CENTRO DE INVESTIGACION CIENTIFICA Y DE EDUCACION

SUPERIOR DE ENSENADA, BAJA CALIFORNIA

MR

PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS

EN OPTICA

Estudio de procesos no-lineales en fibras opticas

multimodales.

Tesis

para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de

Maestro en Ciencias

Presenta:

Marıa del Rocio Camacho Morales

Ensenada, Baja California, Mexico

2015

Tesis defendida por

Marıa del Rocio Camacho Morales

y aprobada por el siguiente comite

Dra. Karina Garay Palmett

Codirector del Comite

Dr. Raul Rangel Rojo

Codirector del Comite

Dr. Anatoly Khomenko

Miembro del Comite

Dr. Eugenio Rafael Mendez Mendez

Miembro del Comite

Dr. Manuel Herrara Zaldıvar

Miembro del Comite

Dr. Pedro Negrete RegagnonCoordinador del Programa de

Posgrado en Optica

Dr. Jesus Favela VaraDirector de Estudios de Posgrado

Febrero, 2015

iii

Resumen de la tesis que presenta Marıa del Rocio Camacho Morales como requisitoparcial para la obtencion del grado de Maestro en Ciencias en Optica.

Estudio de procesos no-lineales en fibras opticas multimodales.

Resumen elaborado por:

Marıa del Rocio Camacho Morales

La generacion de senales no lineales en fibras opticas ha presentado interes debidoa sus multiples aplicaciones en areas como la metrologıa, la microscopıa, y la opticacuantica, entre otras. Particularmente, la generacion de pares y tripletes de fotones parasu aplicacion en el area de optica cuantica es posible por medio de la no linealidad detercer orden que presentan las fibras opticas. La eficiencia en la generacion de pares ytripletes de fotones depende del traslape espacial entre modos, sujeta a la condicion deconservacion de momento.

Recientemente, se han estudiado procesos opticos no lineales en las denominadasfibras microestructuradas. El control de la dispersion de los modos guiados y las grandeslongitudes de interaccion provistas por este tipo de fibras permite aumentar la eficienciade los procesos no lineales.

En este trabajo, exploramos una variedad de configuraciones que permiten cumplircon la condicion de empatamiento de fases en dos procesos parametricos no lineales detercer orden, la mezcla de cuatro ondas y la generacion de tercer armonico, en diferentesfibras microestructuradas. El calculo de las condiciones de empatamiento de fases mostrola posibilidad de estudiar procesos parametricos no lineales de tercer orden, por mediode un campo de bombeo centrado alrededor de 800 o bien 400 nm. De acuerdo a estosresultados, escogimos una fibra microestructurada para estudiar el proceso de generacionde tercer armonico, por medio del fundamental de un laser de Ti:Zafiro. Se observo lageneracion de dos senales principales en la region espectral del UV alrededor de 300nm y 340 nm. Interpretamos la generacion de ambas senales como senales de tercerarmonico que se propagan en modos espaciales de orden superior.

Palabras Clave: optica no lineal, fibras opticas, generacion de tercer armonico.

iv

Abstract of the thesis presented by Marıa del Rocio Camacho Morales as a partial requi-rement to obtain the Master of Science degree in Master in Sciences in Optics.

Study of nonlinear process in multimode fibers

Abstract by:

Marıa del Rocio Camacho Morales

The generation of nonlinear signals in optical fibers has showed interest due to theseveral applications in metrology, microscopy, quantum optics, among others. In particular,the generation of photon pairs and photon triplets, for applications in quantum optics, arepossible through the third order nonlinearity of optical fibers. The emission efficiency ofphoton pairs and photon triplets depends on energy and momentum conservation, andalso on the spatial overlap among the interacting fields.

Recently, nonlinear processes have been studied in the so called microstructured fi-bers. The controlled dispersion of the guided modes and the large interactions lengthsprovided by these fibers, permits the enhancement of nonlinear process.

In this work, we explore a variety of configurations to accomplish the phase matchingcondition for two third order nonlinear parametric processes, four wave mixing and thirdharmonic generation, in different microstructured fibers. The calculation of the phase mat-ching conditions showed the possibility for generating signals through third order nonlinearparametric processes, using a pump field around 800 nm or 400 nm. According to theseresults, we chose a microstructured fiber to study the third harmonic generation processusing the fundamental of a Ti:Saphire laser. We observed the generation of two main sig-nals in the UV spectral region around 300 nm and 340 nm. We interpret the generation ofthese two signals as third harmonic signals that propagate in high order spatial modes.

Keywords: nonlinear optics,fiber optics, third harmonic generation.

v

Dedicatoria

A mis padres Jose Antonio y Patricia, y a

mis hermanas Carolina y Monica.

vi

Agradecimientos

Mi mayor agradecimiento es para mi familia. A mis padres por el amor y el carino

que me han brindado, que me acompana a donde quiera que voy. Por su confianza y

apoyo que me sostiene en cada paso que doy en la vida, por apoyarme en mis decisiones

y alentarme a seguir adelante, porque siempre que estan conmigo me siento en casa.

A mis hermanas Carolina y Monica, porque en ellas siempre encuentro una mano amiga

para continuar, un buen consejo, por alegrarme la vida, por recordarme cual es mi camino

y por su ejemplo de vida que siempre me invita a ser una persona mas completa.

A la familia Gomez por el apoyo incondicional y la ayuda que me brindaron desde que

los conocı, por tratarme como parte de la familia y acompanarme en momentos difıciles.

A la familia Cordova por abrirme las puertas de su casa y brindarme la oportunidad

de compartir con ellos, por los abrazos de chicos y grandes con los que me recibıan en

su casa.

A Margoth por todos los momentos y platicas significativas que compartimos, por la

franqueza de sus palabras que siempre me ayudaron a ver mas alla de lo inmediato, por

la risas con y sin sentido que tuvimos juntas.

A Enrique por su amistad y ayuda que me hicieron saber que siempre contaba con

alguien, por saber escucharme y entenderme, por los silencios que compartimos.

A Ivan, Daniel y Cristian por los momentos que compartimos en la maestrıa, por la

amistad y companerismo que nos unio durante las materias para hacernos los dıas mas

ligeros.

A mis companeros y amigos, Miriam, Citlali, Hector, Manuel, Daniel, Sergio, Ivan, Lalo,

Giovanni, por todas las platicas y momentos que compartimos dentro y fuera del CICESE.

vii

A Mony y Carlos, grandes amigos que conocı en Ensenada. Estoy segura que su

amistad continuara mas alla de Ensenada.

A mis profesores por todas las herramientas que me brindaron durante el ano de

materias, por sus ensenanzas y por compartirme su experiencia.

A mis codirectores de tesis: Dra. Karina Garay y Dr. Raul Rangel por su confianza y

por todo lo que me han aportado para crecer en mi formacion academica.

A mis companeros de laboratorio, Jacob, Jazmın, Carlos, Hector, Boni, por sus conse-

jos y ayuda durante mi trabajo en el laboratorio.

Al Dr. Israel por su ayuda y consejos dentro y fuera del laboratorio.

A los tencinos Marcos y Eliseo por la disposicion que mostraron para ayudarme en mi

trabajo. Por los consejos que me dieron para mejorar mi forma de trabajo.

A mi comite de tesis: Dr. Anatoly Khomenko, Dr. Eugenio Mendez y Dr. Manuel Herra-

ra, por sus comentarios y aportaciones a mi trabajo de tesis.

Al Dr. Santiago por el apoyo que me brindo durante mi ingreso a la maestrıa.

Al Centro de Investigacion Cientıfica y de Educacion Superior de Ensenada.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONACyT) por brindarme el apoyo

economico para realizar mis estudios de maestrıa.

viii

Tabla de contenidoPagina

Resumen en espanol iii

Resumen en ingles iv

Dedicatoria v

Agradecimientos vi

Lista de figuras ix

1. Introduccion 11.1. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Fibras opticas y procesos no lineales. 72.1. Fibras opticas y sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Propagacion lineal en fibras opticas. Atenuacion y dispersion. . . . . . 92.3. Fibras Microestructuradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1. Modelo teorico de la fibra microestructurada. . . . . . . . . . . 162.3.2. Expresiones del campo electromagnetico. . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Procesos no lineales de tercer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. Procesos parametricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1. Mezcla de cuatro ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.2. Generacion de tercer armonico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6. Procesos no parametricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Propiedades de Empatamiento de Fases. 333.1. Calculo de la dispersion de velocidad de grupo. . . . . . . . . . . . . . 333.2. Calculo de empatamiento de fases para procesos parametricos. . . . 35

3.2.1. Empatamiento de fases para el proceso de FWM. . . . . . . . 393.2.2. Empatamiento de fases para el proceso de THG . . . . . . . . 47

4. Implementacion experimental y resultados. 554.1. Descripcion de la propuesta experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2. Caracterizacion del pulso de bombeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1. Perfil espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.2. Perfil temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3. Generacion de supercontinuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4. Generacion de senales en la region del espectro UV. . . . . . . . . . . 65

4.4.1. Variacion de la senal con cambios de potencia. . . . . . . . . . 684.4.2. Variacion de la senal con cambios de polarizacion. . . . . . . . 70

4.5. Analisis de los resultados obtenidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6. Comparacion de resultados experimentales y teoricos. . . . . . . . . . 784.7. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5. Resumen y conclusiones 86

Lista de referencias 89

ix

Lista de figurasFigura Pagina

1. Perdidas inducidas en una fibra optica mediante diferentes mecanismosfısicos (tomado de referencia Saleh y Teich, 1991). . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Propagacion de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el regimen dedispersion normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Propagacion de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el regimen dedispersion anomalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Corte transversal de una MSF y sus correspondientes parametros geometri-cos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Esquema del proceso de mezcla de cuatro ondas con un bombeo dege-nerado. En el esquema las flechas que representan a los dos fotones debombeo se dibujaron con la misma longitud, para representar que ambosfotones tienen la misma frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6. Esquema del proceso de generacion de tercer armonico. . . . . . . . . . . 28

7. Representacion esquematica del esparcimiento Raman espontaneo. a) Ge-neracion de onda Stokes y b) Generacion de onda anti-Stokes. . . . . . . . 32

8. Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagacion HE1m

correspondientes a la fibra NL 1.8 730. (b) Modos de propagacion HE2m

correspondientes a la fibra NL 2.4 800. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9. Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagacion EH1m

correspondientes a la fibra NL 2.5 810. (b) Modos de propagacion EH2m

correspondientes a la fibra SC 5.0 1040. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 1.8 730 con los cuatrocampos propagandose en el modo HE12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 con los cuatrocampos propagandose en el modo HE13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

12. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 cuando losdos campos de bombeo se propagan en el modo HE11 y los dos camposgenerados en el modo HE11 y HE12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

13. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando loscuatro campos se propagan en el modo HE13. . . . . . . . . . . . . . . . . 44

14. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando losdos campos de bombeo se propagan en el modo HE11 y los dos camposgenerados en el modo HE12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

x

Lista de figuras (continuacion)

Figura Pagina

15. Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra NL 1.8 730,al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m (b)HE2m (c) HE3m. La insercion muestra el valor de la funcion desempata-miento de fases sin considerar la fase no lineal (negro) y considerando lafase no lineal (rojo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

16. Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra NL 2.4 800,al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m. (b)HE2m. (c) HE3m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

17. Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040,al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m. (b)HE2m. (c) HE3m.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

18. Diagrama del arreglo experimental para estudiar los procesos no linealesgenerados en la fibra NL 2.4 800. E1, E2, espejos; L, lente; F filtro; TFMtubo fotomultiplicador; FAV fuente de alto voltaje; PA preamplificador. . . . 57

19. Respuesta espectral tıpica del TFM HAMAMATSU R2557. . . . . . . . . . 58

20. Perfil espectral del laser Ti:Zafiro modelo Griffin. . . . . . . . . . . . . . . . 59

21. Diagrama del autocorrelador utilizado para medir el ancho temporal del pulso. 61

22. Traza de autocorrelacion de intensidad del campo de bombeo. . . . . . . . 62

23. Perfil espectral a la salida del laser Ti:Zafiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

24. Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del visible e IRcercano: (a) al variar la potencia del campo de bombeo (b) el angulo derotacion de la fibra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

25. Perfil espectral del laser Ti:Zafiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

26. Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del UV. . . . . . . . 67

27. Diagrama del arreglo experimental para estudiar el proceso THG. E1, E2,espejos; L, lente; F filtro; TFM tubo fotomultiplicador; FAV fuente de altovoltaje; TA-D tarjeta analogica-digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

28. Espectros generados a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del UVcon diferente perfil espectral del campo incidente en la fibra y condicionesde acoplamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

29. Arreglo experimental que permite controlar la potencia y la polarizacion delcampo proveniente del laser de Ti:Zafiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

xi

Lista de figuras (continuacion)

Figura Pagina

30. Espectros generados a la salida de la fibra en la region del espectro UV alvariar la potencia del campo incidente en la fibra. En la esquina superiorderecha se encuentra el perfil de intensidad a la salida de la fibra. . . . . . 70

31. Graficas Log-Log de la intensidad de la senales en funcion de la potenciadel campo incidente en la fibra: a) senal centrada alrededor de 300 nm. b)senal centrada alrededor de 340 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

32. Graficas de la intensidad de la senales en funcion de la polarizacion delcampo incidente en la fibra: a) senal centrada alrededor de 300 nm. b)senal centrada alrededor de 340 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

33. Imagenes del corte transversal de la fibra NL 2.4 800 adquiridas con unSEM a diferentes escalas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

34. Generacion de tercer armonico mediante la participacion de tres fotones debombeo con la misma longitud de onda: a) Diagrama de niveles de energıapara dicho proceso. b) Calculo de empatamiento de fases de dicho proceso. 75

35. Diagrama de niveles de energıa para el proceso de THG con un campo debombeo no degenerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

36. Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en mo-dos de orden superior: a) modo EH13 (b) modo HE52 (c) modo EH51. . . . 78

37. a) Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en elmodo HE52. b) Espectro generado en la region del espectro UV. c) Corres-pondiente espectro del SC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

38. a) Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en elmodo EH51. b) Espectro generado en la region del UV. c) Correspondienteespectro del SC.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

xii

Lista de tablasTabla Pagina

1. Parametros de las cuatro fibras disponibles . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamientode fases para la fibra NL 1.8 730 cuando el tercer armonico viaja enun modo HElm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. Valores asociados a la soluciones a la condicion de empatamiento defases para la fibra NL 2.4 800 cuando el tercer armonico se propagaen un modo HElm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamientode fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando el tercer armonico sepropaga en un modo HElm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. Parametros de la fibra NL 2.4 800 otorgados por el fabricante. . . . . 74

6. Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamientode fases para la fibra NL 2.4 800. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1

Capıtulo 1. Introduccion

El estudio de procesos no lineales es un campo de estudio de la optica que ha mostra-

do un gran desarrollo, tanto en la parte experimental como en la teorica. Sus aplicaciones

se extienden a diversas areas como medicina, biologıa, telecomunicaciones, entre otras.

Dependiendo del interes, a lo largo del estudio de estos procesos se han utilizado di-

ferentes materiales como: cristales no lineales, compuestos organicos, guıas de onda,

nanopartıculas, etc. En este trabajo se estudiaron procesos no lineales de tercer orden

en fibras opticas, debido a las grandes longitudes de interaccion que presentan, en com-

paracion con el uso de otros materiales como lo son cristales no lineales.

La mayorıa de las fibras opticas utilizadas en comunicaciones opticas estan hechas de

sılice fundida (SiO2), material que exhibe una atenuacion muy baja en la region espectral

alrededor de λ=1550 nm. Debido a que el coeficiente no lineal de este material es muy

bajo comparado con el de otros materiales, la intensidad de los procesos no lineales que

pudieran manifestarse es muy baja. No obstante, debido a la dependencia de estos pro-

cesos con la potencia del campo incidente y la longitud de interaccion entre los campos,

los efectos opticos no lineales a altos niveles de potencia optica no pueden ser ignorados,

en un segmento largo de fibra (Yariv y Yeh, 2007). El estudio del origen de los fenomenos

no lineales indica que la susceptibilidad electrica de segundo orden es diferente de cero

unicamente en materiales no centrosimetricos. Debido a la naturaleza centrosimetrica de

la matriz vıtrea del SiO2, la susceptibilidad electrica de segundo orden desaparece en las

fibras de sılice. Como resultado, las fibras opticas no exhiben, convencionalmente, efec-

tos no lineales de segundo orden (Agrawal, 2001). Tıpicamente, los procesos no lineales

de mas bajo orden en fibras opticas se derivan de la susceptibilidad no lineal (electronica)

de tercer orden, responsable de fenomenos como refraccion no lineal, mezcla de cuatro

ondas, generacion de tercer armonico, automodulacion de fase, esparcimiento Raman,

etc.

Hoy en dıa se utilizan fibras microestructuradas, tambien conocidas como fibras de

cristal fotonico, para el estudio de fenomenos no lineales, debido a que estas presentan

un valor mayor en el coeficiente no lineal efectivo en comparacion con el de las fibras con-

vencionales. Las fibras microestructuradas son una clase de fibras opticas en las que la

2

cubierta contiene un arreglo regular y periodico de agujeros rellenos de aire que corren a

lo largo de toda la fibra (Genty et al., 2002). Los agujeros de aire alrededor del nucleo dis-

minuyen el ındice de refraccion de la cubierta permitiendo guiar la luz al interior de la fibra

por el principio de reflexion total interna, como en las fibras opticas convencionales. La

diferencia entre el valor del ındice de refraccion de la cubierta y el nucleo es una cantidad

importante que determina algunas de las propiedades de una fibra optica, dicha diferen-

cia es representada por el valor del contraste dielectrico. En una fibra microestructurada

la disminucion en el valor del ındice de refraccion de la cubierta, y en consecuencia el au-

mento en el valor del contraste dielectrico, es tal que los modos guiados presentan un alto

confinamiento en el nucleo. El alto confinamiento de los modos guiados realza la intensi-

dad pico y permite aumentar, de esta forma, la eficiencia de los procesos no lineales. Otra

propiedad importante de las fibras microestructuradas es la posibilidad de obtener fibras

con caracterısticas de dispersion favorables para estudiar procesos no lineales. El control

de las propiedades de dispersion de la fibra se realiza por medio del diseno adecuado

de la geometrıa de la cubierta, es decir, por medio de una distribucion adecuada de los

agujeros de aire en esta. En las fibras convencionales de sılice la longitud de onda donde

la dispersion es cero, λZD, no puede estar por debajo de 1.28 µm (Francoy et al., 2010),

mientras que en las fibras microestructuradas λZD se puede recorrer desde el visible has-

ta el infrarrojo cercano (Bjarklev et al., 2003). Esta caracterıstica es muy relevante para el

desarrollo de aplicaciones basadas en optica no lineal, ya que permite utilizar como laser

de bombeo toda la gama de laseres que emiten en torno a 800 nm (Ti:Zafiro) o a 1µm

(Nd:YAG, o basados en Yb), al sintonizar la longitud de onda de cero dispersion de la fibra

alrededor de la longitud de onda central de los pulsos laser; disminuyendo de esta forma

el ensanchamiento de los pulsos causados por efectos de dispersion. En consecuencia,

la longitud de coherencia de las interacciones no lineales aumenta, debido a que es po-

sible conseguir un traslape temporal de dos pulsos opticos que se propagan a diferente

longitud de onda. Por otro lado, tambien es posible obtener fibras microestructuradas que

presentan dos valores diferentes de λZD (Husakou y Herrmann, 2001).

Las fuentes de luz no clasicas han sido ampliamente utilizadas en el area de me-

trologıa cuantica e informacion cuantica. El uso de tripletes de fotones (generados por

medio del proceso de conversion parametrico descendente) se ha propuesto como una

3

nueva herramienta para la optica cuantica y la optica no lineal (Douady y Boulanger, 2004;

Hubel et al., 2010); como el uso de pares de fotones (generados, entre otros, por medio

de mezcla de cuatro ondas) lo ha sido por aproximadamente 40 anos. La generacion de

tripletes de fotones es el proceso parametrico inverso a la generacion del tercer armonico

y requiere, por tanto, de las mismas condiciones de empatamiento de fases. Aumentar

la eficiencia (extremadamente pequena) del proceso de conversion parametrica descen-

dente constituye un reto significativo por resolver.

Por otro lado, modos de orden superior pueden tener aplicaciones en el estudio de

interacciones de luz con la materia. Los modos de orden superior soportados por la fibra

constituyen un recurso interesante para el estudio de interacciones de objetos, que pue-

den ser biologicos, con luz. Adicionalmente, el campo evanescente de un modo de orden

superior propagandose en una fibra de escalas nanometricas, podrıa producir una torca

sobre un objeto cercano, la cual se manifestarıa en un movimiento rotacional del objeto

alrededor de la fibra, si el modo exhibe momento angular orbital (McGloin et al., 1998).

En el caso del proceso de FWM la condicion de empatamiento de fases se cumple

para un intervalo de longitudes de onda. Ası, las diversas soluciones a la condicion de

empatamiento de fases definen una curva de empatamiento de fases. En el proceso de

FWM las curvas de empatamiento de fases estan relacionadas con los puntos λZD de la

fibra optica, observandose que la curva de empatamiento de fases se encuentra en las

vecindades de este punto. Para el caso particular en el cual dos λZD estan presentes,

la curva de empatamiento de fases se encuentra definida entre estos dos puntos. Ası, al

trabajar con modos de orden superior se hace posible trasladar las zonas espectrales en

las cuales se generan senales parametricas por mezcla de cuatro ondas, manteniendo las

propiedades que se presentan cuando el campo de bombeo y los campos generados se

propagan en el modo fundamental. La observacion de modos de orden superior en fibras

convencionales multimodales a traves del proceso no lineal de mezclado de cuatro ondas

fue reportado por primera vez por Stolen (Stolen y Leibolt, 1976), donde las componentes

Stokes y Antistokes fueron generadas en diferentes modos guiados.

Con respecto al proceso de THG, la amplia separacion espectral entre el campo de

bombeo y el campo generado impide cumplir la condicion de empatamiento de fases en

4

fibras monomodales, debido a efectos de dispersion. Mas aun, en fibras opticas multimo-

dales que se caracterizan por tener una pequena diferencia entre el valor del ındice de

refraccion del nucleo y la cubierta (fibras convencioneales), no es posible cumplir la con-

dicion de empatamiento de fases para el proceso de tercer armonico. Este tipo de fibras,

tambien conocidas como fibras de guiado debil, poseen un valor pequeno del contraste

dielectrico. La generacion de tercer armonico ha sido previamente observada en fibras de

cristal fotonico (Ivanov et al., 2006) o bien en fibras opticas adelgazadas (tapers) (Wie-

demann et al., 2010). En estos casos se observo que la senal de tercer armonico se

propaga en un modo de orden superior, mientras que la senal de bombeo se propaga

en el modo fundamental. Dicha configuracion modal permite cumplir con la condicion de

empatamiento de fases. El estudio del tercer armonico en tapers ha demostrado una alta

dependencia con el valor del diametro de la fibra, debido a la sensibilidad de la condicion

de empatamiento con este parametro. Por lo anterior, la conversion del tercer armonico

esta limitada por la condicion de empatamiento de fases, que se cumple unicamente en

la region de la cintura del taper. En la mayorıa de los casos la cintura del taper tiene una

longitud del orden de milımetros. En dicha region, se hace posible la interaccion entre el

campo fundamental y el campo del tercer armonico (Coillet y Grelu, 2012). Por otro lado,

el estudio del tercer armonico en fibras microestructuradas permite aumentar la eficiencia

del proceso cuando la condicion de empatamiento de fases se cumple a lo largo de toda

la fibra.

En el presente trabajo se propone estudiar los procesos no lineales generados a par-

tir de la interaccion de campos propagandose en distintos modos. La propagacion de

modos de orden superior en el estudio de fenomenos no lineales generados en fibras

microestructuradas presenta mayores alternativas, frente a la propagacion en el modo

fundamental. Concretamente, los procesos no lineales de interes para el presente tra-

bajo son los procesos parametricos: mezcla de cuatro ondas (FWM por sus siglas en

ingles Four Wave Mixing) y generacion de tercer armonico (THG por sus siglas en ingles

Third Harmonic Generation). En los procesos parametricos es necesario cumplir con la

condicion de empatamiento de fases (conservacion de momento) para obtener procesos

eficientes.

5

1.1. Objetivos.

El objetivo principal de la tesis es implementar tecnicas para la excitacion de modos

de orden superior en fibras microestructuradas y estudiar los procesos no lineales ori-

ginados por la interaccion de campos propagandose en diferentes modos transversales.

Particularmente, para el estudio de procesos parametricos no lineales de tercer orden se

fijaron los siguientes objetivos especıficos:

Identificar los modos de propagacion involucrados en el proceso no lineal generado.

Estudiar la dependencia de las senales generadas con cambios en la intensidad y

la polarizacion del campo incidente en la fibra.

1.2. Estructura de la tesis

La tesis que se presenta se ha estructurado en cinco capıtulos. Tras esta introduccion,

en el capıtulo 2 se describe el principio de funcionamiento y las principales caracterısticas

de una fibra optica. Se describen tambien las principales caracterısticas de la propaga-

cion lineal en fibras opticas y los principales problemas que presentan por efectos de

atenuacion y dispersion. Posteriormente, se describen las caracterısticas de una fibra mi-

croestructurada y su posible aproximacion a una fibra con un perfil de ındice escalonado;

dicha aproximacion permitira realizar calculos de interes para el presente trabajo. Final-

mente, se presenta una breve introduccion a los procesos no lineales de tercer orden,

con especial enfasis en los procesos parametricos de interes: mezcla de cuatro ondas y

generacion del tercer armonico.

En el capıtulo 3 se presentan calculos de la dispersion de velocidad de grupo de los

diferentes modos de propagacion que soportan las fibras microestructuradas. Posterior-

mente, se presentan los calculos de empatamiento de fases que mayor interes presen-

taron por su posible implementacion experimental con el laser de Ti:Zafiro. Primero se

presentaron los calculos para el proceso de FWM y posteriormente para el proceso de

THG en cuatro diferentes fibras disponibles en el laboratorio de Pulsos Ultracortos. En el

caso del proceso de THG se calculo el valor del coeficiente no lineal γ.

6

De acuerdo a los resultados de los calculos que presentamos en el capıtulo anterior,

en el capıtulo 4 se describe el arreglo experimental que se implemento para estudiar

el proceso de THG. Se presenta la caracterizacion temporal y espectral del campo de

bombeo proveniente del laser de Ti:Zafiro y posteriormente los espectros generados a la

salida de la fibra microestructurada. Los espectros incluyen la generacion de un super-

continuo y de senales en la region espectral del UV; las senales generadas en la region

del espectro UV fueron estudiadas con cambios en la polarizacion y la potencia del cam-

po acoplado a la fibra. Por ultimo, se presenta una discusion de los resultados obtenidos

experimentalmente y su comparacion con los calculos realizados.

Finalmente, en el capıtulo 5, se presentan un resumen y las conclusiones del presente

trabajo.

7

Capıtulo 2. Fibras opticas y procesos no lineales.

En este capıtulo se presentan las principales caracterısticas y propiedades de una fi-

bra optica, ası mismo se justifica el modelo teorico bajo el cual se realizaron los calculos

pertinentes a las fibras microestructuradas y se derivan algunas de las expresiones de di-

cho modelo. Por ultimo, se describe el origen de los procesos no lineales de tercer orden,

se describe brevemente algunos de ellos y se presentan algunas de las expresiones mas

importantes de los procesos parametricos no lineales de tercer orden.

2.1. Fibras opticas y sus propiedades.

Una fibra optica es una guıa de onda cilındrica que se caracteriza por el valor en el

ındice de refraccion del nucleo y la cubierta, n1 y n2 respectivamente, por la relacion que

se debe de cumplir entre ambos ındices n1 > n2, ası como por el valor del radio del

nucleo a. De acuerdo a la forma funcional del ındice de refraccion en el nucleo y en la

cubierta, las fibras opticas convencionales se clasifican principalmente en dos: fibras con

perfil de ındice escalonado y fibras con perfil de ındice gradual. En una fibra con perfil

de ındice escalonado el valor del ındice de refraccion es uniforme en el nucleo y tambien

en la cubierta, con un cambio abrupto (entre el valor de ambos ındices) en la interfaz

nucleo-cubierta. Por otro lado, en una fibra con perfil de ındice gradual, como su nombre

lo indica, el valor del ındice de refraccion varıa gradualmente desde un valor maximo en el

centro del nucleo hasta un valor mınimo en la interfaz nucleo-cubierta el valor del ındice

de refraccion del nucleo es mınimo.

Cuando un haz de luz incide en una fibra optica el haz es guiado dentro del nucleo

de la fibra, por el principio de reflexion interna total, siempre que el haz incida dentro del

cono de aceptacion de la fibra. El angulo θm = arcsen(NA) define el cono de aceptacion

de una fibra optica, en donde NA =√n21 − n2

2 es la apertura numerica de la fibra. Ası,

cuando un haz incide a un angulo menor a θm se dice que el haz incide dentro del cono

de aceptacion de la fibra y por tanto es guiado dentro del nucleo. Una fibra soporta un

determinado numero de modos de propagacion. Un modo es una distribucion del campo

cuyo perfil transversal y polarizacion se mantienen constante al propagarse. El parametro

V, tambien llamado frecuencia normalizada, permite calcular el numero de modos que

8

soporta la fibra; es ademas un parametro clave en la caracterizacion de una fibra. Su

valor depende de los parametros de la fibra y de la longitud de onda λ del haz incidente,

matematicamente se expresa como

V = κ0a√n21 − n2

2 =2π

λaNA. (1)

El numero de modos soportados por una fibra es funcion creciente de V. En una fibra

con un perfil de ındice escalonado (Seccion 2.3.1) se cumple que V < 2.405 para fibras

monomodales, en las que solo se propaga el modo fundamental. Para V > 2.405 la fibra

puede soportar la propagacion de dos o mas modos, en este caso la fibra se denomina

fibra multimodal (Agrawal, 2001). Para obtener fibras monomodales usualmente se redu-

ce el radio del nucleo de la fibra, por consiguiente la diferencia geometrica mas relevante

entre las fibras monomodo y multimodo viene dada por el tamano del nucleo. Para todo

modo guiado, a excepcion del modo fundamental, existe una longitud de onda de corte

λc. La longitud de onda de corte λc se refiere a una cota o lımite superior respecto a la

longitud de onda λ maxima que puede ser guiada a lo largo de la fibra. Cerca de la con-

dicion de corte la mayor parte de la energıa del correspondiente modo se propaga por

la cubierta, se trata de modos poco confinados. En las fibras opticas convencionales se

introducen elementos dopantes en el nucleo y/o en la cubierta, modificando ası el valor

del ındice de refraccion correspondiente. De esta forma, se logra aumentar el ındice de

refraccion del nucleo en comparacion con el de la cubierta, condicion necesaria para guiar

la luz por reflexion total interna. Los modos de propagacion de una fibra optica conven-

cional son usualmente referidos como modos LP , o bien modos linealmente polarizados.

Los modos LP son soluciones aproximadas al problema de un campo electromagnetico

propagante dentro de una fibra optica. La aproximacion supone que el campo tiene una

unica componente transversal. Esta aproximacion es valida en fibras opticas convencio-

nales en donde la diferencia entre el ındice de refraccion del nucleo n1 y la cubierta n2 es

muy pequena. Cuando la diferencia entre n1 y n2 es grande los modos de propagacion

son referidos como modos hıbridos. Las caracterısticas de estos modos seran tratadas

mas adelante.

Las propiedades opticas del medio que conforma a la fibra, incluyendo su atenuacion

9

y efectos de dispersion, son puntos claves para describir la transmision de pulsos de luz

a traves de una fibra optica. A continuacion se describen estas propiedades.

2.2. Propagacion lineal en fibras opticas. Atenuacion y dispersion.

En una fibra optica existen diversos mecanismos que dan lugar a perdidas de energıa,

las cuales se miden por medio de la atenuacion. La atenuacion en una fibra se debe a

aspectos propios de la fibra, atenuacion intrınseca, o bien a aspectos externos a ella, ate-

nuacion extrınseca. La atenuacion intrınseca, como su nombre lo indica, tiene su origen

en la naturaleza del material y por tanto esta presente en cualquier tipo de fibra. La absor-

cion ultravioleta e infrarroja y el esparcimiento Rayleigh y Raman, son algunos ejemplos

de los fenomenos fısicos que dan lugar a la atenuacion intrınseca. La molecula de SiO2,

material que compone a la mayorıa de las fibras opticas, presenta una banda de absorcion

en el IR mediano (debido a transiciones energeticas relacionadas con vibraciones termi-

cas) y otra banda de absorcion en el UV (debido a transiciones relacionadas con estados

energeticos electronicos y moleculares), induciendo perdidas en la fibra optica al trans-

mitir en estas regiones del espectro. Para explicar las perdidas debido al esparcimiento

Rayleigh debemos recordar que en cualquier material dielectrico, el ındice de refraccion

presenta pequenas inhomogeneidades distribuidas al azar debido a irregularidades mi-

croscopicas. Estas irregularidades se comportan como centros esparcidores discretos

cuando una onda luminosa incide sobre este medio. En una fibra optica, las inhomoge-

neidades presentes difunden la luz que atraviesa la fibra en todas direcciones (radiacion

Rayleigh). En consecuencia una parte de la energıa luminosa guiada por la fibra se pierde

por esparcimiento. Este fenomeno afecta mayoritariamente a longitudes de onda cortas

y esta relacionado con el caracter discreto del material aunque este sea modelado como

un medio dielectrico continuo (Saleh y Teich, 1991). La atenuacion extrınseca, al tener su

origen en aspectos externos a la fibra, es mas controlable. La presencia de impurezas o

la curvatura inducida en una fibra son algunos ejemplos que dan lugar a perdidas por ate-

nuacion de tipo extrınseco. Una pequena cantidad de impurezas puede inducir grandes

perdidas en la transmision. Las impurezas mas importantes que afectan las transmision

de un onda son los iones de OH, los cuales presentan un pico de absorcion principal al-

rededor de λ=1400 nm. En la figura 1 es posible observar las perdidas inducidas en una

10

fibra optica debido a los diferentes mecanismos fısicos mencionados anteriormente.

Ate

nuac

ión

de fi

bra

(dB

/Km

)

Longitud de onda (μm)

Figura 1: Perdidas inducidas en una fibra optica mediante diferentes mecanismos fısicos (tomadode referencia Saleh y Teich, 1991).

Por otro lado, cuando un pulso de luz se propaga a traves de un medio optico expe-

rimenta un fenomeno fısico conocido como dispersion. La dispersion tiene su origen en

la interaccion entre los electrones del medio y el campo incidente. En un medio optico, la

relacion de dispersion esta dada por

β(ω) = n(ω)ω

c, (2)

donde β(ω) y n(ω) son respectivamente, la constante de propagacion y el ındice de re-

fraccion a la frecuencia ω y c es la velocidad de la luz en el vacıo. Esta relacion indica

que cuando un pulso se propaga a traves de un medio cada frecuencia del pulso viaja a

diferente velocidad; en consecuencia se produce un ensanchamiento temporal del pulso

y la forma del mismo cambia.

En una fibra optica la dispersion tiene un papel crıtico en la propagacion de pulsos opti-

cos de corta duracion, debido a que las diferentes componentes espectrales asociadas

al pulso viajan a diferente velocidad; cada componente espectral viaja a una velocidad de

fase dada por vf = c/n(ω). Para una senal con un ancho espectral finito la velocidad de

fase no es la cantidad mas adecuada para describir la propagacion de la onda. Se define

11

por tanto a la velocidad de grupo como vg = (dω/dκ), que representa la velocidad a la

cual el centro del pulso se propaga. Si un paquete de ondas centrado a una frecuencia

ω0 se propaga en el vacıo, la velocidad de fase y la velocidad de grupo son constantes e

iguales a c, en cuyo caso el medio se identifica libre de dispersion.

En una fibra optica se presentan principalmente tres tipos de dispersion: dispersion

del material, dispersion de guıa y dispersion modal. La dispersion del material expresa la

dependencia del ındice de refraccion n del medio, y en consecuencia de la velocidad de

fase de la onda, con la frecuencia ω de la onda incidente; esto es n = n(ω). La dispersion

del material se relaciona con las frecuencias caracterısticas de resonancia a las cuales

el material absorbe radiacion electromagnetica. Lejos de las resonancias del material, el

ındice de refraccion se aproxima por la ecuacion de Sellmeier

n2(ω) = 1 +m∑j=1

Bjω2j

ω2j − ω2

, (3)

donde ωj indica la frecuencia de resonancia de orden j y Bj su peso respectivo (Agrawal,

2001). Este tipo de dispersion esta siempre presente en un medio material, mientras que

la dispersion de guıa de onda y modal son exclusivas de los dispositivos de guiado de luz.

La dispersion de guıa de onda se refiere a la dependencia de la velocidad de grupo con

la longitud de onda del haz incidente, incluso cuando la dispersion del material es des-

preciable. Esta dependencia se debe a que la distribucion del campo en la fibra depende

de la razon entre el radio a de la fibra y la longitud de onda λ incidente. Si esta cantidad

cambia, al variar λ, la proporcion de potencia optica entre el nucleo y la cubierta cambia.

Debido a que la velocidad de fase en el nucleo y la cubierta son distintas, la velocidad de

grupo se modifica. La dispersion de guıa de onda es importante en fibras monomodales

donde la dispersion modal no esta presente y la dispersion del material puede reducirse

considerablemente para ciertas longitudes de onda. La dispersion modal, tambien cono-

cida como dispersion intermodal, se presenta unicamente en fibras multimodales, donde

los diferentes modos de propagacion adquieren diferente velocidad de grupo. El ensan-

chamiento por dispersion modal es proporcional a la longitud de la fibra y depende de la

velocidad de grupo maxima y mınima de los modos que se propagan.

12

A partir de la descripcion anterior, es posible notar que tanto la dispersion del material

como la dispersion de guıa de onda dependen de la frecuencia ω de la onda incidente.

El efecto combinado de la dispersion material y la dispersion de guıa de onda se conoce

como dispersion cromatica. La dispersion cromatica, tambien conocida como dispersion

intramodal, tiene su origen en el pequeno pero finito ancho de banda de la luz incidente.

La forma sencilla de la relacion de dispersion descrita en la ecuacion (2) no describe

adecuadamente la curva de dispersion cromatica en una fibra optica. Dado que rara vez

se conoce una forma funcional exacta de la relacion de dispersion, resulta util hacer una

expansion en una serie de Taylor de β(ω) alrededor de la frecuencia central del espectro

del pulso ω0

β(ω) = β0 + (ω − ω0)β1 +1

2(ω − ω0)

2β2 +1

6(ω − ω0)

3β3 + . . . , (4)

donde

β(ω)m =

(dmβ(ω)

dωm

)ω=ω0

. (5)

El parametro β0 esta relacionado con la velocidad de fase vf , mientras que β1 re-

presenta el inverso de la velocidad de grupo vg; β2 es conocido como el parametro de

dispersion de la velocidad de grupo (DVG) y es responsable del ensanchamiento de los

pulsos que se propagan en el regimen lineal a lo largo de la fibra (Agrawal, 2001). Los

terminos βj con j > 2 corresponden a efectos de dispersion de orden superior. En termi-

nos matematicos, lo anterior se expresa como

β0 =ω0

vf, (6)

β1 =1

vg=

1

c

(n+ ω

dn

dω

), (7)

β2 =1

c

(2dn

dω+ ω

d2n

d2ω

). (8)

Por otro lado, el coeficiente de dispersion cromatica D (mas utilizado en la practica)

esta definido como

D =dβ1

dλ= −2πc

λ2β2. (9)

13

Podemos notar de la ecuacion (9) que D y β2 tienen signo contrario. Una caracterıstica

notable de las curvas de dispersion de velocidad de grupo es que la dispersion se anula

a una cierta longitud de onda λ. A esta longitud de onda se le denomina longitud de onda

de cero dispersion o bien λZD (por sus siglas en ingles zero dispersion). Fısicamente la

longitud de onda de cero dispersion representa la longitud de onda a la cual la dispersion

de guıa de onda compensa la dispersion del material de la fibra. Dado que la dispersion de

guıa de onda depende fundamentalmente de los parametros de diseno de la fibra, tales

como a y la diferencia entre los ındices de refraccion n1 y n2, λZD puede recorrerse a

puntos convenientes del espectro. Cabe mencionar que λZD es diferente para cada modo

espacial debido a la dispersion modal, por lo que es necesario determinar la constante de

propagacion de cada modo para determinar λZD. El hecho de operar con la longitud de

onda λZD de la fibra no implica que los pulsos no presentan dispersion alguna. Esto solo

significa que los efectos dispersivos de segundo orden estan ausentes y que por tanto la

dispersion de tercer orden es el termino de dispersion dominante.

La longitud de onda λZD define dos regimenes de dispersion dentro de la fibra (Agra-

wal, 2001). Por debajo de λZD (D < 0, β2 > 0) se dice que la propagacion se efectua en el

regimen de dispersion normal, el cual exhibe la mayorıa de los materiales transparentes

en la region del espectro visible. En este regimen las componentes de mas alta frecuen-

cia del pulso, las componentes azules, viajan a menor rapidez que las componentes de

baja frecuencia, componentes rojas. Considerando los efectos en el pulso conforme se

propaga, el borde anterior del pulso contendra despues de cierta distancia una mayor

concentracion de frecuencias bajas (rojas, R), mientras que el borde de salida contendra

una mayor concentracion de altas frecuencias (azules, A). Este efecto se ilustra en la fi-

gura 2. En contraste, por encima de λZD (D > 0, β2 < 0) se dice que la fibra presenta un

regimen de dispersion anomalo, en donde ahora las componentes de mas alta frecuen-

cia del pulso, azules, viajan a mayor rapidez que las componentes de menor frecuencia,

rojas. Considerando los efectos en el pulso conforme se propaga, el borde anterior del

pulso contendra, por tanto, despues de cierta distancia una mayor concentracion de com-

ponentes de altas frecuencias (azules, A), mientras que el borde de salida contendra una

mayor concentracion de bajas frecuencias (rojas, R). Este efecto se ilustra en la figura 3.

14

R A

t tE(t) χ (3)

Figura 2: Propagacion de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el regimen de dispersion nor-mal.

E(t) χ (3)

t t

RA

Figura 3: Propagacion de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el regimen de dispersion anoma-lo.

Los pulsos pueden sufrir ademas de dispersion por polarizacion. Esta consiste en el

ensanchamiento del pulso propagante, debido a la pequena diferencia que presentan los

modos polarizados en las direcciones x y y en el valor de la constante de propagacion β.

Sin embargo, el ensanchamiento debido a la dispersion por polarizacion es relativamente

pequeno comparado con los efectos de dispersion de velocidad de grupo.

2.3. Fibras Microestructuradas.

Una fibra microestructurada (MSF por sus siglas en ingles microstructured fiber) esta

compuesta por sılice pura tanto en el nucleo como en la cubierta. Su particularidad reside

en la cubierta de la fibra conformada por un arreglo periodico de agujeros de aire que se

extienden a lo largo de toda la fibra. Los agujeros de aire alrededor del nucleo disminuyen

el ındice de refraccion de la cubierta de tal forma que la luz es guiada en el interior de

la fibra por el principio de reflexion interna total. En la figura 4 se muestra un diagrama

esquematico del corte transversal tıpico de una MSF. Los parametros mas importantes de

15

una MSF se indican en la figura 4, tales parametros son: el radio del nucleo a, el diametro

de los agujeros de aire d, y la separacion entre los agujeros de aire Λ.

Figura 4: Corte transversal de una MSF y sus correspondientes parametros geometricos.

La fraccion de llenado es una cantidad adimensional que esta relacionada con la com-

posicion de la cubierta. Concretamente representa la proporcion o fraccion de aire que

compone a la cubierta, su valor maximo es 1 refiriendose a una cubierta conformada de

aire completamente. Matematicamente la fraccion de llenado f se define como f = d/Λ

(Zhang et al., 2012), es decir, la razon entre el diametro de los agujeros de aire y la se-

paracion entre ellos. Diferentes valores del radio del nucleo a y la fraccion de llenado f

modifican las propiedades de dispersion de una MSF. Actualmente, las diferentes combi-

naciones posibles del valor de a y f han permitido controlar la longitud de onda de cero

dispersion λZD en el intervalo de 500 a 1600 nm. Otro parametro importante de una fibra

optica es el contraste dielectrico. El contraste dielectrico se define como

∆ =1

2

[1− n2

1

n22

]≈ n1 − n2

n1

. (10)

En fibras convencionales, donde n1 ≈ n2, es valida la aproximacion. En este caso

el valor del contraste dielectrico es mucho menor que 1, tıpicamente con valores entre

0.001 hasta 0.02, donde los modos de propagacion son conocidos como modos guiados

debilmente (Snyder y Love, 1983). A diferencia de las fibras convencionales, en las MSF

el valor del contraste dielectrico es alto con valores cercanos a 0.5 para fibras de sılice.

16

2.3.1. Modelo teorico de la fibra microestructurada.

La solucion a la ecuacion de onda en una MSF es un problema complejo, debido

a la estructura de la cubierta de la fibra que cuenta con multiples fronteras. Ademas,

la solucion exacta a la ecuacion de onda en una fibra optica existe solamente para un

numero muy limitado de casos, en el presente trabajo se realizo una aproximacion con

respecto a la estructura de la MSF. Se considero a la cubierta como un medio homogeneo

e isotropo con un ındice de refraccion constante. El ındice de refraccion de la cubierta

depende de la fraccion de llenado f a traves de la siguiente expresion (Wong et al., 2005)

n2 = f + (1− f)n1. (11)

De acuerdo a lo anterior, el modelo de la MSF consiste en asumir una fibra con un

ındice de refraccion constante en el nucleo (del SiO2) y un ındice de refraccion constante

en la cubierta expresado mediante la ecuacion (11).

Como se menciono anteriormente, una fibra que cuenta con un perfil de ındice es-

calonado consiste de un ındice de refraccion constante en el nucleo y la cubierta (que

cumple n1 > n2) que exhibe un salto, una discontinuidad entre ambos valores en la in-

terfaz nucleo-cubierta. En consecuencia, el modelo de una MSF (bajo la aproximacion

realizada) corresponde a una fibra con dicho perfil. El perfil de ındice escalonado tiene

una solucion analıtica exacta para los campos modales en guıas de onda planas, fibras

con simetrıa circular y fibras elıpticas. La aproximacion del modelo de ındice escalonado

ha reproducido resultados confiables en el calculo de la dispersion de la fibra, cuando la

fraccion de llenado cumple con la relacion 0.1 < f < 0.9 (Wong et al., 2005).

2.3.2. Expresiones del campo electromagnetico.

La ecuacion de Helmholtz, en conjunto con las ecuaciones del material y las condicio-

nes de frontera, determinan las propiedades de propagacion del campo electromagnetico.

Concretamente, la constante de propagacion permite determinar las caracterısticas de la

onda propagante.

17

Un campo electromagnetico se describe por los vectores de campo electrico E(r, t) y

campo magnetico H(r, t), ambos funciones vectoriales de la posicion (x, y, z) y el tiempo

t. Las seis funciones del campo se relacionan a traves de las ecuaciones de Maxwell,

las cuales en un medio lineal, homogeneo, isotropo, dispersivo y libre de fuentes son

representadas de la siguiente forma

∇× H(r, t) =∂D(r, t)∂t

, (12)

∇× D(r, t) = −∂H(r, t)∂t

, (13)

∇ · B(r, t) = 0, (14)

∇ · D(r, t) = 0, (15)

donde D(r, t) es el vector de desplazamiento electrico y B(r, t) es el vector de induccion

magnetica. A estas cuatro ecuaciones es necesario agregar las relaciones constitutivas

D = ε(ω)E, (16)

B = µ(ω)H, (17)

donde ε(ω) y µ(ω) (unidades MKS) son la permitividad electrica y la permeabilidad magneti-

ca del medio, respectivamente. Para un medio optico µ = 1. Para satisfacer las ecuacio-

nes de Maxwell cada una de las componentes de los campos E y H deben satisfacer la

ecuacion de onda

∇2F(r, t)− 1

v2∂2F(r, t)∂2t

= 0, (18)

donde F(r, t) puede ser el campo electrico E o bien el magnetico H y c es la velocidad de

la luz en el vacıo. Si aplicamos la transformada de Fourier a E(r, t), la ecuacion de onda

puede escribirse en el dominio de las frecuencias como

∇2E(ω, t) + κ20n2E(ω, t) = 0, (19)

donde κ20 = (2π/λ)2 es el numero de onda en el vacıo y n es el ındice de refraccion del

medio. Esta ecuacion es conocida como la ecuacion de Helmholtz y es la ecuacion a

18

resolver para conocer el comportamiento lineal de la luz al propagarse a lo largo de la

fibra. En conjunto con las condiciones de frontera, las soluciones a la ecuacion de Helm-

holtz proporcionan los modos de propagacion de la fibra. Debido a la simetrıa cilındrica

del perfil de ındice de refraccion es conveniente resolver la ecuacion de Helmholtz en el

sistema de coordenadas cilındricas. La ecuacion de Helmholtz para la componente z del

vector E es∂2Ez∂ρ2

+1

ρ

∂Ez∂ρ

+1

ρ2∂2Ez

∂φ2 +∂2Ez

∂z2+ n2κ0

2Ez = 0. (20)

La ecuacion (20) se puede resolver facilmente usando el metodo de separacion de

variables, escribiendo a Ez de la siguiente manera

Ez(ρ, φ, z) = F (ρ)Φ(φ)Z(z). (21)

Usando las ecuaciones (20) y (21) obtenemos tres ecuaciones diferenciales ordinarias

∂2Z

∂z2+ β2Z = 0, (22)

∂2Φ

∂φ2 + l2Φ = 0, (23)

∂2F

∂ρ2+

1

ρ

∂F

∂ρ+ (n2κ20 − β2 − l2

ρ2)F = 0. (24)

La solucion de la ecuacion (22) es de la forma Z = exp(iβz), donde β es la constante

de propagacion. Similarmente la solucion a la ecuacion (23) es de la forma Φ = exp(ilφ);

la constante l esta restringida a tomar unicamente valores enteros, puesto que el campo

debe ser periodico en φ con un perıodo de 2π. La ecuacion (24) es la ecuacion diferencial

de Bessel y sus soluciones son llamadas funciones Bessel de orden l. La solucion general

a la ecuacion, en la region del nucleo y fuera de el, esta dada por

F (ρ) =

c1Jl(hr) + c2Yl(hr) : ρ < a,

c3Kl(qr) + c4Il(qr) : ρ > a,(25)

donde c1, c2, c3 y c4 son constantes reales, Jl, Yl, son funciones Bessel de primera clase y

19

Kl, Il son funciones de Bessel modificadas de segunda clase. Los parametros h y q estan

definidos por

h2 = n21κ

20 − β2, (26)

q2 = β2 − n22κ

20. (27)

Aplicando las condiciones de frontera propias del problema: un modo guiado debe ser

finito en ρ = 0 y tender a cero en ρ = ∞, la solucion general de la ecuacion (20) es de la

forma

E(z) =

c1Jl(hr)exp(ilφ)exp(−iβz) : ρ < a,

c3Kl(qr)exp(ilφ)exp(−iβz) : ρ > a.(28)

Similarmente podemos obtener una expresion para Hz. De hecho, la solucion tiene la

misma forma pero con diferentes constantes

H(z) =

c5Jl(hr)exp(ilφ)exp(−iβz) : ρ < a,

c6Kl(qr)exp(ilφ)exp(−iβz) : ρ > a.(29)

Las otras cuatro componentes Eρ, Eφ, Hρ y Hφ pueden ser expresadas en funcion de

Ez y Hz usando las ecuaciones de Maxwell. Los parametros h y q determinan, respecti-

vamente, la velocidad de cambio del campo en el nucleo y la cubierta. Un valor alto de h

implica una oscilacion mas rapida de la distribucion radial en el nucleo. Un valor alto de

q implica un decaimiento mas rapido y una menor penetracion de la onda en la cubierta.

Las ecuaciones (28) y (29) requieren en conjunto que h2 > 0 y q2 > 0, lo cual se traduce

en

n1κ0 > β > n2κ0. (30)

En este punto, introducimos los llamados parametros modales adimensionales del

nucleo y la cubierta (Saleh y Teich, 1991) definidos por

U = ha, (31)

W = qa. (32)

20

La condicion de continuidad de las componentes Ez,Hz, Er, yHr en la frontera nucleo-

cubierta establece una relacion entre los coeficientes de proporcionalidad de las compo-

nentes. Mediante un procedimiento algebraico esta relacion entre coeficientes da lugar a

la ecuacion caracterıstica

[J ′l (U)

UJ ′l (U)+

K ′l(U)

WKl(W )

] [n21J′l (U)

UJl(U)+n22K′l(U)

WKl(W )

]=

= l2

[(1

W

)2

+

(1

U

)2](

β

κ0

)2

. (33)

Los eigen-valores de esta ecuacion nos proporcionan las constantes de propagacion

β de los modos. Es costumbre expresar a las soluciones como βlm, donde l determina la

distribucion azimutal del modo y m representa la distribucion radial del modo. El numero

l representa la carga topologica del modo, por lo que los modos con l = 0 carecen de

momento angular orbital. Las diferentes clases de modos de propagacion dentro de una

fibra se determinan por medio del valor del contraste dielectrico. En fibras convenciona-

les el valor del contraste dielectrico es tıpicamente mucho menor que 1 y los modos de

propagacion resultantes son los llamados modos LP. En el presente trabajo nos hemos

enfocado en los modos de propagacion resultantes de un alto contraste dielectrico. Esta

clase de modos son conocidos como modos hıbridos y se designan como HElm y EHlm.

La distincion entre los modos HE y EH proviene de las dos clases de soluciones que se

obtienen de la ecuacion (33), ecuacion que es cuadratica en J ′l (U)/UJ ′l (U). Cuando resol-

vemos la ecuacion caracterıstica obtenemos dos diferentes ecuaciones correspondientes

a las dos raıces de dicha ecuacion. Para l = 0, estos modos son analogos a los modos

transversal electrico (TE) y transversal magnetico (TM), tıpicos de las guıas de onda pla-

nas, debido a que la componente axial del campo electrico o magnetico se desvanece.

Sin embargo para l > 0, los modos de una fibra se convierten en modos hıbridos, es de-

cir, las seis componentes del campo electromagnetico son diferente de cero (Yariv y Yeh,

2007). El modo fundamental corresponde al modo HE11, con una distribucion transversal

que se aproxima a una funcion gaussiana.

Las soluciones a la ecuacion (33) se pueden obtener por metodos graficos (Yariv y

Yeh, 2007). En este trabajo las soluciones a la ecuacion 33 se obtuvieron numericamente,

21

mediante funciones de la paqueterıa de optimizacion de MATLAB. Fijo el valor de l, se

determinan una o varias soluciones a la ecuacion caracterıstica, dependiendo de si la

fibra es monomodal o multimodal. Los ındices de refraccion del material en el nucleo y la

cubierta son evaluados a partir de la ecuacion de Sellmeier para la sılice (Malitson, 1965).

2.4. Procesos no lineales de tercer orden.

Con las fuentes de luz disponibles hasta 1960 la respuesta de un material a un campo

electromagnetico incidente presentaba un comportamiento lineal. Sin embargo, este com-

portamiento cambio con la llegada de las fuentes de luz laser en 1960 (Maiman, 1960).

Tan solo un ano despues, en 1961, se reporto la primera observacion de un fenomeno

optico no lineal: la generacion del segundo armonico (Franken et al., 1961). En 1962

se reporto la primera observacion de la generacion del tercer armonico (Terhune et al.,

1962); y en 1980 se confirmo por primera vez la generacion de un soliton dentro de una

fibra optica (Mollenauer et al., 1980). Desde entonces y hasta ahora la optica no lineal se

ha consolidado como un campo activo de investigacion con diversas aplicaciones.

Dentro de los modelos mas sencillos de interaccion entre luz y materia se encuen-

tra el modelo clasico del oscilador de un electron. En este contexto la respuesta lineal

del material se explica mediante el movimiento de un oscilador armonico. Para explicar

los fenomenos no lineales es necesario recurrir al modelo de un oscilador anarmonico.

Hoy en dıa la teorıa mas completa de la optica no lineal se construye en terminos de la

mecanica cuantica (Boyd, 1997).

Las propiedades de un material dielectrico a traves del cual una onda electromagneti-

ca se propaga estan descritas por la relacion entre el vector de densidad de polarizacion

P(r, t) y el vector del campo electrico E(r, t)

D(ω) = ε(ω)E(ω) = ε0(ω)E(ω) + P(ω). (34)

En un sistema atomico real y siguiendo la aproximacion dipolar, la polarizacion indu-

cida en el medio por la presencia de un campo electrico puede ser expresada en una

22

expansion en serie de Taylor

P(t) = ε0[χ(1) · E(t) + χ(2) : E2(t) + χ(3) ... E3(t) + ...], (35)

donde ε0 es una constante que se conoce como la permitividad electrica del vacıo, E(t)

es el vector del campo electrico y χ(n) se conoce como la susceptibilidad de orden n y

es un tensor de orden n+1. El primer termino en la expansion representa la contribucion

lineal del medio que representa la contribucion dominante al vector de polarizacion P(t).

Si el campo incidente es de baja intensidad el material presenta unicamente propiedades

lineales y el resto de los terminos de la expansion seran despreciables. Las propiedades

no lineales del medio se presentan cuando la intensidad del campo incidente es alta, en

consecuencia los terminos de susceptibilidad de orden superior no pueden ser despre-

ciados. En tal caso los terminos χ(2) y χ(3) conocidos como la susceptibilidad de segundo

y tercer orden, respectivamente, describen los fenomenos no lineales. Los fenomenos

no lineales de segundo orden, generados a traves de χ(2), se presentan unicamente en

materiales no centrosimetricos. Si el material es centrosimetrico, la primera contribucion

no lineal proviene del termino χ(3), esta no linealidad es una propiedad universal que se

encuentra en cualquier material independientemente de su simetrıa espacial. La sılice es

una material vıtreo que posee la propiedad de simetrıa de inversion, por lo que la prime-

ra no linealidad que presenta es de tercer orden. Una variedad de procesos no lineales

de tercer orden se conocen hasta ahora: esparcimiento Raman estimulado (SRS por sus

siglas en ingles Stimulated Raman Scattering), absorcion de dos fotones, fenomenos

relacionados con el efecto Kerr optico como son la automodulacion de fase (SPM por

sus siglas en ingles Self Phase Modulation) y autoenfocamiento; ası como los procesos

de generacion de tercer armonico, mezclado de cuatro ondas y conversion parametrica

descendente de tercer orden (TOPDC por sus siglas en ingles Third Order Parametric

Down Conversion), entre otros. La generacion de un supercontinuo (SC) es un proceso

no lineal que se presenta frecuentemente cuando un campo electromagnetico pulsado

y de corta duracion se propaga a traves de una fibra optica. Este fenomeno tiene lugar

cuando varios procesos como son automodulacion de fase, modulacion de fase cruza-

da, esparcimiento Raman estimulado y formacion de solitones se conjugan entre sı para

formar un amplio espectro a partir de un bombeo espectralmente estrecho.

23

A continuacion se describen algunos de los procesos no lineales de tercer orden deri-

vados de la presencia de un ındice de refraccion no lineal.

Efecto Kerr optico

El efecto Kerr optico es un efecto auto inducido en el cual la velocidad de fase de

la onda depende de la intensidad misma de la onda. La no linealidad de tercer orden,

inducida por el efecto Kerr, da lugar a la adicion de un termino en el ındice de refraccion

dependiente de la irradiancia del pulso que se propaga:

n = n0 + n2I(t), (36)

donde n0 es el ındice de refraccion del medio en ausencia de un campo electromagneti-

co, n2 = 3Reχ(3)/(4ε0cn20) es el ındice de refraccion no lineal e I(t) es la irradiancia del

campo incidente. El orden de magnitud del coeficiente n2 es diferente en vidrios, vidrios

dopados, materiales organicos y en semiconductores; es sensible a la longitud de onda

de operacion y depende de la polarizacion. Como resultado del cambio en el ındice de

refraccion del medio, el haz tendera a enfocarse en la direccion transversal a medida que

se propaga por el material, a este fenomeno se le conoce como autoenfocamiento.

Automodulacion de fase

Como resultado del efecto Kerr, una onda puede presentar el proceso denominado

automodulacion de fase el cual se explica a continuacion. Cuando un pulso se propaga

a traves del medio una distancia L, la modulacion temporal en la irradiancia del campo

incidente, I(t), da como resultado una modulacion temporal en el ındice de refraccion n y

por tanto tambien en la fase de la onda

Φ(t) =ω

c(n0 + n2I(t))L− ω0t. (37)

En la ecuacion (37) se puede observar que la fase se hace dependiente del tiempo,

a traves del termino ωn2I(t)L/c. Debido a esta dependencia, la fase sera una funcion

complicada del tiempo y la frecuencia instantanea de la onda tambien dependera del

24

tiempo. La fase y la frecuencia instantanea estan relacionadas entre sı de la siguiente

forma

ω(t) = −∂Φ(t)

∂t. (38)

Podemos escribir a ω(t) = ω0 + ∆ω con ω0 la frecuencia portadora de la onda y

∆ω(t) = −ωcn2L

∂I

∂t. (39)

El proceso de automodulacion de fase genera nuevas frecuencias y en consecuencia

se presenta un ensanchamiento espectral del pulso. El ensanchamiento espectral resul-

tante puede estimarse de la siguiente forma

∆ω(t) ' ω

cn2L

I0τ, (40)

donde I0 es la intensidad pico del pulso de luz y τ es la duracion del pulso. En una fibra

optica la automodulacion de fase y el subsecuente ensanchamiento espectral del pulso,

permite la compresion del pulso de luz en el tiempo, a traves de la compensacion del

cambio de fase adquirido por el pulso.

Cuando la frecuencia de un pulso es una funcion que depende del tiempo como se

puede observar en la ecuacion (38), se dice que el pulso adquirio chirp; de otro modo

si la frecuencia es una funcion constante del tiempo el pulso no tiene chirp. Si se trata

de un pulso gaussiano el chirp inducido por automodulacion de fase es positivo y lineal

alrededor de la region central del pulso (Agrawal, 2001).

Modulacion de fase cruzada

La modulacion de fase cruzada (XPM por sus siglas en ingles cross phase modulation)

es el resultado de la interaccion no lineal de al menos dos pulsos de luz fısicamente

distinguibles (pulsos con diferente frecuencia, polarizacion, estructura del modo, etc.). La

interaccion entre ambos pulsos se debe al proceso de modulacion de fase, en donde

un pulso (pulso de prueba) es modulado en su fase debido al cambio en el ındice de

refraccion del medio, inducido por otro pulso (pulso de bombeo).

25

Un importante criterio de clasificacion para procesos no lineales en fibras opticas se

basa en evaluar la energıa efectiva intercambiada en el proceso de interaccion entre el

medio y las ondas incidentes en el medio. De acuerdo a este criterio, podemos distinguir

entre dos tipos de procesos: los llamados procesos parametricos tambien conocidos co-

mo procesos elasticos y los procesos no parametricos tambien conocidos como procesos

inelasticos. La diferencia entre ambos procesos es la conservacion de energıa a nivel

microscopico. En el presente trabajo nos enfocamos al estudio de procesos parametricos

no lineales de tercer orden, en particular al estudio de generacion de tercer armonico y

mezclado de cuatro ondas.

2.5. Procesos parametricos.

En los procesos parametricos no hay un intercambio neto de energıa entre el medio

y el campo electromagnetico incidente. De esta forma, en este tipo de procesos la fibra

optica juega un papel pasivo, mediando unicamente la interaccion entre las ondas opticas.

Estos fenomenos tienen lugar a traves de la modulacion o bien modificaciones no lineales

instantaneas del ındice de refraccion del material. Las posibles nuevas frecuencias que

se generen por medio de un proceso parametrico no lineal deben cumplir con la condicion

de conservacion de energıa y conservacion de momento.

2.5.1. Mezcla de cuatro ondas.

El proceso de mezclado de cuatro ondas consiste en la incidencia de dos fotones

de bombeo (1 y 2) en un material que, al interaccionar con la susceptibilidad de tercer

orden del medio, se aniquilan creando dos fotones a diferente frecuencia denominados

comunmente senal (s) y acompanante (a). En el caso no degenerado (FWM) los dos foto-

nes de bombeo son distinguibles entre sı, viajan en diferente modo espacial o a diferente

frecuencia. En el caso degenerado (DFWM) los dos fotones de bombeo viajan en el mis-

mo modo espacial, con la misma frecuencia, no hay distinguibilidad entre ellos. El caso

degenerado es frecuentemente utilizado en fibras opticas, en donde la incidencia en la

fibra se realiza con un unico campo de bombeo. En el presente trabajo se estudio el caso

degenerado, este proceso se muestra esquematicamente en la figura 5.

En el proceso de FWM la condicion de conservacion de energıa requiere el cumpli-

26

ω1

ω2

ωa

ωs

Figura 5: Esquema del proceso de mezcla de cuatro ondas con un bombeo degenerado. En el esque-ma las flechas que representan a los dos fotones de bombeo se dibujaron con la misma longitud,para representar que ambos fotones tienen la misma frecuencia.

miento de la siguiente igualdad

ωs + ωa = ω1 + ω2. (41)

Mientras que la condicion de empatamiento de fases requiere la igualdad a cero de

los siguientes terminos

∆β + ΦNL = 0. (42)

El termino ∆β se relaciona con las constantes de propagacion de las cuatro ondas

propagantes de la siguiente forma

∆β = βs + βa − β1 − β2 = (nsωs + naωa − n1ω1 − n2ω2)/c, (43)

donde nj (j = 1, 2, s, a) denota al ındice de refraccion modal efectivo de cada campo,

mientras que el termino ΦNL tiene su origen en el proceso de automodulacion de fase

(SPM) y modulacion de fase cruzada (XPM) por medio de la siguiente expresion

ΦNL = P1γ1(ω1) + P2γ2(ω2) + 2P2γ12(ω1) + 2P1γ21(ω2)

− 2P1γa1(ωa)− 2P1γs1(ωs)− 2P2γa2(ωa)− 2P2γs2(ωs),(44)

donde Pi representa la potencia pico de cada campo de bombeo, γi (i = 1, 2) representan

los coeficientes no lineales derivados del proceso de automodulacion de fase, mientras

27

que γlk (l = 1, 2, s, a y k = 1, 2) representan los coeficientes no lineales derivados del

proceso de modulacion de fase cruzada. Aunque en general γi 6= γlk, se puede demostrar

que en el proceso de FWM es valida la siguiente aproximacion γ1 ≈ γ21 ≈ γs1 ≈ γa1 y γ2

≈ γ12 ≈ γs2 ≈ γa2 (Garay-Palmett et al., 2011). Tomando en cuenta esta aproximacion, se

puede llegar a la siguiente expresion simplificada de ΦNL

ΦNL = −P1γ1(ω1)− P2γ2(ω2). (45)

Ademas, en nuestra caso, con un solo campo de bombeo (DFWM), las expresiones

anteriores se reducen a

ωs + ωa = 2ωb, (46)

∆β = βs + βa − 2βb, (47)

ΦNL = −2γbPb, (48)

donde se ha tomado en cuenta que los dos campos de bombeo viajan en el mismo modo

(n1 = n2 = nb), con la misma frecuencia (ω1 = ω2 = ωb) y con la misma potencia pico

(P1 = P2 = Pb); ya que en realidad provienen del mismo campo de bombeo. En este caso

el coeficiente γb se define en terminos de la frecuencia portadora del campo de bombeo

ω0b y el area efectiva Aeff

γb =3χ(3)ω0

b

4ε0c2n2bAeff

, (49)

donde Aeff representa el area efectiva de interaccion del campo de bombeo, consigo

mismo, de la siguiente forma

Aeff =1∫ ∫

|A4b(x, y)| dx dy

. (50)

Aquı la funcion Ab(x, y) representa la distribucion transversal del campo de bombeo y

se asume normalizada, tal que

∫ ∫|Ab(x, y)|2 dx dy = 1. (51)

28

2.5.2. Generacion de tercer armonico.

La generacion de tercer armonico (THG) involucra tres fotones del campo de bombeo

(con la misma frecuencia ω), que al interactuar con el medio se aniquilan dando lugar a la

creacion de un foton con frecuencia 3ω. Esquematicamente el proceso se muestra en la

figura 6.

ω 3ω

ω

ω

Figura 6: Esquema del proceso de generacion de tercer armonico.

En adelante, las cantidades asociadas al campo del tercer armonico las designamos

con el subındice h (harmonic).

El proceso de THG requiere cumplir con la condicion de conservacion de energıa

3ω = ωh, (52)

y con la condicion de empatamiento de fases

∆β + ΦNL = 0, (53)

donde

∆β = βh(ωh)− 3βb(ω) = (3ω/c)[nh(3ω)− nb(ω)], (54)

donde nj (j = b, h) denota al ındice de refraccion modal efectivo del bombeo y del ter-

cer armonico. Si la propagacion se realiza en una fibra monomodo, en donde todos los

campos se propagan en el modo fundamental, no hay eleccion posible en la frecuencia

29

ω que logre cumplir con la igualdad entre los ındices de refraccion n(ω) y n(3ω) debido a

la dispersion del medio. En tal caso la condicion de empatamiento de fases no se puede

lograr y el proceso THG no se puede generar de manera eficiente. Mas aun, siempre que

los 4 campos se propaguen en el mismo modo (misma forma funcional de n), el valor de n

a la frecuencia ω y 3ω difiere lo suficiente para que siempre se cumpla ∆β 6= 0. Por todo lo

anterior, para la generacion del tercer armonico es necesario utilizar fibras multimodales

de tal forma que nb(ω) se puede empatar con nh(3ω), cuando el tercer armonico se pro-

pague en un modo de orden superior al modo del campo de bombeo. El empatamiento

solo puede ocurrir si la diferencia nh(3ω) − nb(ω) es menor que la diferencia de ındices

de refraccion entre nucleo-cubierta. Esta diferencia raramente excede el valor de 0.01 en

fibras convencionales. En cambio, en una MSF la diferencia de ındices de refraccion entre

nucleo-cubierta puede exceder el valor de 0.1, por lo que este tipo de fibras se presentan

como una opcion atractiva para el estudio de THG. En el 2000 el proceso de THG fue

facilmente observado con una MSF con una longitud de 50 cm (Ranka et al., 2000).

El termino ΦNL, al igual que en FWM, esta asociado a los procesos de automodulacion

de fase y modulacion de fase cruzada.

Previamente, se ha estudiado teoricamente el proceso de generacion de tercer armoni-

co (Grubsky y Savchenko, 2005; Grubsky y Feinberg, 2007), en donde se reporto que la

eficiencia del proceso ηh obedece la siguiente relacion

ηh ∝ (γLP0)2, (55)

donde γ es conocido como el coeficiente no lineal, L representa la longitud de la fibra y

P0 la potencia del campo de bombeo. El coeficiente lineal es diferente a los coeficientes

que observamos en la ecuacion (44), relacionados con los procesos de automodulacion

de fase y modulacion de fase cruzada. En el caso del proceso de THG el coeficiente no

lineal

γ =2πn2

λpAeff, (56)

donde Aeff representa el area efectiva de interaccion entre los cuatro campos involucra-

30

dos en el proceso por medio de la siguiente integral

Aeff =1∫ ∫

|A3b(x, y)| |Ah(x, y)| dx dy

. (57)

Las funciones Ab(x, y) y Ah(x, y) representan la distribucion transversal de los campos

y se asumen normalizadas, de acuerdo a la ecuacion (51).

2.6. Procesos no parametricos.

En los procesos no parametricos no se cumple un balance estricto en la energıa de los

fotones que intervienen en el proceso, debido al intercambio efectivo de energıa entre el

campo electromgnetico y el material. La interaccion tiene lugar a traves de modificaciones

en la polarizabilidad del material asociadas a vibraciones en los atomos de la red, por lo

que la respuesta del material presenta una cierta inercia en el tiempo. En estos procesos

el intercambio de energıa entre la onda y el medio se traduce en efectos de ganancia y/o

atenuacion no lineal. En el presente trabajo, el esparcimiento Raman es el proceso no

parametrico mas relevante para el estudio de la propagacion de pulsos a traves de fibras

opticas.

Esparcimiento Raman.

En los procesos de esparcimiento el campo incidente cede parte de su energıa al

medio (en forma de fonones) y el resto lo emplea en amplificar otra onda de frecuencia

menor. El intercambio de energıa depende de las caracterısticas del medio. Estos pro-

cesos se pueden entender de la siguiente forma: considere que un foton incide en el

material y se presenta la absorcion de este por el material, como resultado, se crea un

foton de menor energıa y un fonon con las caracterısticas necesarias para cumplir con

la condicion de conservacion de energıa y momento. La energıa que adquiera el fonon

generado esta determinada por la separacion en frecuencia del foton incidente y el gene-

rado. De acuerdo a esta diferencia, se establecen dos tipo de esparcimiento estimulado:

esparcimiento Brillouin y esparcimiento Raman. En el esparcimiento Brillouin estimulado

la diferencia entre ambas frecuencias es de ∼ 10 GHz y el fonon generado es un fonon

acustico; mientras que en el esparcimiento Raman estimulado la diferencia es del orden

31

de 10 THz generandose un fonon optico. En el esparcimiento Raman estimulado (SRS

por sus siglas en ingles Stimultated Raman Scattering), la energıa del fonon generado

permitie a la molecula de sılice, principal componente de la fibra optica, tener una transi-

cion molecular entre dos estados vibracionales.

En el proceso de esparcimiento Raman explicado anteriormente el foton cede energıa

al material, generando una onda denominada Stokes. Por otro lado, aunque menos pro-

bable, es posible que el material ceda energıa al foton incidente, generando una onda

Anti-Stokes. A continuacion se explican ambos procesos por medio del esquema de nive-

les de energıa mostrado en la figura 7.

El diagrama de niveles correspondiente al proceso de generacion de una onda Stokes

(S) se muestra en la figura 7 a). En ella se muestra la incidencia de un foton con frecuencia

ωb (frecuencia del laser de bombeo) en un material que se encuentra inicialmente en un

estado electronico base y en el subnivel vibracional mas bajo de este, ν = 0. Fuera de

resonancia, el foton es absorbido y el atomo es llevado a un estado virtual, de ahı el

atomo decae a un nivel vibracional excitado ν = 1 emitiendo un foton de frecuencia ωs =

ωb - ων llamado foton de Stokes .

La generacion de una onda Anti-Stokes (AS) solo es posible si la molecula esta inicial-

mente en el subnivel vibracional excitado ν = 1, lo cual es posible a temperatura ambiente.

El diagrama de niveles correspondiente a dicho proceso se muestra en la figura 7 b). En

este caso, al incidir un foton a una frecuencia ωb, este es absorbido y el atomo puede

decaer ahora hasta el estado vibracional ν = 0, emitiendo un foton de frecuencia ωAS = ωb

+ ων . La intensidad de la onda anti-Stokes es varios ordenes de magnitud menor que la

onda Stokes, debido a que la generacion de ondas Anti-Stokes requiere que las molecu-

las del material esten inicialmente en un estado vibracional excitado (Yariv y Yeh, 2007).

32

ν=1

ν=0

ν=1

ν=0

a) b)

Figura 7: Representacion esquematica del esparcimiento Raman espontaneo. a) Generacion de on-da Stokes y b) Generacion de onda anti-Stokes.

33

Capıtulo 3. Propiedades de Empatamiento de Fases.

En el capıtulo anterior se describieron las principales propiedades de una fibra optica,

se describieron brevemente las caracterısticas de una MSF y se desarrollaron expresio-

nes matematicas del campo electromagnetico dentro de una MSF bajo la aproximacion

de un perfil de ındice escalonado. Finalmente, se describieron algunos procesos no linea-

les de tercer orden con especial atencion en dos procesos parametricos, a saber FWM y

THG.

En este capıtulo se presentaran calculos teoricos de cuatro diferentes fibras. El nom-

bre con el cual el fabricante designa cada fibra se enlista en la Tabla 1, en esta se mues-

tran los principales parametros otorgados por el fabricante (Thorlabs.inc, 2014), los cua-

les se consideran para realizar los calculos. En particular, son dos parametros los que

describen el nombre de cada fibra: el diametro del nucleo y la longitud de onda de cero

dispersion.

Tabla 1: Parametros de las cuatro fibras disponibles

Nombre Diametro del nucleo Punto de cero dispersion Fraccion de llenadode la fibra (µm) (nm)

NL 1.8 -730 1.8 730 0.88NL 2.4-800 2.4 800 0.90NL 2.5-810 2.5 810 0.93

SC 5.0-1040 5.0 1040 0.27

Inicialmente, se presentan los calculos de dispersion de velocidad de grupo de las

fibras y posteriormente los calculos de empatamiento de fases para el proceso de mez-

clado de cuatro ondas y generacion de tercer armonico. Al finalizar el capıtulo se realizo

una comparacion de las soluciones a la condicion de empatamiento de fases entre las

diferentes fibras.

3.1. Calculo de la dispersion de velocidad de grupo.

A continuacion se muestran las curvas para el parametro de dispersion de velocidad

de grupo β(2)(ω), o DVG, en cuatro diferentes fibras. Las curvas de DVG estan definidas en

34

un intervalo de longitudes de onda, dependiendo del modo de propagacion. Con respecto

al lımite inferior de dicho intervalo (region del espectro UV) todas las curvas de dispersion

tienen el mismo lımite inferior determinado por la region de validez de la ecuacion de

Sellmeier (Brixner, 1967). Por otro lado, con respecto al lımite superior del intervalo (IR

o region del espectro visible) las curvas estan limitadas, segun el modo de propagacion,

por su respectiva longitud de onda de corte λc (Seccion 2.1).

En la figura 8 (a) se presentan las curvas de DVG correspondientes a la fibra NL

1.8 730 para los modos de propagacion HE1m, en la figura se puede apreciar que los

modos de propagacion HE11 y HE12, cada uno, cuentan con dos longitudes de onda en

donde la dispersion es cero (λZD); mientras que los modos de propagacion HE13 y HE14

cuentan, cada uno, con una sola λZD en la zona espectral considerada. En la figura 8 (b)

se presentan las curvas de DVG correspondientes a la fibra NL 2.4 800 para los modos de

propagacion HE2m. En la figura se puede apreciar que los modos de propagacion HE21

y HE22 cuentan, cada uno, con dos λZD; mientras que los modos de propagacion HE23,

HE24 y HE25, cada uno, cuentan con una sola λZD en el intervalo considerado.

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−6

−4

−2

0

2

4

6

23 21

25

24 22

0.5 1 1.5 2

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Longitud de onda ( Longitud de onda (µ

β(2

) (ω) (

102 ps

/km

)

1112

1314

2

m) m)µ

β(2

) (ω) (

102 ps

/km

)2

Figura 8: Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagacion HE1m correspondientesa la fibra NL 1.8 730. (b) Modos de propagacion HE2m correspondientes a la fibra NL 2.4 800

En la figura 9 (a) se presentan las curvas de DVG correspondientes a la fibra NL 2.5

810 para los modos de propagacion EH1m, apreciando que los modos de propagacion

EH11 y EH12 tienen, cada uno, dos λZD; mientras que los modos de propagacion EH13,

EH14, y EH15, cuentan con una sola λZD, cada uno de ellos. Ası mismo, la figura 9 (b)

muestra las curvas de DVG correspondientes a la fibra SC 5.0 1040 para los modos de

35

propagacionEH2m. En este caso, las cinco curvas de dispersion que se muestran cuentan

con dos λZD.

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Longitud de onda (µm)

11

13

15

14 12

Longitud de onda (µm)0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

21

2324

22

a) b)

β(2

) (ω) (

102 ps

/km

)2

β(2) (ω

) (10

2 ps/k

m)

2

Figura 9: Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagacion EH1m correspondientesa la fibra NL 2.5 810. (b) Modos de propagacion EH2m correspondientes a la fibra SC 5.0 1040.

En las figuras 8 y 9 es posible observar una caracterıstica general para λZD: esta se

recorre a longitudes de onda menores conforme aumenta el orden del modo de propaga-

cion. Ası, las curvas de DVG de las figuras 8 y 9 demuestran la posibilidad de sintonizar

λZD a traves de distintas bandas espectrales, por medio de los distintos modos de propa-

gacion de cada fibra. Por otro lado, en las figuras 8 y 9 es posible observar que la longitud

de onda de cero dispersion, λZD, depende del diseno de la cubierta de la fibra, ademas

del modo de propagacion, de acuerdo a lo mencionado anteriormente (Seccion 2.3).

3.2. Calculo de empatamiento de fases para procesos parametricos.

Los calculos de empatamiento de fases se realizaron considerando que ambos pro-

cesos, THG y FWM, son degenerados en el campo de bombeo. Antes de presentar los

calculos es necesario detenerse un momento para mencionar las diferentes condiciones

bajo las cuales se puede presentar la condicion de empatamiento de fases.

a. Propagacion en diferente modo de propagacion de los 4 campos involucrados en el

proceso.

b. Propagacion en diferente polarizacion de los 4 campos involucrados en el proceso.

36

Respecto al inciso a, el hecho de permitir la propagacion de los cuatro campos invo-

lucrados en diferentes modos de propagacion es el eje central del presente trabajo, entre

otras razones porque la propagacion multimodal permite la generacion eficiente del tercer

armonico (THG) en fibras opticas. Al permitir la propagacion de los cuatro campos en di-

ferentes modos, se presentan diversas combinaciones posibles de propagacion entre los

campos de bombeo y los campos generados. A continuacion se mencionan las diferen-

tes combinaciones posibles, en la propagacion de los cuatro campos involucrados, que

pueden presentarse en ambos procesos: FWM y THG.

En primer lugar, para el proceso de mezclado de cuatro ondas degenerado en el cam-

po de bombeo (DFWM, seccion 2.5.1) al determinar el modo de propagacion de los dos

campos de bombeo, los cuales en principio podemos controlar, los dos campos genera-

dos (senal y acompanante) pueden propagarse:

En el mismo modo que el campo de bombeo (los cuatro campos viajan en el mismo

modo).

En diferente modo que el campo de bombeo, pero en el mismo modo entre ellos.

En diferente modo que el campo de bombeo y diferente modo entre ellos.

En segundo lugar, con respecto al proceso de THG se considera tambien al proceso

degenerado en el bombeo en donde los tres fotones que se aniquilan para la generacion

del armonico provienen del mismo campo de bombeo, propagandose en el mismo modo.

En este caso al determinar el modo de propagacion del bombeo, el tercer armonico puede

propagarse:

En el mismo modo que el campo de bombeo (los cuatro campos viajan en el mismo

modo).

En diferente modo que el campo de bombeo.

Sin embargo, en general, no es posible cumplir con la condicion de empatamiento de

fases al considerar que el tercer armonico se genera en el mismo modo de propagacion

37

que el campo bombeo (Seccion 2.5.2). Por ello el proceso de THG esta restringido a

una unica configuracion donde el tercer armonico viaja en diferente modo al campo de

bombeo.

Por ultimo, con respecto a la propagacion de los campos en diferentes modos de pro-

pagacion, es necesario mencionar que los diagramas de empatamiento de fases que se

presentan en la siguiente seccion unicamente contemplan a los modos de propagacion

HElm. Sin embargo, es posible que existan otras condiciones de empatamiento de fa-

ses relacionadas a los modos de propagacion EHlm, TE0m y TM0m en las fibras aquı

mencionadas. Debido a las numerosas configuraciones a explorar en la busqueda de so-

luciones a la condicion de empatamiento de fases, fue necesario restringir los calculos

considerando solo algunas configuraciones, de todas las posibles.

Respecto al inciso b, la propagacion de campos en un medio material, con diferente

polarizacion, se puede estudiar a traves de las componentes del tensor de susceptibilidad

χ. En el caso especıfico de procesos no lineales de tercer orden se estudia a traves de

las componentes del tensor de susceptibilidad de tercer orden χ(3). En una fibra optica

la susceptibilidad no lineal de tercer orden χ(3)ijkl dispone tan solo de 21 componentes no

nulas, de las cuales solo tres de ellas son independientes (Boyd, 1997)

χ(3)xxxx = χ(3)

xxyy + χ(3)xyxy + χ(3)

xyyx. (58)

Las diferentes componentes de χ(3) indican que los procesos no lineales de tercer or-

den se pueden generar con campos copolarizados (misma polarizacion) a traves de χ(3)xxxx

o bien con campos cruzados (polarizacion cruzada) a traves de χ(3)xxyy, χ(3)

xyxy o de χ(3)xyyx.

En consecuencia, para tomar en cuenta los diferentes estados de polarizacion posibles

es necesario considerar a cada una de estas compontentes, por separado, como la res-

ponsable del proceso no lineal parametrico. Comunmente se considera a χ(3)xxxx como la

componente responsable de los procesos no lineales de tercer orden. Al comenzar los

calculos de empatamiento de fases se considero unicamente a la componente χ(3)xxxx y

posteriormente se realizaron los calculos considerando a las otras tres componentes de

χ(3), las cuales podrıan conducir a nuevas condiciones de empatamiento de fases para

38

el proceso de mezcla de cuatro ondas. Anteriormente se ha estudiado la generacion de

pares de fotones por el proceso de FWM con bombeo degenerado, en donde los fotones

generados se adjudican a la componente χ(3)xxyy, debido a que su estado de polarizacion

es ortogonal a la polarizacion de los fotones de bombeo (Cohen et al., 2009). Por otro

lado, tambien se ha estudiado la generacion de pares de fotones por el proceso de FWM

en el esquema de campos de bombeo contra-propagantes con polarizacion cruzada, en

donde los fotones generados son adjudicados a la componente χ(3)xyxy (Lee et al., 2006).

Los resultados de los calculos, al considerar a la componente χ(3)xxyy, χ(3)

xyxy y χ(3)xyyx como

la componente responsable del proceso no lineal, no aportaron condiciones de empa-

tamiento de fases de interes para el presente trabajo; con respecto a los resultados al

considerar a la componente χ(3)xxxx.

La propagacion de campos con polarizacion cruzada, dentro de la fibra, se puede

explicar fısicamente de la siguiente forma: el campo de bombeo, al incidir en una fibra

MSF, se descompone en dos campos con polarizacion x y y debido a una anisotropıa en

el nucleo de la fibra. Pequenas variaciones en el valor del radio del nucleo, inherentes a

la fabricacion misma de la fibra, conducen a la fibra a presentar dos valores en el ındice

de refraccion (nx, ny). Cuando un material presenta dos valores en el ındice de refraccion

se dice que este presenta el fenomeno de birrefringencia.

Finalmente, el valor de la fase no lineal ΦNL depende de los procesos de automodu-

lacion de fase y modulacion de fase cruzada y de la potencia pico (Seccion 2.5.1). En

los calculos que presentamos a continuacion consideramos potencias picos entre 100 y

200 W. De acuerdo a los valores de potencia promedio tıpicios en un laser de Ti:Zafiro

(del orden de cientos de mW) y la duracion del pulso (del orden de femtosegundos), la

potencia pico correspondiente es del orden de GW. Sin embargo, al acoplar el campo de

bombeo a la fibra optica siempre se presentan perdidas de potencia razon por lo cual se

considero potencias pico del orden de cientos de Watts en los calculos que se presentan

a continuacion.

39

3.2.1. Empatamiento de fases para el proceso de FWM.

A continuacion se presentan resultados del calculo de empatamiento de fases para el

proceso de mezclado de cuatro ondas degenerado en el bombeo, en tres diferentes fi-

bras. Los resultados mostrados a continuacion muestran las curvas de empatamiento de

fases, definidas por la condicion ∆β + ΦNL = 0, es decir curvas que cumplen con dicha

condicion en cada punto. Los casos que se muestran en esta seccion fueron selecciona-

dos de acuerdo al interes que presentaron por su posible implementacion experimental.

En dichos diagramas se subraya la posibilidad de generar fotones por medio de un cam-

po de bombeo alrededor de 0.8 µm (fundamental del laser Ti:Zafiro) o bien un campo de

bombeo alrededor de 0.4 µm (segundo armonico del laser Ti:Zafiro). Los resultados que

se presentan a continuacion estan ordenados de acuerdo al aumento en el valor del radio

del nucleo de la fibra.

FIBRA NL 1.8 730

La figura 10 muestra en color rojo la curva de empatamiento de fases, es decir las

soluciones a la condicion de empatamiento de fases (ecuacion 42), correspondiente a

cuatro campos propagandose en el modo HE12. En este caso el valor del termino no

lineal ΦNL = 2 x 10−5 µm−1 que corresponde a un valor del coeficiente γb=100 km−1W−1

y una potencia pico P=100 W. En la figura el eje horizontal indica la longitud de onda del

bombeo y el eje vertical la longitud de onda de la senal y acompanante simultaneamente.

La curva de empatamiento de fases describe dos lobulos, uno superior y otro inferior

separados por una lınea diagonal. El lobulo superior indica la longitud de onda de la

senal y el lobulo inferior la longitud de onda de la acompanante.

En la figura 10 se trazo una lınea vertical para mostrar un caso particular en donde

se cumple la condicion de empatamiento de fases con la configuracion respectiva. La

lınea trazada indica una longitud de onda de bombeo de 0.8 µm coincidiendo con cuatro

puntos de la curva de empatamiento de fases. Los cuatro puntos con los que coincide

son soluciones a la condicion de empatamiento de fases. Dependiendo la posicion en la

que se observen (respecto al contorno de los lobulos), dichas soluciones se denominan

externas cuando se encuentran en la parte externa del lobulo, o bien internas cuando

40

se encuentran en la parte interna. Las soluciones internas corresponden a la solucion

trivial a la condicion de empatamiento de fases, estan desplazadas un par de nanome-

tros por debajo y por encima de la solucion trivial, 0.8 µm, debido al termino no lineal

ΦNL de la ecuacion (42). Al realizar los calculos de empatamiento de fases se observo

que conforme se incrementa el valor de la potencia (dentro del intervalo de potencias

experimentalmente disponibles) en el termino no lineal ΦNL, el desplazamiento de la so-

luciones internas respecto a la solucion trivial aumenta. Previamente, se ha observado

este comportamiento, en donde dicho desplazamiento ha sido atribuido al fenomeno co-

nocido como inestabilidad de modulacion el cual se manifiesta de manera significativa

en la region de dispersion anomala (contenida entre las dos longitudes de onda de cero

dispersion) (Garay Palmett, 2009). Por otro lado, las soluciones externas estan senala-

das con flechas y al lado de cada una se indica la longitud de onda correspondiente al

campo generado. En este caso, se observo que al aumentar la potencia pico de bombeo

en el termino no lineal ΦNL las soluciones externas resultan casi independientes de di-

cho aumento. Esto se explica por el hecho de que la modulacion del ındice de refraccion,

inducida por el bombeo, para longitudes de onda alejadas de λb es casi despreciable.

En resumen, el diagrama de la figura 9 muestra un ejemplo en donde se cumple la

condicion ∆β + ΦNL = 0 cuando dos fotones, senal y acompanante, con una longitud

de onda de 0.57 y 1.3 µm respectivamente, se generan a traves de la aniquilacion de

dos fotones de bombeo con una longitud de onda de 0.8 µm. El triangulo negro que se

encuentra en la esquina inferior derecha de la figura 10 representa una zona no fısica, en

la cual λs y/o λa tendrıan que ser negativas para satisfacer la condicion de conservacion

de energıa. En adelante las zonas no fısicas de los diagramas de empatamiento de fases

estaran coloreadas en negro.

En los calculos de empatamiento de fases que se muestran en esta seccion, el valor

de la fase no lineal ΦNL es del orden de 10−5.

FIBRA NL 2.5 810

A continuacion se presentan dos diagramas de los calculos de empatamiento de fases

al considerar dos configuraciones distintas, en la misma fibra. En la primera, los cuatro

41

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Los cuatro campos se propagan en el modo HE 12

1.3 µm

0.57 µm

λs,

a (µm

)

λb(µm)

Figura 10: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 1.8 730 con los cuatro campospropagandose en el modo HE12.

campos se propagan en el mismo modo y en la segunda los dos campos generados se

propagan en diferente modo entre sı.

La figura 11 muestra la curva de empatamiento de fases en color rojo correspondiente

a cuatro campos propagandose en el modo HE13. En la figura 11 se trazo una lınea

vertical que indica una longitud de onda del campo de bombeo de 0.8 µm. Las soluciones

externas estan senaladas con flechas, indicando la posibilidad de generar dos fotones,

senal y acompanante, con una longitud de onda de 0.63 y 1.09 µm, por el proceso de

DFWM al aniquilarse dos fotones de bombeo con una longitud de onda de 0.8 µm.

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

λs,a

(µm

)

Los cuatro campos se propagan en el modo HE13

1.09 µm

0.63 µm

λb(µm)

Figura 11: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 con los cuatro campospropagandose en el modo HE13.

42

En la figura 10 y 11, en donde los 4 campos involucrados se propagan en el mismo

modo, es posible observar que la curva de empatamiento de fases esta conformada por

dos lobulos. En general, cuando los cuatro campos se propagan en el mismo modo, la

curva de empatamiento de fases describe dos lobulos cerrados; donde λZD define las

fronteras de dichos lobulos. Los lobulos que describen las curvas de empatamiento de

fases del presente trabajo no son cerrados, esto se debe a la restriccion impuesta, me-

diante la condicion de conservacion de energıa (ecuacion 46), en el valor de la longitud

de onda de la senales generadas.

La figura 12 muestra la curva de empatamiento de fases en color azul correspondiente

a la siguiente configuracion: los dos campos de bombeo se propagan en el modo funda-

mental HE11, mientras que los dos campos generados se propagan en el modo HE11 y

HE12. En esta figura el eje horizontal indica la longitud de onda del bombeo mientras que

el eje vertical indica simultaneamente la longitud de onda de la senal y acompanante en

terminos del valor de delta ∆s,a, donde

∆s,a

2πc=

1

λs,a− 1

λb. (59)

Los valores negativos de delta (∆a) estan asociados a la longitud de onda del foton acom-

panante, mientras que los valores positivos (∆s) a la longitud de onda del foton senal; ∆

representa la diferencia o bien desintonizacion entre la longitud de onda de los campos

generados, λs y λa, y la longitud de onda del campo de bombeo λb.

En la figura 12 es posible observar que la condicion de empatamiento de fases se

cumple para un intervalo aproximado, de longitudes de onda del campo de bombeo, de

0.25 a 0.60 µm. A partir de la ecuacion (59) es posible conocer la longitud de onda del

foton senal y acompanante generados por un determinado campo de bombeo, como se

muestra a continuacion. La lınea vertical que se muestra en la figura 12 se trazo a partir

de una longitud de onda de bombeo de 0.4 µm. La lınea coincide con cuatro puntos de

la curva de empatamiento de fases, a estos cuatro puntos les corresponde los siguientes

valores de ∆: ±1.686 y ±3.32x1015 Hz. Una vez que se conocen los valores de ∆ y la

longitud de onda del campo de bombeo λb = 0.4 µm asociada, es posible obtener la

43

frecuencia de los campos generados a traves de la ecuacion (59). En este ejemplo en

particular, la longitud de onda de los campos generados es λs = 0.235 µm y λa = 0.625

µm o bien λs = 0.295 µm y λa = 1.366 µm.

1.88 0.94 0.62 0.47 0.37 0.31 0.26 0.23

−3

−2

−1

0

1

2

3

λb(µm)

Señal y acompañante se propagan en el modo HE11 y HE12

∆ sa

(1015

Hz

)∆

(1015

Hz

) 0.235 µm

0.295 µm

1.366 µm

0.625 µm

Figura 12: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 cuando los dos campos debombeo se propagan en el modo HE11 y los dos campos generados en el modo HE11 y HE12.

FIBRA SC 5.0 1040

A continuacion se presentan los resultados de la curva de empatamiento de fases

considerando dos configuraciones distintas, en la misma fibra. En la primera, los cuatro

campos se propagan en el mismo modo y en la segunda los dos campos generados se

propagan en diferente modo al campo de bombeo pero en el mismo modo entre ellos.

La figura 13 muestra la curva de empatamiento de fases en color rojo correspondiente

a cuatro campos propagandose en el modo HE13. En la figura el eje horizontal indica la

longitud de onda del bombeo y el eje vertical la longitud de onda de la senal y acom-

panante simultaneamente. En la figura 13 se trazo una lınea vertical a lo largo de λb = 0.8

µm que muestra la posibilidad de generar dos fotones, senal y acompanante, con una lon-

gitud de onda de 0.59 µm y 1.22 µm por el proceso de DFWM, al aniquilarse dos fotones

del campo de bombeo con una longitud de onda de 0.8 µm.

En la figura 14 se muestra la curva de empatamiento de fases en color azul corres-

44

0.6 0.7 0.8 0.90.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

λ b (µm)λ

s,a (µ

m)

Los cuatro campos se propagan en el modo HE13

1.22 µm

0.59 µm

Figura 13: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando los cuatro camposse propagan en el modo HE13.

pondiente a la siguiente configuracion: el campo de bombeo se propaga en el modo fun-

damental HE11, mientras que los dos campos generados se propagan en el mismo modo

HE12. En la figura el eje horizontal indica la longitud de onda del bombeo y el eje vertical

indica simultaneamente la longitud de onda de la senal y acompanante, a traves de ∆.

Para la configuracion propuesta en la figura 14, la condicion de empatamiento de fases

se cumple para un intervalo aproximado de longitudes de onda del campo de bombeo de

0.2 a 0.5 µm. En la figura 14 se trazo una lınea vertical indicando una longitud de onda

de bombeo de 0.4 µm. En el ejemplo mostrado por la lınea vertical, el cumplimiento de la

condicion de empatamiento de fases permite la generacion de dos fotones, senal y acom-

panante, con una longitud de onda de 0.571 y 0.309 µm por medio de la aniquilacion de

dos fotones de bombeo con λb = 0.4 µm.

En este caso, al igual que en el caso mostrado en la figura 12, la condicion de empata-

miento de fases se cumple en una region espectral alejada de la longitud de onda de cero

dispersion de la fibra (λZD= 810 nm y λZD= 1040 nm). En ambos casos la solucion trivial

a la condicion de empatamiento de fases no existe debido a que las senales generadas

se propagan en diferente modo al campo de bombeo.

Los diagramas de empatamiento de fases que se presentaron en esta seccion mues-

tran la posibilidad de generar nuevas frecuencias por medio del proceso de FWM de-

generado en el bombeo en las MSFs disponibles, utilizando campos de bombeo en la

45

0.94 0.47 0.31 0.23

−3

−2

−1

0

1

2

3

λb(µm)

Señal y acompañante se propagan en el modo HE12

0.309 µm

0.571 µm

a∆

(1015

Hz

)s

∆ (1

0 H

z )

15

Figura 14: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando los dos campos debombeo se propagan en el modo HE11 y los dos campos generados en el modo HE12.

region del espectro visible e IR cercano. En particular, en cada diagrama se mostro la

posibilidad de generar senales por medio de un campo de bombeo proveniente de un

laser de Ti:Zafiro (fundamental o segundo armonico). Sin embargo, para llevar a cabo la

implementacion experimental de los diagramas aquı mostrados es necesario considerar

otros factores, ademas de la disponibilidad de la frecuencia del campo de bombeo. Un

factor importante que limita la implementacion experimental de las soluciones a la condi-

cion de empatamiento de fases aquı presentadas se relaciona con posibilidad de detectar

las senales generadas. Las deteccion de senales que se encuentran en la region del es-

pectro UV (figura 12) estan limitadas por la disponibilidad y sensibilidad de deteccion del

equipo. Por otro lado, se ha reportado la generacion de un supercontinuo (alrededor de la

frecuencia del campo de bombeo) con un ancho de espectral de 0.59 µm, al incidir con

un pulso con una duracion del orden de femtosegundos cuya longitud de onda central

es de 0.826 µm en una MSF (Licea-Rodrıguez et al., 2011). En este caso el superconti-

nuo generado se extiende desde 0.55 µm hasta 1.22 µm aproximadamente. Tomando en

cuenta lo anterior, las senales generadas por el proceso de FWM (figuras 10, 11 y 13)

pueden caer dentro del intervalo correspondiente a la generacion del supercontinuo. En

tal caso la posibilidad de observar las senales generadas por el proceso de FWM esta

sujeta a la capacidad de distinguir estas senales del supercontinuo generado por la fibra.

46

Finalmente, el diagrama de la figura 14 presenta caracterısticas favorables para su imple-

metacion experimental. En este caso, la propagacion del campo de bombeo se realiza en

el regimen de dispersion normal, alejado de la longitud de onda de cero dispersion λZD

de la fibra; por lo que se espera que el supercontinuo no contribuya drasticamente a la

generacion de nuevas frecuencias. En tal caso, las senales generadas por el proceso de

FWM no estarıan traslapadas con frecuencias generadas por el supercontinuo. Sin em-

bargo, en este caso, la potencia del campo de bombeo esta limitada por la eficiencia de

conversion del segundo armonico del laser de Ti:Zafiro. Ademas, al encontrarnos lejos de

λZD el bombeo puede presentar importantes efectos de dispersion, no deseables para el

estudio del proceso de FWM.

Por otro lado, se observo que existen diversas configuraciones de los campos que

permiten cumplir con la condicion de empatamiento de fases cuando la frecuencia del

campo de bombeo se encuentra en la region del espectro visible. Dichas configuraciones

corresponden, entre otras, a cuatro campos propagandose en el mismo modo describien-

do dos lobulos, similares a los que se muestran en esta seccion pero recorridos hacia

longitudes de onda mas bajas. Al aumentar el orden del modo de propagacion (de los 4

campos), la longitud de onda de cero dispersion λZD se recorre hacia el azul, como se

menciono anteriormente (Seccion 3.1). Debido a que λZD define las fronteras de los lobu-

los de empatamiento de fases, las soluciones a la condicion de empatamiento de fases se

recorren hacia el azul. Al utilizar modos de orden superior se observo que los lobulos son

cerrados, a diferencia de los lobulos abiertos que se muestran en esta seccion. Cuando

los lobulos son cerrados, la condicion de empatamiento de fases se cumple en todo el

intervalo comprendido entre las dos λZD del respectivo modo, ampliando la posibilidad de

encontrar una fuente de bombeo que permita la implementacion experimental del proce-

so. Dichos diagramas de empatamiento de fases no se presentan en este trabajo de tesis,

sin embargo son una opcion a considerar para el estudio del proceso de FWM cuando se

cuenta con fuentes de bombeo en la region del espectro visible.

Por todo lo dicho anteriormente, se procedio a explorar configuraciones que permitan

cumplir con la condicion de empatamiento de fases para el proceso de THG. A traves de

dicha exploracion es posible que se presenten soluciones que favorezcan su implemen-

47

tacion experimental.

3.2.2. Empatamiento de fases para el proceso de THG

En esta seccion se presentan los calculos de la funcion de desempatamiento de fa-

ses ∆β pertinentes al proceso de THG, para tres diferentes fibras. En los calculos que

se presentan a continuacion se asumio que el campo de bombeo se propaga en el mo-

do fundamental HE11, mientras que se permitio la propagacion del tercer armonico en

modos HE de orden superior al fundamental. De acuerdo a los valores tıpicos de los

coeficientes γb y γh,b provenientes del proceso de automodulacion de fase y modulacion

de fase cruzada para las fibras en cuestion y a los valores de potencias pico disponibles

experimentalmente, el valor del termino no lineal ΦNL para el proceso de THG es muy

pequeno y puede ser ignorado en los calculos de empatamiento de fases. Lo anterior

se senala en un caso en especıfico correspondiente a la fibra NL 1.8 730, en donde se

justifica que el termino no lineal ΦNL es despreciable para los calculos que mostramos en

esta seccion.

De todas las posibles configuraciones que presentamos a continuacion, respecto al

modo de propagacion del tercer armonico, no todas cumplen con la condicion de empa-

tamiento de fases ∆β = 0. Tal es el caso para la fibra NL 1.8 730 en donde presentamos

algunos casos en donde ∆β 6= 0 para todo el intervalo de transmision de la fibra. Para

las fibras NL 2.4 800 y SC 5.0 1040 todas las configuraciones que presentamos cumplen

con la condicion ∆β = 0. Por otro lado, a diferencia del proceso de FWM, en donde la

condicion de empatamiento de fases se cumple para un intervalo de longitudes de onda

del campo de bombeo, en el proceso de THG la condicion se cumple para una unica lon-

gitud de onda del campo de bombeo. Al igual que en la seccion pasada, en esta seccion

se subrayan las soluciones a ∆β = 0 con longitudes de onda del campo de bombeo cer-

canas a 0.8 µm, debido al interes que presentan para su implementacion por medio de

un laser de Ti:Zafiro.

FIBRA NL 1.8 730

Las graficas de la figura 15 muestran el valor de ∆β en funcion de la longitud de onda

del tercer armonico λh, cuando este se propaga en los modos (a) HE1m, (b) HE2m y (c)

48

HE3m. Para una cierta longitud de onda λh y una determinada configuracion, la funcion

∆β puede igualarse a cero; condicion necesaria para obtener un proceso eficiente. En la

figura 15 se muestran varias soluciones a la condicion ∆β = 0, cada solucion corresponde

a una configuracion especıfica definida por el modo de propagacion del tercer armonico.

Es posible notar, a partir de la figura 15 (a), que conforme aumenta el orden del modo de

propagacion del tercer armonico, la solucion a ∆β = 0 se recorre hacia el UV. Este mismo

comportamiento se puede observar en las figuras 15 (b) y (c).

Al permitir la propagacion del tercer armonico en un modo HE1m la figura 15 (a) mues-

tra que la condicion ∆β = 0 se cumple unicamente para los modos HE13 y HE14. En la

esquina superior derecha de la figura 15 (a) se muestra un acercamiento al valor de la

funcion ∆β cuando el tercer armonico se propaga en el modo HE13. En dicho acerca-

miento, la lınea negra corresponde al valor de ∆β, mientras que la lınea roja corresponde

al valor de ∆β+ ΦNL. En este caso el valor de la fase no lineal ΦNL= 2x10−4 corresponde

a valores de los coeficientes γb=106 km−1W−1, γh,b= 96 km−1W−1 y P=200 W. En la figura

se puede observar que la diferencia entre ambas curvas es muy pequena y que el valor de

la longitud de onda del tercer armonico para ambas soluciones (∆β = 0 y ∆β + ΦNL = 0)

es el mismo hasta la tercera cifra significativa. Lo anterior justifica ignorar el termino ΦNL

en los calculos que presentamos en esta seccion.

Por otro lado, en la figura 15 (b) se observa que al permitir la propagacion del tercer

armonico en un modo HE2m la condicion ∆β = 0 se cumple solo para los modos HE22 y

HE23. Por ultimo, en la figura 15 (c) se observa que al permitir la propagacion del tercer

armonico en un modo HE3m la condicion ∆β = 0 se cumple solamente para los modos

HE32 y HE33. La funcion ∆β adquiere unicamente valores positivos al permitir que el

tercer armonico se propague en los modos HE12, HE21 y HE31 y unicamente negativos

para lo modos HE15, HE24 y HE34.

Las soluciones a la condicion de empatamiento de fases que se muestran en la fi-

gura 15 se encuentran en la region del espectro UV, es decir, se espera que el tercer

armonico se genere en esta region del espectro. Una vez que se cumple la condicion

de empatamiento de fases, la eficiencia del proceso THG depende cuadraticamente, en

la aproximacion armonica debil, de la potencia de bombeo, la longitud de la fibra y el

49

0.3 0.4 0.5 0.6−2

−1

0

1

2

Longitud de onda del tercer armónico (µm)

HE22

HE23HE24

HE21

a) b) c)

b)

0.3 0.4 0.5 0.6−2

−1

0

1

2

∆β (µ

m−1)

HE15

HE12

HE13HE14

0.25 0.3 0.35 0.4−2

−1

0

1

2

HE31

HE32

HE33HE34

c)

∆β (µ

m−1)

∆β (µ

m−1)

a)0.3215 0.3215

−5

0

5

10−6

Longitud de onda (μm)

Δβ

(μm

−1)

Figura 15: Valor de la funcion de desempatamiento de fases ∆β para la fibra NL 1.8 730, al permitir lapropagacion del tercer armonico en los modos: (a)HE1m (b)HE2m (c)HE3m. La insercion muestra elvalor de la funcion desempatamiento de fases sin considerar la fase no lineal (negro) y considerandola fase no lineal (rojo).

coeficiente no lineal (Grubsky y Savchenko, 2005). La potencia y longitud de la fibra son

parametros limitados por condiciones experimentales, el valor maximo de dichos parame-

tros se establece al iniciar el experimento. Por otro lado, el valor del coeficiente no lineal

depende del modo en el cual se genera el tercer armonico. Los resultados pertinentes a

las soluciones de la figura 15 se resumen en la Tabla 2, en donde se muestra la longitud

de onda del tercer armonico λh en conjunto con el valor de la longitud de onda de bom-

beo λb y el coeficiente no lineal γ (Seccion 2.5.2) respectivo. El valor del coeficiente no

lineal γ se calculo a traves de la ecuacion (56), en donde se utilizo un valor del coeficiente

n2=2.5 x 1020 m2/W (para la sılice) de acuerdo a las especificaciones del fabricante (Thor-

labs.inc, 2014). El valor de Aeff se obtiene a traves de la ecuacion (57), en donde Ab y

Ah representan la distribucion del modo de propagacion del bombeo y el tercer armonico

respectivamente. La distribucion de los campos se calculo por medio de la expresiones

del campo electrico (ecuacion 28).

Los valores de la longitud de onda de bombeo λb de la Tabla 2 indican que la longitud

de onda mas cercana a 0.8 µm es 0.813 µm, correspondiente al tercer armonico generado

en el modo HE23 con λh =0.271 µm y un valor del coeficiente no lineal γ practicamente

igual a cero. En este caso el valor del coeficiente no lineal indica que el traslape espacial

entre el modo fundamental HE11 y el modo HE23 es nulo. Dentro del marco experimental

el estudio de este proceso en particular no presenta interes, en concordancia con el valor

50

Tabla 2: Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamiento de fases para la fibraNL 1.8 730 cuando el tercer armonico viaja en un modo HElm.

Fibra NL 1.8 730modo lm λh (µm) λb (µm) γ (W−1/Km)

13 0.321 0.963 0.29714 0.244 0.732 0.21722 0.453 1.359 3.07 x 10−15

23 0.271 0.813 2.58 x 10−15

32 0.320 0.96 0.22733 0.244 0.732 0.078

de su coeficiente no lineal.

FIBRA NL 2.4 800

Las graficas de la figura 16 muestran el valor de ∆β, en funcion de la longitud de

onda del tercer armonico, al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos (a)

HE1m, (b) HE2m y (c) HE3m.

Estamos interesados en los valores de la longitud de onda del tercer armonico λh,

para los cuales se cumpla la condicion ∆β = 0. En las figuras 16 (a), (b) y (c) es posi-

ble observar que las soluciones a ∆β = 0 se recorren hacia longitudes de onda cortas,

conforme aumenta el orden del modo de propagacion del tercer armonico. Al permitir la

propagacion del tercer armonico en un modo HE1m, la figura 16 (a) muestra que la con-

dicion ∆β = 0 se cumple para los modos HE13, HE14 y HE15. Por otro lado, como se

observa en la figura 16 (b), al permitir la propagacion del tercer armonico en un modo

HE2m la condicion ∆β = 0 se cumple para los modos HE22, HE23 y HE24. Por ultimo,

en la figura 16 (c) se observa que la condicion ∆β = 0 se cumple para los modos HE32,

HE33 y HE34. Las curvas de desempatamiento de fases al considerar la propagacion del

tercer armonico en los modos HE12, HE16, HE21, HE25, HE31 y HE35 no se muestran en

la figura 16, debido a que ∆β 6= 0 al evaluarla en todo el intervalo posible de longitudes

de onda.

En la figura 16 las soluciones a la condicion de empatamiento de fases se encuentran

en la region espectral del UV (a excepcion de la solucion para el modo HE22), por lo que

51

0.3 0.4 0.5 0.6−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

HE24

HE23

HE22

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

HE32

HE33

HE34

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Longitud de onda del tercer armónico (µm)

HE15

HE14 HE13

a) b) c)

∆β (µ

m−1)

∆β (µ

m−1)

∆β (µ

m−1)

Figura 16: Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra NL 2.4 800, al permitir lapropagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m. (b) HE2m. (c) HE3m.

se espera que el tercer armonico se genere en esta region del espectro. Los resultados

relevantes a la condicion ∆β = 0 para la fibra NL 2.4 800 se resumen en la Tabla 3, en

donde se muestra la longitud de onda del tercer armonico λh, en conjunto con la longitud

de onda de bombeo λb y el valor del coeficiente no lineal γ respectivo. En la Tabla 3 se

muestran tres valores de λb cercanas a 0.8 µm, dos de ellos en 0.84 µm (modos HE14 y

HE33 respectivamente) y el otro en 0.768 µm (modo HE24). De los tres procesos, el que

presenta mayor interes para su implementacion experimental es el proceso en el cual el

tercer armonico se propaga en el modo HE14, debido a que presenta el valor mas alto en

su coeficiente no lineal γ, respecto a los otros dos procesos de interes.

Tabla 3: Valores asociados a la soluciones a ∆β = 0 para la fibra NL 2.4 800 cuando el tercer armoni-co se propaga en un modo HElm.

Fibra NL 2.4 800modo lm λh (µm) λb (µm) γ (W−1/Km)

13 0.377 1.131 0.04714 0.280 0.84 0.08415 0.240 0.72 0.05122 0.576 1.728 2.97 x 10−15

23 0.313 0.939 6.59 x 10−15

24 0.256 0.768 4.47 x 10−15

32 0.377 1.131 0.12633 0.280 0.84 0.04234 0.240 0.72 0.019

SC 5.0 1040

52

Las graficas de la figura 17 muestran el valor de ∆β en funcion de la longitud de onda

del tercer armonico, al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos (a)HE1m,

(b) HE2m y (c) HE3m. Al permitir la propagacion del tercer armonico en un modo HE1m la

figura 16 (a) muestra que la condicion ∆β = 0 se cumple para los modos HE1m con m=3,

4, 5, 6,7, 8 y 9. Por otro lado, en la figura 17 (b) se observa que al permitir la propagacion

del tercer armonico en un modo HE2m la condicion ∆β = 0 se cumple para los modos

HE2m con m=3, 4, 5, 6,7, 8 y 9. Por ultimo, en la figura 17 (c) se observa que al permitir

la propagacion del tercer armonico en un modo HE3m la condicion ∆β = 0 se cumple

para los modos HE3m, con m= 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Las curvas de la funcion ∆β que no se

muestran en la figura 17 cumplen ∆β 6= 0 en todo el rango de longitudes de onda en el

que se evaluan.

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45−0.1

−0.05

0

0.05

0.124

2526

27

28

23

29

0.3 0.4 0.5 0.6−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Longitud de onda del tercer armónico (µm)

18

19

17

1615

13

14

0.3 0.4 0.5 0.6−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

32

38

36

3534

33

37

∆β (µ

m−1)

∆β (µ

m−1)

∆β ( µ

m−1)

Figura 17: Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040, al permitir lapropagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m. (b) HE2m. (c) HE3m.

La Tabla 4 resume los resultados asociados a las soluciones ∆β = 0 para la fibra SC

5.0 1040. En la Tabla 4 se muestra el modo de propagacion HElm y la longitud de onda

del tercer armonico, junto con el valor de λb y γ del correspondiente proceso. La Tabla

4 muestra diversos valores de λb cercanos a 0.8 µm, de acuerdo al orden en el que se

presentan en la tabla, estos valores son: 0.819, 0.765, 0.789 y nuevamente 0.789 µm.

De acuerdo al valor del coeficiente no lineal γ, el caso que presenta mayor interes para

su implementacion experimental corresponde al caso en el cual el tercer armonico se

propaga en el modo HE17.

Resumiendo, los resultados mostrados para el proceso de THG muestran varios as-

pectos importantes. En primer lugar, al fijar el valor de l (l = 1, 2, 3) del modo de propaga-

53

Tabla 4: Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamiento de fases para la fibraSC 5.0 1040 cuando el tercer armonico se propaga en un modo HElm.

Fibra SC 5.0 1040modo lm λh (µm) λb (µm) γ (W−1/Km)

13 0.611 1.833 0.05914 0.404 1.212 0.02815 0.337 1.011 0.01416 0.300 0.900 0.00717 0.273 0.819 0.00418 0.255 0.765 0.00219 0.240 0.720 0.00123 0.454 1.362 2.84 x 10−16

24 0.364 1.092 6.46 x 10−16

25 0.316 0.948 5.83 x 10−16

26 0.286 0.858 9.8 x 10−17

27 0.263 0.789 3.7 x 10−16

28 0.247 0.741 1.79 x 10−16

29 0.233 0.699 9.78 x 10−16

32 0.608 1.824 0.00233 0.404 1.212 0.00134 0.337 1.001 6.34 x 10−4

35 0.300 1.001 4.11 x 10−4

36 0.274 1.001 2.53 x 10−4

37 0.263 0.789 1.67 x 10−4

38 0.247 0.741 1.17 x 10−4

54

cion del tercer armonico, la condicion ∆β=0 tiene dos soluciones para la fibra NL 1.8 730,

tres para la fibra NL 2.4 800 y siete para la fibra SC 5.0 1040. El aumento en el numero

de soluciones, conforme se incrementa el radio del nucleo de la fibra, se puede entender

de la siguiente manera. Al aumentar el valor del radio del nucleo, se presenta un aumento

en el numero de modos soportados por la fibra y un corrimiento de la longitud de onda de

corte, λc (longitud de onda maxima que puede ser guiada a lo largo de la fibra, Seccion

2.1), de cada modo hacia el IR. El cumplimiento de la condicion de empatamiento de fa-

ses ∆β = 0 esta limitado por la longitud de onda de corte de cada modo, mientras que el

numero de soluciones a ∆β = 0 se relaciona con el numero de modos disponibles en la

fibra (modos soportados por la fibra). Al disminuir el radio de la fibra la longitud de onda

de corte cada modo se recorre hacia el UV disminuyendo ası el intervalo de longitudes de

onda disponibles para cumplir con la condicion ∆β = 0; al mismo tiempo que disminuye

el numero de modos disponibles para cumplir la condicion ∆β = 0. En conjunto, ambos

factores disminuyen el numero de soluciones a la condicion ∆β = 0.

Por otro lado, el valor del coeficiente no lineal se relaciona con el traslape espacial

entre el modo de propagacion y el modo del campo generado, a traves del valor del area

efectiva Aeff . A partir de los resultados que se muestran en la tabla 2, 3 y 4, es posible

observar que el valor del coeficiente no lineal es practicamente cero, para todos los casos

en los que se considero la propagacion del tercer armonico en un modo HE2m. En estos

casos, el valor del coeficiente no lineal indica un pobre traslape espacial entre el modo

fundamental y algun modo HElm con l = 2. En consecuencia, no es posible observar la

generacion del tercer armonico en dichos procesos. Anteriormente, en el estudio de pro-

cesos no lineales, el ındice azimutal modal l ha sido directamente asociado al momento

angular orbital de los modos de propagacion (Dholakia et al., 1996).

Los calculos que se mostraron en esta seccion indican que es posible inducir procesos

parametricos no lineales, FWM y THG, cuando el pulso de bombeo se encuentra centrado

alrededor de una longitud de onda de 0.8 µm, o bien centrado alrededor de su segundo

armonico a 0.40 µm. Estos procesos son de especial interes debido a la disponibilidad

experimental de pulsos centrados alrededor de 0.8 µm, por medio de un laser de Ti:Zafiro.

55

Capıtulo 4. Implementacion experimental y resultados.

En el capıtulo anterior se presentaron resultados del calculo de empatamiento de fases

para el proceso DFWM y THG, en cuatro diferentes fibras. Partiendo de las soluciones a

la condicion de empatamiento de fases y el valor del coeficiente no lineal, en el presente

capıtulo se describe el arreglo experimental a implementar con el objetivo de observar la

generacion del tercer armonico. Posteriormente, se presentan los espectros adquiridos

a la salida de la fibra, derivados de diferentes procesos no lineales, y su dependencia

con el campo de bombeo. Los resultados experimentales son comparados con el calculo

de empatamiento de fases para la fibra optica correspondiente. Finalmente, en la ultima

seccion de este capıtulo se presenta una discusion de los resultados experimentales.

4.1. Descripcion de la propuesta experimental.

Debido a las caracterısticas de dispersion y a las propiedades de empatamiento de

fases de las fibras disponibles en el laboratorio, la implementacion experimental exitosa

de FWM no es viable, como ya se discutio en la seccion 3.2.1. Por ello, como parte de

este trabajo se opto por implementar un arreglo experimental para estudiar el proceso

de generacion del tercer armonico. La eleccion de la fibra a utilizar en el experimento se

realizo en terminos del valor del coeficiente no lineal γ. Como se menciono anteriormente,

la eficiencia del proceso aumenta con un alto valor del coeficiente no lineal. De acuerdo

a los resultados de la seccion anterior, el proceso con el mayor valor del coeficiente no

lineal γ corresponde a la fibra NL 2.4 800, al suponer que el armonico se propaga en el

modo HE13 con λh=0.28 µm.

El arreglo experimental que se implemento se muestra en la figura 18. Un objetivo de

microscopio de 40x se utilizo para enfocar el haz proveniente del laser de Ti:Zafiro a la

fibra NL 2.4 800, con ayuda de una montura tridimensional que cuenta con tornillos de

ajuste micrometrico. Al iniciar el trabajo experimental, la longitud de la fibra NL 2.4 800 fue

de 23 cm aproximadamente, conforme transcurrio el experimento la longitud de la fibra

se redujo debido a los cortes realizados en ella para obtener, durante todo el tiempo de

adquisicion de datos, dos caras (entrada y salida de la fibra) plano paralelas. A la salida de

la fibra se espera la generacion de un supercontinuo en la region del espectro visible e IR

56

cercano. Para medir el supercontinuo generado se utilizo un espectrometro Ocean Optics

2000 sensible en el rango de longitudes de onda de 400-1100 nm, con una resolucion

de 0.5 nm. Adicionalmente, a la salida de la fibra se espera observar una senal de tercer

armonico en la region del UV cercano. A continuacion se explica el arreglo experimental

que se implemento para medir esta senal. El espectro a la salida de la fibra se enfoca

en la rendija de entrada de un monocromador ACTON RESEARCH CORPORATION por

medio de una lente plano-convexa THORLABS LA4052 que transmite en la region del

UV, visible e IR (0.185 - 2.1 µm). A la entrada del monocromador se coloco un filtro

THORLABS FGUV11 pasabandas, que transmite en el rango de 275 a 375 nm, con el

fin de bloquear las longitudes de onda provenientes del supercontinuo e IR proveniente

del laser de Ti:Zafiro y transmitir las longitudes de onda en la region del espectro UV.

A la salida del monocoromador se coloco un tubo fotomultiplicador (TFM) HAMAMATSU

R2557, sensible en la region del UV, cuya ganancia es posible variar utilizando una fuente

de alto voltaje en el rango de 500 a 1100 V. La senal de corriente proveniente del TFM

fue convertida a una senal de voltaje utilizando un preamplificador de corriente a voltaje

(Newport Instruments, 70710), alimentado a su vez por una fuente de voltaje a 12.5 V.

El TFM se conecto a un osciloscopio, desde donde fue posible medir el voltaje generado

por la senal incidente. La curva de respuesta del TFM se muestra en la figura 19. Un

espectrometro Ocean Optics USB 4000 cuya resolucion es de 0.3 nm en el rango de

longitudes de onda de 350-1000 nm se utilizo para medir el espectro proveniente del

laser de Ti:Zafiro.

4.2. Caracterizacion del pulso de bombeo.

Al comenzar el trabajo experimental se utilizo un laser Ti:Zafiro modelo NJA-4 fabri-

cado por CLARCK-MXR, Inc. (USA) que opera mediante el proceso no lineal conocido

como autoamarre de modos por efecto de lente Kerr optico (KLML) para producir pulsos

con una duracion del orden de femtosegundos. En principio la fase entre los modos que

oscilan en una cavidad laser es totalmente aleatoria; el amarre de modos establece una

relacion de fase fija entre los diferentes modos longitudinales de la cavidad lo que produce

un tren de pulsos. En este caso el mismo cristal de Ti:Zafiro, al presentar un comporta-

miento no lineal, provee el mecanismo de amarre de fases debido a la automodulacion

57

monocromador

E1

E2

láserTi:Za�ro

SC

THG

espectrómetroNL 2.4 800

F

TFM

objetivo

espectrómetro

L

FAV

PA

osciloscopio

Figura 18: Diagrama del arreglo experimental para estudiar los procesos no lineales generados enla fibra NL 2.4 800. E1, E2, espejos; L, lente; F filtro; TFM tubo fotomultiplicador; FAV fuente de altovoltaje; PA preamplificador.

de fase que se presenta por efecto Kerr (Seccion 2.4). Por otro lado, el cristal de Ti:Zafiro

exhibe dispersion normal, produciendo un ensanchamiento temporal del pulso cada vez

que atraviesa el cristal. Para producir pulsos cortos se introduce una fuente de dispersion

anomala que compensa la dispersion normal. La fuente de dispersion anomala consiste

en un par de prismas colocados en un brazo de la cavidad, arreglados de tal forma que

las componentes de longitud de onda mas altas viajan a traves de mas vidrio que las com-

ponentes de longitud de onda mas cortas. En resumen, con el cristal de Ti:Zafiro como

medio activo, alineacion y elementos opticos intracavidad que producen la compensacion

de la dispersion de la velocidad de grupo (GVD) en combinacion con la automodulacion

de fase, generada por el mismo medio activo, es posible obtener, a partir de una emi-

sion continua, un tren de pulsos estable de femtosegundos con frecuencia de repeticion

tıpicamente del orden de MHz, dependiendo de la longitud de la cavidad del oscilador.

El laser de Ti:Zafiro modelo NJA-4 emite pulsos a una frecuencia de repeticion de 94

MHz, con una potencia promedio aproximada de 240 mW y una energıa por pulso de

2.55 nJ. Este laser es bombeado por un laser de estado solido (Millenia Vs. fabricado

por Spectra-Physics) que emite en forma continua a una longitud de onda λ= 532 nm

con una potencia de bombeo de 5W. El perfil espectral de este laser presento cambios

a lo largo de los experimentos, dado que el regimen pulsado no se mantenıa estable

58

TPMHB0032EA100

10

1

0.1

0.01200 400 600 800

CAT

HO

DE

RAD

IAN

T SE

NSI

TIVI

TY (m

A/W

)Q

UAN

TUM

EFF

ICIE

NC

Y (%

)

WAVELENGTH (nm)

CATHODERADIANTSENSITIVITY

QUANTUMEFFICIENCY

Figura 19: Respuesta espectral tıpica del TFM HAMAMATSU R2557.

bajo la misma configuracion de los elementos opticos de la cavidad laser. Debido a esto,

los resultados que se presentan en este capıtulo, obtenidos a traves del laser Ti:Zafiro

modelo NJA-4, estan acompanados por el correspondiente perfil espectral del pulso laser.

Posteriormente, debido a los problemas que presento el laser CLARCK-MXR, se trabajo

con un laser Ti:Zafiro modelo Griffin fabricado por KMLabs, INC (USA). Este laser emite

pulsos con una frecuencia de repeticion de 81 MHz, una potencia promedio de 210 mW

y una energıa por pulso de 2.59 nJ. El laser es bombeado por un laser de estado solido

(Verdi V6 fabricado por Coherent Inc.) que emite en forma continua a una longitud de onda

de λ= 532 nm con una potencia de bombeo de 5W. Debido a que este laser presento un

perfil mas estable, fue posible reproducir su perfil espectral y temporal durante toda la

adquisicion de datos. A continuacion se muestra el perfil espectral y temporal del laser

Ti:Zafiro modelo Griffin.

4.2.1. Perfil espectral.

En la figura 20 se muestra el perfil espectral del laser de Ti:Zafiro modelo Griffin,

el ajuste que se muestra en la figura indica que el pulso tiene un perfil gaussiano, con

una longitud de onda central λc=822 nm y un ancho espectral, medido a la mitad del

59

maximo (FWHM por sus siglas en ingles Full Width at Half Maximum), ∆λ= 43 nm. La

adquisicion del perfil se realizo por medio de un espectrometro Stellar Net BLACK-Comet

Spectrometer cuya resolucion es de 0.5 nm en el rango de longitudes de onda de 190 a

1075 nm.

750 800 850 9000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsid

ad n

orm

aliz

ada

(u.a

.)

Longitud de onda (nm)

Experimental Ajuste Gaussiano

λc= 822 nm

ΔλFWHM 43 nm=

Figura 20: Perfil espectral del laser Ti:Zafiro modelo Griffin.

A partir del perfil espectral de bombeo, es posible estimar el ancho temporal mınimo

del pulso por medio de la siguiente expresion

τ p =0.44

∆ν, (60)

donde τ p es la duracion del pulso limitado por la transformada de Fourier, 0.44 es una

constante que depende de la forma del pulso y para un perfil gaussiano, segun el criterio

de FWHM, es aproximadamente igual a 0.44 y ∆ν es el ancho espectral. De acuerdo al

perfil de la figura 20 y a la ecuacion (60) la duracion mınima del pulso es igual a 23 fs.

4.2.2. Perfil temporal.

El perfil temporal del pulso proveniente del laser de Ti:Zafiro modelo Griffin se midio

con un autocorrelador por absorcion de dos fotones basado en un proceso optico no lineal

(Arthur et al., 2003), el funcionamiento del autocorrelador se explica a continuacion. En

la figura 21 se puede observar que el autocorrelador cuenta con dos brazos (etiquetados

60

como 1 y 2). Cuando el pulso laser incide en el divisor de haz (que transmite el 50 %

y refleja el 50 % del pulso) crea dos replicas del mismo. Cada replica viaja por separa-

do a traves de diferentes caminos opticos (1 y 2) que dirigen al pulso hacia un espejo,

como se observa en la figura 21. Al incidir en el espejo, los pulsos son reflejados y re-

gresan al divisor de haz. La diferencia entre ambos brazos del autocorrelador reside en

los espejos: en el brazo 1 el pulso incide en un espejo movil permitiendo modificar la

longitud de su camino optico, mientras que en el brazo 2 el pulso incide en un espejo fijo

manteniendo constante su camino optico. En el divisor de haz, el reflejo de cada pulso

es dirigido hacia un espejo curvo que lo enfoca en un LED. En el diodo laser o LED se

genera una senal, cuando se presenta el fenomeno de absorcion de dos fotones, que es

proporcional al traslape temporal entre ambos pulsos; dicho traslape se puede controlar

por medio del espejo movil. A continuacion se explica como el LED realiza dos funcio-

nes: la del medio no lineal y la del detector. Un cristal no lineal emplea el fenomeno de

generacion de segundo armonico para generar un foton a frecuencia 2ω, a partir de dos

fotones a frecuencia ω provenientes de cada replica del pulso. Cuando la luz incide en

un semiconductor, si Ef = ~ω < Eg, donde Ef es la energıa proveniente de un foton y

Eg es la brecha de energıa del semiconductor, no se presentara absorcion significativa.

Sin embargo, si la irradiancia de la luz es muy alta, como sucede en un pulso ultracorto,

y la energıa cumple 2~ω > Eg, se puede dar la absorcion simultanea de dos fotones.

Los pares electron-hueco generados por este proceso de absorcion de dos fotones son

detectados como una corriente al polarizar inversamente el dispositivo.

En nuestro caso la senal detectada por el LED se observo en un osciloscopio como

funcion del tiempo, despues de amplificar su senal por medio de un circuito (figura 21).

Para relacionar la duracion de la senal observada en el osciloscopio, que es del orden

de milisegundos, con la duracion del pulso que es del orden de femtosegundos es nece-

sario realizar una calibracion del movimiento del espejo del autocorrelador, a continuacion

se explica el procedimiento para realizar dicha calibracion. En primer lugar es necesario

observar en la pantalla del osciloscopio el traslape temporal entre ambos pulsos, para

lograr esto movemos el espejo movil por medio de un tornillo micrometrico con el fin de

igualar ambos caminos opticos. Una vez que ambos pulsos se encuentran completamen-

61

1

2

DH

retardo

espejocurvo

LED

espejo fijo

espejo móvil

circuitoamplificador

osciloscopio pulso incidente

Figura 21: Diagrama del autocorrelador utilizado para medir el ancho temporal del pulso.

te traslapados, se realiza un desplazamiento del espejo movil hacia atras (adelante) por

medio del tornillo micrometrico; en consecuencia el camino optico del brazo 1 aumenta

(disminuye) y paulatinamente se pierde el traslape entre ambos pulsos. El desplazamien-

to se realizo a pasos pequenos, registrando a cada paso la separacion temporal entre

ambos pulsos por medio del osciloscopio. El desplazamiento del tornillo micrometrico co-

rresponde al doble del camino optico que el pulso del brazo 1 recorre, comparado con

el camino optico que recorre el pulso del brazo 2. De esta forma, es posible obtener una

grafica que relaciona el tiempo (separacion temporal de los pulsos) como funcion de la

distancia (el doble del desplazamiento del tornillo micrometrico). Por otro lado, sabemos

que los pulsos viajan a la velocidad de la luz en el vacıo. El factor de calibracion es igual

a la razon entre la pendiente de la grafica obtenida y la velocidad de la luz c; para este

sistema el factor de calibracion es igual a 228.2 fs/ms. Conocer el valor del factor de cali-

bracion es necesario para conocer la duracion del pulso, puesto que permitir convertir el

ancho de la senal observada en el osciloscopio a tiempo real.

Una vez que se conoce el factor de calibracion, se procedio a adquirir la traza de

autocorrelacion de intensidad de campo, el ancho de dicha traza esta relacionado con la

duracion del pulso. El ancho real de la traza de autocorrelacion, τac, es igual al ancho de

la traza medido a la mitad del maximo (FWHM) multiplicado por el factor de calibracion.

62

Dependiendo la forma de la traza, la duracion del pulso se calcula de distinta forma. Si

la traza tiene la forma de una funcion gaussiana la duracion del pulso se relaciona con

el ancho de la traza de la siguiente forma τ p = τac/1.414. Por otro lado, si la traza tiene

la forma de una funcion secante hiperbolica entonces τ p = τac/1.543 (Diels y Rudolph,

2006).

En la figura 22 se muestra la traza de autocorrelacion de intensidad que se obtuvo para

el laser de Ti:Zafiro modelo Griffin con una potencia promedio de 200 mW. El osciloscopio

indico que el FWHM de la traza es igual a 698 ms, correspondiente a un ancho real

τac = 159 fs. El ajuste de la traza a una funcion gaussiana y a una funcion secante

hiperbolica se muestra en la figura 22, la traza se ajusta mejor a una funcion gaussiana,

por tanto la duracion del pulso es τ p=112 fs. En la seccion anterior mostramos que el perfil

espectral del laser de Ti:Zafiro tiene un ancho de 43 nm, al cual le corresponde un pulso

limitado por la transformada de Fourier (el pulso mas corto posible) con una duracion de

23 fs; este resultado indica que los pulsos son 89 fs mas largos que el mınimo posible.

-600 -400 -200 0 200 400 6000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsid

ad n

orm

aliz

ada

(u.a

.)

Tiempo (fs)

Experimental Ajuste gaussiano Ajuste sech

τp=112 fs

Figura 22: Traza de autocorrelacion de intensidad del campo de bombeo.

4.3. Generacion de supercontinuo.

Al acoplar el campo proveniente del laser de Ti:Zafiro en la MSF fue posible observar la

generacion de un supercontinuo a la salida de la fibra. A continuacion se muestra el perfil

63

espectral del pulso laser y el correspondiente perfil espectral del supercontinuo generado,

bajo diferentes condiciones experimentales.

El perfil espectral del pulso laser proveniente del de laser Ti:Zafiro CLARCK-MXR

se muestra en la figura 23. En la figura se indican algunas caracterısticas importantes

del pulso laser, de acuerdo al ajuste gaussiano realizado, como son el ancho espectral

∆λFWHM= 18 nm y la longitud de onda central λc= 833 nm.

780 800 820 840 860 8800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsid

ad n

orm

aliz

ada

(u.a

.)

Longitud de onda (nm)

Experimental Ajuste Gaussiano

ΔλFWHM= 18 nm

λc= 833 nm

Figura 23: Perfil espectral a la salida del laser Ti:Zafiro.

En la figura 24 se muestran los espectros del supercontinuo generado a la salida de la

fibra al variar (a) la potencia proveniente del laser de Ti:Zafiro y (b) el angulo de rotacion

de la fibra alrededor de su eje axial, cuando la eficiencia de acoplamiento es del 40 %.

Para realizar las primeras mediciones se utilizo una rueda de filtros de densidad neutral

con el fin de disminuir la potencia del campo incidente en la fibra.

En la figura 24 (a) es posible observar cinco espectros a la salida de la fibra en la

region del espectro visible e IR cercano. Los espectros corresponden al supercontinuo

generado por la fibra cuando la potencia promedio del campo incidente es de 2, 8, 23, 74

y 210 mW. En los espectros generados por una potencia del campo incidente de 23, 74 y

210 mW se observa claramente la generacion de un supercontinuo. Por otro lado, cuando

el campo incidente tiene potencias muy bajas, 2 y 8 mW, el ensanchamiento espectral del

64

campo incidente es mınimo, por lo que el perfil espectral es muy similar al del pulso laser.

En la figura 24 (a) es posible observar que el ancho del supercontinuo aumenta con la

potencia promedio del campo incidente.

En la figura 24 (b) se muestran los espectros adquiridos a la salida de la MSF con una

potencia promedio del campo de bombeo de 23 mW, cuando se rota un segmento de la

fibra a diferentes angulos alrededor de su eje axial. El segmento de entrada de la fibra

se mantiene siempre fijo, mientras se induce una torsion en el segmento final de la fibra

(aproximadamente a 5 cm de la salida de la fibra). El valor de θ=0◦ corresponde a la fibra

colocada en el arreglo sin ninguna torsion, los valores de θ positivos corresponden a ro-

taciones en direccion de las manecillas del reloj, mientras que los valores de θ negativos

corresponden a rotaciones en direccion contraria a las manecillas del reloj. En total se

giro 75◦ la fibra, observandose que en θ=0◦ el espectro del supercontinuo generado por

la fibra se extiende por debajo de los 750 nm hasta 900 nm. El supercontinuo generado a

la salida de la fibra muestra una fuerte dependencia a torsiones inducidas en la fibra. Lo

anterior, indica que es importante cerciorarse que la fibra este colocada en el arreglo ex-

perimental sin ningun tipo de torsion o curvatura durante la adquisicion de datos, evitando

de esta forma inducir perdidas en la potencia del campo acoplado a la fibra, cuando este

comienza a propagarse a traves de la cubierta de la fibra.

400 600 800 10001E-3

0.01

0.1

1

Inte

nsid

ad n

orm

aliz

ada

(u.a

.)

Longitud de onda (nm)

210 mW 74 mW 23 mW 8 mW 3 mW

400 600 800 10001E-3

0.01

0.1

1

Inte

nsid

ad n

orm

aliz

ada

(u.a

.)

θ θ θ θ θ

a) b)

Figura 24: Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del visible e IR cercano: (a) alvariar la potencia del campo de bombeo (b) el angulo de rotacion de la fibra.

En la figura 24 (a) se puede observar que el supercontinuo generado tiene compo-

nentes espectrales cercanas al lımite de deteccion del espectrometro Ocean Optics. Para

65

verificar que el espectro que estamos midiendo no esta acotado por el lımite de deteccion

del espectrometro Ocen Opticis (1100 nm) se utilizo un espectrometro Agilent HP 70951A

cuyo lımite de deteccion se encuentra en 1700 nm. Las mediciones realizadas con este

espectrometro corroboraron que el perfil espectral del supercontinuo no se extiende mas

alla de los 1100 nm.

4.4. Generacion de senales en la region del espectro UV.

Para medir la senal de tercer armonico se implemento el arreglo experimental que se

muestra en la figura 18. En la figura se muestra que la senal a la salida de la fibra incide

en el monocromador, despues de ser enfocada y filtrada. El monocromador selecciona

la longitud de onda deseada y la conduce a su rendija de salida, detras de la cual se

coloco el TFM. El TFM esta conectado al osciloscopio, que indica el voltaje generado

por la luz incidente; para cada longitud de onda seleccionada en el monocromador se

registra el valor del voltaje correspondiente. De acuerdo a los resultados del calculo de

empatamiento de fases (Seccion 3.2.2 ), seleccionamos en el monocromador longitudes

de onda λ cercanas a 280 nm. En la figura 26 se muestran dos espectros obtenidos a la

salida de la fibra en la region del espectro UV, adquiridos a diferentes horas del dıa bajo

las mismas condiciones experimentales y en la figura 25 el perfil espectral del campo

incidente en la fibra que corresponde a dichas mediciones. En la figura 26 (a) se muestra

un conjunto de datos obtenidos y su ajuste a una funcion gaussiana, el ajuste muestra

que la senal generada esta centrada alrededor de λc=300 nm con un ancho espectral

∆λFWHM = 3 nm. Por otro lado, en la figura 26 (b) se muestra otro conjunto de datos y su

ajuste a una funcion gaussiana indicando que la senal generada esta centrada igualmente

alrededor de λc=300 nm con un ancho espectral ∆λFWHM= 2 nm. Espectros similares se

obtuvieron bajo las mismas condiciones experimentales.

Al monitorear el perfil espectral del campo incidente, durante el transcurso del dıa,

nos percatamos que este presentaba constantes cambios. Al realizar la adquisicion de

datos durante un largo perıodo de tiempo, el perfil del campo de bombeo podıa presentar

cambios no deseados. Por ello fue necesario reducir el tiempo de adquisicion de datos, ya

que hasta este momento la adquisicion se realizaba punto por punto. La toma de datos se

automatizo conectando el TFM y el monocromador a una computadora, como se muestra

66

7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 00

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 0 0 0

Inten

sidad

(u.a)

L o n g i t u d d e o n d a ( n m )

E x p e r i m e n t a l A j u s t e g a u s s i a n o

λc = 8 4 3 n m∆λF W H M = 50 n m

Figura 25: Perfil espectral del laser Ti:Zafiro.

en la figura 27. La conexion del TFM con la computadora se realizo mediante una tarjeta

analogica-digital (National Instruments, BNC- 2110) que convierte la senal analogica del

TFM a una senal digital que pueda ser recibida y procesada por la computadora; mientras

que la conexion del monocromador con la computadora se realizo siguiendo las instruc-

ciones de su manual, mediante un puerto RS-232. Por medio de los programas corres-

pondientes se controlo el movimiento del monocromador y se guardo la senal proveniente

del TFM en una matriz de datos. La matriz de datos es procesada posteriormente para

obtener un espectro.

Con el monocromador y el TFM conectados a la computadora el tiempo de adquisi-

cion de datos fue reducido significativamente haciendo posible aumentar el intervalo de

adqusicion de datos a toda la region de transmision del filtro FGUV11 (275 a 375 nm).

En la figura 28 se muestran tres espectros adquiridos a la salida de la fibra a traves del

arreglo experimental que se muestra en la figura 27, con potencias promedio del campo

incidente muy similares. Los datos que se muestran en la figura 28 fueron adquiridos con

los siguientes valores en el TFM: el voltaje aplicado al TFM por medio de la fuente de alto

voltaje (voltaje entre fotocatodos y dınodos) fue de 700 V, mientras que la amplificacion

de la senal analogica (ganancia) fue de 105 V/Amp. El perfil espectral del campo incidente

correspondiente se muestra en la parte superior de cada espectro. En los tres espectros

67

292 294 296 298 300 302 3040

2

4

6

8

10

12

14

λc= 300 nm

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Longitud de onda (nm)

Experimental Ajuste gaussiano

Δλ FWHM = 3 nm

λc= 300 nm

292 294 296 298 300 302 3040

2

4

6

8

10

12

14

λc= 300 nm

Δλ FWHM = 2 nm

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Longitud de onda (nm)

Experimental Ajuste gaussiano

a) b)

Figura 26: Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del UV.

monocromador

E

E2

láserTi:Za�ro

THGF

TFMobjetivo

espectrómetro

LMSF

FAV

TA-D

Figura 27: Diagrama del arreglo experimental para estudiar el proceso THG. E1, E2, espejos; L, lente;F filtro; TFM tubo fotomultiplicador; FAV fuente de alto voltaje; TA-D tarjeta analogica-digital.

de la figura 28 se puede observar una senal centrada alrededor de 340 nm, mientras que

en dos de ellos (a y b) se observa una senal centrada alrededor de 300 nm. La genera-

cion de una senal centrada alrededor de los 320 nm se puede observar en la figura 28

(b). Finalmente, en los espectros de la figura 28 (a y b) es posible observar la generacion

de senales de baja intensidad por debajo de los 300 nm. Los espectros que se muestran

en la figura 28 fueron adquiridos en diferentes dıas, el perfil espectral del campo incidente

y la eficiencia de acoplamiento cambio en cada espectro.

68

0

200

400

600

800

200

250

300

350

400

300

a) b)

c)

2800

10000

20000

30000

λc =841 nm

FWHM=12 nm

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Longitud de onda (nm)

340

300 320 360340

FWHM=24 nmλc=825 nm

FWHM=14 nmλc=828 nm

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Inte

nsid

ad (u

.a.)

280 280300 300320 320340 340360 360Longitud de onda (nm) Longitud de onda (nm)

300340

Figura 28: Espectros generados a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del UV con diferenteperfil espectral del campo incidente en la fibra y condiciones de acoplamiento.

4.4.1. Variacion de la senal con cambios de potencia.

En la figura 29 se muestra un diagrama del arreglo experimental que se implemento

para medir el espectro de la senal con cambios en la potencia del campo incidente. En la

figura un campo proveniente del laser Ti:Zafiro es acoplado mediante un objetivo de mi-

croscopio 40X a la fibra NL 2.4 800. Antes del objetivo de microscopio, se encuentra una

placa retardadora λ/2 seguida de un cubo polarizador. El sistema placa λ/2-polarizador

permite controlar la potencia del campo incidente en la fibra, manteniendo constante la

polarizacion. A continuacion se describe la forma en la que fueron colocados ambos ele-

mentos opticos en el arreglo experimental. Inicialmente se coloco unicamente el polariza-

dor en la posicion indicada en la figura 29 y en seguida se coloco un medidor de potencia.

El polarizador se roto buscando el angulo de maxima transmitancia de potencia; una vez

que se determino este angulo, el polarizador queda fijo en esta posicion. Posteriormen-

69

te se coloco la placa retardadora λ/2 en la posicion indicada en la figura 29, y se roto

buscando igualmente el angulo de maxima transmitancia con el medidor de potencia co-

locado enseguida del cubo polarizador. Al colocar el cubo polarizador y la placa de λ/2 en

la mesa optica es necesario colocarlos perpendicularmente al camino optico del haz, de

otra forma se puede inducir desviaciones no deseadas en la direccion de propagacion del

haz al rotar alguno de estos elementos opticos y en consecuencia disminuir la eficiencia

de acoplamiento a la fibra. Una forma de cuidar este ultimo punto es observar la posicion

del reflejo del haz en el espejo E2 al colocar el polarizador y posteriormente la placa de

λ/2, el reflejo debe encontrarse en la misma posicion del haz incidente o en la posicion

mas cercana posible. A partir de esta configuracion de maxima transmitancia, es posible

disminuir la potencia del campo incidente en la fibra al cambiar el angulo de la placa de

λ/2 a pasos pequenos, hasta llegar a un angulo tal que la potencia transmitida sea igual

a cero. De esta forma la potencia del campo incidente puede ser controlada, conforme a

la ley de Malus.

monocromador

E1

E2

láser Ti:Za�ro

THGF

TFM objetivo microscopico

FAV

L�bra

P.R.λ/2

Pol

TA-D

Figura 29: Arreglo experimental que permite controlar la potencia y la polarizacion del campo pro-veniente del laser de Ti:Zafiro.

En la figura 30 se muestran los espectros obtenidos a la salida de la fibra en la region

del espectro UV, al variar la potencia del campo incidente. En la figura, las potencias que

se muestran corresponden a la potencia acoplada a la fibra. En este caso la eficiencia de

acoplamiento fue del 20 %. El valor del voltaje aplicado al TFM se mantuvo en 700 V al

igual que la ganancia en 105. En la esquina superior derecha se muestra el correspondien-

te perfil de intensidad a la salida de la fibra, adquirido mediante una camara THORLABS

70

DCC1645C.

280 300 320 340 3600

5000

10000

15000

20000

25000

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Longitud de onda (nm)

28.1 mW 26.4 mW 24.2 mW 23.5 mW 21 mW 18.5 mW 17.5 mW 15.3 mW 12.8 mW 11.2 mW

Figura 30: Espectros generados a la salida de la fibra en la region del espectro UV al variar la po-tencia del campo incidente en la fibra. En la esquina superior derecha se encuentra el perfil deintensidad a la salida de la fibra.

A partir de los espectros de la figura 30 es posible relacionar la intensidad de la senal

detectada con la potencia del campo acoplado a la fibra. En la figura 31 se muestra la

intensidad de la senal (a) centrada alrededor de 300 nm y (b) alrededor de 340 nm, en

funcion de la potencia acoplada. Ambas senales fueron ajustadas a una funcion de la for-

ma y = axm, para la senal centrada alrededor de λ= 300 nm m=3.8, mientras que para la

senal centrada alrededor de λ= 340 nm m=12. La dependencia encontrada entre la inten-

sidad de las senales y la potencia del campo acoplado a la fibra no es la esperada, en la

ultima seccion de este capıtulo se presenta una discusion de los resultados encontrados.

4.4.2. Variacion de la senal con cambios de polarizacion.

Para medir el espectro de la senal generada con cambios en la polarizacion del campo

incidente se utilizo el mismo arreglo experimental que se muestra en la figura 29. En este

caso, se desea controlar la polarizacion del campo incidente manteniendo constante la

potencia. La polarizacion se controla por medio del angulo del cubo polarizador, a cada

71

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

100

1000

10000

Experimental (340 nm) Ajuste a la función y=ax12

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Potencia (mW)11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30

10

100

1000

Experimental (300 nm)

y=ax3.8

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Potencia (mW)11 12 13 14 15 16 18 22 24 26 28 30

1

10

1000

Experimental (300 nm)

Ajuste a función y=ax3.8

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Potencia (mW)20

Figura 31: Graficas Log-Log de la intensidad de la senales en funcion de la potencia del campoincidente en la fibra: a) senal centrada alrededor de 300 nm. b) senal centrada alrededor de 340 nm.

angulo del cubo polarizador le corresponde un angulo de la placa de λ/2 por medio del

cual es posible mantener constante la potencia del campo incidente en la fibra. En la

figura 30 se muestra la intensidad de la senal generada (a) alrededor de 300 nm y (b)

alrededor de 340 nm en funcion de la polarizacion del campo incidente.

0 30 60 90 120 150 1802000

3000

4000

5000

6000

7000

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Experimental (300 nm)

0 30 60 90 120 150 180

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Experimental (340 nm)

Figura 32: Graficas de la intensidad de la senales en funcion de la polarizacion del campo incidenteen la fibra: a) senal centrada alrededor de 300 nm. b) senal centrada alrededor de 340 nm.

4.5. Analisis de los resultados obtenidos.

Los espectros obtenidos a la salida de la fibra en la region del UV muestran la genera-

cion de dos senales principales alrededor de 300 y 340 nm (figura 28 y 30). El proceso de

THG, con bombeo degenerado, puede generar una senal centrada alrededor de 300 nm

72

a partir de un campo de bombeo centrado alrededor de 900 nm; similarmente puede ge-

nerar una senal alrededor de 340 nm a partir de un campo de bombeo centrado alrededor

de 1020 nm. El perfil espectral del laser de Ti:Zafiro, que se muestra en las figuras 25 y

28, no contiene componentes espectrales centradas alrededor de 900 ni de 1020 nm. Sin

embargo, el perfil espectral del supercontinuo generado con una potencia promedio del

campo incidente de 210 mW, sı contiene dichas componentes espectrales (figura 24a).

En los espectros que se muestran en la figura 30, la potencia maxima del campo inci-

dente es de alrededor de 210 mW y esta va disminuyendo a pasos pequenos. Respecto

a los datos experimentales que se muestran en la figura 32, asociados a los espectros

adquiridos con cambios en la polarizacion del campo incidente, estos fueron generados

con una potencia del campo incidente de alrededor de 200 mW. En resumen, las senales

observadas alrededor de 300 y 340 nm estan asociadas a espectros del supercontinuo

que contiene componentes espectrales alrededor de 900 y 1020 nm. Por tanto, a partir

de los resultados obtenidos, asumimos que estas componentes del supercontinuo actuan

como campo de bombeo generando senales alrededor de 300 y 340 nm por el proceso

de THG.

Sin embargo, aun es necesario explicar la generacion de estas senales por medio de

la condicion de empatamiento de fases. Los calculos mostrados en el capıtulo anterior

no muestran empatamiento de fases para las senales observadas alrededor de 300 y

340 nm. No obstante, dichos calculos se realizaron bajo diversas suposiciones. En esta

seccion revisaremos algunas de ellas, las cuales se enlistan a continuacion:

Fibra optica. Los valores de la fraccion de llenado y del radio del nucleo se tomaron

directamente de la hoja de especificaciones otorgada por el fabricante, sin realizar

una medicion directa en la fibra.

Campo del tercer armonico. En los calculos de empatamiento de fases que se rea-

lizaron y presentaron en el capıtulo anterior, el tercer armonico se propaga unica-

mente en los modos HElm con l = 1, 2, 3.

Campo de bombeo. Se considero el caso degenerado en el bombeo, en el cual el

73

tercer armonico es generado mediante la aniquilacion de tres fotones con la misma

longitud de onda.

A continuacion se discute la validez de cada una de estas suposiciones. Con respecto

a la fibra optica y al valor del radio del nucleo, es posible medir su valor directamente en

la fibra por medio de un microscopio electronico de barrido SEM (por sus siglas en ingles

Scanning Electron Microscope). En la figura 33 (a) se muestra la imagen de un corte

transversal de la fibra NL 2.4 800 adquirida por un SEM, en la figura 33 (b) se muestra

un acercamiento al nucleo del radio de la fibra en donde es posible observar que el valor

del diametro de la fibra puede ser mayor a 2.4 µm (valor otorgado por el fabricante). En

la figura 33 tambien es posible notar que el nucleo de la fibra no corresponde a un cırculo

perfecto, por lo que el valor del diametro de la fibra no tiene el mismo valor en diferentes

direcciones induciendo efectos de birrefringencia. Otras mediciones realizadas en el SEM

muestran que el diametro de la fibra puede ser mayor a 2.5 µm.

a) b)

5 μm

Figura 33: Imagenes del corte transversal de la fibra NL 2.4 800 adquiridas con un SEM a diferentesescalas.

Adicionalmente al valor de la fraccion de llenado y del radio de la fibra, el fabricante

otorga el valor de otros parametros de la fibra que se muestran en la Tabla 5. Variando el

valor del diamero de la fibra d en el intervalo (2.4 µm - 2.6 µm) y el valor de la fraccion

de llenado f alrededor de 0.9 se realizo una busqueda de los valores de d y f que,

en conjunto, den como resultado el valor mas cercano posible a los parametros que se

muestran en la Tabla 5. Por medio de este procedimiento se determino modelar a la fibra

NL 2.4 800 con los siguientes parametros: valor del radio de la fibra r=1.288 y valor de la

fraccion de llenado f=0.89.

74

Tabla 5: Parametros de la fibra NL 2.4 800 otorgados por el fabricante.

Fibra NL 2.4 800Diametro del nucleo 2.4 ± 0.1 µm

Longitud de onda de cero dispersion (λZD) 800 ± 5 nmApertura numerica a λZD 0.19Area efectiva del modo 2.8 µm2

Coeficiente no lineal a λZD 70 W−1Km−1

Con respecto al segundo punto, en la busqueda de condiciones de empatamiento de

fases podemos incluir a todos los modos de propagacion soportados por la fibra NL 2.4

800.

Tomando en cuenta lo anterior, se procedio a calcular la funcion ∆β con condiciones

mas apegadas a la situacion fısica real. En la figura 34 (b) se muestran los calculos

de empatamiento de fases para el proceso de THG, con bombeo degenerado (figura

34a), tomando en consideracion los nuevos valores de f y r y permitiendo la propagacion

del tercer armonico en todos los modos de propagacion de la fibra. En la grafica de la

figura 34 (b) el eje horizontal indica el valor de la longitud de onda del tercer armonico

y el eje vertical el valor de la funcion ∆β. En la grafica las soluciones a la condicion

∆β = 0 estan senaladas con un punto rojo, indicando que es posible generar una senal

centrada en λh=295 nm cuando el tercer armonico se propaga en el modo EH13, una

senal centrada en λh= 297 nm cuando se propaga en el modo HE52 y una senal centrada

en λh=345 nm cuando se propaga en el modo EH51. En todos los casos se considero

que el campo de bombeo se propaga en el modo fundamental. En la Tabla 6 se muestran

los valores asociados a las soluciones que se encuentran en la figura 34. Los resultados

muestran que las senales observadas alrededor de 300 y 340 nm se pueden asociar a

la generacion de campos de tercer armonico propagandose en los modos HE52 y EH51

respectivamente.

Sin embargo, el ancho espectral del supercontinuo, que hemos asumido como el cam-

po de bombeo para la generacion del tercer armonico, aumenta la disponibilidad de com-

ponentes espectrales que contribuyen al proceso, en comparacion con un campo de bom-

beo proveniente del laser de Ti:Zafiro. Con respecto al tercer punto y tomando en cuenta

75

0.3 0.32 0.34−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Longitud de onda del armónico (μm)

Δβ (μ

m−1

)

EH13

HE52 EH51

λ3

λhλ2

λ1

b)a)

Figura 34: Generacion de tercer armonico mediante la participacion de tres fotones de bombeo conla misma longitud de onda: a) Diagrama de niveles de energıa para dicho proceso. b) Calculo deempatamiento de fases de dicho proceso.

Tabla 6: Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamiento de fases para la fibraNL 2.4 800.

Fibra NL 2.4 800Modo de propagacion (TH) λh (nm) λb (nm) γ (W−1/km)

EH13 295 885 0.042HE52 297 891 0.004EH51 345 1035 0.001

lo dicho anteriormente, consideramos la posibilidad de que otras componentes espectra-

les, ademas de 900 y 1020 nm, contribuyan a la generacion del tercer armonico. Realiza-

mos calculos de empatamiento de fases considerando la aniquilacion de tres fotones con

diferente longitud de onda (caso no degenerado en el bombeo), provenientes del super-

continuo, para la generacion del tercer armonico. El diagrama de niveles de dicho proceso

se muestra en la figura 35. Previamente, se mostro que la condicion de empatamiento de

fases tiene solucion unica para el proceso de THG degenerado en el bombeo, una vez

que se elige el modo de propagacion del tercer armonico y del fundamental. En el caso

no degenerado al elegir el modo de propagacion de ambos campos la solucion deja de

ser unica.

En la figura 36 se muestran los resultados del calculo de empatamiento de fases mas

proximos a las senales observadas experimentalmente. En las curvas mostradas en la

76

figura 36, cada punto representa una solucion a la condicion ∆β = 0. En cada grafica de

la figura 36 el eje horizontal indica la longitud de onda del foton generado y el eje vertical

indica la longitud de onda de dos de los fotones de bombeo (etiquetados como 1 y 2)

que cumplen con la condicion ∆β = 0. La longitud de onda del tercer foton de bombeo

(etiquetado como 3) tiene un valor fijo el cual se indica en la esquina superior derecha de

cada grafica por medio de λ3.

Los calculos de empatamiento de fases que se muestran en la figura 36 se realizan

en terminos de ∆, en el eje vertical, y de la longitud de onda del foton generado por el

correspondiente proceso no lineal, en el eje horizontal (vease figuras de la seccion 3.2.1).

En este caso la longitud de onda de los fotones de bombeo, λ1,2 se relaciona con ∆ de la

siguiente forma1

λ1,2=

∆1,2

2πc+

1

2

(1

λh+

1

λ3

), (61)

donde ∆1 son los valores negativos de delta, mientras que ∆2 son los valores positivos

de delta. Para facilitar al lector la interpretacion de los calculos de empatamiento de fases

para el proceso de THG degenerado en el bombeo, los valores de ∆ en el eje vertical se

omitieron y en su lugar se muestra directamente el valor de la longitud de onda de los fo-

tones de bombeo que cumplen con la condicion de empatamiento de fases. Sin embargo

es importante mencionar que los valores λ1,2 que se muestran en la figura 36, correspon-

den unicamente a los fotones (1 y 2) que cumplen con la condicion de empatamiento de

fases. Debido a que el valor de λ1,2 depende de ∆ y de λh, aunque el valor de ∆ sea

el mismo, como es el caso en las lıneas horizontales puntuadas que se observan en la

figura 36, el valor de λ1,2 cambia en cada punto que conforma dichas lıneas horizontales,

debido al cambio en el valor de λh.

En la figura 36 (a) se muestra la curva de empatamiento de fases cuando el tercer

armonico se propaga en el modo EH13 generando fotones alrededor de λ=296 nm, los

fotones de bombeo que contribuyen a la generacion del tercer armonico se encuentran

en el intervalo de 647 nm-1439 nm. En esta grafica se muestra, con lıneas punteadas, un

caso especıfico de la curva de empatamiento de fases en donde es posible generar un

foton en λ=296 nm por la aniquilacion de tres fotones de bombeo con longitud de onda

λ1= 1309 nm, λ2= 695 nm y λ3= 895. En la figura 36 (a) el punto rojo senala el caso

77

degenerado en donde se genera un foton alrededor de λ=295 nm por la aniquilacion de

tres fotones con longitud de onda λ1= 885 nm, λ2= 885 nm y λ3= 885 nm. En la figura 36

(b) se muestra la curva de empatamiento de fases cuando el tercer armonico se propaga

en el modo HE52 generando fotones alrededor de λ=298 nm, los fotones de bombeo que

contribuyen a la generacion del tercer armonico se encuentran en el intervalo de 650

nm-1464 nm. En esta grafica se muestra, con lıneas punteadas, un caso especıfico de

la curva de empatamiento de fases, en donde se genera un foton con λ=298 nm por la

aniquilacion de tres fotones de bombeo con longitud de onda λ1= 1249 nm, λ2= 695 nm

y λ3= 895 nm. En la figura 36 (b) el punto rojo senala el caso degenerado, por medio del

cual se genera un foton alrededor de λ=297 nm por la aniquilacion de tres fotones con

longitud de onda λ1= 894 nm, λ2= 894 nm y λ3= 895 nm. En la figura 36 (c) se muestra la

curva de empatamiento de fases cuando el tercer armonico se propaga en el modo EH51

generando fotones alrededor de λ=346 nm, los fotones que contribuyen a la generacion

del tercer armonico se encuentran en el intervalo de 845 nm-1355 nm. En la figura 36

(c) se muestra con lıneas punteadas un caso especıfico de la curva de empatamiento de

fases, en donde se genera un foton con λ=345 nm por la aniquilacion de tres fotones con

longitud de onda λ1= 1169 nm, λ2= 927 nm y λ3= 1032 nm. En la figura 36 (c) el punto

rojo senala el caso parcialmente degenerado en donde se genera un foton por encima de

λ=345 nm por la aniquilacion de tres fotones con longitud de onda λ1= 1034 nm, λ2= 1034

nm y λ3= 1032 nm. Los tres puntos rojos senalados en la figura 36 son equivalentes a los

tres puntos que estan senalados en la figura 34.

λ3

λhλ2

λ1

Figura 35: Diagrama de niveles de energıa para el proceso de THG con un campo de bombeo nodegenerado.

78

347 346 345

1337

1164

1034

933

852λ =1032 nm3

1169 nm

927 nm

c)

297 296 2951439

1091

885

745

647

Señal se propaga en el modo EH13

673 nm

1309 nm

Señal se propaga en el modo EH51

λ = 885 nm3

a)

λ1 ( n

m)

λ2 ( n

m)

λ h (nm)

1λ1 ( n

m)

λ2 ( n

m)

λ h (nm)299 298 297

1464

1107

894

749

650

Señal se propaga en el modo HE52

λ ( n

m)

λ2 ( n

m) λ = 895 nm3

1249 nm

695 nm

b)

λ h (nm)

Figura 36: Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en modos de ordensuperior: a) modo EH13 (b) modo HE52 (c) modo EH51.

4.6. Comparacion de resultados experimentales y teoricos.

En los espectros de las figura 26 y 28 se puede observar una senal experimental

centrada alrededor de 300 nm. Esta senal se puede explicar mediante la condicion de

empatamiento de fases entre el modo fundamental y el modo HE52. En la figura 37 (a) se

muestra el calculo de la curva de empatamiento de fases cuando el bombeo se propaga

en el modo fundamental generando una senal de tercer armonico propagandose en el

modo HE52 alrededor de λ=298 nm. En la figura 37 (b) se muestra el espectro experi-

mental en la region del espectro UV y en la figura 37 (c) el correspondiente espectro del

supercontinuo generado, cuando la potencia promedio acoplada a la fibra es igual a 28.1

mW. En la figura 37 (a) se indica con un recuadro de color azul la region de la curva de

empatamiento de fases que adjudicamos a la generacion de una senal alrededor de 300

nm (figura 36 (b), recuadro azul). De acuerdo a la curva de empatamiento de fases, la

region espectral del supercontinuo que puede contribuir a la generacion de esta senal se

indica con un recuadro en color azul en la figura 37 (c), dicha region corresponde a 780

nm-1039 nm.

En los espectros de las figuras 28 y 30 se puede observar la generacion de una senal

centrada alrededor de 340 nm. Esta senal se puede explicar mediante la condicion de

empatamiento de fases entre el modo fundamental y el modo EH51. En la figura 38 (a) se

muestra el calculo de la curva de empatamiento de fases cuando el bombeo se propaga

en el modo fundamental generando una senal de tercer armonico propagandose en el

79

299 298 297

1464

1107

894

749

650

Señal se propaga en el modo HE52

λ ( n

m)

λ2 ( n

m) λ = 895 nm3

1

500 600 700 800 900 1000 1100 1200

0.01

0.1

1

Inte

nsid

ad n

orm

aliz

ada

(u.a

.)

Longitud de onda (nm)

SC (28.1 mW)

280 300 320 340 3600

5000

10000

15000

20000

Inte

nsid

ad (u

.a.)

Longitud de onda (nm)

Espectro en el UV (28.1 mW)

300 nm

340 nm

λ h (nm)

780 nm

1039 nm

a) b)

c)

Figura 37: a) Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en el modo HE52.b) Espectro generado en la region del espectro UV. c) Correspondiente espectro del SC.

modo EH51 alrededor de λ= 346 nm. En la figura 38 (b) se muestra el espectro experi-

mental en la region del espectro UV y en la figura 37 (c) su correspondiente espectro del

supercontinuo generado, cuando la potencia promedio acoplada a la fibra es igual a 28.1

mW. En la figura 38 (a) se indica con un recuadro de color azul la region de la curva de

empatamiento de fases que adjudicamos a la generacion de una senal alrededor de 340

nm ( figura 38 (b), recuadro azul ). De acuerdo a la curva de empatamiento de fases, la

region espectral del SC que puede contribuir a la generacion de esta senal se indica con

un recuadro en color azul en la figura 38 (c), dicha region corresponde a 1007 nm-1063

nm.

4.7. Discusion

En relacion al perfil espectral y temporal del laser de Ti:Zafiro Griffin se puede concluir

que el pulso posee un chirp importante, debido a la diferencia entre la duracion mınima

y la duracion real del pulso. La cantidad de chirp en el pulso es relevante en la genera-

cion del supercontinuo y subsecuentemente en la generacion de senales en la region del

espectro UV. Dependiendo la cantidad de chirp en el pulso y de su signo, en suma con

80

347 346 345

1337

1164

1036

933

852

λh (nm)

λ 1 (nm

)λ 2 (n

m) λ =1030 nm3

500 600 700 800 900 1000 1100 1200

0.01

0.1

1

Inte

nsid

ad n

orm

aliz

ada

(u.a

.)

Longitud de onda (nm)

SC (28.1 mW)

280 300 320 340 3600

5000

10000

15000

20000

Inte

nsid

ad (

u.a.

)

Longitud de onda (nm)

Espectro generado (28.1 mW)

300 nm

340 nm

1007 nm

1063 nm

Señal se propaga en el modo EH51 a) b)

c)

Figura 38: a) Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en el modo EH51.b) Espectro generado en la region del UV. c) Correspondiente espectro del SC.

el efecto de automodulacion de fase, el pulso laser puede aumentar o disminuir su ancho

espectral al propagarse a lo largo de la fibra (Agrawal, 2001).

El estudio y caracterizacion del supercontinuo en fibras opticas comenzo en 1976

(Lin y Stolen, 1976) cuando aparecio el primer trabajo de la generacion del supercon-

tinuo usando como medio no lineal una fibra optica. Desde entonces se han realizado

numerosos estudios para explicar los fenomenos fısicos involucrados en la generacion

del supercontinuo (Cherif et al., 2008). Por otro lado, se ha estudiado la generacion del

supercontinuo con cambios de potencia y angulo de polarizacion del campo incidente

(Apolonski et al., 2002), longitud y propiedades de dispersion de la fibra (Ortigosa-Blanch

et al., 2002), entre otros.

El pulso de bombeo se encuentra centrado alrededor de λ=830 nm, mientras que la

longitud de onda de cero dispersion de la fibra es λZD=800 nm. El campo de bombeo via-

ja en el regimen de dispersion anomala, en donde el corrimiento de frecuencias inducido

por la dispersion de velocidad de grupo se compensa progresivamente con el corrimien-

to inducido por automodulacion de fase hasta cancelarse completamente; esto favorece

81

la propagacion de pulsos que mantienen su forma espectral y temporal. A este tipo de

pulsos, que se propagan sin alterar su forma temporal y espectral, se les conoce como

solitones opticos (Grigoryan et al., 2000). En el regimen de dispersion anomala, se ha de-

mostrado que la generacion del supercontinuo es gobernada por el proceso de fision de

solitones de orden superior (Husakou y Herrmann, 2001), en donde la radiacion solitonica

contribuye a la generacion de componentes espectrales en la region del IR. La fision de

solitones consiste en el rompimiento del pulso (soliton de orden mayor) en el rompimiento

de solitones fundamentales. Otro factor importante en la generacion del supercontinuo es

la duracion del pulso.

A partir de los espectros de la figura 24 (a) es posible observar que el ancho del su-

percontinuo varıa con la potencia del campo de bombeo. A menor potencia del campo

incidente menor es el ancho del supercontinuo, en concordancia con lo reportado ante-

riormente (Chen et al., 2013). En la figura 24 (b) se pueden observar diferentes espectros

obtenidos a la salida de la fibra, al rotar la fibra alrededor de su eje axial. Al rotar la fi-

bra, se inducen perdidas de potencia del campo acoplado a la fibra, de manera similar

a las perdidas inducidas en fibras opticas por curvaturas (Seccion 2.2). Al disminuir la

potencia del campo acoplado, observamos que el ensanchamiento espectral del campo

de bombeo es mınimo para angulos de rotacion mayores a 15◦. De lo dicho anteriormen-

te, se concluye que la generacion del supercontinuo es altamente sensible a torsiones

inducidas a lo largo de su eje axial.

En la figura 26 se muestra la generacion de una senal centrada alrededor de 300

nm, la generacion de dicha senal se explica mediante el cumplimiento de la condicion de

empatamiento de fases cuando el campo de bombeo se propaga en el modo fundamental

y el campo del tercer armonico se propaga en el modo HE52. Por otro lado, en la figura

28 se muestra la generacion de una senal de alta intensidad centrada alrededor de 340

nm, la generacion de dicha senal se explica mediante el cumplimiento de la condicion de

empatamiento de fases cuando el campo de bombeo se propaga en el modo fundamental

y el campo del tercer armonico se propaga en el modo EH51. En ambos casos, por medio

del calculo de empatamiento de fases para el proceso de tercer armonico no degenerado,

se ha identificado una region del supercontinuo que contribuye a la generacion de estas

82

senales. La diferencia entre el valor teorico y experimental de λh, que no excede los 5 nm,

se puede por medio de la aproximacion realizada en el modelo de la fibra para calcular

sus propiedades de dispersion.

En la seccion 3.2.2 se mostro que la condicion ∆β = 0 para el proceso de THG

tiene diversas soluciones, correspondientes a la generacion de diversas senales de tercer

armonico que se propagan en diferentes modos. La longitud de onda de las senales

generadas λh depende del modo de propagacion del tercer armonico. Adicionalmente

a la generacion de las senales centradas alrededor de 300 y 340 nm, los espectros de

la figura 28 muestran la generacion de otras senales en el intervalo de 270 a 370 nm.

La generacion de estas senales se puede explicar mediante alguna de las soluciones a

la condicion ∆β = 0, no discutidas en este capıtulo, en donde existe empatamiento de

fases entre el modo fundamental (campo de bombeo) y un modo de orden superior al

fundamental (campo de tercer armonico).

Por otro lado, se ha reportado la excitacion del campo de bombeo en modos de orden

superior al fundamental al cambiar la posicion y el angulo del haz enfocado a traves de

la fibra (Zwan et al., 2013). Debido a que los espectros que se muestran en la figura 28

fueron adquiridos bajo diferentes condiciones de acoplamiento, es posible que algunos de

ellos correspondan al campo de bombeo propagandose en un modo de orden superior

al fundamental. En tal caso, existen soluciones a la condicion de empatamiento de fases

adicionales a las que se presentan en este trabajo, correspondientes a ambos campos

(campo de bombeo y campo del tercer armonico) propagandose en modos de orden

superior. Tales soluciones pueden explicar la generacion de algunas de las senales que

se observan en la figura 28. Concretamente, el espectro de la figura 28 b) fue adquirido

al cambiar la posicion de la fibra de la posicion de maximo acoplamiento. Por ello, la

senal generada alrededor de 320 nm que se muestra en la figura 28 b) se adjudica a la

excitacion del campo de bombeo en un modo de orden superior al modo fundamental.

Los espectros que se muestran en la figura 30 muestran la generacion de dos senales

principales alrededor de 300 y 340 nm, ambas senales presentan un hombro del lado

izquierdo (hacia longitudes de onda menores). Este comportamiento ha sido previamente

observado en la generacion del tercer armonico (Efimov et al., 2003; Wiedemann et al.,

83

2010; Lee et al., 2012). El hombro que presenta la senal centrada alrededor de 300 nm

puede ser adjudicado al cumplimiento de la condicion de empatamiento de fases, cuando

el campo del tercer armonico se propaga en el modo EH13 y el campo de bombeo en el

modo fundamental, generando una senal alredededor de 295 nm (figura 34 y 36).

En la figura 31 se muestra la dependencia de la intensidad de las senales generadas

con la potencia del campo acoplado a la fibra. En el proceso de generacion de tercer

armonico se espera que la dependencia entre la potencia del campo de bombeo y la po-

tencia del tercer armonico sea cubica (Coillet y Grelu, 2012). Sin embargo, los resultados

de este trabajo (figura 31) no muestran dicha dependencia en ambas senales (300 y 340

nm). Por otro lado, en un trabajo en el que se estudio la dependencia entre la potencia de

pulsos laser ultracortos y la senal de tercer armonico generada en diferentes materiales

(Barbano et al., 2013), entre ellos SiO2, se reporto una dependencia entre la potencia

del campo de bombeo y la potencia del tercer armonico de mayor orden a la dependencia

cubica (m mayor a tres). En este caso, los valores de la pendiente m mayores a tres fueron

adjudicados a la presencia de un proceso no lineal adicional. En el presente trabajo, el va-

lor de la pendiente m para las senal centrada alrededor de λ=300 nm ha sido adjudicado

a que dicha senal se generan por la aniquilacion de componentes espectrales del super-

continuo y no del pulso proveniente del laser de Ti:Zafiro. La relacion entre la potencia

del campo proveniente del laser de Ti:Zafiro y la potencia de la senal generada alrededor

de 300 nm no es directa, teniendo como paso intermedio la generacion del superconti-

nuo que es tambien un proceso no lineal. Con respecto a la senal generada alrededor

de 340 nm, proveniente de componentes centradas alrededor de 1020 nm, depende no

solamente de la generacion del supercontinuo sino que tambien depende fuertemente del

ancho del mismo. Lo anterior se puede entender al observar la figura 24 a) en donde es

posible observar que el supercontinuo no se extiende mas alla de los 1100 nm cuando la

potencia del campo incidente es de 210 mW, mientras que con una potencia de 74 mW

el supercontinuo no se extiende mas alla de los 1000 nm. Las componentes espectrales

que contribuyen a la generacion de la senal centrada alrededor de 340 nm, se encuentran

cercanas al lımite del supercontinuo generado con una potencia del campo incidente en

la fibra de 210 mW. La disponibilidad de componentes espectrales que contribuyan a la

generacion de la senal centrada alrededor de 340 nm para potencias del campo incidente

84

menores a 210 mW es una cuestion clave para entender el comportamiento de la figura

31b. Se discutio la posibilidad de que la senal centrada alrededor de 340 nm se genere

en el regimen espontaneo, cuando la potencia de los pulsos laser es baja.

El estudio de la dependencia entre el tercer armonico y la potencia del campo in-

cidente en la fibra, cuando el tercer armonico se genera a partir de componentes del

supercontinuo, no ha sido reportado.

En la figura 32 se muestra la dependencia de la intensidad de la senales generadas

con cambios en la polarizacion del campo incidente en la fibra. En la figura 32 es posible

observar que existe una fuerte dependencia entre la intensidad de la senal generada y

la polarizacion del campo incidente, sin embargo no es posible identificar una relacion

funcional precisa entre ambas variables. Anteriormente se ha reportado una dependen-

cia de la senales generadas con la polarizacion del campo incidente (Omenetto et al.,

2003). En nuestro caso, la intensidad de las senales con cambios en la polarizacion del

campo incidente presenta un comportamiento oscilatorio. Esto se adjudica al hecho de

que al mover el cubo polarizador y la placa retardadora de λ/2 la posicion del haz cambia

mınimamente. Sin embargo, este cambio mınimo se traduce en cambios significativos en

el acoplamiento del haz a la fibra. Por ello, los espectros obtenidos al controlar la pola-

rizacion del campo de bombeo son en realidad espectros que muestran cambios en la

polarizacion y el acoplamiento del campo incidente.

En la Tabla 6 se encuentran los valores del coeficiente no lineal correspondientes a

la generacion de senales de tercer armonico alrededor de 295, 297 y 345 nm, en ella

se puede observar que el valor del coeficiente no lineal disminuye conforme aumenta el

valor de la longitud de onda. Una disminucion en el valor del coeficiente no lineal, de

acuerdo a lo dicho anteriormente (Seccion 3.2.2), implica una disminucion en la eficiencia

del proceso; esto se traduce en una disminucion en la intensidad de la senal generada.

De acuerdo a esto, se espera que la intensidad de la senal alrededor de 300 nm sea

mayor a la intensidad de la senal alrededor de 340 nm. Sin embargo, la intensidad de las

senales tambien se relaciona con factores experimentales. Antes de incidir en el TFM, las

senales detectadas en la region del espectro UV recorren un camino optico que se explica

a continuacion; es importante mantener una buena alineacion de dicho camino durante la

85

adqusicion de datos. A la salida de la fibra, las senales son enfocadas por medio de una

lente en la rendija de entrada del monocromador, dentro del monocromador la longitud

de onda deseada es conducida hacia la rendija de salida del monocromador, la senal

obtenida a la salida del monocromador debe estar a su vez alineada con la rendija del

TFM. La intensidad de la senal que incide en el TFM depende de su curva de respuesta

espectral (figura 18), dicha curva indica que el TFM tiene una respuesta espectral en el

intervalo de 300 a 650 nm con una respuesta maxima en 370 nm. En el intervalo espectral

de nuestro interes (270 a 370 nm) la respuesta espectral del TFM aumenta de manera

lineal conforme a la longitud de onda incidente.

Conocer la forma espacial de las senales generadas alrededor de 300 y 340 nm es

importante para la interpretacion de los resultados obtenidos; esto es posible utilizando

un filtro pasabandas y una camara CCD. El filtro se coloca a la salida de la fibra con el fin

de transmitir unicamente las senales centradas alrededor de 300 y 340 nm, en seguida

del filtro se coloca una camara CCD sensible en la region espectral correspondiente; la

camara permite adquirir una imagen del modo espacial de las senales. Ambos elementos,

filtro FGUV11 y camara SBIG, se colocaron a la salida de la fibra; sin embargo no se logro

obtener una imagen del modo espacial de las senales. La principal dificultad para realizar

estas mediciones es la diferencia en intensidad entre el pulso acoplado a la fibra y las

senales. El pulso acoplado a la fibra es de alta intensidad, mientras que la intensidad de

las senales centradas alrededor de 300 y 340 nm es muy baja; debido a que el pulso y

las senales viajan en la misma direccion, la disponibilidad de un filtro que no transmita

el pulso acoplado a la fibra es fundamental para obtener una imagen del modo espacial.

Ademas de esto, es importante contar con una camara sensible en la region del espectro

UV.

Una vez que se conoce el modo espacial de las senales generadas, es posible com-

parar los modos de propagacion observados experimentalmente con las soluciones a la

condicion de empatamiento de fases y de esta forma dar mayor soporte a la afirmacion

de que las senales provienen del proceso de generacion de tercer armonico.

86

Capıtulo 5. Resumen y conclusiones

En este capıtulo se presenta un resumen del trabajo realizado ası como las conclusio-

nes obtenidas a lo largo del mismo.

En el inicio de este trabajo se mencionaron los parametros mas importantes que ca-

racterizan a una fibra optica y se presentaron aspectos relacionados con la propagacion

de un campo electromagnetico a traves de una fibra optica. Se describieron, brevemente,

los problemas que presenta una fibra optica debido a las perdidas inducidas por ate-

nuacion y dispersion del campo propagante. Se menciono el interes que presentan las

MSFs, debido a sus caracterısticas, para el estudio de procesos no lineales y se justifico

la aproximacion realizada en su perfil de ındice de refraccion para realizar los calculos

correspondientes. Bajo dicha aproximacion, se desarrollaron la expresiones del campo

electromagnetico propagante. Al finalizar el capıtulo se describieron los procesos no li-

neales de tercer orden, con especial interes en los procesos parametricos.

Posteriormente se mostraron los calculos de dispersion en diferentes MSFs. En dichos

calculos es posible observar que los modos de propagacion de menor orden presentan

dos longitudes de onda de cero dispersion λZD, mientras que al aumentar el orden del

modo de propagacion λZD se recorre hacia el UV. Los calculos mostraron que existen

diferentes elecciones del modo de propagacion de cada uno de los campos involucrados

(bombeo, senal y acompanante), que permiten cumplir con la condicion de empatamiento

de fases para el proceso de FWM con bombeo degenerado. En cada eleccion, se mostro

que existe un intervalo de longitudes de onda del campo de bombeo que cumple con la

condicion de empatamiento de fases, generando senales en la region espectral del visible

e IR cercano. Cuando todos los campos involucrados en el proceso de FWM con bombeo

degenerado se propagan en el mismo modo, las soluciones a la condicion de empata-

miento de fases se encuentran en el intervalo comprendido entre las dos longitudes de

onda de cero dispersion del modo correspondiente.

Se presentaron tambien los calculos de empatamiento de fases para el proceso de

THG con bombeo degenerado. En dichos calculos se considero la propagacion del cam-

po de bombeo unicamente en el modo fundamental. En tal caso, la condicion de empata-

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miento de fases se cumple unicamente cuando el tercer armonico se propaga en un modo

de orden superior al fundamental. Por otro lado, encontramos que el valor del coeficiente

no lineal es practicamente igual a cero cuando el campo de bombeo se propaga en el

modo fundamental y el campo del tercer armonico se propaga en un modo hıbrido con l

igual a un numero par. Este resultado indica que, cuando el campo de bombeo se pro-

paga en el modo fundamental, el tercer armonico se genera en un modo de propagacion

hıbrido con l igual a un numero impar.

De acuerdo a los resultados del calculo de empatamiento de fases, el valor del coe-

ficiente no lineal y la disponibilidad experimental en el Laboratorio de Pulsos Ultracortos

se decidio estudiar la generacion del tercer armonico en una MSF (NL 2.4 800) cuya

λZD = 800 nm. Observamos la generacion de un supercontinuo a la salida de la fibra

microestructurada cuyo ancho espectral aumenta con la potencia acoplada a la fibra. En

la region del espectro UV se detecto la generacion de dos senales de alta intensidad cen-

tradas alrededor de λ=300 nm y λ=340 nm, ademas de otras senales de baja intensidad.

Descartamos el hecho de que estas senales formen parte del proceso de generacion del

supercontinuo. Asociamos la generacion de las senales observadas en la region del es-

pectro UV al proceso de THG no degenerado en el bombeo, cuando las componentes

espectrales provenientes del supercontinuo actuan como campo de bombeo, en concor-

dancia con los calculos de empatamiento de fases. Las senales generadas en la region

del espectro UV muestran una fuerte dependencia con el acoplamiento del campo inci-

dente en la fibra, proveniente del laser de Ti:Zafiro.

En un trabajo futuro se propone medir el modo espacial de las senales generadas

para determinar el modo de propagacion correspondiente a cada senal. De acuerdo a

las motivaciones de este trabajo, conocer con precision el modo de propagacion de la

senal generada es importante para la implementacion del proceso inverso (conversion

parametrica descendente para la generacion de un triplete de fotones), en donde el cam-

po de bombeo se propaga en un modo de orden superior al fundamental para generar un

triplete de fotones en el modo fundamental.

Al comenzar el trabajo experimental, elegimos trabajar con la fibra NL 2.4 800 debi-

do a que esta cumplıa con la condicion de empatamiento de fases al utilizar el laser de

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Ti:Zafiro como campo de bombeo. Posteriormente, encontramos que las componentes

del supercontinuo actuan como campo de bombeo para generar las senales observadas

alrededor de 300 y 340 nm. Utilizar directamente pulsos laser como campo de bombeo,

en la generacion del tercer armonico, es importante para mejorar la eficiencia del proceso

y verificar la dependencia entre la potencia del campo de bombeo y el campo generado.

Para lograrlo, se propone encontrar condiciones de empatamiento de fases, en otras fi-

bras MSFs, que permitan la generacion del tercer armonico por medio de componentes

espectrales provenientes directamente del pulso laser (sin intervencion del superconti-

nuo). Adicionalmente, se propone trabajar con pulsos laser con duracion del orden de

picoegundos para evitar la generacion del supercontinuo.

Ademas, se propone utilizar una fibra microestructurada con una mayor longitud, in-

crementando de esta forma la eficiencia del proceso.

El estudio de la generacion de pares de fotones por medio del proceso FWM en las

fibras MSFs disponibles actualmente se presenta como una alternativa atractiva, al utilizar

un campo de bombeo propagandose en un modo de orden superior al fundamental y con

una longitud de onda central en la region del espectro visible.

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