UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

QUINTO SEMESTRE B

METODOS NUMERICOS APROXIMACIONES Y ERRORESDOCENTE:

ING.NANCY CHARIGUAMAN.ALUMNA: Cristina Gonzlez.

PERIODO ACADMICO Septiembre 2014 febrero 2015

Aproximaciones y errores de redondeo

Entender el concepto de error es tan importante para utilizar en forma efectiva los mtodos numricos que los dos siguientes captulos se eligieron para tratar el tema.

La importancia de los errores se mencion por primera vez en el anlisis de la cada del paracaidista.

Recuerde que la velocidad de cada del paracaidista se determin por mtodos analticos y numricos. Aunque con la tcnica numrica se obtuvo una aproximacin a la solucin analtica exacta, hubo cierta discrepancia o error, debido a que los mtodos numricos dan slo una aproximacin. En realidad fuimos afortunados en este caso porque tenamos la solucin analtica que nos permita calcular el error en forma exacta. Pero en muchos problemas de aplicacin en ingeniera no es posible obtener la solucin analtica; por lo tanto, no se pueden calcular con exactitud los errores en nuestros mtodos numricos. En tales casos debemos usar aproximaciones o estimaciones de los errores.

Los estudiantes y los practicantes de la ingeniera trabajan constantemente para limitar este tipo de errores en sus actividades. Cuando hacen un examen o realizan sus tareas, son sancionados, mas no premiados por sus errores. En la prctica profesional, los errores llegan a resultar costosos y, en algunas ocasiones, catastrficos. Si una estructura o un dispositivo falla, esto puede costar vidas.Aunque la perfeccin es una meta digna de alabarse, es difcil, si no imposible, alcanzarla.

Por ejemplo, a pesar de que el modelo obtenido mediante la segunda ley de Newton es una aproximacin excelente, en la prctica jams predecir con exactitud la cada del paracaidista.

Fenmenos tales como la velocidad del viento y alguna ligera variacin de la resistencia del aire desviaran la prediccin. Si tales desviaciones son sistemticamente grandes o pequeas, habra entonces que formular un nuevo modelo. No obstante, si su distribucin es aleatoria y se agrupan muy cerca de la prediccin, entonces las desviaciones se consideraran insignificantes y el modelo parecer adecuado. Las aproximaciones numricas tambin presentan discrepancias similares en el anlisis. De nuevo, las preguntas son: qu tanto error se presenta en los clculos? y es tolerable?

En seguida, se estudia uno de los dos errores numricos ms comunes:

Errores de redondeo. Los errores de redondeo se deben a que la computadora tan slo representa cantidades con un nmero finito de dgitos. As como tambin otra clase importante de error: el de truncamiento. Los errores de truncamiento representan la diferencia entre una formulacin matemtica exacta de un problema y su aproximacin obtenida por un mtodo numrico. Por ltimo, se analizan los errores que no estn relacionados directamente con el mtodo numrico en s. stos son equivocaciones, errores de formulacin o del modelo, y la incertidumbre en la obtencin de los datos, entre otros.

3.1 CIFRAS SIGNIFICATIVAS

En esta obra se trata de manera extensa con aproximaciones que se relacionan con el manejo de nmeros. En consecuencia, antes de analizar los errores asociados con los mtodos numricos, es til repasar algunos conceptos bsicos referentes a la representacin aproximada de los nmeros mismos.

Cuando se emplea un nmero para realizar un clculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. Por ejemplo:

La figura 3.1 muestra un velocmetro y un odmetro (contador de kilometraje) de un automvil. Con un simple vistazo al velocmetro se observa que el vehculo viaja a una velocidad comprendida entre 48 y 49 km/h.Como la aguja est ms all de la mitad entre las marcas del indicador, es posible asegurar que el automvil viaja aproximadamente a 49 km/h. Tenemos confianza en este resultado, ya que dos o ms individuos que hicieran esta lectura llegaran a la misma conclusin. Sin embargo, supongamos que se desea obtener una cifra decimal en la estimacin de la velocidad. En tal caso, alguien podra decir 48.8, mientras que otra persona podra decir 48.9 km/h. Por lo tanto, debido a los lmites del instrumento,

nicamente se emplean con confianza los dos primeros dgitos. Para estimaciones del tercer dgito (o ms all) slo se consideraran aproximaciones. Sera ridculo afirmar, considerando el velocmetro de la figura, que el automvil viaja a 48.8642138 km/h. En contraste, el odmetro muestra hasta seis dgitos confiables. De la figura 3.1 se concluye que el automvil ha recorrido un poco menos de 87 324.5 km durante su uso. Aqu el sptimo dgito (y los siguientes) resultan inciertos.El concepto de cifras o dgitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numrico.

Las cifras significativas de un nmero son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se trata del nmero de dgitos que se ofrecen con certeza, ms uno estimado.

Por ejemplo:

El velocmetro y el odmetro de la figura 3.1 muestran lecturas de hasta tres y siete cifras significativas, respectivamente.Para el velocmetro, los dos dgitos seguros son 48. Por convencin al dgito estimado se le da el valor de la mitad de la escala menor de divisin en el instrumento de medicin. As, la lectura del velocmetro consistir de las tres cifras significativas:

48.5. En forma similar, el odmetro dar una lectura con siete cifras significativas,

87 324.45.

Aunque, por lo comn, determinar las cifras significativas de un nmero es un procedimiento sencillo, en algunos casos genera cierta confusin. Por ejemplo:

Los cero no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse slo para ubicar el punto decimal: Los nmeros 0.00001845, 0.0001845 y 0.001845 tienen cuatro cifras significativas.

Asimismo, cuando se incluye ceros en nmeros muy grandes, no queda claro cuntos son significativos. Por ejemplo:

El nmero 45 300 puede tener tres, cuatro o cinco dgitos significativos, dependiendo de si los ceros se conocen o no con exactitud.La incertidumbre se puede eliminar utilizando la notacin cientfica, donde:

4.53 104 4.530 104 4.5300 104

Muestran, respectivamente, que el nmero tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los mtodos numricos.

1. Como se mencion en el problema de la cada del paracaidista, los mtodos numricos dan resultados aproximados. Por lo tanto, se deben desarrollar criterios para especificar qu tan confiables son dichos resultados. Una manera de hacerlo es en trminos de cifras significativas.

Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximacin es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras significativas.

2. Aunque ciertas cantidades tales como pi, e, o 7 representan cantidades especficas, no se pueden expresar exactamente con un nmero finito de dgitos. Por ejemplo,

p = 3.141592653589793238462643... hasta el infinito. Como las computadoras retienen slo un nmero finito de cifras significativas, tales nmeros jams se podrn representar con exactitud. A la omisin del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

Los errores de redondeo y el uso de cifras significativas para expresar nuestra confianza en un resultado numrico se estudiarn con mayor detalle en las siguientes secciones.

Adems, el concepto de cifras significativas tendr mucha importancia en la definicin de exactitud y de precisin en la siguiente seccin.

3.2 EXACTITUD Y PRECISIN

Los errores en clculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a su exactitud y su precisin.

La exactitud se refiere a qu tan cercano est el valor calculado o medido del valor verdadero.

La precisin se refiere a qu tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

Estos conceptos se ilustran grficamente utilizando la analoga con una diana en la prctica de tiro. Los agujeros en cada blanco de la figura 3.2 se consideran como las predicciones con una tcnica numrica; mientras que el centro del blanco representa la verdad.

La inexactitud (conocida tambin como sesgo) se define como una desviacin sistemtica del valor verdadero. Por lo tanto, aunque los disparos en la figura 3.2c estn ms juntos que los de la figura 3.2a, los dos casos son igualmente inexactos, ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La imprecisin (tambin llamada incertidumbre), por otro lado, se refiere a la magnitud en la dispersin de los disparos. Por consiguiente, aunque las figuras 3.2b y 3.2d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco), la ltima es ms precisa, pues los disparos estn agrupados en forma ms compacta.

3.3 DEFINICIONES DE ERROR

Los errores numricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemticas exactas. stas incluyen los errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemtico exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando se usan nmeros que tienen un lmite de cifras significativas para representar nmeros exactos. Para ambos tipos de errores, la relacin entre el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado est dada por:

Valor verdadero = Valor aproximado + error (3.1)

Reordenando la ecuacin (3.1) se encuentra que el error numrico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decirEt = valor verdadero valor aproximado (3.2)Donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subndice t indica que se trata del error verdadero (true). Como ya se mencion brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una estimacin aproximada del error.Una desventaja en esta definicin es que no toma en consideracin el orden de la magnitud del valor que se estima. Por ejemplo, un error de un centmetro es mucho ms significativo si se est midiendo un remache en lugar de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decirError relativo fraccional verdadero = error verdadero/valor verdaderodonde, como ya se mencion en la ecuacin (3.2), error = valor verdadero valor aproximado.El error relativo tambin se puede multiplicar por 100% para expresarlo como

Donde et denota el error relativo porcentual verdadero.EJEMPLO 3.1 Clculo de errores

Planteamiento del problema. Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcule a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso.