cenidet · 2020. 7. 7. · cenidet centra nacional de investigacibn y desarrollo tecnológica...

S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N

Y DESARROLLO TECNOL~GICO

cenidet

DETECCI~N DE INTERARM~NICOS USANDO WAVELETS

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELECTR~NICA

P R E S E N T A :

ING. LUZ ROXANA DE LEÓN LOMELÍ

DIRECTOR DE TESIS:

DR. HUGO CALLEJA GJUMLICH

CENTRO DE INFORMACION DG'TI SEP CENIDET

0 5 - 0 0 0 2 I

ENERO 2005 CUERNAVACA, MORELOS

,. .. .~

.- cenidet Centro Nacional de Investigaci6n

Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos y Desarrollo Tecnológico

ANEXO No.] I

ACEPTACI~N DEL DOCUMENTO DE TESIS MI0

Cuernavaca, Mor., a 16 de diciembre del 2004

C. Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez Jefe del departamento de Electrónica Presente.

At’n C. Dr. Gerard0 V. Guerrero Ramirez Presidente de la Academia de Electrónica

Nos es grato comunicarle, que conforme a los lineamientos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro, y después de haber sometido a revisión académica la tesis titulada: “Detección de Interarrnonicos usando Wavelets”, realizada por la C. Luz Roxana De León Lomeli y dirigida por el Dr. Jorge Hugo Calleja Gjumlich y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas; acordamos ACEPTAR el documento final de tesis, así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorización de impresión.

Dr. Marc tonio Oliver Salazar Nombre y firma

La Comisión de Revi .. . . ..

S. E. P. CENTRO NACIONAI

Revisor Revisor

C.C.P. Subdirección Académica Depaitamento dc Servicios Escolares Directores de tecis Estudiante

”-

cenidet Centra Nacional de Investigacibn

Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos y Desarrollo Tecnológica

ANEXO No. 12

MI1 AUTORIZACI~N DE IMPRESI~N DE TESIS

Cuernavaca, Mor., a 17 de diciembre del 2004

C. Ing. Luz Roxana De León Lomeli Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Comisión Revisora de la Academia de Electrónica en relación a su trabajo de tesis cuyo titulo es: “Detección de Interarmonicos Usando Wavelets”, me es grato comunicarle que conforme a los lineamientos establecidos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en este centro se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis. .

Atentamente

b/ .!

C. Dr. Enriaue Ouinfero-Mármol Márauez 1 .

Jefe del Departamento de Electrónica

C.C.P. Subdirección Académica Presidente de la Academia de Electrónica Departamento de Servicios Escolares Expediente

A los dos amores de mi vida, visi y Efrén.

A mis padres porque de ellos aprendí que no hay imposibles, solo falta de fe. Gracias por todo su

apoyo.

A mis hermanos Ernesto y Paulina, por su apoyo y tolerancia en todo momento.

A mi abue Don Jesús por sus consejos y su ejemplo de lucha.

A mi abue toñita, donde quiera que estés, gracias por todas tus enseñanzas.

A Marily por su cariño y todas sus atenciones.

AGRADECIMIENTOS A E frén, gracias por toda tu ayuda y por acompañarme en todos esos

momentos de desvelo, sin ti nada de esto sería posible.

A mi asesor: Dr. Hugo Calleja Gjumlich por sus consejos y apoyo en la realización de esta tesis, compartiendo sus experiencias, conocimientos y por su amistad.

AI comité de revisores: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar, M.C. José Martín Gómez López y M.C. José Antonio Hoyo Montaño, gracias por su amistad, confianza y por sus valiosos comentarios y sugerencias que contribuyeron a mejorar esta tesis.

A Miguel y a toda la familia Garcia, gracias por su cariño y por todas las atenciones que han tenido conmigo. {<!

A mis amigas Fabis, Liz, Anita, Cecy y Miriam, gracias por todos los buenos momentos que pasamos juntas.

’ . . A mis amigos y compañeros de generación: Silvio, Pablo, Alonso, Alfredo, al puntito amarillo (Tano), Ricardo, Raúl, Manuel, Armando, Eumir, Christian, Alex, Toño H., Jorge, Ingeorge, Compiri, Erwin, Marco, Marving, Cholula, Jose maría, por todos esos buenos momentos que pasamos juntos y porque estuvieron conmigo siempre que los necesité. , .

A “omarcito”, gracias por tolerar a nuestro más grande dolor de cabeza.

. ,

A doña Ade que me abrió las puertas de su casa cuando lo requerí

A todo el personal de CENIDET, quienes facilitaron mi estancia en este centro

AI CONACYT y a la SEP, por brindarme el apoyo económico durante mis estudios.

A todos ellos, gracias.

RESUMEN

La necesidad de identificar componentes de frecuencia ha llevado a la exploración de diversas tkcnicas de detección. Las técnicas basadas en Fourier han dado buenos resultados para armónicos, pero el problema de la diferenciación entre la fuga espectral y los componentes interarmónicos no se ha resuelto de manera concluyente, ya que estos últimos pueden ser de amplitudes reducidas..

El objetivo principal de este trabajo de investigación consistió en explorar las técnicas basadas en wavelets, que permitan desarrollar un sistema capaz de detectar los interarmónicos presentes en una forma de onda de comente. En otras palabras, se trata de determinar si la transformada wavelet, en alguna de sus versiones, es capaz de detectar de manera efectiva los componentes interarmónicos presentes en una señal dada.

Se propuso usar la transformada discreta wavelet (DWT), para descomponer las señales en sus diversos componentes de frecuencia. Para aplicar esta transformada es necesario comenzar por determinar una wavelet madre que se adapte a las necesidades del sistema. Después de una serie de pruebas se determinó que para este proyecto la mejor opción es la wavelet Dmeyer.

Al analizar la señal utilizando transformada wavelet lo que se obtiene es la señal original dividida en paquetes de frecuencia. La DWT descompone el ancho de banda de la señal en bloques de frecuencia perfectamente delimitados, de modo que la transformada puede verse como una sucesión de filtros pasa-banda. Utilizando la transformada inversa wavelet se puede ver el contenido de cada bloque generado como una señal en el tiempo.

Como plataforma de hardware se empleó un procesador digital de señales (DSP), de la compañía Texas Instruments. Este DSP viene integrado dentro del kit de desarrollo: DSK TMS320C6416. Esta tarjeta maneja buenas velocidades de procesamiento y cuenta con memoria suficiente para realizar de manera eficiente el proceso de análisis y descomposición de señales.

La etapa de adquisición de datos se hizo utiliz-do el codificador-decodificador de audio (codec) que contiene la tarjeta de desarrollo; mientras que la programación de este sistema se hizo en lenguaje C .

De manera general, en las pruebas realizadas se detectaron correctamente los armónicos e interarmónicos presentes en las formas de onda que se aplicaron al sistema. De acuerdo a las características propias del sistema, no se logró completar un sistema de detección en tiempo real, sin embargo como trabajos futuros se sugieren las condiciones necesarias para completar dicho instrumento.

.-

ABSTRACT. In order to identify frequency components in current waveforms many detection techniques has been analyzed. Fourier based techniques has given good results in harmonics detection, but differentiation between spectral leakage and the interharmonic components is not solved yet, because the interharmonics could have small amplitudes.

The main objective of this research work is to explore the wavelets-based techniques, that allow the design a system capable of detecting interharmonics in current waveforms. In other words, it is necessary to determine if the wavelet transform, in any of their versions, is capable of detecting in a effective form the interharmonic components in a signal.

The proposed technique consists of the discrete wavelet transform (DWT) that decompose the signal in their different frequency components. The first step to apply the DWT is to determine a mother wavelet that could be adapted to the system necessity. Different DWT techniques were evaluated and the results obtained show that best option for this application is the Dmeyer mother wavelet.

When a signal is analyzed with the wavelet transform, different frequency packets are obtained. DWT decompose the signal bandwidth in kequency blocks perfectly defined, so the DWT can be seen as a pass-band filter succession. Using the inverse wavelet transform the content of each generated block as a time signal, could be seen.

The DWT was evaluated using a hardware platform based on a digital signal processor (DSP), from Texas Instruments. This DSP is part of a development kit: the DSK TMS320C6416. Whit this development kit good processing speeds are obtained; besides it has enough memory to perform analysis and decomposition of signals in a efficient manner.

The audio codec in the development kit was used for data acquisition purposes. .this system was programmed in C code.

Experimental results show that harmonics and interharmonics components were correctly detected for all the analyzed waveforms. Because of the system characteristics, a real time detection system couldn’t be implemented. However, the requirements to obtain that system are suggested as future works.

.-

TABLA DE CONTENIDO

Lista de tablas y figuras .................................................................................................................... v

Nomenclatura y simbología ............................................................................................................. iX

. I Capítulo 1 Introduction ............................................................................................. 1

1.1 ANTECEDENTES y DESCRIpCIbN DEL PROBLEMA. ........................................................................ 1

1.1.1 Interarmónicos .............................................................................................................................. 1

1.2 MÉTODOS DE mÁLIsIs .......................................................................................................................... 4

1.2.1 Fourier ........................................................................................................................................... 4

1.2.2 Transformada discreta de Fourier @IT) ...................................................................................... 4

1.2.3 Transformada rápida de Fourier (FIT) ..................................................... ............................ ...4

1.2.4 Transformada de tiempo corto de Fourier (STFT) ........................................................................ 5

1.2.5 Ventanas de muesireo ................................................................................................................... 5

1.2.6 Fuga espectral ..................................................................................................................

1.3 ESTADO DEL ARTE ................................................................................................................................... 8

1 :4 JUSTIFICACI6". .................... ............................................................................................................... 11

1.5 OBJETIVOS. .............................................................................................................. ........................... 12 . . . . . . . .~ . . . . . .

Capítulo 2 Transformada wavelet ........................................................................... 13

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS. ........ ....................................................... 13

2.1 .I Cronología. ....................................... .................................................................................. 13

2.1.2 Definiciones ......................... ............................................... ....................... 14

2,2.1 19

20

Aplicaciones en el área de electrónica de potencia .......

2.3 TRANSFORMADA DISCRETA WA VELET(DWT) ....................

2.3.1 Multirresolución de los sistemas wavelet

..

2.3.2

2.3.3

2.3.4

Función de escalamiento y generación de función wavelet .................................................... 22

23 ....................... Bancos de filtrado y la transformada discreta wavelef ................................

Algoritmo de Mallat ................................................................................................................ 27

2.4 SINTESIS ...................................................................................... ...................................................... 29

2.5 UP-SAMPLING .............................................................................. ....................................................... 30

2.6 EFECTO DE LA FRECUENCIA DE MUESTRE0 .................................................................................. 32

2.1 WAVELETVS FOURIER ........................................................................................................................... 34

Capítulo 3 Diseño e implementación de los algoritmos de análisis y síntesis ...... 37

3.1 PROCESADOR DIGiTAL DE SENALES (DSP) ..................................................................................... 31

3.1.1 Codec AiC23 ........................................................................................................................... 38

3.1.2 Canales de comunicación ........................................................................................................ 39

3.1.3

. .

.. Sofware de programacion ....................................................................................................... 40

3.2 DESARROLLO DE LOS ALGORITMOS DE PROGRAMACI~N ................................. ; ....................... 41

3.2.1

3.2.2

3.2.3

3.2.4

3.2.5

Capítulo 4

. . . . Adquisicion de datos ............................................................................................................... 42

Análisis de señales utilizando DWT ....................................................................................... 43

Síntesis o reconstnicción ......................................................................................................... 46

Despliegue de resultados .................................... .. .................................................................... 48

Algoritmo programado en Matlab ........................................................................................... 48

Pruebas y resultados .............................................................................. 51

4.1 SELECCI~N DE WAVELET MADRE ................ ....... ... 51

4.2 PRUEBAS CON TOOLBOX DE MATLAB ..... ...... .... 55

4.3 PRUEBAS ............ 58

4.3.1

4.3.2

Obtención de formas de onda usando osciloscopio y procesamiento en el DSP

Obtención de formas de onda y procesamiento utilizando DSP

4.3.3 Ejemplo ................................................................................................................................... 62

4.4 SINTESIS COMPLETA ............................................................................................................................. 69

4.4.1

4.4.2

Síntesis por Matlab ................................................................................................................. 69 .. Reconstruczion con DSP ........................................................................................................ 70

4.5 EJEMPLO DOS .......................................................................................................................................... 71

4.6 COMPARACI6N CON FOURIER ........................................................................................................... 72

Capítulo 5 Conclusiones y aportaciones ................................................................. 75

5.1 SELECCI~N DE LA WAVELET MADRE .............................................................................................. 75

5.2 PLATAFORMA DE HADWARE .............................................................................................................. 75

5.3 FRECUENCIA DE MUESTRE0 ............................................................................................................... 75

5.4 iNTERPRETACION DE RESULTADOS .................................................................................................. 76

5.5 COMPARACION CON FOURIER .......................................................................................... : ................ 76

5.6 DIFICULTADES Y RETOS ...................................................................................................................... 77

5.7 APORTACIONES ............................................... ........................................................................... ............ 77

5.8 TRABAJOS FUTUROS ............................................................................................................................. 78

Anexos ..................................................................................................................... ... 79

ANEXO 1 . COMUNICACIÓN VÍA RTDX .................................................................................................... 79

ANEXO 2 . TOOLBOX DE WAVELETS DE MATLAB ............................................................................... 81

ANEXO 3 . ONDAS DE PRUEBA GENERADAS .......................................................................................... 83

ANEXO 4 . LISTADO DE PROGRAMAS ..................................................................................................... 83

REFERENCIAS .................................................................................................................................. 85

BIBLIOGRAFÍA ........................................................ : ............... ~ ....................................................... 90

/'

< < <

111

~

.-

LISTA DE TABLAS Y FIGURAS

Tabla 1-1 Tipos de ventanas ................................................................................................................................ 6

Tabla 1-2 Resumen de tecmcas ........................................................................................................................... 10

Tabla 2-1 Sintesis de documentos revisados ...................................................................................................... 20

Tabla 3-1 Frecuencias de muestre0 que puede manejar el codec ...................................................................... 42

Tabla 4-1 Contenido armónico de señales obtenidas mediante el circuito de la figura 4-12 ............................. 64

, .

, .

i( I . Figura 1-1. Senal distorsionada ............................................................................................................ 1.

Figura 1-2. contenido armónico de la corriente en un cicloconvertidor. ............................................. 2

Figura 1-3. Efectos de la ventana de mues treo .................................................................................... 5

I!

Figura 1-4. Representación en tiempo y frecuencia de la ventana Hamming. .................................... 8

Figura 2-1 Descomposición Ha ar .................................................................................................................... 13 . . Figura 2-2 Onda penódica y wavelet ............................................................................................................... 14

Figura 2-3 Wavelet escalada ........................................................................................................................... 15

Figura 2-4 Ejemplos de wavelets con soporte compacto ............................................................................... 17

Figura 2-5 Compresión de imágenes mediante wavelets ............................................................................... 19

Figura 2-6 Ejemplo de análisis de multiresolución ........................................................................................ 22

. . . . . . ~ . .~

Figura 2-7 Diagrama de sub-espacios .......... ........ ................................... ......................... 25

Figura 2-8 Respuesta en frecuencia de wavelet madre Dmeyer .........................................................

Figura 2-9 Respuesta en frecuencia de la transformada wavelet .............................

Figura 2-10 Down- sampling ........ : ........................................................................................... .......... 28

Figura 2-1 1 Descomposición por algoritmo de Mallat ..............................................................................

Figura 2-1 2 Diagrama de descomposición ...................................................................................................... 29

Figura 2-13 Árbol de descomposicion completo ............................................ ........... 30

V

. . Figura 2-14 Diagrama de sintesis .................................................................................................................... 33

Figura 2-15 Algoritmo de Mallat ..................................................................................................................... 33

Figura 2-16 Ejemplo de señal muestreada ....................................................................................................... 34

Figura 2-17 Diagrama de frecuencias de corte ................................................................................................ 35

Figura 2-18 Árbol de descomposición de n niveles ........................................................................................ 36

. . Figura 2-19 Señal de entrada ........................................................................................................................... 37

Figura 2-20 Señal reconstruida ........................................................................................................................ 37

Figura 2-21 Señal procesada con ventanas ...................................................................................................... 38 .

Figura 2-22 Análisis y reconstmcci6n de una señal usando transfomiada wavelet ....................................... 39

Figura 3-1 . Tarjeta de desarrollo DSK TMS32OC6416 ...................................................................... 41

Figura 3-2 . Diagrama de entradahalida de datos vía codec de audio ................................................. 43

Figura 3-3 . Flujo de datos de entraddsalida ....................................................................................... 44

. !

Figura 3-4 . Diagrama de flujo del algoritmo programado .................................................................. 45

Figura 3-5 . Ejemplo de descomposición utilizando el algoritmo programado en Matlab ................. 52 'I Figura 4-1 . Funciones de escalamiento y wavelet Meyer ..................................................................... 53 i . Figura 4-2 . Respuesta en frecuencia de diferentes tipos de wavelet ................................................... 54

Figura 4-3 . Forma de onda de corriente de balastro Biax ................................................................... 55

.. Figura 4-4 . Comparación de procesamiento de una forma de onda de comente ................................ 56

. Figura 4-5 . Comparación de procesamiento de detalle 9 obtenido con varias wavelet madre ........... 56

Figura 4-6 . Comparación de procesamiento de detalle 8 obtenido con varias wavelet madre ........... 57

Figura 4-7 . Señal de ejemplo .............................................................................................................. 58

Figura 4.8 . Frecuencias de corte para wavelet madre Dmeyer ........................................................... 58

Figura 4.9 . Descomposición de la señal de la figura 4-7 mediante toolbox de Matlab ...................... 59

Figura 4-10 Diagrama de pniebas ....................................................................................................... 60

Figura 4- 1 1 . Conexion vía RTDX ......................................................................................... :. ............ 61 ..

vi

..

Figura 4.12 . Circuito para obtener señales con componentes intermónicos ................................... 62

Figura 4.13 . Comparación de señales procesadas .............................................................................. 62

Figura 4-14 . Diagrama de conexión para la segunda etapa de pruebas ............................................. 63

Figura 4-15 . Señal de ejemplo con componentes de 60 Hz, 100 Hz y 300 Hz .................................. 64

Figura 4-16 . Frecuencias de corte específicas para ejemplo de análisis ............................................ 65

Figura 4-17 . Árbol de descomposicion . ....................................................................... ....................... 66

Figura 4-18 . Descomposiciones y reconstrucciones de la señal de la figura 4-15 ............................. 68

Figura 4-19 . Síntesis de la descomposición de la señal de la figura 4-15 utilizando Matlab ............ 70

Figura 4-20 Descomposición de la señal de la figura 4-15 empleando el

algoritmo progamado en el DSP ........................................................................................................ 71

. . .

Figura 4-21 . Comparación entre señal reconsimida con Matlab y señal original .............................. 73

Figura 4-22 . Reconstrucción utilizando DSP ..................................................................................... 73

Figura 4-23:Segundo ejemplo de descomposición con DSP ............................................................. 74

Figura 4-24 . Comparacion entre PWT y Fourier ............................................................................... 75 . .

Figura 4-25 . Reconstrucción de la componente de 300 Hz ................................................................ 76

. . .

NOMENCLATURA Y SIMBOLOGÍA

A

ADC

B

cj. k

CA

ccs CD CNL

CWT

di. k

DAC

DB4 DBlO

DFT

DSK

DSP

DWT

EDMA-'

f f0 FFT FIR

Hz IA IDWT ICWT IIR

Amperes

Convertidor Analógico a Digital (Analog io digital conversor)

Bytes

Coeficientes de escala Comente alterna

Code Composer Studio Comente directa Carga no lineal

Transformada Continua Wavelet (Continuous Wavelet Transform)

Coeficientes de Wavelet

Convertidor Digital a Analógico (Digital to Analog Conversor)

Wavelet madre Daubechies 4

Wavelet madre Daubechies 10

Transformada Discreta de Fourier (Discrete Fourier Transform)

Kit de desarrollo de Inicialización (DSP Started Kit)

Procesador digital de Señales (Digital Signal Processor)

Transformada Discreta Wavelet (Discrete Wavelet Transform)

Acceso de Memoria Directo Mejorado (Enhanced Direct Memov Access)

Frecuencia Función o señal de entrada Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform)

Filtros de Respuesta Finita al Impulso (Finite Impulse Response)

Hertz Interarmónicos Transformada Discreta Inversa Wavelet (Inverse Continuous Wavelet Transform)

Transformada Continua Inversa Wavelet (Inverse Continuous Wavelet Transform) Filtro de Respuesta Infinita al Impulso (Infinite Impulse Response)

ix

.-

Variable discreta de escalamiento

Variable discreta de traslación

Kilobytes Kilohertz

Multichannel Buffered Serial Port

Mega Hertz

Millones de instrucciones por segundo Milímetros

Milivoltios Computadora Personal (Personal Computer)

Intercambio de Datos en Tiempo Real (Real Time Data Exchange)

Transformada de Fourier de Tiempo corto (Short Time Fourier Transform)

Puerto Serial Universal (Universal Serial Bus) Transformada Wavelef ( Wavelef Transform)

Función de escalamiento

Función wavelet

i k

kB

kHz McBSP

MHz MIPS 111111

mV

PC RTDX STFT

USB WT

PO)

w(s,

X

Capítulo 1 Introducción

1.1 ANTECEDENTES Y D E S C R I P C I ~ N DEL PROBLEMA.

Una carga no lineal (CNL) es cualquier equipo eléctrico que, al conectarse a la red, cambia la forma de la onda de tensión o de comente del suministro en otra que no es sinusoidal. Como ejemplo de este tipo de cargas están los equipos de cbmputo, televisores, electrodomésticos, accionadores de motores, rectificadores, etc. La proliferación de las CNL en los diferentes niveles de consumo (doméstico, industrial, comercial, etc.) ha influido en la calidad de la energía elktrica de la red de alimentación, generando perturbaciones y/o distorsiones de tensión y comente (figura 1-1).

Figura 1-1. Señal distorsionada.

I’ . El “niido” que.las CNL introducen”en la línea eléctíica se puede dividir en varia categorías y se tienen los componentes armónicos, los subarmónicos y los interarmónicos (IA). Los componentes armónicos de una señal, son aquellos que aparecen como múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, mientras que los subarmónicos, son componentes de frecuencia menor a la fundamental.

1.1.1 Interarrnónicos

La norma IEC61000-2-1 define a los interarmónicos como [l]: “algunas componentes que pueden aparecer como múltiplos no enteros de la fundamental tanto a

frecuencias discretas como espectros de banda ancha”.

Detección de interarmónicos usando wuvelels

Una forma matemática de definir los componentes de una señal es utilizando la siguiente fórmula:

f h = h * h

donde h es el orden de los armónicos y f , es la frecuencia fundamental de la señal. Dependiendo de los valores que tome h, la frecuencia $,puede:

1. Corresponder a frecuencias de componentes armónicos, cuando h toma valores enteros positivos (h = 2,3,4 ,... ), o

2. Corresponder a frecuencias de componentes interarmónicos, cuando h toma valores no enteros mayores auno (h >1 y h # 2,3,4 ,... ), o

3. Corresponder a componentes subarmónicos cuando h toma valores menores a 1 y mayores a o ( 0 4 4 ) .

No es sencillo determinar qué cargas son las responsables de la producción de los L4, puesto que en algunas ocasiones son de amplitudes tan pequeñas que se pueden confundir con mido. No obstante, se han identificado algunas cargas que generan interarmónicos de amplitudes considerables, una de ellas son los cicloconvertidores. La figura 1-2 muestra el espectro de comente típico de un cicloconvertidor. [2]

'-r

Frecuencia armónica (Hz) Figura 1-2. contenido armónico de la comente en un cicloconvertidor,

En la figura son claramente visibles la componente fundamental a una frecuencia de 60 Hz, los componentes subarmónicos a 30 Hz, 40 Hz y 50 Hz, y los componentes interarmónicos que se encuentran después de los 60 Hz pero antes de los 120 Hz. El porcentaje de comente interarmónica que genera este tipo de aparatos llega a ser del 4%; este valor puede ser suficiente para producir fallas en algunos sistemas. La amplitud de estos componentes dependerá de la configuración del Cicloconvertidor.

2

Capítulo 1. Introducción .-

Otra fuente importante de contaminación armónica son las cargas en cuyo funcionamiento se producen arcos voltaicos. Los ejemplos típicos son las estaciones de soldadura y los hornos de arco. Este tipo de cargas normalmente se asocia a fluctuaciones de voltaje y su consecuencia más notoria es el parpadeo en las lámparas. Existen más cargas que introducen interarmónicos a la línea de alimentación como por ejemplo los motores de inducción (debido a la magnetización no uniforme o a las configuraciones de doble alimentación), los sistemas de control de rizos y los sistemas de transmisión de alto voltaje de CD.

Una práctica común para minimizar los efectos de los armónicos de corriente consiste en utilizar filtros pasivos conectados en paralelo con la red eléctrica. Estos filtros presentan una frecuencia de resonancia la que, durante el cálculo, se asegura que no coincidirá con una frecuencia armónica. Por ejemplo, en un filtro que se diseña para eliminar la quinta armónica, a 300 Hz, la frecuencia de resonancia del filtro puede ubicarse en 312 Hz. El funcionamiento es adecuado cuando no existen interarmónicos, pero se producirá el efecto de resonancia cuando aparezca un interarmónico a 312 Hz. Dependiendo del factor de calidad del filtro, el valor del capacitor y la magnitud del interarmónico, puede presentarse diversos efectos que van desde un sobrecalentamiento, hasta la destrucción del capacitor.

Existen normas como la IEEE 519-1992, la cual establece los límites en los componentes armónicos que un equipo puede inyectar a la red de alimentación. En la referencia [3] el autor cita: ‘2as corrientes interarmónicas presentan los mismos problemas con interferencias inductivas o de temperatura que las corrientes armónicas. Por lo tanto se recomienda que las corrientes interamónicas se limiten de la misma manera que las corrientes armónicas en la tabla 10.1 de la norma IEEE 519-1992”.

Con la finalidad de controlar y mantenerse dentro de estos límites se han utilizado filtros activos, encargados de compensar los componentes que las cargas demanden. Durante la utilización de los filtros se ha encontrado que los kmponentes interarmónicos son capaces de producir perturbaciones en el control, ocasionando probihas tales como corrientes elevadas en la etapa de potencia, tensión inestable en el bus de CD, o comportamiento dinámico inferior al previsto, con lo que se tiene un rendimiento mediocre [4].

‘I . . . No es sencillo predecir la aparición de los interarmónicos ya que, como regla general, el análisis

de los convertidores de potenciajúnicamente toma en cuenta los componentes armónicos. Así pues, para poder solucionar los problemas que causan, es necesario detectarlos. Esta tarea se dificulta debido a que, en la mayoría de los casos, son de amplitudes reducidas y sus ubicaciones son dificiles de determinar, pudiendo estar muy cercanos a los armónicos.

La norma IEC 61000-4-7 establece un procedimiento muy preciso para la medición de componentes armónicos y en la actualidad se está revisando con la finalidad de aplicarla a los componentes interarmónicos. El: criterio que se plantea para la medición es usar transformada de Founer y ventanas rectangulares.

3

Detección de interannónicos usando wuvelels

1.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS

1.2.1 Fourier

i

La teoría de Fourier plantea la representación matemática de las funciones periódicas como una suma ponderada de funciones seno y coseno relacionadas armónicamente. La expresión matemática que describe esta teoría es la siguiente:

ca *!

I ~ ( t ) = u, + C ( a k cos 2 ~ ~ t - b , s e n 2 ~ ~ t ) (2)

k=I

donde:

Para mayor información acerca del desarrollo y aplicación de esta ecuación se recomienda la referencia bibliográfica [ 11.

i

I

“ La fónnuia anterior, ai igual que su equivalente en funciones exponenciales, realizan una

transformación de señales continuas. Para analizar funciones discretas es necesario hacer una adaptación de las ecuaciones. De ahí que surgen las siguientes definiciones. J

1.2.2 Transformada discreta de Fourier OFT)

Esta es la versión de la transformada de Fourier que se emplea para analizar señales discretas en el tiempo. Su fórmula general es: 11

N-l

X ( k ) = zx(n )e ’2x*k”n /N k = 0,1,2 ,..., N -1 (3) “=O

Para esta versión de Fourier no solamente se requiere una señal sea discreta; además, el número i de muestras que se procesa debe ser finito. Este número de muestras está íntimamente relacionado

con el ancho de la ventana de muestreo. La selección del ancho de la ventana es un punto muy importante y de ello dependerá la precisión del método.

1.2.3 Transformada rápida de Fourier (FFiJ

Este algontmo permite realizar de manera muy rápida la transformada discreta de Fourier

,

Mediante una serie de consideraciones y simplificaciones se llega a las ecuaciones:

. 2 7 d

X [ k ] = Y[k]+e-”Z[k]

4

Capítulo 1. Introducción. 1. I-

.2 .d

:i X [ k + N / 2 ] = Y[k]-;’”Z[k]

Las ecuaciones 4 y 5 son complejos conjugados, esto ayuda a que el cálculo se haga más rápido y eficiente.

1.2.4 Transformada de tiempo corto de Fourier (STFT).

En un intento por corregir la deficiencia que tiene Fourier para detectar componentes transitorios, en 1946 Dennis Gabor adapta la transformada de Fourier para analizar solo una pequeña parte de la señal. A la adaptación de Gabor también se le llamó “método de ventanas”. Este método usa ventanas de muestreo que se recorren en tiempo; a partir de la información contenida en la ventana se obtiene una representación de la señal tanto en tiempo como en frecuencia.

La desventaja es que para uná buena representación en tiempo da una mala representación en frecuencia, y viceversa. Esta adaptación da buenos resultados para algunas señales y la información en tiempo y frecuencia que propoFciona puede ser muy útil.

1.2.5 Ventanas de muestreo ,

El propósito de la función ventana es seleccionar un número finito de muestras de la señal de entrada. En la figura 1-3 se muestra un ejemplo de una señal triangular que se hace pasar por una ventana rectangular. En la figura 1-3.d se aprecian las muestras que pasaron a través de la ventana.

”

.. .

n c) Fiuiciou ventma d) Seaal enveutamde

Figura 1-3. Efectos de la ventana de muestreo

Existen muchos tipos de ventanas, las más comunes son la rectangular, Hanning, Hamming, Blackman y Kaiser. Aunque algunas parecen muy similares, la diferencia entre ellas radica en su respuesta en frecuencia. Estas ventanas se ilustran en la tabla 1-1; además de acotar el intervalo de muestreo, también modifican las amplitudes de las muestras.

5

Detección de interarmónicos usando woveleis

O < n < p Rectangular 4n]= 1, p I n < p + a b c n > p + a b

para n=35

6

Capítulo 1. Introducción

2 m N-1

4n]=0.42+0.5cos- Blackman

4m + 0.08~0~- N-1

>ara n=35

1.2.6 Fuga espectral

En el proceso de filtrado la señal de entrada pasa por una ventana y el resultado se convoluciona con la función del filtro. La representación en el dominio de la frecuencia de las ventanas de muestre0 suelen tener lóbulos laterales, como se muestra en la figura 1-4.

Figura 14. Representación en tiempo y frecuencia de la ventana Hamming.

1

Detección de interarmónicos usando wavelers .-

Si la ventana elegida no es lo suficientemente grande en relación al periodo de la señal que se quiere muestrear, se corre el riesgo de convolucionar la señal de entrada con los lóbulos laterales de la ventana.

Como efecto de esta convolución se produce energía en bandas de frecuencia que no corresponden a la señal de entrada original. A este fenómeno se le conoce como derrame o fuga espectral.

Los métodos basados en la transformada de Fourier se utilizan para la detección de componentes armónicos. La desventaja que se presenta cuando se usan estos métodos para detectar interarmónicos, es que suele presentarse el fenómeno de fuga espectral. Este fenómeno hace dificil la detección de componentes interarmónicos, pues en algunas ocasiones estos componentes son de amplitudes reducidas y a frecuencias cercanas a las de las componentes armónicas.

1.3 ESTADO DEL ARTE

La expansión en series de Fourier es una buena técnica de análisis ya que su programación y procesamiento requieren poco tiempo, permitiendo su aplicación a procesos en tiempo real. Debido a ello se han hecho varios intentos para aplicar esta técnica en el análisis de señales con componentes interarmónicos. Para aplicarla es necesario que se cumplan las siguientes condiciones:

> 9

La forma de onda debe ser periódica y estacionaria.

Satisfacer el teorema de Nyquist, ya que de lo contrario aparecen “alias” de la señal muestreada. . 9 La ventana de muestre0 debe incluir un número entero de ciclos de la señal, de lo contrario

.. aparece la llamada “fuga espectral”.

Por lo general, las primeras dos condiciones se cumplen sin dificultad. La tercera condición suele depender de el tipo de ventana utilizada El problema a resolver consiste entonces en diferenciar

.’ entre los interarmónicos y la fuga espectral, y se hamplanteado diversas soluciones; . .

Con la finalidad de detectar interarmónicos, Igor Zhezhienko en [ 5 ] obtiene una referencia espectral a partir de la DFT; sin embargo, el resultado no es un sistema muy preciso. Para obtener una mejor respuesta en sistemas variantes en el tiempo, este mismo autor propone el uso de la STFT; pero persiste el problema de la fuga espectral.

A. Testa y D. Gallo plantean en [6,7] una solución para evitar la fuga espectral. Esta consiste en el empleo de la ventana Hanning en lugar de la rectangular que se usa comúnmente. El problema con este sistema es que presenta fallas de detección cuando los componentes de hallan cercanos o en el límite del intervalo de frecuencias de la ventana.

En la referencia [8] los mismos autores plantean hacer un doble proceso de análisis. Usar inicialmente la DFT con una ventana Hanning para evaluar las amplitudes, fases y frecuencias de los armónicos. Una vez encontrados éstos se filtran de la señal original. A la señal resultante se le aplica nuevamente el proceso y así se obtienen los componentes interarmónicos. La efectividad de este

8

+ c1 'I. ..

Capítulo 1. Introducción. .-

método es buena y está directamente relacionada con la precisión obtenida en la etapa de filtrado inicial. Su desventaja principal es la sensibilidad que presenta respecto a la ventana adoptada en la segunda parte del proceso.

En la referencia [9] Joep Jacobs plantea el uso de la transformada dq para la detección de interarmónicos y subarmónicos. Esta técnica presenta buenos resultados en la detección de IA, especialmente para frecuencias mayores a 250 Hz, ya que para componentes menores pueden estar muy cercanos en frecuencia, lo que dificulta el diseño del filtro. Para el filtrado de interarmónicos de menor frecuencia, emplea un filtro digital pasa altas de segundo orden. Una de las desventajas de este método es que la frecuencia del componente debe ser conocida, para así generar la referencia, sin embargo son pocos los casos donde se sabe qué componentes aparecerán. Otra desventaja es que reduce en un'pequeño porcentaje las referencias de los armónicos 5" y 7'.

Otra técnica usada para detectar componentes interannónicos es la de muestreo síncrono. Esta consiste en muestrear la señal a una frecuencia elevada y después seleccionar las muestras que se usarán en la DIT, para esto esnecesario un algoritmo de selección de muestras. En la primera parte se usa un algoritmo de búsqueda paraobtener la frecuencia de muestreo sincronizada con la frecuencia fundamental, permitiendo reducir la fuga espectral. Este proceso también puede hacerse mediante un PLL que genere la frecuencia de muestreo. La desventaja de este procedimiento es que depende del período y de la'ifrecuencia de muestreo. Para más detalles pueden consultarse las referencias [IOJ I].

El método Prony se emplea para la detección de componentes interarmónicos, debido a que tiene una estrecha relación con los algoritmos de predicción lineal o mínimos cuadrados. Es un procedimiento muy efectivo p k a señales distorsionadas y su precisión depende de la distorsión de la señal, la ventana de muestreo y el número de muestras tomadas en el proceso. Su desventaja principal es el tiempo de procesamiento largo [12,13].

Una técnica relativamente nueva para el procesamiento de señales es la transformada wavelet. Esta herramienta se ha aplicado con éxito al procesamiento de señales de diversos tipos, encontrándose que resulta ser muy efectiva para analizar señales no periódicas.

La transformada wavelet se ha-usado con buenos resultados pára la detección de componentes armónicos; sin embargo, hasta ahora existen pocos los trabajos enfocados específicamente a la detección de interarmónicos. "

Una de las referencias que presenta una aplicación de transformada wavelet para detección de interarmónicos es la [14], donde T. Keaochantranond la emplea para encontrar componentes armónicos e interarmónicos. Se utiliza la wavelef Daubechies 40 y a los resultados de cada descomposición se le aplica"un cambio de escala para leer directamente las amplitudes de las frecuencias que contiene cada sub-banda de frecuencia.

Otra referencia en la que se encuentra esta aplicación es la [IS]. Aquí los autores plantean un método adaptivo a través de,,la técnica Newton para, en conjunto con la transformada wavelet, predecir los niveles con los cuales aparecerán los componentes armónicos e interarmónicos.

9

Referencia Técnica

[5,17,18] Fourier

1[6,7] IDFT y Hanning

Notas Empleado para detección de armónicos No aplicable a análisis de comentes y voltajes no periódicos Mayor efectividad con ventanas Hamming Se reducen errores por fugas espedrales

errores cuando los 6nicos están cerca del límite de 1

[6,7,81

[91

]Frecuencia I I I

En la segunda etapa se detectan los ínta

Sensible a la ventana elegida en la 2" Doble etapa armónicos.

2". DFT y Hanning oetapa Rectangular Buena precisión y robustez

Transformada dq Detecta componentes a altas frecuencias Los 5" y 7" armónicos son reducidos Frecuencias menores a 250Hz necesitan pasar por filtros pasa altas digitales Emplea PLL para generar fs

Detecta fase, hcuencia y amplitudes par filtrar armónicos. 1". DFT y Hanning

t10,111 Muestrea a frecuencia elevada y seleccio-

Reduce fugas espectrales Método de estimación espectral basado en

Auto-ajuste Algoritmo de búsqueda nar muestras que se en DFT

I I predicción lineal Expresado como una combinación lineal de exponenciales Algoritmo de procesamiento pesado y largo tiempo de procesamiento Poderoso uara sistemas de comuorta-

10

Daubechies 4 para encontrar componentes armónicos e interarmónicos.

1141 Wavelets Lee amplitudes en cada sub-banda de frecuencia Método adaptivo mediante la técnica Método de Newton para predecir los niveles con los cuales aparecerán los componentes armónicos e interarmónicos Algoritmo de análisis en tiempo real de señales periódicas y no periódicas. Intervalo de detección de 5 kHz a 78 kHz.

U61 Detecta algunos componentes armónicos. Implementado en procesador AMD Athlon Descompone la onda en señales finitas en

t151 Wavelets

Wavelets

tiempo i17J 81 Wavelets Más robusto

También puede ser empleado para inter-

1.4 J U S T I F I C A C I ~ N .

Aún cuando los componentes interarmónicos son de amplitudes reducidas en relación a los armónicos, se ha comprobado que producen fallas considerables en los sistemas. Los efectos que se observan cuando se tienen componentes interarmónicos presentes pueden ir desde el sobrecalentamiento hasta la destrucción de componentes; además son capaces de producir perturbaciones en la etapa de control de los filtros activos ocasionando problemas tales como comentes elevadas en la etapa de potencia, tensión inestable en el bus de CD o comportamiento dinámico inferior al previsto.

La necesidad de detectar los componentes de frecuencia en diversas señales, ha llevado a l a exploración de diversas técnicas, y la combinación de algunas otras. Aunque las técnicas basadas en Fourier han dado buenos resultados para armónicos; en interarmónicos el problema de la diferenciación entre los componentes interarmónicos y la fuga espectral no se ha resuelto de manera concluyente.

No puede hablarse de cargas en las cuales solo se tengan presentes componentes interarmónicos, ya que siempre se verán acompañados de armónicos. Sin embargo, a diferencia de estos últimos, existen pocos esfuerzos por detectar los IA. Algunas de las soluciones reportadas en la literatura técnica requieren de un esfuerzo computacional intensivo, lo que excluye su aplicación en tiempo real, mientras que otras soluciones ofrecen poca precisión.

Por los motivos antes detallados se hace necesario estudiar una técnica de detección de componentes interarmónicos. Con esa finalidad se propone emplear transformada wavelet como herramienta de detección.

8 5 - 0 0 0 2 11

Detecciónde interamónicos usando wavelets .”

La teona de transformada wavelet se conoce con diversos términos; durante su desarrollo se le conoció con el nombre de “ondelettes”, posteriormente se tradujo al inglés como “wavelets” y en español algunos autores traducen como “ondeletas” u “onduletas”. Para el presente trabajo se

,e empleará la palabra wavelet ya que es el término más empleado en las referencias.

1.5 OBJETIVOS.

El objetivo principal de este trabajo de investigación consiste en explorar las técnicas basadas en wavelets, que permitan desarrollar un sistema capaz de detectar los interarmónicos presentes en la forma de onda de comente. En otras palabras, se trata de determinar si la transformada wavelet, en alguna de sus versiones, es capaz de detectar de manera efectiva los componentes interarmónicos presentes en una señal dada.

Como segundo objetivo se tiene la construcción de un sistema de detección basado en la transformada wavelet seleccionada. Esta herramienta se contempla para trabajos futuros, para efectuar un estudio de efectos de los componentes IA sobre determinadas topologías o cargas.

Dentro de los objetivos particulares se tienen contemplados los siguientes puntos:

k Análisis de las diferentes versiones de la transformada wavelet, para determinar cual es la mejor para el desarrollo del sistema.

k

P

>

Diseño y simulación del algoritmo de la señal para tratamiento de la señal.

Implementación del algoritmo diseñado en el punto anterior, en un dispositivo DSP o FPGA.

Realización de pruebas con diversas señales, para comprobar el funcionamiento del sistema. ,

12

Capítulo 2 Transformada wavelet. En el campo del procesamiento digital de señales la herramienta más comúnmente usada es la

transformada de Fourier. Esta es una buena alternativa cuando se trata de procesar señales periódicas, pero resulta deficiente cuando se trata de señales variantes en el tiempo. Adem& es sensible alfenómeno de fuga espectral. Con la necesidad de procesar señales sísmicas, un grupo de cient$cos se reunió para encontrar una forma de analizar dichas formas de onda. De esta reunión nace lo que ahora conocemos como transformada wavelet. La transformada wavelet es un recurso muy eficiente para analizar señales no periódicas o que presentan transitorios.

En el capítulo anterior se presenta la problemática que genera la introducción de componentes interarmónicos en la red de alimentación. Se plantea además una alternativa para la detección de dichos componentes. En el presente capítulo se presenta el desarrollo de la transformada wavelet enfocada hacia el filtrado digital de señales.

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS.

2.1.1 Cronología.

Hacia 1807 el ingeniero y matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier presentó su teoría, la cual afirma que cualquier función periódica se puede expresar como una sumatoria de ondas senoidales y cosenoidales de distintas frecuencias, o mediante sus funciones exponenciales complejas equivalentes. Debido al escepticismo que esta teoría generó, su articulo no se publicó sino hasta 15 años después. Ya para finales del siglo XiX su teoría abarcaba aplicaciones en casi todos los campos de la ciencia.

En 1909 el matemático húngaro Alfred Haar desarrolló una teoría en la que propone ia descomposición de una señal a partir de una forma de onda que consiste de un breve impulso positivo seguido de un breve impulso negativo, como se muestra en la figura 2-1.

L..

1

I I €

0.5 1

-1 . ..

Figura 2- 1. Descomposición Haar.

Detección de interarmonicos usando Waveiefs.

Posteriormente el ingeniero petrolero Jean Morlet ayudado por el físico cuhtico Alex Grossmann, plantearon una manera de descomponer las señales sismicas en lo que 61 llamó “wavelets de forma constante”. Durante el desarrollo de su trabajo, se le conoció a la teoría con ei nombre de “ondelettes”, que fue traducido al inglés como “wavelets” y que en español algunos autores traducen como “ondeletas” u “onduletas”. Es precisamente en un artículo publicado por ellos donde se introduce por primera vez en el lenguaje matemático el término “wavelet”, esto en el año de 1984.

Para 1985 Yves Meyer desarrolla las primeras wavelets ortogonales suaves y, en 1987 la científica Ingid Daubechies construye las primeras wavelets ortogonales con base sólida. SUS wavelets hacen de la teoría wavelet una herramienta matemática sencilla y práctica.

Si una onda (o “wave”) se define normalmente como una función oscilante en tiempo o espacio (como ejemplo tenemos las ondas sinusoidales), una “wavelet” puede describirse como una onda pequeña, que tiene su energía concentrada en el tiempo y cuyo valor promedio es cero. En la figura 2-2 se muestra un ejemplo de una onda y una wavelet, en 2-2.a se ilustra una onda periódica mientras en 2-2.b se puede ver una wavelet.

a) Forma de onda periódica. b) Wavelet

Figura 2-2. Onda Periódica y wavelet. .

2.1.2 Definiciones.

La transformada wavelet propone que una señal o función f(t) puede analizarse, describirse yío procesarse si se expresa como una descomposición lineal mediante la ecuación:

donde i es un índice entero para la suma finita o infinita, a/ es el conjunto de coeficientes de los términos de la serie y v/(t) es el conjunto de funciones reales de t, también llamado conjunto de expansión wavelet o wavelet madre.

14

Existe un gran número de wavelets madre, las que se distinguen por tener tres características generales:

1. Es generadora de un grupo de bloques o funciones que sirven para representar una señal o función. !I

2. La expansión de señales por transformada wavelet da una localización en tiempo- frecuencia de la señal; esto significa que se puede hacer una buena representación de la señal tanto en frecuencia como en tiempo mediante pocos coeficientes de expansión.

3. El cálculo de los coeficientes de la sumatoria se hace de manera eficiente en relación al número de operaciones requeridas. La transformada wavelet requiere el mismo número de operaciones que la transformada rápida de Fourier (FFT).

La transformada wavelet es un método de análisis que descompone la onda en señales básicas en el tiempo y en contenido de frecuencia. De modo similar a Fourier, que representa las señales mediante el uso de funciones seno o coseno, la transformada wavelet hace una expansión de la forma de onda original. Esta expansión se hace con base en una wavelet principal llamada “wavelet madre” y de una función de escalamiento a la que algunos autores manejan como “wavelet padre”.

La wavelet madre pasa por un proceso de escalamiento y dilatación, de este modo se obtienen nuevas wavelets (llamadas por algunos autores wavelets hijas), que funcionan de modo similar a la transformada discreta de Fourier en tiempo corto (STFT)[lI]. Las nuevas versiones de la wavelet madre se emplean como una ventana modulable y escalable que se recorre a través de la señal para calcular cada posición dentro del espectro. En la figura 2-3 se muestra un ejemplo de wavelet madre escalada. El escalamiento se realiza en relación a la amplitud de la wavelet madre y al tiempo.

J

3

I 2 3 4 5 6 7 8 Figura 2-3. Wavelet escalada.

Para el ejemplo de la figura anterior se usó una wavelet madre tipo sombrero mexicano (Mexican Hat), en el primer nivel (traza inferior) se ve esta wavelet en su versión original. Para el segundo

15

Detección de intermónicos usando Wavelets.

nivel ( t raa intermedia) se aprecia la misma wavelet pero escalada una vez, mientras que en el tercer ciclo (traza superior) se muestra la wavelet escalada dos veces.

Conforme se incrementa el nivel de escalamiento, el periodo (o ancho de pulso) de la wavelet hija es menor, como consecuencia la frecuencia con que ésta wavelet muestrea la señal es mayor.

En términos de la resolución se puede decir que, si es una escala baja (la ventana o el ancho de la wavelet es grande) se apreciará una aproximación de la señal, mientras que si la escala es alta (ventana o wavelet pequeña) podrán verse los detalles de la señal. A este proceso también se le conoce como multirresolución ya que, como su nombre lo indica, realiza un análisis de la señal a varias resoluciones.

Físicamente se puede ver este análisis como una descomposición de la señal original en diferentes sub-bandas de firemencia. Este concepto se tratará con mayor profundidad más adelante.

individualmente cada wavelet madre presenta varias propiedades, las más importantes son:

1 .Es una función oscilatoria, definida en un intervalo de tiempo; fuera de este intervalo su valor es cero.

2. Su amplitud decae rápidamente a cero.

3. Su amplitud promedio es de valor nulo

4. Tiene al menos un momento de cruce por cero (“vanishing moment”).

5. Tiene un número finito de coeficientes no nulos.

6. Ortogonalidad.

Dentro de estas propiedades la más deseable para el análisis de señales es la de ortogonalidad, ya que permite un filtrado más exacto. Cuando se emplean este tipo de wavelets, la señal se

-descompone en espacios deseñal ortogonales.

Cabe aclarar que no todas las wavelets que existen en la actualidad cumplen todas las propiedades anteriores, lo que da lugar a diversas clasificaciones. Una de las clasificaciones más común es la siguiente:

9 Ordinarias. Cumplen las propiedades básicas (1 a 4).

9 Ortogonales con soporte compacto.

9 Biortogonales con soporte compacto.

El soporte compacto es una característica de algunas wavelets que implica que, fuera de cierto intervalo de tiempo, el valor de la wavelet es cero. Esta particularidad se traduce en un número finito de coeficientes para los filtros y hace posible la implementación de bancos de filtrado.

16

Capitulo 2.' Tránsformada Wavelet.

Si se analiza una señal con una wavelet de soporte compacto, la sumatofla de la ecuación (6 ) tendrá un número finito de términos. Normalmente este tipo de wavelets son las que presentan una caída en frecuencia más rápida, por tanto son muy útiles para filtrado de señales.

Ejemplos de este tipo de wavelets son la Daubechies, Morlet, Symlet y Coifret que tiene soporte compacto en el dominio del tiempo. Estas se ilustran en la figura 2-4.

a) Wavelet madre Coifet b) Wavelet madre c) Wavelet madre Syrnlei.

Figura 2-4. Ejemplos de Wuvelets madre con soporte compacto. Daubechies

Existe otra categona de clasificación de wavelets, relacionada con la función de escalamiento y los filtros de respuesta finita al impulso (FIR por sus siglas en inglés):

P Ortogonales con filtrado FIR. Estas wavelets pueden definirse a través del filtro de escalamiento. Algunos ejemplos de este tipo de wavelets son las familias: Haar, Daubechies, Cozjlets y Symlet.

> Biortogonales con filtrado FIR. Se definen a través de dos filtros de escalamiento, uno para descomposición y otro para reconstrucción. Un ejemplo de estas es la familia BiorSplines.

.. P Ortogonales sin filtrado FIR pero con función de escalamiento. Pueden definirse

mediante la definición de función wavelet y de la función de escalamiento.

P Wavelets sin filtrado FIR y sin función de escalamiento. Estas se especifican mediante la definición de la función wavelet. Familias predefinidas de esta categoría son la Morlet y la Mexican-Hat.

P Wavelets complejas sin filtrado FIR y sin función de escalamiento. Se especifican mediante la definición de la función wavelet. La función Gaussiana Compleja y la Shannon son ejemplos de este tipo de wavelet.

La teoría wavelet se ha aplicado en muchos campos y se han analizado señales de muy diversos orígenes. Gracias a los buenos resultados se ha comprobado la efectividad de este análisis; las justificaciones más relevantes que se han encontrado son:

17

Detección de interarmónicos usando Wavelets.

I . La expansión wavelet permite una mayor precisión en la descripción de las características de una señal determinada.

2. Son adaptables y ajustables, porque es posible diseñar wavelets madre de

3 . La generación de wavelets hijas así como el procesamiento por transformada acuerdo a la aplicación.

discreta wavelet se implementan fácilmente en procesadores digitales.

2.2 APLICACIONES.

La transformada wavelet surgió a partir de la necesidad de procesar señales sísmicas, pero quizás los investigadores que la desarrollaron no pensaron el alcance que tendría esta herramienta. Los campos en los que la transformada wavelet se ha aplicado han sido muy variados y van desde la astronomía, acústica, ingeniería nuclear, procesamiento de señales, óptica, turbulencia, sismología, radar, matemáticas puras, música y visión. Dentro del área de las matemáticas se usa para la solución de ecuaciones diferenciales y para probar la naturaleza atómica de las funciones de espacios.

En el área de procesamiento de señales, usando transformada wavelet se pueden estudiar fenómenos tales como cambios de periodo en la señal, discontinuidades en la onda, compresión de datos, procesamiento de imágenes y sonido, estimación espectral, eliminación de ruido, clasificación de señales, reconocimiento de voz, proCesamiento de señales sísmicas y geológicas, procesamiento de señales e imágenes médicas y biomédicas.

En el campo de las comunicaciones, los bancos de filtrado pueden usarse como transmultiplexores, para combinar varias señales en un canal de entrada. Otra área de uso para la transformada wavelet es la de filtros adaptivos que se usan, por ejemplo, para la cancelación de eco en las líneas telefónicas o para ecualizar canales de comunicación.

Se usa también para análisis de procesos que presentan características fractales; debido a que la transformada provee información a diferentes escalas, facilita el reconocimiento de patrones. Un

2.. ejemplo de este tipo de casos es el análisis de tráfico-en comunicación de datos, donde las gráficas de tiempos de llegada de los paquetes presentan características fractales

I En 1992 el FBI adoptó el sistema wavelet para comprimir su base de datos de huellas dactilares. Su banco' de datos es de aproximadamente 30 millones de conjuntos de huellas digitales, esto es, cerca de 300 millones de huellas de dedos. Esta información debe estar a disposición de las autoridades en todo el territorio de EEUU, por estos motivos requerían una forma de almacenar la información de forma compacta y a la cual se pueda acceder de manera rápida. La puesta en marcha de esta técnica ahorra mucho espacio en memoria y asegura que no habrá pérdida de información en la etapa de reconstrucción de las imágenes. Figura 2-5.

18

.-

Figura 2-5. Compresión de imágenes mediante wavelefs.

Otra aplicación famosa es la que le dan los estudios Pixar, que en su película Toy Story2 usan tknica de superficies de subdivisión para realizar algunas formas y dibujos; esta técnica está relacionada matemáticamente con la wavelet.

2.2.1 Aplicaciones en el área de electrónica de potencia.

Las aplicaciones de la transformada wavelet dentro del área de la electrónica de potencia han sido básicamente en detección de perturbaciones o cortes en las señales, detección de cambios de frecuencia, análisis de ruido y detección de transitorios. Otra de las aplicaciones que se le ha dado a este análisis es la medición y compensación de armónicos y, más recientemente, de interarmónicos. Dentro de este campo las wavelets más utilizadas han sido: la Haar y la Daubechies.

En la tabla 2-1 se resumen algunas de las aplicaciones de la técnica, a la electrónica de potencia.

Referencia

[ 19,20,21]

[23,24,25,26,27]

Tabla 2-1. Wavelet madre

H W

Daubechiesl O H m

Daubechies

Sausiana Daubechies 46

:ntesis de documentos revisados uso Medición de agnónicos variantes en el tiempo y extracción de frecuencias de ruido

Empleo de toolbox de Matlab, para analizar un conjunto de señales del mundo real. Detección de perturbaciones rápidas y cortas.

Esquemas de reducción de ruido. DB4. Análisis de señales para detección y análisis de transitorios en tiempo real. DBlO. Detección análisis y estimación de perturbaciones por transitorios y armónicos. Distorsión Armónica

~ ~

Análisis de armónicos en un banco de capacitores.

19

Morlet, Daubechies(4) Coiflet(4) Symlet(5)

[361 I

Detección de transitonos, compresión de señales.

[37]

bleyer dyadic orio- iormal Iyadic

jabor

:ha& rlo especificada [38]

Análisis de señales de voltaje y comente. Análisis de armónicos en sistemas de potencia variantes en el tiempo. Detección de interannónicos. Detección de picos de comente para uso en electrónica de potencia. Análisis de señales de redes de potencia Análisis de transitorios.

Biortogonal(3.i)

Morlet

Daubechies, Seylkin, Vaid yanathan

Emplean “wavelets network”, para detección y clasificación de transitorios.

Extracción y separación componentes transitorios. Plantea modelo haciendo una comparación entre wavelets. Wavelet package

En síntesis, la aplicación más común dentro del área de electrónica de potencia es la detección de transitorios seguido de la detección de armónicos; siendo la wavelet Daubechies la mas empleada (en sus diferentes versiones). En los artículos referidos la forma mcis utilizada para procesar la transformada wavelet es el toolbox de Matlab.

2.3 TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT).

La transformada wavelet surgió para dar solución a problemas de tipo analógico pero, conforme evolucionó, se acentuó la necesidad de relacionarla con sistemas de procesamiento digital. Se desarrolló así la transformada discreta wavelet (DWT por sus siglas en inglés). ..

Se dice que una señal de entrada es discreta si consiste de una secuencia definida sólo en ciertos instantes de tiempo; la expansión wavelet de esta señal se llama una transformada wavelet discreta en el tiempo. Se mapea una secuencia de números de la misma manera como se hace con la transformada discreta de Fourier (DFT), sin embargo no se requiere de una señal sea de duración finita o periódica como en el caso de la DFT.

2.3.1 Multirresolución de los sistemas wavelet.

La teoría de multirresolución en los bancos de filtrado y la transformada wavelet son teorías muy unidas, gracias a las científicas Stephanie Mallat e Ingrid Daubechjes que en 1988 y 1989 desarrollaron una teoría que las relacionaba.

i

20

- Capiiulo 2. Transfomada Wavelet.

.-

Tanto la interpretación matemática como práctica de la teoría wavelet, implican el concepto de resolución para definir los efectos que presenta la señal analizada con los cambios de escala. El nombre de multirresolución se debe a que el resultado de la descomposición wavelet se puede ver como una colección de representaciones en tiempo-frecuencia de la señal, cada una de éstas con una resolución diferente.

En la figura 2-6 se muesFa un ejemplo de análisis de multirresolución. En este caso se trata de analizar una señal con dos resoluciones. En la figura 2-6.a se observa la señal de entrada analizada a una resolución inicial s = O. En la figura 2-6.b se analiza a la misma señal de entrada pero con una resolución s = 20. Las resoluciones son resultado del proceso de escalamiento aplicado a las funciones wavelet madre

Además del escalamiento, en la figura 2-6 se ilustra también el proceso de traslación. En 2-6.a y 2-6.b se muestra como la ventana de muestreo (área sombreada) se recorre a través del tiempo. Cuando se maneja un escalamiento a1to;'como en la figura 2-6.q Sé tiene una frecuencia de muestreo alta y gracias a eso se logran captar los detalles finos de la señal analizada, esto es, los componentes de frecuencia alta. Cuando se emplea una escala baja, como en la figura 2-6.b, la frecuencia de muestreo también lo es y con esto se captan los componentes de frecuencia baja, pues se analiza la señal a gross0 modo.

Esta idea de multirresolución se pensó para representar señales donde un evento individual se descompone en los detalles más finos. La propiedad de multirresolución hace que la transformada wavelet sea una buena solución para detectar problemas de transitorios o pequeñas variaciones en la señal de entrada.

Detección de interarmónicos usando Wavelets. _*

2.3.2 Función de escalamiento y generación de función wavelet.

Para poder aplicar el análisis de multirresolución es necesario contar con la función de escalamiento y con la wavelet madre. Para simplificar el cálculo de los coeficientes de la sumatoria, en la mayoría de las aplicaciones se busca que las funciones de escalamiento y wavelet sean ortogonales.

La función de escalamiento y(S, es una h c i ó n base y generadora de nuevas funciones de escalamiento. Se dice que es una función generadora porque al aplicarle las operaciones de escalamiento y traslación se obtienen nuevas funciones de escalamiento (que algunos autores llaman funciones de escalamiento hijas).

La función de escalamiento se puede definir como la solución de la ecuación recursiva:

La wavelet básica se puede generar a partir de la función de escalamiento mediante la siguiente ecuación:

donde n es un número entero y h,(n) es el conjunto de coeficientes asociados a cada wavelet. La fuiición generada por la ecuación (8) es conocida también como wavelet madre. Esta función wavelet 'y#) es también generadora de nuevas funciones wavelet hijas, que se utilizan para describir mejor una señal. La generación de las wavelet hijas es por medio de la ecuación:

'y j , ~ ( 2 ) = 21'2 'y(2' t - k ) (9)

donde 2j es el factor de escalamiento en el tiempo t que da el efecto de multirresolución, k es el término que implica- la traslación en t y el término 2j" es el encargado de mantener la norma de la wavelet a diferentes escalas.

. . .

AI aplicar las operaciones de traslación y escalamiento a la función wavelet madre se genera un espacio 6 que es ortogonal al que se genera cuando se aplica el mismo proceso a la función de escalamiento básica.

Las ecuaciones (7) y (8) generan espacios en el plano bidimensional de modo que cualquier función en este plano puede escribirse de la forma:

1 k k j = j ,

donde j o puede ser cero o negativo. Los coeficientes c y d se conocen como la transformada discreta wavelet (o DWT) de la señal f(t). Estos coeficientes tienen la capacidad de describir la

22

Capitulo 2: Transformada Wavelet

_-

señal original y se pueden usar de manera similar a los coeficientes de Fourier para las operaciones de análisis, descripción, aproximación y filtrado de señales.

Partiendo de la base de que el sistema wavelet es ortogonal, los coeficientes pueden calcularse mediante los productos internos:

donde las funciones base p,(t) y w,,t(t) son funciones o variables numéricas adimensionales.

2.3.3 Bancos de fütrado y la transformada discreta wavelet.

En ciertas aplicaciones no es posible procesar directamente señales usando las funciones de escalamiento y wavelet, por lo que es necesario recurrir a los coeficientes wavelet. Para trabajar directamente con ellos es necesario derivar una relación entre los coeficientes de expansión q(k) de un nivel de escala dado, con los coeficientes cj+l(k) de la escala (nivel de descomposición) inmediata superior. Se parte de la función de escalamiento recursiva:

aplicando los términos de traslación (k) y escalamiento(2‘):

p ( 2 ’ t - k ) = C h ( n ) f i v ( 2 ( 2 ’ t - k ) - n ) =Ch(n)fip(2jf1t-2k-n) ” n (14)

usando m = 2k + n para simplificar la ecuación:

v(2’t-k) = C h ( m -2k)JSp(2’+’t-m) .. >fi (15) *

siguiendo un procedimiento análogo para la. función wavelet y nuevamente tomando a la ecuación (4) como base tenemos:

Y(2J t - k ) = 1 &h(m - 2k)p(2’“ t - m) “8

Todas las traslaciones de las funciones de escalamiento 2”249(2jt-k) en una escalaj se pueden representar como un grupo de funciones en un sub-espacio llamado 4. Una función f(t) en este grupo puede describirse por medio de una suma ponderada de estas funciones de escalamiento:

23

Detección de interannónicos usando Wavelets.

f ( t ) = C c , ( k ) 2 / / * a > ( 2 / t - k ) (1 7)

Así pues, el grupo de funciones en el sub-espacio ,$+I se puede describir por la traslación de las

en una escalaj+l. Una fimciónfo) en este grupo se

k

2íl+1)/2p(2íJ+l)f - k ) funciones de escalamiento puede escribir como una suma ponderada de las funciones de escalamiento en la escaiaj+l:

f ( t ) = ~c j+ , (k )2”+”’*p(2 ’+’ t - k ) k

Si un espacio sj+l contiene solamente los sub-espacios sj y W$ se puede decir que:

s,, = sj u wj

u Figura 2-7 Diagrama de sub-espacios.

Se puede expresar entonces a f(t) en términos de las funciones de escalamiento y wavelet en la escala j:

f ( t ) = ~ c j ( k ) 2 j ~ 2 a > ( 2 j f -k)+Cd,(k)2”2y1(2’t - k ) k k

De la ecuación anterior se deducen las ecuaciones de análisis, que se pueden encontrar empleando el producto interno:

Para obtener los coeficientes cfi) se sustituye 13 en 21:

C j ( k ) = Jf( t )2”2Ch(rn - 2k)JSa>(2’”t -rn)dt n,

24

c j (k ) = C h ( m m 2k)~f( t )2”1’2q>(2”1t - m)dt

Ya que la integral es el producto interno de la función de escalamiento para la escala j + l , la expresión para los coeficientes cfi) puede escribirse como:

Para obtener los coeficientes d se sigue el mismo procedimiento. El resultado es:

Las ecuaciones (24) y (25) se emplean para calcular la transformada discreta wavelet. Puede notarse que la única diferencia entre ellas consiste en los coeficientes ho y hi, que representan las funciones de escalamiento y wavelet respectivamente.

En procesamiento digital de señales, para filtrar una señal representada por un conjunto de coeficientes, se convolucionan estos coeficientes con un segundo conjunto que representa la respuesta ai impulso del filtro (coeficientes del filtro). Para una secuencia de entrada x f i ) y un conjunto de coeficientes de un filtro determinado hfi) la secuencia de salida está dada por:

N y ( n ) = x [ k ] * h [ k ] = x h ( k ) x ( n - k )

~

k=O

donde N es el número de coeficientes del filtro. Cuando N es finito se dice que so trata de un filtro de Respuesta Finita al impulso (FIR por sus siglas en inglés). En el caso de que N sea infinito se trata de un filtro de Respuesta Infinita al Impulso (IIR).

Puede observarse la similitud entre la fórmula de convolución y las fórmulas para el cálculo de los coeficientes de la transformada discreta wavelet c y d, salvo dos diferencias. La primera es el orden de los coeficientes y la segunda es el factor de dos que afecta al término k. Este valor de dos implica que existe una doble rotación (en términos de la convolución), lo que también puede verse como un muestreo (o down Sampling) en un factor de dos.

.

Los coeficientes ha y h/ de las ecuaciones (24) y (25) representan la respuesta al impulso de las funciones wavelet y de escalamiento. Para obtener la respuesta en Cecuencia de estas funciones se emplea:

sobre los coeficientes de descomposición ho y hl. De esta manera se obtiene la respuesta en kecuencia de las funciones wavelet y de escalamiento. Para el caso específico de la wavelet madre Dmeyer, al aplicar la ecuación (27) se obtienen los diagramas mostrados en la figura 2-8.

25

Detección de interamónicos usando Wavelets.

..........,....... 1 ...... ,.... 1 ~ ., I .....I~ ....... ....... .~ .........

Figura 2-8.

~ ..,... ............... ......... I ....... .. . I ........ I ............... I... .....

i .... ~ ...... }... ....... 1 ....,......... i ...... I ...... ........ ~ I I""'

............................ ..... ~ ..............................

........ ..... .. ... ...... ... ..l ...... ....... .... ... ........ .... ... I 1 '"1 Respuesta en frecuencia de wavelet madre Dmeyer.

...

I De acuerdo a la gráfica anterior, después de cada etapa de filtrado el ancho de banda de la señal de entrada se divide en dos partes iguales. Es por esto que se puede considerar a la trasformada discreta wavelet como dos filtros: uno pasa bajas y otro pasa altas, tal como se muestra en la figura 2-9.

- Coeficientes de frecuencias bnjns

..

en tiada.

Coeficieiiter de frecuencias altas

Filtro pase-alta' Figura 2-9. Respuesta en frecuencia de la transformada wavelet .

El resultado de esta operación es una separación de frecuencias en dos bloques, en el primero se agrupan los componentes de la señal de frecuencia baja mientras que el segundo bloque contiene los componentes de frecuencia alta. A los componentes de baja frecuencia se les llama aproximaciones mientras que a los de alta frecuencia se les conoce como detalles

En las ecuaciones (24) y (25) existe un factor de dos que afecta al término k en ho y h,; este término se refiere a la operación de down sampling. Ésta se realiza después de la etapa de filtrado y consiste en descartar la mitad de las muestras obtenidas. El procedimiento consiste en tomar puntos pares o nones de la señal filtrada; por ejemplo, si se tiene una señal x(n) como entrada y se desea tbmar los puntos pares, la salida será:

26

---. capitulo 2. Transfomada Wavelet.

Por otro lado, si se desea tomar los puntos nones, la salida se expresa con la fórmula:

y (n ) = x(2n + I )

La figura 2-10 muestra un diagrama de la etapa de muestreo.

- Figura 2-10. Muestre0 (Down-sampling).

2.3.4 Algoritmo de Mallat.

El procedimiento que involucra las etapas de filtrado y down-sumpzing se llama “Algoritmo de Mallat”, en honor a que fue él quien propuso que los coeficientes de la j-ésima escala pasaran por dos filtros digitales con coeficientes h(n) y h&), para aplicarles posteriormente la etapa de down- samphg. La implementación del algoritmo de Mallat se ilustra en la siguiente figura.

i

n bj+, 1 decwmpocici6n I

... .. . .. .. Figura 2-1 1. Descomposición por algoritmo de Mallat.

El bloque de ho hace un filtrado pasa bajas (relacionado con la función de escalamiento), mientras que el h , realiza un filtrado pasa altas (relacionado con la función wavelet); el número de puntos de entrada se duplica al pasar la señal por cada uno de los filtros, de modo que al pasar la señal por la etapa de down sampling se mantiene el número original, lo cual asegura que la pérdida de información es casi nula.

El algoritmo de Mallat se puede ejecutar de manera reiterativa, tantas veces como la señal lo permita. Así se forma el árbol de descomposición, que es la base para los bancos de filtrado. La figura 2-12 muestra el árbol de análisis de dos niveles de descomposición para una señal de entrada.

21

- <

Detección de interamonicos usando Wavelets.

Figw? 2-12. Diagrama de descomposición.

Los bancos de filtrado dividen el espectro de la señal de entrada en bloques de frecuencia tantas veces como niveles de descomposición se tengan. Para este ejemplo, la señal pasa por cuatro niveles de descomposición, cada descomposición es orientada a la escala, io que significa que para la segunda etapa la señal de entrada para los bloques de filtrado será la aproximación obtenida en la etapa anterior. Así, la escala encontrada en un nivel de descomposición n, se dividirá en dos bloques de ancho de banda idéntico en la descomposición n + l .

A este tipo de filtros se les llama también filtros de “Q constante”, pues la relación entre el ancho de la banda y la frecuencia central es constante. Como resultado de este tipo de procesamiento se obtiene la señal original separada en un conjunto logarítmico de anchos de banda.

La descomposición de una señal se puede hacer de varias formas, no solamente como lo muestra la figura 2-12; también pueden hacerse árboles de descomposición completos, donde se vuelven a procesar tanto las aproximaciones como los detalles (como se muestra en la figura 2-13), lo que ofrece un análisis más completo. incluso se pueden hacer descomposiciones arbitrarias, esto es, hacer un análisis o descomposición sólo de las ramas requeridas para determinada aplicación.

~.. . . . . , .. - . .. ,

Figura 2-13. Árbol de descomposición completo. U

Por la naturaleza recursiva de los bancos de filtrado, el resultado de la descomposición es una estructura de árbol para una representación en tiempo o Frecuencia de la señal. Dentro de este esquema, de cada rama se deriva por un lado el resultado del filtrado pasa-altas (o detalles) y por

28

Capitulo 2. Transformada Wavelet

.-

otro lado el resultado del filtrado pasa-bajas (aproximaciones). A los nodos que no tienen más ramificaciones se les llama nddos terminales mientras que los nodos anteriores a este se llaman nodos internos.

2.4 SíNTESIS.

De la misma forma en que la transformada inversa de Fourier se emplea para la reconstrucción de las señales, la DWT se complementa con la transformada inversa wavelet (IDWT). La reconstrucción de los coeficientes de la señal original se hace a partir de una combinación de la función de escalamiento y los coeficientes wavelet, de la forma:

ya que para una representación completa se requiere también la función wavelet. La ecuación queda:

f ( t ) = CCj(k)2'37(2't - k ) + Cdj(k)2'/2y1(2't - k ) k k

si se sustituyen (15) y (16) en (31):

f ( t ) = CCj(k)2"+"'2 ~ ~ ( m - 2 k ~ 2 " ' t - m ) + ~ ~ j ( k ) 2 ' J ' 1 " 2 ~ ~ ~ ( m - 2 k ~ 2 ' ' ' t -m)

(32) k m Ir m

las ecuaciones de síntesis se pueden encontrar con el producto interno:

usando (33) en (30) para obtenerf(t):

(34) k

Asumiendo que las funciones de síntesis son ortogonales, la integral tendri un valor de I cuando k = m :

29

. . , . . I ,

Detección de interarmónicos usando Woveleis.

Igualando (37) con (34):

O

Intercambiando los índices m pork, se obtiene la ecuación que describe la operación de síntesis:

a la operación que se efectúa entre los coeficientes hi y los coeficientes c,d se le conoce como .. filtrado de reconstrucción, mientras que a los coeficientes h y hi se les llama coeficientes de síntesis.

Estos coeficientes guardan la siguiente relación con los coeficientes de descomposición:

2.5 UP-SAMPLING.

Durante la etapa de descomposición, la señal que se analiza pasa por una etapa de muestreo (down-sample), que reduce a la mitad los datos obtenidos del proceso de descomposición. Para el proceso de síntesis en los bancos de filtrado se requiere la operación inversa, denominada up- sampling, que duplica la longitud del vector mediante la inserción de ceros entre los números del

30

vector de entrada. En otras palabras, para un vector de entrada x ( ) se tendrá un vector y ( ) a la salida del up- sampling que cumple con:

y(2n) = x(n) y y(2n + 1) = O

La operación up-sampling se realiza antes del filtrado de reconstrucción. Este filtrado se hace de manera similar al hecho en la descomposición: se convoluciona el vector resultante del up-sampling con los coeficientes de filtrado h(n).

La reconstrucción se deberá hacer tantas veces como descomposiciones haya sufrido la señal o etapa en cuestión. Con este proceso se puede obtener una señal perfectamente reconstruida y sin distorsiones, el único cambio será un retardo con respecto a la señal original. La operación de reconstrucción o síntesis se ilustra en la siguiente figura.

C j+l

d " j U

Bloques de síntesis

C. J

Figura 2-14. Diagrama de síntesis.

La etapa de síntesis, al igual que la operación de descomposición, pertenece al algoritmo de Mallat. Este algoritmo de forma completa se puede ver en la figura 2-15.

.. .

u

Figura 2-15. Algoritmo de Mallat. -

31

-

Detección de interamónicos usando Wavelets.

.-

Las aplicaciones de este algoritmo son muy variadas pero en todos los casos su uso correcto asegura procesos de análisis y reconstrucción perfectos. AI igual que el toolbox de Matlab, los programas de descomposición y reconstrucción de este trabajo se basan en este algoritmo.

2.6 EFECTO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO.

La mayor parte de las señales que aparecen en el área de procesamiento son de naturaleza analógica, esto es, las señales son funciones de una variable continua y normalmente toman valores en un rango continuo. Estas señales pueden ser procesadas directamente por sistemas analógicos.

Otra alternativa para procesamiento de las señales analógicas es el procesado digital, pero para esto se requiere una interfaz entre la señal analógica y el procesador digital. Esta interfaz recibe el nombre de conversor analógico digital.

Las señales discretas se pueden generar muesireando la señal analógica El muestreo se describe mediante la relación:

x(n) = x,(ní")

donde x(n) es la señal en tiempo discreto que se obtiene de muestrear la señal analógica x.(t) cada Tsegundos. Esta operación se ilustra en la figura 2-16.

a) Señal analógica. b) Señal muestreada. Figura 2-16. Ejemplo de señal muestreada.

Al intervalo de tiempo T entre dos muestras sucesivas se le llama periodo de muestreo; a su inverso l/T se le conoce como frecuencia de muestreo y expresa el número de muestras por segundo.

Es importante seleccionar una frecuencia de muestreo correcta o adecuada a la señal que se esta procesando. La teoría de Nyquist establece que para que haya una buena reconstrucción es necesario que la frecuencia de muestreo sea de al menos dos veces la frecuencia de la señal por analizar. Sin embargo la práctica sugiere que esta frecuencia sea de entre seis y diez veces la frecuencia fundamental.

32

Capitulo 2. Transfosada Wavelet

Para realizar el calculo de la transformada discreta wavelet, también es importante Calcular bien la frecuencia de muestreo del sistema, puesto que influye directamente sobre las frecuencias de corte y el número de descomposiciones que pueden hacerse a una señal.

El número de puntos o muestras de la señal discreta se calcula en base al tiempo de muestreo. Este dato es necesario para calcular el número de descomposiciones que puede hacerse a la señal de entrada sin caer en error. Puede producirse un error debido a la etapa de downsampling, pues en cada nivel de descomposición reduce el número de puntos de la señal.

El número de descomposiciones n que se le pueden aplicar a una determinada señal se obtiene de la siguiente relación:

2” = número de muestras

Con la frecuencia de muestreo y el número de descomposiciones se calculan las frecuencias de corte para los diferentes bloques de descomposición. Se puede emplear la función scal2fiqs de Matlab para obtener estos valores de acuerdo a la wavelet madre elegida. Una vez que se obtuvieron es ta frecuencias se p u d e formar al diagrama de subbandas, como el que se muestra en la figura 2- 17.

Figura 2-1 7. diagrama de frecuencias de corte.

Este diagrama nos da una idea del número de descomposiciones que se requieren para localizar una determinada componente. En base a las frecuencias que se necesite localizar, o las subbandas de fkecuencia que se desee analizar, se forma el árbol de descomposición. Este árbol detalla el camino de análisis(nÚmero de niveles) que hay que pasar antes de llegar al objetivo, que puede ser una componente en especial, la señal filtrada, etc. La figura 2-18 muestra un ejemplo de este tipo de árboles de descomposición.

Detección de interannónicos usando Wavelets

.-

Señal de entrada 1 - Aproxa'mrrción 2 iktrrlfe 2 . . . &-I(=)

Figura 2-18. Árbol de descomposición den niveles.

2.7 WAVELET VS FOURIER

Una de las aplicaciones más importantes de la transformada wavelet es el procesamiento digital de señales. Dentro de este campo la herramienta por excelencia solía ser la transformada de Fourier; sin embargo, gracias a las características de la transformada wavelet, Fourier se ha visto desplazado en algunas áreas.

Fourier se basa en las funciones seno y coseno, que son perfectamente localizables en frecuencia pero no así en tiempo. Debido a esta característica, Fourier es una buena herramienta para el análisis de señales periódicas ya que presenta una buena respuesta en fiecuencia; sin embargo, es incapaz de detectar cambios de frecuencia o de amplitud dentro de las señales.

Como contraparte, la propiedad de multirresolución de la transformada wavelet hace que ésta sea una buena herramienta para el análisis de señales no periódicas o que presentan transitorios. Cuando se analiza una señal por transformada wavelet se obtiene un arreglo de coeficientes que incluyen información tanto en frecuencia como en tiempo, mientras que Fourier da información de la señal solamente en fiecuencia.

Como ejemplo de comparación se analiza una señal cuadrada con amplitudes de f 1 ; ésta es una señal periódica pero discontinua en tiempo. La señal se muestra en la figura 2-19.

Figura 2-19 Señal de entrada.

34

Capítulo 2. Transformada Wavelet,

....... : ...... L ...... ; ...... :...

o ,(. ...... A .............. A ............. ......

02 ...................... > ..................... .......(....... +.

0 ....... : ....... : ...... ...... ; ....... ; ...... 4 .......,........... * . , *

La representación en series de Fourier de una onda cuadrada viene dada por la sumatoria infinita de los términos b, de la serie mediante la fórmula:

4 b, =- n*n paran=impary

paran=par

Cuando se hace un análisis de señales con transformada rápida de Fourier (FFT), la señal de entrada se descompone en una sucesión infinita de coeficientes que representan una aproximación de la señal mediante funciones seno y coseno. AI hacer la reconstrucción mediante la operación inversa (transformada inversa de Fourier), si no se cuenta con toda la serie de coeficientes se puede obtener una señal malformada. En la figura 2-20 se muestra la reconstrucción de la señal de entrada usando solo los primeros siete t h i n o s de la serie:

42

D , 96

....... 2 .............. I ...... :.

....... A .............. I ...... 4.

..... -4 ....... ; ....... > ...:.. <. . . I I I * .

Puede. verse la diferencia entre .ambas señales ya. que en la señal reconstruida aparecen oscilaciones, producto de una sumatoria incompleta de términos así como de la discontinuidad de la señal. Este efecto es conocido como fenómeno de Gibbs; para mayores referencias se recomienda revisar la referencia bibliográfica [2].

Junto con la FFT suelen usarse ventanas de muestreo, por donde pasa la señal antes de procesarse, con la finalidad de reducir el fenómeno de fuga espectral. En la figura 2-21 se muestra la señal de la figura 2-19 procesada con dos tipos diferentes de ventana: rectangular y Kaiser. La similitud entre ambas señales es muy grande y eso hace que no se perciban diferencias notables entre ellas.

El número de oscilaciones en la señal (cuando la señal vale ii) es dependiente del número de términos que se usen para la reconstrucción de la señal, mientras que la amplitud de este rizo está relacionado con el tipo de ventana que se use. En la figura se observa que la señal que pasó por una ventana tipo rectangular presenta un rizo de mayor amplitud que la señal que pasó por la ventana Kaiser.

35

Detección de intermónicos usando Wuvelets.

Om om5 om a m o.* O.M, 0.m 0 0 5

Figura 2-21. Señal procesada con ventanas.

Otra desventaja de emplear filtros con ventanas es que, para obi un buen resultado, se requiere de filtros de orden grande; para este ejemplo el filtro que se utilizó es de orden 1814. Manejar un orden muy grande en relación con el número de puntos de la señal de entrada tiene como consecuencia que se presenten rizos a los extremos de la señal reconstruida.

Por otro lado, al analizar la forma de onda de la figura 2-1 9 con transformada wavelet discreta se descompone la señal en diferentes bandas de frecuencia, y solamente se reconstruye la banda que sea necesaria o de la cual se desee conocer su contenido.

En la figura 2-22 se muestra la aproximación número ocho reconstruida; la descomposición se hizo con la wavelet madre Haar.

. .. .....

Figura 2-22. Análisis y reconstnicción de una señal usando transfomada wavelet.

En este ejemplo se comprueba que para funciones discontinuas, la transformada wavelet produce mejores resultados que el análisis basado en las técnicas de Fourier. Parte de la ventaja se debe a que es posible definir y utilizar la wavelet madre que se adapte mejor a la aplicación.

36

Capítulo 3 Diseño e implementación de los - algoritmos de análisis y síntesis.

El procesamiento digital de señales es un área de la ciencia y la ingeniería que se ha desarrollado rápidamente durante los últimos treinta años. Esta rama de la ciencia se apoya en las tecnologias de hardware y software que continuamente están cambiando, dando pie a nuevas propuestas para mejorar las plataformas de procesamiento.

En el capítulo anterior se presentó una breve descripción del desarrollo de la transformada wavelet enfocada hacia el filtrado digital de señales. Esto servirá de referencia para el algoritmo de descomposición de señales que se detalla en el presente capítulo. Además se describe brevemente la plataforma en que se implementó este algoritmo.

I1

3.1 PROCESADOR DIGITAL DE SERALES @sP).

Debido a que la transfdnnada discreta wavelet es un método complejo, para procesar y descomponer formas de onda en tiempo real es necesaria una base computacional poderosa. Por esta razón se decidió que la implementación se haría en un procesador digital de señales, también conocido como DSP. Con teste fin se seleccionó un kit de desarrollo (DSK) que tiene como procesador central el DSP modelo TMS320C6416, de la compañía Texas Instruments. La tarjeta se ilustra en la figura 3-1.

El DSP del kit tiene una capacidad superior a 5760 MIPS, el tiempo de ejecución de una instrucción de 1.39 nanosegundos y una frecuencia de reloj de 600 MHz; además ofrece soluciones eficaces para problemas complejos de procesamiento digital de señales. Este dispositivo cuenta con la flexibilidad operacional de los controladores de alta velocidad y la capacidad numérica de los procesadores [40].

I/

Fig


No. De combinación

El DSP se comunica con los penféncos de la tq'eta de desarrollo mediante dos buses: el EMIFA (siglas en inglés de interfaz de memona externa A ) de 64 bits y el EMIFB (siglas en inglés de interfaz de memoria externa B) de 8 bits.

3.1.1 Codee AIC23.

Frecuencia de muestreo. @Hz) ADC DAC

' Entre los dispositivos de entradaísalida, la tarjeta cuenta con un codificador-decodificador (o codec) de audio, el AIC23; que permite al DSP transmitir y recibir señales analógicas en tiempo real. La entradaísalida de datos analógicos se hace por medio de cuatro conectores (jacki) de audio de 3.5 mm que corresponden a la entrada de micrófono, la entrada de línea, la salida de línea y la salida de audífonos.

El codec AIC23 se diseñó para aplicaciones de audio. Contiene un convertidor analógico-digital y otro digital-analógico. La longitud de la palabra de datos que se puede transferir es de 16,20,24 o 32 bits, con tasas de muestreo de 8 kHz a 96 kHz.

La tabla 3-1 muestra las diferentes combinaciones que el codificador-decodificador de audio permite hacer en cuanto a frecuencias de muestreo se refiere. Estas frecuencias se codifican directamente en la configuración del codificador-decodificador dentro de las declaraciones iniciales del programa y se refieren tanto a la frecuencia del convertidor ADC como del DAC.

1 96 96 2 88.2

..

88.2

~. , .

La frecuencia de muestreo mínima perinitida es de 8 kHz, sin embargo se pueden tener múltiples de esta frecuencia modifi&ndo el registro oversampling. Este parámetro afecta a cualquiera de las frecuencias de muestreo sel&oñadas, tanto del convertidor ADC como del DAC. La limitante es que el registro oversampling marieJa solo.dos valores. Para más detalles se recomienda la hoja técnica del codificador-decodificador (disco anexo).

Estos y otros parámetros se pueden adaptar a las necesidades de la aplicación y se programan mediante los once registros de control del dispositivo. Estos registros se ilustran brevemente en la

38

Capitulo 3. Diseño e implementaci6n de los algonmos de análisis y sintesis.

figura 3-2, donde se muestra el recomdo que sigue la información a través de los registros de control y datos antes de procesarse en el DSP.

A l a 3 Code 1

3.1.2 Canales de comunicación

El puerto serie McBSP (llamado así por las siglas en inglés de: Multichannel Buffered Serial Port) se divide en dos canales: uno de control (Multichannel Buffered Serial Port I o McBSPI) y uno de datos (Multichannel Buffered Serial Port 2 o McBSP2), que conectan al DSP central con los dispositivos de la tarjeta de desarrollo. Este puerto se basa en el esthdar de la interfaz del puerto serie de las diversas plataformas de procesadores digitales de señales que maneja la compañía Texas instruments. En el kit de desarrollo usado, el puerto McBSPl se usa para la interfaz de control del codec mientras que el McBSP2 se usa para el manejo de los datos.

El controlador de acceso a memoria (o EDMA por sus siglas en inglés) maneja todas las transferencias de datos entre la memoria del sistema y los dispositivos periféricos del DSP. Por medio de este controlador, el puerto McBSP puede llevar automáticamente datos seriales hacia la memoria.

Estas dos herramientas seemplean para transferir la información desde que se digitaliza hasta que el DSP la procesa. Después de procesarse, tanto el EDMA como los controladores McBSP se vuelven a utilizar para enviar la información hacia las líneas de salida. La adquisición y manejo de datos se ilustra en la figura 3-3.

39

Detección de interannónicos usando Wavelets .-

I I I I I .' I I I - - - - - - - - - - 1 EDMA

Figura 3-3. Flujo de datos de entradalsalida.

La información analógca en las líneas de entrada se convierte a formato digital por medio del convertidor ADC; posteriormente, la información digitalizada pasa al buffer ping o al pong a través del EDMA. El acceso a estos buffers no es simultáneo. Los datos provenientes del codec se almacenan primero en el buffer ping; cuando se llena se genera una bandera que indica ai codec que la nueva información deberá enviarse ai buffer pong.

Cuando alguno de los buffers se llena, la información que contiene se envía al DSP para procesarla. AI mismo tiempo que el DSP procesa esta información, el EDMA manda los datos al buffer complementario. Los datos resultantes del procesamiento son enviados a los buffer s de salida ping o pong; el procedimiento utilizado para llenar estos buffers es el mismo que el usado para los de entrada.

Posteriormente la información pasa de formato digital a analógico, a través del DAC. Luego la señal resultante de esta conversión se envía a las líneas de salida. En el codec pueden activarse la salida de audio o la de los audífonos, pero no las dos al mismo tiempo; esta condición aplica también para las líneas de entrada:

Este manejo de datos garantiza que no existe pérdida de información; no obstante, pueden perderse datos cuando el tiempo de procesamiento es mayor al tiempo de acceso y cambio de buffers; a su vez, este tiempo depende del ancho de buffer programado.

La comunicación entre la PC y la tarjeta de desarrollo se hace por el puerto USB; por este puerto se programa y configura el DSP.

3.1.3 Sofware de programación.

El kit de desarrollo se programa empleando el software llamado Code Composer Studio (o CCS). El fabricante proporciona esta herramienta, desarrollada específicamente para la interacción entre la

40

.

Capitulo 3. Diseño e implementación de los algontmos de análisis y síntesis.

tarjeta de desarrollo y el DSP central. Este software permite la programación del DSP en tres formas:

9 En modo ensamblador

9 En lenguaje C o C++

9 En una mezcla de los dos anteriores.

El Code Composer Studio' se comunica con el kit de desarrollo mediante un emulador JTAG (siglas de Joint Test Action Group) usando la interfaz USB.

3.2 DESARROLLO DE LOS ALGORITMOS DE PROGRAMACI~N

De acuerdo a los objetivos del proyecto, fue necesario programar en el DSP la descomposición de señales utilizando la transformada wavelet discreta. La figura 3-4 muestra el diagrama de flujo que se siguió para construir los algontmos de análisis y síntesis de la DWT.

.... . . . .

I / 1

Figura 3-4. Diagrama de flujo del algoritmo programado

41

Detección de interarmónicos usando Wme/ers.

..

Las diferentes etapas de este diagrama se describen a continuación.

3.2.1 Adquisición de datos.

La primera etapa del algoritmo es la de adquisición de datos que, visto desde el DSP, consiste en la lectura de los datos que se van a procesar. Durante las diversas fases del proyecto este paso se hizo de varias maneras:

*En un inicio, los vectores que representaban a la señal de entrada se incluían dentro del programa cargado al DSP. Este método resulta poco práctico pues, si se requiere procesar una señal grande, el espacio de memoria podría resultar insuficiente.

*En una segunda fase, los datos a procesar se enviaban al DSP idesde la PC. Para ello se establecen canales de comunicación entre el DSP y el Matlab a través del puerto USB de la computadora. Este proceso se detalla en la sección de implementación y en el anexo I.

En las pruebas finales, la adquisición de datos se hizo utilizando los canales de entraddsalida analógicos de la tarjeta de desarrollo. Estos canales se manejan de la siguiente manera:

> El DSP espera una interrupción generada por codec de audio cuando detecta una señal en el canal de entrada.

9 AI detectarse esta interrupción da comienzo la adquisición y conversión de datos, los cuales se envían al buffer ping.

h Cuando se llena el buffer ping, se manda la información de este buffer hacia el DSP para procesarla.

9 de datos.

9

9

9

Mientras la información se procesa en el DSP, el codec continúa con la adquisición

Los nuevos datos se envían a un segundo buffer llamado pong.

Cuando este buffer se llena, el codec envía esta información al DSP para procesarla.

Una vez terminada la rutina de procesamiento los datos resultantes se envían al buffer de salida, ya sea el ping o el pong.

h La adquisición de datos continúa y ahora se envían nuevamente al buffer ping para almacenarlos.

9 El ciclo se repite.

El proceso se ilustra mejor con el esquema de la figura 3-3. La etapa de adquisición de datos se programó de acuerdo al siguiente algoritmo.

42

Capitula 3. Diseña e implementación de los algantmos de análisis y síntesis. .-

Inicio estado-bufer= ping a pang; pingpong = estada-bufer;

if pingpang = Ping {

//Lee cud buffer está lleno y disponible para lectura@ing opong) //Estado de buffer

/ /si el bufer lleno es el ping.

aut = pracesamienta(inbufping); IlManda los dalos del buffer de entrada ping a

IlLos datos producto del procesamiento se envían al canal de procesamiento, mientras llena el segundo buffer

salida. autbufl’ing = aut;

1

else {

//si el buffer lleno es elpong 44

aut = procesamiento (inbufpong); autbufpong = aut;

Debido a que el tamaño de los buffer es configurable, se puede calcular el tiempo de llenado y asegurar que es suficiente para impedir que, durante el procesamiento de la primera información, se pierdan los datos enviados ai segundo buffer. Por otro lado, la desventaja de configurar un buffer demasiado grande es que genera un retardo entre la entrada y la salida de datos.

Para asegurar un correcto funcionamiento del sistema, deben de tomarse en cuenta tanto la frecuencia de muestre0 como el tamaño del buffer. En este respecto se recomienda que el tamaño del buffer se calcule de modo que pueda contener la información de al menos un ciclo de la señal de entrada, o un número entero de ciclos; de no ser así se corre el riesgo de tener una pérdida de información o de un procesamiento incorrecto de la señal.

La frecuencia de muestre0 puede variarse durante el proceso de análisis, modificando la configuración principal del codec, pero siempre que se desee trabajar con una nueva frecuencia de muestre0 es necesario considerar el tamaño del buffer necesario para no perder información.

_. . . . 3.2.2AnaliSisde señales utilizando DWT.’

El programa de análisis se basa en el algoritmo de Mallat, también conocido como “Algoritmo Piramidal” o “codificador eh subbandas de dos canales”. Stephane Mallat propuso este algoritmo en 1988 y se basó en un algoritmo desarrollado en 1983 por Burt [39].

Para el desarrollo e implementación del algoritmo de Mallat se recurre a las ecuaciones (20), (24) y (25) detalladas en el capíhilo anterior. El algoritmo propone que la señal pase por etapas sucesivas de pares de filtros complementarios basa-bajadpasa-altas) que descomponen la señal en subbandas de frecuencia.

La base del algoritmo es la ecuación (20), la cual propone que cualquier función f(r) puede expresarse usando los coeficientes de la transformada discreta wavelet cj(k) y up,). La forma de calcular estos coeficientes es utilizando las ecuaciones (24) y (25), estas se repiten a continuación:

43


LOS coeficientes del vector resultante (ya sea la aproximación c,(k) o el detalle d,(k,) se obtienen haciendo la convolución entre la versión discreta de la señal de entrada (coeficientes c,+](k)) y los coeficientes de los filtros ho y hI.

Para la programación de las ecuaciones (42) y (43), los coeficientes ho y hl se obtuvieron de Matlab y se aplicaron directamente a la sumatoria. La forma de obtenerlos, así como los valores de los coeficientes empleados para este proyecto, se pueden consultar en el anexo 2.

A continuación se necesita una etapa de downsample, donde se muestrea el vector resultante de la sumatoria para sacar un vector de la mitad de longitud del anterior. La longitud de la señal de entrada c,+& (vector de entrada inicial) es arbitraria, aunque para mejores resultados se recomienda que sea una potencia de dos. Por su parte, la longitud del vector de filtrado h. dependerá de la wavelet madre seleccionada.

Resumiendo, esta fase se compone de tres pasos básicos:

Paso 1 : adaptación de la señal de entrada y de los vectores de filtrado. Los vectores de entrada a esta etapa (señal de entrada digitalizada y coeficientes de filtrado), se rellenan con ceros para completar la longitud necesaria para poder calcular la convolución entre ellos. Debe recordarse que la forma de obtener el tamaño o longitud total (Ir) que dos vectores (VI y VZ) requieren para hacer la operación de convolución es:

I , = l" , + lV2 -1 (4.4)

donde 1 " ~ y l , , ~ representan la longitud de los vectores Vj y VZ. Esta operación se realiza de la siguiente manera:

.. . . ...,. . . i. . . .

Inicia (procesamiento)

long = long + long film> -1 ; //se define una longitud iotalpara ambos veclores lh = long ,o(sl - long film> + I ; //se definen longitudes complementarias auxiliares Iv = long - long señal + I ;

for j := 1 to long do vectordsi2 ti] = vector til;

end

I/ estos dos ciclos ajustan la longitud /I del vector de entrada con ceros

for j := 1 to Iv do

end

for j := 1 to Ih do

end

vector,,i* G + long w ~ a ~ ] = O,

ll ajusta longirud del veclor deifiliro ho con ceros fiitrolh)2 b] = o,

44

Capítulo 3. Diseño il e implementación de los algoritmos de análisis y síntesis.

for j := 1 to long film do

end

for j := 1 to Ih do // ajusta longitud del vectar delfiltro hi con ceros

end

for j := 1 to long filtro do filtroh,,

filtroha2 ti + h] = ha til

filtrohiz ti] = O;

+ lh] = hl u] end

Paso 2: convolución. Esta operación se hace multiplicando término a término los dos vectores manejados como entrada a la función (el de la señal de entrada y el de los coeficientes del filtro modificados en el paso anterior) y haciendo una sumatoria de todas las multiplicaciones hechas. Para miis información acerCa de cómo se calcula la convolución se recomienda la referencia bibliográfica [l]. Esta operación se programó de la siguiente manera:

li

for i := O to long ,Dul do for j := 0 to long film>

end c,,[i] =suma;

//convolución de vector de entroda confiltro pasa-bajas suma = suma + vectord,uti + il * filtrohozti]

11

end

for i := O to long mil do I

for j :=O to long filtro

end

//convolución de vector de entrado con filtro pasa-altas suma = suma + vector + i] + filtroI2lj]

&[¡I = suma; end

Paso 3: etapa de muestre0 (downsample). La señal resultante del paso anterior se muestrea en un ~. II factor de dos. ..

for i := O to (long ,A / 2) do

end

for i := O to (long ,oml 1.2) do

end

out [n] = cn[2*n] //solo toma un punto de cada dos para obtener c ( )

out [n] = &[2*n] //solo tomo unpunto de cado dos para obtener d ( )

La longitud IC de los vectores c y d resultantes no es arbitraria, sino que se basa en la relación:

Detección de interannónicos usando Wavelels. .-

donde lfcorresponde a la longitud del vector de los filtros y hi se refiere a la longitud del vector de entrada.

Se observa que la longitud IC no es exactamente la mitad de la longitud de la señal de entrada. Esto se debe a que, cuando se hace la convolución, es necesario agregar coeficientes nulos a los vectores para igualar el número de puntos de la señal de entrada con el número de puntos de los vectores de filtrado. Esta operación hace que el vector de salida cuente con más puntos y por lo tanto pueda procesarse más veces.

Como se verá más adelante, este efecto se invierte en la etapa de reconstrucción, para que la señal de salida coincida en longitud con la señal de entrada.

El procedimiento de análisis, tal como se comentó anteriormente, se puede realizar varias veces, generando dos sub-bandas de frecúencia en cada descomposición. El número de descomposiciones, y el número de sub-bandas que se pueden generar, dependerán de la frecuencia de muestre0 seleccionada y -por consecuencia- del número de puntos de la señal de entrada.

3.2.3 Síntesis o reconstrucción.

La siguiente etapa es la de reconstrucción, donde a cada subbanda de frecuencia obtenida en la descomposición se le aplica la operación de síntesis. Para el bloque de reconstrucción o síntesis wavelet 3 u e consiste en el proceso de combinación de los componentes c y d de la señal para reproducir la señal original f(t) - se emplea la ecuación (40), la que se repite a continuación:

Como se detalló en el capítulo 2, la ecuación antexior implementa la IDWT. Al igual que en el análisis, esta parte del proceso se divide en tres pasos:

Paso 1.- Comienza con la etapa de upsample, donde la señal de entrada al sistema de reconstrucción cambia su longitud de I a 21. En esta parte se hace el proceso inverso al downsample, rellenando el vector de entrada (c o d) con ceros intercalados entre los datos, de forma que ahora la longitud del vector se duplica, siguiendo las relaciones:

for i := 1 to (longt0,~/2)

y[2 * i + 1]=0 y[Z] = x[il //rellena con ceros para duplicar la long del vecior

end

donde x( ) representa cualquier vector de entrada (en este caso son los vectores c o 6) , mientras que y( ) es el vector resultante de la operación de upsample.

Paso 2.- AI igual que para la operación de descomposición, en esta parte es necesario igualar ia longitud del vector de la señal que se desea reconstruir, con la del vector de coeficientes del filtro que se usará para este fin.

46

Capítulo 3. Diseño e implementación de los algor¡tmos de análisis y síntesis

Síntesis

long ,-, = long , + long lh = long - long lv= long ,o<al - long, +I ; If = (long +i) * 2 - long

-1 ; //se define una longitud iotalpara ambos vectores (

+ I ; //se definen longitudes auxiliares

//longitudfinal de salida delproceso

for j := 1 to longy do ,

end

for j := 1 to Iv do

end

for j := 1 to lh do

end

for j := 1 to long

end

/I ajusta la longitud del vector de entrada (y) con ceros vector , ti] = y U];

vector y + long ,] = O;

/I ajusta longitud del vecior delfiltro ho con ceros filtrolh-fl ti] =o;

do filtr0ho-n ti + Ih] =ho til

f o r j : = l t o l h d o

end ill

/I ajusta longitud del vecior delfiltro h, con ceros futrohIn ti] = O;

for j := 1 to long,, do

end filtroh, - + lh] = h, ti]

1

Paso 3.- Convolución. Esta operación se hace de la misma manera que en la función de análisis, la diferencia consiste en emplear los coeficientes de reconstrucción en lugar de los de síntesis.

for i := O to long i o .. , for j :=O to l ong f i ,~

suma =, suma + vector y + i] * filúoh, . end a [i] = suma;

'I end

for i := O to long ,of.l do for j :=O to long fib

end d rocairmiida [i] = suma;

suma = suma + vector y [ j + i] * filtro, -

end

for i :=O to lfdo

end d [i] = d xmmidr [i + IC]; lldonde IC es un factor de ajusie central

41

Detección de interannónicos usando Wovelels ...

Dentro de este mismo paso, se hace una readaptación del vector de salida para volver a tener la longitud de entrada. Para el programa, la longitud de la señal resultante de la reconstrucción es:

(47)

donde la longitud del vector de coeficientes de la señal reconstruida Ivs depende de la longitud del vector de filtrado If y de la longitud del vector obtenido en la descomposición IC. Si se despeja IC de (45) y se iguala con (47), se obtiene como resultado que Ivs (longitud del vector de salida) es igual a hi (longitud del vector de entrada).

lvs = (IC + 1) * 2 -If

La figura 2-16 ilustra la transformada wavelet discreta a través de sus etapas de descomposición y reconstniccih. Para obtener una reconstrucción completa de la señal, las salidas de los bloques de ho-r y h,-r se suman algebraicamente. Sin embargo, ya que el objetivo de este proyecto es encontrar las frecuencias presentes en las subbandas generadas, tanto en el algoritmo como en el programa, se realiza únicamente la reconstrucción de cada bloque de frecuencias (o sub-banda de frecuencia) obtenido en la fase de descomposición.

3.2.4 Despliegue de resultados.

Por último se tiene una etapa de despliegue de resultados, que permite visualizar las diversas subbandas de frecuencia en las que se descompone la señal de entrada. Esta parte del proceso se realizó de varias formas, dependiendo de la etapa en que se encontraba el proyecto. Esta información se detalla en el apartado de implementación del capítulo cuatro.

3.2.5 Algoritmo programado en Matlab

El algoritmo de descomposición se progamó en Matlab para verificar su funcionamiento y realizar simulaciones que permitieran validarlo. El programa se encuentra en el disco anexo a este documento. Como ejemplo, se analiza la señal creada a partir de la suma de una frecuencia fundamental de 60 Hz, con una amplitud de 2, y una señal de 630 Hz (10.5 veces la señal frecuencia fundamental) con una amplitud de 0.1. La figura 3-3.a muestra la forma de onda de entrada para el programa.

Con estos datos se calcula que, para encontrar las frecuencias fundamental e interarmónica, se necesita un árbol de descomposición de seis niveles. AI ejecutar el programa, el cálculo anterior se valida. En la figura 3-5.b se muestra la aproximación que contiene la señal original filtrada, mientras que la figura 3-5.c muestra la señal de 630 Hz y 0.1 de amplitud.

48

Capítulo 3. Diseño e implementación de los algoritmos de análisis y síntesis. ..,

w-

. . , , , I

a) Señal original. b) Aproximación generada.

Figura 3-5. Ejemplo de descomposición utilizando el algoritmo programado en Maflab

c) Detalle generado, con frecuencia de 630 Hz.

Este programa se probó con diversas formas de onda que también se analizaron con el toolbox y se obtuvieron resultados concordantes. Este programa se trasladó posteriormente ai lenguaje C para ejecutarlo en el DSP.

49

.t

Detección de interarm6nicos usando Wuvave/ets.

. . . . .< .

50

Capítulo 4 Pruebas y resultados.

En el capítulo anterior se detalló el algoritmo que se empleó en este proyecto para la descomposición de señales. En el presente capítulo se describe el proceso de descomposición así como el que se siguió para seleccionar la wavelet madre, con la cual se implement6 la parte final del proyecto. Se hace un recuento de las pruebas que se realizaron, con los resultados obtenidos. Por Último se incluye una breve comparación con Fourier, ya que esta técnica es prácticamente un estándar en el campo del procesamiento digital de señales.

4.1 SELECCIÓN DE WAVELET MADRE

El propósito de la transformada wavelet es descomponer una señal en componentes wavelet, donde cada componente forma parte de una familia. A su vez, cada familia se compone de funciones de escalamiento, derivadas de una wavelet padre q$), y funciones wavelet, derivadas de la wavelet madre w(t). En la figura 4-1 se muestra un ejemplo de las funciones wavelet y de escalamiento Meyer.

Fiu :óii de escalamiento .. . Fiuicióii wavelet

Figura 4-1. Funciones de escalamiento y wavelet Meyer.

La selección de la wavelet madre -y por consecuencia de la wavelet padre- es importante para los procesos de descomposición y síntesis. Emplear una wavelet madre elegida al azar puede llevar a un procesamiento incorrecto o a obtener resultados imprevistos. No se puede hablar de que exista una wavelet madre mejor que otra; más bien se debe pensar en cuál es mejor para cada aplicación; por ejemplo, existen wavelets madre que son ideales para filtrar señales y pueden ser muy malas en aplicaciones de procesamiento de imágenes.

En caso de que dentro del gran paquete de wavelets madre existentes no se encuentre una que satisfaga las necesidades de la aplicación existe la opción de diseñarla, con base en las especificaciones requeridas.”En el toolbox de Matlab se encuentra una ayuda para diseñar “wavelets a la medida:’.

Detección de intemónicos usando wavelers.

A partir de la revisión bibliográfica del estado del arte se encontró que, para sistemas de potencia, las wavelets madre más comúnmente usadas son:

9 Haar

9 Daubechies en sus versiones 4 y 1 O

9 Symlet 5

> Biortogonal3.1

> Dmeyer

Con estas wavelets madre se hicieron las primeras pruebas y descomposiciones del proyecto. Los resultados obtenidas sirvieron como base para hacer una segunda selección, reduciéndose el número de wavelets madre hasta llegar con la más adecuada para el proyecto.

Como se mencionó anteriormente, la respuesta en frecuencia de la transformada wavelet es de la forma de dos filtros, uno pasa-bajas y otro pasa-altas. Se pueden estimar las bondades de cada una de las wavelets listadas si se obtiene la respuesta de cada uno de los filtros. En la figura 4-2 se ve el comportamiento en frecuencia de cada una de las wavelets madre seleccionadas en un inicio. Se omitieron algunas por efectos de empalme, ya que sus curvas coincidían con las de otras wavelets.

Dmeyer

Daubechies 10

Symiet 5

Biortogonal3.1

Haar

Figura 4-2. Respuesta en 6ecuencia de diferentes tipos de wavelet.

5 2

- -

Capítulo 4. Pruebas y resultados. ,-

Un aspecto que es importante denotar es que, a excepción de la respuesta de la wavelet Biortogonal, todas las curvas coinciden en el mismo punto de intersección. La respuesta de la wavelet Biortogonal no es adecuada para esta aplicación, aunque resulta ser una buena opción en aplicaciones taies como la detección de transitonos.

El comportamiento en la vecindad del punto de intersección es diferente para cada una de las wavelets restantes. La wavelet madre Dmeyer es la que tiene la banda de paso más ancha, con la mayor pendiente en la banda de transición. Estas características la convierten en una buena opción para aplicaciones de filtrado de señales. En contraposición, se puede observar que la respuesta de la wavelet madre Haar tiene una banda de transición mayor a su banda de paso y la pendiente en dicha banda es la menor de todas las wavelets madre seleccionadas.

Como ejemplo de comparación se analiza la forma de onda de la comente de entrada a un balastro marca Phillips, modelo BIAX. La corriente se muestra en la figura 4-3.a y su espectro de frecuencias en la figura 4-3.b. Se aprecia que las componentes más significativas, además de la frecuencia fundamental, son las que se presentan a 180Hz, 300Hz y 420Hz.

r impo (rLgundos) a)Forma de onda de comente.

. . . . . . . . . ........ . . . . . . . . ......... I * I . , 1 . .

o, , . , . . , , . Oh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... I . I I , I . ....... ....... _:- : ”: 4 ::: i^_ .. _._ ........ _ P l _ -- .

! .! !!*.-- .. i ..... ...L.-*-. t o s -!- . . . . . . . . . I , <,. . . . . . . . . 2 . I , , # . ,. . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . I , I < . . . . . . . . . . . . . . ...... . . , , . . - . . , , , * .

o O? - * - !.I , I > L . _ _ * . ’ _ _ .d ..1*1 2 _ -

3 id 10 -0

b)Est>ectm de hcuencia. ~ ~ ~ ~~~~~~~

Figura 4-3. Forma de onda de comente de baíasko Bin. . . . . . . . . . ..

A esta señal se le aplicaron descomposiciones usando las wavelets madre coifet4, Dmeyer y Biortogonal 3.2. En los tris casos, la señal “filtrada” se encuentra en la auroximación nueve. mientras el detalle nueve se tiene la componente de 180 Hz; el detalle ocho contiene la componente de 300 Hz.

La figura 4-4 muestra la novena aproximación que se obtiene con cada una de las wavelets madre mencionadas. La diferencia entre las ondas generadas por el procesamiento resulta evidente. La wavelet Dmeyer da como resultado una forma de onda senoidal en fase con la señal de entrada; la Coiflet4 produce también una forma de onda senoidal, la diferencia es que tiene un desfasamiento con respecto a la señal original; por último la aproximación que genera la wavelet madre Biortogonal 3.1 es una señal senoidal distorsionada, atenuada y desfasada.

53

.- Detección de interamónicos usando wavelets

Figura 4-4. Comparación de procesamiento de una forma de onda de comente con diversas wavelets madre.

En la figura 4-5 se muestra la comparación del noveno detalle, que contiene la información correspondiente a la componente de 180 Hz. Las formas de onda son de amplitud menor a las de la componente fundamental de la gráfica anterior. Nuevamente, las respuestas de las wavelets madre Dmeyer y Coiflet4 son muy similares, inclusive en la fase; la diferencia está en la amplitud, ya que la Coiflet4 presenta ligeras variaciones. Por otro lado, el detalle generado por la wavelet Biorfogonal 3. I no proporciona información importante, pues tanto su amplitud como su fase son cambiantes y dificiles de medir.

Figura 4-5. Comparación de procesamiento de detalle 9 obtenido con vvias wuvelet madre.

Por último, la figura 4-6 muestra la forma de onda del detalle 8, que contiene la componente de 300 Hz. Aunque el periodo de las ondas generadas por las wavelets Dmeyer y Coiflet4 cambia de un ciclo a otro, puede leerse que la frecuencia promedio de salida es la buscada.

54

Capítulo 4. Pruebas y resultados.

El detalle del procesamiento usando Biortogonal 3.1 no contiene información legible, pues su periodo es indeterminado y su amplitud variante.

, . , ,

I . . . .

11.

Figura 4-6. Comparación de procesamiento de detalle 8 obtenido con varias wavelet madre.

Los resultados de todas estas pruebas sirvieron para descartar las wavelets madre que no son adecuadas para la detección de interarmónicas. De aquí se seleccionaron las wavelets madre para la segunda etapa de este proyecto: Coijlet4. DaubechieslO y Dmeyer.

4.2 PRUEBAS CON TOOLBOX DE MATLAB.

Una vez seleccionadas las wavelets madre con las cuales se trabajaría, se continuó con la etapa de comprensión del funcionamiento práctico de la transformada wavelet. Para este fin se utilizó el toolbox de wavelets de Matlab, mediante el cual se analizaron diversas formas de onda. Las pnmeras señales que se analizaron se sintetizaron matemáticamente, se formaron variando su contenido armónico de acuerdo a la fórmula:

f ( t ) = A * sen(wt) + B * sen(nwt) (48)

donde A representa la amplitud de la onda senoidal fundamental; B simboliza la amplitud de la armónica o interarmónica inyectada; establece la frecuencia fundamental y la variable n es un número real positivo que puede o no ser entero, utilizado para obtener las frecuencias armónicas e interarmónicas Como ejemplo, en la figura 4-7 se muestra la señal creada a partir de la suma de una frecuencia fundamental de 60 Hz con una amplitud de 2 y una señal de 630 Hz (10.5 veces la señal frecuencia fundamental) con una amplitud de 0.1,

55

. . .

Detección de interarmónicos usando wavelets

Tmip

Figura 4-7. Señal de ejemplo

El número de descomposiciones de esta s d d se puede obtener de la figura 4-8, donde se muestran las frecuencias de corte para la obtención de las sub-bandas de frecuencia usando la wavelet madre Dmeyer. Este árbol de descomposición se obtiene de acuerdo al procedimiento explicado en el capítulo 2.

De acuerdo a esta figura, el ancho de banda paia las aproximaciones de la sexta descomposición será de O a 525 Hz, mienkas que p&a 10s detalles.la banda quedaría de, 525 Hz a 1 .O5 kHz. Este nivel de descomposición es el óptiho' para separar las frecuencias de' la onda de la figura 4-7. Analizando esta señal mediante el toolbox de Matlab se obtiene la desbmposición de la figura 4-9.

56

Capitulo 4. Pniebas y resultados.

a-

dlan:; o m

Figura 4-9. Descomposición de la señal de la figura 4-7 mediante toolbox de Matlab

En el recuadro S se muestra la señal original, mientras que en el recuadro se observa la señal filtrada. El recuadro & muestra la señal de 630 Hz y 0.1 de amplitud, lo cual confirma que la descomposición propuesta anteriormente es la ideal. Finalmente, en los recuadros di ads de la figura se muestran señales de alta frecuencia y baja amplitud que resultan despreciables en comparación con la señal original. ..

Después de múltiples pruebas como la mostrada anteriormente y de acuerdo a los criterios expuestos en la sección 4.1, se llegó a la conclusión de que la wavelet madre idónea para este proyecto es la Dmeyer. Debido a que presenta buena respuesta en frecuencia y a que introduce solo un pequeño desfase, las formas de onda reconstruidas con esta wavelet suelen tener periodo y amplitud constantes.

Se aplicó este mismo tipo de análisis a muy diversas formas de onda, para comprobar la operación y los resultados que se obtienen al aplicar la transformada wavelet discreta a una señal de características conocidas. Posteriormente se trabajó con formas de onda obtenidas en procesos prácticos; las señales analizadas fueron de diversa naturaleza, entre las que se encontraban formas de onda de balastros, rectificadores e inversores.

57

, . Detección de interarmónicos usando wavelets.

4.3 PRUEBAS

El diagrama.de la figura 4-10 ilustra la forma en que se desarrollaron las pruebas para este proyecto. El proceso se divide en dos partes. La primera de ellas consiste en digitalizar diferentes formas de onda, por medio de un osciloscopio y transferirlas al DSP para su procesamiento. Estas señales se procesan directamente en el DSP y la información resultante se transfiere a la PC para su despliegue y visualización. Para la segunda parte de las pruebas, la adquisición de las formas de onda se hace directamente en la tajeta del DSP, usando el codificador de audio o codec para adquisición (véase capítulo 3).

de roiiienie

I I 1

Figura 4-10 Diagrama de pmebas. . :. - .. .

4.3.1 Obtención de formas de onda usando osciloscopio y procesamiento en el DSP.

A través de la práctica'& ha comprobado que cada señal muestra una descomposición diferente, debido a esto se ha optado por tomar diversas formas de onda, con la finalidad de compararlas entre sí. Las formas de onda inicialmente propuestas para este trabajo corresponden a algunas de las cargas más comúnmente empleadas y son las siguientes: . .

Rectificador trifásico.

Balastro marca Phillips, modelo BIAX.

Computadora personal marca IBM, modelo 300GL. .. ~

41

58

http://diagrama.de

~- - - . -

Capitulo 4. Pruebas y resultados. -

Para ingresar estas formas de onda, de la PC a la tarjeta, se requirió de un protocolo de comunicación entre estos dos dispositivos. Las tarjetas de desarrollo y módulos de evaluación de la compañía Texas instruments cuentan con la opción de comunicarse con otros paquetes de software a través del CCS. A esta herramienta se le conoce como RTDX (siglas en inglés de intercambio de datos en tiempo real) y tiene la capacidad de comunicar en tiempo real a la tarjeta de desarrollo con algunos paquetes de programación como Labview, Visual C o Matlab.

La comunicación entre estos dos sistemas se lleva a cabo usando canales unidireccionales de entrada y salida que se establecen por el puerto USB de la PC. Se pueden habilitar varios canales a la vez; la restricción es que se cuenta con un tamaño de búfer máximo de 64 kB, que se divide entre el número de canales habilitados. Si el tamaño mínimo para un canal es de 256 B, se pueden habilitar hasta 256 canales.

La declaración y habilitación de estos canales debe hacerse tanto en Matlab (o el programa con el que se desee interactuar) como en CCS; este procedimiento es muy sencillo puesto que dentro del programa sólo es necesario: agregar dos líneas de configuración. En el anexo 3 se detalla la programación necesaria para lograr la comunicación y transferencia de información por esta vía. La figura 4-1 1 ilustra la comunicación entre el kit y la PC.

, -~ ~~ ~. .. ~

Figura 4-1 1. Conexión via RTDX. . .. .. . . .. .

Con la ayuda de esta comunicación se realizaron diversas pruebas:

. ..

*:O Enviar una señal o forma de onda desde el área de trabajo (workspace) de Matlab hacia el DSP.

*:* Procesar y descomponer dicha forma de onda en el DSP

*:* Enviar los resultados del procesamiento a Matlab para su despliegue gráfico.

De esta manera se analizaron las formas de onda antes citadas. Posteriormente, con la finalidad de procesar señales que contuvieran componentes interarmónicos, se armó el circuito de la figura 4-12.

11

59

Detección de interannónicos usando wavelets.

ve, frecuencia variable

I Figura 4-12. Circuito para obtener señales con componentes interacmónicos.

El modo de operación de este circuito es el siguiente: la fuente de CA a 60 Hz Wac) proporciona la frecuencia fundamental, mientras que, por medio de la fuente de frecuencia variable, se tiene la capacidad de inyectar una segunda señal de frecuencia diferente a la fundamental (Vac2). Si se selecciona un valor adecuado para la fuente de frecuencia variable, a la salida del circuito se obtiene una señal compuesta por una frecuencia fundamental y algunas componentes armónicas o interarmónicas.

Para este caso en particular se inyectaban a la señal de 60 Hz dos componentes que seninan como interarmónicos. Utilizando el osciloscopio se hicieron diversas mediciones; después, las formas de onda que se sacaron se procesaron en Matlab y en el DSP para comparar resultados, los cuales presentaban un error mínimo.

' , P-dD rn Dtrthb

10 I

a) Señal procesada con Matlab. b) Señal procesada con DSP Figura 4-1 3. Comparación de señales procesadas.

Las gráficas de la figura 4-13 nos muestran dos tipos diferentes de procesamiento de la señal y se puede ver que las formas de onda resultantes son iguales. La forma de onda que se tomó para

60

.. -

Capitulo 4. Pniebas y resultados.

.-

ejemplo es la comente de entrada de una PC, se le aplicí, una descomposición y posteriormente se reconstruyó la primera aproximación. En la figura 4-13.a se aprecia la señal procesada con el algoritmo programado en Matlab y la figura 4-13.b muestra la forma de onda que da como salida el algoriímo del DSP.

4.3.2

Para esta etapa de pruebas se usó el generador de funciones Agilent 33120A. Este equipo puede programarse desde la PC para proporcionar formas de onda arbitrarias, que el usuario diseña “a su antojo”. Con esta herramienta fue posible recrear las formas de onda tomadas en el circuito de la figura 4-12. La figura 4-14 muestra la conexión realizada para esta segunda etapa de las pruebas.

Obtención de formas de onda y procesamiento utilizando DSP.

,I

IB Generador de funciones

PC Figura 4-14. Diagrama de conexión para la segunda etapa de pruebas.

~. .. inicialmente se programa el DSP usando la conexión entre la tarjeta de desarrollo y la PC (puerto

USB) y a continuación se conecta el generador de funciones a la PC por medio del puerto RS232, para programar en el generador las formas de onda que previamente se habían tomado del circuito de la figura 4-12. Una vez verificada la forma de onda a la salida del generador, se pone a correr el programa de análisis DWT programado en el DSP.

Para el despliegue de resultados se conectó la línea de salida del kit de desarrollo al osciloscopio, donde se monitorearon las señales de salida.

Durante el transcurso de las pruebas se comprobó que la frecuencia de muestreo es un parámetro muy importante, pues de esto depende el número de descomposiciones que se le pueden aplicar a la señal de entrada. En el ejemplo siguiente se muestra el efecto de la frecuencia de muestreo, al procesar mediante Matlab 9 comparado con el procesamiento en el DSP, ambos con una misma señal de entrada

, 61

Detección de interarmónicos usando wavelets.

Onda s 1 s 2 s3 s 4 s 5

4.3.3 Ejemplo.

Del circuito de la figura 4-12 se obtuvieron las diversas formas de onda con que se hicieron las pruebas finales. Algunas de estas formas de onda fueron:

Fundamental Armónico Interarmónico 60 Hz ----- 81 Hz + 243 Hz 60 Hz _---- 85 Hz + 255 Hz 60 Hz -____ 90 Hz +270 Hz 60 Hz ---__ 96 Hz + 288 Hz 60 Hz 300 Hz 100 Hz

Estas son solo algunos ejemplos de las formas de onda tomadas para su análisis, en el presente documento se muestra la descomposición de dos de las ondas más representativas y que su descomposición aportaba mayores resultados. Como primer ejemplo se seleccionó la señal mostrada en la figura 4-15. Esta forma de onda representa la suma de las componentes de 60 Hz, 100 HZ y 300 Hz (S5).

Figura 4-15. Señal de ejemplo con componentes de 60 Hz, 100 Hz y 300 Hz.

Esta señal se tomó con el circuito de la figura 4-12, a una frecuencia de muestreo de 12.5 kHz, con lo que se tuvo un aproximado de 209 puntos por ciclo. Este dato es importante porque se emplea para calcular el número máximo de descomposiciones ai cual puede someterse la forma de onda.

Para el análisis en el toolbox de Matlab, se calculan las descomposiciones usando la frecuencia de muestreo de 12.5 kHz y tomando en cuenta que se van a analizar dos ciclos, el número de puntos de la señal de entrada es de 418. Con este dato el cálculo arroja que se pueden realizar un máximo de

6 2

Capitulo 4. Pruebas y resultados. .-

nueve descomposiciones. No siempre es necesario realizar todas las descomposiciones; esto dependerá de la frecuencia o forma de onda que se quiera localizar.

Una vez que se obtiene el número máximo de descomposiciones, debe programarse el árbol que se utilizará para analizar la señal. Este diagrama se deduce a partir de la figura 4-16.

.l

2471 üz w AB131 ABn6ABw m4' ABR

Figura 4-16. Frecuencias de corte específicas para ejemplo de análisis.

En esta figura se ilustran las frecuencias de corte de cada uno de los niveles de descomposición, para una wavelet madre Drneyer. Estas frecuencias se obtienen con la función scul2fiqs de Matlab, los parámetros que esta función requiere son la frecuencia de muestre0 de 12.5 lcHz y el número de descomposiciones calculado en al paso anterior.

De acuerdo al diagrama de descomposiciones, para detectar las frecuencias de 100 Hz y 300 Hz es necesario aplicar seis niveles de descomposición a la señal. Con esta información se forma el diagrama de árbol base para este análisis. En la figura 4-17 se muestra el ,diagrama de descomposición propuesto pais la señal de ejemplo. Se resaltan los detalles cinco y s& &í como la aproximación seis porque ahí es donde se estima encontrar la información buscada.

. . ... .

Cuando se aplica la transformada wavelet a una señal, io que se obtiene es una representación de la señal en términos de la wavelet madre con que se analice. Esta información puede no ser muy clara o inteligible para los usuarios. Es más recomendable conocer l a información que contienen los diferentes bloques en relación al tiempo. Para ver esta información es necesario aplicar la transformada inversa wavelet,

63


rñnl de entrada 2EizL 2.471 KHz- 4.94 KHZ O -2.471 KHZ

1.235 Kffz - 2.471 KHz

Apronrnm6n 3

O - 617.8 Hz 617.8 Hz - 1.235 KHz A- &onrnan6n 4 malle 4

O-308.91á 1 308.9 H z - 61 7.8 HZ

154.4I.IZ-308.9Hz 0-154.4Hz I

O - 77.2 Hz 77.2 Hz- 154.4 Hz Figura 4-17. Árbol de descomposición

En las figura 4-18.a y 4-18.b se ilustran los dos bloques de frecuencias obtenidos de la primera descomposición aplicada a la señal de la figura 4-15. En esta representación se grafica la amplitud de la transformada contra el número de puntos de la señal. Cuando se le aplica la transformada inversa a estas señales se obtiene una representación en tiempo de la señal, donde los ejes de la gráfica son: la amplitud real de la señal y el tiempo(figura 4-18.c y 4-18.d).

. De acuerdo al diagrama de la figura 4-17 la segunda descomposición se hace tomando como señal de entrada la primera aproximación. Cuando se aplica la DWT nuevamente a la señal, se obtiene la aproximación y los detalles del segundo nivel del árbol de descomposiciones.

Este proceso se repite siguiendo el diagrama de &bol propuesto. Debido a que los bloques que contienen las señales buscadas están en la 5’ y 6” descomposiciones se omiten las descomposiciones dos, tres y cuatro.

64

.. . *I I -

Capitulo 4. Pmebas y resultados.

. .

a) Coeficientes de aproximacih a1

c) Aproximación reconstruida air.

e ) Aproximación del quinto nivel de descomposición as.

~ 1 , ........... i ........... : ........... I ..... ..... i ........ -0 rn Irn m

b) Coeficientes de detalles d,. O I I I I . d N < M I I

, : , , , , . , mm , , , , , , . . , , , , , I ..I ..... iL ...... ..... :L ..... :$ ..... +...... :.I...; ..... &.I

I <o ID 9 .> s m m .*J.

fJ Detalles del quinto nivel de descomposición dS

65

Detección de interarmónicos usando waveleis.

g) Reconsúucción de la quinta aproximación asr. h) Reconsúucción del quinto detalle d5>

i) Sexta aproximación as. j) Sexto detalle 4.

I)Sexto detalle reconstmido 6,. k)Sexta aproximación reconstniida as,. Figura 4-18. Descomposiciones y reconstrucciones de la señal de la figura 4-15.

Las gráficas de aproximación y detalles de la quinta descomposición se aprecian en las figura 4-18.e y 4-18.f. La información gráfica de estas dos señales pareciera no tiene mayor aportación e incluso no tener sentido. Sin embargo una vez que las señales pasan por una reconstrucción (IDWT)

66

Capitulo 4. Pruebas y resultados. _-

proporcionan información útil, como se ve en las figura 4-18.g y 4-18.h. La forma de onda de la aproximación representa la señal de entrada filtrada tras cinco niveles de descomposición; la figura 4-18.h muestra una de las señales buscadas, en este caso la señal de 300 Hz.

De igual forma, para las séñales de la sexta descomposición las gráficas de aproximación y detalles parecen señales sin sentido. Pero una vez hecha la reconstrucción de estas dos componentes las formas de onda que se tienen son las de 60 Hz y 100 Hz, estas se ilustran en las figura 4-18.k y 4-1 8.1 respectivamente.

En síntesis, la señal original se descompuso en siete sub-bandas de frecuencia luego de pasar por seis niveles de descomposición. Los bloques más importantes son los resultantes de las quinta y sexta descomposiciones, pues en estos quedaron distribuidas las componentes de la forma de onda de entrada. Este resultado se muestra en la figura 4-19,

Sería1 de eritrada 1

SI

I

. ,

I Detalle 6

Figura 4-19. Síntesis de la descomposición de la señal de la figura 4-15 utilizando Matlab

67

.+ Detección de interarmónicos usando wavelets.

En la figura 4-19 se muestra una síntesis de la descomposición de la señal en Matlab. El detalle seis muestra lo que debiera ser una frecuencia de 100 Hz, sin embargo mediante todas las pruebas que se realizaron se comprobó que existen problemas de detección cuando la señal se encuentra entre 60 Hz y 120 Hz, o de una a dos veces la frecuencia fundamental. Mientras que la aproximación seis muestra la señal de entrada perfectamente filtrada.

Después de realizar las simulaciones utilizando el toolbox de Matlab, la forma de onda de la figura 4- 15 se procesó en el DSP siguiendo el diagrama de la figura 4-1 7. La frecuencia de muestre0 del codec de la tarjeta es de 4 kHz, por lo que el número máximo de descomposiciones es de seis. Para ubicar los componentes de la señal se necesitan únicamente cuatro descomposiciones. Por esta razón, los resultados no son exactamente iguales a los que se obtienen con Matlab. Las formas de onda resultantes son las de la figura 4-20.

h-J.l"zm r>-n,.v

Figura 4-20. Descomposición de la señal de la figura 4-15 empleando el algoritmo programado en el DSP.

En la figura 4-20, la forma de onda de la aproximación tres es la señal de entrada, perfectamente filtrada y reconstruida, de manera similar a la descomposición seis de la simulación; el detalle tres muestra una forma de onda de 325 Hz y 97 mV de amplitud, parámetros muy similares a las

68

- -?

Capítulo 4. Pruebas y resultados. .-

obtenidas por la simulación. Sin embargo nuevamente se presenta ei problema de la detección de componentes menores a dos veces la frecuencia fundamental, que en la práctica se ve reflejado en la aproximación número cuatro, que presenta una señal de 100 Hz y 513mV, pero SU amplitud no es constante.

Posteriormente y a modo de ilustración, se muestra en la descomposición cinco lo que pasa cuando una señal se descompone más allá de lo necesario. En este caso la frecuencia fundamental pasa a ser información del,,detalle cinco, aunque ya un poco distorsionada, mientras que la aproximación cinco muestra que en la señal de entrada no hay componentes de frecuencia por debajo de la fundamental.

Si las ftecuencias de muestreo empleadas por el osciloscopio y por el codec del DSP fueran exactamente iguales, se podría esperar que fueran necesarios el mismo número de niveles de descomposición. Y por lo tanto, que los diagramas de descomposición tuvieran las mismas frecuencias de corte. Sin Fbargo y a pesar de estas diferencias, se pudo comprobar el funcionamiento del algoritmo para la descomposición de señales y por consecuencia para la localización y detección de componentes armónicos e interamiónicos.

4.4 SÍNTESIS COMPLETA.

Cuando se trata de aplicaciones como filtrado y reconstrucción de imhgenes es muy común tratar de obtener la señal original después de haberla procesado. Para este proyecto la finalidad no es reconstruir la señal original, ya que el objetivo consiste en descomponer la señal y encontrar los componentes armónicos e interarmónicos de la misma. Pero a manera de ejemplo se muestra a continuación la reconstrucción de la forma de onda original.

Siguiendo con el análisis ,anterior hecho a la forma de onda de la figura 4-15, se plantea formar la reconstrucción con los dos métodos que se hizo la descomposición: Matlab y DSP.

En cualquiera de los dos casos la fórmula de reconstrucción dice que una señal que ha sido descompuesta usando DWT puede sintetizarse a partir de los coeficientes de reconstrucción y de los coeficientes de transformada wavelet obtenidos en el análisis. Lo anterior se puede expresar usando la fórmula:

cjti (k) = x c j ( m ) h ( k -2m)+xdj(m)h,(k -2m) (49) "l rn

4.4.1 Síntesis por Matlab.

Una vez reconstruidos cada uno de los bloques de frecuencia producto de la descomposición, la síntesis de la señal original consiste en hacer la sumatoria de las reconstrucciones hechas. Siguiendo el árbol de descomposición de la figura 4-17, al final del análisis se forman siete sub-bandas de frecuencias: seis detalles y una aproximación. Para formar la señal original se sigue la ecuación:

(50) S = a 6 + d 6 + d 5 + d 4 + d 3 +d2 +di,

69

Detección de interamónicos usando wavelets. ..

donde S es la señal original, a6 es la aproximación seis y de dl a d6 son los detalles de los niveles correspondientes.

En la figura 4-2 1 se hace la comparación de la señal reconstruida y de la señal de entrada.

Figura 4-21. Comparación entre seiial reconsimida con Matlab y señal original.

4.4.2 Reconstrucción con DSP.

Para implementar la reconstrucción en el DSP se aplica la ecuación (50). El resultado de la -reconstrucción en el DSP se muestra en la siguiente figura.

Las formas de onda no son idénticas, ya que no es una herramienta en tiempo real y se arrastra una pérdida de información en la reconstrucción, por esto la señal de entrada (forma de onda

70

Capitulo 4. Pruebas y resultados. ,-

superior) y la señal reconstruida (forma de onda inferior) presentan algunas diferencias, aunque las Características de amplitud y frecuencia son las mismas.

4.5 EJEMPLO DOS. '!

A continuación se muestra un segundo ejemplo de análisis a una señal. Se trata de una forma de onda que contiene las frecuencias: 60 Hz (fundamental), 90% (intermónico) y 270 Hz (interarmónico). La señal de entrada se muestra en el bloque S de la figura 4-23.

Para analizar esta forma de onda se siguió el mismo procedimiento usado para la forma del primer ejemplo; puesto que la frecuencia de muestre0 y la wavelet madre son las mismas para los dos análisis, el número de descomposiciones así como las frecuencias de corte son las mismas, de ahí que su descomposición resulte muy similar.

Setíal de enirada

1

S I

I

.

'I Figura 4-23. Segundo ejemplo de descomposición con DSP.

Nuevamente la componknte de 60 Hz se encuentra en el bloque de la aproximación tres; el detalle tres contiene la frecuencia del interarmónico de 280 Hz, mientras que la aproximación cuatro

71 I/

Detección de interannónicos usando Wavelets.

contiene una señal de 82 Hz. En este caso la componente que se encuentra entre una y dos veces la frecuencia de la fundamental también aparece distorsionada y con dificultades para su lectura.

En la quinta descomposición se aprecia la frecuencia fundamental de 60 Hz en el bloque resultante del filtrado pasa-altas, mientras que en la aproximación cinco no hay señal. Esto comprueba que la señal de 60 Hz es la componente de la señal de entrada de más baja frecuencia.

‘I

4.6 COMPARACIÓN CON FOURIER.

Con la finalidad de comparar los resultados obtenidos en el análisis de la señal ¿le la figura 4-1 5, esta forma de onda se estudia utilizando ahora transformada de Fourier.

Para comparar los resultados entre Fourier y Wavelet se programaron filtros pasa-banda, con dos tipos de ventana: la rectangular y la Kaiser.

El primer filtro que se program6 es un filtro pasa-bajas con una frecuencia de corte de 80 Hz, con la finalidad de captar la forma de onda fundamental (60Hz). La gráfica de la figura 4-24 muestra tres formas de onda, donde cada una corresponde a la forma de onda reconstruida con:

a) Wavelets

b) Ventana Kaiser

c) Ventana Rectangular

Figura 4-24. Comparaci6n entre DWT y Fourier

72

capitulo 4. Pruebas y resultados. .-

La diferencia más notable está en el periodo de la señal; cuando se emplearon filtros con ventanas el periodo de la señal fundamental aumentó. Otra diferencia es la amplitud; mientras la amplitud de la señal reconstruida por wavelets es estable, la de la señal que pasó por los filtros es variable.

Posteriormente se realizó una función de filtrado pasa-bandas, con una frecuencia de corte inferior de 150 Hz y una frecuencia de corte superior de 350 Hz. En el árbol de descomposición, esta banda corresponde al bloque del detalle cinco, donde se encuentra la componente de 300 Hz.

En la figura 4-25 en línea punteada se ve la forma de onda obtenida con los filtros de ventanas, en este caso la señal es muy variante en amplitud, frecuencia y fase. Nuevamente la forma de onda producto del análisis con transformada wavelet presenta más estabilidad tanto en amplitud como en frecuencia

RecorrFtruccion de componente de 300 Hz

Figura 4-25. Reconstrucción de la componente de 300 Hz.

Este ejemplo comprueba que para algunos casos la transformada de Fourier no es la mejor opción, independientemente del tipo de ventana que se emplee.

13

Detección de interannónicos usando wavelets

74

Capítulo 5 1 Conclusiones y aportaciones.

La meta del proyecto consiste en explorar la viabilidad de las técnicas basadas en transformada wavelet para detectar componentes armónicas e interarmónicas en una forma de onda. LOS

resultados obtenidos demuestran la viabilidad de estas técnicas aunque, debido a los recursos disponibles y la duración del proyecto, no se resolvieron todos los aspectos relacionados con la aplicación. A continuación se discuten los resultados y conclusiones del proyecto.

5.1 SELECCI6N DE LA WA VELET MADRE 11

Para la selección de la wavelet madre que se utilizaría en este proyecto se partió de las siete wavelets mencionadas con mayor frecuencia en la literatura técnica, relacionadas con la medición de parámetros de la calidad de la energía. A partir de este grupo se hizo una segunda selección, donde se eligieron las que ofrecen una mejor respuesta para la detección de armónicos e interarmónicos. Las wavelets madre seleccionadas son: Coiflet4, DaubechieslO y Dmeyer. Las tres presentan una buena respuesta en fiecuenc$ pero la que presenta una caída más rápida en la banda de transición es la Dmeyer. Esta característica ayuda a que la información presente en las bandas de frecuencia resultantes, sea más completa. Además, esta wavelet es la que produce un desfasamiento menor entre la entrada y las salidas. Por estas razones, la wavelet madre seleccionada para las pruebas finales es la Dmeyer.

5.2 PLATAFORMA DE HADWARE.

La plataforma de hardware sobre la cual se desarrollo el proyecto fue el “kit de desarrollo DSK TMS32OC6416 de Texas instruments”, esta tajeta tiene como procesador el DSP C6416 de la familia C6000. La particularidad de esta familia es su velocidad de procesamiento, ya que es capaz de manejar procesos en tiedpo real con bastante precisión.

Precisamente-la velocidad de procesamiento es una de las caractensticas que se tomaron en I

cuenta para la selección de la tajeta. Otra ventaja de este kit es que cuenta con más memoria que la mayona de los DSK que maneja la Texas, lo cual es importante en un proceso tan pesado como este.

Quizás una de las desventajas es que no cuenta con una plataforma de adquisición de señales más robusta, pues la adquisición de datos está pensada en señales de audio.

Otra ventaja de este kit de desarrollo es su programación, pues permite ai usuario hacer la programación en varios lenguajes, haciendo más vershtil el sistema.

5.3 FRECUENCIA DE MUESTRE0

Dentro de la literatura de procesamiento digital de señales siempre se hace especial énfasis en las consideraciones que se deben tener al seleccionar la frecuencia de muestreo. En el caso de la transformada wavelet este parámetro también juega un papel importante, ya que el número de


descomposiciones que pueden hacerse a una determinada señal, así como el número de niveles de descomposición que se requieren para detectar alguna frecuencia, dependen directamente de esta frecuencia. Es importante resaltar que se utilizó el codec incluido en el kit de desarrollo. Debido a las Características de la circuitería, no fue posible variar de manera arbitraria la frecuencia de muestreo.

5.4 INTERPRETACION DE RESULTADOS.

De manera general, en las pruebas realizadas se detectaron correctamente los armónicos e interarmónicos presentes en las formas de onda que se aplicaron al sistema. La excepción son las componentes que se ubican entre una y dos veces la frecuencia fundamental, que resultaron dificiles de detectar.

Cuando se usa Fourier para analizar una señal, este entrega un espectro de frecuencias en el cual pddemos ver las componentes armónicas e interarmónicas presentes en la señal. Cuando se analiza la misma señal ahora utilizando transformada wavelet lo que se obtiene son paquetes de frecuencia. La DWT descompone el ancho de banda de la señal en bloques de frecuencia perfectamente delimitados, de modo que la transformada puede verse como una sucesión de filtros pasa-banda. Utilizando la transformada inversa wavelet se puede ver en el contenido de cada bloque generado como una señal en el tiempo.

Cuando uno de los bloques de frecuencias no contiene información importante, lo que se tiene en casi despreciable. Por este motivo es ese bloque es una señal de alta frecuencia y amplitud

importante tener bien establecidos los valores mínimos que una componente puede tener.

5.5 COMPARACION CON FOURIER.

Ya que Fourier es una referencia obligada en cuanto a procesamiento de señales se refiere, se hizo una breve comparación entre los resultados que se obtienen al procesar una misma señal con las dos técnicas. AI aplicar filtrado con Fourier las señales resultantes presentaban deficiencias en

.. . .~ .- amplitud, periodo yfase. 3. . il

Las formas de onda resultantes del análisis de Fourier presentaron grandes variaciones en la amplitud; mientras que la señal obtenida usando wavelet mostraba una amplitud constante y acorde a lo esperado. En cuanto a la fase, las formas obtenidas con Fourier mostraban un ligero desfase en relación con la señal .de entrada y con la señal que entregaba la DWT. Aunque el periodo de las señales que genera la descomposición por DWT es variante, el periodo de las formas de onda que se obtienen con el filtrado de Fourier es más significativo.

La ventaja que presenta la DWT es que se puede buscar la wavelet madre más apropiada para cada señal que se quiera analizar. Incluso se pueden diseñar wavelets madre “a la medida”. Esta característica ayuda a que el análisis sea efectivo.

76

r --r . . i . _ ~ . -~ .

Capítulo 5. Conclusiones y aportaciones.

5.6 DIFICULTADES Y RETOS

Durante el desarrollo del proyecto se encontraron algunos problemas Para la detección se componentes interarmónicos, estos fueron los siguientes:

0 Cuando se analizan señales de las cuales se desconoce su contenido armónico -como normalmente sucede- se requiere un algoritmo para la detección de información dentro de cada una de las aproximaciones o detalles generados. Este algoritmo debe de tomar como base de discriminación ciertos parámetros previamente establecidos; por ejemplo. amplitud O frecuencia mínimas.

0 En caso de no conocerse el contenido armónico de la señal, pueden quedar frecuencias ocultas dentro de paquetes que contengan componentes de frecuencias de mayor amplitud.

Puede ser dificil localizar componentes cercanos a la fiemencia de corte de las bandas de paso de los filtros de la wavelet seleccionada.

Ya que es un proceso complejo, para procesar completamente algunas señales, el DSP requiere de mucha capacidad de chmputo, de recursos de memoria, etc. En el caso del proyecto, se seleccionó apriori uno de los kit que ofrecia la mayor velocidad de ejecución y capacidad de cómpbto.

5.7 APORTACIONES

k Una de las principales aportaciones de este trabajo es la formación de una base de datos de artículos acerca de la transformada wavelet a sistemas de potencia, con énfasis en las aplicaciones de calidad de la energía. Esta información servirá como referencia para trabajos futuros y su importancia radica en que en el cenidet solo se ha realizado una tesis relacionada con este tema. ..

P Aunque en algunas referencias se menciona la implementación de la transformada wavelet, la mayoría de las aplicaciones reportadas han sido casos sencillos, con programas que se ejecutan en una PC. Sólo una referencia habla de la programación de la DWT para detección de interarmónicos en un procesador externo. Así pues, otra aportación importante es la implementación del algoritmo de la transformada wavelet en una tarjeta autónoma con un DSP. Este es el primer paso para el desarrollo de un instrumento de medición de armónicas, o para incorporar este tipo de medición a otras aplicaciones (v.g.: filtros activos).

P Se dispone de un conjunto de programas que implementan la transformada wavelet. Unos están escritos para Matlab y otros en lenguaje C. Estos Últimos pueden trasladarse a otros procesadores y pueden modificarse fácilmente para operar con otras wavelets madre.

Detección de interamónicos usando wavelets

Se dispone también de un prototipo de laboratorio, basado en el kit de desarrollo DSKTMS320C6416, donde se somete una señal analógica a un análisis por medio de la transformada wavelet. El resultado del análisis es una señal analógica (aproximación o detalle, según el caso) que puede observarse en un osciloscopio.

,5.8 TRABAJOS FUTUROS

Como trabajos futuros se proponen los siguientes:

k La implementación de un algoritmo de detección que verifique el contenido de información dentro de'cada una de las aproximaciones o detalles.

> Desarrollar una tarjeta de adquisición de datos analógicos, adecuada a las características que el proyecto demanda. Con esto se mejoraría el tiempo de procesamiento y se podría implementar este sistema como un instrumento de medición en tiempo real.

b Una investigación matemática para fundamentar el comportamiento de la transformada wavelet en el intervalo comprendido entre una y dos veces la frecuencia fundamental. También es conveniente modificar y hacer diversas pruebas con la frecuencia de muestreo, para determinar su impacto en la detección de estos componentes.

k Para el punto anterior también se sugiere hacer un análisis donde se ajuste la frecuencia de muestreo y el número de puntos de la señal para lograr como salida una banda de frecuencia alta (detalle) entre la frecuencia de 60 Hz y la de 120 Hz, con la finalidad de leer los componentes se encuentran en ese lapso.

I

.. .

I

78

, . ~. . . - - .. - .-

Anexos. r

Anexos

ANEXO 1. COMUNICACI~N VÍA RTDX. La herramienta de Intercambjo de datos en tiempo real (RTDX por sus siglas en inglés) permite establecer comunicación bi-direccional en tiempo real entre un procesador digital de señales (DSP) y una aplicación de PC. Para emplearla es necesario que la versión de Matlab que se use contenga ia herramienta: “Matlab Link for Code Composer Studio Development Tools”.

La programación que se requiere para utilizar el enlace es muy sencilla y consiste solamente de agregar unas cuantas líneas de código al programa del DSP. Como primer paso se deben declarar los canales que sean necesarios, estos canales son unidireccionales y se pueden habilitar varios a la vez. La única restricción en el número de canales declarados es que el tamaño máximo del buffer es de 64 kB, este cuenta con la capacidad de dividirse entre el número de canales que se requiera. El tamaño mínimo de un canal es de 256 B, con lo cual se deja espacio para habilitar hasta 256 canales.

La declaración de los canales debe hacerse tanto en CCS como en Matlab. Para el código en CCS las instrucciones que deben declararse para inicializar los canales son:

RTDX CreateinputChannel(ichan); RTDXCreateOutputChannel(ochan);

/* declara canal de lectura */ /* declara canal de escritura */

Para Matlab las instrucciones son:

cc = ccsdsp configure(cc, 65536,4); canales */

/*Crea un objeto de enlace entre las dos plataformas*/ /*Configura un ancho de buffer de 64k dividido en cuatro

Posterior a la declaración de los canales, deben establecerse registros en CCS cuya finalidad sea Únicamente la de trabajar con los datos de entrada/salida de RTDX . Los canales se pueden habilitar en el momento en que se necesiten. Este paso puede hacerse desde Matlab o desde CCS:

RTDX-InputEnabled(&ichan), RTDX-OutputEnabled(&ochan)

cc.rtdx.open(‘ichan’,’w‘); cc.rtdx.open(‘ochan’,’r’);

/*Habilitación de canales desde CCS*/

/*Habilitación de canales desde Matlab*/

Los canales se pueden deshabilitar cuando ya no se necesitan, sin que el programa principal se detenga. Esto se puede hacer ya sea desde Matlab o desde CCS. Es importante que estos canales se deshabiliten y se limpien después del proceso de transferencia de información, pues la información que se quede “atorada” en los canales de comunicación puede generar errores en la siguiente transmisión o recepción de datos que se haga por dichos canales. Desde Matlab las instrucciones son las siguientes:

19

Detección de interarmónicos usando waveleis,

cc.rtdx.disable('ichan') /*Deshabilita canal de entrada*/ cc.rtdx.disable('ochan') /*Deshabilita canal de salida*/ cc.rtdx.disable /*Deshabilita comunicación */ clear cc /*Limpia buffers del objeto de enlace */

CCS cuenta con herramientas para conocer el estado actual los canales de comunicación, así como los parámetros de los mismos. Dentro de la información que esta herramienta puede desplegar está: el número de canales dec1arados:Icuales de ellos son los que están habilitados, el tamaño de los canales, el número de mensajes que contiene cada canal, etc.

. ..

' ,'

80

Anexos. I _.

ANEXO 2. TOOLBOX DE WAVELETS DE MATLAB. I1

El toolbox de Wavelets es una colección de funciones construidas en Matlab, que provee de herramientas para el análisis y síntesis de señales e imágenes, asi como herramientas para aplicaciones estadísticas. Este toolbox proporciona comandos para estudiar las funciones de escalamiento, wavelet y el &hisis de multiresolución. Además, contiene funciones para análisis de señales en tiempo continuo y en tiempo discreto; soporta análisis y sintesis de señales unidimensionales e imágenes, así como filtrado y compresión de datos. Incluye una guia de usuario extensa y bien explicada, además de que cuenta con una interfaz de usuario que permite una exploración interactiva y un despliegue gráfico de resultados.

Este toolbox contiene dos tipos de herramientas:

1. Funciones o comando de línea. Estas funciones las provee el toolbox de wavelets; las más utilizadas dentro de este proyecto fueron:

O SCalZfiq. , il Sintaxis: Scal2fiq(a, ’mame ’, delta) ;

Esta función regresa lhs frecuencias de corte correspondientes a una wavelet madre ‘wnarne ’ usada con un número de niveles de descomposición a,,,,, para el que se definen las escalas a, con un periodo de muestreo delta.

O Dwt.

Esta instrucción obtiene los coeficientes de análisis ca y cd (aproximaciones y detalles) de la operación de transformada discreta wavelet a una señal x con una wavelet madre ‘wnarne ’.

O Zdwt.

Esta función reconstruye la señal x a partir de sus coeficientes de descomposición ca y cd

‘I

Sintaxis : [ca, cd] = dwt(x, ‘wname ’) ;

Sintaxis : y = idwt (ca, cd, ‘wname’) ;

.. . . usando una wavelet madr.e ‘wnarne’. .. . , .

O Wavedec. Sintaxis: [c,l] = wavedec(x,n,’wname’);

Esta instrucción se. emplea para obtener los coeficientes de análisis de una señal x descompuesta n niveles usando una wavelet madre ‘wname’. Estos coeficientes se almacenan en una matriz c, que puede direccionarse con ayuda del vector 1.

O Waverec. Sintaxis: x = (c, I, ‘wname’);

Esta función hace la reconstrucción de la señal x partiendo de la matriz c y el vector I que se obtuvieron al emplear la instrucción wavedec.

O Wfilters. Sintaxis: [LO-D, HI - D, LO - R, HI-R] = WFíLTERS(‘dmey’);

81

Detección de interamnónicos usando wavelets.

Esta instrucción se emplea para obtener los coeficientes hoy h,, ya sea de análisis o de síntesis. LO-D y HI-D se iefieren a los coeficientes de descomposición pasa bajas y pasa altas respectivamente; mientras que LO R y HI R se refieren a los coeficientes de reconstnicción. Así se obtienen tanto los coeficientes de de&mposición como los de síntesis.

Para el proceso de descomposición de este proyecto se emplearon los coeficientes de la wavelet madre Dmeyer que se muestran a continuación:

LO-D = [ O 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 -0.0006 -0.0027 0.0022 0.0060 -0.0064 -0.01 11 0.0153 0.0174 -0.0321 -0.0243 0.0637 0.0307 -0.1328 -0.0351 0.4446 0.7446 0.4446 -0.0351 -0.1328 0.0307 0.0637 -0.0243 -0.0321 0.0174 0.0153 -0.01 11 -0.0064 0.0060 0.0022 -0.0027 -0.0006 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000];

HI-D= [ 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.OOOO 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0006 0.0027 0.0022 -0.0060 -0.0064 0.011 1 0.0153 -0.0174 -0.0321 0.0243 0.0637 -0.0307 -0.1328 0.0351 0.4446 -0.7446 0.4446 0.0351 -0.1328 -0.0307 0.0637 0.0243 -0.0321 -0.0174 0.0153 0.011 1 -0.0064 - 0.0060 0.0022 0.0027 -0.0006 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 O ] ;

Para acceder a la ayuda de las funciones o comandos de línea basta con seguir la siguiente ruta:

Help de Matlab -+ Contents -+ Wavelet toolbox + Functions by category

Dentro de esta ayuda se encuentran ejemplos de cada una de las funciones, así como la correcta sintaxis de cada las mismas. .. .

2. Herramientas gráficas interactivas

Para acceder a las herramientas gráficas interactivas del toolbox de Matlab debe teclearse: wavemenu desde la ventana de comandos. Esta parte del toolbox también cuenta con ayuda y ejemplos.

82

ANEXO 3. ONDAS DE PRUEBA GENERADAS Para entender el funcionamiento y respuesta de la transformada wavelet sobre diversos sistemas se generaron formas de onda que fueran cambiando su contenido armónico. El programa usado para crear estas formas de onda se encuentra en el CD anexo.

La función con la cual se generaron las formas de onda es la siguiente:

ondal( t )=Al * s inw * t ) + A2 * sin@ *fr * t ); donde la onda1 contiene:

a) una componente sinusoidal de amplitud Al y frecuenciafl (frecuencia fundamental en este caso)

b) una componente sinusoidal de amplitud A2 (donde Al > A2) y frecuencia de n vecesfl.

Algunas de las formas de on& generadas se encuentran en el disco anexo, así como el programa generador.

ANEXO 4. LISTADO DE PROGRAMAS 1. 2. 3. 4.

Programas utilizados en el DSP y anexos necesarios para,correr la aplicación final. Programa de filtrado basado en Matlab Programas para comunicación de datos entre Matlab y DSP vía RTDX. Programa de generación de ondas

... .

Detección de intemnnónicos usando wavelets.

.. .

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