 1969); Un cono

circular es uno cuya base es un círculo, (Hemmerling, 1971; Eves, 1969).

La cilíndrica es una engendrada por una recta paralela al eje y la cónica es la

engendrada por una semirrecta cuyo origen está en el eje y no es perpendicular

al eje, (Baldor, 1983; Wentworth- Smith, 1986; Thompson, 1951).

Un cono circular es una superficie generada por una recta que se mueve de modo

que siempre corte a una circunferencia dada c, y pasa por un punto fijo V, que no

está en el plano de la circunferencia, (Eves, 1969; Hemmerling, 1971; Thompson,

1951).

El volumen de un cono es igual a un tercio del producto de área de su base y su

altura, (Baldor, 1983; Eves, 1969; Hemmerling, 1971; Rich, 1970; Wentworth-

Smith, 1986).

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =1

3∗ 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =1

3𝜋𝑟2ℎ ………. (1)

Una superficie cilíndrica es generada por una recta que se mueve paralela a sí

misma y que interseca a una plana dada se llama superficie cilíndrica,

(Hemmerling et al, 1971; Rich, 1970), las secciones producidas por dichos planos

son dos círculos llamados bases del cilindro y la distancia ente las bases se llama

altura, (Baldor, 1983; Hemmerling et al, 1971; Wentworth- Smith, 1986).

El volumen de un cilindro circular es igual al producto del área de su base y la

longitud de su altura, (Baldor, 1983; Hemmerling et al, 1971; Rich, 1970).

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝜋𝑟2ℎ………. (2)

9

4.3 Tipos dendrométricos

Se llaman tipo dendrométrico a los cuerpos geométricos que se asemejan a los

troncos o fustes de los árboles para determinar su volumen. Estos troncos o

fustes nunca tienen la forma de un cuerpo geométrico perfecto, pero a pesar de

ello muchos de los casos se recurren a los tipos dendrometricos para investigar

el volumen de los troncos, (Romahn & Ramírez, 2010).

Si se representan estos solidos de revolución en un sistema de coordenadas en

el que el eje X corresponde a la altura a lo largo del tronco y el eje Y al radio del

tronco a la altura x, la ecuación general de la curva que define los tipos

dendrometricos es la siguiente,

𝑦2 = 𝑝 ∗ 𝑥𝑛………. (3)

donde: p = coeficiente de amplitud que varía según el tipo dendrométrico

y el árbol.

n = exponente característico de la forma del perfil y por lo tanto del tipo

dendrométrico, como ve observa en la tabla 1, (Romahn & Ramírez, 2010;

Diéguez et al, 2003; García, 1995; Cancino, 2012; Philip, 1994)1

Tabla 1. Tipos dendrometricos clásicos definidos por valores enteros de N.

Tipos dendrométricos N Ecuación

Cilindro 0 𝑦2 = 𝑝

Paraboloide 1 𝑦2 = 𝑝 ∗ 𝑥

Cono 2 𝑦2 = 𝑝 ∗ 𝑥2

Neiloide 3 𝑦2 = 𝑝 ∗ 𝑥3

Fuente: (Diéguez et al, 2003).

Cuando el exponente es igual a cero 0, se obtiene una recta paralela al eje X en

la que el valor del radio y es constante e igual a la raíz cuadrada del coeficiente

de amplitud 𝑦 = √𝑝, al hacer rotar esta recta alrededor del eje X, se obtiene un

cilindro de radio √𝑝, Figura 4, (Diéguez et al, 2003; Philip, 1994)

10

Figura 4. Ecuación y esquema del tipo dendrométrico cilindro. Fuente: (Diéguez et al, 2003).

Si n es igual a 1 se obtiene la ecuación de una parábola 𝑦 = 𝑝 ∗ 𝑥. Que la girar

alrededor del eje X da lugar a un paraboloide de revolución, Figura 5, (Diéguez et

al, 2003; Philip (1994).

Figura 5. Ecuación y esquema del tipo dendrométrico paraboloide. Fuente: (Diéguez et al, 2003).

Si n es igual a 2 se obtiene una recta, 𝑦 = √𝑝 ∗ 𝑥, que pasa por el origen y cuya

pendiente es √𝑝. Al girar esta recta alrededor del eje X se obtiene un cono, Figura

6, (Diéguez et al, 2003; Philip, 1994).

y cilindro (n= 0)

𝑦 = √𝑝

x

y paraboloide (n=1)

𝑦 = √𝑝 ∗ 𝑥

x

11

Figura 6. Ecuación y esquema del tipo dendrométrico cono. Fuente: (Diéguez et al, 2003).

Si n es igual a 3 se obtiene una función potencial, 𝑦 = 𝑝 ∗ 𝑥3, que al rotar

alrededor del eje X da lugar a un sólido denominado neiloide, Figura 7, (Diéguez

et al, 2003; Philip, 1994).

Figura 7. Ecuación y esquema del tipo dendrométrico neiloide. Fuente: (Diéguez et al, 2003).

Supóngase que se tiene un sólido de revolución de función geométrica 𝑦2 = 𝑝 ∗

𝑥𝑛, considérese dentro de dicho solido una rodaja elemental de altura dx, el

volumen de la rodaja (dv), se puede asimilar al de un cilindro elemental cuya

y cono (n= 2)

𝑦 = √𝑝 ∗ 𝑥

x

y neiloide (n=3)

𝑦 = √𝑝 ∗ 𝑥2

x

12

sección es 𝑠 = 𝜋 ∗ 𝑦2, por lo tanto, la expresión matemática de dicho volumen

es, (Diéguez et al, 2003; Philip, 1994):

𝑑𝑣 = 𝑠 ∗ 𝑑𝑥 = 𝜋 ∗ 𝑝 ∗ 𝑥𝑛 ∗ 𝑑𝑥

El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de la función de perfil entre

dos secciones s1 y s2, cuyas distancias al origen de coordenadas son x1 y x2, será

igual a la suma de los volúmenes de los infinitos cilindros elementales que se

puede definir entre ambos valores, la suma de estos valores se pude definir

integrando los valores de dv entre x1 y x2, (Diéguez et al, 2003; Philip, 1994).

𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 =

𝑥2

𝑥1

∫ 𝜋 ∗ 𝑝 ∗ 𝑥𝑛 ∗ 𝑑𝑥 = 𝜋 ∗ 𝑝 ∗ [𝑥𝑛+1

𝑛 + 1]𝑥1

𝑥2

=

𝑥2

𝑥1

𝜋 ∗ 𝑝 ∗ 𝑥2𝑛+1 − 𝑥1

𝑛+1

𝑛 + 1

= 𝜋 ∗ 𝑝 ∗𝑥2𝑛 ∗ 𝑥2 − 𝑥1

𝑛 ∗ 𝑥1𝑛 + 1

Teniendo en cuenta que las secciones en los puntos x1 y x2 vienen dadas por:

𝑠2 = 𝜋 ∗ 𝑝 ∗ 𝑥2𝑛 y 𝑠1 = 𝜋 ∗ 𝑝 ∗ 𝑥1

𝑛, se puede expresar el volumen como:

𝑣 = 𝑠2 ∗ 𝑥2 − 𝑠1 ∗ 𝑥1

𝑛 + 1

En el caso de querer cubicar un tronco completo de altura h, x1 se corresponde

con el ápice y por lo tanto x1 = 0 y s1 = 0, y x2 sería la base del árbol, por lo que

x2 = h, y s2 = s0. La ecuación que expresa el volumen de todo el tronco es,

(Diéguez, 2003; Philip, 1994):

𝑣 = 𝑠0∗ℎ

𝑛+1………. (4)

La Tabla 2, muestra las fórmulas para cada tipo dendrométrico.

13

Tabla 2. Volumen total de un tronco de un árbol en función de su arrea basal y la altura total, para los cuatro tipos dendrometricos.

Tipos dendrométricos Volumen total

Cilindro (n = 0) 𝑠0 ∗ ℎ

Paraboloide (n = 1) 𝑠0 ∗ ℎ

2

Cono (n = 2) 𝑠0 ∗ ℎ

3

Neiloide (n = 3) 𝑠0 ∗ ℎ

4

Fuente: (Diéguez et al, 2003).

Se dice que el árbol en toda su longitud no corresponde a un tipo dendrométrico

determinado, sino que cambia su forma conforme a la altura. Se admite a menudo

que la base del troco se aproxima a un truncado de neiloide, la parte media a un

cilindro y un paraboloide y en la punta a un cono, como se muestra en la Figura

8, (Diéguez et al, 2003; Romahn & Ramírez, 2010).

Figura 8. Tipos dendrometricos en el fuste de un árbol. Fuente: Romahn & Ramírez (2010)

14

La metodología de cubicación por tipos dendrometricos se basa en asignar al

tronco del árbol alguno de los tipos dendrométricos, y calcular su volumen

empleando la fórmula correspondiente a dicho tipo dendrométrico, el principal

inconveniente de esta metodología es que, los troncos o trozas de los árboles

raramente tiene el perfil que se corresponda exactamente con el de alguno de

los tipos dendrometricos clásicos, por lo que se cometerá un error en la

estimación del volumen que será tanto mayor cuando más se aleje de ellos el

perfil de árbol, (Diéguez et al, 2003; Cancino et al, 2012).

Los troncos disminuyen en diámetro de extremo a extremo, correspondientes a

la forma de los árboles en crecimiento. Esta diferencia de pérdida de diámetro a

distancias sucesivas del extremo se denomina ahusamiento. La forma cónica de

los troncos les da sus formas características. Debido a este estrechamiento, los

troncos nunca son verdaderamente cilíndricos, no importa cuán cerca puedan

acercarse al cilindro en su forma, (Chapman, 1924).

La fórmula general para determinar el volumen de los paraboloides de revolución

es, (fórmula 4):

𝑉 =𝑆0𝐻0𝑛 + 1

Dónde: n = exponente característico de la forma del perfil y por lo tanto del tipo

dendrométrico.

Cuando las secciones transversales son elípticas, el área de dichas secciones se

calcula con la fórmula del círculo utilizando con cualquier media (aritmética,

cuadrática y geométrica).

�̅�𝑎 =𝑟1+𝑟2

2 media aritmética de dos radios

�̅�𝑐 = √𝑟12+𝑟2

2

2 media cuadrática de dos radios

�̅�𝑔 = √𝑟1 ∗ 𝑟2 media geométrica de dos radios.

15

4.3.1 Fórmulas de cubicación de trozas

Tratándose de cubicaciones que requieren exactitud, los fustes o troncos de los

árboles pueden dividirse en trozas de igual en trozas de igual o diferente longitud

y cubicar por separado, de tal manera que la precisión de la cubicación sea

mayor. Para las cubicaciones comerciales, se han ideado procedimientos más

sencillos que el de la utilización de fórmulas que nos proporcionan los volúmenes

de los tipos dendrometricos, con diversos grados de precisión, suficientes para

este tipo de operaciones, (Romahn & Ramírez, 2010).

Una fórmula de cubicación es una ecuación sencilla que permite estimar el

volumen de un árbol de dos formas: considerándolo como una sola pieza y

aplicando la fórmula una única vez, o con la suma de los volúmenes de una serie

de trozas en las que se puede descomponer el árbol, en cuyo caso se aplica la

fórmula tantas veces como trozas se hayan realizado, (Diéguez et al, 2010).

Las más utilizadas son las fórmulas de la utilización de Smalian, Huber y Newton,

(Romahn & Ramírez, 2010; Carron, 1968; Chapman, 1924; Spurr, 1952; Van Lar-

Akça et al, 2007).

En la práctica, independientemente de dónde provenga la troza en un árbol y del

tipo de árbol, una troza se considera casi invariablemente como una troza de

paraboloide de segundo grado y su volumen se calcula por una u otra de las dos

fórmulas, Smalian y Huber, (Carron, 1968, Bruce y Schumacher, 1950).

La elección de una u otra fórmula de cubicación depende de las circunstancias y

costumbres. Los países europeos prefieren la fórmula de Huber, que requiere la

medida de una sola sección: por el contrario, en Norteamérica permanece el uso

de la fórmula de Smalian que tiene ventajas cuando la sección media es

difícilmente accesible y los extremos se pueden medir fácilmente, (Diéguez et al,

2010).

La madera en bruto son troncos del árbol, recubiertas de su corteza, pero

despojados de sus ramas, y la madera en pie son los árboles que todavía no han

sido derribados, (Badia, 1980).

16

4.3.1.1 Fórmula de Smalian

La fórmula de Smalian, para cubicación de fustes o trozas se parte de las áreas

de las secciones extremas y su longitud, diversos autores como: Chapman, 1924;

Chapman y Meyer, 1949; Romahn & Ramírez, 2010; Prodan, 1997; Belyea, 1931;

Avery, 1967; Husch, 1963; Husch et al, 1972; Husch et al, 2003; Carron, 1968;

Spurr, 1952; García, 1995; Cancino, 2012; Van Lar-Akça, 2007; Avery-Burkhart,

1980; Philip, 1994, mencionan la utilización de esta fórmula.

La fórmula de Smalian considera el promedio del área basal del diámetro mayor

y el diámetro menor, así como la longitud de cada sección, (Vargas-Larreta et al,

2018).

𝑣𝑠 = (𝑠0∗𝑠1

2) ∗ 𝐿.......... (5)

donde:

Vs = Volumen de Smalian

L = Longitud de la troza o fuste

S0 y S1 = Áreas de las secciones transversales de las trozas o fustes

4.3.1.2 Fórmula de Huber

Con esta fórmula el volumen es obtenido por el producto del área seccional

tomada a la mitad de la sección y la longitud de la sección, diversos autores

como: Chapman, 1924; Chapman y Meyer, 1949; Prodan, 1997; Aldana, 2008;

Romahn & Ramírez, 2010; Bruce y Schumacher, 1950; Belyea, 1931; Avery,

1967; Husch, 1963; Husch et al, 1972; Husch et al, 2003; Carron, 1968; Spurr,

1952; García, 1995; Cancino, 2012; Van Lar-Akça, 2007; Avery-Burkhart, 1980;

Philip, 1994, mencionan la utilización de esta fórmula.

𝑉ℎ = 𝑆𝑚 ∗ 𝐿………. (6)

Donde:

17

Vh = Volumen de Huber

Sm = área de la sección transversal media.

L = longitud del fuste o troza

El procedimiento da resultados bastante aceptables cuando los fustes no son

muy largos y adoptan formas cilíndricas o de truncado de paraboloide apolónico,

como es el caso de coníferas de sombra como Abies sp, (Romahn & Ramírez,

2010).

Cualquiera de estas fórmulas (Huber y Smalian) da con precisión el volumen de

un tronco de un paraboloide perfecto, pero es incorrecto para los troncos de cono

o neiloide, (Chapman y Meyer, 1949).

4.3.1.3 Fórmula de Huber modificada

Cuando la trocería se encuentra apilada y se hace difícil la determinación del

diámetro de la sección media, una opción es la utilización de la fórmula de Huber

modificada, en la cual, se miden los diámetros (D0 y D1) o sus radios (R0 y R1)

des las secciones extremas de las trozas y se obtiene una media aritmética y con

ésta se estima el área de la sección media de la troza, (Romahn & Ramírez, 2010)

𝑉𝐻𝑀 = 𝜋𝐿

4∗ (𝐷0 + 𝐷12

)2

𝑉𝐻𝑀 = 𝜋 ∗ 𝐿 (𝑅0+𝑅1

2)2………. (7)

4.3.1.4 Fórmula de Newton

Si se tuvieran los tres diámetros, en los extremos y en el centro, una media

ponderada de Huber y Smalian reducirían los errores. Se demuestra que la

siguiente fórmula, que se puede ver como una tal media ponderada, da

resultados exactos para polinomios de hasta tercer grado, (García,1995).

Esta fórmula expresa que el volumen de una troza es igual a un sexto de su

longitud multiplicado por la suma del área de la sección transversal mayor, más

cuatro veces el área de la sección transversal media, más el área de la sección

18

transversal menor, diversos autores como: Romahn & Ramírez, 2010; Chapman,

1924; Chapman y Meyer, 1949; Belyea, 1931: Avery, 1967; Husch, 1963; Husch

et al, 1972; Husch et al, 2003; Carron, 1968; Spurr, 1952; García, 1995; Cancino,

2012; Van Lar-Akça, 2007; Avery-Burkhart, 1980; Philip, 1994 mencionan la

utilización de esta fórmula.

𝑉𝑁 = 𝐿

6(𝑆0 + 4𝑆𝑚 + 𝑆1)………. (8)

V = Volumen del fuste o troza

L = Longitud del fuste o troza.

S0 = Área de la sección transversal mayor

S1 = Área de la sección transversal menor

Sm = Área de la sección media.

19

5. METODOLOGÍA

Se realizó una revisión de literatura de las fórmulas actuales de cubicación de

trocería, los tipos dendrométricos y su origen, para identificar cuáles son las más

utilizadas al momento de la cubicación de las trozas

Se realizaron los cálculos algebraicos de comparación con la hipótesis planteada,

en los tipos dendrométricos (neiloide, cilindro, paraboloide apolónico y cono),

considerando su base como elipse.

Se utilizó la siguiente nomenclatura, 𝜀𝑉(𝑐→�̅�𝑎)→𝑆𝑒; error de cálculo de volumen,

cuando en el cilindro se utiliza la media aritmética en la fórmula del círculo,

considerando su base con tendencia a la forma de una elipse.

Para conocer el error relativo, utilizamos la siguiente expresión: 𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→%∆𝑟1;

error relativo de utilizar en el cilindro la media aritmética en la fórmula del círculo,

considerando se base como elipse.

Se realizaron los cálculos algebraicos de comparación con la hipótesis planteada

para la fórmula tradicional, donde la sección de las trozas, tienden a tener una

forma elíptica utilizando la siguiente nomenclatura; 𝜀𝑉(𝑓𝑡→�̅�𝑎

)→𝑆𝑒, error de cálculo

de volumen, cuando se utiliza la fórmula tradicional, considerando su base con

tendencia a la forma de una elipse. Se utilizó, la siguiente nomenclatura para el

cálculo del error de los truncados, cuando presentaban ahusamiento

➢ 𝑟01 = 𝑟01

➢ 𝑟02 = 𝑟01 +%∆1𝑟01

➢ 𝑟11 = 𝑟01%𝑒

➢ 𝑟12 = 𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒

Se describieron los resultados de las comparaciones de la nueva propuesta de

cubicación y si tiene una deferencia significativa con respecto a sus contrarios,

saber la magnitud del error con la que se cuenta actualmente con las fórmulas

de cubicación.

20

6. RESULTADOS

6.1 Errores para el cálculo de árboles en pie

6.1.1 Errores en la determinación del volumen del cilindro

Dado que no ha circularidad en los árboles, se propone;

𝑓𝑝 = 𝜋𝐿𝑟1𝑟2 ……… (9)

donde r1 ≠ r2, y son radios de la sección transversal del árbol.

L = largo del árbol

En la fórmula general de los paraboloides (fórmula 4), n = 0, por lo que tenemos

que la fórmula del cilindro es;

𝑉𝑐 = 𝑆0 ∗ 𝐿 ………. (10).

Por lo que para calcular el error del volumen de un cilindro considerando su base

como elipse y utilizando para el cálculo de su superficie la media aritmética en la

fórmula del círculo, comparamos por diferencia de expresiones, con la propuesta,

(fórmula 9), obtenemos el error.

Así el error de cálculo de volumen del cilindro (fórmula 10), cuando se utiliza la

media aritmética en la fórmula del círculo, considerando su base con tendencia a

la forma de una elipse es:

𝜀𝑉(𝑐→�̅�𝑎)→𝑆𝑒= 𝜋𝐿 (

𝑟1 + 𝑟22

)2

− 𝜋𝐿𝑟1𝑟2

𝜀𝑉(𝑐→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

4(𝑟12 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2) − 𝜋𝐿𝑟1𝑟2


4(𝑟12 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2 − 4𝑟1𝑟2)


4(𝑟12 − 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2)


4(𝑟1 − 𝑟2)

2………. (11)

21

La fórmula 11, es el error que se comete al estimar el volumen de un cilindro

considerando su base como una elipse, utilizando para el cálculo del área de la

sección transversal la media aritmética en la fórmula del círculo.

Para el caso del error de cálculo de volumen del cilindro (fórmula 10), utilizando

la media cuadrática en el cálculo del área del cilindro considerando su base como

elipse, comparando por diferencia de expresiones con la fórmula propuesta

(fórmula 9), tenemos el siguiente error:

𝜀𝑉(𝑐→�̅�𝑐)→𝑆𝑒= 𝜋𝐿(√

𝑟12 + 𝑟2

2

2)

2

− 𝜋𝐿𝑟1𝑟2

𝜀𝑉(𝑆𝑒→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

2(𝑟12 + 𝑟2

2) − 𝜋𝐿𝑟1𝑟2

𝜀𝑉(𝑐→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

2(𝑟12 + 𝑟2

2 − 2𝑟1𝑟2)

𝜀𝑉(𝑐→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

2(𝑟1 − 𝑟2)

2………. (12)

La fórmula 12 es el error que se comete al estimar el volumen de un cilindro

considerando su base como elipse, utilizando para el cálculo del área de la


Para calcular el error del volumen del cilindro (fórmula 10), utilizando la media

geométrica en el cálculo del área del cilindro considerando su base como elipse,

comparando por diferencia de expresiones con la fórmula propuesta (fórmula 9),

tenemos;

𝜀𝑉(𝑐→�̅�𝑔)→𝑆𝑒

= 𝜋𝐿(√𝑟1 ∗ 𝑟2)2− 𝜋𝐿𝑟1𝑟2


= 𝜋𝐿𝑟1𝑟2 − 𝜋𝐿𝑟1𝑟2


= 0 ………. (13)

22

La fórmula 13 es el error que se comete al estimar el volumen de un cilindro


sección transversal la media geométrica en la fórmula del círculo es cero.

Utilizando la propuesta de adaptación (fórmula 9), para el cálculo del área con la

fórmula de la elipse en el cálculo del área del cilindro considerando su base como

elipse, comparando por diferencia de expresiones;

𝜀𝑉(𝑐→𝑝)→𝑆𝑒 = 𝜋𝐿𝑟1𝑟2 − 𝜋𝐿𝑟1𝑟2

𝜀𝑉(𝑐→𝑝)→𝑆𝑒 = 0 ………. (14)

La fórmula 14 nos dice que el error cometido al estimar el volumen de un cilindro

considerando su base como elipse utilizando para el cálculo del área la fórmula

de la elipse es cero, por lo que se puede concluir que la adaptación del cálculo

del área es a igual a la media geométrica.

6.1.2 Errores en la determinación del volumen del paraboloide

apolónico


que la fórmula del paraboloide apolónico es;

𝑉𝑝𝑎 =𝑆0∗𝐿

2 ………. (15).

Para calcular el error del volumen de un paraboloide apolónico considerando su

base como elipse y utilizando para el cálculo de su superficie la media aritmética

en la fórmula del círculo, comparamos por diferencia de expresiones, con la

propuesta, (fórmula 9), obtenemos el error.

Así el error de cálculo de volumen del paraboloide apolónico (fórmula 15), cuando

se utiliza la media aritmética en la fórmula del círculo, considerando su base con

tendencia a la forma de una elipse es:

23

𝜀𝑉(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=(𝑟1 + 𝑟22 )

2

𝜋𝐿

2−𝜋𝐿 ∗ 𝑟1𝑟2

2

𝜀𝑉(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

2(𝑟1 + 𝑟22

)2

−𝜋𝐿𝑟1𝑟22


8(𝑟12 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2) −𝜋𝐿𝑟1𝑟22


8(𝑟12 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2 − 4𝑟1𝑟2)


8(𝑟12 − 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2)


8(𝑟1 − 𝑟2)

2………. (16)

La fórmula 16 es el error que se comete al estimar el volumen de un paraboloide

apolónico considerando su base como elipse, utilizando para el cálculo del área

de la sección transversal la media aritmética en la fórmula del círculo.

Para el error de cálculo de volumen del paraboloide apolónico (fórmula 15),

cuando se utiliza la media cuadrática en la fórmula del círculo, considerando su

base con tendencia a la forma de una elipse, comparamos por diferencia de

expresiones, con la propuesta, (fórmula 9), obtenemos el error.

𝜀𝑉(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=

𝜋𝐿 (√𝑟12 + 𝑟2

2

2 )

2

2−𝜋𝐿𝑟1𝑟22

𝜀𝑉(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

2(𝑟12 + 𝑟2

2

2) −

𝜋𝐿𝑟1𝑟22


4(𝑟12 + 𝑟2

2) − 𝜋𝐿𝑟1𝑟22


4(𝑟12 + 𝑟2

2 − 2𝑟1𝑟2)

24


4(𝑟12 − 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2)


4(𝑟1 − 𝑟2)

2………. (17)

La fórmula 17, es el error que se comete al estimar el volumen de un paraboloide

apolónico considerando su base como elipse, utilizando para el cálculo del área

de la sección transversal la media cuadrática en la fórmula del círculo.

Para calcular el error del volumen del paraboloide apolónico (fórmula 15),

utilizando la media geométrica en el cálculo del área del cilindro considerando su

base como elipse, comparando por diferencia de expresiones con la fórmula

propuesta (fórmula 9), tenemos;

𝜀𝑉(𝑝𝑎→�̅�𝑔)→𝑆𝑒

=(√𝑟1𝑟2)

2𝜋𝐿



=𝜋𝐿𝑟1𝑟22



= 0………. (18)


apolónico considerando su base como elipse utilizando para el cálculo del área

la media geométrica en la fórmula del círculo es cero.


fórmula de la elipse en el cálculo del área del paraboloide apolónico,

considerando su base como elipse, comparando por diferencia de expresiones;


=𝑟1𝑟2𝜋𝐿



= 0………. (19)

25


apolónico considerando su base como elipse utilizando para el cálculo del área

la fórmula de la elipse que es cero, por lo que se puede concluir que la adaptación

para el cálculo del área es a igual a la media geométrica.

6.1.3 Errores en la determinación del volumen del cono


que la fórmula del cono es;

𝑉𝑐𝑜 =𝑆0∗𝐿

3 ………. (20).

Para calcular el error del volumen de un cono considerando su base como elipse

y utilizando para el cálculo de su superficie la media aritmética en la fórmula del

círculo, comparamos por diferencia de expresiones, con la propuesta, (fórmula

9), obtenemos el error.

Así el error de cálculo de volumen del cono (fórmula 20), cuando se utiliza la



𝜀𝑉(𝑐𝑜𝑛𝑜→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=(𝑟1 + 𝑟22 )

2

𝜋𝐿

3−𝜋𝐿 ∗ 𝑟1𝑟2

3

𝜀𝑉(𝑐𝑜𝑛𝑜→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

3(𝑟1 + 𝑟22

)2

−𝜋𝐿 ∗ 𝑟1𝑟2

3


12(𝑟12 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2) −𝜋𝐿 ∗ 𝑟1𝑟2

3


12(𝑟12 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2 − 4𝑟1𝑟2)


12(𝑟12 − 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2)


12(𝑟1 − 𝑟2)

2………. (21)

26

La fórmula 21 es el error que se comete al estimar el volumen de un cono



Para el error de cálculo de volumen del cono (fórmula 20), cuando se utiliza la

media cuadrática en la fórmula del círculo, considerando su base con tendencia

a la forma de una elipse, comparamos por diferencia de expresiones, con la


𝜀𝑉(𝑐𝑜𝑛𝑜→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿 (

𝑟12 + 𝑟2

2

2)


𝜀𝑉(𝑐𝑜𝑛𝑜→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

3(𝑟12 + 𝑟2

2

2) −

𝜋𝐿𝑟1𝑟23


6(𝑟12 + 𝑟2

2) −𝜋𝐿𝑟1𝑟23


6(𝑟12 + 𝑟2

2 − 2𝑟1𝑟2)


6(𝑟12 − 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2)


6(𝑟1 − 𝑟2)

2………. (22)



sección transversal la media cuadrática en la fórmula del círculo.

Para calcular el error del volumen del cono (fórmula 20), utilizando la media



tenemos;

𝜀𝑉(𝑐𝑜𝑛𝑜→�̅�𝑔)→𝑆𝑒

=𝜋𝐿(√𝑟1 ∗ 𝑟2)

2


27


= 𝜋𝐿𝑟1𝑟23



= 0 ………. (23)



sección transversal la media geométrica en la fórmula del círculo es cero.


fórmula de la elipse en el cálculo del área del cono, considerando su base como

elipse, comparando por diferencia de expresiones;

𝜀𝑉(𝑐→𝑝)→𝑆𝑒 = 𝜋𝐿𝑟1𝑟23


𝜀𝑉(𝑐𝑜𝑛𝑜→𝑝)→𝑆𝑒 = 0 ………. (24)

La fórmula 24 es error que se comete al estimar el volumen de un cono

considerando su base como elipse, utilizando para el cálculo del área la fórmula

de la elipse, es cero, por lo que se puede concluir que la adaptación del cálculo

del área es a igual a la media geométrica.

6.1.4 Errores en la determinación del volumen del neiloide


que la fórmula del neiloide es;

𝑉𝑛 =𝑆0∗𝐿

4 ………. (25).

Para calcular el error del volumen de un neiloide considerando su base como

elipse y utilizando para el cálculo de su superficie la media aritmética en la

fórmula del círculo, comparamos por diferencia de expresiones, con la propuesta,

(fórmula 9), obtenemos el error.

Así el error de cálculo de volumen del neiloide (fórmula 25), cuando se utiliza la



28

𝜀𝑉(𝑛→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=(𝑟1 + 𝑟22 )

2

𝜋𝐿

4−𝜋 ∗ 𝑟1𝑟2 ∗ 𝐿

4

𝜀𝑉(𝑛→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

4(𝑟1 + 𝑟22

)2

−𝜋𝐿 ∗ 𝑟1𝑟2

4


16(𝑟12 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2) −𝜋𝐿 ∗ 𝑟1𝑟2

4


16(𝑟12 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2 − 4𝑟1𝑟2)


16(𝑟12 − 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2)


16(𝑟1 − 𝑟2)

2 ………. (26)

La fórmula 26 es el error que se comete al estimar el volumen de un neiloide



Para el error de cálculo de volumen del neiloide (fórmula 25), cuando se utiliza la

media cuadrática en la fórmula del círculo, considerando su base con tendencia

a la forma de una elipse, comparamos por diferencia de expresiones, con la


𝜀𝑉(𝑛→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿 (

𝑟12 + 𝑟2

2

2 )

4−𝜋𝐿 ∗ 𝑟1𝑟2

4

𝜀𝑉(𝑛→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿

4(𝑟12 + 𝑟2

2

2) −

𝜋𝐿 ∗ 𝑟1𝑟24


8(𝑟12 + 𝑟2

2) −𝜋𝐿 ∗ 𝑟1𝑟2

4


8(𝑟12 + 𝑟2

2 − 2𝑟1𝑟2)


8(𝑟12 − 2𝑟1𝑟2 + 𝑟2

2)

29


8(𝑟1 − 𝑟2)

2 …….. (27)

La fórmula 27 es el error que se comete al estimar el volumen de un neiloide



Para calcular el error del volumen del neiloide (fórmula 25), utilizando la media



tenemos;

𝜀𝑉(𝑛→�̅�𝑔)→𝑆𝑒

=𝜋𝐿(√𝑟1 ∗ 𝑟2)

2



= 𝜋𝐿𝑟1𝑟24



= 0………. (28)

El error comete al estimar el volumen de un neiloide considerando su base como

elipse (fórmula 28), utilizando para el cálculo del área de la sección transversal

la media geométrica en la fórmula del círculo es cero.


fórmula de la elipse en el cálculo del área del neiloide, considerando su base

como elipse, comparando por diferencia de expresiones;

𝜀𝑉(𝑛)→𝑆𝑒 = 𝜋𝐿𝑟1𝑟23


𝜀𝑉(𝑛→𝑝)→𝑆𝑒 = 0………. (29)

El error que se comete al estimar el volumen de un neiloide considerando su base

como elipse (fórmula 29), y utilizando para el cálculo del área la fórmula de la

elipse es cero, por lo que se puede concluir que la adaptación del cálculo del área

es a igual a la media geométrica.

30

Los errores se van disminuyendo con forme avanza el exponente característico

de la forma del perfil y por lo tanto del tipo (n) en la ecuación general de las

parábolas, así el error mayor se presenta en el cilindro y este va decreciendo

conforme la forma del perfil avanza.

El error de la media cuadrática es el doble de la media aritmética, y la geométrica

no presenta error. Por lo que la media geométrica de los radios es igual la fórmula

de la elipse, por lo que la utilización de la fórmula de la elipse en los paraboloides

de revolución cuando su superficie es elíptica es correcta ya que no presenta

error. En la Tabla 3, se resumen los errores del cálculo de volumen de los

distintos tipos dendrometricos con las distintas medias (aritmética, cuadrática y

geométrica).

Tabla 3. Resumen del cálculo de los errores del volumen de las distintas medias (aritmética, cuadrática y geométrica) con las propuestas respectivas.

Fuente: Elaboración propia

Media

aritmética Media

cuadrática Media

geométrica Propuesta

Cilindro 𝜋𝐿

4(𝑟1 − 𝑟2)

2 𝜋𝐿

2(𝑟1 − 𝑟2)

2 0 0

Paraboloide apolónico

𝜋𝐿

8(𝑟1 − 𝑟2)

2 𝜋𝐿

4(𝑟1 − 𝑟2)

2 0 0

Cono 𝜋𝐿

12(𝑟1 − 𝑟2)

2 𝜋𝐿

6(𝑟1 − 𝑟2)

2 0 0

Neiloide 𝜋𝐿

16(𝑟1 − 𝑟2)

2 𝜋𝐿

8(𝑟1 − 𝑟2)

2 0 0

31

6.2 Determinación de los errores relativos

6.2.1 Determinación del error relativo del volumen del cilindro

Para conocer la magnitud del error que presenta el utilizar la media aritmética, y

cuadrática, el necesario calcular el error relativo, el cual expresado en porcentaje

de cambio de radios y visto gráficamente, permitirá conocer con claridad cuál

podrá ser un límite de confianza al momento de utilizarlas.

Así el error relativo del cálculo del volumen de un cilindro considerando su base

como elipse, y utilizando para el cálculo de su superficie la media aritmética en

la fórmula del círculo, se obtiene dividiendo la fórmula 11 entre la fórmula

propuesta de modificación, (fórmula 9) multiplicándolo por 100.

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=

𝜋𝐿4(𝑟1 − 𝑟2)

2

𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=𝜋𝐿(𝑟1 − 𝑟2)

2

4𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=(𝑟1−𝑟2)

2

4𝑟1𝑟2∗ 100………. (30)

La fórmula 30 es el error relativo del cilindro, considerando su base como elipse,

y utilizando la media aritmética en la fórmula del círculo.

Para conocer la magnitud del error relativo del cálculo del volumen de un cilindro

considerando su base como elipse, utilizando para el cálculo de su superficie la

media cuadrática en la fórmula del círculo, basta con dividir la fórmula 12 entre la

fórmula propuesta de modificación, (fórmula 9) y multiplicándolo por 100.

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=

𝜋𝐿2(𝑟1 − 𝑟2)

2

𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿(𝑟1 − 𝑟2)

2

2𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=(𝑟1−𝑟2)

2

2𝑟1𝑟2∗ 100………. (31)

32

6.2.2 Determinación del error relativo del volumen del paraboloide

apolónico

El error relativo del cálculo del volumen de un paraboloide apolónico


media aritmética en la fórmula del círculo, se obtiene dividiendo el error absoluto

del volumen de paraboloide apolónico (fórmula 16), entre el planteamiento de

modificación (fórmula 9) y multiplicando por 100.

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=

𝜋𝐿8(𝑟1 − 𝑟2)

2

𝜋𝐿𝑟1𝑟22

∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=𝜋𝐿(𝑟1 − 𝑟2)

2

4𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=(𝑟1−𝑟2)

2

4𝑟1𝑟2∗ 100………. (32)

De esta manera la fórmula 32, es el error relativo del volumen del paraboloide

apolónico, considerando su base como elipse, y utilizando la media aritmética en

la fórmula del círculo.

Para obtener el error relativo del cálculo del volumen de un paraboloide apolónico


media cuadrática en la fórmula del círculo, basta con dividir el error absoluto del

paraboloide apolónico utilizando la media cuadrática (fórmula 17), entre el

planteamiento de modificación (fórmula 9) y multiplicarlo por 100.

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=

𝜋𝐿4(𝑟1 − 𝑟2)

2

𝜋𝐿𝑟1𝑟22

∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿(𝑟1 − 𝑟2)

2

2𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=(𝑟1−𝑟2)

2

2𝑟1𝑟2∗ 100………. (33)

33

La fórmula 33 es el error relativo de utilizar en el cálculo del volumen del

paraboloide apolónico, la media cuadrática en la fórmula del círculo,

considerando su base como elipse,

6.2.3 Determinación del error relativo del volumen del cono

Para calcular el error relativo del cálculo del volumen de un cono, considerando

su base como elipse, y utilizando para el cálculo de su superficie la media

aritmética en la fórmula del círculo, el error absoluto del cono (fórmula 21) entre

el planteamiento de modificación (fórmula 9) y multiplicándolo por 100.

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=

𝜋𝐿12(𝑟1 − 𝑟2)

2

𝜋𝐿𝑟1𝑟23

∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=𝜋𝐿(𝑟1 − 𝑟2)

2

4𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=(𝑟1−𝑟2)

2

4𝑟1𝑟2∗ 100………. (34)

En la fórmula 34, nos da el error relativo del cono

El error relativo del cálculo del volumen de un cono considerando su base como

elipse, utilizando para el cálculo de su superficie la media cuadrática en la fórmula

del círculo, se obtiene dividiendo el error absoluto del cono (fórmula 22) entre el

planteamiento de modificación (fórmula 9) y multiplicándolo por 100.

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=

𝜋𝐿6(𝑟1 − 𝑟2)

2

𝜋𝐿𝑟1𝑟23

∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿(𝑟1 − 𝑟2)

2

2𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=(𝑟1−𝑟2)

2

2𝑟1𝑟2∗ 100………. (35)

Así la fórmula 35 es el error relativo del cono al utilizar la media cuadrática en la

fórmula de círculo, considerando su base como elipse.

34

6.2.4 Determinación del error relativo del volumen del neiloide

Para conocer el error relativo del cálculo del volumen de un neiloide considerando

su base como elipse, y utilizando para el cálculo de su superficie la media

aritmética en la fórmula del círculo, se obtiene dividiendo la fórmula 26, que es el

error absoluto, con el planteamiento de modificación (fórmula 9), y multiplicándolo

por 100.

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=

𝜋𝐿16(𝑟1 − 𝑟2)

2

𝜋𝐿𝑟1𝑟24

∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=𝜋𝐿(𝑟1 − 𝑟2)

2

4𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑎)→𝑆𝑒=(𝑟1−𝑟2)

2

4𝑟1𝑟2∗ 100 ……….. (36)

Por lo que la fórmula 37 es el error relativo del neiloide cuando se utiliza la media

aritmética en la fórmula del círculo.

Para el error relativo del cálculo del volumen de un neiloide considerando su base

como elipse, utilizando para el cálculo de su superficie la media cuadrática en la

fórmula del círculo, se obtiene dividiendo el error absoluto del neiloide (fórmula

27) entre el planteamiento de modificación (fórmula 9) y multiplicándolo por 100.

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=

𝜋𝐿8(𝑟1 − 𝑟2)

2

𝜋𝐿𝑟1𝑟24

∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=𝜋𝐿(𝑟1 − 𝑟2)

2

2𝜋𝐿𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑐)→𝑆𝑒=(𝑟1−𝑟2)

2

2𝑟1𝑟2∗ 100 ………. (37)

Por lo que la fórmula 37 es el error relativo del neiloide cuando se utiliza la

media cuadrática en la fórmula del círculo, considerando su base como elipse.

35

6.3 Determinación del error relativo con porcentaje de cambio

6.3.1 Error relativo del volumen del cilindro con porcentaje de

cambio radios

Dado que nos basamos en el supuesto donde la sección transversal no es un

círculo entonces, 𝑟1 ≠ 𝑟2, además, 𝑟1 < 𝑟2.

Por lo tanto, asumimos que: 𝑟2 = 𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1 ………. (38)

Si sustituimos esta expresión (fórmula 38) en el error relativo del volumen del

cilindro considerando su base como elipse, utilizando para el cálculo de su

superficie la media aritmética en la fórmula del círculo, (fórmula 30), tenemos que:

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟2)

2

4𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)

2

4𝑟1(𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

(%∆1𝑟1)2

4𝑟12 + 4𝑟1

2%∆𝑟1∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12 𝑟1

2

4𝑟12(1 +%∆𝑟1)

∗ 100

/𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12

4(1+%∆𝑟1)∗ 100 ………. (39)

La fórmula 39 es la misma que el error relativo del volumen del cilindro,


media aritmética en la fórmula del círculo (fórmula 30), solo que expresado en

porcentaje de cambio de sus radios.

Si sustituimos la fórmula 38, en el error relativo del volumen del cilindro,


media cuadrática en la fórmula del círculo, (fórmula 31), tenemos que:

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟2)

2

2𝑟1𝑟2∗ 100

36

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)

2

2𝑟1(𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

(%∆𝑟1𝑟1)2

2𝑟12 + 2𝑟1

2%∆𝑟1∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12 𝑟1

2

2𝑟12(1 +%∆𝑟1)

∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12

2(1+%∆𝑟1)∗ 100………. (40)

La fórmula 40 es la misma que el error relativo del volumen del cilindro


media cuadrática en la fórmula del círculo, (fórmula 31), pero expresado en

porcentaje de cambio de sus radios.

6.3.2 Error relativo del volumen del paraboloide apolónico con

porcentaje de cambio de radios.

Para determinar los errores con porcentaje de cambio, utilizaremos la fórmula 38,

ya que es el mismo planteamiento para los de más casos.

Así que al sustituir la fórmula 38 en el error relativo del volumen del paraboloide

apolónico, considerando su base como elipse, utilizando para el cálculo de su

superficie la media aritmética en la fórmula del círculo, (fórmula 32), tenemos que:

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟2)

2

4𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)

2

4𝑟1(𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

(%∆𝑟1𝑟1)2

4𝑟12 + 4𝑟1

2%∆𝑟1∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12 𝑟1

2

4𝑟12(1 +%∆𝑟1)

∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12

4(1+%∆𝑟1)∗ 100………. (41)

37

La fórmula 41 es el error relativo del volumen del paraboloide apolónico, (fórmula

31), pero expresado en porcentaje de cambio de sus radios.

Si sustituimos la fórmula 38, en la fórmula 33 que el error relativo del volumen del

paraboloide apolónico, considerando su base como elipse, utilizando para el

cálculo de su superficie la media cuadrática en la fórmula del círculo, tenemos

que:

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟2)

2

2𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)

2

2𝑟1(𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

(%∆𝑟1𝑟1)2

2𝑟12 + 2𝑟1

2%∆𝑟1∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12 𝑟1

2

2𝑟12(1 +%∆𝑟1)

∗ 100

𝜀𝑅(𝑝𝑎→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12

2(1+%∆𝑟1)∗ 100………. (42)

La fórmula 42 es el error relativo del volumen del paraboloide apolónico


media cuadrática en la fórmula del círculo, (fórmula 33) pero expresado en

porcentaje de cambio de los radios.

6.3.3 Error relativo del volumen del cono con porcentaje de cambio

de radios.

Para el cálculo del error relativo el error relativo del volumen del cono,


media aritmética en la fórmula del círculo, sustituimos la fórmula 38, en la fórmula

34, tenemos que:

𝜀𝑅(𝑐𝑜→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟2)

2

4𝑟1𝑟2∗ 100

38

𝜀𝑅(𝑐𝑜→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)

2

4𝑟1(𝑟1 +%∆1𝑟1)∗ 100

𝜀𝑅(𝑐𝑜→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

(%∆𝑟1𝑟1)2

4𝑟12 + 4𝑟1

2%∆𝑟1∗ 100

𝜀𝑅(𝑐𝑜→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12 𝑟1

2

4𝑟12(1 +%∆𝑟1)

∗ 100

𝜀𝑅(𝑐𝑜→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12

4(1+%∆𝑟1)∗ 100………. (43)

La fórmula 43 el error relativo del volumen del cono, considerando su base como

elipse, utilizando para el cálculo de su superficie la media aritmética en la fórmula

del círculo (fórmula 33), pero expresado en porcentaje de cambio de sus radios.

Ahora sustituimos la fórmula 38 en el error relativo del volumen del cono,


media cuadrática en la fórmula del círculo, (fórmula 35), tenemos que:

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟2)

2

2𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)

2

2𝑟1(𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

(%∆𝑟1𝑟1)2

2𝑟12 + 2𝑟1

2%∆𝑟1∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12 𝑟1

2

2𝑟12(1 +%∆𝑟1)

∗ 100

𝜀𝑅(𝑐→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12

2(1+%∆𝑟1)∗ 100…….. (44)

Esta fórmula 44, es la misma que el error relativo del volumen del cono (fórmula

35), pero expresado en porcentaje de cambio de sus radios.

39

6.3.4 Error relativo del volumen del neiloide con porcentaje de

cambio de radios.

Sustituyendo la fórmula 38 en la fórmula 36 del error relativo del volumen del

neiloide, considerando su base como elipse, utilizando para el cálculo de su

superficie la media aritmética en la fórmula del círculo, tenemos que:

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟2)

2

4𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)

2

4𝑟1(𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

(%∆𝑟1𝑟1)2

4𝑟12 + 4𝑟1

2%∆𝑟1∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12 𝑟1

2

4𝑟12(1 +%∆𝑟1)

∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑎)→%∆𝑟1=

%∆12

4(1+%∆𝑟1)∗ 100 ………. (45)

Así la fórmula 45 es la misma que el error relativo del volumen del neiloide

(fórmula 36), pero expresado en porcentaje de cambio de sus radios.

Al sustituir la fórmula 38 en la fórmula 37 del error relativo del volumen del

neiloide, considerando su base como elipse, utilizando para el cálculo de su

superficie la media cuadrática en la fórmula del círculo, tenemos que:

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟2)

2

2𝑟1𝑟2∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=(𝑟1 − 𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)

2

2𝑟1(𝑟1 +%∆𝑟1𝑟1)∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

(%∆𝑟1𝑟1)2

2𝑟12 + 2𝑟1

2%∆𝑟1∗ 100

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12 𝑟1

2

2𝑟12(1 +%∆𝑟1)

∗ 100

40

𝜀𝑅(𝑛→�̅�𝑐)→%∆𝑟1=

%∆𝑟12

2(1+%∆𝑟1)∗ 100 ………. (46)

La fórmula anterior es el error relativo del volumen del cono considerando su base

como elipse, pero que expresado en porcentaje de cambio de sus radios.

Las expresiones del error relativo del volumen de los paraboloides de revolución,

cuando su base se considera como elipse y para el cálculo del área se utiliza la

media aritmética en la fórmula del círculo, es la misma, no importando que solido

de revolución sea:

𝜀𝑅(𝑟𝑎̅̅̅̅ )→%∆𝑟1 =%∆1

2

4(1 +%∆𝑟1)∗ 100

Esta expresión es similar cuando se utiliza la media cuadrática, en el cálculo de

la fórmula del círculo, no importante los paraboloides de revolución

𝜀𝑅(𝑟𝑐̅̅ ̅)→%∆𝑟1 =%∆1

2

2(1 +%∆𝑟1)∗ 100

Por lo que el error cometido por la media cuadrática es del doble de la media

aritmética.

La diferencia entre el radio menor y radio mayor se le denomina porcentaje de

cambio, si hay un porcentaje de cambio del 5% significa que, el radio mayor es

un 5% más grande con respecto al radio menor, así tenemos que cuando el

porcentaje de cambio va en aumento, el error al momento de calcular el área con

la media aritmética en la fórmula del círculo, no importando que paraboloide de

revolución que sea, se comete el mismo error de estimación como se aprecia en

la Tabla 4. Lo mismo ocurre cuando se utiliza la media cuadrática, conforme el

porcentaje de cambio se incrementa, el error tiende a aumentar, Tabla 5.

Para ello la Figura 9 se muestra la acumulación de los errores de estimación de

5% en 5%, donde un porcentaje de cambio del 50% significa que el radio mayor

será un 50% más grande que la longitud del radio menor.

41

Tabla 4. Acumulación del error de la media aritmética.

% de cambio de radios Error

5% 0.060%

10% 0.227%

15% 0.489%

20% 0.833%

25% 1.250%

30% 1.731%

35% 2.269%

40% 2.857%

45% 3.491%

50% 4.167%

55% 4.879%

60% 5.625%

65% 6.402%

70% 7.206%

75% 8.036%

80% 8.889%

85% 9.764%

90% 10.658%

95% 11.571%

100% 12.500%

Fuente: elaboración propia

Tabla 5. Acumulación del error de la media cuadrática

% de cambio de radios Error

5% 0.12%

10% 0.45%

15% 0.98%

20% 1.67%

25% 2.50%

30% 3.46%

35% 4.54%

40% 5.71%

45% 6.98%

50% 8.33%

55% 9.76%

60% 11.25%

65% 12.80%

70% 14.41%

75% 16.07%

80% 17.78%

85% 19.53%

90% 21.32%

95% 23.14%

100% 25.00%

42

Figura 9. Grafica del error cometido por la media aritmética y cuadrática. Fuente: Elaboración propia

No importando el paraboloide, la media cuadrática guarda el doble de error que

la media aritmética, por lo que no se recomiendo su uso.

Se acepta la hipótesis Ho ya que existen diferencias al considerar las superficies

de las secciones transversales como círculo cuando tiende a tener una forma

elíptica

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

25.00%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

err

or

de e

stim

acio

n

porcentaje de caobio de radios

Error de la media aritmetica Error de la media cuadratica error

43

6.4 Error en el volumen de los truncados de revolución

6.4.1 Error del truncado de paraboloide apolónico

Como se explicó, se presenta un error en los volúmenes de los sólidos de

revolución cuando, se considera que su superficie es elíptica y se utilizan las

medias aritmética y cuadrática, por lo que este error se repetirá en los truncados

de los paraboloides de revolución, así tenemos que el volumen de un truncado

de paraboloide apolónico es:

𝑉𝑇𝑝𝑎 =(𝑆0 + 𝑆1) ∗ 𝐿

2=𝜋𝐿

2(𝑟02 + 𝑟1

2)

Considerando su base como elipse:

𝑉𝑇𝑝𝑎 =(𝜋 ∗ 𝑟01 ∗ 𝑟02 + 𝜋 ∗ 𝑟11 ∗ 𝑟12)𝐿

2

𝑉𝑇𝑝𝑎 =𝜋𝐿

2(𝑟01 ∗ 𝑟02 + 𝑟11 ∗ 𝑟12)………. (47)

Como se mencionó, las secciones transversales son elípticas, así que para

calcular el error de cubicación del truncado de paraboloide apolónico, calculando

la superficie como elipse, con la fórmula de cubicación propuesta será, (fórmula

48):

𝑉𝐹𝑝 = 𝐿 (𝜋𝑟01 ∗ 𝑟02 + 𝜋𝑟11 ∗ 𝑟12

2)

𝑉𝐹𝑝 = 𝜋𝐿

2(𝑟01 ∗ 𝑟02 + 𝑟11 ∗ 𝑟12) ……. (48)

Asiendo el cálculo del error de estimación de la fórmula propuesta (fórmula 48),

con la del truncado de paraboloide apolónico considerando su superficie como

elipse (fórmula 47), por diferencia de expresiones queda:

𝜀𝑉(𝑉𝑡𝑝→𝑓𝑝)→𝑆𝑒 =𝜋𝐿

2(𝑟01 ∗ 𝑟02 + 𝑟11 ∗ 𝑟12) −

𝜋𝐿

2(𝑟01 ∗ 𝑟02 + 𝑟11 ∗ 𝑟12)

𝜀𝑉(𝑉𝑡𝑝→𝑓𝑝)→𝑆𝑒 = 0 ………. (49)

44

La fórmula 49 es el error que se comete al cubicar una troza con forma de

truncado de paraboloide apolónico, calculando sus secciones con forma de la

elipse, con la fórmula propuesta.

6.4.2 Error del truncado de cono

El volumen de un truncado de cono, considerando su superficie como elipse es:

𝑉𝑇𝑐 =𝐿

3(𝑆0 + 𝑆1 +√𝑆0𝑆1) =

𝜋𝑙

3(𝑟02 + 𝑟1

2 + 𝑟0𝑟1)…….. (50)

Calculando sus superficies S0 y S1 con la formal de la elipse, al ser considerado

superficie elíptica, en la fórmula 50, el error por diferencia de expresiones con la

fórmula propuesta (48) será:

𝜀𝑉(𝑉𝑡𝑐→𝑓𝑝)→𝑆𝑒 =𝜋𝐿

3((𝜋𝑟01𝑟02) + (𝜋𝑟11𝑟12) + √𝜋𝑟01𝑟02𝜋𝑟11𝑟12) −

𝜋𝐿

2(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12)


3((𝜋𝑟01𝑟02) + (𝜋𝑟11𝑟12) + √𝜋2𝑟01𝑟02𝑟11𝑟12) −

𝜋𝐿

2(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12)


3((𝜋𝑟01𝑟02) + (𝜋𝑟11𝑟12) + (𝜋

2𝑟01𝑟02𝑟11𝑟12)12)

− 𝜋𝐿

2(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12)


3((𝜋𝑟01𝑟02) + (𝜋𝑟11𝑟12) + 𝜋𝑟01

12 𝑟02

12 𝑟11

12 𝑟12

12 ) −

𝜋𝐿

2(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12)


3((𝑟01𝑟02) + (𝑟11𝑟12) + 𝑟01

12 𝑟02

12 𝑟11

12 𝑟12

12 ) −

𝜋𝐿

2(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12)


6(2𝑟01𝑟02 + 2𝑟11𝑟12 + 2(𝑟01

12 𝑟02

12 𝑟11

12 𝑟12

12 ) − 3𝑟01𝑟02 − 3𝑟11𝑟12)


6(−𝑟01𝑟02 − 𝑟11𝑟12 + 2(𝑟01

12 𝑟02

12 𝑟11

12 𝑟12

12 ))

𝜀𝑉(𝑉𝑡𝑐→𝑓𝑝)→𝑆𝑒 = −𝜋𝑙

6(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 − 2(𝑟01

12 𝑟02

12 𝑟11

12 𝑟12

12 ))

45


6(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 − 2√𝑟01𝑟02𝑟11𝑟12)………. (51)


truncado de cono, calculando sus secciones con forma de la elipse, con la fórmula

propuesta.

Cuando las trozas presentan ahusamiento (una sección de la troza es más

grande y conforme va avanzando está se va adelgazando), y un porcentaje de

cambio de radio mayor con respecto al radio menor, llegan a presentar un error

el cálculo del volumen.

El error de cubicación del truncado de cono, calculando la superficie como elipse,

con la fórmula de cubicación propuesta es:


6(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 − 2√𝑟01𝑟02𝑟11𝑟12) ………. (51)

Por lo que ahora los radios de las secciones de las trozas los representamos

conforme a un ahusamiento respecto al radio menor siguiente manera:

➢ 𝑟01 = 𝑟01

➢ 𝑟02 = 𝑟01 +%∆1𝑟01

➢ 𝑟11 = 𝑟01%𝑒

➢ 𝑟12 = 𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación del error (fórmula 51), tenemos

que:

𝜀 = −𝜋𝐿

6(𝑟01 ∗ (𝑟01 +%∆1𝑟01) + 𝑟01%𝑒(𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒)

− 2√𝑟01 ∗ (𝑟01 +%∆1𝑟01) ∗ 𝑟01%𝑒 ∗ (𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒))

𝜀 = −𝜋𝐿

6(𝑟012 + 𝑟01

2 %∆1 + 𝑟012 %𝑒2 + 𝑟01

2 %𝑒2%∆1)

− 2√𝑟012%𝑒 ∗ (𝑟01 +%∆1𝑟01) ∗ (𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒)

46

𝜀 = −𝜋𝐿

6(𝑟012 + 𝑟01

2 %∆1 + 𝑟012 %𝑒2 + 𝑟01

2 %𝑒2%∆1)

− 2𝑟01√%𝑒 ∗ 𝑟01(1 +%∆1) ∗ (𝑟01%𝑒) ∗ (1 +%∆1)

𝜀 = −𝜋𝐿

6(𝑟012 + 𝑟01

2 %∆1 + 𝑟012 %𝑒2 + 𝑟01

2 %𝑒2%∆1) − 2𝑟01√𝑟012%𝑒2(1 +%∆1)2

𝜀 = −𝜋𝐿

6(𝑟012 + 𝑟01

2 %∆1 + 𝑟012 %𝑒2 + 𝑟01

2 %𝑒2%∆1) − 2𝑟01√𝑟012 √%𝑒2√(1 +%∆1)2

𝜀 = −𝜋𝐿

6((𝑟01

2 + 𝑟012 %∆1 + 𝑟01

2 %𝑒2 + 𝑟012 %𝑒2%∆1) − 2𝑟01

2 %𝑒(1 +%∆1)) …… (52)

La fórmula 52 nos permite calcular si estamos subestimando o sobreestimando

volumen al momento de calcular un truncado de cono, calculando la superficie

como elipse.

6.4.3 Error del truncado de neiloide

El volumen de un truncado de neiloide considerando su superficie como elipse

es:

𝑉𝑇𝑐 =𝐿

4(𝑆0 + 𝑆1 + √𝑆0𝑆1

3 (√𝑆03 + √𝑆1

3 )) =𝜋𝐿

4(𝑟0

2 + 𝑟12 + 𝑟0

23𝑟1

23 (𝑟0

23 + 𝑟1

23))

𝑉𝑇𝑐 =𝐿

4(𝜋𝑟01𝑟02 + 𝜋𝑟11𝑟12 + √𝜋𝑟01𝑟02𝜋𝑟11𝑟12

3 (√𝜋𝑟01𝑟023 + √𝜋𝑟11𝑟12

3 ))

𝑉𝑇𝑐 =𝐿

4[𝜋𝑟01𝑟02 + 𝜋𝑟11𝑟12 + (𝜋

2𝑟01𝑟02𝑟11𝑟12)13 ((𝜋𝑟01𝑟02)

13 + (𝜋𝑟11𝑟12)

13)]

𝑉𝑇𝑐 =𝐿

4[𝜋𝑟01𝑟02 + 𝜋𝑟11𝑟12 + (𝜋𝑟01

2

3 𝑟02

2

3 𝑟11

1

3 𝑟12

1

3 ) + (𝜋𝑟01

1

3 𝑟02

1

3 𝑟11

2

3 𝑟12

2

3 )]………. 53

47

Por lo que, calculando sus superficies con la formal de la elipse, al ser

considerada superficie elíptica, en la fórmula 53, el error por diferencia de

expresiones con la fórmula propuesta (48) será:

𝜀𝑉(𝑉𝑡𝑛→𝑓𝑝)→𝑆𝑒 =𝜋𝐿

4[𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 + 𝑟01

23 𝑟02

23 𝑟11

13 𝑟12

13 + 𝑟01

13 𝑟02

13 𝑟11

23 𝑟12

23 ]

− 𝜋𝐿

2(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12)


4(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 + 𝑟01

23 𝑟02

23 𝑟11

13 𝑟12

13 + 𝑟01

13 𝑟02

13 𝑟11

23 𝑟12

23 − 2𝑟01𝑟02 − 2𝑟11𝑟12)


4(−𝑟01𝑟02 − 𝑟11𝑟12 + 𝑟01

23 𝑟02

23 𝑟11

13 𝑟12

13 + 𝑟01

13 𝑟02

13 𝑟11

23 𝑟12

23 )

𝜀𝑉(𝑉𝑡𝑛→𝑓𝑝)→𝑆𝑒 = −𝜋𝐿

4(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 − 𝑟01

23 𝑟02

23 𝑟11

13 𝑟12

13 − 𝑟01

13 𝑟02

13 𝑟11

23 𝑟12

23 )


4(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 − √𝑟01

2 𝑟022 𝑟11𝑟12

3− √𝑟01𝑟02𝑟11

2 𝑟1223) …… (54)


truncado de cono, calculando sus secciones con forma de la elipse, con la fórmula

propuesta.


grande y conforme va avanzando está se va adelgazando), y un porcentaje de

cambio de radio mayor con respecto al radio menor, llegan a presentar un error

el cálculo del volumen.

El error de cubicación del truncado de cono, calculando la superficie como elipse,

con la fórmula de cubicación es:


4(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 − 𝑟01

2

3 𝑟02

2

3 𝑟11

1

3 𝑟12

1

3 − 𝑟01

1

3 𝑟02

1

3 𝑟11

2

3 𝑟12

2

3 )………. (54)

Por lo que ahora los radios de las secciones de las trozas los representamos

conforme a un ahusamiento respecto al radio menor siguiente manera:

48

➢ 𝑟01 = 𝑟01

➢ 𝑟02 = 𝑟01 +%∆1𝑟01

➢ 𝑟11 = 𝑟01%𝑒

➢ 𝑟12 = 𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒

𝜀 = −𝜋𝐿

4(𝑟01 ∗ (𝑟01 +%∆1𝑟01) + 𝑟01%𝑒 ∗ (𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒)

− √𝑟012 ∗ (𝑟01 +%∆1𝑟01)2

3√𝑟01%𝑒 ∗ (𝑟01%𝑒 + 𝑟01%∆1%𝑒)3

− √(𝑟01 +%∆1𝑟01)3

√(𝑟01%𝑒)2 ∗ (𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒)

23)

𝜀 = −𝜋𝐿

4(𝑟01

2 + 𝑟012 %∆1 + 𝑟01

2 %𝑒2 + 𝑟012 %𝑒2%∆1 − 𝑟01

23 ∗ (𝑟01 +%∆1𝑟01)

23 ∗ 𝑟01

13

∗ %𝑒13 ∗ (𝑟01%𝑒 + 𝑟01%∆1%𝑒)

13 − 𝑟01

13 ∗ (𝑟01 +%∆1𝑟01)

13 ∗ 𝑟01

23 ∗ %𝑒

23

∗ (𝑟01%𝑒 + 𝑟01%∆1%𝑒)23)

𝜀 = −𝜋𝐿

4(𝑟012 + 𝑟01

2 %∆1 + 𝑟012 %𝑒2 + 𝑟01

2 %𝑒2%∆1 − 𝑟01√(𝑟01 +%∆1𝑟01)23

∗ √%𝑒3

√𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒3 ∗ −𝑟01√(𝑟01 +%∆1𝑟01)

3

∗ √%𝑒23

√(𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒)23

)

𝜀 = −𝜋𝐿

4(𝑟012 + 𝑟01

2 %∆1 + 𝑟012 %𝑒2 + 𝑟01

2 %𝑒2%∆1 − 𝑟01√(𝑟01 +%∆1𝑟01)23

∗ √%𝑒(𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒)3

∗ −𝑟01√(𝑟01 +%∆1𝑟01)3

∗ √%𝑒2(𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒)23

)

𝜀 = −𝜋𝐿

4(𝑟012 + 𝑟01

2 %∆1 + 𝑟012 %𝑒2 + 𝑟01

2 %𝑒2%∆1 − 𝑟01√(𝑟01 +%∆1𝑟01)23

∗ √𝑟01%𝑒2 + (%∆1𝑟01%𝑒2)3

∗ −𝑟01√(𝑟01 +%∆1𝑟01)3

∗ √%𝑒2(𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒)23

)

49

𝜀 = −𝜋𝐿

4(𝑟012 + 𝑟01

2 %∆1 + 𝑟012 %𝑒2 + 𝑟01

2 %𝑒2%∆1 − 𝑟01√(𝑟01 +%∆1𝑟01)23∗

√𝑟01%𝑒2 ∗ (1 +%∆1)3

∗ −𝑟01√(𝑟01 +%∆1𝑟01)3

∗ √%𝑒2(𝑟01%𝑒 +%∆1𝑟01%𝑒)23

)…

(55)

La fórmula 55 nos permite calcular si estamos subestimando o sobreestimando

volumen al momento de calcular un truncado de neiloide, calculando la superficie

como elipse.

50

6.5 Calculo del error de la fórmula tradicional

En la práctica forestal la mayoría de los casos las secciones transversales de los

fustes no son circulares, sin embargo, por practicidad se utiliza en la medición de

las secciones transversales la fórmula del círculo para calcular su área.

El área basal (A) se encuentra a partir del diámetro de la siguiente manera,

(Chapman, 1949; Carron, 1968).

Calcular la sección transversal como circular en función de la media de los

diámetros mayor y menor implica el menor error, pero el error es solo un poco

menor que el involucrado en el cálculo del área a partir de la circunferencia. Por

conveniencia práctica, el área de la sección casi siempre se calcula como si la

sección circulara sin tener en cuenta su forma real, incluso a través de la

circunferencia medida por una cinta o por el diámetro medido por un calibrador.

Si hay una excentricidad obvia, los diámetros mayor y menor se pueden medir

con un calibrador y el área de sección se calcula como un círculo a partir de la

media de los dos diámetros, (Carron, 1968).

A = área basal

D = Diámetro del círculo

π = pi = 3.1416

𝐴 =𝜋 ∗ 𝐷2

4

La desviación de la circularidad a menudo se aproxima a una elipse, en este caso

se deben medir el diámetro mayor (d1) y el diámetro menor (d0) y se puede

obtener, con las consideraciones que posteriormente se harán, su media

aritmética, cuadrática o geométrica y utilizar a la obtenida como el diámetro de

un círculo, (Romahn & Ramírez, 2010).

�̅�𝑎 =𝑑0+𝑑1

2 media aritmética de dos diámetros

�̅�𝑐 = √𝑑02+𝑑1

2

2 media cuadrática de dos diámetros

51

�̅�𝑔 = √𝑑0 ∗ 𝑑1 media geométrica de dos diámetros

Algunos autores consideran que la media geométrica de los diámetros de los ejes

menor y mayor es menos sesgada que las obtenidas por otros métodos, (Pardé

y Bouchon 1994; Citado por Diéguez et al, 2003).

Siendo la media geométrica es la más precisa y correcta, ya que esta se basa en

la medición de un diámetro mayor y un diámetro menor dando como el resultado

del cálculo el área real de una elipse.

Siendo el área de la elipse la siguiente:

𝐴𝑒 = 𝜋∗𝑑0∗𝑑1

4………….. (56)

Figura 10. Elipse3

Si seguimos con el supuesto donde los círculos perfectos en la práctica forestal

no existen y que lo más común para determinar el área es utilizar la media

aritmética de los diámetros, se está incurriendo en un error de medición.

La utilización de la fórmula con la que se obtiene la superficie del círculo, cuando

la sección transversal es elíptica o con tendencia a la elipse, hace incurrir en error

según la media de los diámetros perpendiculares que se use, (Romahn &

Ramírez, 2010).

Así que, la manera tradicional de medir el área de las secciones transversales es

mediante la media aritmética, está se basa en realizar la medición del diámetro

mayor y diámetro menor de la siguiente manera.

d0

d1

52

Media aritmética: �̅�𝑎 = 𝑑0+𝑑1

2

Siendo que la manera tradicional de calcular la superficie de la sección

transversal de las trozas es:

𝐴 = 𝜋

4(𝑑0+𝑑1

2)2

............ (57)

Dado que nos basamos en el supuesto donde la sección transversal no es un

círculo entonces, 𝑑1 ≠ 𝑑0, además, 𝑑0 ≤ 𝑑1.

Por lo tanto, asumimos que: 𝑑1 = 𝑑0 +%∆𝑑0………… (58)

Esta expresión indica que el diámetro mayor será el diámetro menor más un

porcentaje de cambió del diámetro respecto al diámetro menor, permitiendo

manejar las expresiones en un mismo termino.

La diferencia entre el diámetro menor y diámetro mayor se le denomina

porcentaje de cambio, si hay un porcentaje de cambio del 5% significa que, el

diámetro mayor es un 5% más grande con respecto al diámetro menor.

Para calcular el error que se comete al estimar la superficie de una elipse

utilizando la fórmula tradicional del cálculo de la superficie mediante la media

aritmética en la fórmula del círculo, sustituimos a la fórmula 58 en la fórmula 57,

para manejar términos semejantes, así tenemos que:

𝐴 = 𝜋

4(𝑑0 + 𝑑12

)2

=𝜋

4(𝑑0 + 𝑑0 +%∆𝑑0

2)2

=𝜋

4(2𝑑0 +%∆𝑑0

2)2

=𝜋

16(4𝑑0

2 + 4𝑑02%∆ +%∆2𝑑0

2) …..... (59)

Sustituimos a la fórmula 58 en la fórmula del área de la elipse (fórmula 56), para

manejar términos semejantes.

53

𝐴𝑒 = 𝜋 ∗ 𝑑0 ∗ 𝑑1

4

𝐴𝑒 = 𝜋

4(𝑑0 ∗ (𝑑0 +%∆𝑑0))

𝐴𝑒 = 𝜋

4(𝑑02 + 𝑑0

2%∆)............... (60)

El error relativo se obtiene dividiendo a la fórmula tradicional con la fórmula

propuesta, es decir: 𝜀 = (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒− 1) ∗ 100, para expresarlo en

porcentaje

Por lo que dividiendo la fórmula 59, con fórmula 60, tenemos que:

𝜀𝑉(𝑓𝑡→�̅�𝑎

)→𝑆𝑒=

𝜋16(4𝑑0

2 + 4𝑑02%∆ +%∆2𝑑0

2)

𝜋4(𝑑02 + 𝑑0

2%∆)− 1

𝜀 =1

4∗4𝑑0

2 + 4𝑑02%∆ +%∆2𝑑0

2

𝑑02 + 𝑑0

2%∆− 1

𝜀 =4𝑑0

2 + 4𝑑02%∆+%∆2𝑑0

2

4𝑑02 + 4𝑑0

2%∆− 1

𝜀 = 1 +%∆2𝑑0

2

4𝑑02 + 4𝑑0

2%∆− 1

𝜀 =%∆2𝑑0

2

4𝑑02 + 4𝑑0

2%∆∗ 100

𝜀 =%∆2𝑑0

2

4(𝑑02+𝑑0

2%∆)∗ 100………….. (61)

Esta expresión nos permite calcular el porcentaje de error de medición de la

superficie de una sección transversal elíptica, cuando se utiliza la fórmula

tradicional del cálculo de la superficie mediante la media aritmética en la fórmula

del círculo, respecto a un porcentaje de cambio del diámetro mayor con base al

diámetro menor, es decir cuando hay una distinción de la existencia de dos

diámetros en la superficie de una troza.

54

Romahn & Ramírez, (2010), calcularon este error con base en la media aritmética

de los diámetros de la siguiente manera:

�̅�𝑎 =𝑑0 + 𝑑12

Sustituyendo el valor de �̅�𝑎 en la fórmula de la superficie del círculo tenemos:

𝑆𝑒→�̅�𝑎 =𝜋

4(𝐷𝑀 + 𝐷𝑚

2)2

=𝜋

4(𝐷𝑀2 + 2𝐷𝑀𝐷𝑚 + 𝐷𝑚

2

4)

2

Para calcular el error absoluto que se comete al estimar la superficie de una

elipse considerándola como un círculo utilizando la media aritmética de sus

diámetros mayor y menor como diámetro de éste, comparamos por diferencia las

expresiones que nos dan la superficie de la elipse utilizando la media aritmética

de los diámetros en la fórmula del círculo y la que nos da el valor real de la

superficie de la elipse, (Romahn & Ramírez, 2010):

𝜀𝐴(𝑆𝑒→�̅�𝑎)→𝑆𝑒

=𝜋


2

4) −

𝜋 ∗ 𝐷𝑀 ∗ 𝐷𝑚4


=𝜋


2 − 4𝐷𝑀 ∗ 𝐷𝑚4

)


=𝜋

16(𝐷𝑀

2 − 2𝐷𝑀𝐷𝑚 +𝐷𝑚2 )


=𝜋

16(𝐷𝑀 − 𝐷𝑚)

2

Esta última expresión es el error que se comete al estimar el área de una elipse

utilizando la fórmula del área del círculo y la media aritmética de sus diámetros.

55

Para comprobar la magnitud del error, (Romahn & Ramírez, 2010). Da un ejemple

de medición; supongamos que tenemos una troza con una sección transversal

elíptica cuyos diámetros son D1 = 0.60m y D0 = 0.50m.

La superficie real de la elipse será:

𝑆𝑒 = 𝜋 ∗ 𝑑0 ∗ 𝑑1

4

𝐴𝑒 = 𝜋 ∗ .50 ∗ 60

4 = 0.23561945 𝑚2

La superficie estimada de la elipse utilizando la media aritmética de los diámetros

y la fórmula del área del círculo será:


4(𝐷1 + 𝐷02

)2


4(. 60 + .50

2)2

= .23758294 𝑚2

Como puede observarse, el valor estimado de la superficie es mayor que el

real, es decir, se comete un error por exceso; la magnitud del error será:


=𝜋

16(𝐷𝑀 − 𝐷𝑚)

2


=𝜋

16(. 60 − .50)2 = 0.00196349

El error relativo se obtiene dividiendo el error absoluto entre la superficie real de

la elipse y multiplicando el resultado por 100 para expresarlo en por ciento.

𝜀𝑅(𝑆𝑒→�̅�𝑎)→𝑆𝑒

=

𝜋16(𝐷𝑀 − 𝐷𝑚)

2

𝜋4(𝐷𝑀 ∗ 𝐷𝑚)

∗ 100

𝜀𝑅(𝑆𝑒→�̅�𝑎)→𝑆𝑒

=

𝜋16(. 60 − .50)2

𝜋4(. 60 ∗ .50)

∗ 100 = 0.83%

Como se puede observar, el error relativo cometido en este caso es menor al 1%.

56

Tenemos que d1 = 0.60 m y d0 = 0.50 m, por lo tanto, tenemos un porcentaje de

cambio del 20%, así que sustituyendo estos valores en la ecuación 6, tenemos

que:

𝜀 =%∆2𝑑0

2

4(𝑑02 + 𝑑0

2%∆)∗ 100

𝜀 =0.202 ∗. 502

4(. 502 + (. 502 ∗ .20))∗ 100

𝜀 = 0.833 %

Como su puede ver, el error es el mismo, comprobando que nuestra ecuación es

correcta. Pero cuando las superficies de las secciones transversales de las trozas

tienen una tendencia elíptica, este error es acumulativo, como se explica a

continuación.

Cuando tenemos una troza de 50 cm de diámetro menor, y si esa troza tiene un

porcentaje de cambio del 5%, nos dice que el diámetro mayor será el diámetro

menor más un 5 % de su longitud, por lo que el diámetro mayor será de 52.5 cm.

Así que, el error que se cometerá al momento de estimar la superficie de dicha

troza utilizando la fórmula tradicional del cálculo de la superficie mediante la

media aritmética en la fórmula del círculo, y la real que es la fórmula de la elipse

será:

𝜀 =%∆2𝑑0

2

4(𝑑02 + 𝑑0

2%∆)∗ 100

𝜀 =(. 05)2 ∗ (. 5)2

4(. 52 +. 52 ∗ .05)∗ 100

𝜀 =0.000625

1.05∗ 100

𝜀 = (0.0005952) ∗ 100

𝜀 = 0.060%

57

Este error relativo es bastante pequeño, por lo que no es muy significativo.

Si asumimos que tenemos una troza de 50 cm de diámetro menor, y si esa troza

tiene un porcentaje de cambio del 10%, por lo que el diámetro mayor será de 55

cm. El error cometido será:

𝜀 =%∆2𝑑0

2

4(𝑑02 + 𝑑0

2%∆)∗ 100

𝜀 =(0. 1)2 ∗ (. 5)2

4(. 52 +. 52 ∗ 0.1)∗ 100

𝜀 =0.0025

1.1∗ 100

𝜀 = 0.227%

Este error de estimación de la superficie de nuestro ejemplo va en aumento

cada vez que el porcentaje de cambio del diámetro mayor con base al diámetro

menor se incrementa.

Ahora si tenemos una troza de 50 cm de diámetro menor, y si esa troza tiene un

porcentaje de cambio del 15%, el diámetro mayor será de 57.5 cm. El error

cometido será de:

𝜀 =%∆2𝑑0

2

4(𝑑02 + 𝑑0

2%∆)∗ 100

𝜀 =(. 15)2 ∗ (. 5)2

4(. 52 +. 52 ∗ .15)∗ 100

𝜀 =0.005625

1.15∗ 100

𝜀 = 0.4891%

El error de cálculo del área sigue en aumento, conforme la diferencia entre el

diámetro menor y el diámetro mayor se incrementa, demostrando así la fórmula

de la elipse es la correcta en mediciones donde el porcentaje de cambio del

diámetro mayor con respecto al diámetro menor se incrementa.

58

Cuando 𝑑1 = 𝑑0, tenemos que es una superficie transversal circular por lo que no

hay diferencia al momento de utilizar una fórmula del círculo utilizando la media

aritmética, o la fórmula de la elipse en el cálculo del área.

Si seguimos esta tendencia de aumentar el porcentaje de diferencia del

diámetro mayor con respecto al diámetro menor tenemos la siguiente tabla.

Tabla 6. Acumulación de error de acuerdo con la diferencia entre los diámetros.

% de diferencia entre los diámetros

Error en %

5% 0.060%

10.0% 0.227%

15.0% 0.489%

20.0% 0.833%

25.0% 1.250%

30.0% 1.731%

35.0% 2.269%

40.0% 2.857%

45.0% 3.491%

50.0% 4.167%

55.0% 4.879%

60.0% 5.625%

65.0% 6.402%

70.0% 7.206%

75.0% 8.036%

80.0% 8.889%

85.0% 9.764%

90.0% 10.658%

95.0% 11.571%

100.0% 12.500% Fuente: elaboración propia

Cuando llegamos a tener trozas donde hay un porcentaje de cambio, del 50%,

es decir, el diámetro mayor será el del diámetro menor más el 50% la longitud de

este, hay un error de estimación de1 4.167 %. Lo que se vuelve altamente

significativo ya que en términos de cálculo de la superficie se ha estada

calculando de una manera incorrecta.

La gráfica de la acumulación del error de estimación del área es:

59

Figura 11. Gráfica de acumulación de error en porcentaje. Fuente: Elaboración propia

El error se vuelve significativo cuando él % de diferencia de los diámetros excede

el 20 %, es decir, a partir del 1% porciento de error en la cubicación de la forma

convencional vs la forma propuesta.

Dado que el error es acumulativo, maestros las diferencias de los diámetros se

acentúan, se acepta la existencia de una diferencia de cálculo al considerar las

superficies de las secciones transversales de las trozas como círculo cuando

tiende a tener una forma elíptica

Como hay un error en la medición de las superficies de las trozas, este error es

acumulativo al momento de la cubicación

El error que se comete al cubicar una troza, cuando se utiliza en la medición de

las secciones transversales la fórmula del círculo mediante la media aritmética

de los diámetros, en comparación con la fórmula de la elipse cuando hay

distinción de un diámetro mayor y menor se expresa de la siguiente manera:

𝜀 = (𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎− 1) ∗ 100

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Erro

r en

po

rcen

taje

porcentaje de diferencia de diametros

Error en % Limite

60

Para ellos tenemos que la fórmula tradicional

𝐹𝑡 = 𝜋 ∗ 𝐿 ∗ ((𝑑0+𝑑14

)2+(𝑑2+𝑑34

)2

2) ……… (62)

Y la adaptación propuesta para la fórmula es

𝐹𝑝 = 𝜋 ∗ 𝐿 ∗ (𝑑0∗𝑑14

+𝑑2∗𝑑34

2) ………. (63)

dónde: d0 y d1; son diámetros de la sección de la troza S0; d2; y d3; son

diámetros de la sección de la troza S1.

Figura 12. Troza

Dado que no hay una circularidad fija en ninguna de las secciones de la troza,

manejamos los siguientes términos:

A …⟶ 𝑑0 = 𝑑0

B …⟶ 𝑑1 = 𝑑0 +%∆1|𝑑0

C …⟶ 𝑑2 = 𝑑0 +%∆2𝑑0

D …⟶ 𝑑3 = 𝑑0 +%∆3𝑑0

S1

S0

d1 d3

d0 d2

61

Los diámetros se basan respecto un diámetro menor de la sección de una troza,

más un porcentaje de cambio. En esta ocasión también en los diámetros de la

otra sección de la troza aplica en porcentaje de cambio.

Como sustituir d0; d1; d2; d3; en las fórmulas 62 y 63 puede generar un poco de

confusión, las llamaremos A; B; C; y D; respectivamente, para hacer el proceso

algebraico con menos variables y sea más claro.

Así que sustituimos las expresiones A; B; C; y D; en las fórmulas 62 y 63 para

manejar términos semejantes.

En la fórmula 62 tenemos que:

𝐹𝑡 = 𝜋 ∗ 𝐿 ∗

(

(𝑑0 + 𝑑14 )

2

+ (𝑑2 + 𝑑34 )

2

2

)

𝐹𝑡 = 𝜋 ∗ 𝐿 ∗ ((𝐴+𝐵

4)2+(𝐶+𝐷

4)2

2) ……. (64)

Y la fórmula 63:

𝐹𝑝 = 𝜋 ∗ 𝐿 ∗ (

𝑑0 ∗ 𝑑14

+𝑑2 ∗ 𝑑34

2)

𝐹𝑝 = 𝜋 ∗ 𝐿 ∗ (𝐴∗𝐵

4+𝐶∗𝐷

4

2)…….. (65)

Para calcular el error tenemos que:

𝜀 =𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎− 1

Así que sustituyendo las fórmulas 64 y 65, en la ecuación de error tenemos que;

62

𝜀 =

𝜋 ∗ 𝐿 ∗ ((𝐴 + 𝐵4 )

2

+ (𝐶 + 𝐷4 )

2

2 )

𝜋 ∗ 𝐿 ∗ (

𝐴 ∗ 𝐵4 +

𝐶 ∗ 𝐷4

2)

− 1

𝜀 =

(𝐴 + 𝐵)2 + (𝐶 + 𝐷)2

4 ∗ 4𝐴 ∗ 𝐵 + 𝐶 ∗ 𝐷

4

− 1

𝜀 =(𝐴 + 𝐵)2 + (𝐶 + 𝐷)2

4(𝐴 ∗ 𝐵 + 𝐶 ∗ 𝐷)− 1

Desarrollando las operaciones matemáticas tenemos que

𝜀 =𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 + 𝐶2 + 2𝐶𝐷 + 𝐷2

4𝐴𝐵 + 4𝐶𝐷− 1

𝜀 =1

2+𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2 +𝐷2

4(𝐴𝐵 + 𝐶𝐷)− 1

Sustituyendo los términos A, B C y D, es decir los valores de d0; d1; d2; d3; en la

expresión anterior resulta:

𝜀 =1

2+𝑑02 + (𝑑0 +%∆1𝑑0)

2 + (𝑑0 +%∆2𝑑0)2 + (𝑑0 +%∆3𝑑0)

2

4((𝑑0 ∗ 𝑑0 +%∆1𝑑0) + (𝑑0 +%∆2𝑑0) ∗ (𝑑0 +%∆3𝑑0))− 1

Realizando la suma de cuadrados:

63

𝜀

=𝑑02 + 𝑑0

2 + 2%∆1𝑑02 +%∆1

2𝑑02 + 𝑑0

2 + 2%∆2𝑑02 +%∆2

2𝑑02 + 𝑑0

2 + 2%∆3𝑑02 +%∆3

2𝑑02

4(𝑑02 +%∆1𝑑0

2 + 𝑑02 + 𝑑0

2%∆3 + 𝑑02%∆2 + 𝑑0

2%∆2%∆3)

−1

2

𝜀 =4𝑑0

2 + 2%∆1𝑑02 +%∆1

2𝑑02 + 2%∆2𝑑0

2 +%∆22𝑑02 + 2%∆3𝑑0

2 +%∆32𝑑02

4(2𝑑02 +%∆1𝑑0

2 + 𝑑02%∆3 + 𝑑0

2%∆2 + 𝑑02%∆2%∆3)

−1

2

𝜀 =4𝑑0 + 2%∆1𝑑0 +%∆1

2𝑑0 + 2𝑑0%∆2 +%∆22𝑑0 + 2%∆3𝑑0 +%∆3

2𝑑04(2𝑑0 +%∆1𝑑0 +%∆3𝑑0 +%∆2𝑑0 +%∆2%∆3𝑑0

−1

2

𝜀 =𝑑0(4 + 2%∆1 +%∆1

2 + 2%∆2 +%∆22 + 2%∆3 +%∆3

2

4(2𝑑0 +%∆1𝑑0 +%∆3𝑑0 +%∆2𝑑0 +%∆2%∆3𝑑0)−1

2

𝜀 =(4 + 2%∆1 +%∆1

2 + 2%∆2 +%∆22 + 2%∆3 +%∆3

2

4(2 +%∆1 +%∆2 +%∆3 +%∆2%∆3)−1

2

𝜀 =2(2+%∆1+%∆2+%∆3)+(%∆1

2+%∆22+%∆3

2)

4(2+%∆1+%∆2+%∆3+%∆2%∆3)−1

2……. (66)

Esta fórmula 66 nos permite calcular el error que se comete al momento de

realizar la cubicación de una troza utilizando la fórmula tradicional vs la

adaptación propuesta para la fórmula.

Cuando tengo una troza con las siguientes características: d0 = 45 cm; d1 = 54

cm; d2 = 49.5 cm; y d3 = 58.5 cm: los porcentajes de cambio serán:%∆1= 20%;

%∆2= 10%; %∆3= 30%

Por lo que el error cometido en la cubicación de dicha troza utilizando la fórmula

tradicional y la que se está proponiendo es:

𝜀 =2(2 +%∆1 +%∆2 +%∆3) + (%∆1

2 +%∆22 +%∆3

2)

4(2 +%∆1 +%∆2 +%∆3 +%∆2%∆3)−1

2

64

𝜀 =2(2 + .20 + .10 + .30) + (. 202 +. 102 +. 302)

4(2 + .20 + .10 + .30 + .10 ∗ .30)−1

2

𝜀 =5.34

10.52−1

2

𝜀 = (. 007604) ∗ 100

𝜀 = 0.76 %

El error cometido será de 0.76% del volumen de dicha troza.

Si calculamos el volumen de dicha troza con la fórmula tradicional, tomando en

cuenta que la longitud de la troza es de 2.5 m:

𝑉 = 𝜋 ∗ 𝐿 ∗

(

(𝑑0 + 𝑑14 )

2

+ (𝑑2 + 𝑑34 )

2

2

)

𝑉 = 𝜋 ∗ 2.5 ∗ ((0.45 + 0.54

4 )2

+ (0.495 + 0.585

4 )2

2)

𝑉 = 0.5268𝑚3

Con la adaptación que se plantea de la fórmula nos da:

𝐹𝑝 = 𝜋 ∗ 𝐿 ∗ (

𝑑0 ∗ 𝑑14

+𝑑2 ∗ 𝑑34

2)

𝑉 = 𝜋 ∗ 2.5 ∗ (

0.45 ∗ 0.544

+0.495 ∗ 0.585

42

)

𝑉 = 0.5228 𝑚3

El volumen obtenido con la fórmula tradicional es mayor al volumen de la fórmula

propuesta, porque se está sobreestimando con la fórmula tradicional en un

0.76%.

65

Cierto es que el error que se comete es muy bajo, pero el manejo de grandes

cantidades de madera hace que este error se vuelva considerable. Si suponemos

que una empresa maderera tiene 1000 m3 de madera y si la cantidad de madera

presentan similitudes a las de nuestro ejemplo, el error de medición se estará

sobreestimando, comparado con el real,


grande y conforme va avanzando está se va adelgazando), llegan a presentar un

error el cálculo del volumen.

Por lo que ahora los diámetros de las secciones de las trozas los representamos

conforme a un ahusamiento respecto al diámetro menor siguiente manera:

A …⟶ 𝑑0 = 𝑑0

B …⟶ 𝑑1 = 𝑑0 +%∆1𝑑0

C …⟶ 𝑑2 = 𝑑0%𝑒

D …⟶ 𝑑3 = 𝑑0%𝑒 +%∆1𝑑0%𝑒

donde; %e es el porcentaje de ahusamiento de la troza

Cuando se calcula el error al cubicar con un cierto porcentaje de ahusamiento,

podemos determinarlo a partir de la siguiente expresión realizada anteriormente,

donde se busca obtener el error a la hora de utilizar la fórmula tradicional y la

fórmula propuesta.

𝜀 =1

2+𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2 +𝐷2

4(𝐴𝐵 + 𝐶𝐷)− 1

Sustituyendo nuestros nuevos valores en la ecuación anterior:

𝜀 =1

2+𝑑02 + (𝑑0 +%∆1𝑑0)

2 + (𝑑0 ∗ %𝑒)2 + (𝑑0 ∗ %𝑒 +%∆1𝑑0%𝑒)

2

4(𝑑0(𝑑0 +%∆1𝑑0) + (𝑑0%𝑒) ∗ (𝑑0 ∗ %𝑒 +%∆1𝑑0%𝑒))− 1

66

𝜀 =𝑑02 + 𝑑0

2 + 2𝑑02%∆1 +%∆1

2𝑑02 + 𝑑0

2%𝑒2 + 𝑑02%𝑒2 + 2𝑑0

2%𝑒2%∆1 +%∆12𝑑02%𝑒2

4((𝑑02 + 𝑑0

2%∆1) + (𝑑02%𝑒2 + 𝑑0

2%𝑒2%∆1)

−1

2

𝜀 =2𝑑0

2 + 2𝑑02%∆1 +%∆1

2𝑑02 + 2𝑑0

2%𝑒2 + 2𝑑02%𝑒2%∆1 +%∆1

2𝑑02%𝑒2

4((𝑑02 + 𝑑0

2%∆1) + (𝑑02%𝑒2 + 𝑑0

2%𝑒2%∆1)−1

2

𝜀 =2+2%∆1+%∆1

2+2%𝑒2+2%𝑒2%∆1+%∆12%𝑒2

4(1+%∆1+%𝑒2+%𝑒2%∆1)

−1

2…… (67)

La fórmula 67, permite calcular el error cuando se maneja el ahusamiento en las

trozas.

Si e = 0; en la fórmula 67;

𝜀 =2 + 2%∆1 +%∆1

2 + 2%𝑒2 + 2%𝑒2%∆1 +%∆12%𝑒2

4(1 +%∆1 +%𝑒2 +%𝑒2%∆1)−1

2

𝜀 =2 + 2%∆1 +%∆1

2

4(1 +%∆1)−1

2

Si en la fórmula 67 e = 1, que da de la siguiente manera;

𝜀 =2 + 2%∆1 +%∆1

2 + 2%𝑒2 + 2%𝑒2%∆1 +%∆12%𝑒2

4(1 +%∆1 +%𝑒2 +%𝑒2%∆1)−1

2

𝜀 =2+2%∆1+%∆1

2

4(1+%∆1)−1

2……….. (68)

Las expresiones es la misma que la anterior, lo que demuestra que el

ahusamiento proporcional no es un factor que afecte en el error de cubicación.

67

7. CONCLUSIÓN

La media aritmética en la fórmula del círculo guarda un error con respecto a la

fórmula de la elipse, al momento de calcular el área de una sección transversal,

o calcular el volumen de una troza cuando se miden sus diámetros ese error es

similar, cuando las secciones o volúmenes tienden a ser elípticas, este error se

vuelve significativo mientras el porcentaje de cambio de los diámetros se va

haciendo más grande. Así que la media cuadrática guarda el mismo error tanto

en secciones como en trozos, que se vuelve del doble de la media cuadrática.

Aunque no hay una reglamentación en la cubicación de trocería, donde nos

indique cual es el error permitido al momento de la medición en la trocería, pero

considerando a partir del 1% de error de cubicación se considera como

inaceptable, y debido a que en la práctica forestal es común encontrar trozas o

árboles deformes o tendientes en su sección transversal a la forma de una elipse,

se propone la adaptación de las fórmulas convencionales, donde su el cálculo de

las áreas de la sección transversal con la media aritmética en la fórmula del

círculo, para realizarlo con la fórmula de la elipse quedando de la siguiente

manera:

𝐹𝑝 = 𝜋 ∗ 𝐿

8∗ (𝑑01𝑑02 + 𝑑11𝑑12)

Si la diferencia de diámetros es menor, el error cometido con respecto a la

fórmula tradicional no será significativo, pero a medida de la diferencia de

diámetros de las secciones transversales de las trozas aumenta, su error será

acumulativo en la fórmula convencional.

Cuando tenemos una troza con tendencia a la forma de una elipse, calculamos

su volumen con la fórmula de un truncado de paraboloide, considerando sus

áreas como una elipse el error es cero.

68


su volumen con la fórmula de un truncado de cono, considerando sus áreas como

una elipse el error que se comete será de:


6(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 − 2√𝑟01𝑟02𝑟11𝑟12)

Por lo que se estará subestimando su volumen real


su volumen con la fórmula de un truncado de neiloide, considerando sus áreas

como una elipse el error que se comete será de:


4(𝑟01𝑟02 + 𝑟11𝑟12 − 𝑟01

23 𝑟02

23 𝑟11

13 𝑟12

13 − 𝑟01

13 𝑟02

13 𝑟11

23 𝑟12

23 )

Por lo que se estará subestimando su volumen real es la proporción de la fórmula.

69

8. RECOMENDACIÓN

Por practicidad y facilitación de los cálculos de la cubicación de madera y la

medición de los diámetros de las trozas, realizar un promedio entre diámetros ha

sido lo usual en el sector forestal. Por lo que se propone un cambio, donde medir

los cuatro diámetros de la troza para tener más precisión en la cubicación,

identificando un diámetro menor y un diámetro mayor en ambas superficies

extremas de las trozas, con la ayuda de las herramientas actuales que harán el

trabajo más fácil de realizar

Se recomienda la implementación de la fórmula propuesta (63), ya que esta

cuando las secciones no son circulares, no guarda error de cálculo matemático,

así cuando las trozas tienden a asemejarse mas un cilindro, los errores cuando

de utiliza la media cuadrática o aritmética son mínimo, pero este se acumula

cuando se calculó el área de las secciones como puede observarse en la Figura

11.

Así la fórmula propuesta (63), aun cuando exista más cercanía a la circularidad

de los extremos de las trozas, por ende, una tendencia a la forma de un cilindro

de la troza no guarda error de cálculo.

70

9. LITERATURA

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