centro de bachillerato tecnolÓgico industrial y …

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS

1

g.f.s.

CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO

INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No 158

Guía de aprendizaje

Geometría y Trigonometría

S.A.E.T.I.

Chihuahua, Chih., Enero 2018


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g.f.s.

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Definición de Geometría

En su forma más elemental, la geometría se aplica a la resolución de problemas métricos, como

calcular las aéreas y perímetros de figuras planas, así como superficies y volúmenes de cuerpos sólidos.

Es decir, estudia las propiedades de las formas y de los cuerpos geométricos.

Para su estudio, la geometría se divide en:

Geometría plana

Estudia las propiedades de las superficies y figuras planas como los triángulos, las rectas, los

polígonos, los cuadriláteros y la circunferencia. Esta geometría también recibe el nombre de geometría

euclidiana, en honor del matemático griego Euclides.

Geometría del espacio

Estudia los cuerpos geométricos cuyos puntos no están en el mismo plano, es decir, las figuras de tres

dimensiones.

Existen otras geometrías especializadas en diferentes campos de las matemáticas, como son:

Geometría analítica

Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenada, y los problemas geométricos por

métodos algebraicos, que se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones.

Geometría descriptiva

Estudia los cuerpos en el espacio por medio de sus proyecciones sobre determinados planos.

Individualmente lee el tema de Conceptos Básicos de la Geometría y contesta de acuerdo a lo que se va

indicando.

CONCEPTOS BÁSICOS

Conceptos no definidos

La estructura deductiva de la geometría parte de tres conceptos básicos no definidos que son el punto,

la línea y el plano. Son conceptos fundamentales no definidos o primitivos, puesto que no hay palabras

más sencillas para definirlos. Sin embargo, se pueden describir intuitivamente para comprenderlos y

darles un significado.

Cuerpo Físico y Cuerpo Geométrico

Son cuerpos físicos las cosas que nos

rodean como: cuadernos, sillas,

bolígrafos, escuadras, mesas, libros,

arboles, animales, etc.

De estos cuerpos físicos la geometría considera solamente su forma y

dimensiones, llamándolos cuerpos geométricos o sólidos, estos tienen tres

dimensiones: longitud, ancho y altura. Por ejemplo: los conos, los cubos, las

esferas, los prismas, los cilindros, etc.

http://www.youtube.com/watch?v=wIf9Cy9ANGY#t=18


3

g.f.s.

Los tres elementos principales con los que trabaja la geometría son: línea (largo), superficie (largo y

ancho) y volumen (largo, ancho y altura).

a) Une los conceptos con el dibujo que los representa:

Concepto geométrico no

definido que carece de

longitud, anchura y espesor.

Posee longitud pero carece de

Anchura y espesor.

Se suele representar por un

Paralelogramo y se nombra

por tres de sus puntos no

alineados o por una letra

griega.

b) Del siguiente listado de objetos, clasifícalos en cuerpos físicos o geométricos según

corresponda:

___________

___________

___________

__________

___________

__________

ÁNGULOS

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

Los ángulos son elementos matemáticos que se han estudiado desde los griegos y que se utilizan

actualmente.

Por ejemplo: en el diseño de rampas que se usan en las competencias de extremas de patineta o

bicicleta. ¿Las has visto verdad? Pues en su construcción se emplean ángulos de varias medidas para

hacer que la competencia sea más difícil. Como ves los ángulos no se encuentran muy alejados de

nuestra realidad inmediata.

ACTIVIDAD DE APERTURA 1

1.- En forma individual construye un reloj, con el material que tengas a tu alcance (cartón,

Fona, plástico, cascaron de huevo, etc.) “Se imaginativo y original”.

2.- Utilizando el reloj que construiste en la actividad anterior, ubica los diferentes horarios que a

continuación se presentan, dibuja el comportamiento del reloj.

3:00 hrs. 3:10 hrs. 3:50 hrs. 3:45 hrs. 3:30 hrs.

3.- Observa el comportamiento de las manecillas del reloj y considera que entre ellas existen

diferentes “distancias” o “aberturas”, dependiendo de la hora que están indicando.

1.- ¿Cuantas manecillas (líneas) son necesarias para marcar la hora?

2.- ¿Si proyectaras las líneas que pasa con ellas?

3.- ¿Sabes que nombre recibe las aberturas que se forman con las manecillas del reloj?

http://www.youtube.com/watch?v=Y-K11z76nB0


4

g.f.s.

4.- Menciona los diferentes nombres que se le asignan a las figuras que se forman en los diferentes

horarios realizados en el ejercicio anterior, considerando que no se mueve la línea de la hora.

DESARROLLO

NOTACIÓN Y DIVERSIDAD

El ángulo es la abertura comprendida

entre dos líneas rectas que convergen en

un punto común llamado vértice.

Un Ángulo se puede denotar de las siguientes maneras:

Una letra mayúscula situada en el vértice.

Ángulo cuyo vértice es A

Colocando una letra minúscula dentro

del Ángulo,

Generalmente se emplea una letra del

alfabeto griego.

Angulo cuyo valor es “a” o cuyo valor es α

Tres letras mayúsculas de manera que la letra

media indiquen el vértice del Angulo.

Simbólicamente la notación se realiza

anteponiendo a la letra el símbolo <

Angulo definido por CAB o BAC


5

g.f.s.

Dado que el ángulo es la abertura comprendida entre dos semirrectas, una de las cuales permanece fija

mientras que la otra gira, los ángulos pueden ser positivos si el giro es en el sentido contrario a las

manecillas del reloj, mientras que si gira en el mismo sentido el ángulo es negativo.

Angulo positivo

Angulo negativo

Clasificación de ángulos

• Por la abertura de sus lados o la amplitud de la rotación, los ángulos pueden ser clasificados

como:

• Por su posición, los ángulos pueden ser:

http://www.youtube.com/watch?v=aw0yO8UYkLY


6

g.f.s.

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2

En forma individual completa el cuadro, anotando el valor del ángulo que falta.

Tipos de ángulos

ÁNGULO

COMPLEMENTO

SUPLEMENTO

CONJUGADO

26º

64º 154º 334º

47º

75º

150º

86º

39º28’

50º32’ 140º32’ 320º32’

76º16’

280º50’

55º32’

21º49’06”

68º10’54” 58º10’54” 33º10’54”

15º32’30”


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g.f.s.

ACTIVIDAD DE CIERRE 3

Práctica 1. Relación entre ángulos

Nombre:_________________________________________________________Gpo:______

Realiza de acuerdo a cada ejercicio

1: Dos ángulos suplementarios están a razón de 6 : 4. Encuentra la medida del ángulo menor

Resp: 72°

2: Dos ángulos complementarios están a razón de 5 : 4. Halla la medida del ángulo mayor

Resp: 50°

3: Sean A B dos ángulos suplementarios, donde A = 8(2x-3)° y B = 10(x + 3.5). Encuentra la medida

del ángulo A.

Resp: 80°

4: Sean A y B dos ángulos complementarios, donde A = 4(x+ 3), y B = 7(x - 3). Determina la medida

del ángulo B

Resp: 42°

5: Sean A y B dos ángulos conjugados, donde A = (8x)° y B = (2x + 40)°. Halla la medida del ángulo

B.

Resp: 104°

6:Sean M y N dos ángulos conjugados, donde M = 2(4x - 10)° y N = 10(x + 2)°. Encuentra la medida

del ángulo M

Resp: 140°

7: De acuerdo a la figura. Sea AOC un ángulo recto. Encuentra la medida del ángulo BOC

Resp: 53°

C B <BOC = (6x - 1)

<AOB = (4x + 1)

O A


8

g.f.s.

8: Encuentra la medida del ángulo ABC de la figura

Resp: 44°

(4x + 23)°

(2x + 1)°

B

A (4x)° C

9: De acuerdo a la figura, encuentra las medidas de los ángulos AOB y BOC.

Resp: <AOB = 54°

<BOC = 126°

B

(5x + 36)° (3x)°

10: De acurdo a la figura.. Determina el ángulo AOB y BOC

Resp: <AOB = 71°

< BOC = 109°

C B

(7x + 53)°

O

(3x + 85)°

D A


9

g.f.s.

11: De acuerdo a la figura, determina los valores de " x " y " y "

Resp: x = 5

y = 7

C B

(18x + 8y)°

34° (4x + 14)°


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g.f.s.

SISTEMAS DE MEDICIÓN Y TEOREMAS DE ÁNGULOS


Así como existen unidades de medición para medir distancias (centímetros, metros, kilómetros, etc.),

para medir peso (gramos, kilogramos, toneladas, etc.) y otras muchas unidades de medición; también

existen unidades de medición para los ángulos y teoremas que los relacionan.

1. En forma individual contesta las siguientes preguntas:

a ¿Conoces alguna unidad de medición para los ángulos? ¿Cual (es)?

_____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

b ¿Conoces este instrumento?

c ¿Cómo se llama y que unidades utiliza?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

d ¿Dónde lo ha utilizado o donde crees que lo puedas utilizar?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2. Observa la siguiente figura y contesta lo siguiente:

Sus ángulos interiores ¿Cuántos son?______ ¿Cuánto mide cada uno?________ ¿Cuánto

suman?________ ¿Crees que exista un rectángulo que no cumpla con estas características?________

3. Elabora individualmente las conclusiones finales a los cuestionamientos anteriores.

Conclusiones finales

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________


11

g.f.s.

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

La magnitud de un Ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura o separación que

hay entre ellos. Medir un Ángulo es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como

patrón.

Para medir un Ángulo generalmente se utilizan dos sistemas: el sexagesimal y el circular.

Sistema sexagesimal:

90º 0º

180º 270º 360º

En este sistema la circunferencia se divide en 360 partes

iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de grado.

Un ángulo de un grado ( º ) es el ángulo central que abarca un

arco de 1/360 parte de una circunferencia. Cada grado se

divide en 60 partes iguales llamadas minutos ( ´ ), y a su vez

cada minuto también se divide en 60 partes iguales llamadas

segundos ( ” ).

Grado (º) Minuto ( ´ ) Segundos ( ” )

1´ = 60’ = 3600”

1’ = 60”

Ejemplo:

Sistema circular:

Longitud del arco AB es igual al

radio

(r) de la circunferencia.

<AOB = 1 Radián

En este sistema la unidad utilizada es el radián (rad).

Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco,

cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Dado

que:

La longitud de una circunferencia = 2 rad

360º = 2 radianes


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g.f.s.

CONVERSIONES

Relación entre grados sexagesimales y radianes

Dado que una circunferencia es igual a 2 radianes, esto puede relacionarse en grados de la siguiente

manera:

Para efectuar una conversión, se realiza el procedimiento siguiente:

Radianes a grados

Se multiplica por 180º y se divide entre o bien se

multiplica por 57.29577º

Grados a radianes Se multiplica por y se divide entre 180º o bien se

divide entre 57.29577º.

a. De acuerdo a la lectura que realizaste, contesta lo siguiente.

Expresa en radianes o en ángulos sexagesimales, según la conversión indicada.

Convertir a Radianes

Convertir a grados

GRADOS

RADIANES

RADIANES

GRADOS

25º

3π rad

70º

140º

34º24’

2.25 rad

245º

5.345 rad

TEOREMAS DE ÁNGULOS.

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 5.

I. Dibuja dos rectas paralelas (AB y CD), de preferencia en forma horizontal, y córtalas por otra

recta (no perpendicular) a la denominaremos “secante” (SS´).


13

g.f.s.

II. Observa tu dibujo y contesta de manera individual lo siguiente:

1. ¿Cuántos ángulos se Tienen? _____________________

2. Numera los ángulos que se forman para identificarlos (en tu dibujo)

Los pares de ángulos _____________________________________ son opuestos por el vértice.

Establece la relación de igualdad entre cada par de ángulos opuestos por el vértice según tu

numeración:

Cada par de ángulos opuestos por el vértice

son de igual magnitud entre sí.

ÁNGULO IGUAL ÁNGULO

=

=

=

=

3. Identifica los pares de ángulos que se encuentran fuera de las rectas paralelas. Escribe cuales

son dichos ángulos: _____________________________. De estos ángulos, encuentra cuales son los

pares que tienen igual magnitud y escribe la relación de igualdad:

A estos pares de ángulos iguales se les conoce

como alternos externos y son de igual

magnitud.


=

=

4. Ahora identifica los pares de ángulos que se encuentran por dentro de las rectas paralelas.

Escribe cuales son dichos ángulos: _____________________________. De estos ángulos, encuentra

cuales son los pares que tienen igual magnitud y escribe la relación de igualdad:

A estos pares de ángulos iguales se les conoce

como alternos internos y son de igual

magnitud.


=

=

5. A continuación indica cuales son los ángulos que se encuentran en el mismo lado de la recta

“secante”: _________________ y _______________. Encuentra la relación de igualdad entre

aquellos ángulos que se encuentran por un mismo lado de la recta secante.

Por la izquierda: Por la derecha:

ÁNGULO IGUAL ÁNGULO ÁNGULO IGUAL ÁNGULO

=

=

=

=

Estos ángulos que identificaste se denominan

correspondientes y son de igual magnitud receptivamente.


14

g.f.s.

6. ¿Cuáles son los pares de ángulos que se encuentran dentro de las paralelas en el mismo lado de

la secante (En el mismo semiplano)? Izquierda: ______ y______ Derecha: ______ y______

Observa bien tu dibujo y mediante un razonamiento deductivo determina cuanto suman cada par de

ángulos: __________.

Este par de ángulos recibe el nombre de conjugados internos y

suman________.

7. ¿Cuáles son los pares de ángulos que se encuentran por fuera de las paralelas en el mismo lado

de la secante (en el mismo semiplano)? Izquierda: ______y______ Derecha: _____y____

Observa bien tu dibujo y mediante un razonamiento deductivo determina cuanto suman cada par de

ángulos: __________.

Este par de ángulos recibe el nombre de conjugados externos

y suman ________.

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 6

a. De manera individual, completa el siguiente enunciado.

Los principales sistemas de medición de ángulos son: _________________y ____________

1º tiene _____minutos y un minuto tiene_____ segundos.

1 radian equivale a __________grados.

b. Menciona los 6 teoremas que se fueron estableciendo durante la Actividad 2, etapa de

desarrollo:

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:


15

g.f.s.

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:


16

g.f.s.


Práctica 2. Teoremas de ángulos entre paralelas y una trasversal.

Conversión de ángulos

Nombre:_________________________________________________________Gpo:______

I. En los ejercicios del 1 al 7. Determine el valor de “x” y “y”

1)

X = 10 Y = 5

2)

X = 5

Y = 3


17

g.f.s.

3)

X = 2

Y = 14

4)

X = 23

Y = 14


18

g.f.s.

5)

X = 15 Y = 29

6)

X = 10

Y = 13


19

g.f.s.

7)

X = 17

Y = 4

II. Desarrollar las siguiente conversiones

1. 189.789° convertir a grados, minutos y segundos

Resp: 189° 47' 20.4"

2. 68.43° pasar a grados, minutos y segundos

Resp: 68° 25' 48"

3. 25.96° pasar a grados, minutos y segundos

Resp: 25° 57' 36"


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g.f.s.

4. 73° 58' 36.78" pasar a grados

Resp: 73.9768°

5. 58°48'25" pasar a grados

Resp: 55.8069°

6. 125.4° pasar a radianes

Resp: 2.188rad


Resp: 1.546 rad


Resp: 0.48 rad

9. 2.4 rad pasar a grados

Resp: 137.509°


Resp: 85.94°


Resp: 14.32°


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g.f.s.

I.3. TRIÁNGULOS


1 Observa las siguientes figuras y contesta de manera individual a cada uno de los

Cuestionamientos:

2. Las figuras anteriores, son ejemplos de triángulos. Mientras que las figuras siguientes no los

son:

3. ¿Qué tienen en común las figuras que son ejemplos de triángulos?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

4. ¿En que difieren con las figuras que nos son triángulos?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

5. Realiza una definición del concepto de triangulo.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_________________________________________________________________

______________________________________________________________________

DESARROLLO

I.3.1. TRIÁNGULOS Y DIVERSIDAD

Definición y notación de triángulos

El triangulo es un polígono de tres lados. Los puntos donde se cortan se llaman vértices.

Los elementos de un triangulo son:

Lados, ángulos y vértices.

Los segmentos AB , BC y CA son los lados.

Los puntos A, B y C son los vértices.

<A, <B y <C son los ángulos internos.


22

g.f.s.

Un triangulo se designa por el símbolo Δ, y para nombrarlo se utilizan las tres letras de sus vértices.

Clasificación de triángulos: se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos.


1. En forma individual contesta los incisos a y b.

a. Realiza la clasificación de los triángulos en el siguiente diagrama de jerarquización:

b) Con base a tus observaciones contesta las siguientes preguntas:

¿Qué diferencias existen entre un triangulo escaleno y uno isósceles?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

¿Cuál es la diferencia entre un triangulo equilátero y uno escaleno?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________


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g.f.s.

¿Qué diferencias hay entre un triangulo isósceles y uno equilátero?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

¿Qué diferencias hay entre un triangulo acutángulo y uno rectángulo?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

¿Qué diferencias hay entre un triangulo rectángulo y un obtusángulo?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

¿Qué diferencias hay entre un triangulo obtusángulo y un acutángulo?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

I.3.2. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES..

Rectas y puntos notables del triángulo: Los puntos notables de un triangulo son los puntos de

Intersección de las rectas notables, llamadas: Altura, Mediana, Mediatriz y Bisectriz.

RECTA

NOTABLE

PUNTO

NOTABLE

RECTA

NOTABLE

PUNTO

NOTABLE

Altura

Ortocentro Mediatriz Circuncentro

Mediana Baricentro o

Gravicentro

Bisectriz Incentro

ALTURA MEDIANA

La altura es una línea perpendicular que

va de un vértice al lado opuesto.

El punto donde se cruza la prolongación

de las tres alturas se llama ortocentro.

La mediana es la línea que une el punto medio de un lado con

el vértice opuesto.

El punto donde se cruzan las tres medianas se llama

baricentro o gravicentro.


24

g.f.s.

MEDIATRIZ BISECTRIZ

La mediatriz es una línea perpendicular

a un segmento que pasa por su punto

medio.

El punto donde se cruzan las tres

mediatrices se llama circuncentro y esta

a la misma distancia de los tres vértices.

La bisectriz es la línea que divide un ángulo por la mitad.

El punto donde se cruzan las bisectrices de los ángulos se

llama incentro.


a. Relaciona las columnas escribiendo dentro del paréntesis el numero que corresponda a la

respuesta correcta.

1) Polígono de tres lados.

2) Triangulo que tiene todos sus lados diferentes.

3) Es la línea que une el punto medio de un lado con el vértice

opuesto.

4) Punto donde se cruza la prolongación de las tres alturas.

5) Es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto

medio.

6) Los triángulos se clasifican según sus:

7) Triangulo que tiene dos lados iguales y uno diferente.

8) Punto donde se cruzan las tres medianas.

9) Es la línea que divide un angulo por la mitad.

10) Triangulo que tiene tres lados iguales.

11) Triangulo que tiene un ángulo obtuso.

12) Punto donde se cruzan las bisectrices.

13) Nombre del triangulo que sus tres ángulos son agudos.

14) Es una línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto.

15) Nombre del triangulo que tiene un ángulo recto.

16) Punto donde se cruzan las tres mediatrices.

( ) Circuncentro

( ) Equilátero

( ) Obtusángulo

( ) Escaleno

( ) Incentro

( ) Vértices

( ) Triangulo

( ) Altura

( ) Mediatriz

( ) Isósceles

( ) Lados y ángulos

( ) Baricentro

( ) Mediana

( ) Ortocentro

( ) Acutángulo

( ) Bisectriz

( ) Rectángulo

b. Elabora tus conclusiones.

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________


25

g.f.s.

I.3.3. Teoremas de triángulos

TEOREMA 1: Los ángulos interiores de un triangulo suman 180º

C

l

d e

c

a b

A B

HIPOTESIS TESIS DEMOSTRACION

a, b y c son los

ángulos interiores

del triángulo.

a b c 180º

Sea l la paralela a AB que pasa por C.

a c e 180º Por formar un ángulo

llano.

a d Por ser alternos internos

entre paralelas.

b e Por ser alternos internos

entre paralelas.

a b c 180º Por sustitución

TEOREMA 2: Un ángulo externo de un triangulo es igual a la suma de los ángulos internos no

adyacentes a él.

C

n

m p s

A B


s ángulo externo.

m y n ángulos

internos no

adyacentes a s.

s m n

m n p 180º Por el Teorema 1 de

triángulos.

p s 180º Por ser adyacentes.

mn p p s Por la propiedad

transitiva.

m n s Porque una igualdad no

se altera si a los dos

miembros se les resta la

misma cantidad.

Porque mn p -p p s - p m n s


26

g.f.s.

TEOREMA 3: La suma de los ángulos exteriores de cualquier triangulo vale cuatro ángulos rectos

(360º).

B

y

b

a c z

A

x C


a, b, y c son

ángulos interiores.

x, y ,y z son

ángulos exteriores.

x y z 360º

a x 180º

b y 180º

c z 180º

Por ser ángulos adyacentes

y formar ángulos colineales

o llanos.

a b c x

y z 540º

Dos o más igualdades

pueden sumarse miembro a

miembro.

a b c 180º

Por ser ángulos interiores de

un triángulo.

x y z 180º

540º

Sustituyendo.

x y z 540º180º

x y z 360º

Desarrolla los siguientes ejemplos

a. Encuentra el ángulo interior del siguiente triangulo e indica el teorema que estas

aplicando.

Solución:

Teorema:


27

g.f.s.

b. Encuentra el valor de los ángulos exteriores con los datos que se proporcionan e indica el

teorema que estas aplicando.

z

x

z B C

A

y

Solución:

Teorema

Teorema de Pitágoras

De forma individual construye una figura como la que se

muestra a continuación utilizando cartulina y recórtala

separando cada una de las partes. Usando los cortes

necesarios, intenta hacer que los dos cuadrados pequeños

quepan dentro del cuadrado grande sin desperdiciar

ningún pedazo de dichos cuadrados.

Una vez terminado la construcción de la figura contesta las

preguntas:

a) ¿Qué tipo de triangulo empleamos?

________________________________________________________________________

b) ¿Que figura se construyo sobre cada lado del triangulo en cuestión?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

c) ¿Funciona para cualquier triangulo? ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Podemos concluir: “La suma de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triangulo

rectángulo es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa de dicho triangulo”.

El párrafo anterior es lo que conocemos como el Teorema de Pitágoras.


28

g.f.s.

En un triangulo rectángulo, el lado opuesto al Angulo recto se

llama hipotenusa; mientras que los otros lados se llaman

catetos.

Pitágoras observo que para todos los triángulos rectángulos, los

cuadrados construidos sobre los catetos, al sumar sus áreas, se

obtiene un valor igual al área del cuadrado construido sobre

la hipotenusa.

De acuerdo al Teorema de Pitágoras se establece que: En todo

triangulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las

longitudes de los catetos.

Cat

eto

a

o

Hipotenusa

c

Cateto b

FÓRMULAS PARA DETERMINAR LA LONGITUD DE LOS CATETOS

HIPOTENUSA

CATETO a

CATETO b

Ejemplo de inducción

Encuentra el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos.

1)

Como el dato buscado es la hipotenusa, aplicamos la

formula:

Sustituyendo los valores, tenemos:

Ejemplo de mecanización:

Observa el siguiente triangulo e identifica el lado que falta y completa la información:

2)

Como se desconoce el cateto _________ aplicamos

la fórmula:

Sustituyendo los valores, tenemos:


29

g.f.s.

Ejemplo de aplicación:

Ahora bien, intenta resolver el siguiente triangulo

3)

Solución:

c.- En forma individual encuentra el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes

triángulos rectángulos

Solución:

Solución: Solución:


a. De manera individual complementa la siguiente información.

Un triángulo es:___________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Clasificación según

Lados

Ángulos

____________

____________

____________

____________

____________

____________

____________

____________

____________

____________

____________

____________


30

g.f.s.

b. En los siguientes triángulos indica las rectas y puntos notables que le corresponden:

Recta notable:___________________

A

B C

Recta notable:___________________

Recta notable:___________________

Recta notable:___________________

A

B C

c. Resuelve individualmente los siguientes problemas aplicando el teorema de

Pitágoras.

a) Una escalera de mano de 15 m de longitud llega hasta la cúspide de un edificio cuando su pie esta a

5 m del edificio. ¿Qué altura tiene el edificio?

b) Para sostener verticalmente un poste de 9 m de largo es necesario colocar un cable desde su

extremo superior al piso. Si la distancia entre el soporte en el piso y la base del poste es de 14 m,

¿cuánto debe medir el cable tensado?


31

g.f.s.


Práctica 3. Teoremas de Triángulos

Nombre:____________________________________________________________Gpo:________

I. En los ejercicios del 1 al 10. Determine "x" y "y"

x = 115°

y = 13°

x = 50°

y = 130°

x = 13.75°

y = 6°


32

g.f.s.

x = 5°

y = 15°

x = 60°

y = 5°

x = 95°

y = 35°


33

g.f.s.

x = 25°

y = 13°

x = 20°

y = 80°

x = 9°

y = 5°


34

g.f.s.

x =75°

y = 105°


35

g.f.s.

Práctica 4. Rectas y puntos notables de un triángulo

Nombre_____________________________________________________________Gpo:______

1. Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras: A, B, C. Siguiendo las

instrucciones y con tu juego de geometría, dibuja las tres mediatrices. Localiza el circuncentro y

dibuja la circunferencia que pase por los tres vértices.

Para resolver consulta el video y el Video

http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&v=kcCEdGo4Tdo&NR=1

http://www.youtube.com/watch?v=lIBrPMWDHGY&feature=related


36

g.f.s.

2. Con tu juego de geometría. Dibuja un acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras: A, B, C.

Siguiendo los pasos dibuja las tres alturas del triágulo. Localiza el Ortocentro.

Para resolver consulta el video

http://www.youtube.com/watch?v=lubb4f97U20&feature=endscreen&NR=1


37

g.f.s.


Siguiendo los pasos dibuja las tres medianas del triángulo. Localiza su Baricentro.

Consulta el video para resolver

http://www.youtube.com/watch?v=gzkCudiP6Pw&feature=related


38

g.f.s.


Siguiendo los pasos dibuja las tres bisectrices del triángulo. Localiza su incentro y dibuja un

círculo que pase por los tres lados del triángulo.

Consultar el video1 y el video 2 para resolver

http://www.youtube.com/watch?v=NfqYRzPImxE

http://www.youtube.com/watch?v=I4dUWsYe1Yw&feature=related


39

g.f.s.

Práctica 5. Teorema de Pitágoras

Nombre:____________________________________________________________Gpo:______

Determina el lado faltante

1:

a = 10

2:

x = 16

3:

x = 5.29

4:

x = 1.73


40

g.f.s.

5: ¿A qué altura llega una escalera de 5m de longitud en un muro, si su pie está a 2m del muro?

4.6m

6: Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado igual a 12 cm.

10.4 cm

7: Calcula el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura mide 8.66 m

Resp: 30 m

8: Halla la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son 20 cm de largo por 21 cm de

ancho.

29 cm


41

g.f.s.

9: Halla el perímetro de un rectángulo que tiene 12 m de largo y cuya diagonal mide 13 m

Resp: 34 m

10 La hipotenusa de un triángulo isósceles mide

m. Halla la longitud de los catetos.

11: Determina la altura de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 120 cm.

12: Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide

m

A = 81 m2


42

g.f.s.

I.4. POLÍGONOS


I. A partir de las siguientes figuras contesta las preguntas que a continuación se te presentan:

a) ¿De qué tipos de figuras se trata?

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

b) ¿Tienen algo en común?

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

c) ¿Cuál es el nombre que se le da a cada una de ellas?

Nombre:

_________________________

Característica:

__________________________________

__________________________________

__________________________________

Nombre:

_________________________

Característica:

__________________________________

__________________________________

__________________________________

Nombre:

_________________________

Característica:

__________________________________

__________________________________

___________________________________


43

g.f.s.

DESARROLLO

DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE POLÍGONOS

Un polígono es una figura geométrica limitada por

segmentos de recta denominados lados, donde el extremo

de un segmento es el origen del otro.

Etimológicamente, la palabra POLIGONO proviene de las

raíces poli que significa muchos y gonos que significa

ángulos.

Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas

situadas en los vértices del mismo. Su notación se efectúa

escribiendo las letras mayúsculas después de la palabra

polígono o del nombre especifico del polígono, también

por sus símbolos gráficos.

Polígono ABCDEF

Hexágono ABCDEF

En un polígono se consideran los siguientes elementos:

• Lados,

• Ángulos,

• Diagonales

y

• Vértices

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

Se han establecido tres clasificaciones para los polígonos:

Por la amplitud de sus ángulos.

Por la medida de sus lados y sus ángulos.

Por el numero de lados.

AMPLITUD DE LOS ÁNGULOS

Convexos

Cóncavos

Son aquellos cuyos ángulos interiores son todos

menores de 180º y solo pueden ser cortados en

dos puntos por una recta secante.

Son los que tienen uno o varios ángulos mayores

de 180º y pueden ser cortados en más de dos

puntos por una recta secante.


44

g.f.s.

MEDIDA DE SUS LADOS Y ÁNGULOS

Regulares

Irregulares

Cuando sus lados y ángulos son todos iguales

entre sí.

Cuando al menos uno de sus lados o ángulos es

diferente a los demás.

NUMERO

DE LADOS

NOMBRE DEL

POLIGONO

NUMERO DE

LADOS

NOMBRE DEL

POLIGONO

3 Triangulo 9 Eneágono

4 Cuadrilátero 10 Decágono

5 Pentágono 11 Endecágono

6 Hexágono 12 Dodecágono

7 Heptágono 15 Pentadecágono

8 Octágono 20 Icoságono

Tri decágono 13 lados

Tetradecágono 14 lados

A los demás polígonos se les nombra por el numero de sus lados; por ejemplo: polígono de 13

lados, de 25 lados, etcétera.

CUADRILÁTEROS

Son polígonos limitados por cuatro lados y forman entre sí cuatro ángulos.

Estos polígonos se indican por las letras mayúsculas de sus vértices, escritas enseguida de su

representación grafica.


45

g.f.s.

Los cuadriláteros se clasifican de acuerdo a sus ángulos y a la forma de sus lados, es decir, al

paralelismo de sus lados opuestos.

Los tres principales grupos son:

Paralelogramos,

Trapecios y

Trapezoides.

PARALELOGRAMOS

Son paralelos sus lados opuestos.

Cuadrado Cuatro lados iguales.

Cuatro ángulos rectos.

Sus diagonales son iguales y perpendiculares

Rectángulo

Lados opuestos iguales 2 a 2.

Cuatro ángulos rectos.

Diagonales iguales y oblicuas.

Rombo

Cuatro lados iguales.

Ángulos opuestos 2 a 2

Romboide

Lados opuestos iguales 2 a 2.

Ángulos opuestos iguales 2 a 2.


46

g.f.s.

TRAPECIOS

Si únicamente dos de sus lados opuestos son paralelos.

Escaleno

Es aquel que tiene los lados no paralelos

desiguales.

Rectángulo

Es aquel que tiene un lado perpendicular a

las bases, formando un ángulo recto con

cada base.

Isósceles

Es aquel que tiene los lados no paralelos de

igual longitud, formando con las bases

ángulos adyacentes iguales.

TRAPEZOIDES

Sus lados opuestos no son paralelos entre sí.

Simétricos Son los que tienen dos pares de lados

consecutivos iguales pero el primer par de

lados consecutivos iguales es diferente del

segundo.

Asimétricos

Son aquellos que no ofrecen ninguna de las

características de un trapezoide simétrico.


47

g.f.s.


Para realizar lo siguiente requieres 20 palillos, 1 transportador, 1 regla,

Forma equipo y dibujen en una hoja las figuras que les sean solicitadas:

a) Toma tres palillos y colócalos formando un polígono (llámala figura 1).

Mide con el transportador cada ángulo interior del primer polígono que se dibujo y en seguida calcula

la suma de los ángulos internos con la siguiente relación Si= (n – 2) 180° Y anota el resultado

________________________________________________________

¿El cálculo realizado con la formula coincidió con el anotado?

________________________________________________________

b) Toma cuatro palillos y forma un polígono (figura 2).


48

g.f.s.

Mide con un transportador cada uno de los ángulos interiores del polígono y realiza la suma; anótala.

_______________________________________________________

A continuación, realiza el cálculo de la suma de los ángulos interiores de la figura 2 con la

formula dada en el inciso “a”

¿Cuál es tu resultado? __________ coinciden los resultados obtenidos en el paso 5 y 6 ________

c) Traza en la figura 2 las diagonales a partir de un solo vértice.

¿Cuántas diagonales se pudieron trazar?________________________________________________

¿Se puede trazar otra diagonal de otro vértice? _____________porque ______________________

_____________________________________________________

¿Cuantas diagonales en total se pueden trazar con la figura? _______________________________

¿Porque?____________________________________________________________

¿Coinciden con la formula

? ___________________________________________

I.4.2 ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES

I.4.5. TEOREMAS SOBRE POLÍGONOS

Teorema 1.

I.4.5. TEOREMAS SOBRE POLÍGONOS

Teorema 2.


49

g.f.s.

I.4.3. DIAGONALES

I.4.5. Teoremas sobre polígonos

Teorema 3.

Ejemplo de inducción: Si tenemos una figura de cinco lados n = 5.

La aplicación de los teoremas nos permite calcular los siguientes aspectos de este polígono.

Numero de

diagonales por

vértice:

Numero de

diagonales del

polígono:

La suma de ángulos

interiores es:

La medida de cada ángulo

interior es:

Ejemplo de mecanización

Si tenemos un polígono de siete lados

Numero de diagonales

por vértice:

Numero de diagonales

del polígono:

La suma de ángulos

interiores es:

La medida de cada

ángulo interior es:

Ejemplo de aplicación

Se desea construir un librero el cual será colocado en la esquina de un salón que tiene forma de

hexágono regular, en el lugar que indica la figura de abajo. Para fabricarlo a la medida es necesario

conocer la medida del ángulo de esa esquina. ¿Cual es valor?


50

g.f.s.

I.4.4. PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOS.

Definición de perímetro y área.

Perímetro En los cuerpos geométricos las caras o limites de los sólidos se llaman superficies, las

cuales determinan su forma. Al medir el contorno de una figura geométrica obtenemos

su perímetro que representamos con la letra P.

Área El área de una figura geométrica es la medida de su superficie; la unidad de medida,

generalmente es el metro cuadrado y se expresa en m2 .

Formula El perímetro y el área de una figura geométrica puede ser indicada por medio de una

formula, la cual es la expresión de una ley o de un principio general, usando símbolos o

letras. Una formula es una ecuación en la que podemos despejar cualquiera de las

variables que en ella intervienen, considerándola como incógnita.

Ejemplo.- El área del triangulo se expresa como:

donde:

b = base

h = altura

Despejando para altura

Despejando para base

Desarrolla lo que se indica.

a) Investiga las formulas geométricas para calcular superficies y perímetros de: Un Rectángulo,

Un cuadrado, un Paralelogramo, Un Triangulo, un Rombo, Un trapecio y un Polígono Regular:

b) De acuerdo a las formulas anteriores obtén el área y el perímetro de cada uno de los

problemas indicados, además dibuja la figura que corresponda.

1) De un rectángulo cuya base mide 5cm y la altura 3cm.


51

g.f.s.

2) De un cuadrado de 3cm por lado.

3) De un rombo cuya diagonal mayor es de 7cm, la menor de 4cm y sus lados miden 3cm.


a) Relaciona las columnas escribiendo dentro del paréntesis el numero que corresponda a la

respuesta correcta.

1) Figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados

lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro.

2) Es un elemento del polígono.

3) Polígono que tiene sus ángulos interiores menores de 180°

4) Polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales.

5) Polígono que tiene once lados.

6) Cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos.

7) Trapecio que tiene los lados no paralelos desiguales.

8) Cuadrilátero que sus lados opuestos no son paralelos entre sí.

9) Trapezoide que no ofrece ninguna de las características de un

trapezoide simétrico.

10) Polígono proviene de las raíces poli y gono que significa:

( ) Convexos.

( ) Endecágono.

( ) Escaleno.

( ) Asimétrico.

( ) Cóncavos.

( ) Trapezoides.

( ) Muchos y ángulos.

( ) Regulares.

( ) Polígono.

( ) Paralelogramos.

( ) Vértices.


52

g.f.s.

b) Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas

1) Polígonos que tienen uno o varios ángulos mayores de 180°.

A) Regulares B) Convexos C) Irregulares D) Cóncavos

2) Polígonos en los que al menos uno de sus lados o ángulos es diferente a los demás.

A) Regulares B) Convexos C) Irregulares D) Cóncavos

3) Nombre del polígono de 20 lados.

A) Icosígono B) Pentadecágono C) Decágono D) Triangulo

4) Polígonos que tienen únicamente dos de sus lados opuestos paralelos.

A) Paralelogramos B) Trapecios C) Trapezoides D) Rombo

5) Trapezoides que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados

consecutivos iguales es diferente al segundo.

A) Simétricos B) Rectángulo C) Isósceles D) Rombo

c) Resuelve los siguientes problemas, aplicando los teoremas correspondientes.

¿Cuántas diagonales, en total, se le pueden trazar a un polígono de 15 lados?

______________________________________________

¿Cuántas diagonales se le pueden trazar desde un mismo vértice a un polígono de 14 lados?

_____________________________________________

¿Cuál es el polígono al que se le pueden trazar 11 diagonales desde un mismo vértice?

______________________________________________

¿Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior vale 140°?

______________________________________________

¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores miden 90° cada uno?

______________________________________________

¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°?


53

g.f.s.

______________________________________________

d) Obtén el área y el perímetro de cada uno de los problemas indicados, además dibuja la figura

que corresponda.

1. De un triangulo isósceles cuya base mide 6cm, la altura 5cm y los lados 10 cm.

2. De un hexágono regular cuyo lado mide 3cm y su apotema 1.5cm.

3. De un trapecio cuyas bases miden 10cm, 7cm, su altura 5cm y sus otros dos lados miden 6cm.


54

g.f.s.

ACTIVIDAD DE CIERRE

Práctica 6. Propiedades de los polígonos convexos.

Nombre:_________________________________________________________Gpo:______

1. Encuentra la medida del ángulo C de un polígono cuyo ángulos interiores son:

<A=2x, <B=x, <C=3x, <D=4x, <E=5x

La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a la fórmula del video

Resp: <C=108

2. Los ángulos interiores de un cuadrilátero se representan por medio <A=1.4xo, <B=2.6x

o,

<C=3.5xo, y <D=4.5x

o. Halla la medida del ángulo B

Mismo video que el problema anterior

Resp: <B = 78o

3. En un hexágono regular calcula.

a) La medida de cada ángulo interior

Consultar la fórmula del video para resolver

Resp: 120o

b) La medida de cada ángulo exterior.

Consultar el video para resolver

Resp: 60o

c) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.


Resp: 9

4. En un octágono regular calcula.

http://www.youtube.com/watch?v=9p7FhVPhhdU


http://www.youtube.com/watch?v=1RLC4C_fNFo

http://www.youtube.com/watch?v=ZqFgPEu28lo

http://www.youtube.com/watch?v=vvbYpJETPYQ


55

g.f.s.

a) La suma se los ángulos interiores


Resp: 1080o

b) La medida de cada ángulo interior


Resp: 135o

c) La medida de cada ángulo exterior.


Resp: 45o

d) El número total de diagonales que se puede trazar en el polígono.


Resp: 20

5. Determina el número de lados que tiene un polígono cuyos ángulos interiores suman 1260o


Resp: 9 lados

6. El ángulo interior de un polígono regular mide 156o. Determina:

a) El número de lados del polígono


Resp: 15

b) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.


http://www.youtube.com/watch?v=0SRa1jzVwQE

http://www.youtube.com/watch?v=a6o2J3rOIOI



http://www.youtube.com/watch?v=uK5gs4afl0Q




56

g.f.s.

Resp: 90

c) El valor de cada ángulo exterior.


Resp: 24o

7. ¿Cuántos lados tiene un polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales desde todos sus

vértices?


Resp: 7

8. El ángulo exterior de un polígono regular mide 45o. Halla:

a) El número de lados.


Resp: 8

b) La suma de los ángulos interiores.


Resp: 1080o

c) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.


Resp: 20

d) La medida de cada ángulo interior.


Resp: 135

9. Un polígono regular tiene 15 lados. Encuentre:

a) La suma de los ángulos interiores.


Resp: 2340o

b)









57

g.f.s.

c) La medida de cada ángulo interior.


Resp: 156o

d) La medida de cada ángulo exterior.


Resp: 24o

e) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.


Resp: 90

ÁREA DE POLÍGONOS

1. Halla el área de un rectángulo si su base mide 25 cm y el perímetro 90 cm.


Resp: 500 cm2

2. Determina el área de un rectángulo si su altura mide 30 pulgadas y su perímetro 140 pulgadas.





http://www.youtube.com/watch?v=H-G_djHPbeg

http://www.youtube.com/watch?v=Us8aH7kGLeU

http://www.youtube.com/watch?v=H-G_djHPbeg

http://www.youtube.com/watch?v=Us8aH7kGLeU


58

g.f.s.

Resp: 1200 pulg2

3. Encuentra el área de un rectángulo si su base mide 5 m y su diagonal 13 m.


Resp: 60 m

4. 5)Determina el área de un cuadrado cuyo perímetro es de 80 pulgadas.


Resp: 400 pulg2

5. (18)Las bases de un trapecio miden 9 y 11 pies respectivamente. Si su área es de 60 pies2,

encuentra la longitud de su altura.


Res: 6 pies

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR.

1. Halla el área de un hexágono de 4 metros de lado.


Resp: 41.5 m2

CUADRILATEROS

1. Define y clasifica con tus propias palabras a los cuadriláteros

Consulta el video para responder

http://www.youtube.com/watch?v=DC3-c72id5c

http://www.youtube.com/watch?v=hNKFAQT1oK4

http://www.youtube.com/watch?v=kWH1OYwIoVc

http://www.youtube.com/watch?v=B9nIjZgvluk

http://www.youtube.com/watch?v=NlO1toqBvQ4


59

g.f.s.

I.5. CIRCUNFERENCIA


Individualmente da respuesta a cada uno de los cuestionamientos que a continuación se

presentan.

1. ¿Que forma tiene nuestro planeta?

___________________________________________________________________________________

2. Dibuja 3 objetos que cuenten con la misma figura que tiene el planeta.

3. Existen características semejantes entre los objetos mencionados. Coméntalas

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

4. Si en la figura del planeta la partiéramos a la mitad y trazáramos una línea de extremo a

extremo del planeta, ¿Que nombre recibe esta línea?

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

5. Ubica el centro de la circunferencia y traza una línea a cualquiera de los extremos del planeta.

¿Que nombre recibe, este segmento de línea?

___________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Intercambia las respuestas con tus compañeros y realicen la definición de la figura geométrica

que forma el planeta:

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________


60

g.f.s.

DESARROLLO

CIRCUNFERENCIA

Definición y notación de una circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada, cuyos puntos

equidistan de otro punto interior llamado centro.

La superficie limitada por la circunferencia, es decir, la parte

interior, es llamada círculo.

Una circunferencia o un circulo se denota por las letras centro

“O”

y del radio “r”: c(o, r) . Su simbología puede ser expresada

como

Elementos de una circunferencia

La circunferencia puede ser cortada en varios de sus puntos por varios tipos de rectas, llamadas:

Cuerda: Es un segmento de recta cuyos extremos están en la circunferencia.

Diámetro: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por su centro. Este

segmento representa la cuerda de mayor longitud que puede trazarse en la circunferencia.

Radio: Recta que une el centro con cualquier punto

de la circunferencia.

Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en

dos puntos.

Tangente: Recta que tiene un solo punto común con la

circunferencia.

Arco: Es una porción de la circunferencia determinada por dos de sus puntos llamados

extremos.

Flecha: Es la parte del radio, perpendicular que va del punto medio de la cuerda hacia el arco

subtendido por ella.


a) Anota en la línea el concepto de acuerdo a su definición correcta.

1) Es una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.

____________________________________________________

2) Superficie limitada por la circunferencia, es decir la parte interior.

____________________________________________________


61

g.f.s.

3) Segmento de recta cuyos extremos están en la circunferencia.

___________________________________________________

4) Es una porción de la circunferencia determinada por dos de sus puntos llamados extremos.

___________________________________________________

5) Es la parte del radio, perpendicular que va del punto medio de la cuerda hacia el arco subtendido por

ella.

___________________________________________________

6) Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

__________________________________________________

7) Recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

___________________________________________________

8) Recta que tiene un solo punto común con la circunferencia.

___________________________________________________

9) Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por su centro. Este segmento

representa la cuerda de mayor longitud que puede trazarse en la circunferencia.

___________________________________________________

b) Dibuja un circulo e identifica con diferentes colores los elementos de la circunferencia.


62

g.f.s.

I.5.1. Ángulos en la circunferencia

En una circunferencia se trazan diversos ángulos, los cuales reciben su nombre de acuerdo con la

posición que presenta el vértice. Siendo los siguientes:

TEOREMAS ( I.5.5. )

ANGULO CENTRAL ANGULO INSCRITO

Tiene su vértice en el centro de la circunferencia

y sus lados son radios. Su medida es igual a la

medida de su arco correspondiente.

Es aquel cuyo vértice coincide con cualquier

punto de la circunferencia y sus lados pasan por

dos puntos de la circunferencia. Su medida es

igual a la mitad del arco comprendido entre sus

lados.

ANGULO EXCENTRICO o INTERIOR ANGULO EXTERIOR

Es cualquier ángulo cuyo vértice es un punto

interior de una circunferencia. El vértice no

coincide con el centro. Su medida es igual a la

semisuma de las medidas de los arcos

comprendidos por sus lados y por sus

prolongaciones.

Es cualquier ángulo que tiene su vértice en un

punto exterior de una circunferencia, y sus lados

cortan a la misma. Su medida es igual a la

semidiferencia de la medida de los arcos

comprendidos por sus lados.

ANGULO SEMI-INSCRITO

Es aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de

una circunferencia; pero uno de sus lados es una

secante, y el otro una tangente a la misma. Su

medida es igual a la mitad del arco comprendido

entre sus lados


63

g.f.s.

Ejemplos de aplicación. Con los datos que se te dan, resuelve siguientes problemas.

< a =?

Arco d = ?

< b = ?

< c = ?


64

g.f.s.

Arco e = ?

I.5.2. ÁREA DE UN CÍRCULO

Área del

círculo “El área de un circulo es igual al producto de π por el cuadrado del radio.”

Cantidades variables: _____________________ Cantidades constantes: ___________________.

¿De que depende el valor del área del circulo?

____________________________________

¿Como harías para conocer el área de un circulo conociendo el diámetro? ¿Modificarías la formula?

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

Ejemplo: El área de un circulo que mide 5m de radio es:

I.5.3. PERÍMETRO DE UN CÍRCULO

Perímetro de

La

circunferenci

a


65

g.f.s.

¿Que tienen en común las formulas del área del circulo y perímetro de la circunferencia?

_______________________________

Conociendo el área de un circulo, ¿podrías encontrar el perímetro de la circunferencia? ¿Cómo?

Ejemplos.

Calcula el perímetro de una circunferencia de 10cm de radio.

Datos

Fórmula

Sustitución

Resultado

¿Cuál es el radio de una circunferencia cuyo perímetro es 6.28m?

Datos

Fórmula

Sustitución

Resultado


Resuelve individualmente los siguientes problemas. Te recomendamos seguir

el procedimiento.

a) Calcular el perímetro de la circunferencia de 8 cm de diámetro.

b) Perímetro de la circunferencia de radio 15 m.


66

g.f.s.

c) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia de 50 cm de perímetro?

d) Calcular el área del circulo de 25 m de radio.

e) Calcular el área del circulo de 15 cm. de diámetro.


67

g.f.s.

II.1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO


Observa cuidadosamente las figuras que a continuación se presentan.

De manera individual contesta las siguientes preguntas.

1. ¿A qué tipo de figuras pertenecen?

_________________________________________________________________________________

2. ¿Cuántas líneas tienen?

____________________________________________

3. Menciona lo que te acuerdes de las figuras que se te presentaron.

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

4. Realiza 3 dibujos que se encuentren en el salón de clase que cuenten con esa figura geométrica

o bien que se puedan formar haciendo algunas modificaciones o dividiendo la figura

simétricamente.


68

g.f.s.

DESARROLLO

II.2.1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

CONCEPTO DE TRIGONOMETRÍA

Trigonometría

La palabra trigonometría es un vocablo latino compuesto por trígono, que significa “triángulo” (tres

ángulos) y metría, “proceso de medir” o “medida”.

Rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos elementos de las

figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y los lados de los triángulos.

La trigonometría se divide en:

Trigonometría plana: También es conocida como trigonometría rectilínea porque estudia los

triángulos rectilíneos y, en general, los triángulos construidos en los planos.

Trigonometría del espacio o esférica: Su objeto de estudio son los triángulos esféricos; esto es la

región de la superficie de una esfera limitada por los arcos de tres circunferencias máximas.

Relaciones Trigonométricas

La trigonometría se fundamenta en algunas relaciones, que se llaman funciones trigonométricas, que se

definen como “las razones entre elementos rectilíneos ligados a un angulo, cuya variación

depende de la variación del ángulo”.

Las razones que existen entre los lados de un triangulo rectángulo varían al variar el ángulo de que se

trate; es decir que las razones son funciones del Angulo.

A estas razones se les llaman funciones trigonométricas.

Entre los pares de lados se forman seis razones que dan lugar a seis relaciones.

Funciones trigonométricas de ángulos agudos

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Nombre de la

función Abreviación Definición

Seno sen

Es la razón entre cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno cos

Es la razón entre cateto adyacente y la hipotenusa.

Tangente tan

Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Cotangente cot

Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

Secante sec

Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

Cosecante csc

Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.


69

g.f.s.

Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triangulo rectángulo se definen:

Para el ángulo A:

c es la hipotenusa.

a es el cateto opuesto.

b es el cateto adyacente.

Para el ángulo B:

c es la hipotenusa.

a es el cateto adyacente.

b es el cateto opuesto.

De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas para el ángulo A y B se designan

como:

II.1.3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Ejemplos de inducción.

Expresa las funciones trigonométricas correspondientes al ángulo señalado con la letra mayúscula.


70

g.f.s.

Sustituir los datos de acuerdo a

las definiciones de funciones

trigonométricas:

Sustituir los datos de acuerdo a las

definiciones de funciones

trigonométricas:

Ejemplos de practica o mecanización:

Completa la información para que llegues a la solución.


71

g.f.s.



trigonométricas:



trigonométricas:


Expresa las funciones trigonométricas correspondientes a los ángulos señalados con letras

mayúsculas.


72

g.f.s.


73

g.f.s.


Dada las siguientes funciones, determina los valores de las demás funciones

trigonométricas.


74

g.f.s.


75

g.f.s.

ACTIVIDAD DE CIERRE

Práctica 8. Funciones trigonométricas para un ángulo agudo

Nombre:_________________________________________________________Gpo:______

De manera individual, realiza lo siguiente.

I. Una vez terminadas las actividades el maestro seleccionara a algunos estudiantes para que

compartan sus respuestas con los demás.

a) Une con una línea la definición de cada una de las funciones trigonométricas con su nombre.

b) Observa la información proporcionada, calcula los datos que te hagan falta y encuentra lo que

se te pide.


76

g.f.s.

II. Desarrolla lo que se indica

1. A partir del triángulo rectángulo de la figura define las funciones trigonométricas para:

a) El ángulo P Q

b) El ángulo Q

z x

P y R

Ángulo P Ángulo Q

Sen P =

Sen Q =


77

g.f.s.

Cos P =

Cos Q =

Tan P =

Tan Q =

Cot P =

Cot Q =

Sec P =

Sec Q =

Csc P =

Csc Q =

2. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo rectángulo

de la figura.

Sen A =

Cot A =

B

c a = 91

A C b = 60

Cos A =

Sec A =

Tan A =

Csc A =


de la figura.

Sen A =

Cot A =

B

c a = 3

A C b = 4

Cos A =

Sec A =

Tan A =

Csc A =


de la figura.

Sen A =

Cot A =

B

c a = 15

A C b = 8

Cos A =

Sec A =

Tan A =

Csc A =


78

g.f.s.


de la figura.

Sen A =

Cot A =

B

c = 13 a

A C b = 5

Cos A =

Sec A =

Tan A =

Csc A =

6. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo rectángulo

de la figura.

Sen B =

Cot B =

B

c a = 1

A C b = 1

Cos B =

Sec B =

Tan B =

Csc B =


de la figura.

Sen B =

Cot B =

B

c = 10 a

A C b = 6

Cos B =

Sec B =

Tan B =

Csc B =


de la figura.

Sen B =

Cot B =

B

c = 2 a =

A C b

Cos B =

Sec B =

Tan B =

Csc B =


de la figura.


79

g.f.s.

Sen B =

Cot B =

B

c a = 70

A C b = 24

Cos B =

Sec B =

Tan B =

Csc B =

10. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo

rectángulo de la figura.

Sen A =

Cot A =

B

c a = 21

A C b = 20

Cos A =

Sec A =

Tan A =

Csc A =

En los ejercicios 11 al 17, considera que A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo.

11. Dado

, halla el valor de las funciones trigonométricas.

a) Csc A =

b) Cos A =

c) Tan A =

12. Dado


a) Tan A =

b) Sen A =

c) Cos A =

13. Dado


a) Sen A =

b) Tan A =


80

g.f.s.

c) Sec A =

d) Cot A =

e) Csc A =

14. Dado cot , halla el valor de las funciones trigonométricas.

a) Sen A =

b) Tan A =

c) Cos A =

15. Dado sec


a) Sen A =

b) Tan A =

c) Cos A =

d) Csc A =

16. Dado


a) Sen A =

b) Cos A

c) Tan A =

d) Csc A =

e) Cot A =


81

g.f.s.

II.2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS


En forma individual lean cuidadosamente la siguiente situación, realiza el dibujo en la parte

posterior de la página considerando los datos que proporciona el problema y contesta las

preguntas que se te plantean.

El abuelo de Raúl tiene una bodega en forma de cono en la que almacena trigo y necesita saber cómo

calcular ¿Cuánto trigo puede almacenar en ella?, por lo que le pide ayuda a Raúl para calcular dicho

volumen y así conocer sus ganancias. Ellos saben que el radio de la base es de 4 m y el ángulo que se

forma entre el piso y la generatriz del cono es de 56º. Pero para poder calcular el volumen se necesita

conocer la altura de la bodega, ¿cómo podría calcularla?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Al terminar, compara las respuestas a las preguntas anteriores con los demás compañeros.

¿Que función trigonométrica relaciona los datos proporcionados?, ¿como calcularías la altura de la

bodega?

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

DESARROLLO

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Recordando un triangulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90˚).

Resolver un triangulo es determinar las medidas de los lados y ángulos. Sin considerar el ángulo recto,

los tres lados y los dos ángulos agudos de un triangulo rectángulo pueden variar de valor y se pueden

presentar los siguientes casos:

Si conocemos los dos catetos.

Si conocemos un cateto y la hipotenusa.

Si conocemos un cateto y un ángulo agudo.

Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo.

Ejemplos de inducción.


82

g.f.s.

Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.

1) Si conocemos los dos catetos.

2) Si conocemos un cateto y la hipotenusa.


83

g.f.s.

3) Si conocemos un cateto y un ángulo agudo.

4) Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo.


84

g.f.s.

Ejemplos de practica o mecanización.


85

g.f.s.


a) Con los datos que se proporcionan, traza el triangulo y calcula los elementos que faltan.

1)

2)


86

g.f.s.

3)

4)

b) Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, según la información proporcionada.


87

g.f.s.


88

g.f.s.

II.2.1. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS (Problemas de aplicación).

a) Ahora sí con la información obtenida y el trabajo que has realizado vuelve a revisar el problema

planteado al inicio y contesta lo que se te pide.

En el rancho del abuelo de Raúl hay una bodega en forma de cono donde se almacena trigo. El abuelo

le pidió que le ayude a calcular la cantidad de trigo puede almacenar para así poder determinar la

cantidad dinero que tiene invertido así sabrá cuanto va a obtener si vende todo su contenido. Ellos

saben que el radio de la base es de 4 m y el ángulo que se forma entre el piso y la generatriz del cono es

de 56º. Pero para poder calcular el volumen se necesita conocer la altura de la bodega, ¿cómo podría

calcularla?

b) Resuelve los siguientes ejercicios.

1) Un albañil desea construir una escalera de 18 m; ¿que ángulo debe formar dicha escalera con el piso,

si tiene que alcanzar una altura de 8 m?


89

g.f.s.

2) El pie de una escalera de 12 m, apoyada contra la pared, queda a 5 m de esta, suponiendo que el piso

es horizontal, ¿que ángulo forma la escalera y el piso?

3) Una persona cuya altura es de 1.78m, proyecta una sombra de 3.5m. Calcula el ángulo de elevación

del sol.

4) ¿Qué altura alcanza sobre un muro una escalera de 5 m de largo, si forma con el piso un ángulo de

65° 10´?

5) Un ingeniero construye una rampa de 125 m de largo con una elevación de 25°. ¿Que altura alcanza

sobre la horizontal?


90

g.f.s.

ACTIVIDAD DE CIERRE

Práctica 9. Trigonometría. Aplicación)

Nombre:_________________________________________________________Gpo:______

I.-Utiliza la calculadora y obtén el valor de las funciones trigonométricas

Ángulo Ɵ

Sen Ɵ

Cos Ɵ

Tan Ɵ

Cot Ɵ

Sec Ɵ

Csc Ɵ

48°

0.7431

56°

23.5°

23°26'

0.4334

45°30'

40°26'

62°58'

2.2001

67°30'

35°48'30"

57°15'36"

70°45'12"

II.- Dados los valores de las razones trigonométricas que se indican, encuentra la medida del ángulo

Ɵ. Expresa el resultado en grados sexagesimales y en radianes.

Función

Valor de Ɵ en grados

sexagesimales

Valor de Ɵ en radianes

Sen Ɵ=0.866

Ɵ=59.99° ó 59°59'49.52"

1.0471 rad

Cos Ɵ=0.42262

tanƟ=1

cosƟ=0.59482

tanƟ=1.7461

senƟ=0.99756

CosƟ=0.83867

tanƟ=0.4663

senƟ=0.25882

Csc Ɵ=1.07702

secƟ=13.3370


91

g.f.s.

cosƟ=0.98481

tanƟ=3

senƟ=0.5

cosƟ=0.5

tanƟ=0.771

III.- Resuelve los siguientes triángulos

1:

a) Determina la longitud de la hipotenusa.

b) Halla la longitud del cateto a

c) Halla la medida del ángulo B

c=25.9 a=16.4

<B =50.58°

2:

a) Halla la longitud de la hipotenusa.

b) Halla la medida del ángulo A

c) Halla la medida del ángulo B

c = 110.1 <A = 16.4

<B = 39.47°


92

g.f.s.

3:


b) Halla la longitud del cateto a

c) Halla la medida del ángulo A

c = 35.5 a = 31.7

<A = 63.2°

4:

a) Halla la longitud del cateto a.

b) Medida del ángulo A

c) Medida del ángulo B

a = 35.2

< A = 51.52° < B = 38.48°

5:

a) Halla la longitud del lado a.

b) La longitud del lado b

a = 49.15

b = 34.4 < B = 35°


93

g.f.s.


6:

a) Halla la longitud del lado a.

b) La longitud del lado b


a = 71.7

b = 120.25 < B = 59.2°

7:

a) Halla la longitud del lado b.

b) La longitud del lado a

c) Medida del ángulo A

b = 90.1

a = 43.36 < A = 25.7°


94

g.f.s.

8:

a) Halla la longitud del lado c.

b) La medida del ángulo A


c = 74

< A = 18.92° < B = 71.08°

9:


b) La longitud del cateto b.


c = 15.6

b = 12 < B = 50.2°


95

g.f.s.

IV.- Triángulos rectángulos como modelos matemáticos

1.- Un árbol de 20mts de altura proyecta una sombra de 28 mts de largo. Halla el ángulo de

elevación del sol. resp: 35.17 mts

2.- Un árbol de 18 mts de altura proyecta una sombra de 10 mts de largo. ¿Cuál es el ángulo de

elevación del sol? resp: 60.94°

3.- Cuando el sol está a 25° sobre el horizonte, ¿cuál es el largo de una sombra que proyecta un

edificio de 15 mts de altura? resp: 32.17°


96

g.f.s.

4.- Un edificio proyecta una sombra de 92.33 mts cuando el ángulo de elevación del sol es de 18°.

Calcula su altura. resp: 30 mts

5.- En un edificio se apoya una escalera cuyo pie se ubica a 1.4 mts de la pared. ¿Cuál es su

longitud, si el ángulo que forma con la pared es de 30°. resp: 2.8 mts

6.- La sombra que proyecta una persona de 1.68 mts de altura es de 1.22 mts. En ese instante un

árbol proyecta una sombra de 6 mts. Calcula la altura el árbol. resp: 8.2 mts


97

g.f.s.

7.- De lo alto de un faro que emerge 40 mts sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un

velero es de 12°. ¿A qué distancia horizontal del faro se encuentra el barco? resp: 188.2 mts

8.- Una persona de 1.75 mts de estatura se localiza a 32 mtrs de la base de un edificio y observa que

el ángulo de elevación a la cúspide del mismo es de 40°. Halla la altura del edificio.

resp: 6.85 mts

9.- Desde la sima de un edificio de 30 mts de altura se observa que el ángulo de depresión a un

punto A es de 16°. Halla la distancia de dicho punto a la base del edificio resp: 104.6 mts


98

g.f.s.

II. 3. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS


En equipo contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno

¿Como se dividen los triángulos de acuerdo a sus ángulos?

___________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Dibuja un triangulo con un ángulo agudo

¿Como se le llama a los triángulos que no presenta un ángulo agudo?

______________________________________________________

______________________________________________________

¿Como se llama al triangulo que tiene tres ángulos agudos?

______________________________________________________

Dibuja un triangulo que tenga un ángulo obtuso

¿Como se le llama al triangulo que tiene un ángulo obtuso?

___________________________________________________

___________________________________________________

Compara y comenta las respuestas con tus compañeros

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________


99

g.f.s.

DESARROLLO

II.3.1. INTRODUCCIÓN

Un triangulo es oblicuángulo cuando no presenta un ángulo recto, se denomina de dos formas:

triangulo acutángulo si tiene tres ángulos agudos y triangulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, por

lo que no es posible resolverlo si aplicamos las funciones trigonométricas.

Ejemplos:

II.3.2. CASOS DE RESOLUCIÓN

Para la solución de triángulos oblicuángulos se utiliza:

Ley de seno.

Ley de coseno.

LEY DE SENO

“En cualquier triangulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos

opuestos”.

La ley de seno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:

Ejemplos de Inducción:

Resuelve el siguiente triangulo oblicuángulo con los datos que se dan a

continuación.

Caso 1 (AAL Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos).


100

g.f.s.

Caso 2 (LLA Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos).


101

g.f.s.

Ejercicio de practica o mecanización

La Ley Seno se puedes descomponer en las

siguientes relaciones:

Sustituye los datos que te proporciona el

problema

Observa que la primera relación solo falta el

valor del ángulo “A”, entonces despejaremos y

encontraremos su valor:


102

g.f.s.

Ahora hay que encontrar el valor del ángulo C

Para encontrar el valor del lado “ c ”

Por lo tanto los datos faltantes del triangulo

oblicuángulo son:


I. Con los datos que se proporcionan, traza el triangulo y calcula los elementos que faltan.


103

g.f.s.


104

g.f.s.

II. Resuelve en tu libreta los siguientes triángulos oblicuángulos, según la información

proporcionada.


105

g.f.s.

LEY DE COSENOS

“En todo triangulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos,

menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman”.

PARA ENCONTRAR LADOS

PARA ENCONTRAR ÁNGULOS

La ley de coseno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:

caso 1.

LLL Los tres lados.

caso 2.

LAL Dos lados y el ángulo comprendido.

Ejemplos de Inducción: Resuelve el siguiente triangulo oblicuángulo con los datos que se dan a

continuación.

Caso 1 (LLL Cuando se conocen los tres lados).

Caso 2(LAL Dos lados y el ángulo comprendido).


106

g.f.s.

Ejercicio de practica o mecanización

Primero analizamos los datos que nos proporciona

del triangulo oblicuángulo.

¿Que caso es?

Dibuja en tu libreta un triangulo oblicuángulo con

sus datos:

Calculamos el lado “a”

Calculo el ángulo B utilizando la Ley de Seno.


107

g.f.s.

Calculo del ángulo C:

Por lo tanto los datos faltantes del triangulo

oblicuángulo son:


I. Con los datos que se proporcionan, realiza los siguientes ejercicios en la libreta trazando el

triangulo y calculando los elementos que faltan.


108

g.f.s.

II. Determina los elementos indicados en las siguientes figuras.

2 )


109

g.f.s.


110

g.f.s.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1) Hay tres botes en las afueras de la costa de la playa de Cabo San Lucas. El capitán del bote M sabe que

el bote N esta a 4.5 km de distancia y que el bote P esta a 5.3 km de distancia. El ángulo entre los dos

botes es de 40°.

a) ¿Que distancia tienen el bote N del bote P?

b) El capitán se da cuenta que cometió un error calculando el ángulo entre los dos botes. Debería haber

calculado 32°. Usando este ángulo. ¿Qué distancia tiene el bote N del bote P?

2.- Laura y Ana están acampando en la Sierra Madre, caminan 8 Km. desde su campamento base, con un

rumbo de 42°. Después del almuerzo, cambian de dirección con un rumbo de 137° y caminan otros 5 Km.

a) ¿A qué distancia están Laura y Ana de su campamento base?

b) ¿Con que rumbo deben caminar Laura y Ana para regresar a su campamento base? (Recuerda que

un rumbo se mide en el sentido de las manecillas del reloj, desde el norte)


111

g.f.s.

3.- Cuando el avión pasa por la recta que los une, cada observador mide el ángulo de elevación al avión,

como indica la figura adjunta. ¿A qué distancia del avión se encuentran las personas en dicho momento?


112

g.f.s.

ACTIVIDAD DE CIERRE

Práctica 10. Trigonometría. Triángulos oblicuángulos

Nombre:_______________________________________________________________Gpo:______

I.-Resuelve los triángulos oblicuángulos aplicando la ley de senos y ley de cosenos.

a) Determina la longitud del lado AC

Result: 77.7

b) Halla la medida del ángulo A

Result: 33.7°

c) Halla la medida del ángulo C

Result: 45.13°


113

g.f.s.

d) Halla la longitud de AB del siguiente triángulo

Result: 30.1

e) Determina la longitud del lado AB

Result: 23.65

f) Determina la longitud de AC

Result: 47.8


114

g.f.s.

g) Halla la longitud del lado BC

Result: 74.6

h) Halla la medida del ángulo C

Result: 45.6°

i) Para determinar la distancia entre dos cabañas que se localizan en las orillas de un lago un topógrafo se

situó en el punto R. Luego caminó a cada cabaña y midió 15.4 m y 22.6, respectivamente. Por último,

midió el ángulo PRQ, que resultó ser de 70°. ¿Cuál es la distancia entre las cabañas?


115

g.f.s.

Result: 22.6

j) Un avión vuela a 240 Km de la ciudad A a la ciudad B; luego gira 40° y se dirige a la ciudad C,

que está a 162 Km de B. ¿Cuál es la distancia de la ciudad A a La C

ResuIT: 22.6

centro de bachillerato tecnolÓgico industrial y …

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